Корни уравнений как находить: Как найти корень уровнения? — ответ на Uchi.ru

Уравнение и его корни: определение, правила, примеры

Основные понятия уравнения

Определение

Уравнением называют равенство, в котором одна из переменных неизвестна, и её нужно найти. Значение этой неизвестной должно быть таким, чтобы равенство было верным.

К примеру: 3+4=7 это числовое равенство, при вычислении которого с левой стороны получается 7=7.

Уравнением же будет называться следующее равенство: 3+х=7, поскольку есть неизвестная переменная х, её значение можно найти.

Из этого уравнения следует, что переменная х=4, только при таком его значении равенство 3+х=7, будет верным.

Неизвестные переменные принято писать в виде маленьких латинских букв, можно любыми, но чаще используют x,y,z.

Получается, чтобы равенство сделать уравнением необходимо, чтобы в нем была буква, значение которой неизвестно.

Как мы понимаем существует множество примеров уравнений с разными арифметическими действиями.

Пример: х + 5 = 1= 9; z — 2 = 7; 9 * y = 18, 6 :  f = 2

Помимо этого существуют уравнения со скобками. К таким уравнениям относится 8 : (х — 4) = 2 * (8 — х), неизвестных может быть несколько, они могут быть, как слева уравнения, так и справа или в обеих частях.

Помимо таких простых уравнений они могут быть с корнями, логарифмами, степенями и тд. 

Уравнение может содержать несколько переменными, тогда их принято называть, соответственно уравнениями с двумя, тремя и более переменными.

Пример:

3 * а = 15 : х — уравнение с двумя переменными:

8 — а = 5 * х — z — уравнение с тремя переменными.

Корень уравнения

Мы часто слышим фразу на уроках математики, «найдите корень уравнения», давайте разберёмся, что же это значит.

Пример:

В примере 3+х=7, можно представить вместо буквы число, и уравнение тогда станет равенством, оно может быть либо верным, либо неверным, если поставить х=3, то первичное равенство примет вид 3+3 = 7 и станет неверным, а если х= 4 то равенство 3+4=7 будет верным, а значит х = 4 будет называться корнем или по другому решением уравнения 3+х=7.

Определение.

Отсюда можно выделить следующее определение: корень уравнения — это такое значение неизвестной переменной, при котором числовое равенство будет верным.

Стоит отметить, что корней может быть несколько или не быть вовсе.

Рассмотрим подробнее пример который не будет иметь корней. Таким примером станет 0 * х = 7, сколько бы чисел мы сюда не подставляли равенство не будет верным, так как умножая на ноль будет ноль, а не 7.

Но существуют и уравнения с множественным числом корней, к примеру, х — 3 = 6, в таком уравнении только один корень 9, а в уравнении квадратного вида х2 = 16, два корня 4 и -4,  можно привести пример и с тремя корнями х * (х — 1) * (х — 2) = 0,  в данном случае три решения ноль, два и один.

Для того чтобы верно записать результат уравнения мы пишем так:

• Если корня нет, пишем уравнение корней не имеет;
• Если есть и их несколько, они либо прописываются через запятые, либо в фигурных скобках, например, так: {-2, 3, 5};
• Еще одним вариантом написания корней, считается запись в виде простого равенства, к примеру неизвестная х а корни 3,5 тогда результат прописывается так: х=3, х=5.  
• или прибавляя индекс снизух1 =3 , х2 = 5. данным способом указывается номер корня;
• Если решений уравнения бесконечное множество, то запись будет либо в виде числового промежутка от и до, или общепринятыми обозначениями. множество натуральных чисел N, целых –  Z, действительных — R.

Стоит отметить, что если уравнение имеет два и более корней, то чаще употребляется понятие решение уравнения.  Рассмотрим определение уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя и более переменными, означает, что эти несколько значений превращают уравнение в верное равенство.

Примеры:

Представим, что мы имеем следующее уравнение х + а = 5, такое уравнение имеет две переменные. Если мы поставим вместо них числа 3 и 6 то равенство не будет верным, соответственно и данные числа не являются решением для данного примера.  А если взять числа 2 и 3 то равенство превратится в верное, а числа 2 и 3 будут решением уравнения. Представленные уравнения с несколькими переменными, тоже могут или не иметь корня вообще или наоборот иметь множество решений.

Правила нахождения корней

Таких правил существует несколько рассмотрим их ниже.

Пример 1 

Допустим мы имеем уравнение 4 + х = 10, чтобы найти корень уравнения или значение  х в данном случае необходимо  найти неизвестное слагаемое, для этого есть следующее правило или формула. Для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное значение.

Решение:

х = 10 — 4

х = 6

Чтобы проверить является ли 6 решением, мы ставим его на место неизвестной переменной х в исходное уравнение, получаем следующее равенство 4 + 6 = 10, такое равенство является верным, что означает число корня уравнения, равно 6.

Пример 2

Возьмём уравнение вида х — 5 = 3, в данном примере х это неизвестное уменьшаемое, для того чтобы его найти необходимо следовать следующему правилу:

Для нахождения уменьшаемого необходимо сложить разность и вычитаемое.

Решение:

х = 3 + 5

х = 8

Проверяем правильность нахождения корня уравнения, подставляем, вместо переменной неизвестной, найденное число 8, получаем равенство 8 — 5 = 3, так как оно верное, то и корень уравнения найден правильно.

Пример 3

Берём уравнение, в котором неизвестное х будет вычитаемое к примеру: 8 — х = 4. для того чтобы найти х необходимо воспользоваться правилом:

Для нахождения вычитаемого, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Решение:

х = 8 — 4

х = 4

Проверяем правильность нахождения корня уравнения, для этого полученное значение ставим вместо неизвестного вычитаемого в исходный пример, и получаем следующее равенство 8 — 4 = 4, равенство верно, значит и корень найден правильно.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Пример 4

Возьмём уравнение вида х * 3 = 9, в данном уравнении неизвестна переменная х, является множимым. Для того, чтобы найти корень такого уравнения необходимо использовать следующее правило.

Для нахождения неизвестного множимого, нужно произведение разделить на множитель.

Решение:

х = 9 : 3

х = 3

Для проверки подставим найденное значение х в исходное уравнение, получим равенство 3 * 3 =9, так как равенство является верным, то и решение уравнения верное.

Такое же правило действует и для множителя, чтобы его найти необходимо произведение разделить на множимое.

Пример 5

Возьмём уравнение следующего вида: х : 2 = 10 , в данном уравнении х- это неизвестное делимое, 2 — делитель, а 10 — частное. Для нахождения неизвестного значения х, воспользуемся правилом:

Чтобы найти делимое, необходимо частное умножить на делитель.

Решение:

х = 10 * 2

х = 20

Проверим, вместо неизвестного х, поставим его значение 20, получим следующее равенство 20: 2 = 10. Равенство верное, значит и решение было верным.

Пример 6

Теперь рассмотрим пример с делителем.

Возьмём уравнение 22: х = 11, где х неизвестный делитель. Для того чтобы его найти существует правило:

При нахождении неизвестного делителя нужно делимое разделить на частное.

Решение:

х = 22 : 11

х = 2

Проверяем, 2 ставим на место неизвестного х в исходное уравнение, получаем равенство 22 : 2 = 11. Так как равенство верно, то мы нашли верный корень уравнения.

Пример применения правил в более сложном уравнении: 2х — 5 =5

Решение:

2х = 5 + 5

2х = 10

х = 10 : 2

х = 5

Проверяем, для этого полученное значение х = 5, ставим в исходное уравнение, получаем равенство 2 * 5 — 5 = 5, так как равенство верно, корень найден правильно.

Квадратные уравнения

Существует также уравнения квадратного вида, например: 2х² = 32, для того, чтобы найти неизвестное или корень квадратного уравнения, в таком уравнении необходимо:

Решение:

х² = 32 : 2

х² = 16

х = √16

х = 4

Проверим, для этого полученное значение подставим в исходное уравнение, и получим равенство 24² = 32. 2

Поиск корней математических уравнений с помощью Python |

. Согласно Википедии.

Основная деятельность, связанная с математическими уравнениями, заключается в поиске решения. Решение может различаться в зависимости от характера уравнений. В математике существуют различные типы уравнений, такие как: линейные, квадратные, кубические, полиномиальные и многие другие. Для лучшего понимания этих уравнений (если вы забыли) выполните это, прежде чем переходить к решению Python:

Распространенные алгебраические уравнения: линейные, квадратные, полиномиальные и другие — видео и расшифровка урока |…

В алгебре есть некоторые типы уравнений, с которыми вы столкнетесь чаще, чем с другими. Вы обнаружите, что если вы…

study.com

Уравнения — это основа науки о данных. Он превращает данные в полезную информацию, разрабатывая математические выражения. В математике решения уравнения называются корнями. Корни могут быть как символическими (3/5, (√2/3),…), так и числовыми (2,5,8,9).,1.0,10,…). Для числовых мы используем форму пакета fsolve Scientific Python (SciPy), а для символьных мы используем пакет sympy (сын numpy).

Уравнение одного типа

Методы одного уравнения могут применяться к временным рядам, поперечным сечениям или панельным данным. Возьмем уравнение по одному из этих критериев. Функция 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2+2 𝑥 −10 и не равна нулю, когда значение 𝑦 не соответствует правильному решению. Начальное предположение 2 или -3 дают другое решение, потому что мы начинаем близко к одному или другому.

Если мы будем продолжать изменять значение y, мы получим разные решения.

Double Type Equation

Double Equation — это оператор, который утверждает качество двух выражений double. Возьмем два уравнения (квадратное и прямую) и нам нужно найти для них корень.

𝑓 ( 𝑥 )=x²+5 𝑥 −10 и 𝑥=2𝑦

Функция возвращает остаточную ошибку для каждого уравнения в виде списка. Нужны два исходных предположения. Этот же метод распространяется и на другие уравнения. Решатели уравнений могут найти решения задач с тысячами или миллионами переменных.

Уравнение тройного типа

Основная цель состоит в том, чтобы исключать по одной переменной за раз для достижения обратной замены. Решение системы трех уравнений с тремя переменными (x, y, z) называется упорядоченным тройным упорядочением. Уравнение с тремя переменными создается трехмерным графиком.

Трехмерная плоскость

Возьмем три уравнения (одно квадратное и две прямые из трехмерной плоскости) и нам нужно найти для них корень. Их решение вручную может занять более 5 минут (для экспертов), поскольку с помощью библиотеки fsolve python мы можем решить их за полсекунды.

x² +y² +z² = 1

𝑥 −5 𝑦 +6 𝑧 = 0,9

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

. их вручную, так как с помощью библиотеки fsolve python мы можем решить ее за полсекунды.

Теперь давайте перейдем к символьному уравнению

Символьное решение

Взаимодействие IPython для поиска символьного решения. IPython производит и отображает символьные решения линейных, квадратичных , и многих других типов уравнений. Возьмем два уравнения (уравнение прямой линии и уравнение кривой):

Окончательные корни отображаются в виде символа

Оптимизация уравнения

Когда переменных больше, чем уравнений, проблема недоопределена и не может быть решить с помощью решателя уравнений, такого как fsolve . Для выбора дополнительных переменных необходима дополнительная информация. Целевая функция 𝐽 ( 𝑥 ) — это один из способов задать задачу так, чтобы существовало единственное решение.

Цель в этом типе состоит в том, чтобы минимизировать 𝑥 1 𝑥 4 ( 𝑥 1+ 𝑥 2+ 𝑥 3)+ 𝑥 3. Руководство по двум уравнениям Выбор двух переменных с помощью с неравенство ( 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4≥25) и равенство ( 𝑥 21+ 𝑥 22+ 𝑥 23+ 𝑥 24=40)

ограничения Все четыре переменные должны находиться в диапазоне от 1 (нижняя граница) до 5 (верхняя граница).

Волшебное выполнение показано ниже:

Итак, это демонстрация кода Python для поиска корней для различных уравнений. В этом блоге также вкратце показан процесс оптимизации уравнений.

Если вы хотите связаться со мной, вы можете найти меня на http://bikashpokharel.com.np или напишите мне по адресу: [email protected]

Как найти дискриминант квадратного уравнения и прокомментировать природу корней?

Если у нас есть любое квадратное уравнение вида

   

, где a, b, c — действительные числа, а

   

, то как мы можем определить природу корней такого квадратного уравнения?

 

Ответ: О природе корней любого квадратного уравнения можно определить через дискриминант. Теперь возникает вопрос, что такое дискриминант.

Мы часто используем квадратную формулу,

   

 , чтобы найти корни любого заданного квадратного уравнения. Часть (

   

) квадратной формулы называется дискриминантом квадратного уравнения.

Таким образом, дискриминант любого квадратного уравнения =

   

 

Возьмем пример, у нас есть квадратное уравнение,

   

, если мы сравним его с общей формой квадратного уравнения

   

, получаем

   

и

   

.

Дискриминант =

   

=

   

Точно так же мы можем найти дискриминант других квадратных уравнений.

 

Теперь вопрос в том, как определить природу корней по значению дискриминанта квадратного уравнения.

Если Дискриминант >0, то два корня квадратного уравнения различны и действительны.

Если Дискриминант =0, то два корня квадратного уравнения действительны и равны.

Если Дискриминант < 0, то у данного квадратного уравнения нет действительных корней.

 

Возьмем три разных примера, по одному на каждый случай. Допустим, у нас есть три квадратных уравнения:

(1)  

   

(2)  

   

3 (3)

0003

 

Теперь определим природу корней этих трех квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

(1)

Сравнение этого уравнения с общей формой

, мы получаем

и

.

Дискриминант =

   

Следовательно, дискриминант уравнения больше 0. Следовательно, уравнение имеет действительные и различные корни. Вы также можете проверить это, найдя корни уравнения. Корни уравнения будут равны

   

и

   

, которые являются различными и действительными числами.

(2)

Сравнение этого уравнения с общей формой

, мы получаем

и

.

Дискриминант =

   

Следовательно, дискриминант уравнения равен нулю. Следовательно, уравнение имеет равные и действительные корни. Вы также можете убедиться в этом, найдя корни уравнения. Корней получится

   

и

   

, которые являются равными и действительными числами.

(3)

Сравнение этого уравнения с общей формой

, мы получаем

и

.

Дискриминант =

   

Следовательно, дискриминант уравнения меньше нуля. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней. Вы также можете убедиться в этом, попытавшись найти корни уравнения. Когда, вы будете применять квадратную формулу,

   

, чтобы найти корни уравнения, вы получите

   

в квадратном корне. Все мы знаем, что квадрата отрицательного числа не существует. Следовательно, у этого квадратного уравнения не будет решения.

No related posts.