Корень из 2 в степени корень из 2 и в степени корень из 2: Корень из 2 во второй степени

Содержание

Вычисление корня в Python – квадратный, кубический, n-степени

Содержание:развернуть

Если вам нужно найти сторону квадрата, когда известна одна лишь его площадь, или вы намерены рассчитать расстояние между двумя точками в декартовых координатах, то без особого инструмента не обойтись. Математики прошлого придумали для этих вычислений квадратный корень, а разработчики Python воплотили его в функции sqrt().

Но обо всём по порядку.

Что такое квадратный корень

Корнем квадратным из числа "X" называется такое число "Y", которое при возведении его во вторую степень даст в результате то самое число "X".

Операция нахождения числа "Y" называется извлечением квадратного корня из "X". В математике для её записи применяют знак радикала:

Нотация питона отличается в обоих случаях, и возведение в степень записывается при помощи оператора "**":

a = 2 b = a ** 2 print(b) > 4

А квадратный корень в питоне представлен в виде функции sqrt(), которая существует в рамках модуля math. Поэтому, чтобы начать работу с корнями, модуль math нужно предварительно импортировать:

import math

Функция sqrt() принимает один параметр – то число, из которого требуется извлечь квадратный корень. Тип данных возвращаемого значения – float.

import math import random # пример использования функции sqrt() # отыщем корень случайного числа и выведем его на экран rand_num = random.randint(1, 100) sqrt_rand_num = math.sqrt(rand_num) print('Случайное число = ', rand_num) > Случайное число = 49 print('Корень = ', sqrt_rand_num) > Корень = 7.0

Квадратный корень

Положительное число

Именно на работу с неотрицательными числами "заточена" функция sqrt(). Если число больше или равно нулю, то неважно, какой у него тип. Вы можете извлекать корень из целых чисел:

import math print(math.sqrt(100)) > 10.0

А можете – из вещественных:

import math print(math.sqrt(111.5)) > 10.559356040971437

Легко проверить корректность полученных результатов с помощью обратной операции возведения в степень:

print(math.sqrt(70.5)) > 8.396427811873332 # возвести в степень можно так print(8.396427811873332 ** 2) > 70.5 # а можно с помощью функции pow() print(pow(8.396427811873332, 2)) > 70.5

Отрицательное число

Функция sqrt() не принимает отрицательных аргументов. Только положительные целые числа, вещественные числа и ноль.

Такая работа функции идёт вразрез с математическим определением. В математике корень спокойно извлекается из чисел меньше 0. Вот только результат получается комплексным, а таким он нужен для относительно узкого круга реальных задач, вроде расчетов в сфере электроэнергетики или физики волновых явлений.

Поэтому, если передадите отрицательное число в sqrt(), то получите ошибку:

print(math.sqrt(-1)) > ValueError: math domain error

Ноль

Функция sqrt() корректно отрабатывает с нулём на входе. Результат тривиален и ожидаем:

print(math.sqrt(0)) > 0.0

Кубический корень

Само название функции sqrt() намекает нам на то, что она не подходит для извлечения корня степени отличной от двойки. Поэтому для извлечения кубических корней, сначала необходимо вспомнить связь между степенями и корнями, которую продемонстрируем на корне квадратном:

Вышеуказанное соотношение несложно доказать и для других степеней вида

1/n.

# Квадратный корень можно извлечь с помощью операции возведения в степень "**" a = 4 b = a ** 0.5 print(b) > 2.0

В случае с квадратным или кубическим корнем эти операции действительно эквивалентны, но, вообще говоря, в математике извлечение корня и возведение в дробную степень имеют существенные отличия при рациональных степенях вида m/n, где m != 1. Формально, в дробно-рациональную степень можно возводить только положительные вещественные числа. В противном случае возникают проблемы:

👉 Таким образом, извлечь кубический корень в Python можно следующим образом:

print(pow(8, 1/3)) > 2.0

Или же:

print(8 ** (1/3)) > 2.0

Корень n-степени

То, что справедливо для корня третьей степени, справедливо и для корней произвольной степени.

# извлечём корень 17-й степени из числа 5600 x = 5600 y = 17 z = pow(x, (1/y)) print(z) > 1.6614284717080507 # проверяем корректность результата print(pow(z, y)) > 5600.0

Но раз уж мы разбираемся с математической темой, то попытаемся мыслить более обобщённо. С помощью генератора случайных чисел с заданной точностью будем вычислять корень случайной степени из случайного числа:

import random # точность можно задать на ваше усмотрение x = random.randint(1, 10000) y = random.randint(1, 100) z = pow(x, (1 / y)) print('Корень степени', y, 'из числа', x, 'равен', z) # при проверке вероятны незначительные расхождения из-за погрешности вычислений print('Проверка', pow(z, y)) # но специально для вас автор накликал целочисленный результат > Корень степени 17 из числа 6620 равен 1.6778624404513571 > Проверка 6620.0

Решение реальной задачи с использованием sqrt

Корень – дитя геометрии. Когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, людям тут же захотелось вычислять стороны треугольников, проверять прямоту внешних углов и сооружать лестницы нужной длины.

Соотношение a2 + b2 = c2, где "a" и "b" – катеты, а "c" – гипотенуза – естественным образом требует извлекать корни при поиске неизвестной стороны. Python-а под рукой у древних греков и вавилонян не было, поэтому считать приходилось методом приближений. Жизнь стала проще, но расчет теоремы Пифагора никто не отменял и в XXI веке.

📡 Решим задачку про вышку сотовой связи. Заказчик требует рассчитать высоту сооружения, чтобы радиус покрытия был 23 километра. Мы неспешно отходим на заданное расстояние от предполагаемого места строительства и задумчиво смотрим под ноги. В голове появляются очертания треугольника с вершинами:

  1. Ваше местоположение;
  2. Центр Земли;
  3. Пиковая высота вышки;

Модель готова, приступаем к написанию кода:

import math # расстояние от вас до вышки from_you_to_base_station = 23 # радиус земли earth_radius = 6371 # расчет расстояния от центра земли до пика сооружения по теореме Пифагора height = math.sqrt(from_you_to_base_station ** 2 + earth_radius ** 2) # расчет высоты вышки(км) base_station_height = height - earth_radius print('Требуемая высота(м): ', round(base_station_height * 1000)) > Требуемая высота(м): 42

Расчёт выполнен, результат заказчику предоставлен. Можно идти пить чай и радоваться тому, что теперь ещё больше людей смогут звонить родным и сидеть в интернете.

Степени - квадрат и куб, корни - квадратный и кубический и обратные величины чисел от 1 до 100. Таблица степеней от 1 до 100. Таблица корней от 1 до 1000000

Степени - квадрат и куб, корни - квадратный и кубический и обратные величины чисел от 1 до 100. Таблица степеней от 1 до 100. Таблица корней от 1 до 1000000.

1

1

1,00000

1

1,0000

3,1623

1,0000

2,1544

4,6416

8

4

0,50000

2

1,4142

4,4721

1,2599

2,7144

5,8480

27

9

0,33333

3

1,7321

5,4772

1,4422

3,1072

6,6943

64

16

0,25000

4

2,0000

6,3246

1,5874

3,4200

7,3681

125

25

0,20000

5

2,2361

7,0711

1,7100

3,6840

7,9370

216

36

0,16667

6

2,4495

7,7460

1,8171

3,9149

8,4343

343

49

0,14286

7

2,6458

8,3666

1,9129

4,1213

8,8790

512

64

0,12500

8

2,8284

8,9443

2,0000

4,3089

9,2832

729

81

0,11111

9

3,0000

9,4868

2,0801

4,4814

9,6549

1000

100

0,10000

10

3,1623

10,0000

2,1544

4,6416

10,0000

1331

121

0,09091

11

3,3166

10,4881

2,2240

4,7914

10,3228

1728

144

0,08333

12

3,4641

10,9545

2,2894

4,9324

10,6266

2197

169

0,07692

13

3,6056

11,4018

2,3513

5,0658

10,9139

2744

196

0,07143

14

3,7417

11,8322

2,4101

5,1925

11,1869

3375

225

0,06667

15

3,8730

12,2474

2,4662

5,3133

11,4471

4096

256

0,06250

16

4,0000

12,6491

2,5198

5,4288

11,6961

4913

289

0,05882

17

4,1231

13,0384

2,5713

5,5397

11,9348

5832

324

0,05556

18

4,2426

13,4164

2,6207

5,6462

12,1644

6859

361

0,05263

19

4,3589

13,7840

2,6684

5,7489

12,3856

8000

400

0,05000

20

4,4721

14,1421

2,7144

5,8480

12,5992

9261

441

0,04762

21

4,5826

14,4914

2,7589

5,9439

12,8058

10648

484

0,04545

22

4,6904

14,8324

2,8020

6,0368

13,0059

12167

529

0,04348

23

4,7958

15,1658

2,8439

6,1269

13,2001

13824

576

0,04167

24

4,8990

15,4919

2,8845

6,2145

13,3887

15625

625

0,04000

25

5,0000

15,8114

2,9240

6,2996

13,5721

17576

676

0,03846

26

5,0990

16,1245

2,9625

6,3825

13,7507

19683

729

0,03704

27

5,1962

16,4317

3,0000

6,4633

13,9248

21952

784

0,03571

28

5,2915

16,7332

3,0366

6,5421

14,0946

24389

841

0,03448

29

5,3852

17,0294

3,0723

6,6191

14,2604

27000

900

0,03333

30

5,4772

17,3205

3,1072

6,6943

14,4225

29791

961

0,03226

31

5,5678

17,6068

3,1414

6,7679

14,5810

32768

1024

0,03125

32

5,6569

17,8885

3,1748

6,8399

14,7361

35937

1089

0,03030

33

5,7446

18,1659

3,2075

6,9104

14,8881

39304

1156

0,02941

34

5,8310

18,4391

3,2396

6,9795

15,0369

42875

1225

0,02857

35

5,9161

18,7083

3,2711

7,0473

15,1829

46656

1296

0,02778

36

6,0000

18,9737

3,3019

7,1138

15,3262

50653

1369

0,02703

37

6,0828

19,2354

3,3322

7,1791

15,4668

54872

1444

0,02632

38

6,1644

19,4936

3,3620

7,2432

15,6049

59319

1521

0,02564

39

6,2450

19,7484

3,3912

7,3061

15,7406

64000

1600

0,02500

40

6,3246

20,0000

3,4200

7,3681

15,8740

68921

1681

0,02439

41

6,4031

20,2485

3,4482

7,4290

16,0052

74088

1764

0,02381

42

6,4807

20,4939

3,4760

7,4889

16,1343

79507

1849

0,02326

43

6,5574

20,7364

3,5034

7,5478

16,2613

85184

1936

0,02273

44

6,6332

20,9762

3,5303

7,6059

16,3864

91125

2025

0,02222

45

6,7082

21,2132

3,5569

7,6631

16,5096

97336

2116

0,02174

46

6,7823

21,4476

3,5830

7,7194

16,6310

103823

2209

0,02128

47

6,8557

21,6795

3,6088

7,7750

16,7507

110592

2304

0,02083

48

6,9282

21,9089

3,6342

7,8297

16,8687

117649

2401

0,02041

49

7,0000

22,1359

3,6593

7,8837

16,9850

125000

2500

0,02000

50

7,0711

22,3607

3,6840

7,9370

17,0998

132651

2601

0,01961

51

7,1414

22,5832

3,7084

7,9896

17,2130

140608

2704

0,01923

52

7,2111

22,8035

3,7325

8,0415

17,3248

148877

2809

0,01887

53

7,2801

23,0217

3,7563

8,0927

17,4351

157464

2916

0,01852

54

7,3485

23,2379

3,7798

8,1433

17,5441

166375

3025

0,01818

55

7,4162

23,4521

3,8030

8,1932

17,6517

175616

3136

0,01786

56

7,4833

23,6643

3,8259

8,2426

17,7581

185193

3249

0,01754

57

7,5498

23,8747

3,8485

8,2913

17,8632

195112

3364

0,01724

58

7,6158

24,0832

3,8709

8,3396

17,9670

205379

3481

0,01695

59

7,6811

24,2899

3,8930

8,3872

18,0697

216000

3600

0,01667

60

7,7460

24,4949

3,9149

8,4343

18,1712

226981

3721

0,01639

61

7,8102

24,6982

3,9365

8,4809

18,2716

238328

3844

0,01613

62

7,8740

24,8998

3,9579

8,5270

18,3709

250047

3969

0,01587

63

7,9373

25,0998

3,9791

8,5726

18,4691

262144

4096

0,01563

64

8,0000

25,2982

4,0000

8,6177

18,5664

274625

4225

0,01538

65

8,0623

25,4951

4,0207

8,6624

18,6626

287496

4356

0,01515

66

8,1240

25,6905

4,0412

8,7066

18,7578

300763

4489

0,01493

67

8,1854

25,8844

4,0615

8,7503

18,8520

314432

4624

0,01471

68

8,2462

26,0768

4,0817

8,7937

18,9454

328509

4761

0,01449

69

8,3066

26,2679

4,1016

8,8366

19,0378

343000

4900

0,01429

70

8,3666

26,4575

4,1213

8,8790

19,1293

357911

5041

0,01408

71

8,4261

26,6458

4,1408

8,9211

19,2200

373248

5184

0,01389

72

8,4853

26,8328

4,1602

8,9628

19,3098

389017

5329

0,01370

73

8,5440

27,0185

4,1793

9,0041

19,3988

405224

5476

0,01351

74

8,6023

27,2029

4,1983

9,0450

19,4870

421875

5625

0,01333

75

8,6603

27,3861

4,2172

9,0856

19,5743

438976

5776

0,01316

76

8,7178

27,5681

4,2358

9,1258

19,6610

456533

5929

0,01299

77

8,7750

27,7489

4,2543

9,1657

19,7468

474552

6084

0,01282

78

8,8318

27,9285

4,2727

9,2052

19,8319

493039

6241

0,01266

79

8,8882

28,1069

4,2908

9,2443

19,9163

512000

6400

0,01250

80

8,9443

28,2843

4,3089

9,2832

20,0000

531441

6561

0,01235

81

9,0000

28,4605

4,3267

9,3217

20,0830

551368

6724

0,01220

82

9,0554

28,6356

4,3445

9,3599

20,1653

571787

6889

0,01205

83

9,1104

28,8097

4,3621

9,3978

20,2469

592704

7056

0,01190

84

9,1652

28,9828

4,3795

9,4354

20,3279

614125

7225

0,01176

85

9,2195

29,1548

4,3968

9,4727

20,4083

636056

7396

0,01163

86

9,2736

29,3258

4,4140

9,5097

20,4880

658503

7569

0,01149

87

9,3274

29,4958

4,4310

9,5464

20,5671

681472

7744

0,01136

88

9,3808

29,6648

4,4480

9,5828

20,6456

704969

7921

0,01124

89

9,4340

29,8329

4,4647

9,6190

20,7235

729000

8100

0,01111

90

9,4868

30,0000

4,4814

9,6549

20,8008

753571

8281

0,01099

91

9,5394

30,1662

4,4979

9,6905

20,8776

778688

8464

0,01087

92

9,5917

30,3315

4,5144

9,7259

20,9538

804357

8649

0,01075

93

9,6437

30,4959

4,5307

9,7610

21,0294

830584

8836

0,01064

94

9,6954

30,6594

4,5468

9,7959

21,1045

857375

9025

0,01053

95

9,7468

30,8221

4,5629

9,8305

21,1791

884736

9216

0,01042

96

9,7980

30,9839

4,5789

9,8648

21,2532

912673

9409

0,01031

97

9,8489

31,1448

4,5947

9,8990

21,3267

941192

9604

0,01020

98

9,8995

31,3050

4,6104

9,9329

21,3997

970299

9801

0,01010

99

9,9499

31,4643

4,6261

9,9666

21,4723

1000000

10000

0,01000

100

10,0000

31,6228

4,6416

10,0000

21,5443

Возведение в степень и извлечение корня в Excel

Для извлечения корня в Excel и возведения числа в степень используются встроенные функции и математические операторы. Рассмотрим на примерах.

Примеры функции КОРЕНЬ в Excel

Встроенная функция КОРЕНЬ возвращает положительное значение квадратного корня. В меню «Функции» она находится в категории «Математические».

Синтаксис функции: =КОРЕНЬ(число).

Единственный и обязательный аргумент представляет собой положительное число, для которого функция вычисляет квадратный корень. Если аргумент имеет отрицательное значение, Excel вернет ошибку #ЧИСЛО!.

В качестве аргумента можно указывать конкретное значение либо ссылку на ячейку с числовым значением.

Рассмотрим примеры.

Функция вернула квадратный корень числа 36. Аргумент – определенное значение.

Аргумент функции – ссылка на ячейку с положительным значением 36.

Функция вернула ошибку, т.к. аргумент – ссылка на ячейку с отрицательным значением.

Функция ABS возвращает абсолютное значение числа -36. Ее использование позволило избежать ошибки при извлечении квадратного корня из отрицательного числа.».

Обратите внимание! Дробная степень пишется в скобках.

Выполнили ту же задачу, но с использованием функции СТЕПЕНЬ.

Извлекли корень девятой степени из значения ячейки h2.

Извлекли корень пятой степени из суммы числа 9 и значения ячейки h2.

Те же математические операции можно выполнить с помощью функции СТЕПЕНЬ:

Таким образом, возвести в степень и извлечь корень n-й степени в Excel можно с помощью одной функции.

Как написать число в степени

Для корректного отображения числа в степени при демонстрации файла или его печати, необходимо произвести ряд манипуляций:

  1. Щелкаем по ячейке с числом правой кнопкой мыши. Выбираем «Формат ячеек» (или нажмите CTRL+1).
  2. В открывшемся меню переходим на вкладку «Число». Задаем «Текстовый» формат. Текстовый формат для значения в ячейке можно также задать через панель инструментов («Главная» – «Число»). После установки текстового формата цифра в ячейке становится слева.
  3. Рядом с цифрой вводим в ячейку значение со знаком «минус».
  4. Выделяем только значение степени («-3»). Вызываем меню «Формат ячеек». Устанавливаем видоизменение «Надстрочный». И нажимаем ОК.

Получили корректное отображение числа 5 в -3 степени.

%d0%ba%d0%be%d1%80%d0%b5%d0%bd%d1%8c%20n-%d0%b9%20%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bf%d0%b5%d0%bd%d0%b8 — с русского на все языки

Ничего не найдено.

Попробуйте поискать во всех возможных языках

или измените свой поисковый запрос.

См. также в других словарях:

  • 20N — may refer to : * New York State Route 20N * 20 N, an abbreviation for two well known dates in Spanish historyee also* N20 …   Wikipedia

  • 20N — Este artículo trata sobre la conmemoración del aniversario de los fallecimientos de Francisco Franco y José Antonio Primo de Rivera. Para otros acontecimientos relacionados con la fecha, véase 20 de noviembre. Para las elecciones previstas para… …   Wikipedia Español

  • New York State Route 20N — NYS Route 20N Map of the Syracuse area with NY 20N highlighted in red Route information …   Wikipedia

  • List of highways numbered 20N — The following highways are numbered 20N:* (Former) …   Wikipedia

  • New York State Route 20SY — NYS Route 20SY Map of the Syracuse area with NY 20SY highlighted in red Route information …   Wikipedia

  • List of numbered roads in Durham Region — The numbered roads in the Regional Municipality of Durham account for about 832 kilometres (517 mi) of the county road system in the Canadian province of Ontario. The Durham Region Works Department owns and maintains the regional roads and… …   Wikipedia

  • New York State Route 92 — NYS Route 92 Map of the Syracuse area with NY 92 highlighted in red Route information …   Wikipedia

  • New York State Route 173 — NYS Route 173 Map of the Syracuse area with NY 173 highlighted in red Route information …   Wikipedia

  • Doomsday argument — World population from 10,000 BC to AD 2000 The Doomsday argument (DA) is a probabilistic argument that claims to predict the number of future members of the human species given only an estimate of the total number of humans born so far. Simply… …   Wikipedia

  • New York State Route 174 — NYS Route 174 Map of the Syracuse area with NY  …   Wikipedia

  • New York State Route 175 — NYS Route 175 Map of the Syracuse area with NY 175 highlighted in red …   Wikipedia

Корень произвольной степени в Excel

Изучим особенности извлечения корня в Excel: от квадратного и кубического до произвольного корня n-й степени.

Операция нахождения корня числа широко применима в школьной математике (например, в теореме Пифагора и в поиске решений квадратных уравнений), финансовом анализе, или в быту, при определении длины стороны комнаты или участка зная площадь квадрата.

Квадратный корень в Excel

Квадратный корень вероятно является самым популярным среди всех степеней, вследствие чего в Excel существует стандартная функция позволяющая его найти.

Функция КОРЕНЬ в Excel

КОРЕНЬ(число)
Возвращает значение квадратного корня.

  • Число (обязательный аргумент) — число, из которого извлекается квадратный корень.


Обратите внимание, что извлечь корень четной степени (в частности второй) в математике однозначно нельзя.
К примеру, корень из 4 может принимать как положительное значение (+2), так и отрицательное (-2), в связи с этим для четных степеней в Excel для определения знака применяется понятие арифметического корня, значение которого всегда неотрицательно, то есть в примере это число 2.
При работе с данной функцией учитывайте, что если аргумент функции является отрицательным, то в качестве ответа будет возвращена ошибка.
Поэтому найти корень из отрицательных чисел средствами Excel не получится, так как работа с комплексными числами в программе не предусмотрена.

Корень n-й степени в Excel

Для 2-й степени в Excel существует стандартная встроенная функция, но как вычислить корень для степеней большего порядка, в частности, третьей или четвертой степени?
Из школьного курса математики вспомним, что извлечение корня из числа является обратной операцией к возведению числа в степень:


Другими словами, чтобы найти корень n-й степени из числа необходимо возвести данное число в степень 1/n, к примеру, формула КОРЕНЬ эквивалентна возведению в степень 1/2 и т.д.

Примеры

Применим данную формулу для поиска корня 3 степени:


Как видим кубический корень можно извлечь и из отрицательных чисел, и проблемы однозначности при определении знака не стоит. (Shift + 6 на клавиатуре в английской раскладке) можно также использовать функцию СТЕПЕНЬ.

Удачи вам и до скорых встреч на страницах блога Tutorexcel.ru!

Поделиться с друзьями:
Поиск по сайту:

Корень n-ой степени и его свойства.

Корень n-й степени и его свойства. 11 класс.

А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа.

Цели урока:

  • Образовательная: расширить и обобщить знания учащихся по данной теме, овладеть свойствами корня п-ой степени.

  • Развивающая: развитие коммуникативных способностей.

  • Воспитательная: формирование активной жизненной позиции, умение работать и преодолевать трудности, воспитание интереса к предмету.

Средства обучения: карточки, таблицы.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма обучения: индивидуальная и групповая.

Ход урока

«Мышление начинается с удивления»

Аристотель

  1. Организационный момент: приветствие, выявление готовности учащихся к уроку, постановка цели.

  2. Разминка.

  3. Актуализация опорных знаний.

  4. Обобщение и закрепление материала.

Ход урока.

Вопросы для разминки.

  1. Так называют выражение хn. (степень)

  2. Есть у любого слова, у растения, может быть n-й степени. (корень)

  3. Степень корня, кратная 2. (четная)

  4. Степень корня 2 k+1. (нечетная).

  5. Как можно иначе назвать корень третьей степени? (кубический)

  6. Действие, посредством которого отыскивают корень. (извлечение).

  7. Положительный корень. (арифметический).

  8. Как можно иначе назвать арифметический корень второй степени? (квадратный).

Актуализация опорных знаний.

а) Свойства арифметического квадратного корня:

= ∙ , а ≥ 0 , в ≥0

= , а≥0, b0

б) свойства степени с натуральным показателем:

=

Формирование новых знаний. Аналогично определению квадратного корня из числа a определяется корень n-ной степени из числа а, где n- произвольное натуральное число, n1.

Определение. Корнем n-ной степени из числа а называется такое число, n-ная степень которого равна а.

а)

б =2,

в) = -3

Рассмотрим уравнение = a. Число корней этого уравнения зависит от n и a.

Рассмотрим функцию f(x)=. При x и n –любое число- возрастает, и a имеет неотрицательный корень и только один x=.

Определение. Арифметическим корнем n-ной степени из числа a называют неотрицательное число, n -ая степень которого равна a.

При четном n существует два корня n-ной степени из любого положительного числа a, корень четной степени из отрицательных чисел не существует. При нечетном n существует корень n-ной из любого числа a и притом только один.

Краткая запись (в тетради).

n- четное число

=a, a>0

=

X= -

а) = 7 , 7 =343 в)= -3 = -243

основные свойства арифметических корней n-ной степени.

Для любых чисел n € N , k € N, n >1 и k>1 , a>0, b>0 выполняются равенства :

  1. = ;

  2. = ;

  3. = ;

  4. =( ) k

  5. > 0≤ a a>b

Обобщение и закрепление материала.

Задание 1. Вычислите.

а)

б)

в)

Задание2. Докажите:

-=2

Задание3. Вычислите.

1) = = = 2

2) = = =

3) = = -

Трехуровневая самостоятельная работа с целью проверить знания, умения и навыки по теме

« Корень п-ой степени и его свойства»

№ 1. Вычислить (А)

1вариант 2 вариант

  1. 1) ;

  2. 2 ; 2) ∙ ;

  3. ; 3) -6 ∙ ;

№ 2 . Найдите значение выражения (В)


1) ∙ = 1) 7 ∙ =

2) = 2) =

№ 3. Упростите (С)

∙ ∙

Подведение итогов урока

Проверка работы учащихся: выставление оценок.

Корень в python — 6 способов извлечь квадратный корень из числа

Квадратный корень из числа — это значение, которое при умножении само на себя дает исходное число. Каждое положительное число имеет два квадратных корня (то же значение с положительным и отрицательным знаками). Ниже приводится запись квадратного корня:
√25 = ±5

Для отрицательного числа результат извлечения квадратного корня включает комплексные числа, обсуждение которых выходит за рамки данной статьи.

Математическое представление квадрата числа

Все мы в детстве узнали, что, когда число умножается само на себя, мы получаем его квадрат. Также квадрат числа можно представить как многократное умножение этого числа. Попробуем разобраться в этом на примере.

Предположим, мы хотим получить квадрат 5. Если мы умножим число (в данном случае 5) на 5, мы получим квадрат этого числа. Для обозначения квадрата числа используется следующая запись:
52 = 25

При программировании на Python довольно часто возникает необходимость использовать функцию извлечения квадратного корня. Есть несколько способов найти квадратный корень числа в Python.

1. Используя оператор возведения в степень

num = 25
sqrt = num ** (0.5)
print("Квадратный корень из числа "+str(num)+" это "+str(sqrt))

Вывод:

Квадратный корень из числа 25 это 5.0

Объяснение: Мы можем использовать оператор «**» в Python, чтобы получить квадратный корень. Любое число, возведенное в степень 0.5, дает нам квадратный корень из этого числа.

2. Использование math.sqrt()

Квадратный корень из числа можно получить с помощью функции sqrt() из модуля math, как показано ниже. Далее мы увидим три сценария, в которых передадим положительный, нулевой и отрицательный числовые аргументы в sqrt().

a. Использование положительного числа в качестве аргумента.

import math
num = 25
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5.0.

b. Использование ноля в качестве аргумента.

import math
num = 0
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 0 это 0.0.

c. Использование отрицательного числа в качестве аргумента.

import math
num = -25
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод:

Traceback (most recent call last):
  File "C:\wb.py", line 3, in <module>
    sqrt = math.sqrt(num)
ValueError: math domain error

Объяснение: Когда мы передаем отрицательное число в качестве аргумента, мы получаем следующую ошибку «math domain error». Из чего следует, что аргумент должен быть больше 0. Итак, чтобы решить эту проблему, мы должны использовать функцию sqrt() из модуля cmath.

3. Использование cmath.sqrt()

Ниже приведены примеры применения cmath.sqrt().

а. Использование отрицательного числа в качестве аргумента.

import cmath
num = -25
sqrt = cmath.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа -25 это 5j.

Объяснение: Для отрицательных чисел мы должны использовать функцию sqrt() модуля cmath, которая занимается математическими вычислениями над комплексными числами.

b. Использование комплексного числа в качестве аргумента.

import cmath
num = 4 + 9j
sqrt = cmath.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа (4+9j) это (2.6314309606938298+1.7100961671491028j).

Объяснение: Для нахождения квадратного корня из комплексного числа мы также можем использовать функцию cmath.sqrt().

4. Использование np.sqrt()

import numpy as np
num = -25
sqrt = np.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод:

...
RuntimeWarning: invalid value encountered in sqrt
Квадратный корень из числа -25 это nan

5. Использование scipy.sqrt()

import scipy as sc
num = 25
sqrt = sc.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5.0.

Объяснение: Как и функция sqrt() модуля numpy, в scipy квадратный корень из положительных, нулевых и комплексных чисел может быть успешно вычислен, но для отрицательных возвращается nan с RunTimeWarning.

6. Использование sympy.sqrt()

import sympy as smp
num = 25
sqrt = smp.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа "+str(num)+" это "+str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5.

Объяснение: sympy — это модуль Python для символьных вычислений. С помощью функции sympy.sqrt() мы можем получить квадратный корень из положительных, нулевых, отрицательных и комплексных чисел. Единственная разница между этим и другими методами заключается в том, что, если при использовании sympy.sqrt() аргумент является целым числом, то результат также является целым числом, в отличие от других способов, в которых возвращаемое значение всегда число с плавающей точкой, независимо от типа данных аргумента.

Заключение

Наконец, мы подошли к завершению этой статьи. В начале мы кратко затронули использование квадратного корня в математике. Затем мы обсудили принципы внутреннего устройства функции извлечения квадратного корня и ее возможную реализацию. В завершении мы рассмотрели различные методы применения этой функции в Python.

2 \\ 1 && (1., 2.) && 1.5 && 2 <2.25 \\ 2 && (1., 1.5) && 1.25 && 1.5625 <2 \\ 3 && (1,25, 1,5) && 1,375 && 1,8

<2 \\ 4 && (1,375, 1,5) && 1,4375 && 2 <2,06640625 \\ 5 && (1.375, 1.4375) && 1.40625 && 1.97753

<2 \\ 6 && (1.40625, 1.4375) && 1.421875 && 2 <2.021728515625 \\ 7 && (1.40625, 1.421875) && 1.4140625 && 1.999572753

<2 \\ 8 && (1.4140625, 1.421875) && 1.41796875 && 2 <2.0106353759765625 \\ 9 && (1.4140625, 1.41796875) && 1.416015625 && 2 <2.005100250244140625 \ \\ 10 && (1.4140625, 1.416015625) && 1.41503

&& \ 2 <2,002335548400878

\\ 11 && (1.4140625, 1.41503

) && 1.41455078125 && \ 2 <2.00095391273498535156 \ 3 \\ 12 && (1.4140625, 1.41455078125) && 1.414306640625 && \ 2 <2.000263273715972 \\ 13 && (1.4140625, 1.414306640625) && 1.4141845703125 && \ 1.99991799890995025634 \ 8 <2 \\ 14 && (1.4141845703125, 1.414306640625) && 1.41424560546875 && \ 2 <2.000058767127990 \ 7 \\ 15 && (1.4141845703125, 1.41424560546875) && 1.4142150878

&& \ 2 <2.00000431481748819351 \ 2 \\ 16 && (1.4141845703125, 1.4142150878

) && 1.4141998291015625 && \ 1.99996115663088858127 \ 6 <2 \\ 17 && (1.4141998291015625, 1.4142150878

) && 1.41420745849609375 && \ 1.99998273566598072648 <2 \\ 18 && (1.41420745849609375, 1.4142150878

) && \ 1.414211273193359375 && 1.99999352522718254476 \ 8 <2 \\ 19 && (1.414211273193359375, 1.4142150878

) && \ 1.4142131805419921875 && 1.99999892001869739033 \ 3 <2 \\ 20 && (1.4142131805419921875, 1.4142150878

) && \ 1,41421413421630859375 && 2 <2,00000161741718329722 \ конец {выравнивание} \ начало {выравнивание} 21 && (1.4142131805419921875, 1.41421413421630859375) && \ 1.41421365737915039062 \ 5 && 2 <2.00000026871771297010 \ 1 \\ 22 && (1.4142131805419921875, 1.41421365737915039062 \ 5) && \ 1.41421341896057128906 \ 2 && 1.99999959436814833679 \ 8 <2 \\ 23 && (1.41421341896057128906 \ 2, 1.41421365737915039062 \ 5) && \ 1.41421353816986083984 \ 4 && 1.99999993154291644259 \ 5 <2 \\ 24 && (1.41421353816986083984 \ 4, 1.41421365737915039062 \ 5) && \ 1.41421359777450561523 \ 4 && 2 <2.00000010013031115363 \ 4 \\ 25 && (1.41421353816986083984 \ 4, 1.41421359777450561523 \ 4) && \ 1.41421356797218322753 \ 9 && 2 <2.00000001583661290993 \ 6 \\ 26 && (1.41421353816986083984 \ 4, 1.41421356797218322753 \ 9) && \ 1.41421355307102203369 \ 1 && 1.99999997368976445422 \ 1 <2 \\ 27 && (1.41421355307102203369 \ 1, 1.41421356797218322753 \ 9) && \ 1.41421356052160263061 \ 5 && 1.99999999476318862656 \ 8 <2 \\ 28 && (1.41421356052160263061 \ 5, 1.41421356797218322753 \ 9) && \ 1.41421356424689292907 \ 7 && 2 <2.000000005299437 \ 4 \\ 29 && (1.41421356052160263061 \ 5, 1.41421356424689292907 \ 7) && \ 1.41421356238424777984 \ 6 && 2 <2.00000000003154468700 \ 1 \\ 30 && (1.41421356052160263061 \ 5, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356145292520523 && 1.99999999739736665591 \ 7 <2 \\ 31 && (1.41421356145292520523, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356191858649253 \ 8 && 1.99999999871445567124 \ 2 <2 \\ 32 && (1.41421356191858649253 \ 8, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356215141713619 \ 2 && 1.99999999937300017906 \ 8 <2 \\ 33 && (1.41421356215141713619 \ 2, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356226783245801 \ 9 && 1.99999999970227243302 \ 1 <2 \\ 34 && (1.41421356226783245801 \ 9, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356232604011893 \ 3 && 1.999999999866000 \ 8 <2 \\ 35 && (1.41421356232604011893 \ 3, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356235514394938 \ 9 && 1.99999999994922662350 \ 4 <2 \ конец {выравнивание} \ начало {выравнивание} 36 && (1.41421356235514394938 \ 9, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356236969586461 \ 8 && 1.999999999965525 \ 2 <2 \\ 37 && (1.41421356236969586461 \ 8, 1.41421356238424777984 \ 6) && \ 1.41421356237697182223 \ 2 && 2 <2.00000000001096517112 \ 7 \\ 38 && (1.41421356236969586461 \ 8, 1.41421356237697182223 \ 2) && \ 1.41421356237333384342 \ 5 && 2 <2.00000000000067541319 \ 0 \\ 39 && (1.41421356236969586461 \ 8, 1.41421356237333384342 \ 5) && \ 1.41421356237151485402 \ 1 && 1.99999999999553053422 \ 1 <2 \\ 40 && (1.41421356237151485402 \ 1, 1.41421356237333384342 \ 5) && \ 1.41421356237242434872 \ 3 && 1.99999999999810297370 \ 5 <2 \\ 41 && (1.41421356237242434872 \ 3, 1.41421356237333384342 \ 5) && \ 1.41421356237287909607 \ 4 && 1.99999999999938919344 \ 7 <2 \\ 42 && (1.41421356237287909607 \ 4, 1.41421356237333384342 \ 5) && \ 1.41421356237310646974 \ 9 && 2 <2.00000000000003230331 \ 9 \\ 43 && (1.41421356237287909607 \ 4, 1.41421356237310646974 \ 9) && \ 1.41421356237299278291 \ 2 && 1.99999999999971074838 \ 3 <2 \\ 44 && (1.41421356237299278291 \ 2, 1.41421356237310646974 \ 9) && \ 1.41421356237304962633 && 1.99999999999987152585 <2 \\ 45 && (1.41421356237304962633, 1.41421356237310646974 \ 9) && \ 1.41421356237307804804 && 1.99999999999995191458 \ 5 <2 \\ 46 && (1.41421356237307804804, 1.41421356237310646974 \ 9) && \ 1.41421356237309225889 \ 5 && 1.99999999999999210895 \ 2 <2 \\ 47 && (1.41421356237309225889 \ 5, 1.41421356237310646974 \ 9) && \ 1.41421356237309936432 \ 2 && 2 <2.00000000000001220613 \ 5 \\ 48 && (1.41421356237309225889 \ 5, 1.41421356237309936432 \ 2) && \ 1.41421356237309581160 \ 8 && 2 <2.00000000000000215754 \ 3 \\ 49 && (1.41421356237309225889 \ 5, 1.41421356237309581160 \ 8) && \ 1.41421356237309403525 \ 2 && 1.99999999999999713324 \ 7 <2 \\ 50 && (1.41421356237309403525 \ 2, 1.41421356237309581160 \ 8) && \ 1.41421356237309492343 && 1.99999999999999964539 \ 5 <2 \\ 51 && (1.41421356237309492343, 1.41421356237309581160 \ 8) && \ 1.41421356237309536751 \ 9 && 2 <2.000000000000000

\ 9 \\ 52 && (1.41421356237309492343, 1.41421356237309536751 \ 9) && \ 1.41421356237309514547 \ 5 && 2 <2.00000000000000027343 \ 2 \\ 53 && (1.41421356237309492343, 1.41421356237309514547 \ 5) && \ 1.41421356237309503445 \ 2 && 1.99999999999999995941 \ 4 <2 \\ 54 && (1.41421356237309503445 \ 2, 1.41421356237309514547 \ 5) && \ 1.41421356237309508996 \ 3 && 2 <2.00000000000000011642 \ 3 \\ 55 && (1.41421356237309503445 \ 2, 1.41421356237309508996 \ 3) && \ 1.41421356237309506220 \ 8 && 2 <2.00000000000000003791 \ 8 \\ 56 && (1.41421356237309503445 \ 2, 1.41421356237309506220 \ 8) && \ 1.41421356237309504833 && 1.99999999999999999866 \ 6 <2 \\ 57 && (1.41421356237309504833, 1.41421356237309506220 \ 8) && \ 1.41421356237309505526 \ 9 && 2 <2.00000000000000001829 \ 2 \\ 58 && (1.41421356237309504833, 1.41421356237309505526 \ 9) && \ 1.41421356237309505180 \ 0 && 2 <2.00000000000000000847 \ 9 \\ 59 && (1.41421356237309504833, 1.41421356237309505180 \ 0) && \ 1.41421356237309505006 \ 5 && 2 <2.00000000000000000357 \ 3 \\ 60 && (1.41421356237309504833, 1.41421356237309505006 \ 5) && \ 1.41421356237309504919 \ 7 && 2 <2.00000000000000000111 \ 9 \\ 61 && (1.41421356237309504833, 1.41421356237309504919 \ 7) && \ 1.41421356237309504876 \ 4 && 1.99999999999999999989 \ 3 <2 \\ 62 && (1.41421356237309504876 \ 4, 1.41421356237309504919 \ 7) && \ 1.41421356237309504898 && 2 <2.00000000000000000050 \ 6 \\ 63 && (1.41421356237309504876 \ 4, 1.41421356237309504898) && \ 1.41421356237309504887 \ 2 && 2 <2.00000000000000000019 \ 9 \\ 64 && (1.41421356237309504876 \ 4, 1.41421356237309504887 \ 2) && \ 1.41421356237309504881 \ 8 && 2 <2.00000000000000000004 \ 6 \\ 65 && (1.41421356237309504876 \ 4, 1.41421356237309504881 \ 8) && \ 1.41421356237309504879 && 1.99999999999999999996 \ 9 <2 \\ 66 && (1.41421356237309504879, 1.41421356237309504881 \ 8) && \ 1.41421356237309504880 \ 4 && 2 <2.00000000000000000000 \ 8 \\ 67 && (1.41421356237309504879, 1.41421356237309504880 \ 4) && \ 1.41421356237309504879 \ 8 && 1.99999999999999999998 \ 9 <2 \\ 68 && (1.41421356237309504879 \ 8, 1.41421356237309504880 \ 4) && \ 1.41421356237309504880 \ 1 && 1.99999999999999999999 \ 8 <2 \\ 69 && (1.41421356237309504880 \ 1, 1.41421356237309504880 \ 4) && \ 1.41421356237309504880 \ 3 && 2 <2.00000000000000000000 \ 3 \ end {align}

квадратный корень из 2 - как найти квадратный корень из 2?

Квадратный корень из 2 выражается как √2 в радикальной форме и как (2) ½ или (2) 0,5 в экспоненциальной форме. Квадратный корень из 2, округленный до 10 десятичных знаков, равен 1,4142135624. Это положительное решение уравнения x 2 = 2.

  • Квадратный корень из 2: 1,4142135623730951
  • Квадратный корень из 2 в экспоненциальной форме: (2) ½ или (2) 0.5
  • Квадратный корень из 2 в радикальной форме: √2

Что такое квадратный корень из 2?

Квадратный корень - это просто операция, обратная квадрату. Квадратный корень из 2 представлен как 2. Это число, умноженное на само себя, дает нам результат 2. В древние времена греки нашли число, которое никогда не может быть записано в форме p / q. , где p, q - целые числа, а q не равно 0. Это означает, что 2 нерационально. 2 оказывается очень полезным в геометрии. Допустим, у нас есть квадрат со стороной 1, и вы хотите найти длину диагонали.

Чтобы найти третью сторону, воспользуемся теоремой Пифагора. Третья сторона будет 2. Найдем число 2 на числовой прямой. Мы будем использовать преобразование квадрата, которое мы использовали для обнаружения 2. Назовем вершины квадрата, как показано. Оставим вершину O равной 0. Мы уже обнаружили, что OB = 2

С помощью циркуля с центром O и радиусом OB начертите дугу, пересекающую числовую прямую в точке P.

Точка P соответствует 2 на числовой прямой.

Является квадратный корень из 2 рациональным или иррациональным?

Фактическое значение 2. не определено. Значение 2 до 25 знаков после запятой составляет 1,4142135623730950488016887 ..
В настоящее время известно значение 2 с точностью до 1 триллиона десятичных знаков.
Следовательно, 2 иррационально.

Важные примечания:

  • 2 также называется постоянной Пифагора.
  • 2 представляет собой диагональ единичного квадрата.
  • 2 было первым числом, которое было обнаружено как иррациональное число.
  • Его десятичное представление не завершается и не повторяется.
  • Соотношение длинного края и короткого края листа бумаги формата A4 равно 2.

Как найти квадратный корень из 2?

Мы можем найти квадратный корень из 2 двумя следующими способами:

  • Метод длинного деления
  • Метод оценки и приближения

Квадратный корень из 2 методом длинного деления

Значение квадратного корня из 2 методом длинного деления состоит из следующих шагов:

  • Шаг 1 : Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен числу 2.Возьмите это число как делитель и частное (в данном случае 1). Разделите и запишите остаток.
  • Шаг 2 : В частном поставьте десятичную точку после 1. Введите два нуля справа от остатка. Итак, новый дивиденд составляет 100
  • Шаг 3: Удвойте делитель и введите его с пробелом справа. Угадайте максимально возможную цифру, чтобы заполнить пробел, который также станет новой цифрой в частном, так что, когда новый делитель умножается на новое частное, произведение меньше или равно деленному.Разделите и запишите остаток. Повторите этот процесс, чтобы получить нужные десятичные разряды.

Корень квадратный из 2 методом оценки и приближения

Мы можем использовать формулу y = x, чтобы найти значение 2.

Эту формулу можно записать как

((х / у) + у) / 2

Формула итерации:

y n + 1 = ((x / y n ) + y n ) / 2

Первые три итерации дают результат, показанный ниже.Сначала установите y 1 = 1

  • Итерация 1: y 1 = (2 + 1) / 2 = 1,5
  • Итерация 2: y 2 = (4/3 + 3/2) / 2 = 1,4166
  • Итерация 3: y 3 = (24/17 + 17/12) / 2 = 1,414215 ...

Вы заметили, что он начинает превращаться в 2 = 1,41421356237309?

Изучите квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров

Аналитический центр:

  • Можете ли вы представить себе квадратное уравнение с корнем 2?
  • Поскольку (- 2) 2 = 2, можем ли мы сказать, что - 2 также является квадратным корнем из 2?

Квадратный корень из 2 решенных примеров

  1. Пример 1 : Найдите длину диагонали квадрата, состоящего из 4 единичных квадратов.

    Решение

    Мы знаем, что длина диагонали 1 единицы квадрата составляет 2 единицы. Чтобы найти диагональ, нам нужно рассмотреть длину диагонали в 2 единичных квадрата.
    Диагональ 1 единицы квадрата = 2 единицы
    Сумма диагонали двух квадратов = 2 2 единицы
    Следовательно, длина диагонали 2 2 единицы.

  2. Пример 2 : Какой была бы длина диагонали торта квадратной формы, если каждая сторона состоит из 2 единиц? (Запишите ответ в десятичной форме до 3 знаков после запятой)

    Решение

    Дано, сторона квадратного торта = 2 шт.
    Используя теорему Пифагора,
    Диагональ квадрата = √2a
    Диагональ = √2 × 2 = 2.828 шт.

  3. Пример: Если площадь равностороннего треугольника равна 2√3 в 2 . Найдите длину одной из сторон треугольника.

    Решение:

    Пусть 'a' будет длиной одной из сторон равностороннего треугольника.
    ⇒ Площадь равностороннего треугольника = (√3 / 4) a 2 = 2√3 дюйма 2
    ⇒ a = ± √8 в
    Поскольку длина не может быть отрицательной,
    ⇒ a = √8 = 2 √2
    Мы знаем, что квадратный корень из 2 равен 1.414.
    ⇒ a = 2,828 дюйм

перейти к слайду перейти к слайду

Как ваш ребенок может усвоить математические понятия?

Мастерство математики приходит с практикой и пониманием «почему», стоящего за «что». Почувствуйте разницу Cuemath.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 2

Чему равен квадратный корень из 2?

Квадратный корень из 2 равен 1,41421.

Почему квадратный корень из 2 является иррациональным числом?

Число 2 простое. Это означает, что число 2 беспарно и не в степени 2. Следовательно, квадратный корень из 2 иррационален.

Если квадратный корень 2 равен 1,414. Найдите значение квадратного корня 0,02.

Представим √0,02 в форме p / q, т.е. √ (2/100) = 0,02 / 10 = 0,141. Следовательно, значение √0,02 = 0,141

Число 2 - это идеальный квадрат?

Число 2 простое.Это означает, что квадратный корень из 2 не может быть выражен как произведение двух равных целых чисел. Следовательно, число 2 не является идеальным квадратом.

Что такое квадратный корень из -2?

Квадратный корень из -2 - мнимое число. Его можно записать как √-2 = √-1 × √2 = i √2 = 1.414i
где i = √-1 и называется мнимой единицей.

Что такое квадратный корень из 17 2?

Квадратный корень из 2 равен 1,414. Следовательно, 17 √2 = 17 × 1,414 = 24,042.

Иррациональность квадратного корня из 2.

Иррациональность квадратного корня из 2.
Понимание математики по Питер Альфельд, Кафедра математики, Университет Юты

Почему квадратный корень из 2 иррационален?

Это было одно из самых удивительных открытий Пифагорейской школы греческих математиков, которые существуют иррациональные числа.По словам Куранта и Роббинса в «Что такое математика»: Это откровение было высшим научным событием. важность. Вполне возможно, что это означало происхождение того, что мы учтите, что именно греческий вклад в строгие процедура в математике. Конечно, это глубоко затронули математику и философию со времен Греки до наших дней.

В частности, греки обнаружили, что диагональ квадрат со сторонами равной 1 единице имеет диагональ, длина не может быть рациональной. По теореме Пифагора длина диагонали равна квадратному корню из 2. Итак, квадратный корень из 2 иррационален!

Следующее доказательство является классическим примером доказательства , проведенного противоречие: Мы хотим показать, что A истинно, поэтому мы предположить, что это не так, и придем к противоречию.Таким образом, A должен быть правда ведь в математике нет противоречий!


Мелкий шрифт, ваши комментарии, дополнительные ссылки, Питер Альфельд, PA1UM

[16 августа 1996 г.]

Почему квадратный корень из 2 иррационален

Квадратный корень из 2

Является ли квадратный корень из 2 дробью?

Давайте предположим , что это так, и посмотрим, что произойдет.

Если это дробь, то мы должны иметь возможность записать ее в виде упрощенной дроби, например:

м / п

(m и n - целые числа)

И мы надеемся, что возведя его в квадрат, мы получим 2:

(м / п) 2 = 2

, что совпадает с

м 2 / n 2 = 2

или, другими словами, m 2 вдвое больше n 2 :

м 2 = 2 × n 2

Попробуйте сами

Посмотрите, сможете ли вы найти значение для m и n , которое работает!

Пример : попробуем m = 17 и n = 12 :

м / п = 17/12

Когда мы возведем в квадрат, мы получим

17 2 /12 2 = 289/144 = 2.0069444 ...

Что близко к 2, но не совсем верно

Как видите, мы действительно хотим, чтобы m 2 было дважды n 2 (289 примерно вдвое 144). Вы можете лучше?

Четное и нечетное

Теперь давайте примем идею, что m 2 = 2 × n 2

На самом деле это означает, что м 2 должно быть четным числом.

Почему? Потому что всякий раз, когда мы умножаем на четное число (в данном случае 2), результатом будет четное число.Как это:

Эксплуатация Результат Пример
Четное × Четное Даже 2 × 8 = 16
Четное × Нечетное Даже 2 × 7 = 14
Нечетное × Четное Даже 5 × 8 = 40
Нечетное × Нечетное Нечетный 5 × 7 = 35

И если m 2 четное, то m должно быть четным (если m было нечетным, то m 2 также нечетным).Итак:

м - это четное

И все четные числа кратны 2, поэтому m кратно 2 , поэтому m 2 кратно 4 .

И если m 2 кратно 4, тогда n 2 должно быть кратно 2 (помня, что m 2 / n 2 = 2).

А так ...

n тоже четное

Но подождите ... если и m, и n равны , мы должны иметь возможность упростить дробь m / n.

Пример: 2/12 можно упростить до 1/6

Но мы уже говорили, что это упрощенный ...

... и если он еще не упрощен, давайте упростим его сейчас и начнем снова. Но это все равно дает тот же результат: и n, и m равны даже .

Что ж, это глупо - мы можем показать, что и n, и m равны , всегда даже , независимо от того, что мы уже упростили дробь.

Значит, что-то ужасно неправильно ... это должно быть наше первое предположение, что квадратный корень из 2 является дробью. Не может быть.

Итак, нельзя записать квадратный корень из 2 в виде дроби .

Иррациональное

Мы называем такие числа «иррациональными» не потому, что они сумасшедшие, а потому, что их нельзя записать в виде отношения (или дроби). И мы говорим:

«Корень квадратный из 2 иррационально»

Считается первым обнаруженным иррациональным числом.Но есть еще много чего.

Reductio ad absurdum

Между прочим, метод, который мы использовали, чтобы доказать это (сначала сделав предположение, а затем проверив, хорошо ли оно работает), называется «доказательство от противного» или «reductio ad absurdum».

Reduction ad absurdum : тип логического аргумента, когда кто-то принимает утверждение ради аргумента и получает абсурдный или нелепый результат, а затем приходит к выводу, что исходное утверждение должно быть ошибочным, поскольку привело к абсурдному результату.(из Википедии)

История

Много лет назад (около 500 г. до н.э.) греческие математики, такие как Пифагор, считали, что все числа могут быть представлены в виде дробей.

И они думали, что числовая прямая полностью состоит из дробей, потому что для любых двух дробей мы всегда можем найти дробь между ними (чтобы мы могли смотреть все ближе и ближе к числовой прямой и находить все больше и больше дробей).

Пример: от 1/4 до 1/2 равно 1/3. Между 1/3 и 1/2 - 2/5, между 1/3 и 2/5 - 3/8 и так далее.

(Примечание: простой способ найти дробь между двумя другими дробями - это сложить верхние и нижние части, так что между 3/8 и 2/5 будет (3 + 2) / (8 + 5) = 5 / 13).

Итак, поскольку этот процесс не имеет конца, таких точек бесконечно много. И это, кажется, заполняет числовую строку, не так ли?

И они были очень довольны этим ... пока они не обнаружили, что квадратный корень из 2 составляет , а не дробь , и им пришлось полностью переосмыслить свои идеи!

Заключение

Квадратный корень из 2 «иррациональный» (не может быть записан в виде дроби)... потому что , если бы можно было записать в виде дроби, то у нас был бы абсурдный случай , в котором дробь имела бы четные числа как вверху, так и внизу, и поэтому всегда могла бы быть упрощена.

Доказательство того, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом

Здесь вы можете прочитать пошаговое доказательство с простыми пояснениями того факта, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом. Это наиболее распространенное доказательство этого факта, и оно ведется от противоречия.

Откуда мы знаем, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом? Другими словами, как мы узнаем, что √2 не имеет шаблона в своей десятичной последовательности? Может быть, узор очень хорошо спрятан и действительно длинный, миллиарды цифр?

Вот где приходит математическое доказательство. Доказательство того, что √2 действительно иррациональное, обычно встречается в текстах по математике на уровне колледжа, но уследить за ним несложно. Он вообще не полагается на компьютеры, а вместо этого является «доказательством от противного»: если √2 БЫЛО рациональное число, мы получили бы противоречие.Я призываю всех старшеклассников изучить это доказательство, так как оно очень хорошо иллюстрирует типичное математическое доказательство, и за ним нетрудно следовать.

Доказательство иррациональности квадратного корня из 2

Предположим, √2 - рациональное число. Тогда мы можем написать это √2 = a / b , где a , b - целые числа, b не ноль.

Мы дополнительно предполагаем, что этот a / b упрощен до наименьших значений, поскольку это, очевидно, может быть сделано с любой дробью.Обратите внимание, что для того, чтобы a / b было в простейших терминах, оба из a и b не могут быть четными. Один или оба должны быть нечетными. В противном случае мы могли бы дополнительно упростить a / b .

Из равенства √2 = a / b следует, что 2 = a 2 / b 2 или a 2 = 2 · b 2 . Таким образом, квадрат на - четное число, так как оно вдвое больше.

Из этого мы знаем, что сам по себе - это , также - четное число. Почему? Потому что это не может быть странным; если сам по себе был нечетным, то a · a тоже было бы нечетным. Нечетное число, умноженное на нечетное, всегда нечетное. Проверь, если мне не веришь!

Хорошо, если само по себе четное число, тогда - это 2-кратное другое целое число. В символах a = 2k, где k - это другое число. Нам не нужно знать, что такое k; это не имеет значения.Вскоре возникает противоречие.

Если мы подставим a = 2k в исходное уравнение 2 = a 2 / b 2 , мы получим:

169 4k 2k
2 = (2k) 2 / b 2
2 = 4k 2 / b 2
2 * b 2 =
б 2 = 2

Это означает, что b 2 является четным, из чего снова следует, что b сам является четным.И это противоречие !!!

ПОЧЕМУ это противоречие? Потому что мы начали весь процесс, предполагая, что a / b был упрощен до минимальных значений, а теперь оказывается, что a и b оба будут четными. Мы пришли к противоречию; таким образом, наше первоначальное предположение (что √2 рационально) неверно. Следовательно, √2 не может быть рациональным.

Иррациональные числа; Рациональные квадратные корни
Как определить, является ли корень 10 завершающим, повторяющимся десятичным числом или иррациональным числом? Некоторые квадратные корни рациональны?

Квадратный корень из 2 (√2)



Здесь мы определим, проанализируем, упростим и вычислим квадратный корень из 2.Начнем с определения, а затем ответим на несколько общих вопросы о квадратном корне из 2. Затем мы покажем вам различные способы вычисления квадратного корня из 2 с учетом и без компьютер или калькулятор. У нас есть чем поделиться, так что приступим!



Корень квадратный из 2 определения
Квадратный корень из 2 в математической форме записывается со знаком корня √2. Мы называем это квадратным корнем из 2 в радикальной форме. Квадратный корень из 2 - это величина (q), которая при умножении сама на себя будет равна 2.

√2 = q × q = q 2



Является ли 2 полным квадратом?
2 - это полный квадрат, если квадратный корень из 2 равен целому числу. Как мы подсчитали дальше на этой странице квадратный корень из 2 не является целым числом.

2 - не идеальный квадрат.



Квадратный корень из 2 является рациональным или иррациональным?
Квадратный корень из 2 является рациональным числом, если 2 - полный квадрат. Это иррациональное число, если оно не является полным квадратом.Поскольку 2 не является полным квадратом, это иррациональное число. Это означает, что ответ на «квадратный корень из 2?» будет бесконечное число десятичных знаков. Десятичные дроби не прерываются, и вы не можете преобразовать их в точную дробь.

√2 - иррациональное число



Можно ли упростить квадратный корень из 2?
Вы можете упростить 2, если можете сделать 2 внутри корня меньше. Мы называем этот процесс «упрощением сурда». Квадратный корень из 2 нельзя упростить.

√2 уже находится в простейшей радикальной форме.



Как вычислить квадратный корень из 2 на калькуляторе
Самый простой и утомительный способ вычислить квадратный корень из 2 - это использовать калькулятор! Просто введите 2, а затем √x, чтобы получить ответ. Мы сделали это с помощью нашего калькулятора и получили следующий ответ с 9 десятичными числами:

√2 ≈ 1,414213562



Как вычислить квадратный корень из 2 на компьютере
Если вы используете компьютер с Excel или Numbers, вы можете ввести SQRT (2) в ячейку, чтобы получить квадратный корень из 2.Ниже показан результат с 13 знаками после запятой. Мы называем это квадратным корнем из 2 в десятичной форме.

КОРЕНЬ (2) ≈ 1,4142135623731



Каков квадратный корень из 2 с округлением?
Квадратный корень из 2, округленный до ближайшей десятой, означает, что вам нужна одна цифра после десятичной точки. Квадратный корень из 2, округленный до сотых, означает, что вы хотите две цифры после десятичной точки. Квадратный корень из 2, округленный до ближайшей тысячной, означает, что вам нужны три цифры после десятичной точки.

10-я: √2 ≈ 1,4

100-я: √2 ≈ 1,41

1000-я: √2 ≈ 1,414



Что такое квадратный корень из 2 в виде дроби?
Как мы уже говорили выше, поскольку квадратный корень из 2 является иррациональным числом, мы не можем превратить его в точную дробь. Однако мы можем преобразовать его в приблизительную дробь, используя квадратный корень из 2, округленный до ближайшей сотой.

√2
≈ 1,41 / 1
≈ 141/100
≈ 1 41/100



Что такое квадратный корень из 2, записанный с показателем степени?
Все квадратные корни можно преобразовать в число (основание) с дробной степенью.Квадратный корень из 2 - не исключение. Вот правило и ответ в «квадратный корень из 2, преобразованный в основание с показателем степени?»:

√b = b ½

√2 = 2 ½



Как найти квадратный корень из 2 методом деления в длину
Здесь мы покажем вам, как вычислить квадратный корень из 2 с помощью метода деления в длину с точностью до одного десятичного знака. Это потерянный искусство того, как они вычисляли квадратный корень из 2 вручную до того, как были изобретены современные технологии.

Шаг 1)
Установите 2 пары из двух цифр справа налево и присоедините один набор 00, потому что нам нужен один десятичный знак:




Шаг 2)
Начиная с первого набора: наибольший полный квадрат, меньший или равный 2, равен 1, а квадратный корень из 1 равен 1. Таким образом, поместите 1 вверху и 1 внизу, как это:


Шаг 3)
Вычислите 2 минус 1 и укажите разницу ниже. Затем перейдите к следующему набору чисел.


Шаг 4)
Удвойте число, выделенное зеленым сверху: 1 × 2 = 2. Затем используйте 2 и нижнее число, чтобы решить эту задачу:

2? ×? ≤ 100

Знаки вопроса «пустые» и такие же «пустые». Методом проб и ошибок мы обнаружили, что наибольшее число «пробел» может быть равно 4. Теперь введите 4 сверху:


Вот и все! Ответ сверху. Квадратный корень из 2 с точностью до одной десятичной дроби равен 1,4.

Квадратный корень числа
Введите другое число в поле ниже, чтобы получить квадратный корень из числа и другую подробную информацию, как вы получили для 2 на этой странице.


Банкноты
Помните, что отрицательное умножение на отрицательное равно положительному. Таким образом, квадратный корень из 2 не только дает положительный ответ. что мы объяснили выше, но также и отрицательный аналог.

На этой странице мы часто упоминаем точные квадратные корни. Вы можете использовать список идеальных квадратов для справки.


Квадратный корень из 3
Вот следующее число в нашем списке, о котором у нас есть столь же подробная информация о квадратном корне.


Авторские права | Политика конфиденциальности | Заявление об ограничении ответственности | Контакт

Квадратный корень из "2" | Shutha

введение

Это число равно 1.414, с точностью до трех десятичных знаков, но проще, если вместо этого рассматривать его как 1,4. Это может показаться неясным, но значение √2 используется в нескольких местах, о которых вы, возможно, не знаете.

Углы печати точек

РИСУНОК 1

Черные точки на печатном изображении установлены под углом 45 ° для получения наилучшего точечного рисунка. Это означает, что напечатанные точки расположены под углом 45 ° к пикселям изображения, из которых они были созданы.Поскольку пиксели остаются горизонтальными и вертикальными, черные точки принтера теперь располагаются по диагонали, которая в √2 раза длиннее. Поскольку длина диагонали увеличилась в 1,4 раза, то разрешение пикселей, передающих информацию точкам, составляет всего 0,71 раза (обратное 1,4). Следовательно, разрешение пикселей необходимо увеличить на 1,4, чтобы в нем содержалось достаточно информации для создания черных точек принтера.

Камера F останавливается

Объектив камеры F Остановки используют явно нечетный набор чисел.Проблема в том, что количество света, попадающего в объектив, определяется площадью диафрагмы; функция в квадрате, а не линейная. Если бы F-стопы увеличивались в 2-х кратной линейной форме (1,2,4,8 ...), то экспозиция увеличивалась бы не в два раза, а как квадрат этого значения, что в 4 раза. Открытие диафрагмы на одну ступень диафрагмы увеличило бы экспозицию в четыре раза, так как 2² = 4. Таким образом, необходим набор чисел, который при возведении в квадрат равен 2, чтобы получить требуемую двойную экспозицию. Другими словами, числа должны увеличиваться на √2, так как √2² = 2, чтобы получить удвоенную площадь.
• 1 x √2 = 1,4
• 1,4 x √2 = 2
• 2 x √2 = 2,8
• 2,8 x √2 = 4
• 4 x √2 = 5,6
• 5,6 x √2 = 8 и т. Д.
Отсюда знакомая последовательность 1, 1,4, 2, 2,8 и т. Д., Используемая на объективах фотоаппаратов. Теперь это означает, что одно увеличение на диафрагму увеличивает экспозицию вдвое, а уменьшение на одну ступень уменьшает вдвое.

Метрические форматы бумаги

Метрические размеры бумаги A предназначены для удвоения площади каждого меньшего размера A.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *