Видео с вопросами: нахождение линейной аппроксимации функции корня для оценки числа корня
Найдя линейную аппроксимацию функции 𝑓(𝑥) = √(𝑥) при подходящем значении 𝑥, оцените значение √(100,5).
Стенограмма видео
Путем нахождения линейного приближения функции 𝑓 из 𝑥 равно квадратному корню из 𝑥 как подходящее значение 𝑥, оцените значение квадратного корня из 100,5.
Вопрос просит нас оцените значение квадратного корня из 100,5, найдя линейную аппроксимацию функция 𝑓 из 𝑥 равна квадратному корню из 𝑥 при подходящем значении для 𝑥. Начнем с того, что вспомним, что такое линейная аппроксимация функции 𝑓 от 𝑥 в точке 𝑥 равна 𝑎. Если 𝑓 дифференцируема в 𝑥 равна 𝑎, то мы можем аппроксимировать нашу функцию 𝑓 от 𝑥 вблизи 𝑥 равной 𝑎 с помощью с помощью касательной линии. Мы называем это линейным приближение, 𝐿 из 𝑥. Это равно 𝑓 оценивается в 𝑎 плюс первая производная от 𝑓 из 𝑎 умноженная на 𝑥 минус 𝑎. Итак, как мы собираемся использовать это, чтобы оценить наше значение квадратного корня из 100,5?
Поскольку нас попросили сделать это
нахождение линейного приближения квадратного корня из 𝑥 нам нужно выбрать наше значение
из 𝑎.
Помните, что наше приближение будет
тем точнее, чем ближе мы к 𝑥, равно 𝑎. Поэтому мы должны выбрать значение 𝑎
что дает нам значение, близкое к квадратному корню из 100,5. Если мы выберем 𝑎 равным 100,
тогда мы получаем, что 𝑓, оцененное как 𝑎, является квадратным корнем из 100. И это близко к квадрату
корень из 100,5. Итак, мы возьмем это значение 𝑎. Итак, чтобы найти нашу линейную
приближении, нам нужно, чтобы 𝑓 оценивалось в 𝑎, а 𝑓 простое число оценивалось в 𝑎. Мы уже нашли 𝑓 оцененным в
𝑎; это квадратный корень из 100. Итак, давайте теперь найдем первое
производная от 𝑓 оценивается в 𝑎.
Нам нужно отличить 𝑓 от 𝑥
равно корню 𝑥. Для этого мы начнем с
переписывая 𝑓 из 𝑥, используя наши законы показателей. Корень 𝑥 равен 𝑥 в степени
из половины. Затем мы можем дифференцировать это по
используя степенное правило дифференцирования.
Мы умножаем на наш показатель степени 𝑥
и уменьшить этот показатель на единицу. Это дает нам 𝑓 простое число 𝑥 равно
равно половине, умноженной на 𝑥 в степени отрицательной половины. И снова мы перепишем это на
используя наши законы показателей. 𝑥 в отрицательной степени
половина — это то же самое, что деление на квадратный корень из 𝑥. Итак, 𝑓 простое число 𝑥 равно единице.
делится на два корня 𝑥.
Теперь мы готовы найти 𝑓 расцвет
𝑎. Поскольку 𝑎 равно 100, это
первая производная от 𝑓 в 𝑥 равна 100. Итак, мы подставляем 𝑥 равно 100
в наше выражение для 𝑓 простого числа 𝑥. Получаем один корень разделить на два
100. А квадратный корень из 100 равен
10. Значит, 𝑓 простое число 100 равно единице.
разделить на 20. Теперь мы готовы найти
линейная аппроксимация нашей функции 𝑓 из 𝑥 равна квадратному корню из 𝑥 в
100.
Получаем 𝐿 из 𝑥 равно 𝑓 из
100 плюс 𝑓 простое число от 100, умноженное на 𝑥 минус 100. Мы знаем, что 𝑓 от 100 — это
квадратный корень из 100 и 𝑓 простое число из 100 равно единице, деленной на 20. Таким образом, 𝐿 из 𝑥 равно корню из 100.
плюс один больше 20 раз 𝑥 минус 100.
Однако мы можем упростить это
дальше. Квадратный корень из 100 равен
10. Далее мы можем раздать один
двадцатое над скобками. Получаем 𝑥 больше 20 минус 100 больше
20. А 100 на 20 равно
пять. Наконец, 10 минус пять равно
пять. Итак, наша линейная аппроксимация
квадратный корень из 𝑥 из 100 равен пяти плюс 𝑥 больше 20. Теперь мы готовы аппроксимировать
квадратный корень из 100,5 с использованием нашего линейного приближения. Квадратный корень из 100,5 равен
примерно равно 𝐿, оцененному в 100,5. Подстановка 𝑥 равна 100,5
в наше выражение для 𝐿 из 𝑥 мы получаем пять плюс 100,5, деленное на 20, что, если мы
посчитаем, получим 10,025.