Изготовьте математический маятник: Изготовьте математический маятник длиной рассчитанной в контрольном вопросе 1. экспериментально определите период его колебаний. результат проанализируйте и сделайте выводы

№

опыта

Длина нити

маятника

l, м

Число полных колебаний

N

Время

колебаний

t, с

Период

колебаний

T, с

1

20

2

20

3

20

4

20

ВЫВОД:

1. Изобразите математический маятник в крайней правой точке и покажите на чертеже силы, действующие на шарик в данной точке траектории. Нарисуйте равнодействующую сил. Как меняется величина и направление равнодействующей сил в течение периода?

2.Каким будет характер движения маятника А) при его перемещении от положения равновесия до амплитудного значения координаты? Б) при его перемещении от амплитудного значения к положению равновесия?

3. Как будет меняться период колебаний ведерка с водой, подвешенного на очень длинном шнуре: А) если из отверстия в его дне постепенно будет вытекать вода? Б) если увеличить длину шнура? Какой математический закон или формулу вы использовали при ответе на данные вопросы?

Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

Лабораторная работа 1

«Изучение колебаний груза на нити»

Цель: изучение зависимости характеристик математического маятника от амплитуды колебаний, массы груза, длины нити.

Оборудование: два математических маятника с подвесами (шариками различной массы), штатив с зажимом, линейка, секундомер, весы, разновес.

Ход работы

1. Найдите массу шарика первого маятника путем взвешивания: m₁=200г =0.2 кг.

2. Измерьте длину маятника (от точки подвеса до центра шарика). Длина должна быть не менее 1м. l₁= 40 см = 0.4м.

3. Изучите зависимость периода колебаний маятника от амплитуды его колебаний

Таблица 1.

4. Исходя из формулы период малых колебаний маятника не зависит от амплитуды его колебаний ( Ответ на 4)

 По результатам измерений и вычислений сделайте вывод, зависит ли период малых колебаний маятника от амплитуды его колебаний.

5. Найдите массу шарика второго маятника путем взвешивания: m₂= 100 г = 0.1 кг.

Таблица 2.

№	l1, м	m2, кг	N	, м	, с	T, c	Tсредн, c
	0.4	0.1		0.1		1.268	1.268
						1.268
						1. 268

6. Сравните полученное значение периода колебаний с полученным в таблице 1. По результатам измерений и вычислений сделайте вывод, зависит ли период малых колебаний маятника от массы шарика. 

 Исходя из формулы периода малых колебаний мятника не зависит от массы шарика  

7. Измените длину маятника: сначала l₂=75см и затем l₃=50см. Повторите измерение периода колебаний, оставив неизменными массу m₂ шарика и амплитуду  его колебаний.

Таблица 3.

№	l, м	m2, кг	N	, м	, с	T, c	Tсредн, c
	0.75	0.1		0.1		1. 736	1.736
						1.736
						1 .736
	0.5					1.418	1.418
						1.418
						1.418

8. По результатам измерений и вычислений сделайте вывод, зависит ли период колебаний маятника от его длины.

Период колеб. маятника зависит от 2 его длины

Контрольные вопросы:

1) Какую длину имеет математический маятник, период колебаний которого π секунд?

 T=2π√(L/g)  L=gT²/4π²

2)Как изменится период колебаний маятника, если массу шарика уменьшить в 3 раза, а длину нити маятника увеличить в 3 раза?

Масса не влияет ,а при увеличении длины в 3 раза ,период увеличивается в 3 раза

Выводы:

Мы научились: изучение зависимости характеристик математического маятника от амплитуды колебаний, массы груза, длины нити

Суперзадание. Изготовьте математический маятник длиной 1 м. Экспериментально определите период его колебаний. Результат проанализируйте и сделайте вывод.

См. также « Программа заочной нелинейной школы«

Одна из задач физики — определение численных значений физических величин. Однако, для этого иногда нужно построить слишком сложную теорию или выполнить громоздкие расчеты. Поэтому бывает очень полезно определить приближенное, примерное значение физической величины. Как говорят физики, нужно оценить физическую величину. Один из известных наших физиков академик А.Б. Мигдал писал: “Решение большинства задач теоретической физики начинается с применения качественных методов, которые составляют наиболее привлекательную и красивую особенность этой науки. Под качественными методами мы понимаем размерные оценки и оценки с помощью простых моделей”

В жизни мы непрерывно сталкиваемся с оценками, которые делаем интуитивно. Например, вы оцениваете, сколько времени уйдет на выполнение домашнего задания. Стоя в очереди, нетрудно оценить, сколько времени уйдет на покупку товара. Для этого нужно «прикинуть», сколько человек стоит в очереди, и сколько времени уходит на отпуск товара одному покупателю. Поскольку вы делаете оценку, а не хотите знать результат точно, то ответы 1 час 15 минут и 1 час 33 минуты будут одинаково правильными. Действительно, ситуация, когда вам надо ждать 1 час с минутами совершенно иная, чем та, когда надо ждать 2-3 минуты. Таким образом, числа, которые отличаются в 2 — 3 раза - это числа одного порядка. Если же числа отличаются в 10 раз, говорят, что они отличаются на один порядок, если в 100 — на два порядка и т.д.

Теперь понятно, почему в физике столь полезна запись в виде числа порядка единицы, умноженного на 10 в соответствующей степени. Ведь эта степень сразу дает порядок самого числа.

Итак, для физика очень ценно представлять примерный порядок величины. Это дает важную информацию о том, что учитывать, а что не учитывать в теории. Например, нужно ли учитывать электромагнитные поля звезд при описании образования галактик? С помощью метода оценок можно быстро получать ответы на совершенно неожиданные вопросы. Например, каково давление в центре Земли? С какой высоты можно прыгать в воду, чтобы не разбиться? Какова толщина льда, при которой машина не провалится? (Такую оценку делали физики в Ленинграде во время войны.)

Давайте решим две задачи на определение порядка величин.

Сначала оценим период колебаний математического маятника (рис.). Пусть в начальный момент времени маятник находится в точке А, которой на рисунке соответствует максимальное удаление маятника от точки В — положения равновесия. Тогда период колебаний есть учетверенный промежуток времени, за который маятник пройдет дугу АВ. Для оценки заменим его истинное движение по дуге окружности движением по хорде. Тогда движение маятника — это просто скольжение по наклонной плоскости, угол которой с горизонтом составляет . Значит, ускорение будет равно . Длина наклонной плоскости , где l — длина нити. Теперь с помощью известного соотношения кинематики находим время движения по хорде _{, а значит период колебаний .}

Сравним наш результат с тем, что на самом деле известно о движении маятника. Период малых колебаний строго вычисляется и дается формулой . Итак, с помощью нашей оценки мы обнаружили, что период малых колебаний не зависит от их амплитуды, а это правильный результат. Далее, мы правильно определили зависимость периода от длины нити l и ускорения свободного паденияg. Наконец, мы получили оценку численного коэффициента в формуле для периода 8, которая отличается от точного значения на 27%. Однако, для оценки порядка величины это не плохой результат. А в чем мы ошиблись? Как мы уже сказали — в величине точного численного коэффициента. Кроме того, из нашего рассуждения следует, что период колебаний вообще не зависит от начального отклонения маятника (т.е. от его амплитуды), что на самом деле не так. Говорят, что большие колебания маятника неизохронны.

Вы решили задачу и продолжаете читать дальше, но вас раздражает писк влетевшего в комнату комара. Оценим частоту звука, генерируемого летящим комаром. Предположим, что звук возникает от периодического взмахивания крылышек комара. Конечно, на самом деле физика полета комара сложнее. Но мы воспользуемся грубой моделью. Пусть сила тяжести, действующая на комара, компенсируется изменением импульса воздуха в единицу времени, которое создается взмахами крылышек, т.е. , — изменение импульса воздуха, — время движения крылышек, т — масса комара, g — ускорение свободного падения. Масса воздуха с плотностью , отбрасываемая вниз за время движения кры­лышек площадью S со скоростью v, может быть выражена формулой: . При этом массе сообщается импульс , что создает силу , действующую на крылышко вверх. В качестве характерного размера комара введем его длину l (1-4 мм) и будем считать, что размах его крыльев порядка длины. Тогда площадь пары крыльев S~l². Так как поперечные размеры комара без крылышек существенно меньше его длины, оценим его объем как 1/10l³. Плотность голодного комара примем равной плотности воды r. Если частота взмаха крылышек f, то скорость крыла v~lf. Из условия равновесия комара F~mg, используя полученные оценочные соотношения, находим:

,

.

А поскольку, F~mg, то получаем

.

Если подставит сюда численные значения всех величин, то найдем f~400 Гц.

Получился вполне разумный порядок величины частоты. Из нашей формулы следует, что частота обратно пропорциональна корню квадартному из размера насекомого l. Это значит, что чем крупнее насекомое, тем ниже издаваемый им звук. Действительно, вас раздражает тонкий звенящий звук (писк) комара, но вы уважительно прислуживаетесь к жужжанию пчелы или гудению шмеля.

Большим мастером оценок физических величин был выдающийся физик Энрико Ферми. На своих лекциях он проводил за считанные минуты оценку числа настройщиков роялей в Чикаго. (Как это сделать?)

Давайте сделаем еще несколько занимательных оценок. Оценим число домашних кошек в Саратове. В Саратове порядка 10⁶ человек. В каждой семье около 3-5 человек. Значит, в Саратове порядка 2·10⁵семей. Зная сколько человек сидит в классе, можно быстро подсчитать долю семей, в которых есть кошки. Это число колеблется от 1/4 до 1/2. Таким образом, в Саратове около 5·10⁴ -10⁵ домашних кошек. Точно также можно оценить число домашних собак, телефонов и т.д.

Оценки можно делать из разных соображений, здесь важен не столько путь решения, сколько результат. Например, число домашних телефонов можно оценить так. Практически каждый видел телефонные справочники, это две книги по 300-400 страниц. На каждой странице около сотни телефонов. Значит, число домашних телефонов, зарегистрированных на момент создания справочника, порядка 80 тысяч.

В физике оценки позволяют очень быстро получать важные результаты. Например, во время испытания первой атомной бомбы Энрико Ферми почти мгновенно оценил мощность ядерного взрыва, измерив вызванное ударной волной смещение клочков бумаги, которые он сыпал на землю.

Итак, нужно уметь оценивать физические величины. Это умение должно стать очень естественным для вас, настолько, чтобы вы могли в своей работе следовать правилу физика, специалиста по теории атомного ядра и гравитации Уилера, учителя другого выдающегося физика Ричарда Фейнмана: «Никогда не начинай вычислений, пока не знаешь ответа. Каждому вычислению предпосылай оценочный расчет: привлеки простые физические соображения (симметрию! инвариантность!) до того, как начинать подробный вывод; продумай возможные ответы на каждую загадку. Будь смелее: ведь никому нет дела до того, что именно ты предположил. Поэтому делай предположения быстро, интуитивно. Удачные предположения укрепляют эту интуицию. Ошибочные предположения дают полезную встряску». Если вернуться к началу нашего задания, то нетрудно увидеть, что мы все время пользовались правилом Уилера, которое хорошо коррелирует с высказываниями А.Б.Мигдала.

Задачи

1. Оцените давление, оказываемое стоящим человеком на поверхность Земли.
2. Оцените выталкивающую силу, действующую на человека со стороны воздуха в жилой комнате.
3. Сколько весит вода в океане?
4. Оцените размер астероида, на котором подпрыгнувший космонавт не улетит в космос.
5. Оцените видимый горизонт для взрослого человека.
6. Сколько шариков от пинг-понга поместится в классной комнате?
7. Оцените размер астероидов, начиная с которого они имеют форму шара. Считайте, что прочность горных пород на Земле и астероиде одинакова. Как соотносится ваш результат с данными наблюдений с автоматических космических станций?
8. Оцените количество теплоты, выделяемое при экстренном торможении грузового железнодорожного состава.
9. Оцените давление, оказываемое на землю кошкой.
10. Оцените длину шкурки, которую снимают, почистив 1 кг картофеля. Зависит ли эта длина от размера картошин, если да, то как.
11. Оцените время «кругосветного» путешествия муравья вокруг типичного дачного участка. Оцените мощность электроснабжения Вашего дома в вечерние часы.
12. Айсберг имеет характерный линейный размер порядка 30 м. Оцените объем надводной части айсберга.

2. Размерности физических величин

Кроме численных значений, физические величины характеризуются своей размерностью. С понятием размерности мы знакомимся еще до того, как начинаем изучать физику. Например, мы хорошо знаем, что длина измеряется в метрах, масса в граммах и т. д. На первый взгляд кажется, что размерность играет вспомогательную роль. На самом деле это не так. Размерность — хороший помощник физика. Умение обращаться с размерностью помогает избежать ошибок в преобразованиях, а иногда дает возможность получить ответ к задаче, когда другие способы решения найти не удается.

Давайте поговорим о размерности подробнее. Не указав размерности, нельзя сопоставить физической величине какое-либо число. Например, бессмысленно сказать, что длина предмета равна 10. Надо обязательно уточнить, чего 10? Метров, сантиметров, а может быть парсек? Вот эта дополняющая число информация и называется размерностью. Таким образом, размерность физической величины устанавливает, с каким эталоном надо соотнести число. Если длина стены равна 10 метров, это означает, что вдоль стены можно уложить 10 раз линейку метровой длины.

Существуют основные размерности. Они соответствуют физическим величинам, которые людям проще измерять. Обычно это длина, масса, время. Им соответствуют размерности «метр», «килограмм», «секунда» или сокращенно «м», «кг», «с». Остальные физические величины имеют производную размерность, например, размерность скорости — «м/с», ускорения — «м/с²« и т.д. Вообще-то, можно придумать единицу скорости, и считать ее основной. Тогда производной станет единица длины. Принципиальных возражений против этого нет, но это очень неудобно.

В физических соотношениях размерности правой и левой части всегда должны быть равны. Невозможна запись

3 бегемота — 2 бегемота = 1 крокодилу.

Также не верна запись

100 бегемотов = 100 килобегемотов,

хотя, казалось бы, цифры одинаковы.

Это правило позволяет быстро находить ошибку, когда вы проводите большое количество промежуточных расчетов.

Но простая проверка преобразований — это далеко не все выгоды размерности. Оказывается, анализ размерности физических величин позволяет получать новые формулы. Соответствующий прием называют методом размерностей. Давайте научимся пользоваться этим методом. Отыщем формулу для объема шара. Первый этап решения задачи с помощью метода размерности состоит в том, что определяются все величины, которые могут войти в искомую формулу. Ясно, что объем шара может зависеть только от его радиуса R. Выпишем размерности всех интересующих нас величин:

[V] = м³, [R] = м.

Единственный способ, с помощью которого из размерности «м» можно получить «м³«, состоит в том, чтобы возвести радиус в куб. Поэтому искомая формула имеет вид:

V=CR³.

В полученное соотношение вошел некоторый неизвестный нам численный коэффициент, который мы обозначили через C. Это число нельзя определить с помощью метода размерностей. Константу C можно отыскать экспериментально, с помощью компьютерного моделирования или строго решив задачу.

Решим с помощью метода размерностей еще одну, более сложную задачу. Чему равно время, за которое маятник совершает одно полное колебание? Строгое математическое решение этой задачи приводит к дифференциальному уравнению. Не будем, однако, пытаться написать уравнение движения, а попробуем ответить на вопрос: от каких физических величин зависит период колебаний T? Мы знаем, что период малых колебаний не зависит от начального угла отклонения маятника. Нить, на которой подвешен маятник, очень легкая, поэтому период колебаний не может зависеть от ее массы. Грузик имеет очень маленький размер, так что этот размер тоже не может быть существенным. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то останутся всего три величины: длина нити l, ускорение свободного падения g, масса маятника m.

Итак, ответ к нашей задаче должен выглядеть в виде формулы, в левой части которой должен стоять период колебаний T, а в правой — неизвестная нам пока комбинация из длины нити l, ускорения свободного падения g, массы маятника m. Выпишем размерности величин, входящих в искомую формулу:

[T] = c;

[l] = м, [g] = м/с², [m] = кг.

Размерности левой и правой части любого равенства должны быть равны. Как «приготовить» из м, м/с², кг секунды? Способ один:

.

Следовательно, ответ к задаче имеет следующий вид:

.

Здесь C — какое-то неизвестное нам безразмерное число. Определим константу C экспериментально. Изготовим маятник длиной 1 м, и измерим период колебаний. Он окажется около 2 с. Значит число приближенно равно 6,3. (Точное значение .)

Мы получили, что период колебаний зависит от длины маятника как . Поэтому, если увеличить длину маятника в 2 раза, то период колебаний возрастет в раз. Кроме того, мы установили, что период колебаний маятника не зависит от массы грузика. Это существенные результаты, которые могут быть проверены экспериментально.

Давайте еще немного поразмышляем над задачей о маятнике. Что будет, если маятник совершает колебания с большим размахом? Тогда период колебаний должен зависеть от начального угла отклонения j. Это величина безразмерная. Но ведь размерности левой и правой частей уравнений все равно должны быть одинаковы. Это с неизбежностью приводит нас к выводу о том, что формула для периода колебаний выглядит так:

 В этом соотношении — некоторая функция, которую установить из соображений размерности невозможно. Однако ее график можно построить экспериментально. Для этого надо установить зависимость для какой-то одной фиксированной длины l. Если затем построить график измеренной зависимости, отложив по горизонтальной оси угол , а по вертикальной — комбинацию , то это и будет график функции . Кстати, у нас обязательно при этом получится (почему?). Кроме того, при малых значениях функция будет почти не зависеть от (почему?).

Можно проделать несколько серий измерений зависимости периода колебаний от начального угла отклонения при разных значениях длины нити l. Построим эти зависимости, отложив по вертикальной оси величину . Тогда все они должны представлять собой одну и ту же кривую! Ведь фактически, мы каждый раз строим график функция , а она одинакова во всех случаях. Когда возникает такая ситуация, у физиков принято рисовать одну серию результатов точечками, другую — крестиками, третью — квадратиками и т. д. Тогда результаты, относящиеся к разным значениям длины, оказываются выделенными. Получается следующая картинка. Взглянув на такой график, можно сразу сказать, хорошо ли работает наша формула. Критерием этого является, ложатся или нет точки, крестики, квадратики на одну кривую. Если да, то в этом случае говорят, что получилась универсальная функция. Она является универсальной в том смысле, что она пригодна одновременно для всех маятников, какова бы ни была длина их подвеса.

Задачи

1. Размерности каких из перечисленных величин относятся к основным: атмосферное давление, время обращения Земли вокруг своей оси, скорость автомобиля, длина железнодорожного состава, мощность электрической плитки, масса птичьего пера? Если такие величины есть, то удобно ли использовать их в качестве эталона?
2. В известном мультфильме Удава измеряют в попугаях. Какие параметры Попугая можно использовать в качестве эталона для введения основных единиц?
3. Выразите через основные следующие размерности: Н, Па, Дж, Вт.
4. Определите экспериментально константу C в формуле V=CR³ для объема шара. Используйте для этого следующее оборудование: шар, линейку или штангенциркуль, мерную мензурку с водой.
5. Получите формулу для площади круга из соображений размерности. Определите экспериментально константу C в этой формуле, используя клетчатую бумагу и циркуль.
6. Экспериментально определите, во сколько раз возрастает период колебаний маятника при увеличении его длины в два раза.
7. Тело движется по окружности радиуса R с постоянной по величине скоростью v. Из соображений размерности получите выражение для ускорения тела.
8. Спутник движется вокруг Земли по низкой орбите. Получите формулу для периода обращения спутника из соображений размерности. Ускорение свободного падения у поверхности Земли равно g, ее радиус R.
9. Для того, чтобы оторвать змею от добычи, ее надо тянуть за хвост с силой F. За какое время змея, лежащая на гладкой горизонтальной поверхности вдоль прямой линии, может свернуться, образовав кольцо? Масса змеи M, ее длина l.
10. Маленький кубик массы m прикреплен к пружине жесткости k. Если кубик сместить в сторону, то он начнет колебаться около положения равновесия. Так же как и для маятника, период малых колебаний кубика не зависит от их размаха. Чему равен период колебаний? Трение отсутствует.
11. Скорость звука в газе зависит от давления p и плотности газа . Получите формулу для скорости звука.
12. Тело брошено под углом a к горизонту. Из соображений размерности получите формулы для дальности полета тела l и максимальной высоты подъема тела h. Постройте качественно универсальную функцию, характеризующую зависимость дальности полета от угла.
13. Площадь прямоугольного треугольника однозначно определяется величиной гипотенузы c и углом , прилежащим к гипотенузе. Из соображений размерности получите формулу для площади прямоугольного треугольника. Постройте качественно универсальную функцию, характеризующую зависимость площади прямоугольного треугольника от угла .
14. Используя результат предыдущей задачи, докажите теорему Пифагора. (Такое решение дал одиннадцатилетний Эйнштейн, когда изучал геометрию.)

 На уроках в школе Вы постоянно получаете новые знания. Практически так же протекают занятия и во всех высших учебных заведениях. Но совсем другая ситуация возникнет, если Вы станете заниматься наукой. Ведь в этом случае Вам необходимо самими получить новые знания, которые до Вашей работы были неизвестны. Это совсем другая ситуация, чем та, к которой приучает школа. Поясним эту мысль на простом примере. В школе знания даются поэтапно, в соответствии с учебной программой. При этом нельзя, например, пользоваться теми теоремами, которые еще «не прошли» на уроках. Или, например, комплексными числами, которые тоже пока не изучили. В науке же ситуация совершенно другая — можно (и нужно!) пользоваться любыми известными знаниями. Для этого можно обращаться к справочникам, литературе, консультациями других исследователей. На традиционных же уроках это все не разрешается. Второе, очень существенное отличие от школьного способа обучения состоит в том, что одна задача решается долго (неделю, месяц, год). Задачи же, которые Вы решаете в школе и на олимпиадах совершенно другие. Урок и олимпиада скоротечны, и на каждую задачу Вы тратите не так много времени — ведь необходимо решать их довольно большое число. В третьих, школьная задача, как правило, имеет единственное четкое решение, именно то, которое предполагал в учебных целях ее автор. Те же задачи, которые решает ученый-исследователь не обладают такой степенью определенности. Можно, однако, сформулировать задачи, содержащие традиционные для учебного курса физики ситуации, но требующие не «ученического», а научного подхода к их решению. Наиболее известна подборка таких задач, придуманных выдающимся ученым П.Л.Капицей для студентов  и молодых людей, поступающих в аспирантуру. Мы хотим предложить несколько задач исследовательского характера, которые близки к научному исследованию. Из приведенных ниже задач лучше выбрать всего одну — ту, которая Вам понравится. Значение имеет не число решенных задач, а глубина проработки решения. Такие задачи, можно надеяться, помогут Вам лучше понять науку, как профессию, состоящую в получении новых результатов «своими руками».

Особенность предложенных задач в том, что они не имеют строго определенных решений — каждая из них допускает множество подходов и дальнейшее развитие. «Арсенал» Вашего исследования не фиксирован. Используйте теоретические соображения, эксперименты, компьютерное моделирование, по своим наклонностям и возможностям — в тексте даются лишь отдельные советы. Обсуждайте Вашу задачу с другими учениками. Используйте литературу — для решения некоторых задач это полезно, а решение некоторых из них без этого и невозможно.

Ознакомитесь с теоретическим материалом по колебаниям, помещенным на странице Открытого колледжа МФТИ по адресу

http://www.college.ru/physics/Theory/op25part1/content/content.html

Задачи

1. Найдите амплитуду а и фазу колебаний осциллятора, движущегося по закону , если известны его начальная координата x₀ и скорость V₀.
2. Закон движения осциллятора можно представить также в виде . Выразите коэффициенты A и B: а) через амплитуду a и фазу колебаний , б) через начальные координату x₀ и скорость V₀. Получите выражение для энергии колебаний через коэффициенты A и B.
3. Математический маятник длины l может совершать малые колебания. Когда он был отклонен на угол от вертикали, то получает ударом скорость V₀ перпендикулярно нити. Когда маятник пройдет через положение равновесия? При каком условии колебания останутся малыми?
4. Колебательный контур состоит из емкости C=16 нФ и индуктивности L=160 мкГн. В начальный момент времени на емкости присутствует напряжение V=10 В, а ток в цепи отсутствует. Каковы зависимости от времени напряжения на емкости и тока через индуктивность? Чему равно максимальное значение заряда на конденсаторе?
5. Цилиндрический сосуд объемом V разделен подвижным поршнем площади S на две равные части. Давление газа в сосуде равно P. Определите период малых колебаний поршня около положения равновесия. Масса поршня M много больше массы газа. Считайте, что газ подчиняется закону Бойля-Мариотта.
6. Шарик массы m, несущий заряд q, может скользить вдоль оси тонкого неподвижного кольца радиуса R, несущего заряд противоположного знака величины Q. Определите период малых колебаний.
7. Посередине резинового жгута длины l закреплена бусинка массы m. Бусинку отклоняют в поперечном направлении на небольшое расстояние и отпускают. Найдите частоту колебаний. Жгут в равновесном состоянии натянут с силой F. Как ведет себя частота при изменении F?
8. Математический маятник массы m и длины l прикреплен к стенке пружиной жесткости k. Пружина горизонтальна и в положении равновесия маятника не натянута. Определите период колебания такого маятника.
9. Решите предыдущую задачу в случае, когда пружина заменена резинкой.
10. Изготовьте экспериментально маятник с периодом колебания в 1 секунду. Как лучше всего подобрать длину нити?
11. Футбольный мяч ударяется о стенку. Покажите, что при небольших деформациях время соударения не зависит от начальной скорости мяча. Оцените это время. Массу мяча примите , радиус , избыточное давление внутри него равно одной атмосфере, т.е. 10⁵ Па. Оцените скорость мяча, при которой деформация мяча не будет малой.
12. Если просверлить сквозь Землю вдоль диаметра, соединяющего полюса, отверстие, то сколько времени понадобится телу, попавшему в это отверстие, чтобы достигнуть поверхности с противоположной стороны Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь. (Указание. Гравитационная сила, действующая на тело внутри однородной полой сферы равна нулю. Гравитационная сила, действующая со стороны однородного шара на тело, расположенное вне его, такая же, как со стороны материальной точки, помещенной в центр шара.)
13. Во сколько раз отличаются собственные частоты двух колебательных контуров, все размеры которых отличаются в n раз?
14. Получите формулу для собственной частоты колебательного контура из соображений размерности.
15. Определите период колебаний системы, состоящей из пружинки с жесткостью k и двух прикрепленных к ее концам шариков с массами m₁ и m₂.

Ознакомитесь с теоретическим материалом по волнам, помещенным на странице Открытого колледжа МФТИ по адресу

http://www.college.ru/physics/Theory/op25part1/content/content.html

Задачи

1. В некоторой точке был зафиксирован момент времени, когда величина поля волны оказалась максимальной и равной а. На расстоянии l от этой точки величина поля составила U₁. Через время t поле в первой точке оказалось равным U₂. Найдите поле U₃  в этот момент времени во второй точке.
2. Как изменится звук свистка, если его продуть не воздухом, а гелием?
3. Ведра с водой на коромысле имеют частоту собственных колебаний 0,625 Гц. При какой длине шага вода будет особенно сильно выплескиваться? Скорость человека 2,7 км/ч.
4. К верхнему концу цилиндрического сосуда, из которого постепенно выливается вода, поднесен камертон. Первый раз звук, издаваемый камертоном, заметно усилился, когда расстояние от поверхности жидкости до верхнего края сосуда достигло значения 0,2 м. Определить частоту колебания камертона. Определить расстояние от поверхности жидкости до верхнего края сосуда в тот момент, когда звук усилится во второй раз. Скорость звука в воздухе принять равной 340 м/с.
5. Тепловоз, движущийся со скоростью V₁=72 км/ч, дает гудок с частотой основного тона 650 Гц. Какова кажущаяся частота гудка для неподвижного наблюдателя на платформе? Пусть теперь поезд неподвижен, а наблюдатель движется мимо него на автомобиле со скоростью V₂=54км/ч. Какую частоту услышит он?
6. На поверхности воды могут распространяться гравитационные волны, образование которых связано с силой тяжести. Из соображений размерности найдите зависимость скорости таких волн от глубины водоема H. Водоем «мелкий», то есть длина волны . Используя этот результат, оцените скорость цунами в океане и время обхода цунами вокруг земного шара.
7. Найдите методом размерности зависимость скорости гравитационных волн от длины волны на глубокой воде. С какой скоростью распространяются волны в океане, для которых он является глубоким? (Указание. На глубокой воде скорость не зависит от глубины водоема)
8. На воде возможны капиллярные волны, которые своим происхождением обязаны поверхностному натяжению. Найдите с помощью метода размерности скорость капиллярных волн на глубокой воде. Оцените скорость и длину волны, когда необходимо учитывать и силу тяжести, и капиллярные эффекты. Сравните ее со скоростью утки и моторной лодки. Что следует из такого сравнения?