Примеры чисел натуральные числа: Натуральные числа: определение, примеры, свойства

Содержание

натуральный, рациональный, иррациональный, действительные числа, комплексный

Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических «умений». Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы. Хотя современная наука и математика не подтверждают эти «волшебные» свойства, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.

Натуральные числа $\mathbb{N}$

Множество натуральных чисел часто обозначается как $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4… \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb{N}_0$.

В $\mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb{N}$:

1. $a+b\in \mathbb{N}$, $a\cdot b \in \mathbb{N}$ множество $\mathbb{N}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения

Поскольку множество $\mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.

Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb{N}$ определены отношения «меньше» ($

1. $a b$ трихотомия
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$

5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Целые числа $\mathbb{Z}$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120…$

Решение уравнения $a+x=b$, где $a$ и $b$ — известные натуральные числа, а $x$ — неизвестное натуральное число, требует введения новой операции — вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3…\rbrace$.

Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $ 1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5.:
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}…$

Теперь рассмотрим уравнения вида $a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ — известные целые числа, а $x$ — неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$. Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$. Множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $\mathbb{Q}$:

$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$
$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Деление вводится таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

На множестве $\mathbb{Q}$ уравнение $a\cdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $a\neq 0$ (деление на ноль не определено).{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=1)$

Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}

Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Иррациональные числа $\mathbb{I}$

Примеры иррациональных чисел:
$\sqrt{2} \approx 1.41422135…$
$\pi \approx 3.1415926535…$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении. Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел.2=a$, где $a$ — известное рациональное число, а $x$ — неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$… принадлежат этому множеству.

Действительные числа $\mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел. Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве. Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы. В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$.2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел. Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ — нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ — нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению
6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.

Натуральные числа. Ряд натуральных чисел.

История натуральных чисел началась ещё в первобытные времена. Издревле люди считали предметы. Например, в торговле нужен был счет товара или в строительстве счет материала. Да даже в быту тоже приходилось считать вещи, продукты, скот. Сначала числа использовались только для подсчета в жизни, на практике, но в дальнейшем при развитии математики стали частью науки.

Натуральные числа – это числа которые мы используем при счете предметов.

Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Нуль не относится к натуральным числам.

Все натуральные числа или назовем множество натуральных чисел обозначается символом N.

Таблица натуральных чисел.

Натуральный ряд.

Натуральные числа, записанные подряд в порядке возрастания, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.

Свойства натурального ряда:

Наименьшее натуральное число – единица.
У натурального ряда следующее число больше предыдущего на единицу. (1, 2, 3, …) Три точки или троеточие ставятся в том случае, если закончить последовательность чисел невозможно.
Натуральный ряд не имеет наибольшего числа, он бесконечен.

Пример №1:
Напишите первых 5 натуральных числа.
Решение:
Натуральные числа начинаются с единицы.
1, 2, 3, 4, 5

Пример №2:
Нуль является натуральным числом?
Ответ: нет.

Пример №3:
Какое первое число в натуральном ряду?
Ответ: натуральный ряд начинается с единицы.

Пример №4:
Какое последнее число в натуральном ряде? Назовите самое большое натуральное число?
Ответ: Натуральный ряд начинается с единицы. Каждое следующее число больше предыдущего на единицу, поэтому последнего числа не существует. Самого большого числа нет.

Пример №5:
У единицы в натуральном ряду есть предыдущее число?
Ответ: нет, потому что единица является первым числом в натуральном ряду.

Пример №6:
Назовите следующее число в натуральном ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Ответ: а)6, б)68, в)9999.

Пример №7:
Сколько чисел находится в натуральном ряду между числами: а)1 и 5, б)14 и 19.
Решение:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа находятся между числами 1 и 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – четыре числа находятся между числами 14 и 19.

Пример №8:
Назовите предыдущее число за числом 11.
Ответ: 10.

Пример №9:
Какие числа применяются при счете предметов?
Ответ: натуральные числа.

Что такое натуральное число? Ответ на webmath.ru

Содержание:

Определение натурального числа

Определение

Натуральными числами называются числа, которые используются при счете или для указания порядкового номера предмета среди однородных предметов.

Например. Натуральными будут такие числа: $2,37,145,1059,24411$

Натуральные числа, записанные в порядке возрастания, образуют числовой ряд. Он начинается с наименьшего натурально числа 1. Множество всех натуральных чисел обозначают $N=\{1,2,3, \dots n, \ldots\}$. Оно бесконечно, так как не существует наибольшего натурального числа. Если к любому натуральному числу прибавить единицу, то получаем натуральное число, следующее за данным числом.

Пример

Задание. Какие из следующих чисел являются натуральными?

$$-89 ; 7 ; \frac{4}{3} ; 34 ; 2 ; 11 ; 3,2 ; \sqrt[3]{129} ; \sqrt{5}$$

Ответ. $7 ; 34 ; 2 ; 11$

На множестве натуральных чисел вводится две основные арифметические операции — сложение и умножение. Для обозначения этих операций используются соответственно символы » + « и » • « (или » × «).

Сложение натуральных чисел

Каждой паре натуральных чисел $n$ и $m$ ставится в соответствие натуральное число $s$, называемое суммой. Сумма $s$ состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах $n$ и $m$. О числе $s$ говорят, что оно получено в результате сложения чисел $n$ и $m$, и пишут

$$n+m=s$$

Числа $n$ и $m$ называются при этом слагаемыми. Операция сложения натуральных чисел обладает следующими свойствами:

Коммутативность: $n+m=m+n$
Ассоциативность: $(n+m)+k=n+(m+k)$

Подробнее о сложении чисел читайте по ссылке.

Слишком сложно?

Что такое натуральное число не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Найти сумму чисел:

$13+9 \quad$ и $ \quad 27+(3+72)$

Решение. $13+9=22$

Для вычисления второй суммы, для упрощения вычислений, применим к ней вначале свойство ассоциативности сложения:

$$27+(3+72)=(27+3)+72=30+72=102$$

Ответ. $13+9=22 \quad;\quad 27+(3+72)=102$

Умножение натуральных чисел

Каждой упорядоченной паре натуральных чисел $n$ и $m$ ставится в соответствие натуральное число $r$, называемое их произведением. Произведение $r$ содержит стольких единиц, сколько их содержится в числе $n$, взятых столько раз, сколько единиц содержится в числе $m$. О числе $r$ говорят, что оно получено в результате умножения чисел $n$ и $m$, и пишут

$n \cdot m=r \quad $ или $ \quad n \times m=r$

Числа $n$ и $m$ называются множителями или сомножителями.

Операция умножения натуральных чисел обладает следующими свойствами:

Коммутативность: $n \cdot m=m \cdot n$
Ассоциативность: $(n \cdot m) \cdot k=n \cdot(m \cdot k)$

Подробнее о умножении чисел читайте по ссылке.

Пример

Задание. Найти произведение чисел:

12$\cdot 3 \quad $ и $ \quad 7 \cdot 25 \cdot 4$

Решение. По определению операции умножения:

$$12 \cdot 3=12+12+12=36$$

Ко второму произведению применим свойство ассоциативности умножения:

$$7 \cdot 25 \cdot 4=7 \cdot(25 \cdot 4)=7 \cdot 100=700$$

Ответ. $12 \cdot 3=36 \quad;\quad 7 \cdot 25 \cdot 4=700$

Операция сложения и умножения натуральных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$

Сумма и произведение любых двух натуральных чисел всегда есть число натуральное, поэтому множество всех натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.b = c$

Незамкнутые операции над натуральными числами (не всегда результаты будут натуральными)

1. Вычитание: a-b = c. Результат натуральный, если $a \gt b$

2. Деление нацело (с остатком): $a/b = (c;r), 0 \le r \lt b,a = bc+r$

Понятие и свойства целых чисел

Целые числа – расширение множества целых чисел, получаемое при добавлении к нему нуля и отрицательных чисел.

Множество целых чисел обозначается Z.

$$Z = \{…,-2,-1,0,1,2,…\}$$

Свойства целых чисел

1. Множество целых чисел бесконечно.

2. На множестве определено отношение порядка

$… \lt -2 \lt -1 \lt 0 \lt 1 \lt 2 \lt ⋯ $

3. Множество содержит ноль («нейтральный элемент»): 0+a = a+0 = a,∀a $\in \Bbb Z$

4. Для каждого целого числа a существует противоположное ему число –a, при этом a+(-a) = 0.

Замкнутые операции над целыми числами

1. Сложение: a+b = c

2. Вычитание: a-b = c

3. Умножение: ab = c

4.2-xy-x+y = 1$

$$x(x-y)-(x-y) = 1 \Rightarrow (x-1)(x-y) = 1 \Rightarrow x-y = \frac{1}{x-1} \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow y = x — \frac{1}{x-1} $$

Дробь $\frac{1}{x-1}$ будет целым числом только для $x-1 = \pm 1 \Rightarrow x = 1 \pm 1 \Rightarrow x_1 = 2,x_2 = 0$

Получаем:

$$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x = 2 \\ y = 2 — \frac{1}{2-1} = 1 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x = 0 \\ y = 0 — \frac{1}{0-1} = 1 \end{array} \right.} \end{array} \right. $$

Ответ:$\{(2;1),(0;1)\}$

Множества, отображения и числа

1.1Множества

1.1.1Примеры множеств

В математике принято давать строгие определения всем вводимым понятиям. Однако, когда мы даём определение новому понятию, мы описываем его с помощью слов, каждое из которых, по идее, также нуждается в определении. Поскольку этот процесс не может продолжаться до бесконечности, в какой-то момент мы вынуждены остановиться, и сказать, что некоторые понятия мы не будем определять формально.

Как бы определение 1. Множество — это набор каких-то элементов.

Это как бы определение даёт мало информации — фактически, в нём сказано, что множество — это набор, а что такое набор — так же непонятно. Чтобы стало чуть более понятно, давайте приведём пару примеров:

Пример 1. Определим множество A:={1,2,3}, которое состоит из трёх элементов — чисел 1, 2 и 3. (Когда какой-то объект впервые определяется, мы часто будем использовать знак := вместо обычного равно, чтобы подчеркнуть, что мы таким образом определяем значение того символа, который стоит со стороны двоеточия.) Чтобы задать множество, можно перечислить его элементы, заключив их в фигурные скобки. (Так, конечно, можно задать не все множества, а только конечные, в которых число элементов конечно; чуть позже мы столкнёмся с бесконечными множествами.) Важно отметить, что порядок следования элементов при перечислении не имеет значения: я мог бы написать {2,1,3} или {3,2,1} и получить ровно то же самое множество A. Ещё одно важное замечание: каждый элемент либо входит в множество, либо не входит, нельзя «дважды входить» в множество. Если бы я написал {1,1,2,3}, было бы непонятно, что я имею в виду — хотя единица написана дважды, входить в множество она может ровно один раз. (Например, в языке программирования Python, умеющем работать с множествами, такая запись создало бы такое же множество, как и A.)

Пример 2. Бывает пустое множество, которое обозначается ∅ (в другом стиле выглядит как ∅). Оно не содержит ни одного элемента: ∅={}.

Утверждение «элемент x входит в множество X» кратко записывается таким образом:

x∈X

То есть, например, справедливо сказать, что 1∈A для множества A, определенного в примере 1, а 4∉A.

Определение 1. Пусть есть два множества, X и Y. Говорят, что X является подмножеством множества Y (пишут X⊂Y или Y⊃X), если всякий элемент множества X также является и элементом множества Y.

Например, множество {1,2} является подмножеством множества A из примера 1, а множество {1,2,3,4} — не является.

Пример 3. Множества могут быть сами элементами множеств. Например, можно рассмотреть множество всех подмножеств множества A: получится такое множество (обозначим его через B):

B:={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

Обратите внимание на разницу между знаками ∈ и ⊂. Например, для множества A, справедливо утверждение 1∈A, справедливо утверждение {1}⊂A, но неверно, что {1}∈A, поскольку элементами A являются числа, а не множества. Для множества B, наоборот, 1∉B, зато {1}∈B.

Вопрос 1. Кстати, а верно ли, что {1}⊂B? Верно

Неверный ответ. Нет, {1} не является подмножеством множества B: оно содержит это множество как элемент. Если вы хотите создать множество, единственным элементом которого является множество {1}, оно будет записываться как {{1}}.

Неверно

Верный ответ. Действительно, {1} не является подмножеством множества B: оно содержит это множество как элемент. Если вы хотите создать множество, единственным элементом которого является множество {1}, оно будет записываться как {{1}}.

Как мы видим из примера 3, множества могут содержать в себе другие множества. Тут может возникнуть соблазн рассмотреть «множество всех возможных множеств», однако это приводит к проблемам (подробнее можно посмотреть в статье про парадокс Рассела в Википедии). Таких проблем удаётся избегать, если мы разрешаем рассматривать лишь множества, которые понятным образом строятся из уже определенных ранее множеств. Так мы и будем поступать. Есть более аккуратные способы определения множеств путём ввода некоторой системы аксиом, но для всех практических целей нам будет достаточно «наивного» понятия о множествах, которое обсуждается здесь.

1.1.2Операции над множествами

Нам понадобятся некоторые известные операции с множествами.

Определение 2. Для произвольных множеств X и Y, определим их пересечение, то есть новое множество (обозначается X∩Y), которое состоит из всех элементов, которые есть одновременно и в X, и в Y.

Определение 3. Для произвольных множеств X и Y, определим их объединение, то есть новое множество (обозначается X∪Y), которое состоит из всех элементов, которые есть хотя бы в одном из множеств X, или в Y (или в обоих).

Определение 4. Для произвольных множеств X и Y, разностью X∖Y (также пишут просто X−Y) называется множество всех элементов X, не содержащихся в Y. Иногда говорят дополнение Y до X (вероятно, наиболее корректным этот термин является, если Y является подмножеством X).

1.2Отображения

Вы наверняка встречались с понятием функции. В математике есть два набора терминов, которые описывают одно и то же — в одних случаях используется слово «функция», в других — «отображение». Слово «отображение» выглядит чуть более универсальным термином. Его можно было бы определить формально, опираясь только на понятие множества, но мы ограничимся неформальным описанием.

Как бы определение 2. Рассмотрим два произвольных множества X и Y. Пусть мы каждому элементу из множества X поставили в соответствие какой-то элемент из множества Y. Тогда говорят, что мы задали отображение из X в Y.

Пример 4. Рассмотрим отображение из множества A={1,2,3} в множество L:={a,b,c,d} (здесь a, b, c и d — не переменные, а просто буквы английского алфавита — множества ведь могут содержать не только числа), заданное следующим образом (см. рис 1.4: числу 1 поставили в соответствие букву b, числу 2 — букву c и числу 3 — букву b. Таким образом мы задали отображение из A в L. Это отображение можно обозначить какой-нибудь буквой, например, буквой g. Тогда можно записать: g(1)=b, g(2)=c и g(3)=b. Говорят также, что под действием отображения g, число 1 переходит в букву b и т.д. Также можно сказать, что буква b является образом числа 1 под действием отображения g, и наоборот, число 1 является одним из прообразов буквы b. Если задано отображение f из множества X в множество Y, пишут:

f:X→Y.

Можно представить себе отображение f:X→Y как такую картинку, в которой из каждого элемента множества X выходит стрелочка, которая ведёт к какому-то элементу множества Y. При этом стрелочки обязаны выходить из всех элементов X, но не обязаны входить во все элементы Y. Важно также, что из каждого элемента X выходит ровно одна стрелочка, то есть каждый элемент множества X отображается ровно в один элемент множества Y.

Определение 5. Отображение f:X→Y называется инъективным (или просто инъекцией), если оно «не склеивает точки», то есть не переводит две разные точки в одну и ту же. Если представлять отображение в виде картинки со стрелочками, это соответствует тому, что нет двух стрелочек, ведущих в одну и ту же точку.

Рис. 1.5: Не инъективное (слева) и инъективное (справа) отображения.

Определение 6. Отображение f:X→Y называется сюръективным (или просто сюръекцией), если в любую точку множества Y что-то переходит. Иными словами, у любой точки множества Y есть хотя бы один прообраз под действием f. Если представлять отображение в виде картинки со стрелочками, это соответствует тому, что в каждую точку Y ведёт хотя бы одна стрелочка.

Рис. 1.6: Не сюръективное (слева) и сюръективное (справа) отображения.

Определение 7. Отображение f:X→Y называется биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением), если оно одновременно является инъективным и сюръективным. В этом случае не только каждому элементу множества X поставлен в соответствие ровно один элемент Y (как всегда бывает, когда отображение задано), но и наоборот, каждому элементу множества Y поставлен в соответствие ровно один элемент множества X — тот, который в него переходит под действием отображения. Он существует (потому что отображение сюръективно) и единственный (потому что инъективно).

Рис. 1.7: Биективное отображение. Определение 8. Множества, между которыми существует взаимно однозначное соответствие, называются равномощными. Очевидно, если два множества равномощны, у них одинаковая мощность. Но что такое эта мощность? Для конечных множеств, мощность определяется просто как число элементов. Для бесконечных всё сложнее, мы поговорим об этом позже.

1.3Числа

Основным строительным материалом для всего последующего курса будут различные числовые множества.

1.3.1Натуральные числа

Множество натуральных чисел {1,2,3,…} обозначается буквой N. Единственный камень преткновения: считать ли ноль натуральным числом. Как правило, натуральные числа «определяются» как «числа, используемые при счёте предметов». В этом случае среди натуральных чисел нет нуля, и это соответствует распространённому в России соглашению. Есть другой подход — сказать, что натуральные числа — это «мощности конечных множеств» (см. определение 8). В этом случае ноль следовало бы считать натуральным, потому что это мощность пустого множества. Такое соглашение принято, например, во Франции. Мы будем использовать соглашение, принятое в России, и не будем считать 0 натуральным числом.

1.3.2Целые числа

Множество целых чисел обозначается буквой Z={0,1,−1,2,−2,…}. Натуральные числа являются подмножеством целых (натуральные числа — это в точности целые положительные числа).

Каких чисел больше: натуральных или целых? Казалось бы, отрицательных целых чисел «столько же», сколько положительных, то есть натуральные числа входит в число целых дважды, да ещё остаётся ноль. То есть целых должно быть вдвое больше, чем натуральных (и ещё чуть-чуть больше). На самом деле, для бесконечных множеств такая логика не работает: легко придумать взаимно однозначное соответствие между натуральными и целыми числами (например, можно воспользоваться тем, как эти множества записаны выше: 1 отобразить в 0, 2 в 1, 3 в −1, 4 в 2, 5 в −2 и т.д.), так что с тем же успехом можно сказать, что их «поровну». Аккуратное утверждение состоит в том, что множества целых и натуральных чисел равномощны.

1.3.3Рациональные числа

Множество рациональных чисел Q состоит из всевозможных обыкновенных дробей вида {pq∣p∈Z,q∈N}, то есть дробей с целым числителем и натуральным знаменателем. Конечно, мы знаем, что бывают разные дроби, задающие одно и то же число: например, 24=12. Вообще, для любого целого m≠0, дроби pq и pmqm задают одно и то же число.

Арифметические операции с рациональными числами задаются с помощью стандартных правил действий с обыкновенными дробями.

Целые числа входят в множество рациональных чисел — это в точности рациональные числа со знаменателем 1.

Определение 9. Целые числа m и n называются взаимно простыми, если они не имеют общих натуральных делителей, кроме 1.

Если числа m и n взаимно просты, дробь mn является несократимой. (Если бы у m и n были натуральные делители, отличные от 1, на них можно было сократить, а так сокращать не на что.)

Теорема 1. Любое рациональное число имеет единственное представление в виде несократимой дроби pq, p∈Z, q∈N. Иными словами, если есть другое представление, pq=mn, где m и n взаимно просты и n натурально, то обязательно p=m и q=n.

Эта теорема кажется очевидной, но на самом деле таковой не является. Например, если бы мы разрешили знаменателю принимать не только натуральные, но и любые целые ненулевые значения, теорема была бы неверна: 12=−1−2, хотя обе дроби несократимы. Её аккуратное доказательство требует либо веры в основную теорему арифметики (о том, что любое целое число однозначно задаётся в виде произведения простых сомножителей), которая имеет не очень короткое доказательство, либо использования алгоритма Евклида. Второй подход приведён в виде серии задачи в семинарских листочках.

1.3.4Вещественные числа

С вещественными (действительными) числами всё сложно. Интуитивно, вещественные числа — это длины отрезков, площади фигур и т.д. Но чтобы аккуратно их ввести в математику, человечество потратило несколько тысяч лет: тот факт, что длины отрезков могут не выражаться рациональными числами, был известен ещё Древним Грекам за несколько сотен лет до нашей эры, но аккуратно вещественные числа были введены в математику только в XIX веке.

В рамках лекций мы будем следовать «школьному» определению: вещественное число — это бесконечная десятичная дробь, то есть бесконечная вправо последовательность цифр, у которой на каком-то месте стоит десятичная запятая (в англоязычной традиции — десятичная точка).

Чтобы какое-то множество можно было с полным правом называть числовым, нужно, чтобы на нём были определены арифметические операции. Для конечных десятичных дробей это делается с помощью стандартных алгоритмов сложения и умножения (столбиком) и деления (уголком), которые проходят в школе. Для бесконечных десятичных дробей так просто это сделать не получается, и мы не будем этим заниматься — скажем только, что сделать это возможно, и результат будет соответствовать нашим интуитивным представлениям об этих операциях. (Для желающих у нас заготовлена серия задач, в которых вещественные числа определяются несколько иначе — как некоторые множества рациональных чисел — мы их дадим, когда все будут к этому готовы.)

Рациональные числа входят в множество вещественных чисел. Этот факт, вообще говоря, не прямо следует из определения, но его можно доказать, воспользовавшись алгоритмом деления уголком и свойствами геометрических прогрессий, более подробное обсуждение — на семинаре.

Определение 10. Вещественные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Специального обозначения для иррациональных чисел нет, обычно просто пишут R∖Q.

Чтобы не казалось, что мы зря возимся с вещественными числами, давайте докажем, что иррациональные числа существуют. Для этого предъявим по крайней мере одно такое число: √2.

(Конечно, можно было бы не верить в существование иррациональных чисел, и сказать, что раз √2 не является рациональным, то просто нет такого числа, нельзя вычислить квадратный корень из двух, и всё тут; проблема в том, что тогда мы не могли бы никак измерить длину диагонали квадрата со стороной 1, которая, по теореме Пифагора, равна как раз √2. Это было бы неудачно.)

Доказательство. Докажем от противного. Пусть является, то есть существует такая несократимая дробь pq, которая равна √2. По определению, √2 это такое число, которое при повзведении в квадрат даёт 2. Значит, (pq)2=2;p2q2=2;p2=2q2. Из этого следует, что p2 — четное число. Если бы p было нечётным, оно бы представлялось в виде p=(2k+1) и его квадрат был бы нечётным: p2=(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1. Значит, p обязательно чётно. Пусть p=2k. Имеем: (2k)2=2q2;4k2=2q2;2k2=q2. Из таких же рассуждений получаем, что q должно быть чётным. Но по предположению, дробь pq несократима, и значит её числитель и знаменатель не могут быть одновременно чётными. Противоречие.∎

Следующая глава →

Множества чисел и примеры числовых множеств

Множества чисел бывают конечными или бесконечными и их принято обозначать большими буквами A, B, …, а их элементы – маленькими буквами, например, x, y, z,….

Что такое множество чисел

Определение

Термин множества чисел можно описать, как совокупность, объединение, набор некоторых объектов произвольной природы – элементы множества. Например, множество книг в библиотеке, множество студентов факультета, множество парных чисел, множество точек заданного отрезка и т. п.

Если элемент принадлежит множеству , тогда пишут , если же элемент не принадлежит множеству , тогда пишут, что или .

Множества, в которых нет ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .

Рассмотрим несколько важных операций:

1. Два множества и называются равными (обозначают ), если они состоят из одинаковых элементов.

2. Множество называется подмножным множеством , если каждый элемент множества есть элементом множества .

Это обозначается так: и читается содержится в или в находится . Очевидно, что пустое множество входит в любое множество .

Например, если множество состоит из элементов обозначают:

= {}), а в = {} тогда .

3. Множества элементов , которые принадлежат множеству или множеству , или и , называется объединением этих множеств и обозначается .

4. Множества элементов , которые принадлежат двум множествам и называется пересечением множеств и и обозначается

Если, например, и – это множества точек, что принадлежат двум фигурам соответственно, тогда схематически на рис. 1 изображены их объединения в случаях а) и б). На рис. 2 изображено пересечение множеств и .

Рис. 1

Рис. 2

5. Разницей множеств A и называется множество , что содержит те элементы , которые не есть элементами множества (см. рис. 3).

Рис. 3

Виды чисел

Существует 7 видов чисел:

1. Натуральные – ;

2. натуральные числа, в которые включается нуль – ;

3. целые числа – ;

а) целые положительные числа – ;

б) целые отрицательные числа – ;

4. рациональные числа – ;

5. иррациональные числа

6. Действительные числа – ;

7. Комплексные числа – .

Рассмотрим каждый вид числа более подробно:

1. Натуральные числа всегда используются при естественном счёте или перечислении предметов, вернее при их нумерации, то есть “первый”, “второй”, “третий”. Описывается множество натуральных чисел так:

= {1, 2, 3, …, }.

2. Натуральные числа, в которые включён нуль используются для обозначения количества предметов:

= {0, 1, 2, 3, …}

3. Целые числа – это числа, в которые входят натуральные числа с положительным и отрицательным знаками:

а) целые положительные числа (обозначаются ) и пишутся: {1, 2, 3, …};

б) целые отрицательные числа (обозначаются ) и пишутся: {…, -3, -2, -1};

= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

4. Рациональные числа – числа, которые представляются в виде обыкновенной дроби , где и – целые числа, а . Рациональные числа обозначаются латинской большой буквой :

= {}. Если переводить в десятичную дробь, тогда рациональное число может представляться конечной и бесконечной дробью.

5. Иррациональные числа – вещественное число, которое не рациональное и не может представляться в виде десятичной дроби.

6 Действительные числа или вещественные – это числа, в которых объединяются рациональные и иррациональные числа ().

7. Комплексные числа – это числа, в которых содержится – мнимая единица:

= { и }.

Примеры решения задач

Пример 1

Задача

Записать множество , если , причём = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, = {3, 6, 9, 12}.

Решение

есть не что иное, как объединение множеств и , то есть, множество будет состоять из элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству : = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.

Ответ

Множество состоит из элементов, которые принадлежат двум множествам и .

Пример 2

Задача

Все студенты курса изучают разные иностранные языки. Значит, из них, 91 студент изучает английский язык, ещё 96 студентов изучают немецкий язык, 94 студента изучают исключительно французский язык, 36 студентов изучают не только английский, но и немецкий языки, ещё 32 студента изучают английский и французский языки, а 10 студентов занимаются изучением всех языков без исключения.

Вопрос: сколько студентов занимаются изучением немецкого и французского языков, если всего на курсе по списку 189 студентов?

Решение

Итак, для начала введём обозначения:

– множество всех студентов, которые находятся на данном курсе;

– множество студентов, которые изучают только английский язык;

– множество студентов, которые занимаются изучением немецкого языка;

– множество студентов, изучающих исключительно французский язык;

– множество студентов, которые изучают, как английский, так и немецкий язык;

– множество студентов, изучающие английский и французский языки;

– множество студентов, которіе изучают немецкий и французский язіки;

– множество студентов, которые изучают абсолютно все языки;

– количество элементов множества .

По условию задачи:

Найдём – количество студентов, которые изучают немецкий и французский языки. Согласно вышеописанному обозначению, у нас получается:

, , , .

Из методов включения и исключения следует, что

Ответ

студента занимаются изучением немецкого и французского языков.

Множества чисел и примеры числовых множеств обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Целые числа — что это такое, примеры

Обновлено 20 июля 2021

Целые числа — что это такое
История их изучения
Свойства целых чисел
Вместо заключения

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

Это весьма обширное понятие из математики, с которым школьники сталкиваются уже в 5 классе.

Целые числа — это…

Целые числа – это все положительные, все отрицательные числа и ноль. Главное, чтобы они не содержали дробной части.

Согласно этому определению, к целым числам можно отнести:

-1256, -35, -9, 0, 14, 95, 2020

и так далее. Ведь у них нет дробной части. А вот числа:

0.5, 13.1319, ½, -¾, — 237.3

и так далее не могут считаться целыми, так как у них есть какие-то цифры после запятой или они являются дробью.

Все многообразие целых чисел называется множеством целых чисел. Это официальный математический термин. И обозначается он буквой Z.

В это множество входят и так называемые натуральные числа (это что?). Это все те, которые имеют положительное значение, но опять же без дробной части. Проще говоря, все числа, которые мы используем при счете. Например, 1, 2, 5, 10, 100 и так далее.

Множество натуральных чисел обознается буквой N. И зависимость его и множества целых чисел наглядно показана на следующем рисунке.

Отсюда можно сделать важный вывод:

Любое натуральное число автоматически является еще и целым. Но при этом далеко не каждое целое число является еще и натуральным.

А можно представить это и в таком варианте. Целые числа — это:

Натуральные числа;
Ноль;
Отрицательные числа.

Каким бы определением вы не пользовались, главное, чтобы было все понятно.

История изучения целых чисел

Опять же эту историю нужно разделить на три части. Ведь изучение натуральных чисел, а также открытие нуля и отрицательных чисел происходило независимо друг от друга. Да еще и в разных странах.

Изучение натуральных чисел

Тут все максимально просто. Эти числа возникли, как только человеку понадобилось считать – будь то куски мяса или количество бревен для дома.

Более точное изучение натуральных чисел начинается в Древнем Египте и Древней Месопотамии, а это более 6 тысяч лет назад.

А современные математики опираются на то, что после себя оставил древнегреческий ученый Пифагор. Он как раз активно собирал египетские и вавилонские данные, а после отразил их в своих трудах.

Открытие нуля

Конечно, египтяне, вавилоняне и даже греки знали о существовании нуля. Но не считали его числом, а потому не пользовались им. Это, кстати, приносило им немало сложностей. Они порой часами решали задачки, которые нынешний школьник посчитает за минуту.

Но официально число ноль появилось в 5-м веке. И «изобрели» его в Индии. Дело в том, что у местных жителей всегда существовало убеждение, что «ничто – это тоже что-то». Даже понятие Нирвана, которое обозначает состояние небытие, зародилось именно в Индии.

Потому-то там и придумали символ, который обозначал бы «ничто». Авторами его стали математики Брахмагупта и Ариабхата.

Как видите, индийский символ нуля очень похож на современный. Ну, разве что приплюснут и больше напоминает правильную окружность. Форма выбрана не случайно. По индийским поверьям, ноль символизирует круговорот жизни и мироздания. Его еще называют «змея вечности».

Когда арабы завоевали часть Индии, они переняли все математические знания. А во время крестовых походов многое, в том числе и цифры, перекочевали в Европу. Хотя потребовалось еще несколько сотен лет, чтобы «ноль» стал неотъемлемой частью европейской науки.

Открытие отрицательных чисел

Отрицательные числа первыми начали изучать китайцы во 2 веке до нашей эры. Их использовали в торговле и называли «долгами». А обычные числа – «имуществом». А для записи отрицательных чисел использовали перевернутый вид.

А вот в Европе к ним очень долго относились пренебрежительно, считая «несуществующими» и «абсурдными». Лишь в 12 веке математик Леонардо Фибоначчи (автор знаменитого числового ряда) описал их в своей книге «Книга Абака».

В середине 16 века математик Михаил Штифель посвятил им целый раздел в своей книге «Полная арифметика».

Но признание они получили лишь в 17 веке, после того как известный Рене Декарт создал свою систему координат.

В ней он также использовал нуль, привязав к нему положительные и отрицательные числа. Одни находились справа от него, а другие – слева.

Свойства целых чисел

Всем целым числам свойственны следующие характеристики:

Замкнутость. При математических действиях с целыми числами, за исключением деления, получаются только целые числа.
Если А и В – целые, то А+В=целое, А-В=целое и А*В=целое
Ассоциативность. При сложении или умножении трех и более целых чисел их можно менять местами, и результат не изменится.
(А + В) + С = А + (В + С)
Коммутативность. При перестановке мест слагаемых (множителей) – сумма (произведение) не меняется.
А + В = В + А, А * В = В * А
Если ноль участвует в сложении или вычитании, то значение остается неизменным.
А + 0 = 0, А – 0 = 0
Противоположность. При сложении одинаковых чисел с разными знаками, получается всегда ноль.
А + (-А) = 0
Разность знаков. При умножении чисел с разными знаками, результат всегда отрицательный. Если знаки одинаковые, то результат всегда положительный.
А * А = АА, А * (-А) = -АА, (-А) * (-А) = АА

Добавим: точно такое же правило действует и при делении. Минус на минус дают плюс. А минус на плюс или плюс на минус всегда дают минус.

Вместо заключения

Мы уже рассказали, с каким трудом в нашу жизнь попали отрицательные числа. Но сегодня они широко используются не только в математике.

География. Высоту гор измеряют положительными значениями, а вот глубину водоемов – отрицательными. А уровень моря является нулем.
История. Понятие «наша эра» разделила историю на положительное летоисчисление и отрицательное. Все, что происходило, более 2 тысяч лет назад можно описать как «в минус 125 году» или «в -3000 лет». Хотя больше принято говорить «125 год до н.э» и «3000 лет до н.э.».
Медицина. Для определения остроты зрения врачи используют понятия отрицательных и положительных диоптрий. Идеальное зрение – это ноль. Минус – близорукость (не видит вдалеке), а плюс – дальнозоркость (не видит вблизи).
Физика. Есть такие понятия, как положительно и отрицательно заряженные частицы. Одни называются протонами, а другие – электронами.

Ну и, наконец, слова положительный и отрицательный используются и в более разговорном смысле, как синонимы хорошего и плохого.

Например, в книгах и фильмах обязательно есть положительные и отрицательные герои. Также и наши черты характера, эмоции и поступки можно разделить на эти две категории.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Что такое натуральные числа? Определение, примеры и факты

Натуральные числа являются частью системы счисления, включая все положительные целые числа от 1 до бесконечности. Натуральные числа также называются счетными числами, потому что они не включают ноль или отрицательные числа. Они являются частью действительных чисел, включая только положительные целые числа, но не ноль, дроби, десятичные дроби и отрицательные числа.

Введение в натуральные числа

Мы видим числа повсюду вокруг нас, для подсчета предметов, для обозначения или обмена денег, для измерения температуры, определения времени и т. Д.Эти числа, которые используются для подсчета объектов, называются « натуральные числа ». Например, при подсчете предметов мы говорим 5 чашек, 6 книг, 1 бутылку и т. Д.

Что такое натуральные числа?

Натуральные числа относятся к набору всех целых чисел, за исключением 0. Эти числа широко используются в нашей повседневной деятельности и речи.

Определение натуральных чисел

Натуральные числа — это числа, которые используются для счета и являются частью действительных чисел.Набор натуральных чисел включает только положительные целые числа, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……… .∞.

Примеры натуральных чисел

Натуральные числа, также известные как неотрицательные целые числа (все положительные целые числа). Некоторые примеры включают 23, 56, 78, 999, 100202 и так далее.

Набор натуральных чисел

Набор — это набор элементов (в данном контексте чисел). Набор натуральных чисел в математике записывается как {1,2,3, …}. Набор натуральных чисел обозначается символом N.N = {1,2,3,4,5, … ∞}

Форма ведомости	N = Набор всех номеров, начиная с 1.
Форма для обжарки	N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ………………………………}
Set Builder Form	N = {x: x — целое число, начиная с 1}

Наименьшее натуральное число

Наименьшее натуральное число — 1. Мы знаем, что наименьший элемент в N равен 1 и что для каждого элемента в N мы можем говорить о следующем элементе в терминах 1 и N (что на 1 больше, чем этот элемент).Например, два — на один больше, чем на один, три — на один больше, чем на два, и так далее.

Натуральные числа от 1 до 100

натуральных чисел от 1 до 100 — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. , 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45 , 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95 , 96, 97, 98, 99 и 100.

0 — натуральное число?

Нет, 0 НЕ является натуральным числом, потому что натуральные числа считаются числами. Для подсчета любого количества предметов мы начинаем отсчет с 1, а не с 0.

Нечетные натуральные числа

Нечетные натуральные числа — это нечетные числа, принадлежащие множеству N. Таким образом, набор нечетных натуральных чисел равен {1,3,5,7, …}.

Четные натуральные числа

Четные натуральные числа — это четные, точно делимые на 2 числа, принадлежащие множеству N.Таким образом, набор четных натуральных чисел равен {2,4,6,8, …}.

Натуральные и целые числа

Набор целых чисел такой же, как набор натуральных чисел, за исключением того, что он включает дополнительное число, равное 0. Набор целых чисел в математике записывается как {0,1,2,3, …} . Обозначается буквой W.

Вт = {0,1,2,3,4…}

Из приведенных выше определений мы можем понять, что каждое натуральное число — это целое число.Кроме того, каждое целое число, кроме 0, является натуральным числом. Можно сказать, что множество натуральных чисел — это подмножество множества целых чисел.

Разница между натуральными и целыми числами

Натуральные числа — это положительные числа, например 1, 2, 3, 4 и т. Д. Это числа, которые вы обычно считаете, и они продолжаются до бесконечности. Принимая во внимание, что все целые числа являются натуральными числами, включая 0, например, 0, 1, 2, 3, 4 и так далее. Целые числа включают в себя все целые числа и их отрицательные аналоги.например, -4, -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, 4 и так далее. В следующей таблице показана разница между натуральным числом и целым числом.

Натуральное число	Целое число
Набор натуральных чисел: N = {1,2,3, … ∞}	Набор целых чисел: W = {0,1,2,3, …}
Наименьшее натуральное число 1.	Наименьшее целое число — 0.
Все натуральные числа являются целыми числами, но все целые числа не являются натуральными числами.	Каждое целое число является натуральным числом, кроме нуля.

Натуральные числа в числовой строке

Набор натуральных и целых чисел может отображаться в числовой строке, как показано ниже. Все положительные целые числа или целые числа в правой части 0 представляют натуральные числа, тогда как все положительные целые числа вместе с нулем представляют собой целые числа.

Свойство закрытия
Ассоциативное свойство
Коммутативная собственность
Распределительная собственность

Итак, набор натуральных чисел N замкнут при сложении и умножении, но не при вычитании и делении.

Сумма или произведение любых трех натуральных чисел остается неизменной даже при изменении группировки чисел.

Итак, набор натуральных чисел N ассоциативен при сложении и умножении, но этого не происходит в случае вычитания и деления.

Сумма или произведение двух натуральных чисел остается неизменной даже после изменения порядка чисел. Коммутативное свойство N утверждает, что: Для всех a, b∈N: a + b = b + a и a × b = b × a.

Итак, набор натуральных чисел N коммутативен при сложении и умножении, но не при вычитании и делении.
Сведем эти три свойства натуральных чисел в таблицу. Итак, набор натуральных чисел N коммутативен относительно сложения и умножения.

Часто задаваемые вопросы о натуральных числах

Число 0 — натуральное число?

Нет, 0 не натуральное число. Натуральные числа начинаются с 1 и могут быть указаны как 1, 2, 3, 4, 5 и т. Д.

Что такое пример натурального числа?

Натуральные числа могут быть указаны как 1, 2, 3, 4, 5 и т. Д. Итак, одним примером может быть 5.

23 натуральное число?

Да, 23 — натуральное число, потому что это положительное число, которое используется при подсчете.

Почему натуральные числа называются натуральными?

Натуральные числа называются натуральными, потому что они используются для естественного счета. Набор натуральных чисел — это самая основная система чисел, потому что она интуитивно понятна или естественна, отсюда и название. Мы используем натуральные числа в повседневной жизни, считая дискретные объекты, то есть объекты, которые можно подсчитать.

Какие первые пять натуральных чисел?

Натуральные числа — это числа, которые используются для счета и являются частью действительных чисел.Первые пять натуральных чисел — это 1, 2, 3, 4 и 5.

Как найти сумму n натуральных чисел?

Чтобы найти сумму n натуральных чисел, мы используем формулу: Sum = n (n + 1) / 2, где n представляет количество членов. Например, если мы хотим найти сумму первых шести натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, мы заменим n на 6 (общее количество членов) и решим формулу. Сумма = n (n + 1) / 2. 6 (6 + 1) / 2 = 42/2 = 21. Получаем 21 в качестве ответа.

Почему все натуральные числа целые?

Целые числа образуют набор отрицательных и положительных чисел, включая ноль, а положительные числа относятся к категории натуральных чисел.Таким образом, все натуральные числа целые.

Натуральное число: определение и примеры

Определения статистики> Натуральные и целые числа

Содержание (Щелкните, чтобы перейти в этот раздел)

Натуральное число
Целые числа
Почему натуральное число — это целое число?
Пример целых чисел
Комплекты закрытые и целые
Свойства целых чисел

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета.Они целые, неотрицательных числа. Мы часто видим их представленными на числовой строке .

Линия на изображении выше начинается с 1 и увеличивается в значении до 5. Однако числа могут увеличиваться в значении бесконечно (обозначено пунктирной линией на изображении). Таким образом, натуральные числа могут продолжаться до бесконечности.

Набор натуральных чисел обычно обозначается символом ℕ . Например:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

Набор натуральных чисел, включающий ноль, известен как целых чисел .Набор целых чисел обычно обозначается W . Например, это набор целых чисел:

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

Возможно, что сбивает с толку, некоторые авторы не включают ноль в набор целых чисел. В этом случае это то же самое, что и набор натуральных чисел.

Как упоминалось выше, натуральные числа должны быть целыми и положительными. Это имеет смысл по ряду причин, включая тот факт, что они считают числа.Допустим, учитель хочет подсчитать количество учеников в своем классе: она может сосчитать только всех детей.

Мы часто видим в статистике, публикуемой в Интернете, цифры, которые кажутся противоречащими «целостности» людей. Например, «средний размер семьи — 3,1 человека». Должно быть достаточно ясно, что невозможно иметь 0,1 человека, но это число является лишь средним. Среднее количество автомобилей на семью рассчитывается путем сложения общего количества автомобилей и деления на количество домашних хозяйств.После деления мы больше не работаем с натуральными числами. Скорее, у нас остается действительное число, в данном случае дробь.

Сумма или произведение натуральных чисел также являются натуральными числами. Например, 5 + 5 = 10 (все три из которых являются естественными) или 10 · 15 = 150.

Точно так же в физическом мире «натуральных» чисел нет смысла говорить, что у нас есть «что-то отрицательное». Скорее мы говорим, что у нас есть ноль чего-то там, где его нет.Используя приведенный выше пример с учителем, если у учителя в настоящее время нет учеников в его классе, у него нет учеников; В реальном мире нет смысла иметь отрицательных учеников.

Полный набор целых чисел равен набору из неотрицательных целых чисел. Целые числа похожи на целые числа, за исключением того, что они также могут быть отрицательными или нулевыми. Например: -10, -3, 0, 1 5.
Статья по теме: Целочисленные последовательности (CalculusHowTo.com).

Несколько примеров целых чисел: 3, 15, 998, 2, 232, 589.

Все следующие числа являются , а не целыми числами:

Десятичные : 0,1, 5,23, 15,999, 1,7 ².
Фракции : ½, 1/27, 2 ½, 99/100.
Отрицательные числа: -10, -99, -521.

В теории множеств целые числа подчиняются нескольким правилам. Набор целых чисел:
Замкнут на сложение и умножение. Возьмите два целых числа a и b. Если вы сложите затем (a + b = c), то «c» также будет целым числом.То же верно и для умножения: a · b = d.

Давайте рассмотрим несколько конкретных примеров с числами вместо переменных:

Набор целых чисел не закрывается для деления и вычитания. Если a — целое число, то существует еще одно целое число b, которое дает нецелочисленное решение. В обозначениях это:

Где «b», «c» и «d» не целые числа.

Примеры :

Вычитание:
6 и 10 — целые числа,
, но 7-9 = -2, что не является целым числом.
Раздел :
4 и 5 — целые числа, но 4/5 — не целые числа.

Целые числа коммутативны для сложения и умножения. Вы не можете вычесть два целых числа в любом порядке и получить тот же результат.
В обозначениях: Для каждого a, b в множестве целых чисел a + b = b + a и a · b = b a.
Пример : 10 — 1 не то же самое, что 1 — 10.
Целые числа ассоциативны для сложения и умножения.Порядок добавления не важен (их можно сгруппировать в разном порядке).
Для любых a, b и c в наборе целых чисел a (b · c) = (a · b) · c и (a + b) + c = a + (b + c).
Набор целых чисел включает аддитивную идентичность (0). Ноль — это аддитивная идентичность целых чисел. В обозначениях a + 0 = a для каждого целого числа a.
Мультипликативное тождество равно 1. Умножьте любое целое число на 1, и вы получите тот же результат. В обозначениях 1 · a = a.

Натуральное число: Каталожный номер

Расширение натуральных чисел до целых

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые решения на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

Натуральные числа (определение и примеры)

Если есть на что вы можете рассчитывать, так это на пальцы ног. На самом деле, пальцы рук и ног — это, естественно, одни из первых объектов, которые люди считают. Вы научились считать пальцы на руках, ногах и игрушки, когда были совсем маленькими. Вы считали натуральными числами.

Натуральные числа — основы математики.

Содержание

Что такое натуральные числа?
0 — натуральное число?
Объединение натуральных чисел
Примеры натуральных чисел

Что такое натуральные числа?

В алгебре Натуральные числа определяются как счетные числа; положительные целые числа, начинающиеся с 1 и постоянно увеличивающиеся на 1.Ноль не является натуральным числом.

Другое определение натуральных чисел — целые положительные числа. Натуральные числа никогда не являются отрицательными числами или дробями, поэтому не все рациональные числа являются натуральными числами.

В математике символ для набора натуральных чисел — это N.

Набор натуральных чисел

Когда математики описывают группу или набор целых чисел, они используют скобки и эллипсы, например: ….

Многоточие означает, что набор продолжается в одном или двух направлениях, уменьшаясь или увеличиваясь предсказуемым образом.

Набор натуральных чисел выглядит так:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 …}

Первые пять натуральных чисел — это 1, 2, 3, 4, 5. Обратите внимание, что набор начинается с 1, а не с 0.

Набор натуральных чисел всегда будет набором положительных целых чисел.

Посмотрите на свои пальцы. Вы можете мысленно сосчитать, используя натуральные числа, и обнаружить, что у вас (в большинстве случаев) восемь пальцев и два больших пальца.

футов? Две ноги; десять пальцев.Волосы на голове? Что ж, это может занять больше времени, но в среднем у вас будет 100000 таких чисел из этой части набора целых чисел:

… 99 996; 99,997; 99,998; 99,999; 100 000 … 9 000 5

Когда вам нужны запятые для разделения точек в числах, вы заменяете запятую между числами в наборе точкой с запятой.

Натуральные числа называются «натуральными», потому что они являются естественным способом подсчета объектов с использованием взаимно однозначного соответствия . У нас есть одно число для каждого объекта, независимо от того, что мы считаем, реальное или воображаемое.

Вот ровно девять счетных примеров:

Кексы для раздачи
Книги на полке
Идеи, о которых вы думали между 9:17 и 9:41
Атомы в вашем теле
Песчинки на пляже
Количество элементов в таблице Менделеева
звезд в нашей солнечной системе
Галактики во Вселенной
Атомы во всех звездах всех галактик Вселенной

Кардинальные числа — это натуральные числа, используемые для счета.Порядковые номера — это натуральные числа, используемые для упорядочивания.

Ни в коем случае процесс подсчета этих предметов не начинается с 0, что является проблемой.

0 — натуральное число?

Большинство математиков, учителей и профессоров считают 0 целым числом, но не натуральным числом. Некоторые, однако, действительно считают 0 натуральным числом:

{0, 1, 2, 3, 4, 5…}

Его использование в физике, например, допускает нулевой закон термодинамики.

Если вы не уверены, как в вашем учебнике, учителе или профессоре используется 0 (целое число, натуральное число или что-то еще?), Спросите.

Для этого класса, курса или учебника следуйте тому, что вам говорят, но поймите, что математика часто является таким же мнением, как и точность, поэтому другой курс, учебник или класс могут рассматривать 0 по-другому.

Объединение натуральных чисел

Натуральные числа можно комбинировать с помощью операций:

Сложение — сложение натуральных чисел всегда дает еще одно натуральное число
Вычитание — Вычитание натуральных чисел может привести к отрицательному целому числу
Умножение — Умножение натуральных чисел всегда дает другое натуральное число
Деление — При делении натуральных чисел можно получить десятичные, дробные или смешанные числа

Вот четыре примера, демонстрирующих эти качества:

2 + 7 = 9
7-2 = 5, но 2-7 = -5
2 × 7 = 14
72 = 3.5 или 3 12

Примеры натуральных чисел

Вот ровно восемь задач, чтобы узнать, знаете ли вы свои натуральные числа:

Напишите натуральные числа, заканчивающиеся на 11.
100 — натуральное число?
Если вы пересчитаете все книги по математике на полках, вы получите натуральное число или что-то еще?
Какое из этих чисел является натуральным? -1, 0, 365
Какое натуральное число находится между 5,5 и 7,1?
Какие натуральные числа больше 23 12, но меньше 31 13?
Является ли ответ 4 × 9 натуральным числом?
Является ли ответ на 5-5 натуральным числом?

Мы знаем, что вы, естественно, хотите подглядывать, но не делайте этого! Сначала проработайте их, а затем посмотрите ответы ниже.

Натуральные числа, оканчивающиеся на 11: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Обратите внимание, что эллипса нет, поскольку это конечный набор действительных чисел.
Число 100 — натуральное число.
Количество книг по математике на ваших книжных полках будет натуральным числом.
Только 365 — натуральное число, потому что -1 — отрицательное целое число, а 0 — целое число, но не натуральное число (в большинстве случаев).
Натуральное число между 5.5 и 7.1 равно 6.
Натуральные числа больше 23 12, но меньше 31 13 равны {24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}.
Ответ на 4 × 9, 36, натуральное число.
Ответ на 5 — 5, 0 обычно не считается натуральным числом.

Если мы спросим вас, сколько натуральных чисел находится между 1 и 2, в качестве ответа вы могли бы получить пустое множество , {}. Пустой набор — это набор, не имеющий элементов; его мощность равна нулю.

Следующий урок:

Система Axiomatic

Что такое натуральные числа? — Определение и примеры — Видео и стенограмма урока

Дальнейшее обсуждение и примеры натуральных чисел

В следующих примерах учащиеся продемонстрируют свои знания о множестве натуральных чисел и о том, как этот набор сравнивается с другими наборами чисел.Будут исследованы другие операции с натуральными числами, чтобы определить, является ли результат по-прежнему натуральным числом. После выполнения примеров учащиеся должны иметь твердое представление о том, что такое натуральные числа и чем они отличаются от других наборов чисел.

Примеры

1) Какие из следующих чисел являются натуральными? 3, 19, -9, 27,5, 1, -3. Откуда вы знаете?

2) Возведенное в квадрат натуральное число также является натуральным числом? Как насчет квадратного корня из натурального числа?

3) Целые числа, обозначаемые Z, представляют собой набор положительных или отрицательных целых чисел и нуля.Действительные числа, обозначаемые R, представляют собой набор положительных или отрицательных целых или десятичных чисел и нуля. Каждое натуральное число тоже целое? Каждое натуральное число также является действительным числом?

Решения

1) Числа 3, 19 и 1 — натуральные числа, потому что они являются целыми положительными числами. -9 и -3 не являются натуральными числами, потому что они отрицательны, а 27,5 не является натуральным числом, потому что это не целое число.

2) Натуральное число в квадрате — это натуральное число, умноженное само на себя.2 = 3 * 3 = 9 по-прежнему является натуральным числом. Квадратный корень из натурального числа может быть натуральным числом, но обычно это не так. Например, квадратный корень из 4 равен 2, что является натуральным числом, но квадратный корень из 5 составляет приблизительно 2,236, что не является натуральным числом, поскольку это не целое число. Не гарантируется, что квадратный корень из натурального числа будет натуральным числом.

3) Поскольку набор целых чисел включает в себя положительные или отрицательные целые числа и ноль, а набор натуральных чисел является набором положительных целых чисел (и, возможно, нуля), натуральные числа удовлетворяют условиям, чтобы быть целым числом.Таким образом, каждое натуральное число также является целым числом, но не каждое целое число является натуральным числом. Точно так же, поскольку набор действительных чисел включает в себя положительные или отрицательные целые или десятичные числа и ноль, натуральное число удовлетворяет условиям, чтобы быть действительным числом. Таким образом, каждое натуральное число также является действительным числом, но не каждое действительное число является натуральным числом.

Обсуждение

На уроке мы узнали, что если вы сложите или умножите два натуральных числа, результатом будет натуральное число, и что это не работает для деления или вычитания.Означает ли это, что натуральное число, деленное на другое натуральное число, никогда не может быть натуральным числом? Всегда ли при вычитании натуральных чисел получается неестественное число?

Руководство к обсуждению

Цель обсуждения состоит в том, чтобы студенты пришли к выводу, что деление и вычитание натуральных чисел не гарантирует получение натурального числа, но есть примеры, когда результатом является натуральное число. Например, 10/5 = 2 по-прежнему является натуральным числом, но 5/10 = 0.5 нет. Точно так же 5-10 = -5 не является естественным, но 10-5 = 5 является естественным. Посмотрите, смогут ли студенты придумать правило деления или вычитания натуральных чисел, для которого результат гарантированно будет естественным.

Типы чисел — различие и классификация

Можете ли вы представить, какой была бы ваша жизнь, если бы у вас не было возможности представить возраст, вес, дни рождения, время, результаты, банковские счета и номера телефонов? Десять математических цифр (от 0 до 9) используются для определения всех этих величин.

Числа — это цепочки цифр, используемые для представления количества. Величина числа указывает размер количества. Он может быть как большим, так и маленьким. Они существуют в разных формах, например, 3, 999, 0,351, 2/5 и т. Д.

Типы чисел в математике

Так же, как разные члены семьи живут в разных домах, разные числа принадлежат к одной семье, но имеют разные типы. . Со временем различные комбинации десяти цифр были классифицированы на множество типов чисел.Эти шаблоны чисел отличаются друг от друга из-за разных представлений и свойств.

Натуральные числа

Натуральные числа или счетные числа — это самые основные типы чисел, которые вы впервые выучили в раннем детстве. Они начинаются с 1 и уходят в бесконечность, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Их также называют положительными целыми числами. В установленной форме они могут быть записаны как:

{1, 2, 3, 4, 5,…}

Натуральные числа представлены символом N .

Целые числа

Целые числа — это набор натуральных чисел, включая ноль. Это означает, что они начинаются с 0 и увеличиваются до 1, 2, 3 и т. Д., Т.е.

{0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

Целые числа представлены символом W .

Целые числа

Целые числа — это совокупность всех целых чисел и отрицательных чисел натуральных чисел. Они содержат все числа, лежащие между отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью. Они могут быть положительными, нулевыми или отрицательными, но не могут быть записаны в десятичной или дробной форме.Целые числа могут быть записаны в виде набора как

{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Мы можем сказать, что все целые числа и натуральные числа являются целыми, но не все целые числа — это натуральные или целые числа.

Символ Z представляет целые числа.

Дроби

Дробь представляет собой части целого. Его можно записать в виде a / b , где a и b являются целыми числами, а b никогда не может быть равно 0.Все дроби являются рациональными числами, но не все рациональные числа являются дробями.

Далее дроби сокращаются до правильных и неправильных дробей. Неправильные дроби — это дроби, в которых числитель больше знаменателя, в то время как для правильных функций верно обратное, т.е. знаменатель больше числителя. Примеры правильных дробей: 3/7 и 99/101, а 7/3 и 101/99 — неправильные дроби. Это означает, что неправильные дроби всегда больше 1.

Все завершающие десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби могут быть записаны как дроби.Вы можете записать завершающую десятичную дробь 1,25 как 125/100 = 5/4. Повторяющееся десятичное число 0,3333 можно записать как 1/3.

Рациональные числа

Можно записывать рациональные числа в форме дробей. Слово «рациональный» происходит от слова «соотношение», поскольку рациональные числа — это отношения двух целых чисел. Например, 0,7 — рациональное число, потому что его можно записать как 7/10. Другими примерами рациональных чисел являются -1/3, 2/5, 99/100, 1,57 и т. Д.

Рассмотрим рациональное число p / q , где p и q — два целых числа.Здесь числитель p может быть любым целым числом (положительным или отрицательным), но знаменатель q никогда не может быть 0, поскольку дробь не определена. Кроме того, если q = 1, то дробь является целым числом.

Символ Q представляет рациональные числа.

Иррациональные числа

Иррациональные числа нельзя записать в дробной форме, т.е.они не могут быть записаны как отношение двух целых чисел. Вот несколько примеров иррациональных чисел: √2, √5, 0,353535…, π и так далее.Вы можете видеть, что цифры в иррациональных числах продолжаются до бесконечности без повторяющегося шаблона.

Символ Q обозначает иррациональные числа.

Действительные числа

Действительные числа — это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Сюда входят все числа, которые можно записать в десятичной форме. Все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами. Действительные числа включают в себя все целые числа, целые числа, дроби, повторяющиеся десятичные дроби, завершающие десятичные дроби и т. Д.

Символ R представляет действительные числа.

Мнимые числа

Числа, отличные от действительных, являются мнимыми или комплексными числами. Когда мы возводим в квадрат мнимое число, это дает отрицательный результат, что означает, что это квадратный корень из отрицательного числа, например, √-2 и √-5. Когда мы возводим эти числа в квадрат, получаем -2 и -5. Квадратный корень из отрицательной единицы представлен буквой i , т.е.

i = √-1

Пример 1

Что такое квадратный корень из -16? Запишите свой ответ в виде мнимого числа i .

Решение

Шаг 1. Запишите форму квадратного корня.

√ (-16)

√ (16 × -1)

Шаг 3. Разделите квадратные корни.

√ (16) × √ (-1)

Шаг 4: Найдите квадратный корень.

4 × √ (-1)

Шаг 5: Запишите в форме i.

4 i

Иногда вы получаете воображаемое решение уравнений.

Пример 2

Решите уравнение:

x ² + 2 = 0

Решение

Шаг 1. Возьмите постоянный член с другой стороны уравнения.

x ² = -2

Шаг 2. Извлеките квадратный корень с обеих сторон.

√ x ² = + √-2 или -√-2

x = √ (2) × √ (-1)

x = + √2 i или -√2 i

Шаг 4. Проверьте ответы, подставив значения в исходное уравнение, и посмотрите, получим ли мы 0.

x ² + 2

(+ √2 i ) ² + 2 = -2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)

(-√2 i ) ² + 2 = -2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)

Просто потому, что их имя «воображаемый» не означает, что они бесполезны. У них много приложений. Одно из самых больших применений мнимых чисел — их использование в электрических цепях.Вычисления силы тока и напряжения производятся в виде мнимых чисел. Эти числа также используются в сложных вычислительных вычислениях. В некоторых местах мнимое число также обозначается буквой j .

Комплексные числа

Мнимое число комбинируется с действительным числом, чтобы получить комплексное число. Оно представлено как a + bi , где действительная часть и b являются комплексной частью комплексного числа. Действительные числа лежат на числовой прямой, а комплексные числа — на двумерной плоскости.

Подобно мнимым числам, комплексные числа тоже не бесполезны. Они используются во многих приложениях, таких как «Сигналы и системы» и «Преобразование Фурье».

Простые числа и составные числа

Простые и составные числа противоположны друг другу. Простые числа — это целые числа без факторов, кроме них самих и 1, например 2, 3, 5, 7 и т. Д. Число 4 не является простым числом, потому что оно делится на 2. Точно так же 12 также не является простым числом, потому что оно делится на 2, 3 и 4.Таким образом, 4 и 12 являются примерами составных чисел.

Трансцендентные числа

Числа, которые никогда не могут быть нулем (или корнем) полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными числами. Не все иррациональные числа являются трансцендентными числами, но все трансцендентные числа являются иррациональными числами.

Классификация чисел

Семейство чисел, которое мы видели выше, также можно разделить на разные категории. Это похоже на то, что в семье 20 человек, но они живут в двух совместных семейных домах по 10 человек в каждом, что означает, что 10 человек живут в одном доме.Мы можем сказать, что два или более типа чисел могут подпадать под одну категорию.

Дискретные и непрерывные числа

Типы счетных чисел называются дискретными числами, а типы чисел, которые не могут быть подсчитаны, называются непрерывными числами. Все натуральные, целые, целые и рациональные числа дискретны. Это потому, что каждый их набор является счетным. Набор действительных чисел слишком велик и не может быть посчитан, поэтому классифицируется как непрерывные числа.Если мы случайным образом возьмем два ближайших действительных числа, между ними все равно будет существовать бесконечно больше вещественных чисел; следовательно, их нельзя сосчитать.

Наборы номеров

Номера также можно классифицировать в виде наборов. Каждый тип числа является подмножеством другого типа числа. Например, натуральные числа — это подмножество целых чисел. Точно так же целые числа — это подмножество целых чисел. Набор рациональных чисел содержит все числа и дроби. Наборы рациональных чисел и иррациональных чисел образуют действительные числа.Действительные числа относятся к комплексным числам с мнимой частью как 0. Мы можем классифицировать эти числа в иерархической диаграмме, как показано ниже:

Натуральные числа могут быть далее сокращены до четных, нечетных, простых, простых, составных и точных квадратов. числа.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Натуральные числа

В натуральные числа числа, которые мы используем для подсчета. Набор натуральных чисел обычно обозначается символом N .

N знак равно { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , … }

Натуральные числа часто представлены как точки на числовой прямой, расположенные через равные промежутки времени, как показано на рисунке, постоянно увеличивающиеся в направлении стрелки.

Сумма или произведение двух натуральных чисел также является натуральным числом.Например,

Сумма: 2 + 3 знак равно 5

Товар: ( 2 ) ( 3 ) знак равно 6

Это не всегда верно в отношении разностей или частных натуральных чисел. Например, 5 — 2 знак равно 3 натуральное число, но 3 — 5 не является. То есть, когда мы вычитаем большее натуральное число из меньшего натурального числа, мы не получаем натуральное число.

Сходным образом, 6 ÷ 3 знак равно 2 это натуральное число, но 3 ÷ 6 не является. Когда мы делим натуральные числа, которые не делятся равномерно, мы не получаем натуральное число.

Набор натуральных чисел и нуля называется целые числа . Набор целых чисел обычно обозначается символом W .

W знак равно { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , … }

Целые числа часто представляются как точки на одинаковом расстоянии друг от друга. числовая строка , как показано на рисунке, постоянно увеличиваясь в направлении стрелки

Сумма или произведение двух целых чисел также является целым числом, но разность или частное двух целых чисел не всегда является целым числом.

натуральных, целых, рациональных, иррациональных, действительных чисел и выше

Натуральные числа

натуральное число (или , считая ) числа — это 1,2,3,4,5 и т. Д.Есть бесконечно много натуральных чисел. Набор натуральных чисел, {1,2,3,4,5, …}, иногда для краткости пишут N .

целых чисел — натуральные числа вместе с 0.

(Примечание: некоторые учебники не согласны с этим и говорят, что натуральные числа включают 0.)

Сумма любые два натуральных числа также являются натуральными числами (например, 4 + 2000 = 2004), а произведение любых двух натуральных чисел натуральное число (4 × 2000 = 8000). Этот однако это неверно для вычитания и деления.

Целые числа

целых чисел — это набор действительных чисел, состоящий из натуральных чисел, их аддитивных обратных чисел и нуля.

{…, — 5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, …}

Набор целых чисел иногда написано J или Z для краткости.

сумма, произведение и разность любых двух целых чисел также являются целыми числами. Но это не относится к делению … просто попробуйте 1 ÷ 2.

Рациональные числа

рациональных чисел те числа, которые можно выразить как отношение между два целых числа.Например, дроби 13 и −11118 являются рациональное число. Все числа входят в рациональные числа, поскольку любое целое число z можно записать как отношение z1.

Все десятичные дроби, которые заканчиваются, являются рациональными числами (с версии 8.27 можно записать как 827100.) Десятичные дроби которые после некоторой точки имеют повторяющийся узор, также являются рациональными: например,

0,0833333 …. = 112.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех основных операций, то есть для любых двух рациональных чисел их сумма, разница, произведение и частное также являются рациональным числом (пока мы не делим на 0).

Иррациональные числа

Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде отношения (или дроби). В десятичной форме он никогда не заканчивается и не повторяется. В древние греки обнаружили, что не все числа рациональны; там — это уравнения, которые нельзя решить с помощью отношений целых чисел.

Первое такое уравнение для изучения было 2 = x2. Что само число умноженное на 2?

2 является около 1,414, поскольку 1,4142 = 1,999396, что близко к 2. Но вы никогда не попадете точно, возведя дробь в квадрат (или завершив десятичная дробь).Квадратный корень из 2 — иррациональное число, то есть его десятичный эквивалент продолжается вечно, без повторяющегося образца:

2 = 1,41421356237309 …

Другой известный иррациональный числа золотое сечение , число с большим значение для биологии:

1 + 52 = 1,61803398874989 …

π (пи), отношение длины окружности к ее диаметру:

π = 3,14159265358979 …

и е, самое важное число в исчислении:

е = 2.71828182845904 …

Иррациональные числа можно разделить на алгебраических чисел, которые являются решениями некоторого полиномиального уравнения (например, 2 и золотое сечение), и трансцендентных чисел, которые не являются решениями какого-либо полиномиального уравнения. π и e оба трансцендентны.

Реальные числа

Действительные числа — это набор чисел, содержащий все рациональные числа и все иррациональные числа. Настоящие числа — это «все числа» в числовой строке.Существует бесконечно много действительных чисел, как и бесконечно много чисел в каждом из других наборов чисел. Но можно доказать, что бесконечность действительных чисел на больше бесконечности.

«Меньший», или счетных бесконечности целых чисел и rationals иногда называют ℵ0 (alef-naught), и бесчисленных бесконечности реалов называется ℵ1 (алеф-он).

Есть еще «большие» бесконечности, но для этого вам следует пройти курс теории множеств!

Комплексные числа

Комплексные числа — множество {a + bi | a и b — действительные числа}, где i — мнимая единица, −1.(нажмите здесь, чтобы подробнее о мнимых числах и операциях с комплексными числами).

Комплексные числа включают набор действительных чисел. Действительные числа в сложной системе записываются в виде a + 0i = a. реальное число.

Этот набор иногда бывает записывается как C для краткости. Набор комплексных чисел важно, потому что для любого полинома p (x) с коэффициентами действительного числа все решения p (x) = 0 будут в C .

За пределами …

Есть и «большие» наборы чисел, используемых математиками.Кватернионы , открытые Уильямом Х. Гамильтоном в 1845 году, образуют систему счисления с тремя разные мнимые единицы!