python — Как извлечь кубический корень как можно точнее?
Возможно вы хотели просто решить проблему неточного извлечения корней из точных кубов, но получилось как получилось:
import struct
from fractions import Fraction
def difference(float_expected, float_root, degree):
'''
Возвращает разницу между степенью корня и ожидаемым значением
'''
fraction_expected = Fraction.from_float(float_expected)
fraction_root = Fraction.from_float(float_root)
return abs(fraction_expected - fraction_root ** degree)
def ternary_search(lower_bound, upper_bound, function):
'''
Находит целое значение x из промежутка [lower_bound, upper_bound),
для которого значение function(x) минимально
'''
while lower_bound + 3 < upper_bound:
mid1 = (lower_bound * 2 + upper_bound) // 3
mid2 = (lower_bound + upper_bound * 2) // 3
res1 = function(mid1)
res2 = function(mid2)
if res1 < res2:
upper_bound = mid2
else:
lower_bound = mid1
return min(range(lower_bound, upper_bound), key=function)
def create_float(exponent, mantissa):
'''
Создает число binary64 IEEE-754 по экспоненте и мантиссе
'''
number = (exponent << 52) + mantissa
return struct.
unpack('d', number.to_bytes(8, 'little'))[0]
def precise_root(float_value, degree):
'''
Возвращает максимально точное значение корня среди всех возможных
значений binary64 IEEE-754 (используя только стандартный формат
1-11-52, исключая все субнормальные и специальные значения)
value - положительное число с плавающей запятой
degree - положительное целое число больше единицы
'''
nearest_values = [float_value ** (1 / degree)]
min_difference = difference(float_value, nearest_values[0], degree)
for exponent in range(1023, 2047):
calc_difference = lambda x: difference(float_value,
create_float(exponent, x),
degree)
mantissa = ternary_search(0, 2 ** 52, calc_difference)
diff = difference(float_value, create_float(exponent, mantissa), degree)
if diff < min_difference:
nearest_values = [create_float(exponent, mantissa)]
elif diff == min_difference:
nearest_values. append(create_float(exponent, mantissa))
return nearest_values[0]
if __name__ == "__main__":
value = 1000000001.0
degree = 9
root = precise_root(value, degree)
diff = difference(value, root, degree)
print(format(root, '.70f'))
print(format(value ** (1 / degree), '.70f'))
print(format(float(diff), '.70f'))
print(format(float(difference(value, value ** (1 / degree), degree)), '.70f'))
# 10.0000000011111112030448566656559705734252929687500000000000000000000000
# 10.0000000011111094266880172654055058956146240234375000000000000000000000
# 0.0000000831848155171970377866333596662828941958878203877247869968414307
# 0.0000015155363413641129334422444352448167137481505051255226135253906250
append(create_float(exponent, mantissa))
return nearest_values[0]
if __name__ == "__main__":
value = 1000000001.0
degree = 9
root = precise_root(value, degree)
diff = difference(value, root, degree)
print(format(root, '.70f'))
print(format(value ** (1 / degree), '.70f'))
print(format(float(diff), '.70f'))
print(format(float(difference(value, value ** (1 / degree), degree)), '.70f'))
# 10.0000000011111112030448566656559705734252929687500000000000000000000000
# 10.0000000011111094266880172654055058956146240234375000000000000000000000
# 0.0000000831848155171970377866333596662828941958878203877247869968414307
# 0.0000015155363413641129334422444352448167137481505051255226135253906250
Кубический корень из 1 — Как найти кубический корень из 1? [Решено]
LearnPracticeDownload
Значение кубического корня из 1 равно 1. Это действительное решение уравнения x 3 = 1. Кубический корень из 1 выражается как ∛1 в радикальной форме и как (1) ⅓ или (1) 0,33 в экспоненциальной форме.
Поскольку кубический корень из 1 — это целое число, 1 — это совершенный куб.
- Кубический корень из 1: 1
- Кубический корень из 1 в экспоненциальной форме: (1) ⅓
- Кубический корень из 1 в подкоренной форме: ∛1
| 1. | Что такое кубический корень из 1? |
| 2. | Как вычислить кубический корень из 1? |
| 3. | Является ли кубический корень из 1 иррациональным? |
| 4. | Часто задаваемые вопросы о кубическом корне из 1 |
Что такое кубический корень из 1?
Кубический корень из 1 — это число, которое при трехкратном умножении само на себя дает произведение, равное 1. На самом деле корень n-й степени из 1 всегда равен 1. Следовательно, кубический корень из 1 = ∛1 = 1.
Является ли кубический корень из 1 иррациональным?
Нет, потому что ∛1 можно выразить в виде p/q, т.е. 1/1. Следовательно, значение кубического корня из 1 рационально.
☛ Также проверьте:
- Кубический корень из 68
- Кубический корень из 3456
- Кубический корень из 45
- Кубический корень из 53
- Кубический корень из 18
- Кубический корень из 34
- Кубический корень из 10000
Кубический корень из 1 решенных примеров
Пример 1: Объем сферического шара равен π в 3 . Каков радиус этого шара?
Решение:
Объем сферического шара = π в 3
= 4/3 × π × R 3
⇒ Р 3 = 3/4
⇒ R = ∛(3/4 × 1) = ∛(3/4) = 0,90856 (∵ ∛(3/4) = 0,90856)
⇒ R = 0,90856 в 3Пример 2: Объем куба равен 1 из 3 .
Найдите длину стороны куба. Решение:
Объем куба = 1 в 3 = 3
Следовательно, длина стороны куба равна 1 дюйму.
⇒ 3 = 1
Укоренение куба с обеих сторон,
⇒ а = ∛1 вПример 3. Найдите действительный корень уравнения x 3 − 1 = 0.
Решение:
x 3 − 1 = 0, т. е. x 3 = 1
.
Решение для x дает нам,
x = ∛1, x = ∛1 × (-1 + √3i))/2 и x = ∛1 × (-1 — √3i))/2
где я называется мнимой единицей и равен √-1.
Игнорирование мнимых корней,
х = ∛1 = 1
Следовательно, действительный корень уравнения x 3 − 1 = 0 равен x = 1,
Найдите длину стороны куба. перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Готовы увидеть мир глазами математика?
Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.
Запишитесь на бесплатный пробный урок
Часто задаваемые вопросы о кубическом корне из 1
Каково значение кубического корня из 1?
Значение кубического корня из 1 равно 1.
Чему равен квадрат кубического корня из 1?
Квадрат кубического корня из 1 есть само число 1, т. е. (∛1) 2 = (1) 2 = 1.
Почему значение кубического корня из 1 рационально?
Значение кубического корня из 1 можно выразить в виде p/q, т.е. = 1/1, где q ≠ 0. Следовательно, ∛1 рационально.
Каково значение ∛0,001?
Представим ∛0,001 в форме p/q, т. е. ∛(1/1000) = 1/10 = 0,1. Следовательно, значение ∛0,001 = 0,1.
Как упростить кубический корень из 1/27?
Мы знаем, что кубический корень из 1 равен 1, а кубический корень из 27 равен 3. Следовательно, ∛(1/27) = (∛1)/(∛27) = 1/3 = 0,3333.
Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план
Кубический корень из единицы — свойства, методы, вычисления и примеры
Любое число, которое дает ответ как 1, когда оно возведено в степень 3 или умножено само на себя трижды, называется кубическим корнем Единства.
Кубический корень любого числа — это число, которое при возведении в степень 3 дает число, кубический корень которого необходимо найти. Кубический корень числа обозначается символом \[ \sqrt[3]{}\].
Кубический корень также может быть обозначен в форме индекса как число, возведенное в степень 1/3. Кубический корень из единицы означает кубический корень из «1». Есть три значения кубического корня из единицы. Ниже приведены два комплексных кубических корня из единицы и один реальный кубический корень.
Значение кубического корня из «1» | Характер корня | 1 | Действительный кубический корень из единицы |
\[-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \] | Комплексный кубический корень из единицы |
| 9 0219 \[ -\frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3}}{2} \] | Комплексный кубический корень из единицы |
Как найти кубические корни из единицы?
Термин «единица» относится к 1.
Необходимо выполнить последовательность шагов, чтобы найти кубический корень из единицы.
Шаг 1:
Кубический корень из единицы приравнивается к переменной, скажем, «z».\[\sqrt[3]{1} = z\]
Шаг 2:
Куб и кубический корень числа являются обратными операциями. Таким образом, если кубический корень переместить на другую сторону уравнения, он станет кубом числа на другой стороне.
1 = z 3
Шаг 3:
Перенесите «1» также в другую часть уравнения. Таким образом, значение на LHS будет равно нулю.
z 3 − 1 = 0
Шаг 4:
Из алгебраического тождества a 3 −b 3 = (a − b) (a 2 + ab + a 2 ), разложить на множители z 3 −1. (1 можно представить как 1 3 ).
(z−1) (z 2 + z + 1)=0
Шаг 5:
Упростите коэффициенты, чтобы оценить значение «z».
Из уравнения шага 4 либо z − 1 = 0, либо z 2 + z + 1= 0.
Если z − 1 = 0, z = 1 (когда −1 смещается в другую сторону уравнение).
z 2 + z + 1= 0 упрощается с помощью формульного метода решения квадратных уравнений. 9{2} -4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1} \]
\[ Z = \frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2} \]
Итак, комплексные кубические корни из единицы, полученные путем решения z 2 + z + 1 = 0, равны \[ -\frac{1}{2}\] \[-\frac{\sqrt{3}}{2}\] и \[ -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Однако \[\sqrt{-1} = i \] (квадратный корень из отрицательного единица — комплексное мнимое число). Подставляя полученные выше корни, получаем три значения кубического корня из единицы:
\[ \sqrt[3]{1} =1 \], \[-\frac{1}{2} + i \frac {\ sqrt {3}} {2} \], \[- \ frac {1} {2} — i \ frac {\ sqrt {3}} {2} \]
Свойства кубического корня из единицы
Свойство 1: Существуют три различных значения кубического корня из единицы, среди которых одно является действительным корнем, а два других являются комплексными кубическими корнями из единицы.
Действительный корень равен ‘1’, а мнимые корни равны \[-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \] и \[-\frac{1} {2} — i \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Свойство 2: Один из мнимых кубических корней из единицы является квадратным корнем другого.
Доказательство: Рассмотрим одно из значений кубического корня из единицы, которое имеет комплексную природу. 9{2} = — \frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Приведенное выше значение является еще одним значением кубического корня из единицы, которое является мнимым.
Из приведенного выше доказательства можно сделать вывод, что один из мнимых корней из единицы равен квадрату другого мнимого кубического корня из единицы.
В общем, если один мнимый корень равен ω, то другой корень равен ω 2 .
Итак, корни из единицы также представлены как 1, ω и ω 2 .
Свойство 3: Два мнимых кубических корня из единицы дают произведение, равное единице.
9{2} \]
\[ (-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \]) \[(-\frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3}}{2}) \] = \[\frac{1}{4} — (-\frac{3}{4})\]
\[ (-\frac{1 {2} + я \ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {2}) \] \ [(- \ гидроразрыва {1} {2} — я \ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {2}) \] = \[\frac{1}{4} + \frac{3}{4} \]
\[ (-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} ) \] \[(-\frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3}}{2}) \] = \[1 \]
∴ Произведение двух мнимых кубических корней из единицы равно 1. Произведение мнимого кубического корня из единицы также представляется как ω + ω 2 =1.
Свойство 4: При сложении всех трех кубических корней из единицы полученная сумма равна нулю.
Доказательство. Три корня из единицы равны \[-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \] , \[-\frac{1}{2} — я \ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {2} \]. Сумма корней вычисляется следующим образом.
Сумма корней = \[ 1+ (-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \]) + (\[-\frac{1}{2} } — i \frac{\sqrt{3}}{2} \]) \]
Сумма корней = \[ 1 + (-\frac{1}{2} + -\frac{1}{2 }) + (я \ frac {\ sqrt {3}} {2} — я \ frac {\ sqrt {3}} {2}) \]
Сумма корней = \[1 + (-1)+(0)\]
Сумма корней = \[0\]
∴ Сумма кубических корней из единицы равна нулю.
Сумма кубического корня из единицы также представлена как
1 + ω + ω 2 = 0.
Свойство 5: Куб мнимого кубического корня из единицы равен единице.
ω 3 = 1
Свойство 6: Любой мнимый кубический корень из 1 равен обратному значению другого мнимого кубического корня.
Доказательство:
ω 3 = ω 2 . ω=1
ω=\[\frac{1}{ω}\] и ω 2 = \[\frac{1}{ω}\]
Кубический корень из единицы Примеры:
1. Вычислить (1 + ω 2 ) 3 .
Решение:
Сумма кубических корней из единицы равна нулю. я. е. 1 + ω + ω 2 = 0
Итак, 1 + ω 2 = −ω
(1 + ω 2 ) 3 = (−ω) 90 009 3
=-ω 3 (ω 3 =1)
= − 1
2.
Докажите, что (1 + ω) 3 − (1 + ω 2 ) 3 = 0,
Сумма кубов корни из единицы равны нулю. я. e 1 + ω + ω2 = 0,
Итак, 1 + ω = — ω 2 и 1 + ω 2 = -ω
Подставляя эти значения в LHS вопроса,
(1+ ю ) 3 − (1+ ω 2 ) 3 = (−ω 2 ) 3 − (−ω) 3
= (−ω 6 ) − (−ω) 3 (ω 3 = 1)
= −(ω 3 ) 2 − (−ω 3 )
= −(1) 2 − (−1)
= −1 + 1
= 0
3. Вычислить ( 1 + ω − ω 2 ) 7 , если ω является одним значением кубического корня единства.
Решение:
Сумма кубических корней из единицы равна нулю. я. е. 1 + ω + ω 2 = 0.
Итак, 1 + ω = — ω 2 .
(1 + ω − ω 2 ) 7 = (− ω 2 − ω 2 ) 7
= (− 2ω 2 ) 7
= (2) = 1280009 14 = ω 12 . ω 2 )
= 128 (− ω 12 . ω 2 ) (ω 12 = ( ω 3 ) 4 и ω 3 = 1
= − 128 ω 2
Интересные факты о свойствах кубического корня из единицы
−1, −ω и −ω 2 .
Заключение
в степени трех дают произведение 1. Кубические корни из единицы такие же, как кубические корни из 1.