Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка решение: Найти решение дифференциального уравнения 1 и 2 порядка: общее и частное, примеры

Глава 88. Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение: Уравнение вида

,

(8.5.1)

Где – Независимая переменная, – Искомая функция, и – соответственно ее Первая и Вторая производные, называется Дифференциальным уравнением второго порядка.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

, , .

Будем рассматривать уравнения, разрешенные относительно :

.

(8.5.2)

Уравнение (8.5.2) называется уравнением второго порядка, Разрешенным относительно второй производной. В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения второго порядка именно такого вида.

Как и в случае уравнения первого порядка, Решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , определенная на некотором интервале , которая при подстановке уравнение (8.

5.2) обращает его в тождество. График решения называется Интегральной кривой. Имеет место Теорема о существовании и единственности решения уравнения второго порядка.

Теорема (Теорема Коши).

Пусть дано дифференциальное уравнение (8.5.1). Если функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области пространства переменных , тогда для любой внутренней точки найдется Единственное решение уравнения (8.5.1), удовлетворяющее условиям , при .

Геометрический смысл Теоремы Коши заключается в том, что через заданную точку плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом касательной.

Условия, которые задают значение функции и ее первой производной в фиксированной точке , называются Начальными условиями (или Условиями Коши) и записываются в такой форме:

, .

(8.5.3)

Задача нахождения решения уравнения (8. 5.2), удовлетворяющего условию (8.5.3), называется Задачей Коши для уравнения второго порядка.

Определение: Общим решением уравнения (8.5.2) называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при любых значениях констант и .

Определение

Частным решением уравнения (8.5.1) в области называется функция , полученная при фиксированных значениях постоянных .

Рассмотрим для Примера уравнение . Его общее решение получается при двукратном интегрировании уравнения . Это решение представляет собой семейство прямых в произвольных направлениях, причем через каждую точку области проходит бесконечное число таких прямых. Следовательно, для выделения частного решения, проходящего через заданную точку , необходимо задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающий в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

, ,

Т. е. нужно найти прямую, проходящую через точку с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка начальных условий в общее решение уравнения приводит к системе двух линейных уравнений относительно постоянных и :

.

Таким образом, искомое частное решение этого уравнения при заданных начальных условиях это прямая .

Уравнения, допускающие понижение порядка

Существуют три вида уравнения , которые путем замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка.

1. Уравнение вида

.

(8.5.4)

Ведем новую функцию путем замены . Тогда исходное уравнение второго порядка преобразуется в неполное уравнение первого порядка: , решением которого является функция. Так как , то повторным интегрированием находим общее решение уравнения (8.5.4):

,

(8.5.5)

Где и – произвольные постоянные.

2. Уравнение вида

,

(8. 5.6)

Т. е. уравнение не содержит в явном виде . Как и в предыдущем случае, положим . Тогда получаем уравнение первого порядка общего вида . Найдя общее решение этого уравнения , повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения (8.5.6):

.

(8.5.7)

3. Уравнение вида

,

(8.5.8)

Т. е. уравнение не содержит независимой переменной . Введем новую функцию, независящую от , полагая . Тогда (по правилу дифференцирования сложной функции)

.

Уравнение (8.5.8) преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции : .

Пусть общее решение этого уравнения . Тогда обратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции ,

Из которого методом разделения переменных получаем функциональное соотношение для определения общего решения уравнения (8. 5.8): .

Рассмотрим Примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка.

Пример

Найти решение уравнения .

Решение

Это уравнение вида (8.5.6), поскольку оно не содержит в явном виде . Заменой приведем его к уравнению первого порядка , откуда или . Интегрируя это уравнение, получаем общее решение исходного уравнения: . В зависимости от выбора знака интеграл в правой части этого равенства может быть равен:  

Пример

Найти решение уравнения .

Решение:

Это уравнение вида (8.5.8), поскольку оно не содержит в явном виде . Заменой приведем его к уравнению первого порядка .

Первое решение этого уравнения или (). Сокращая обе части этого уравнения на , получим . Общее решение этого уравнения .

Наконец, обратная замена приводит к уравнению первого порядка . Общее решение этого уравнения есть функция .

Нетрудно видеть, что это решение включает в себя и решение (при ).

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение

Дифференциальное уравнение вида

.

(8.5.9)

Где , и – функции, непрерывные на некотором интервале называется Линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если , то уравнение (8.5.9) называется Линейным однородным уравнением, если же , то уравнение (8.5.9) называется Линейным неоднородным уравнением.

Если разрешить уравнение (8.5.9) относительно второй производной, то легко увидеть, что оно является частным случаем уравнения (8.5.2) и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (8.5.3) при это уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

Линейные однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

.

(8.5.10)

Теорема

Пусть функции и – решения уравнения (8.5.10). Тогда функция также является Решением этого уравнения при любых постоянных и .

Напомним, что линейной комбинацией функций и с коэффициентами и называется выражение вида .

Если линейная комбинация функций равна нулю тогда и только тогда, когда и равны нулю, то функции и являются линейно независимыми, в противном случае функции и – линейно зависимые.

Пример

Доказать, что следующие функции линейно независимы:

А) и , где ,

Б) и ;

В) и , где .

< Предыдущая		Следующая >

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

F(x,y, y‘,y«) =0

где х – независимая переменная,

у, y’ и y» — соответственно неизвестная функция и ее первая и вторая производные.

y» = f(x,y,y’) — явная форма записи дифференциального уравнения

Решением дифференциального уравнения второго порядка называется дважды дифференцируемая функция y = g(x) такая, что дифференциальное уравнение превращается в тождество при замене y на g(x), y’ на g’ (x) и y» на g» (x)

F(x,g(x), g‘(x),g» (x))= 0 или g»(x)=f(x,g(x),g’(x))

Если функция y = j(x,C₁,C₂), содержащая две произвольные постоянные С₁ и С₂, является решением дифференциального уравнения второго порядка, то такое решение называется

общим решением (в явной форме).

Решение, полученное из общего при некоторых частных значениях постоянных С₁=С₁^* и С₂=С₂^*, называется частным решением:

y = j(x,C₁^*,С₂^*).

Решить дифференциальное уравнение означает найти его общее решение.

В процессе нахождения общего решения часто приходят к соотношению следующей формы:

Ф(x,y,C₁,С₂)=0 — общее решение в неявной форме или общий интеграл.

Ф(

x,y,C₁^*,С₂^*) = 0 — частное решение или частный интеграл.

Задача Коши состоит:

• B нахождении общего решения y = j(x,C₁,С₂) (общего интеграла Ф(x,y,C₁,С₂) = 0) дифференциального уравнения первого порядка.

• В отыскании частного решения y = j(x,C₁^*,С₂^*) (частного интеграла Ф(x,y,C₁^*,С₂^*) = 0), где значение постоянных С₁ = С₁^*и С₂ = С₂^*находят из начальных условий:

у = y₀ при х = х₀ и y¢ = y₀¢ при х = х₀,

то есть значение С₁ и С₂ находят из решения системы уравнений:

Типы дифференциальных уравнений второго порядка

1. Линейные однородные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

   

Линейными однородными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. называются дифференциальные уравнения вида

y» + py‘ + qy = 0,

где р и q – некоторые постоянные.

Для решения дифференциального уравнения составляют характеристи-ческое уравнение:

к² + рк + q = 0.

При решении квадратного уравнения возможны следующие 3 случая:

1) Если корни характеристического уравнения различные, действительные числа k₁ ¹ k₂; k₁,k₂Î R, то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

2) Если корни характеристического уравнения действительные и равные числа k₁ = k₂, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

3) Если корни характеристического уравнения комплексные k₁ = a + b i; k₂ = a —b i, где

i – мнимая единица,

то общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:

где

С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

2.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейными неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. называются уравнения вида

y» + py‘ + qy = f(x),

где р и q – произвольные постоянные, f(x) – некоторая непрерывная функция.

Общее решение неоднородного линейного неоднородного дифференциаль-ного уравнения следует находить в виде:

у = y₀ + y_част. ,

где у₀ — общее решение соответствующего линейного однородного уравнения:

y» + py‘ + qy = 0 ,

y_част. — частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.

Установлено, что если функция f(x) имеет вид: f(x ) = P_n(х)е^aх, где P_n(х) – многочлен n степени, a=const, aÎR, то y_част находят в следующем виде:

1. Если число a нявляется корнем характеристического уравнения k²+рk+q=0, тогда

y_{част .}= Q_n(x)e^ax

2. Если a совпадает с одним из корней характеристического уравнения k²+рk+q=0: a = k₁ или a = k₂, тогда

y_част. = xQ_n(x)e^ax

3. Если оба корня характеристического уравнения k² + рk + q = 0 равны a: k₁ = k₂ = a, тогда

y_част. = x²Q_n(x)e^ax.

Здесь Q_n(x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, которые в дальнейшем подлежат определению (см. примеры).

Метод неопределенных коэффициентов

Теорема B утверждает, что для того, чтобы дать полное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, нужно добавить частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения.

Если неоднородный член d ( x ) в общем неоднородном дифференциальном уравнении второго порядка

  

имеет некоторый специальный вид, то метод неопределенных коэффициентов можно использовать для получения конкретного решения. Специальные функции, которые можно обрабатывать с помощью этого метода, — это те, которые имеют конечное семейство производных, то есть функции, обладающие тем свойством, что все их производные могут быть записаны в терминах лишь конечного числа других функций.

Например, рассмотрим функцию d  = sin x . Его производные

и цикл повторяется. Обратите внимание, что все производные от d можно записать в терминах конечного числа функций. [В данном случае это грех x и cos x , а набор {sin x , cos x } называется семейством (производных) d  = sin x 9. Этот критерий описывает критерий x 9. те неоднородные члены d ( x ), которые делают уравнение (*) восприимчивым к методу неопределенных коэффициентов: d , должны иметь конечное семейство.

Вот пример функции, которая не имеет конечного семейства производных:  d  = тангенс x . Его первые четыре производные равны

.

 

Обратите внимание, что n -я производная ( n ≥ 1) содержит термин, включающий тангенс ^{n ‐1} x , поэтому по мере того, как берутся все более и более высокие производные, каждая из них будет содержать все более и более высокую степень tan x , поэтому невозможно записать все производные в терминах конечного числа функций. Метод неопределенных коэффициентов нельзя было бы применить, если бы неоднородный член в (*) был d  = тангенс x . Так что же представляют собой функции d ( x ), производные которых конечны? См. Таблицу 1.

Пример 1. Если   d ( x ) = 5  x   ² , то его семейство равно {  x   ^{2 , 6} , 5 x 900} Обратите внимание, что любые числовые коэффициенты (например, 5 в данном случае) игнорируются при определении семейства функций.

Пример 2 : с момента функции D ( x ) = x SIN 2 x — это продукт x , а SIN 2 x , семейство D ( x ) будет состоять из все произведения членов семейства функций x и sin 2 x . То есть

Линейные комбинации n функций . Линейная комбинация двух функций y ₁ 9 и y   ₂  было определено как любое выражение формы

  

, где c ₁ и c ₂ — константы. В общем, линеар, линейная комбинация n  функций y ₁ y ₂ ,…, y _n  3 представляет собой любое выражение 6 900 формы 900

  

, где c ₁ ,…, c _n — константы. Используя эту терминологию, неоднородные термы d (  x ), для обработки которых предназначен метод неопределенных коэффициентов, — это те, для которых каждая производная может быть записана как линейная комбинация членов данного конечного семейства функций.

Центральная идея метода неопределенных коэффициентов заключается в следующем: составить наиболее общую линейную комбинацию функций из семейства неоднородного члена d ( x ), подставить это выражение в данное неоднородное дифференциальное уравнение и решить для коэффициентов линейной комбинации.

Пример 3 : Найдите частное решение дифференциального уравнения

 

Как отмечено в Примере 1, семейство d = 5 x ² равно { x ² , x , 1}; следовательно, наиболее общая линейная комбинация функций в семействе: y = Ax ² + Bx + C (где A , B , 9000 6 C — неопределенные коэффициенты 5 в 9000). Подстановка этого в данное дифференциальное уравнение дает

 

Теперь, объединив одинаковые термины, мы получим

.

 

Чтобы это последнее уравнение было тождественным, необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях уравнения. То есть A , B и C должны быть выбраны так, чтобы

 

Первое уравнение немедленно дает . Подстановка этого значения во второе уравнение дает , и, наконец, подстановка обоих этих значений в последнее уравнение дает . Следовательно, частным решением данного дифференциального уравнения является

 

Пример 4 : Найти частное решение (и полное решение) дифференциального уравнения

 

Так как семейство d = sin x равно {sin x , cos x }, наиболее общая линейная комбинация функций в семействе есть y = A + 0 sin 0 x 0  cos x  (где A и B  – неопределенные коэффициенты). Подстановка этого в данное дифференциальное уравнение дает

Теперь, объединив подобные термины и упростив выходы

 

Чтобы это последнее уравнение было тождественным, коэффициенты A и B должны быть выбраны так, чтобы

 

Из этих уравнений сразу следует, что A  = 0 и B  = ½. Таким образом, частным решением данного дифференциального уравнения является

 

Согласно теореме B, объединение этого y с результатом примера 12 дает полное решение данного неоднородного дифференциального уравнения:  Y = C ₁ E ^x + C ₂ XE ^X + ½ COS X .

Пример 5 : Найдите частное решение (и полное решение) дифференциального уравнения

 

Поскольку семейство d = 8 e ^{−7 x} равно { e ^{−7 x}                   } Ae   ^{−7 x}   (где A  – неопределенный коэффициент). Подстановка этого в данное дифференциальное уравнение дает

 

Упрощение выходов

 

Для того, чтобы это последнее уравнение было тождеством, коэффициент A должен быть выбран так, что сразу дает A  = ¼. Таким образом, частным решением данного дифференциального уравнения является , и тогда, согласно теореме B, объединение y с результатом примера 13 дает полное решение неоднородного дифференциального уравнения: y = E ^{−3 x} ( C ₁ COS 4 x + C ₂ SIN 4 x ) + ¼ E 9 3 5 x ) + ¼ E

^{9 55555. x ).} .

Пример 6 : Найдите решение IVP

 

Первым шагом является получение общего решения соответствующего однородного уравнения

 

Поскольку вспомогательное полиномиальное уравнение имеет различные действительные корни,

  

the general solution of the corresponding homogeneous equation is  y   _h   =  c   ₁   e   ^{−  x}   +  c   ₂   e   ^{3  x}

Теперь, поскольку неоднородный терм d ( x ) представляет собой (конечную) сумму функций из таблицы 1, семейство d ( x ) представляет собой объединение  семейств отдельных функций. То есть, поскольку семейство — E ^x IS { E ^x }, а семейство 12 x — { x , 1},

 

Наиболее общая линейная комбинация функций в семействе D = — E ^x + 12 x , следовательно, Y = AE ^x + BX 9.0006  +  C  (где A , B и C  – неопределенные коэффициенты). Подстановка этого в данное дифференциальное уравнение дает

 

Объединение подобных терминов и упрощение выходов

 

Чтобы это последнее уравнение было тождественным, коэффициенты A , B и C  должны быть выбраны так, чтобы

 

Первые два уравнения сразу дают A  = ⅙ и B  = −2, откуда третья подразумевает C  = ⅓. Таким образом, частным решением данного дифференциального уравнения является

 

Согласно теореме B, то, чтобы объединить это Y с Y _H , дает полное решение неходнозного дифференциального уравнения: Y = C ₁ E ^{–2 X 4 99999 E –2664 99999 E –264 E} 9 ^{–264 E 9 –264 E 9 –264 E 9 –2 4. E . + в ₂ е   3 x   + ⅙ e   x   –2 x  + ⅓. Теперь применим начальные условия и оценим параметры c ₁ и c ₂ :}

Решение этих двух последних уравнений дает c ₁ = ⅓ и c ₂ = ⅙. Следовательно, искомое решение IVP равно

.

 

Теперь, когда проиллюстрирован основной процесс метода неопределенных коэффициентов, пора отметить, что это не всегда так просто. Проблема возникает, если член семейства неоднородного члена оказывается решением соответствующего однородного уравнения.  В этом случае это семейство должно быть изменено, прежде чем можно будет заменить общую линейную комбинацию в исходное неоднородное дифференциальное уравнение для решения неопределенных коэффициентов. Конкретная процедура модификации будет введена посредством следующего изменения примера 6.

Пример 7 : Найдите полное решение дифференциального уравнения

 

Общее решение соответствующего однородного уравнения получено в примере 6:

 

Обратите внимание на то, что семейство { E ^{3 x} } Непогенного термина D = 10 E ^{3 x} Содержит решение соответствующего однородного уравнения (Take C _{113131131131131131131131131131131131131131.} = 0 и c ₂ = 1 в выражении для y   _ч  ). «Нарушающее» семейство изменяется следующим образом:  Умножьте каждого члена семейства на x и повторите попытку.

 

Поскольку модифицированное семейство больше не содержит решения соответствующего однородного уравнения, теперь можно использовать метод неопределенных коэффициентов. (Если бы xe   ^{3 x}   снова было решением соответствующего однородного уравнения, вы должны выполнить процедуру модификации еще раз: Умножьте каждого члена семьи на x и повторите попытку. ) Следовательно, подстановка y = Ax   ^{3 x}   в данное неоднородное дифференциальное уравнение дает

 

Из этого расчета следует, что y = 2 xe   ^{3 x}   является частным решением неоднородного уравнения, поэтому объединение этого с y   _h   дает90 полное решение

Пример 8 : Найдите полное решение дифференциального уравнения

 

Сначала получите общее решение соответствующего однородного уравнения

 

Поскольку вспомогательное полиномиальное уравнение имеет различные действительные корни,

  

общее решение соответствующего однородного уравнения равно

 

Семейство для 6  x   ²  термин {  x   ² ,  x , 1}, а семейство для -3 e ^{x /2} просто { e ^{x /2} }. Это последнее семейство не содержит решения соответствующего однородного уравнения, но семейство { x ² , x , 1} содержит (оно содержит постоянную функцию 1, которая соответствует y _h   , когда c   ₁  = 1 и c   ₂  = 0). Поэтому все это семейство (а не только «нарушающий» член) должно быть изменено:

 

Семейство, которое будет использоваться для построения линейной комбинации y, теперь является объединением

 

Это подразумевает, что Y = AX ³ + BX ² + CX + DE ^{x /2} (где A , B , C , и 555059, , B , C , и 5505 и 505 и 505 и 05. и 505. и . и 5. и . и . и 5. и . и . и . и . и . и . и . и . и . и 505. D  неопределенные коэффициенты) следует подставить в данное неоднородное дифференциальное уравнение. Это дает

, который после объединения одинаковых терминов читается как

.

 

Чтобы это последнее уравнение было тождественным, коэффициенты A , B , C и D  должны быть выбраны так, чтобы

 

Эти уравнения определяют значения коэффициентов: A  = −1, B  = C  = , и D  = 4. Следовательно, частным решением данного дифференциального уравнения является

 

According to Theorem B, then, combining this y with  y   _h   gives the complete solution of the nonhomogeneous differential equation: y =  c   ₁  +  c   ₂   e   ^{2 x} — x ³ x ² x + 4 E ^{x /2}

Пример 9 : Найдите полное решение уравнения

 

Сначала получите общее решение соответствующего однородного уравнения

 

Поскольку вспомогательное полиномиальное уравнение имеет различные сопряженные комплексные корни,

  

общее решение соответствующего однородного уравнения равно

 

Пример 2 показал, что

 

Обратите внимание, что это семейство содержит sin 2 x и cos 2 x , которые являются решениями соответствующего однородного уравнения. Следовательно, все это семейство должно быть изменено:

Ни один из членов этого семейства не является решением соответствующего однородного уравнения, поэтому теперь решение может идти как обычно. Поскольку семейство постоянного члена – это просто {1}, семейство, используемое для построения y , – это объединение

.

 

Это подразумевает, что Y = AX ² SIN 2 x + BX ² COS 2 x + CX SIN 2 x + DX COS 2 x ++ DX COS 2 x ++ DX COS 2 x +0005 E (где A , B , C , D и E являются подорванными коэффициентами) должны быть заменены в заданное нехогенное уравнение Y ″ + 4 Y = x  sin 2  x  + 8. Это дает

 

Чтобы это последнее уравнение было тождеством, A , B , C , D и E  должны быть выбраны так, чтобы

 

Эти уравнения определяют коэффициенты: A  = 0, B  = −⅛, C  = , D  = 0 и E  = 2. Следовательно, частным решением данного0 дифференциального3 уравнения является

 

Согласно теореме B, объединение этого y с y   _h   дает полное решение неоднородного дифференциального уравнения:

mathispower4u

Дифференциальные уравнения Бернулли

Решение дифференциального уравнения Бернулли (часть 1)
Решение дифференциального уравнения Бернулли (часть 2)
Решение дифференциального уравнения Бернулли Начальная задача (часть 3)
Пример: Решение дифференциального уравнения Бернулли с использованием разделения переменных
Пример: Решение дифференциального уравнения Бернулли с использованием интегрирующего множителя

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение, является ли функция однородной функцией
Определение однородности дифференциального уравнения первого порядка. Часть 1
Определение однородности дифференциального уравнения первого порядка. Часть 2
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Часть 1
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Часть 2
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Часть 3
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка в дифференциальной форме. Часть 1
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка в дифференциальной форме. Часть 2
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка в дифференциальной форме. Часть 3

Интервал достоверности (существование и уникальность)

Пример 1. Найдите интервал, гарантирующий наличие решения IVP (интервал достоверности)
Пример 2: Найти интервал, гарантирующий существование решения для IVP (интервал достоверности)
Найти значения, исключенные из гарантии существования и уникальности решения для IVP — y’=f(t,y)
Использовать итерацию Пикара для аппроксимации решения для IVP (только 2 итерации)

Применение дифференциальных уравнений первого порядка

Применение дифференциальных уравнений первого порядка — экспоненциальный рост: часть 1
Применение дифференциальных уравнений первого порядка — экспоненциальный рост: часть 2
Применение дифференциальных уравнений первого порядка: экспоненциальное затухание, часть 1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Экспоненциальное затухание, часть 2
. Применение дифференциальных уравнений первого порядка. Закон охлаждения Ньютона. 90.940. Применение дифференциальных уравнений первого порядка.0940 Применение дифференциальных уравнений первого порядка — концентрации смешивания 2
Применение дифференциальных уравнений первого порядка — схема RL
Применение дифференциальных уравнений первого порядка — падающий объект Смесь с потоком на входе/выходе Другое
Применение разделимого дифференциального уравнения: Закон Кирхгофа
Напишите дифференциальное уравнение для моделирования изменения на банковском счете: изменение суммы депозита

Автономные дифференциальные уравнения: Равновесные решения

Найти равновесную совокупность и когда совокупность увеличивается при наличии автономного ДУ
Упражнение 1: Решение автономного ДУ IVP — Логистический рост с использованием разделения переменных — Логистический рост (ярлык)
Пример 2: Решение автономного DE IVP — Логистический рост с использованием разделения переменных
Написание дифференциального уравнения для моделирования логистического роста продаж

Метод Эйлера 9(-t)cos(2t))
По данным y1 и y2 решения ДУ второго порядка, найти вронскиан и частное решение (Ln)

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Постоянные коэффициенты

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка — (два точных действительных корня)
Пример: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка — (два точных действительных корня)
Пример: Решение и проверка решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
Упражнение 1: Решение задачи с начальным значением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
Упражнение 2: Решение задачи с начальным значением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
Упражнение: Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка — (два действительных иррациональных корня)
Линейное уравнение второго порядка Однородные дифференциальные уравнения — (два действительных равных корня)
Пример: Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка — (два действительных равных корня)
Пример: Решение линейной задачи однородного дифференциального уравнения второго порядка с начальным значением (равно)
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка — (комплексные корни)
Пример: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка — (комплексные корни)
Пример: Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

No related posts.