Вычисление корня в Python – квадратный, кубический, n-степени
Содержание:развернуть
Если вам нужно найти сторону квадрата, когда известна одна лишь его площадь, или вы намерены рассчитать расстояние между двумя точками в декартовых координатах, то без особого инструмента не обойтись. Математики прошлого придумали для этих вычислений квадратный корень, а разработчики Python воплотили его в функции sqrt().
Но обо всём по порядку.
Что такое квадратный корень
Корнем квадратным из числа «X» называется такое число «Y», которое при возведении его во вторую степень даст в результате то самое число «X».
Операция нахождения числа «Y» называется извлечением квадратного корня из «X». В математике для её записи применяют знак радикала:
Нотация питона отличается в обоих случаях, и возведение в степень записывается при помощи оператора «**»:
a = 2
b = a ** 2 print(b)
> 4А квадратный корень в питоне представлен в виде функции sqrt(), которая существует в рамках модуля math. Поэтому, чтобы начать работу с корнями, модуль math нужно предварительно импортировать:
import mathФункция sqrt() принимает один параметр – то число, из которого требуется извлечь квадратный корень. Тип данных возвращаемого значения – float.
import math
import random # пример использования функции sqrt()
# отыщем корень случайного числа и выведем его на экран rand_num = random.randint(1, 100)
sqrt_rand_num = math.sqrt(rand_num) print('Случайное число = ', rand_num)
> Случайное число = 49 print('Корень = ', sqrt_rand_num)
> Корень = 7.0Квадратный корень
Положительное число
Именно на работу с неотрицательными числами «заточена» функция sqrt(). Если число больше или равно нулю, то неважно, какой у него тип. Вы можете извлекать корень из целых чисел:
import math print(math.sqrt(100))
> 10.0А можете – из вещественных:
import math print(math.sqrt(111.5))
> 10.559356040971437Легко проверить корректность полученных результатов с помощью обратной операции возведения в степень:
print(math.sqrt(70.5))
> 8.396427811873332 # возвести в степень можно так
print(8.396427811873332 ** 2)
> 70.5 # а можно с помощью функции pow()
print(pow(8.396427811873332, 2))
> 70.5Отрицательное число
Функция sqrt() не принимает отрицательных аргументов. Только положительные целые числа, вещественные числа и ноль.
Такая работа функции идёт вразрез с математическим определением. В математике корень спокойно извлекается из чисел меньше 0. Вот только результат получается комплексным, а таким он нужен для относительно узкого круга реальных задач, вроде расчетов в сфере электроэнергетики или физики волновых явлений.
Поэтому, если передадите отрицательное число в sqrt(), то получите ошибку:
print(math.sqrt(-1))
> ValueError: math domain errorНоль
Функция sqrt() корректно отрабатывает с нулём на входе. Результат тривиален и ожидаем:
print(math.sqrt(0))
> 0.0Кубический корень
Само название функции sqrt() намекает нам на то, что она не подходит для извлечения корня степени отличной от двойки. Поэтому для извлечения кубических корней, сначала необходимо вспомнить связь между степенями и корнями, которую продемонстрируем на корне квадратном:
Вышеуказанное соотношение несложно доказать и для других степеней вида
# Квадратный корень можно извлечь с помощью операции возведения в степень "**"
a = 4
b = a ** 0.5 print(b)
> 2.0В случае с квадратным или кубическим корнем эти операции действительно эквивалентны, но, вообще говоря, в математике извлечение корня и возведение в дробную степень имеют существенные отличия при рациональных степенях вида m/n, где m != 1. Формально, в дробно-рациональную степень можно возводить только положительные вещественные числа. В противном случае возникают проблемы:
👉 Таким образом, извлечь кубический корень в Python можно следующим образом:
print(pow(8, 1/3))
> 2.0Или же:
print(8 ** (1/3))
> 2.0Корень n-степени
То, что справедливо для корня третьей степени, справедливо и для корней произвольной степени.
# извлечём корень 17-й степени из числа 5600 x = 5600
y = 17
z = pow(x, (1/y)) print(z)
> 1.6614284717080507 # проверяем корректность результата
print(pow(z, y))
> 5600.0 Но раз уж мы разбираемся с математической темой, то попытаемся мыслить более обобщённо. С помощью генератора случайных чисел с заданной точностью будем вычислять корень случайной степени из случайного числа:
import random # точность можно задать на ваше усмотрение
x = random.randint(1, 10000)
y = random.randint(1, 100)
z = pow(x, (1 / y))
print('Корень степени', y, 'из числа', x, 'равен', z) # при проверке вероятны незначительные расхождения из-за погрешности вычислений
print('Проверка', pow(z, y))
# но специально для вас автор накликал целочисленный результат
> Корень степени 17 из числа 6620 равен 1.6778624404513571
> Проверка 6620.0Решение реальной задачи с использованием sqrt
Корень – дитя геометрии. Когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, людям тут же захотелось вычислять стороны треугольников, проверять прямоту внешних углов и сооружать лестницы нужной длины.
Соотношение a2 + b2 = c2, где «a» и «b» – катеты, а «c» – гипотенуза – естественным образом требует извлекать корни при поиске неизвестной стороны. Python-а под рукой у древних греков и вавилонян не было, поэтому считать приходилось методом приближений. Жизнь стала проще, но расчет теоремы Пифагора никто не отменял и в XXI веке.
📡 Решим задачку про вышку сотовой связи. Заказчик требует рассчитать высоту сооружения, чтобы радиус покрытия был 23 километра. Мы неспешно отходим на заданное расстояние от предполагаемого места строительства и задумчиво смотрим под ноги. В голове появляются очертания треугольника с вершинами:
- Ваше местоположение;
- Центр Земли;
- Пиковая высота вышки;
Модель готова, приступаем к написанию кода:
import math # расстояние от вас до вышки
from_you_to_base_station = 23 # радиус земли
earth_radius = 6371 # расчет расстояния от центра земли до пика сооружения по теореме Пифагора
height = math.sqrt(from_you_to_base_station ** 2 + earth_radius ** 2) # расчет высоты вышки(км)
base_station_height = height - earth_radius print('Требуемая высота(м): ', round(base_station_height * 1000)) > Требуемая высота(м): 42 Расчёт выполнен, результат заказчику предоставлен. Можно идти пить чай и радоваться тому, что теперь ещё больше людей смогут звонить родным и сидеть в интернете.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Возведение в степень и извлечение корня в Excel
Для извлечения корня в Excel и возведения числа в степень используются встроенные функции и математические операторы. Рассмотрим на примерах.
Примеры функции КОРЕНЬ в Excel
Встроенная функция КОРЕНЬ возвращает положительное значение квадратного корня. В меню «Функции» она находится в категории «Математические».
Синтаксис функции: =КОРЕНЬ(число).
Единственный и обязательный аргумент представляет собой положительное число, для которого функция вычисляет квадратный корень. Если аргумент имеет отрицательное значение, Excel вернет ошибку #ЧИСЛО!.
В качестве аргумента можно указывать конкретное значение либо ссылку на ячейку с числовым значением.
Рассмотрим примеры.
Функция вернула квадратный корень числа 36. Аргумент – определенное значение.
Аргумент функции – ссылка на ячейку с положительным значением 36.
Функция вернула ошибку, т.к. аргумент – ссылка на ячейку с отрицательным значением.
Функция ABS возвращает абсолютное значение числа -36. Ее использование позволило избежать ошибки при извлечении квадратного корня из отрицательного числа.».
Обратите внимание! Дробная степень пишется в скобках.
Выполнили ту же задачу, но с использованием функции СТЕПЕНЬ.
Извлекли корень девятой степени из значения ячейки h2.
Извлекли корень пятой степени из суммы числа 9 и значения ячейки h2.
Те же математические операции можно выполнить с помощью функции СТЕПЕНЬ:
Таким образом, возвести в степень и извлечь корень n-й степени в Excel можно с помощью одной функции.
Как написать число в степени
Для корректного отображения числа в степени при демонстрации файла или его печати, необходимо произвести ряд манипуляций:
- Щелкаем по ячейке с числом правой кнопкой мыши. Выбираем «Формат ячеек» (или нажмите CTRL+1).
- В открывшемся меню переходим на вкладку «Число». Задаем «Текстовый» формат. Текстовый формат для значения в ячейке можно также задать через панель инструментов («Главная» – «Число»). После установки текстового формата цифра в ячейке становится слева.
- Рядом с цифрой вводим в ячейку значение со знаком «минус».
- Выделяем только значение степени («-3»). Вызываем меню «Формат ячеек». Устанавливаем видоизменение «Надстрочный». И нажимаем ОК.
Получили корректное отображение числа 5 в -3 степени.
%d0%ba%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bd%d1%8c%20n-%d0%b9%20%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bf%d0%b5%d0%bd%d0%b8 — с русского на все языки
Ничего не найдено.
Попробуйте поискать во всех возможных языках
или измените свой поисковый запрос.
См. также в других словарях:
20N — may refer to : * New York State Route 20N * 20 N, an abbreviation for two well known dates in Spanish historyee also* N20 … Wikipedia
20N — Este artículo trata sobre la conmemoración del aniversario de los fallecimientos de Francisco Franco y José Antonio Primo de Rivera. Para otros acontecimientos relacionados con la fecha, véase 20 de noviembre. Para las elecciones previstas para… … Wikipedia Español
New York State Route 20N — NYS Route 20N Map of the Syracuse area with NY 20N highlighted in red Route information … Wikipedia
List of highways numbered 20N — The following highways are numbered 20N:* (Former) … Wikipedia
New York State Route 20SY — NYS Route 20SY Map of the Syracuse area with NY 20SY highlighted in red Route information … Wikipedia
List of numbered roads in Durham Region — The numbered roads in the Regional Municipality of Durham account for about 832 kilometres (517 mi) of the county road system in the Canadian province of Ontario. The Durham Region Works Department owns and maintains the regional roads and… … Wikipedia
New York State Route 92 — NYS Route 92 Map of the Syracuse area with NY 92 highlighted in red Route information … Wikipedia
New York State Route 173 — NYS Route 173 Map of the Syracuse area with NY 173 highlighted in red Route information … Wikipedia
Doomsday argument — World population from 10,000 BC to AD 2000 The Doomsday argument (DA) is a probabilistic argument that claims to predict the number of future members of the human species given only an estimate of the total number of humans born so far. Simply… … Wikipedia
New York State Route 174 — NYS Route 174 Map of the Syracuse area with NY … Wikipedia
New York State Route 175 — NYS Route 175 Map of the Syracuse area with NY 175 highlighted in red … Wikipedia
Корень произвольной степени в Excel
Изучим особенности извлечения корня в Excel: от квадратного и кубического до произвольного корня n-й степени.
Операция нахождения корня числа широко применима в школьной математике (например, в теореме Пифагора и в поиске решений квадратных уравнений), финансовом анализе, или в быту, при определении длины стороны комнаты или участка зная площадь квадрата.
Квадратный корень в Excel
Квадратный корень вероятно является самым популярным среди всех степеней, вследствие чего в Excel существует стандартная функция позволяющая его найти.
Функция КОРЕНЬ в Excel
КОРЕНЬ(число)
Возвращает значение квадратного корня.
- Число (обязательный аргумент) — число, из которого извлекается квадратный корень.
Обратите внимание, что извлечь корень четной степени (в частности второй) в математике однозначно нельзя.
К примеру, корень из 4 может принимать как положительное значение (+2), так и отрицательное (-2), в связи с этим для четных степеней в Excel для определения знака применяется понятие арифметического корня, значение которого всегда неотрицательно, то есть в примере это число 2.
При работе с данной функцией учитывайте, что если аргумент функции является отрицательным, то в качестве ответа будет возвращена ошибка.
Поэтому найти корень из отрицательных чисел средствами Excel не получится, так как работа с комплексными числами в программе не предусмотрена.
Корень n-й степени в Excel
Для 2-й степени в Excel существует стандартная встроенная функция, но как вычислить корень для степеней большего порядка, в частности, третьей или четвертой степени?
Из школьного курса математики вспомним, что извлечение корня из числа является обратной операцией к возведению числа в степень:
Другими словами, чтобы найти корень n-й степени из числа необходимо возвести данное число в степень 1/n, к примеру, формула КОРЕНЬ эквивалентна возведению в степень 1/2 и т.д.
Примеры
Применим данную формулу для поиска корня 3 степени:
Как видим кубический корень можно извлечь и из отрицательных чисел, и проблемы однозначности при определении знака не стоит. (Shift + 6 на клавиатуре в английской раскладке) можно также использовать функцию СТЕПЕНЬ.
Удачи вам и до скорых встреч на страницах блога Tutorexcel.ru!
Поделиться с друзьями:
Поиск по сайту:
Корень n-ой степени и его свойства.
Корень n-й степени и его свойства. 11 класс.
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа.
Цели урока:
Образовательная: расширить и обобщить знания учащихся по данной теме, овладеть свойствами корня п-ой степени.
Развивающая: развитие коммуникативных способностей.
Воспитательная: формирование активной жизненной позиции, умение работать и преодолевать трудности, воспитание интереса к предмету.
Средства обучения: карточки, таблицы.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Форма обучения: индивидуальная и групповая.
Ход урока
«Мышление начинается с удивления»
Аристотель
Организационный момент: приветствие, выявление готовности учащихся к уроку, постановка цели.
Разминка.
Актуализация опорных знаний.
Обобщение и закрепление материала.
Ход урока.
Вопросы для разминки.
Так называют выражение хn. (степень)
Есть у любого слова, у растения, может быть n-й степени. (корень)
Степень корня, кратная 2. (четная)
Степень корня 2 k+1. (нечетная).
Как можно иначе назвать корень третьей степени? (кубический)
Действие, посредством которого отыскивают корень. (извлечение).
Положительный корень. (арифметический).
Как можно иначе назвать арифметический корень второй степени? (квадратный).
Актуализация опорных знаний.
а) Свойства арифметического квадратного корня:
= ∙ , а ≥ 0 , в ≥0
= , а≥0, b0
б) свойства степени с натуральным показателем:
=
Формирование новых знаний. Аналогично определению квадратного корня из числа a определяется корень n-ной степени из числа а, где n— произвольное натуральное число, n1.
Определение. Корнем n-ной степени из числа а называется такое число, n—ная степень которого равна а.
а)
б =2,
в) = -3
Рассмотрим уравнение = a. Число корней этого уравнения зависит от n и a.
Рассмотрим функцию f(x)=. При x и n –любое число- возрастает, и a имеет неотрицательный корень и только один x=.
Определение. Арифметическим корнем n-ной степени из числа a называют неотрицательное число, n -ая степень которого равна a.
При четном n существует два корня n—ной степени из любого положительного числа a, корень четной степени из отрицательных чисел не существует. При нечетном n существует корень n—ной из любого числа a и притом только один.
Краткая запись (в тетради).
n— четное число
=a, a>0
=
X= —
а) = 7 , 7 =343 в)= -3 = -243
основные свойства арифметических корней n-ной степени.
Для любых чисел n € N , k € N, n >1 и k>1 , a>0, b>0 выполняются равенства :
=∙ ;
= ;
= ;
=( ) k
> 0≤ a a>b
Обобщение и закрепление материала.
Задание 1. Вычислите.
а)
б)
в)
Задание2. Докажите:
-=2
Задание3. Вычислите.
1) ∙ = = = 2
2) = = =
3) = = —
Трехуровневая самостоятельная работа с целью проверить знания, умения и навыки по теме
« Корень п-ой степени и его свойства»
№ 1. Вычислить (А)
1вариант 2 вариант
∙ 1) ;
– 2 ; 2) ∙ ;
; 3) -6 ∙ ;
№ 2 . Найдите значение выражения (В)
1) ∙ = 1) 7 ∙ =
2) = 2) =
№ 3. Упростите (С)
∙ ∙
Подведение итогов урока
Проверка работы учащихся: выставление оценок.
Корень в python — 6 способов извлечь квадратный корень из числа
Квадратный корень из числа — это значение, которое при умножении само на себя дает исходное число. Каждое положительное число имеет два квадратных корня (то же значение с положительным и отрицательным знаками). Ниже приводится запись квадратного корня:√25 = ±5
Для отрицательного числа результат извлечения квадратного корня включает комплексные числа, обсуждение которых выходит за рамки данной статьи.
Математическое представление квадрата числа
Все мы в детстве узнали, что, когда число умножается само на себя, мы получаем его квадрат. Также квадрат числа можно представить как многократное умножение этого числа. Попробуем разобраться в этом на примере.
Предположим, мы хотим получить квадрат 5. Если мы умножим число (в данном случае 5) на 5, мы получим квадрат этого числа. Для обозначения квадрата числа используется следующая запись:
52 = 25
При программировании на Python довольно часто возникает необходимость использовать функцию извлечения квадратного корня. Есть несколько способов найти квадратный корень числа в Python.
1. Используя оператор возведения в степень
num = 25
sqrt = num ** (0.5)
print("Квадратный корень из числа "+str(num)+" это "+str(sqrt))
Вывод:
Квадратный корень из числа 25 это 5.0Объяснение: Мы можем использовать оператор «**» в Python, чтобы получить квадратный корень. Любое число, возведенное в степень 0.5, дает нам квадратный корень из этого числа.
2. Использование math.sqrt()
Квадратный корень из числа можно получить с помощью функции sqrt() из модуля math, как показано ниже. Далее мы увидим три сценария, в которых передадим положительный, нулевой и отрицательный числовые аргументы в sqrt().
a. Использование положительного числа в качестве аргумента.
import math
num = 25
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))
Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5.0.
b. Использование ноля в качестве аргумента.
import math
num = 0
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))
Вывод: Квадратный корень из числа 0 это 0.0.
c. Использование отрицательного числа в качестве аргумента.
import math
num = -25
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))
Вывод:
Traceback (most recent call last):
File "C:\wb.py", line 3, in <module>
sqrt = math.sqrt(num)
ValueError: math domain errorОбъяснение: Когда мы передаем отрицательное число в качестве аргумента, мы получаем следующую ошибку «math domain error». Из чего следует, что аргумент должен быть больше 0. Итак, чтобы решить эту проблему, мы должны использовать функцию sqrt() из модуля cmath.
3. Использование cmath.sqrt()
Ниже приведены примеры применения cmath.sqrt().
а. Использование отрицательного числа в качестве аргумента.
import cmath
num = -25
sqrt = cmath.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))
Вывод: Квадратный корень из числа -25 это 5j.
Объяснение: Для отрицательных чисел мы должны использовать функцию sqrt() модуля cmath, которая занимается математическими вычислениями над комплексными числами.
b. Использование комплексного числа в качестве аргумента.
import cmath
num = 4 + 9j
sqrt = cmath.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))
Вывод: Квадратный корень из числа (4+9j) это (2.6314309606938298+1.7100961671491028j).
Объяснение: Для нахождения квадратного корня из комплексного числа мы также можем использовать функцию cmath.sqrt().
4. Использование np.sqrt()
import numpy as np
num = -25
sqrt = np.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))
Вывод:
...
RuntimeWarning: invalid value encountered in sqrt
Квадратный корень из числа -25 это nan5. Использование scipy.sqrt()
import scipy as sc
num = 25
sqrt = sc.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))
Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5.0.
Объяснение: Как и функция sqrt() модуля numpy, в scipy квадратный корень из положительных, нулевых и комплексных чисел может быть успешно вычислен, но для отрицательных возвращается nan с RunTimeWarning.
6. Использование sympy.sqrt()
import sympy as smp
num = 25
sqrt = smp.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа "+str(num)+" это "+str(sqrt))
Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5.
Объяснение: sympy — это модуль Python для символьных вычислений. С помощью функции sympy.sqrt() мы можем получить квадратный корень из положительных, нулевых, отрицательных и комплексных чисел. Единственная разница между этим и другими методами заключается в том, что, если при использовании sympy.sqrt() аргумент является целым числом, то результат также является целым числом, в отличие от других способов, в которых возвращаемое значение всегда число с плавающей точкой, независимо от типа данных аргумента.
Заключение
Наконец, мы подошли к завершению этой статьи. В начале мы кратко затронули использование квадратного корня в математике. Затем мы обсудили принципы внутреннего устройства функции извлечения квадратного корня и ее возможную реализацию. В завершении мы рассмотрели различные методы применения этой функции в Python.
2 \\ 1 && (1., 2.) && 1.5 && 2 <2.25 \\ 2 && (1., 1.5) && 1.25 && 1.5625 <2 \\ 3 && (1,25, 1,5) && 1,375 && 1,8 <2 \\ 4 && (1,375, 1,5) && 1,4375 && 2 <2,06640625 \\ 5 && (1.375, 1.4375) && 1.40625 && 1.97753 <2 \\ 6 && (1.40625, 1.4375) && 1.421875 && 2 <2.021728515625 \\ 7 && (1.40625, 1.421875) && 1.4140625 && 1.999572753 <2 \\ 8 && (1.4140625, 1.421875) && 1.41796875 && 2 <2.0106353759765625 \\ 9 && (1.4140625, 1.41796875) && 1.416015625 && 2 <2.005100250244140625 \ \\ 10 && (1.4140625, 1.416015625) && 1.41503 && \ 2 <2,002335548400878 \\ 11 && (1.4140625, 1.41503) && 1.41455078125 && \ 2 <2.00095391273498535156 \ 3 \\ 12 && (1.4140625, 1.41455078125) && 1.414306640625 && \ 2 <2.000263273715972 \\ 13 && (1.4140625, 1.414306640625) && 1.4141845703125 && \ 1.99991799890995025634 \ 8 <2 \\ 14 && (1.4141845703125, 1.414306640625) && 1.41424560546875 && \ 2 <2.000058767127990 \ 7 \\ 15 && (1.4141845703125, 1.41424560546875) && 1.4142150878 && \ 2 <2.00000431481748819351 \ 2 \\ 16 && (1.4141845703125, 1.4142150878) && 1.4141998291015625 && \ 1.99996115663088858127 \ 6 <2 \\ 17 && (1.4141998291015625, 1.4142150878) && 1.41420745849609375 && \ 1.99998273566598072648 <2 \\ 18 && (1.41420745849609375, 1.4142150878) && \ 1.414211273193359375 && 1.99999352522718254476 \ 8 <2 \\ 19 && (1.414211273193359375, 1.4142150878) && \ 1.4142131805419921875 && 1.99999892001869739033 \ 3 <2 \\ 20 && (1.4142131805419921875, 1.4142150878) && \ 1,41421413421630859375 && 2 <2,00000161741718329722 \ конец {выравнивание} \ начало {выравнивание} 21 && (1.4142131805419921875, 1.41421413421630859375) && \ 1.41421365737915039062 \ 5 && 2 <2.00000026871771297010 \ 1 \\ 22 && (1.4142131805419921875, 1.41421365737915039062 \ 5) && \ 1.41421341896057128906 \ 2 && 1.99999959436814833679 \ 8 <2 \\ 23 && (1.41421341896057128906 \ 2, 1.41421365737915039062 \ 5) && \ 1.41421353816986083984 \ 4 && 1.99999993154291644259 \ 5 <2 \\ 24 && (1.41421353816986083984 \ 4, 1.41421365737915039062 \ 5) && \ 1.41421359777450561523 \ 4 && 2 <2.00000010013031115363 \ 4 \\ 25 && (1.41421353816986083984 \ 4, 1.41421359777450561523 \ 4) && \ 1.41421356797218322753 \ 9 && 2 <2.00000001583661290993 \ 6 \\ 26 && (1.41421353816986083984 \ 4, 1.41421356797218322753 \ 9) && \ 1.41421355307102203369 \ 1 && 1.99999997368976445422 \ 1 <2 \\ 27 && (1.41421355307102203369 \ 1, 1.41421356797218322753 \ 9) && \ 1.41421356052160263061 \ 5 && 1.99999999476318862656 \ 8 <2 \\ 28 && (1.41421356052160263061 \ 5, 1.41421356797218322753 \ 9) && \ 1.41421356424689292907 \ 7 && 2 <2.000000005299437 \ 4 \\ 29 && (1.41421356052160263061 \ 5, 1.41421356424689292907 \ 7) && \ 1.41421356238424777984 \ 6 && 2 <2.00000000003154468700 \ 1 \\ 30 && (1.41421356052160263061 \ 5, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356145292520523 && 1.99999999739736665591 \ 7 <2 \\ 31 && (1.41421356145292520523, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356191858649253 \ 8 && 1.99999999871445567124 \ 2 <2 \\ 32 && (1.41421356191858649253 \ 8, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356215141713619 \ 2 && 1.99999999937300017906 \ 8 <2 \\ 33 && (1.41421356215141713619 \ 2, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356226783245801 \ 9 && 1.99999999970227243302 \ 1 <2 \\ 34 && (1.41421356226783245801 \ 9, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356232604011893 \ 3 && 1.999999999866000 \ 8 <2 \\ 35 && (1.41421356232604011893 \ 3, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356235514394938 \ 9 && 1.99999999994922662350 \ 4 <2 \ конец {выравнивание} \ начало {выравнивание} 36 && (1.41421356235514394938 \ 9, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356236969586461 \ 8 && 1.999999999965525 \ 2 <2 \\ 37 && (1.41421356236969586461 \ 8, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356237697182223 \ 2 && 2 <2.00000000001096517112 \ 7 \\ 38 && (1.41421356236969586461 \ 8, 1.41421356237697182223 \ 2) && \ 1.41421356237333384342 \ 5 && 2 <2.00000000000067541319 \ 0 \\ 39 && (1.41421356236969586461 \ 8, 1.41421356237333384342 \ 5) && \ 1.41421356237151485402 \ 1 && 1.99999999999553053422 \ 1 <2 \\ 40 && (1.41421356237151485402 \ 1, 1.41421356237333384342 \ 5) && \ 1.41421356237242434872 \ 3 && 1.99999999999810297370 \ 5 <2 \\ 41 && (1.41421356237242434872 \ 3, 1.41421356237333384342 \ 5) && \ 1.41421356237287909607 \ 4 && 1.99999999999938919344 \ 7 <2 \\ 42 && (1.41421356237287909607 \ 4, 1.41421356237333384342 \ 5) && \ 1.41421356237310646974 \ 9 && 2 <2.00000000000003230331 \ 9 \\ 43 && (1.41421356237287909607 \ 4, 1.41421356237310646974 \ 9) && \ 1.41421356237299278291 \ 2 && 1.99999999999971074838 \ 3 <2 \\ 44 && (1.41421356237299278291 \ 2, 1.41421356237310646974 \ 9) && \ 1.41421356237304962633 && 1.99999999999987152585 <2 \\ 45 && (1.41421356237304962633, 1.41421356237310646974 \ 9) && \ 1.41421356237307804804 && 1.99999999999995191458 \ 5 <2 \\ 46 && (1.41421356237307804804, 1.41421356237310646974 \ 9) && \ 1.41421356237309225889 \ 5 && 1.99999999999999210895 \ 2 <2 \\ 47 && (1.41421356237309225889 \ 5, 1.41421356237310646974 \ 9) && \ 1.41421356237309936432 \ 2 && 2 <2.00000000000001220613 \ 5 \\ 48 && (1.41421356237309225889 \ 5, 1.41421356237309936432 \ 2) && \ 1.41421356237309581160 \ 8 && 2 <2.00000000000000215754 \ 3 \\ 49 && (1.41421356237309225889 \ 5, 1.41421356237309581160 \ 8) && \ 1.41421356237309403525 \ 2 && 1.99999999999999713324 \ 7 <2 \\ 50 && (1.41421356237309403525 \ 2, 1.41421356237309581160 \ 8) && \ 1.41421356237309492343 && 1.99999999999999964539 \ 5 <2 \\ 51 && (1.41421356237309492343, 1.41421356237309581160 \ 8) && \ 1.41421356237309536751 \ 9 && 2 <2.000000000000000\ 9 \\ 52 && (1.41421356237309492343, 1.41421356237309536751 \ 9) && \ 1.41421356237309514547 \ 5 && 2 <2.00000000000000027343 \ 2 \\ 53 && (1.41421356237309492343, 1.41421356237309514547 \ 5) && \ 1.41421356237309503445 \ 2 && 1.99999999999999995941 \ 4 <2 \\ 54 && (1.41421356237309503445 \ 2, 1.41421356237309514547 \ 5) && \ 1.41421356237309508996 \ 3 && 2 <2.00000000000000011642 \ 3 \\ 55 && (1.41421356237309503445 \ 2, 1.41421356237309508996 \ 3) && \ 1.41421356237309506220 \ 8 && 2 <2.00000000000000003791 \ 8 \\ 56 && (1.41421356237309503445 \ 2, 1.41421356237309506220 \ 8) && \ 1.41421356237309504833 && 1.99999999999999999866 \ 6 <2 \\ 57 && (1.41421356237309504833, 1.41421356237309506220 \ 8) && \ 1.41421356237309505526 \ 9 && 2 <2.00000000000000001829 \ 2 \\ 58 && (1.41421356237309504833, 1.41421356237309505526 \ 9) && \ 1.41421356237309505180 \ 0 && 2 <2.00000000000000000847 \ 9 \\ 59 && (1.41421356237309504833, 1.41421356237309505180 \ 0) && \ 1.41421356237309505006 \ 5 && 2 <2.00000000000000000357 \ 3 \\ 60 && (1.41421356237309504833, 1.41421356237309505006 \ 5) && \ 1.41421356237309504919 \ 7 && 2 <2.00000000000000000111 \ 9 \\ 61 && (1.41421356237309504833, 1.41421356237309504919 \ 7) && \ 1.41421356237309504876 \ 4 && 1.99999999999999999989 \ 3 <2 \\ 62 && (1.41421356237309504876 \ 4, 1.41421356237309504919 \ 7) && \ 1.41421356237309504898 && 2 <2.00000000000000000050 \ 6 \\ 63 && (1.41421356237309504876 \ 4, 1.41421356237309504898) && \ 1.41421356237309504887 \ 2 && 2 <2.00000000000000000019 \ 9 \\ 64 && (1.41421356237309504876 \ 4, 1.41421356237309504887 \ 2) && \ 1.41421356237309504881 \ 8 && 2 <2.00000000000000000004 \ 6 \\ 65 && (1.41421356237309504876 \ 4, 1.41421356237309504881 \ 8) && \ 1.41421356237309504879 && 1.99999999999999999996 \ 9 <2 \\ 66 && (1.41421356237309504879, 1.41421356237309504881 \ 8) && \ 1.41421356237309504880 \ 4 && 2 <2.00000000000000000000 \ 8 \\ 67 && (1.41421356237309504879, 1.41421356237309504880 \ 4) && \ 1.41421356237309504879 \ 8 && 1.99999999999999999998 \ 9 <2 \\ 68 && (1.41421356237309504879 \ 8, 1.41421356237309504880 \ 4) && \ 1.41421356237309504880 \ 1 && 1.99999999999999999999 \ 8 <2 \\ 69 && (1.41421356237309504880 \ 1, 1.41421356237309504880 \ 4) && \ 1.41421356237309504880 \ 3 && 2 <2.00000000000000000000 \ 3 \ end {align}
квадратный корень из 2 — как найти квадратный корень из 2?
Квадратный корень из 2 выражается как √2 в радикальной форме и как (2) ½ или (2) 0,5 в экспоненциальной форме. Квадратный корень из 2, округленный до 10 десятичных знаков, равен 1,4142135624. Это положительное решение уравнения x 2 = 2.
- Квадратный корень из 2: 1,4142135623730951
- Квадратный корень из 2 в экспоненциальной форме: (2) ½ или (2) 0.5
- Квадратный корень из 2 в радикальной форме: √2
Что такое квадратный корень из 2?
Квадратный корень — это просто операция, обратная квадрату. Квадратный корень из 2 представлен как √ 2. Это число, умноженное на само себя, дает нам результат 2. В древние времена греки нашли число, которое никогда не может быть записано в форме p / q. , где p, q — целые числа, а q не равно 0. Это означает, что √ 2 нерационально. √ 2 оказывается очень полезным в геометрии. Допустим, у нас есть квадрат со стороной 1, и вы хотите найти длину диагонали.
Чтобы найти третью сторону, воспользуемся теоремой Пифагора. Третья сторона будет √ 2. Найдем число √ 2 на числовой прямой. Мы будем использовать преобразование квадрата, которое мы использовали для обнаружения √ 2. Назовем вершины квадрата, как показано. Оставим вершину O равной 0. Мы уже обнаружили, что OB = √ 2
С помощью циркуля с центром O и радиусом OB начертите дугу, пересекающую числовую прямую в точке P.
Точка P соответствует √ 2 на числовой прямой.
Является квадратный корень из 2 рациональным или иррациональным?
Фактическое значение √ 2. не определено. Значение √ 2 до 25 знаков после запятой составляет 1,4142135623730950488016887 ..
В настоящее время известно значение √ 2 с точностью до 1 триллиона десятичных знаков.
Следовательно, √ 2 иррационально.
Важные примечания:
- √ 2 также называется постоянной Пифагора.
- √ 2 представляет собой диагональ единичного квадрата.
- √ 2 было первым числом, которое было обнаружено как иррациональное число.
- Его десятичное представление не завершается и не повторяется.
- Соотношение длинного края и короткого края листа бумаги формата A4 равно √ 2.
Как найти квадратный корень из 2?
Мы можем найти квадратный корень из 2 двумя следующими способами:
- Метод длинного деления
- Метод оценки и приближения
Квадратный корень из 2 методом длинного деления
Значение квадратного корня из 2 методом длинного деления состоит из следующих шагов:
- Шаг 1 : Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен числу 2.Возьмите это число как делитель и частное (в данном случае 1). Разделите и запишите остаток.
- Шаг 2 : В частном поставьте десятичную точку после 1. Введите два нуля справа от остатка. Итак, новый дивиденд составляет 100
- Шаг 3: Удвойте делитель и введите его с пробелом справа. Угадайте максимально возможную цифру, чтобы заполнить пробел, который также станет новой цифрой в частном, так что, когда новый делитель умножается на новое частное, произведение меньше или равно деленному.Разделите и запишите остаток. Повторите этот процесс, чтобы получить нужные десятичные разряды.
Корень квадратный из 2 методом оценки и приближения
Мы можем использовать формулу y = √ x, чтобы найти значение √ 2.
Эту формулу можно записать как
((х / у) + у) / 2
Формула итерации:
y n + 1 = ((x / y n ) + y n ) / 2
Первые три итерации дают результат, показанный ниже.Сначала установите y 1 = 1
- Итерация 1: y 1 = (2 + 1) / 2 = 1,5
- Итерация 2: y 2 = (4/3 + 3/2) / 2 = 1,4166
- Итерация 3: y 3 = (24/17 + 17/12) / 2 = 1,414215 …
Вы заметили, что он начинает превращаться в √ 2 = 1,41421356237309?
Изучите квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров
Аналитический центр:
- Можете ли вы представить себе квадратное уравнение с корнем √ 2?
- Поскольку (- √ 2) 2 = 2, можем ли мы сказать, что — √ 2 также является квадратным корнем из 2?
Квадратный корень из 2 решенных примеров
Пример 1 : Найдите длину диагонали квадрата, состоящего из 4 единичных квадратов.
Решение
Мы знаем, что длина диагонали 1 единицы квадрата составляет √ 2 единицы. Чтобы найти диагональ, нам нужно рассмотреть длину диагонали в 2 единичных квадрата.
Диагональ 1 единицы квадрата = √ 2 единицы
Сумма диагонали двух квадратов = 2 √ 2 единицы
Следовательно, длина диагонали 2 √ 2 единицы.Пример 2 : Какой была бы длина диагонали торта квадратной формы, если каждая сторона состоит из 2 единиц? (Запишите ответ в десятичной форме до 3 знаков после запятой)
Решение
Дано, сторона квадратного торта = 2 шт.
Используя теорему Пифагора,
Диагональ квадрата = √2a
Диагональ = √2 × 2 = 2.828 шт.Пример: Если площадь равностороннего треугольника равна 2√3 в 2 . Найдите длину одной из сторон треугольника.
Решение:
Пусть ‘a’ будет длиной одной из сторон равностороннего треугольника.
⇒ Площадь равностороннего треугольника = (√3 / 4) a 2 = 2√3 дюйма 2
⇒ a = ± √8 в
Поскольку длина не может быть отрицательной,
⇒ a = √8 = 2 √2
Мы знаем, что квадратный корень из 2 равен 1.414.
⇒ a = 2,828 дюйм
перейти к слайду перейти к слайду
Как ваш ребенок может усвоить математические понятия?
Мастерство математики приходит с практикой и пониманием «почему», стоящего за «что». Почувствуйте разницу Cuemath.
Забронируйте бесплатную пробную версию Класс
Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 2
Чему равен квадратный корень из 2?
Квадратный корень из 2 равен 1,41421.
Почему квадратный корень из 2 является иррациональным числом?
Число 2 простое. Это означает, что число 2 беспарно и не в степени 2. Следовательно, квадратный корень из 2 иррационален.
Если квадратный корень 2 равен 1,414. Найдите значение квадратного корня 0,02.
Представим √0,02 в форме p / q, т.е. √ (2/100) = 0,02 / 10 = 0,141. Следовательно, значение √0,02 = 0,141
Число 2 — это идеальный квадрат?
Число 2 простое.Это означает, что квадратный корень из 2 не может быть выражен как произведение двух равных целых чисел. Следовательно, число 2 не является идеальным квадратом.
Что такое квадратный корень из -2?
Квадратный корень из -2 — мнимое число. Его можно записать как √-2 = √-1 × √2 = i √2 = 1.414i
где i = √-1 и называется мнимой единицей.
Что такое квадратный корень из 17 2?
Квадратный корень из 2 равен 1,414. Следовательно, 17 √2 = 17 × 1,414 = 24,042.
Иррациональность квадратного корня из 2.
Иррациональность квадратного корня из 2.Понимание математики по Питер Альфельд, Кафедра математики, Университет Юты
Почему квадратный корень из 2 иррационален?
Это было одно из самых удивительных открытий Пифагорейской школы греческих математиков, которые существуют иррациональные числа.По словам Куранта и Роббинса в «Что такое математика»: Это откровение было высшим научным событием. важность. Вполне возможно, что это означало происхождение того, что мы учтите, что именно греческий вклад в строгие процедура в математике. Конечно, это глубоко затронули математику и философию со времен Греки до наших дней.
В частности, греки обнаружили, что диагональ квадрат со сторонами равной 1 единице имеет диагональ, длина не может быть рациональной. По теореме Пифагора длина диагонали равна квадратному корню из 2. Итак, квадратный корень из 2 иррационален!
Следующее доказательство является классическим примером доказательства , проведенного противоречие: Мы хотим показать, что A истинно, поэтому мы предположить, что это не так, и придем к противоречию.Таким образом, A должен быть правда ведь в математике нет противоречий!
Мелкий шрифт, ваши комментарии, дополнительные ссылки, Питер Альфельд, PA1UM
[16 августа 1996 г.]
Почему квадратный корень из 2 иррационален
Квадратный корень из 2
Является ли квадратный корень из 2 дробью?
Давайте предположим , что это так, и посмотрим, что произойдет.
Если это дробь, то мы должны иметь возможность записать ее в виде упрощенной дроби, например:
м / п
(m и n — целые числа)
И мы надеемся, что возведя его в квадрат, мы получим 2:
(м / п) 2 = 2
, что совпадает с
м 2 / n 2 = 2
или, другими словами, m 2 вдвое больше n 2 :
м 2 = 2 × n 2
Попробуйте сами
Посмотрите, сможете ли вы найти значение для m и n , которое работает!
Пример : попробуем m = 17 и n = 12 :
м / п = 17/12
Когда мы возведем в квадрат, мы получим
17 2 /12 2 = 289/144 = 2.0069444 …
Что близко к 2, но не совсем верно
Как видите, мы действительно хотим, чтобы m 2 было дважды n 2 (289 примерно вдвое 144). Вы можете лучше?
Четное и нечетное
Теперь давайте примем идею, что m 2 = 2 × n 2
На самом деле это означает, что м 2 должно быть четным числом.
Почему? Потому что всякий раз, когда мы умножаем на четное число (в данном случае 2), результатом будет четное число.Как это:
| Эксплуатация | Результат | Пример |
|---|---|---|
| Четное × Четное | Даже | 2 × 8 = 16 |
| Четное × Нечетное | Даже | 2 × 7 = 14 |
| Нечетное × Четное | Даже | 5 × 8 = 40 |
| Нечетное × Нечетное | Нечетный | 5 × 7 = 35 |
И если m 2 четное, то m должно быть четным (если m было нечетным, то m 2 также нечетным).Итак:
м — это четное
И все четные числа кратны 2, поэтому m кратно 2 , поэтому m 2 кратно 4 .
И если m 2 кратно 4, тогда n 2 должно быть кратно 2 (помня, что m 2 / n 2 = 2).
А так …
n тоже четное
Но подождите … если и m, и n равны , мы должны иметь возможность упростить дробь m / n.
Пример: 2/12 можно упростить до 1/6
Но мы уже говорили, что это упрощенный …
… и если он еще не упрощен, давайте упростим его сейчас и начнем снова. Но это все равно дает тот же результат: и n, и m равны даже . Что ж, это глупо — мы можем показать, что и n, и m равны , всегда даже , независимо от того, что мы уже упростили дробь. |
Значит, что-то ужасно неправильно … это должно быть наше первое предположение, что квадратный корень из 2 является дробью. Не может быть.
Итак, нельзя записать квадратный корень из 2 в виде дроби .
Иррациональное
Мы называем такие числа «иррациональными» не потому, что они сумасшедшие, а потому, что их нельзя записать в виде отношения (или дроби). И мы говорим:
«Корень квадратный из 2 иррационально»
Считается первым обнаруженным иррациональным числом.Но есть еще много чего.
Reductio ad absurdum
Между прочим, метод, который мы использовали, чтобы доказать это (сначала сделав предположение, а затем проверив, хорошо ли оно работает), называется «доказательство от противного» или «reductio ad absurdum».
Reduction ad absurdum : тип логического аргумента, когда кто-то принимает утверждение ради аргумента и получает абсурдный или нелепый результат, а затем приходит к выводу, что исходное утверждение должно быть ошибочным, поскольку привело к абсурдному результату.(из Википедии)
История
Много лет назад (около 500 г. до н.э.) греческие математики, такие как Пифагор, считали, что все числа могут быть представлены в виде дробей.
И они думали, что числовая прямая полностью состоит из дробей, потому что для любых двух дробей мы всегда можем найти дробь между ними (чтобы мы могли смотреть все ближе и ближе к числовой прямой и находить все больше и больше дробей).
Пример: от 1/4 до 1/2 равно 1/3. Между 1/3 и 1/2 — 2/5, между 1/3 и 2/5 — 3/8 и так далее.
(Примечание: простой способ найти дробь между двумя другими дробями — это сложить верхние и нижние части, так что между 3/8 и 2/5 будет (3 + 2) / (8 + 5) = 5 / 13).
Итак, поскольку этот процесс не имеет конца, таких точек бесконечно много. И это, кажется, заполняет числовую строку, не так ли?
И они были очень довольны этим … пока они не обнаружили, что квадратный корень из 2 составляет , а не дробь , и им пришлось полностью переосмыслить свои идеи!
Заключение
Квадратный корень из 2 «иррациональный» (не может быть записан в виде дроби)… потому что , если бы можно было записать в виде дроби, то у нас был бы абсурдный случай , в котором дробь имела бы четные числа как вверху, так и внизу, и поэтому всегда могла бы быть упрощена.
Доказательство того, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом
Здесь вы можете прочитать пошаговое доказательство с простыми пояснениями того факта, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом. Это наиболее распространенное доказательство этого факта, и оно ведется от противоречия.
Откуда мы знаем, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом? Другими словами, как мы узнаем, что √2 не имеет шаблона в своей десятичной последовательности? Может быть, узор очень хорошо спрятан и действительно длинный, миллиарды цифр?
Вот где приходит математическое доказательство. Доказательство того, что √2 действительно иррациональное, обычно встречается в текстах по математике на уровне колледжа, но уследить за ним несложно. Он вообще не полагается на компьютеры, а вместо этого является «доказательством от противного»: если √2 БЫЛО рациональное число, мы получили бы противоречие.Я призываю всех старшеклассников изучить это доказательство, так как оно очень хорошо иллюстрирует типичное математическое доказательство, и за ним нетрудно следовать.
Доказательство иррациональности квадратного корня из 2
Предположим, √2 — рациональное число. Тогда мы можем написать это √2 = a / b , где a , b — целые числа, b не ноль.
Мы дополнительно предполагаем, что этот a / b упрощен до наименьших значений, поскольку это, очевидно, может быть сделано с любой дробью.Обратите внимание, что для того, чтобы a / b было в простейших терминах, оба из a и b не могут быть четными. Один или оба должны быть нечетными. В противном случае мы могли бы дополнительно упростить a / b .
Из равенства √2 = a / b следует, что 2 = a 2 / b 2 или a 2 = 2 · b 2 . Таким образом, квадрат на — четное число, так как оно вдвое больше.
Из этого мы знаем, что сам по себе — это , также — четное число. Почему? Потому что это не может быть странным; если сам по себе был нечетным, то a · a тоже было бы нечетным. Нечетное число, умноженное на нечетное, всегда нечетное. Проверь, если мне не веришь!
Хорошо, если само по себе четное число, тогда — это 2-кратное другое целое число. В символах a = 2k, где k — это другое число. Нам не нужно знать, что такое k; это не имеет значения.Вскоре возникает противоречие.
Если мы подставим a = 2k в исходное уравнение 2 = a 2 / b 2 , мы получим:
| 2 | = | (2k) 2 / b 2 |
| 2 | = | 4k 2 / b 2 |
| 2 * b 2 | = | 169 4k 2k|
| б 2 | = | 2к 2 |
Это означает, что b 2 является четным, из чего снова следует, что b сам является четным.И это противоречие !!!
ПОЧЕМУ это противоречие? Потому что мы начали весь процесс, предполагая, что a / b был упрощен до минимальных значений, а теперь оказывается, что a и b оба будут четными. Мы пришли к противоречию; таким образом, наше первоначальное предположение (что √2 рационально) неверно. Следовательно, √2 не может быть рациональным.
Иррациональные числа; Рациональные квадратные корни
Как определить, является ли корень 10 завершающим, повторяющимся десятичным числом или иррациональным числом? Некоторые квадратные корни рациональны?
Квадратный корень из 2 (√2)
Здесь мы определим, проанализируем, упростим и вычислим квадратный корень из 2.Начнем с определения, а затем ответим на несколько общих вопросы о квадратном корне из 2. Затем мы покажем вам различные способы вычисления квадратного корня из 2 с учетом и без компьютер или калькулятор. У нас есть чем поделиться, так что приступим!
Корень квадратный из 2 определения
Квадратный корень из 2 в математической форме записывается со знаком корня √2. Мы называем это квадратным корнем из 2 в радикальной форме. Квадратный корень из 2 — это величина (q), которая при умножении сама на себя будет равна 2.
√2 = q × q = q 2
Является ли 2 полным квадратом?
2 — это полный квадрат, если квадратный корень из 2 равен целому числу. Как мы подсчитали дальше на этой странице квадратный корень из 2 не является целым числом.
2 — не идеальный квадрат.
Квадратный корень из 2 является рациональным или иррациональным?
Квадратный корень из 2 является рациональным числом, если 2 — полный квадрат. Это иррациональное число, если оно не является полным квадратом.Поскольку 2 не является полным квадратом, это иррациональное число. Это означает, что ответ на «квадратный корень из 2?» будет бесконечное число десятичных знаков. Десятичные дроби не прерываются, и вы не можете преобразовать их в точную дробь.
√2 — иррациональное число
Можно ли упростить квадратный корень из 2?
Вы можете упростить 2, если можете сделать 2 внутри корня меньше. Мы называем этот процесс «упрощением сурда». Квадратный корень из 2 нельзя упростить.
√2 уже находится в простейшей радикальной форме.
Как вычислить квадратный корень из 2 на калькуляторе
Самый простой и утомительный способ вычислить квадратный корень из 2 — это использовать калькулятор! Просто введите 2, а затем √x, чтобы получить ответ. Мы сделали это с помощью нашего калькулятора и получили следующий ответ с 9 десятичными числами:
√2 ≈ 1,414213562
Как вычислить квадратный корень из 2 на компьютере
Если вы используете компьютер с Excel или Numbers, вы можете ввести SQRT (2) в ячейку, чтобы получить квадратный корень из 2.Ниже показан результат с 13 знаками после запятой. Мы называем это квадратным корнем из 2 в десятичной форме.
КОРЕНЬ (2) ≈ 1,4142135623731
Каков квадратный корень из 2 с округлением?
Квадратный корень из 2, округленный до ближайшей десятой, означает, что вам нужна одна цифра после десятичной точки. Квадратный корень из 2, округленный до сотых, означает, что вы хотите две цифры после десятичной точки. Квадратный корень из 2, округленный до ближайшей тысячной, означает, что вам нужны три цифры после десятичной точки.
10-я: √2 ≈ 1,4
100-я: √2 ≈ 1,41
1000-я: √2 ≈ 1,414
Что такое квадратный корень из 2 в виде дроби?
Как мы уже говорили выше, поскольку квадратный корень из 2 является иррациональным числом, мы не можем превратить его в точную дробь. Однако мы можем преобразовать его в приблизительную дробь, используя квадратный корень из 2, округленный до ближайшей сотой.
√2
≈ 1,41 / 1
≈ 141/100
≈ 1 41/100
Что такое квадратный корень из 2, записанный с показателем степени?
Все квадратные корни можно преобразовать в число (основание) с дробной степенью.Квадратный корень из 2 — не исключение. Вот правило и ответ в «квадратный корень из 2, преобразованный в основание с показателем степени?»:
√b = b ½
√2 = 2 ½
Как найти квадратный корень из 2 методом деления в длину
Здесь мы покажем вам, как вычислить квадратный корень из 2 с помощью метода деления в длину с точностью до одного десятичного знака. Это потерянный искусство того, как они вычисляли квадратный корень из 2 вручную до того, как были изобретены современные технологии.
Шаг 1)
Установите 2 пары из двух цифр справа налево и присоедините один набор 00, потому что нам нужен один десятичный знак:
Шаг 2)
Начиная с первого набора: наибольший полный квадрат, меньший или равный 2, равен 1, а квадратный корень из 1 равен 1. Таким образом, поместите 1 вверху и 1 внизу, как это:
Шаг 3)
Вычислите 2 минус 1 и укажите разницу ниже. Затем перейдите к следующему набору чисел.
Шаг 4)
Удвойте число, выделенное зеленым сверху: 1 × 2 = 2. Затем используйте 2 и нижнее число, чтобы решить эту задачу:
2? ×? ≤ 100
Знаки вопроса «пустые» и такие же «пустые». Методом проб и ошибок мы обнаружили, что наибольшее число «пробел» может быть равно 4. Теперь введите 4 сверху:
Вот и все! Ответ сверху. Квадратный корень из 2 с точностью до одной десятичной дроби равен 1,4.
Квадратный корень числа
Введите другое число в поле ниже, чтобы получить квадратный корень из числа и другую подробную информацию, как вы получили для 2 на этой странице.
Банкноты
Помните, что отрицательное умножение на отрицательное равно положительному. Таким образом, квадратный корень из 2 не только дает положительный ответ. что мы объяснили выше, но также и отрицательный аналог.
На этой странице мы часто упоминаем точные квадратные корни. Вы можете использовать список идеальных квадратов для справки.
Квадратный корень из 3
Вот следующее число в нашем списке, о котором у нас есть столь же подробная информация о квадратном корне.
Авторские права | Политика конфиденциальности | Заявление об ограничении ответственности | Контакт
Квадратный корень из «2» | Shutha
введение
Это число равно 1.414, с точностью до трех десятичных знаков, но проще, если вместо этого рассматривать его как 1,4. Это может показаться неясным, но значение √2 используется в нескольких местах, о которых вы, возможно, не знаете.
Углы печати точек
РИСУНОК 1
Черные точки на печатном изображении установлены под углом 45 ° для получения наилучшего точечного рисунка. Это означает, что напечатанные точки расположены под углом 45 ° к пикселям изображения, из которых они были созданы.Поскольку пиксели остаются горизонтальными и вертикальными, черные точки принтера теперь располагаются по диагонали, которая в √2 раза длиннее. Поскольку длина диагонали увеличилась в 1,4 раза, то разрешение пикселей, передающих информацию точкам, составляет всего 0,71 раза (обратное 1,4). Следовательно, разрешение пикселей необходимо увеличить на 1,4, чтобы в нем содержалось достаточно информации для создания черных точек принтера.
Камера F останавливается
Объектив камеры F Остановки используют явно нечетный набор чисел.Проблема в том, что количество света, попадающего в объектив, определяется площадью диафрагмы; функция в квадрате, а не линейная. Если бы F-стопы увеличивались в 2-х кратной линейной форме (1,2,4,8 …), то экспозиция увеличивалась бы не в два раза, а как квадрат этого значения, что в 4 раза. Открытие диафрагмы на одну ступень диафрагмы увеличило бы экспозицию в четыре раза, так как 2² = 4. Таким образом, необходим набор чисел, который при возведении в квадрат равен 2, чтобы получить требуемую двойную экспозицию. Другими словами, числа должны увеличиваться на √2, так как √2² = 2, чтобы получить удвоенную площадь.
• 1 x √2 = 1,4
• 1,4 x √2 = 2
• 2 x √2 = 2,8
• 2,8 x √2 = 4
• 4 x √2 = 5,6
• 5,6 x √2 = 8 и т. Д.
Отсюда знакомая последовательность 1, 1,4, 2, 2,8 и т. Д., Используемая на объективах фотоаппаратов. Теперь это означает, что одно увеличение на диафрагму увеличивает экспозицию вдвое, а уменьшение на одну ступень уменьшает вдвое.
Метрические форматы бумаги
Метрические размеры бумаги A предназначены для удвоения площади каждого меньшего размера A.