Корни в алгебре: Базовые свойства квадратных корней. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Видеоурок по алгебре 8 класс тема Свойства квадратных корней

Рациональные дроби

Квадратные корни

Модуль

Квадратные уравнения

Рациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Неравенства

Показать все темы

Алгебра

7 8 9 10 11

Поделиться

1

0

04:40

В данном видеоуроке рассмотрим свойства арифметического квадратного корня:
1) квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней этих чисел: √(ab)=√a*√b;
2) квадратный корень из частного двух неотрицательных чисел равен частному квадратных корней этих чисел: √(a:b)=√a:√b; 3) √(a^2n)=a^n 

Mathway | Популярные задачи

1 Множитель x^2-4
2 Множитель 4x^2+20x+16
3 График y=-x^2
4 Вычислить 2+2
5 Множитель x^2-25
6 Множитель x^2+5x+6
7 Множитель x^2-9
8 Множитель x^3-8
9 Вычислить квадратный корень из 12
10 Вычислить квадратный корень из 20
11 Вычислить квадратный корень из 50
12 Множитель x^2-16
13 Вычислить квадратный корень из 75
14 Множитель x^2-1
15 Множитель x^3+8
16 Вычислить -2^2
17 Вычислить квадратный корень из (-3)^4
18 Вычислить квадратный корень из 45
19 Вычислить квадратный корень из 32
20 Вычислить квадратный корень из 18
21 Множитель x^4-16
22 Вычислить квадратный корень из 48
23 Вычислить квадратный корень из 72
24 Вычислить квадратный корень из (-2)^4
25 Множитель x^3-27
26 Вычислить -3^2
27 Множитель x^4-1
28 Множитель x^2+x-6
29 Множитель x^3+27
30 Множитель x^2-5x+6
31 Вычислить квадратный корень из 24
32 Множитель x^2-36
33 Множитель x^2-4x+4
34 Вычислить -4^2
35 Множитель x^2-x-6
36 Множитель x^4-81
37 Множитель x^3-64
38 Вычислить 4^3
39 Множитель x^3-1
40 График y=x^2
41 Вычислить 2^3
42 Вычислить (-12+ квадратный корень из -18)/60
43 Множитель x^2-6x+9
44 Множитель x^2-64
45 График y=2x
46 Множитель x^3+64
47 Вычислить (-8+ квадратный корень из -12)/40
48 Множитель x^2-8x+16
49 Вычислить 3^4
50 Вычислить -5^2
51 Множитель x^2-49
52 Вычислить (-20+ квадратный корень из -75)/40
53 Множитель x^2+6x+9
54 Множитель 4x^2-25
55 Вычислить квадратный корень из 28
56 Множитель x^2-81
57 Вычислить 2^5
58 Вычислить -8^2
59 Вычислить 2^4
60 Множитель 4x^2-9
61 Вычислить (-20+ квадратный корень из -50)/60
62 Вычислить (-8+ квадратный корень из -20)/24
63 Множитель x^2+4x+4
64 Множитель x^2-10x+25
65 Вычислить квадратный корень из -16
66 Множитель x^2-2x+1
67 Вычислить -7^2
68 График f(x)=2^x
69 Вычислить 2^-2
70 Вычислить квадратный корень из 27
71 Вычислить квадратный корень из 80
72 Множитель x^3+125
73 Вычислить -9^2
74 Множитель 2x^2-5x-3
75 Вычислить квадратный корень из 40
76 Множитель x^2+2x+1
77 Множитель x^2+8x+16
78 График y=3x
79 Множитель x^2+10x+25
80 Вычислить 3^3
81 Вычислить 5^-2
82 График f(x)=x^2
83 Вычислить квадратный корень из 54
84 Вычислить (-12+ квадратный корень из -45)/24
85 Множитель x^2+x-2
86 Вычислить (-3)^3
87 Множитель x^2-12x+36
88 Множитель x^2+4
89 Вычислить квадратный корень из (-8)^2
90 Множитель x^2+7x+12
91 Вычислить квадратный корень из -25
92 Множитель x^2-x-20
93 Вычислить 5^3
94 Множитель x^2+8x+15
95 Множитель x^2+7x+10
96 Множитель 2x^2+5x-3
97 Вычислить квадратный корень квадратный корень из 116
98 Множитель x^2-x-12
99 Множитель x^2-x-2
100 Вычислить 2^2

Определение корня в алгебре.

(существительное)

любое число, которое при подстановке в уравнение даст ноль.

(существительное)

Число, которое при подстановке в уравнение даст ноль.

(существительное)

Число, которое при возведении в указанную степень дает указанное число или выражение.

(существительное)

Число, которое при возведении в указанную степень дает указанное число или выражение.

(существительное)

Число, которое при подстановке в уравнение дает ноль.

  • Корни комплексных чисел

    • Радикальные функции

      • Выражение с корнями называется радикальной функцией, существует много видов корней , квадратный корень и кубический корень являются наиболее распространенными.
      • Если четвертый корень из 2401 равен 7, а квадратный корень из 2401 это 49, тогда какой третий корень из 2401?
      • Если корень определен как $n$-й корень $x$, он представляется как $\sqrt [ n ]{ x } = r$ .
      • Корни не обязательно должны быть квадратными.
      • Иррациональные числа также появляются при попытке взять кубические корни или другие корни .
    • Знакомство с радикалами

      • Корни являются обратной операцией возведения в степень.
      • Сейчас важно упростить распознавание связи между корнями и показателями степени: если корень $r$ определяется как $n \text{th}$ корень из $x$, он представляется как
      • Поскольку корня являются обратными показателями степени, мы можем сократить корень в этом уравнении, возведя ответ в энную степень:
      • Это читается как «квадратный корень из 36» или «радикал 36».
      • Например, $\sqrt[4]{a}$ называется «четвертой девяткой».0033 корень из $a$», а $\sqrt[20]{a}$ называется «двадцатым корнем из $a$».
    • Правило знаков

      • Нахождение отрицательных корней аналогично нахождению положительных корней .
      • Следовательно, он имеет ровно один положительный корень .
      • , где $n$ — общее количество корней в многочлене, $p$ — максимальное количество положительных корней , а $q$ — максимальное количество отрицательных корни .
      • Теперь ищем отрицательные корня .
      • Есть 2 сложных корня .
    • Нули полиномиальных функций с вещественными коэффициентами

      • Их часто называют корнями функции.
      • Существует множество методов нахождения корней функции.
      • Следовательно, и $-1$, и $2$ являются корнями функции.
      • Несмотря на то, что все многочлены имеют 92 + 1$ имеет $i$ как корень .
      • Число
      • допускает один комплексный корень кратности $4$, а именно $x_0 = 0$, один комплексный корень кратности $3$, а именно $x_1 = i$, и один комплексный корень кратности $1$, а именно $x_2 = — \пи$.
      • , где $f_1(x)$ — ненулевой многочлен степени $n-1.$ Таким образом, если кратности корней $f_1(x)$ добавляются к $n-1$, кратность корня из $f$ складываются в $n$.
      • Следовательно, многочлен четной степени допускает четное число действительных корней , а многочлен нечетной степени допускает нечетное число действительных корней (с учетом кратности).
    • Дискриминант

      • Корень — это значение координаты $x$, где функция пересекает ось $x$.
      • Количество корней функции можно определить по значению $\Delta$.
      • Если ${\Delta}$ равно нулю, квадратный корень в квадратной формуле равен нулю:
      • Это означает, что квадратный корень сам по себе является мнимым числом, поэтому корня квадратичной функции различны и не действительны.
      • Поскольку Δ больше нуля, функция имеет два различных действительных корня .
    • Целочисленные коэффициенты и теорема о рациональных нулях

      • В алгебре Теорема Rational Zero, или Теорема Rational Root , или Тест Rational Root устанавливает ограничение на рациональные решения (также известные как нули или корней ) полиномиального уравнения
      • Поскольку любое целое число имеет только конечное число делителей, теорема о рациональном корне дает нам конечное число кандидатов на рациональные корня .
      • Преимущество этого состоит в том, что как только мы нашли корень , мы немедленно нашли полином меньшей степени, из которого мы снова хотим найти корня , а рациональная теорема корня предоставит нам еще меньше кандидатов для это корень .
      • Более того, после того, как мы установили корень , мы все равно должны использовать деление, чтобы проверить, является ли он кратным корнем .
      • Мы можем использовать Rational Root Test, чтобы увидеть, является ли этот root рациональным.
    • Воображаемые числа

      • Не существует такого значения, которое при возведении в квадрат дает отрицательное значение; поэтому мы классифицируем
        корня
        отрицательных чисел как «мнимые».
      • Подкоренное выражение представляет собой корень заданной величины.
      • Когда подкоренное число (значение под знаком радикала) отрицательное, корень этого значения называется мнимым числом.
      • В частности, мнимое число $i$ определяется как квадратный корень из -1: таким образом, $i=\sqrt{-1}$.
      • Мы можем записать квадратный корень любого отрицательного числа через $i$.
    • Решение задач с радикалами

      • Корни записываются с использованием знака радикала и числа, обозначающего, какой корень нужно найти.
      • Если ничего не указано, это подразумеваемый квадратный корень .
      • Корни записываются с использованием подкоренного знака.
      • Если нет обозначения, подразумевается, что вы находите квадратный корень .
      • В противном случае появится число, обозначающее, какой корень найти.

    9.1 Извлечение квадратных корней — алгебра среднего уровня

    Квадратные корни являются наиболее распространенным типом радикала. Квадрат возьмет некоторое число и умножит его сам на себя. Квадратный корень числа дает число, которое при умножении само на себя дает число, указанное под радикалом. Например, поскольку 5 2 = 25, квадратный корень из 25 равен 5,

    .

    Квадратный корень из 25 записывается как √25 или как 25 ½ .

     

    Извлеките следующие квадратные корни:

       

       

     

    Последний пример, √−81, классифицируется как неопределенный в действительной системе счисления, поскольку отрицательные числа не имеют квадратного корня. Это потому, что если вы возведете в квадрат положительное или отрицательное, ответ будет положительным.

    Это означает, что при использовании действительной системы счисления берите только квадратные корни из положительных чисел. Существуют решения для отрицательных квадратных корней, но они требуют создания новой системы счисления, называемой мнимой системой счисления. А пока просто скажите, что они не определены в действительной системе счисления или что у них нет реального решения

    Не все числа имеют хороший четный квадратный корень. Например, если вы посмотрите на √8 на своем калькуляторе, ответ будет 2,8284271247461603377448419…, причем это число является округленным приближением квадратного корня. Стандартом для радикалов, имеющих большие округленные решения, является то, что калькулятор не используется для нахождения десятичных приближений квадратных корней. Вместо этого выражайте корни в простейшей радикальной форме.

    Существует ряд свойств, которые можно использовать при работе с радикалами. Одно известно как правило продукта:

       

    Используйте правило произведения, чтобы упростить выражение, найдя идеальные квадраты, которые делятся без остатка на подкоренное число (число под радикалом). Обычно используемые идеальные квадраты:

    Задача сокращения радикалов часто упрощается до нахождения идеального квадрата для деления на подкоренное число.

     

    Найдите идеальные квадраты, которые делятся на подкоренные числа без остатка.

     

    Комбинация стратегий, использованных в двух приведенных выше примерах, дает простейшую стратегию уменьшения количества радикалов.

     

    Уменьшить на √75.

       

       

       

     

    Если для начала перед корнем стоит коэффициент, задача просто превращается в большую задачу на умножение.

     

    Уменьшить 5√63.

       

     

    Переменные также часто являются частью подкоренного символа. При извлечении квадратных корней из переменных делите показатель степени на 2.

    Например, √x 8 = x 4 , потому что вы делите показатель степени 8 на 2.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *