Формулы сокращенного умножения для старших степеней: «Формулы сокращенного умножения для старших степеней» — Студопедия

Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. | Презентация к уроку по алгебре (10 класс):

Слайд 1

Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона

Слайд 2

– научиться возводить двучлен в натуральную степень; – находить биноминальные коэффициенты, используя треугольник Паскаля Цели урока:

Слайд 3

О биноме Ньютона речь идет в романе “Последнее дело Холмса” Конан Дойля . Позже это же выражение упомянуто в фильме “ Сталкер ” А.А.Тарковского. Бином Ньютона упоминается в фильме “Расписание на послезавтра”, в повести Льва Толстого “Юность” в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым и в романе Замятина “Мы”. Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: “Тоже мне бином Ньютона!” Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! Что же это за формула такая и почему о ней слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой? Так что же такое бином Ньютона?

Слайд 4

Бином – двучлен Би — означает «два» « Би »-удвоение, раздвоение … «Ном»( фран . nombre ) – номер, нумерация. «Бином» — «два числа»

Слайд 5

Степени бинома

Слайд 6

Коэффициенты бинома

Слайд 7

Коэффициенты бинома Треугольник Паскаля Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей .

Слайд 8

Блез Паска́ль (1623-1662) Французский математик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Слайд 9

← степень n ← значения соответствующих биномиальных коэффициентов

Слайд 10

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятностей и обладает занимательными свойствами.

Слайд 11

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике» Мартин Гарднер

Слайд 12

Число одночленов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени бинома Показатель степени I выражения убывает от n до 0, показатель степени II выражения возрастает от 0 до n. Биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения равны.

Слайд 13

Треугольник Паскаля. Степень двучлена Коэффициенты 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Слайд 14

Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С m n , где n — степень двучлена, m — степень второго выражения. Что означают коэффициенты перед слагаемыми?

Слайд 15

Бином Ньютона:

Слайд 16

Биноминальные коэффициенты:

Слайд 17

Каждый одночлен с нечетной степенью b имеет знак «минус» Степени бинома

Слайд 18

( х +у) 5 = х 5 + 5х 4 у + 10х 3 у 2 + 10х 2 у 3 + 5ху 4 + у 5 (1 + 2а) 4 = 1 4 + 4·1 3 ·2а + 6·1 2 ·(2а) 2 + 4· 1 1 ·(2а) 3 + (2а) 4 = =1 + 8а + 24а 2 + 32а 3 + 16а 4 ( х – у) 6 = ( х + (-у)) 6 = х 6 + 6х 5 (-у) + 15х 4 (-у) 2 + 20х 3 (-у) 3 +15х 2 (-у) 4 + 6х(-у) 5 + у 6 = х 6 – 6х 5 у +15х 4 у 2 – 20х 3 у 3 + 15х 2 у 4 – 6ху 5 + у 6 .

Слайд 19

1. ( 1 + 3а) 4 2. (2а – в) 5 3. (3в + 1) 4 4. ( х – 2у) 5 Самостоятельная работа

Слайд 20

Глава 3 § 9, № 348 Домашнее задание:

Конспект урока по Алгебре «Формулы сокращенного умножения» 7 класс

Урок по теме «Формулы сокращенного умножения» (7-й класс)

Тип урока: урок обобщения и систематизация и коррекции знаний, умений и навыков

Форма урока: путешествия « По стране формул сокращенного умножения»

Цели урока:

Образовательные: проверить уровень усвоения учащимися темы, знание ими соответствующих формул и правил.
Развивающие: углубить знания учащихся, развить умения применять приемы сокращенного умножения при решении уравнений, при обнаружении и исправлении ошибок, объяснении своих действий, развитие творческой деятельности учащихся.

Воспитательные: создания условий для включения каждого ученика в активную учебно-познавательную деятельность. Где каждый может проявить себя. Воспитание интереса к математике, расширение кругозора, включение в урок исторического материала.

План путешествия:

1.«Лес правил» (игра «Домино»).

2. «Пруд соответствий» (верно установив соответствия, ученик получает имя великого математика «Диофант», портрет, историческая справка).

3. «Море ошибок».

4. «Пустыня уравнений» (игра «Математическое поле чудес»).  Решив правильно уравнения, ученик выбирает ответы и переворачивает их. В результате получает имя великого математика «Эйлер», (портрет, историческая справка).

5. «Водопад формул» (творческое задание).

6. Гавань « Итог»

Каждый ученик получает маршрутный лист путешествия, на доске также написан план путешествия и формулы:

1. (a-b)² = a²-2ab+b²
2. (a+b)² = a²+2ab+b²
3. (a-b)(a+b) = a²-b²
4. a²-b² = (a-b)(a+b)
5.а³ + в³ = (а + в)(^{a²- ab + b²)}

6. а³ — в³ = (а — в)(^{a²+ ab+b²)}

Ход урока:

Мотивационная часть.

Ребята, формулы сокращенного умножения имеют широкое применение в математике, особенно в старших классах. Их используют при решении уравнений, раскрытии скобок, в разложении многочленов на множители, нахождении значений выражений. Поэтому надо хорошо знать эти формулы и уметь применять их в преобразованиях выражений. Представим себе , что наш класс – отправляется в путешествие где мы должны показать уровень усвоения данной темы проконтролировать и оценить свои знания. У каждого из вас на столе оценочный лист, где вы будете фиксировать свои результаты путешествия: за каждое правильное задание один балл

Оценочный лист:

«Лес правил»

(теоретические знания)

Девизом нашего путешествия является лозунг: « Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий» — запись на доске.

А сейчас открыли тетради и записали число.

Мы начинаем наше путешествие и попадаем в лес правил.( Теоретические знания)

1. Лес правил.

●Вопросы:

Чему равен квадрат суммы двух выражений ?

Чему равен квадрат разности двух выражений?

Чему равно произведение разности двух выражений на их суммы ?

Чему равна разность квадратов двух выражений?

● Прочитайте выражения: а² -Ь² (а — Ь) ² (а + Ь) ²

а²+ Ь²(а + Ь)³ а³ + Ь ³ (а — Ь) ³

Ребята, мы успешно преодолели «Лес правил» и попали на «Поляну соответствий».

2. «Поляна соответствий»

№ формулы

1→5(Д), 2→3(И), 3→1(О), 4→6(Ф), 5→2(А), 6→7(Н), 7→4(Т).

Молодцы ребята, вы получили имя великого математика.  Показываю его портрет.
Историческая справка: Очень давно, в Древней Греции жили и работали замечательные ученые-математики, которые всю свою жизнь отдали служению науке. В то время все алгебраические утверждения выражали в геометрической форме, Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, а произведение двух чисел сравнивали с площадью, а трех чисел-с объемом и т.д. Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям был древнегреческий ученый-математик, живший в 3 веке до нашей эры Диофант. Появились формулы, которые стали называться формулами сокращенного умножения.

3. «Море ошибок»

Ученику нужно найти ошибку в каждой формуле и исправить ее на своих листах.

1.(4у-3х)(4у+3х)=8у²-9х²   (вместо 8у² должно быть16у²)
2.100х²-4у²=(50х-2у)(50х+2у)  (вместо50х должно быть10х)
3.(3х+у)²=9х²-6ху+у²           (вместо-6ху должно быть+6ху)

4. (6a-9c)²=36a²-54ac+81c²    (вместо-54ac должно быть-108ac)
5.х² — 49=(х +7)(7- х)        (вместо х² должно быть 49 выражения поменять местами)

Затем вызываю учеников к доске исправить ошибки в примерах, они еще раз проговаривают формулы и правила. Ребята, мы преодолели «Море ошибок» и подошли к «Пустыни уравнений».

Следующее наше путешествие в « Пустыню уравнений». Вам нужно решить 5 уравнений у каждого из вас лежат квадратики с ответами. Решив, правильно уравнения вы найдете, ответы.

4. «Пустыня уравнений»

1) х +х²+ (5-х)(5+х)=26
2) (3х-4)(3х+4)=9х²-4х
3)(2+х)²-х²=24
4)(1-х)²-(3+х)²= -56
5)(2х-3)(2х+3)-х(4х-3)=15

Правильно решив уравнения, ученик получает имя великого математика.

1     4     5     6     8

Э    Й    Л    Е    Р

Показываю его портрет. Даю историческую справку.
Эйлер родился в 1707 году в Швейцарии. В 1727 году двадцатилетним юношей он был приглашен в Петербургскую Академию наук. Этот математик работал вместе с Ломоносовым. В Петербурге Эйлер получает возможность для создания и издания своих работ, их у него более 800 (72 тома). Среди его работ — первые учебники по решению уравнений. Старшеклассники учатся по учебникам, прообразы которых создал этот ученый. Его считают великим учителем математики. Последние 17 лет своей жизни он был слепым, но продолжал работать, диктовал труды своим ученикам.
Ребята, мы не застряли в «Болоте уравнений» и перед нами «Водопад формул».

5. «Водопад формул»

1) b²+20b+*=(*+*)² 
2)16m²-*= (*-8m)(*+8m)
3) (*+3x)²=49y²+*+*
4) (3a+*)(3a-*)=*-81
5) (5x-*)²=*-*+16

Ответы:

1. b²+20b+100=(b+10)²

2. 16m²-64n²=(4m-8n)(4m+8n)

3. (7y+3x)²=49y²+42xy+9x²

4. (3a+9)(3a-9)=9a²-81

5. (5x-4)²=25x²-40x+16

Ученики должны восстановить формулы, заменив звездочки правильными выражениями. Затем вызываю учеников к доске, чтобы они восстановили правильное написание формул. Ученики еще раз проговаривают правила и объясняют свое решение.

Итог урока.

Каждый ученик сегодня принимал участие в нашем путешествии. Сегодня выполняя разнообразные задания, вы иногда допускали ошибки. И это неудивительно, любой человек не застрахован от ошибок, особенно, когда он только учится овладевать какой- либо наукой. Важно вовремя найти и исправить эти ошибки, понять, почему они появились, и стараться впредь не допускать их.

Давайте, оценим свою активность во время путешествия и поставим себе оценку за урок:

20 -22 баллов– «5»; 18 -20 баллов – «4» ;15 – 18баллов- «3»

Домашнее задание :

«Пруд соответствий»	«Море ошибок»	«Пустыня уравнений»	«Водопад формул»	«Гавань итог» (всего баллов)	Оценка
формула	№ ответа	ответ	буква
1	(x+3)²	1	4x²-9	О
2	x²-16	2	16x²-40xy+25y²	А
3	(2x-3)(2x+3)	3	(x-4)(x+4)	И
4	81-18x+x²	4	(3y+6x)²	Т
5	(4x-5y)²	5	x²+6x+9	Д
6	25x²-49y²	6	(9-x)²	Ф
7	9y²+36yx+36x²	7	(5x-7y)(5x+7y)	Н

3=101*101*101=1030301

Если под рукой нет калькулятора (мало ли, телефон только что украли), то можно посчитать на листочке в столбик (картинка будет в конце, как проверка и калькулятора, и формулы).

В условии задачи сказано, что нужно найти куб из 101 по формуле сокращенного умножения. По мнению учителей математики, эти формулы должен знать каждый. Наивный. Где найти эту формулу?

Вы можете найти в Интернете куб суммы . Гугл вам в помощь. Эти формулы можно найти в справочнике по математике, в учебнике по математике, можно спросить у одноклассника, который знает наизусть формулы сокращенного умножения. Нужная нам формула сокращенного умножения называется куб суммы . Вы увидите это ниже.

А теперь ответ на самый каверзный вопрос: как из одного числа получить сумму чисел? Необходимо разложить это число на термины. С точки зрения математики количество слагаемых может быть любым, но… Формулы сокращенного умножения для возведения суммы в куб я нашел только для двух и трех слагаемых. Формула куба суммы трех слагаемых очень сложная, желаю вам никогда с таким не сталкиваться. Но куб суммы двух слагаемых выглядит красиво. Основной принцип расширения терминов для применения формул сокращенного умножения заключается в том, что числа можно легко умножать в уме без использования калькулятора. Для числа 101 , лучшим вариантом будет 101 = 100 + 1 . 100 и 1 число легко умножить без калькулятора. Посмотрим, что мы получим.

101 кубик

Не знаю, как вы, а я не мог обойтись без бумажки. Да, я все записал в строчку, а не в столбик, но тем не менее. И в заключение проверим наше решение умножением в столбик на листе бумаги.

 

Куб из 101 в столбце на листе бумаги

Ну, что-то вроде этого. Зачем вам это все? Чтобы вы знали, что умножать можно не только на калькуляторе или в столбик, но и иногда эффективно пользоваться формулами сокращенного умножения. Если, конечно, вы их знаете.

Степени, корни и логарифмы для использования в биостатистике

Эти три математические операции — работа со степенями, корнями и логарифмами — связаны с идеей многократного умножения. Эти основные функции используются для построения более сложных формул. 93 = 125

Все предыдущие выражения читаются как «пять в третьей степени» или «пять в кубе» и предлагают вам умножить три пятерки вместе: 5 × 5 × 5, что дает вам 125.

Эти утверждения о силах тоже верны:

• Степень не обязательно должна быть целым числом. Вы можете возвести число в дробную степень. Вы не можете визуализировать это с точки зрения повторяющихся умножений, но ваш научный калькулятор может показать вам, что 2,6 ^3,8 примерно равно 37,748.

• Мощность может быть отрицательной. Отрицательная степень указывает обратное количество: x ^–1 на самом деле означает 1/ x , и вообще x ^–n равно 1/ x ^п .

Почти каждый раз, когда вы видите, что и используются в формуле, оно возводится в некоторую степень. Это почти как e были рождены, чтобы стать могущественными. Это настолько распространено, что возведение e в степень (то есть в некоторую степень) называется возведением в степень , , а другой способ представления e ^x в виде обычного текста — exp( x ).

И x не обязательно должно быть целым числом: используя любой научный калькулятор или электронную таблицу, вы можете показать, что exp(1,6) равно 4,953 (приблизительно).

Получение root-прав

Чтобы получить корень , нужно задать вопрос о степени в обратном порядке: «Какое основание, возведенное в определенную степень, дает определенное число?» Например, «Какое число в квадрате дает 100?» Ну, 10 × 10, или 10 ² , дает 100, поэтому квадратный корень из 100 равен 10. Точно так же кубический корень из 1 000 000 равен 100, потому что 100 × 100 × 100, или 100 ³ , составляет миллион.

Извлечение корня обозначается подкоренным знаком в набранной формуле, где все, что нужно извлечь, находится «под крышей» подкоренного знака, как показано здесь: 9(1/ n ) в виде простого текста.

Использование логарифмов

Помимо извлечения корня, еще один способ задать вопрос о мощности в обратном порядке: «В какой показатель степени (или степени) вы должны возвести определенное базовое число, чтобы получить определенное число?» Различие между корнями и логарифмами заключается в следующем: для извлечения корня вы указываете степень и запрашиваете основание; для логарифмов вы указываете основание и запрашиваете мощность (или показатель степени).

Например, «В какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 1000?» Ответ 3, потому что 10 ³ = 1000. Вы можете сказать, что 3 — это логарифм числа 1000 (по основанию 10), или, выражаясь математическими терминами: Log ₁₀ (1000) = 3. Точно так же, поскольку 2 ⁸ = 256, вы говорите, что Log ₂ (256) = 8. А поскольку e ^1,6 = 4,953, то Log _e (4,953) = 1,6.

Могут быть логарифмы по любому основанию, но три основания встречаются достаточно часто, чтобы иметь собственные прозвища:

• Логарифмы по основанию 10 называются десятичных логарифмов. Они широко использовались (без каламбура) в старые времена (до появления калькуляторов), потому что на самом деле они упрощали числовые вычисления. Чтобы умножить два больших числа вместе, вы можете сложить их логарифмы, а затем найти антилогарифм суммы.

• Основание- e логарифмов называются натуральными логарифмами.

• Логарифмы с основанием 2 называются двоичными логарифмами.

Именование логарифмической функции у разных авторов, издателей и разработчиков программного обеспечения несовместимо. Иногда Log означает натуральный логарифм, а иногда и десятичный логарифм. Часто Ln используется для натурального логарифма, а Log используется для десятичного логарифма. Такие имена, как Log10 и Log2 , также могут использоваться для идентификации базы.

Антилогарифм (обычно сокращается до антилогарифма ) является обратным логарифму: если y является логарифмом x, , то x является антилогарифмом y.