Косинус 4 п: Чему равен косинус минус п/4 и синус минус п/6?

p (\theta) \le \cos(p\theta)$

спросил 8 лет, 5 месяцев назад

Изменено 3 года назад

Просмотрено 447 раз

$\begingroup$

Я столкнулся с этой проблемой, когда был в книжном магазине внутри книги, предназначенной для подготовки выпускников Беркли к сдаче обязательного экзамена. Я хотел купить книгу, но, увы, не было денег (сорок баксов — большие деньги, когда у тебя нет работы). Поэтому я достал свой телефон и начал делать столько фотографий, сколько мог. К сожалению фото решения не сделал! 9p( \theta) \le \cos(p \theta)$, если $0\le\theta\le\frac\pi2$ и $0\le p\le 1$.

Я пытался использовать разложение в ряд для косинуса, но это оказалось тупиком. Затем я попытался использовать теорему Эйлера, но застрял.

p\leq 1+p(\cos(\theta)-1)=p\cos(\theta)+( 1-п). $$ Это завершает наше доказательство. 9{p-1}(\theta)]\le0$.

С другой стороны, $\sin$ также возрастает на $[0,\pi/2)$. Поскольку $p\theta\le \theta$, то $\sin(p\theta)\le \sin(\theta)$, что подразумевает $p[\sin(p\theta)-\sin(\theta)\le0$ .

Отсюда следует, что $f'(\theta)\le 0$, что означает, что $f$ убывает. Поскольку $f(0)=0$, то $f(\theta)\le 0$ для всех $\theta\in[0,\pi/2]$. Конечно, это приводит к тому, что вы хотели.

$\endgroup$

$\begingroup$

9p(\theta)}\le\color{green}{\cos(p\theta)}.$$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

Для фиксированного $p$ ($0,5$ на рисунке) возьмем логарифм $$p\log(\cos(\theta))\le\log(\cos(p\theta)),$$ и вывести на $\theta$ $$-p\tan(\theta)\le-p\tan(p\theta).$$ Последнее неравенство, очевидно, верно при возрастании функции $\tan$.