Исследовательская работа «Способы извлечения квадратных и кубических корней
Районная научно-практическая конференция школьников
«Перекрестки открытий»
СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ
Способы извлечения квадратных и кубических корней
Автор:
Кондрашов Эдуард
МОУ Карасевская СОШ,
8 класс,
с.
Карасево
Научный руководитель:
Федотова Ольга Николаевна
учитель математики и информатики
второй квалификационной категории
контактный телефон 63-267
Черепаново
2014 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
I. Введение…………………………………………………………………………….3
II. Основные сведения о корне…..……………………………………………………….…4
2.1 Немного
истории квадратного и кубического корня.
.…………………….4
2.2 Способы извлечения корня …………………………………………………….5
III. Заключение…………………………………………………………………………10
IV. Список литературы…………………………………………………………………11
I.
Введение
В этом году мы изучали тему квадратные корни. Тема показалась мне довольно простой, пока извлекали корни, содержащиеся в таблице квадратов. Но как извлечь корень из многозначного числа, которого нет в таблице и способ разложения на множители является очень трудоемким? И еще меня заинтересовал вопрос извлечения кубического корня из шестизначного числа. Какие существуют способы извлечения корня без использования калькулятора.
Внедрение вычислительной техники, быстрый
прогресс привели к тому, что навыки устного счета, навыки вычисления с помощью
ручки и листа бумаги отходят на второй план. Для современного человека самый
простой способ – взять калькулятор и, в зависимости от даваемой им точности,
произвести необходимые вычисления. Это умеет делать каждый. А можно ли обойтись
без калькулятора при извлечении квадратных корней? Как в таком случае выходили
из положения математики, когда калькулятор еще не был изобретен?
Я решил изучить этот вопрос глубже, чем он освещен в школьной программе.
Цель работы: Исследование различных способов извлечения корней без калькулятора.
Исходя из цели были поставлены следующие задачи:
1. Изучить литературу по данной теме, использовать также интернет-ресурсы.
2. Познакомиться с историей квадратного корня.
3. Исследовать способы извлечения квадратного корня.
4. Познакомиться с устным способом извлечения кубического корня.
5. Научиться применять изученные способы при решении задач.
Актуальность работы в том, что извлечение арифметических корней часто встречается в заданиях школьного курса математики, при подготовке к экзаменам, в практических вычислениях в быту. Задания с квадратными корнями есть в каждом классе. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений, содержащих квадратные корни.
Я выдвинул следующую для себя гипотезу: Можно ли обойтись без калькулятора и таблиц при извлечении корней?
Объект исследования: Способы извлечения корней.
Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных и кубических корней без калькулятора.
В своей работе я использовал следующие методы исследования:
1. Поиск способов и алгоритмов.
2. Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков.
II. Основные сведения о корне
2.1 Немного истории квадратного и кубического корня
Потребность
в действиях возведение в степень и извлечение корня была вызвана практической
необходимостью. С давних времен люди решали задачу «найти длину стороны
квадрата, если известна его площадь». Еще 4000 лет назад вавилонские ученые
составили таблицы квадратов чисел. При этом они умели находить приблизительные
значения извлечения квадратного корня из любого целого числа. Но хозяйственные
потребности издавна заставляли людей вычислять не только площади фигур, но и
объемы различных тел. Одна из древнейших задач «Какой должна быть длина
ребра куба, для того чтобы его объем был равен а?» сводится к извлечению
кубического корня из а.
Приемы извлечения корня кубического и квадратного с помощью счетной доски и счетных палочек содержатся в китайском трактате 13 века «Математика в девяти книгах». Греческий механик и математик Герон Александрийский (1 в. н. э.), много сделавший для развития вычислительной и прикладной математики, дал схему для вычисления приближенного извлечения кубических корней.
Слово «корень» (квадратный или корень уравнения) пришло от арабов. Арабские ученые представляли себе квадрат числа, вырастающим из корня, — как растение; отсюда и название — корень (или радикс — от латинского radix). «Следы» этого слова можно найти в словах «редис», «редька».[6]
Начиная
с 13 века итальянские и другие европейские математики обозначали извлечение
корня латинским словом «radix»
или сокращенно Rx. Современный знак
извлечения корня произошел от обозначения, которое применяли немецкие математики
15 — 16 веков, называвшие алгебру «косе», а алгебраистов
«коссистами». Некоторые немецкие коссисты 15 века обозначали
квадратный корень точкой впереди числа или выражения.
Корни высших степеней —
несколькими точками. Из ставившихся перед подрадикальными числами точек,
перешедших в скорописи в черточки, вероятно, возник знак корня (без верхней
черточки). Этот знак (V)встречается
впервые в немецкой алгебре «Быстрый и красивый счет при помощи искусных
правил алгебры» (автор — чешский учитель математики в Вене Кшитоф Рудольф
из Явора), изданной в 1525 году в Страсбурге.
В 1626 году голландский математик А.Жирар ввел обозначения V, W, VW для извлечения корней квадратных, кубических и больших степеней. Если над эти знаком стояла цифра 2, то это означало извлечь корень квадратный, если 3 — кубический. Это обозначение стало вытеснять знак Rx.
Рене
Декарт соединил знак извлечения корня с горизонтальной чертой, применив в
своей «Геометрии» (1637) современный знак извлечения корня. Этот знак
вошел во всеобщее употребление лишь в начале 18 века. В 18 веке было
установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения —
положительное и отрицательное, а извлекать корень квадратный из отрицательного
числа нельзя.
2.2 Способы извлечения корня
В результате изучения литературы и интернет-ресурсов мною были обнаружены несколько способов извлечения квадратного и кубического корней без использования калькулятора. Я решил более подробно остановиться на 5 способах, которые мне показались наиболее интересными.
1 способ — Столбиком. Сначала я рассмотрел способ извлечения квадратного корня столбиком. Суть этого способа в том, что применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Для начала мысленно или метками число разбивается на разряды по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, разряды дополняются нулями — целая часть дополняется слева, десятичная справа. В отличие от деления снос производится разрядами по 2 цифры.
Чтобы наглядно показать этот способ рассмотрим примеры. Сначала извлечем корень из целого числа 361.
1.
Разобьем число справа налево на разряды по две цифры в разряде. В моем примере
число цифр нечетное, значит допишем слева ноль: 03’61. После знака равно будем
записывать ответ.
2. Теперь начнем обрабатывать каждый разряд из двух цифр, получая одну цифру результата. Извлечем из первого разряда квадратный корень с недостатком и получим первую цифру нашего результата. В моем примере первый разряд 03 (или просто 3), извлекая из него корень рассуждаем так: , , значит первая цифра результата 1. Запишем ее после знака равно. Возведем полученную цифру в квадрат, результат разместим под первым разрядом и вычтем его из первого разряда.
3.
Припишем к получившейся разности следующий разряд в две цифры — 61. Слева от
полученного числа 261 проведем черту. Теперь, все что стоит после знака равно
(число 1), умножаем на два (получаем 2), и дописываем слева от черты в виде
числа с количеством десятков 2 и неизвестным количеством единиц, заменив эту,
пока неизвестную цифру, знаком «X».
Под этим знаком разместим такой же знак.
4. Эта цифра X и есть следующая цифра нашего корня. Чтобы ее узнать, нужно найти такую наибольшую цифру X, при которой умножение числа 2X на X будет меньше 225. Рассуждаем методом подбора: 22*2=44, 23*3=69, 24*4=96, 25*5=125, 26*6=156, 27*7=189, 28*8=224, 29*9=261 — мы нашли интересующую нас цифру 9. Запишем ее в ответ. И, так как в результате вычитания получен ноль, то число извлекается из под корня целым и точный ответ равен 19.
Теперь разберем пример извлечения корня с точностью до десятых. Для этого я взял число 534. Пользуемся тем же алгоритмом.[1]
1. Разбиваем число на разряды, начиная справа.
2. Извлекаем из первого разряда корень, , , Значит, первая цифра результата 2. Записываем ее после знака равно, возводим ее в квадрат (получаем 4), которую записываем под первым разрядом и проводим вычитание:
3. Сносим второй разряд (цифры 34), проводим вертикальную черту справа от которой записываем результат умножения числа, стоящего после равно на 2 (2х2=4) и иксы:
4.
Теперь методом подбора находим неизвестную цифру. Неизвестное число больше или
равно 43, а результат умножения должен быть меньше 134, что возможно при
умножении на 3:
Получена вторая цифра результата 3.
5. Результат умножения 43 на 3 записываем под 134 и производим вычитание, сносим следующие два разряда, которые в нашем случае будут нули:
Методом подбора определяем неизвестную цифру: 401*1=401<500, 402*2=804>500. Значит, наша цифра 1. . Получили результат с заданной точность.
Вывод: Продолжая процесс, можно вычислить корень из любого числа с любой точностью.
2
способ — Первый способ Герона. Этот способ был известен еще в Древней Греции и
приписывается Герону Александрийскому (I
век н.э.). Интересно, что и в наше время метод Герона используется в некоторых
вычислительных машинах. Герон объясняет свой метод на примере: пусть надо найти
корень из 720. Так как 720 не имеет рационального корня, то возьмем корень с
очень малой погрешностью следующим образом. Так как ближайший к 720 квадрат
есть 729, и оно имеет корнем 27, то разделили 720 на 27. Получаем . И . Разделим результат на
2, получим . Это и есть результат.
Если возвести это число в квадрат, получим . Погрешность составляет единицы. Но погрешность
можно уменьшить. Для это следует повторить действия еще раз с вновь полученной
величиной, то есть с числом .[5]
Вывод: Указанный мною способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.
3 способ — Второй способ Герона. Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня из числа X. Число X они представляли следующим образом , где ближайший к числу X точный квадрат натурального числа a и пользовались формулой . Рассмотрим пример. . Возведем в квадрат полученный результат . Погрешность составляет 0,0625 единицы.[4]
Вывод:
Я считаю, что этот способ самый простой и доступный для учащихся. И этот способ
имеет самый маленький коэффициент погрешности.
4 способ — Арифметический способ.
Для квадратов натуральных чисел верны следующие равенства:
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42 и так далее.
То есть, чтобы узнать целую часть квадратного корня числа, можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, посчитать количество выполненных действий.[2]
Например, найдем квадратный корень числа 9 так:
9 — 1 = 8
8 — 3 = 5
5 — 5 = 0
Выполнено 3 действия, значит, квадратный корень числа 9 равен 3. Аналогично найдем квадратный корень числа 15:
15 — 1 = 14
14 — 3 = 11
11 — 5 = 6
6 < 7
Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 15 равен 3 целым.
Вывод:
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является
целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же
время такой способ вполне пригоден для грубой оценки, для учащихся, решающих
простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.
В ходе работы над темой я обнаружил простой способ извлечения кубического корня из шестизначного числа устно. Для этого надо знать ряд кубов чисел:
.
Извлечение корня рассмотрим на примере числа 175616. От числа мысленно отделяем запятой три знака справа (175’616). Если в числе, оказавшемся слева от запятой, будет не более трех знаков, число, возводимое в куб, было двузначным.
Последнюю цифру числа определяем по таблице кубов, то есть в числе 616 по цифре 6 определяем нашу цифру единиц, это 6, так как , оканчивается на 6. Первую цифру кубического корня узнаем по числу, стоящему слева от запятой (175). Какое число, возведенное в куб, дает приблизительно 175? , . Берем меньшую цифру — это будет 5. Значит, первая цифра кубического корня 5, вторая 6. И число получили 56.[3]
Вывод:
Этот способ применяется если точно знаем, что из числа извлекается кубический
корень.
Итак, я изучил 4 способа извлечения квадратного корня и один способ извлечения кубического корня и познакомил с этими способами своих одноклассников. Затем провел опрос, какие из способов больше всего показались для них интересными и получил следующие результаты:
рис.1
Вывод: Учащимся показались самыми простыми и доступными два способа: арифметический и второй способ Герона.
III. Заключение
Описанные
в работе способы извлечения корней встречаются во многих источниках. Тем не
менее, разобраться в них оказалось для меня задачей, вызвавшей немалый интерес.
Я выбрал для себя наиболее удобные способы извлечения квадратных и кубических
корней. Конечно же, арифметический способ и второй способ Герона, просты в
использовании, но не точны, хотя вполне пригодны для первого приближения. К
тому же при применении этих способов извлечения квадратных корней любая ошибка,
допущенная в каком-то месте, полностью обесценивает дальнейшие вычисления.
Иначе состоит дело при применении первого способа Герона или способа вычисления
столбиком. Хоть они и трудоемкие, однако можно верно вычислить значение корня с
заданной точностью. Теперь я буду, по возможности, пользоваться этими способами
при извлечении квадратных и кубических корней.
Представленные способы позволят всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного и кубического корней, их можно использовать при проверке своего решения и не зависеть от наличия в кармане калькулятора. Тем более что на экзамене в 9 и 11 классах применение калькулятора не допускается.
Я считаю, что все поставленные мной задачи решены, и цель работы достигнута.
IV.