Косинус гиперболический суммы: Гиперболический косинус ch(x), формулы и примеры

Содержание

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Определение

1 Гиперболические функции. Дифференцирование и интегрирование гиперболических функций

Определение гиперболических функций через гиперболу

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

(в англоязычной литературе обозначается )

Иногда также определяются

[править]Геометрическое определение

Параметризация гиперболического синуса (анимация).

Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы ( , ). При этом аргумент , где — площадь криволинейного треугольника , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси , и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: , где — ордината точки гиперболы, соответствующей площади . Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

[править]Свойства

[править]Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

[править]Важные соотношения

(Тождество)
Чётность:
Формулы сложения:
Формулы двойного угла:
Формулы кратных углов:
Произведения
Суммы
Формулы понижения степени
Производные:
Интегралы:

2 Определение числового Ряда. Сходимость и сумма числового ряда Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

Определение

Пусть — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность

каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида

Вообще, для обозначения ряда используется символ

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:
числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится^[1]. Элементы ряда представляют собой либо вещественные, либокомплексные числа.

Математические функции | NumPy

Большинство математических функций NumPy являются универсальными, т.е. поддерживают множество параметров, которые позволяют оптимизировать их работу в зависимости от специфики реализуемого алгоритма.

3.1. Тригонометрические функции

sin(x): Тригонометрический синус.
cos(x): Тригонометрический косинус.
tan(x): Тригонометрический тангенс.
arcsin(x): Обратный тригонометрический синус.
arccos(x): Обратный тригонометрический косинус.
arctan(x): Обратный тригонометрический тангенс.
hypot(x1, x2): Вычисляет длинну гипотенузы по указанным длинам катетов.
arctan2(x1, x2): Обратный тригонометрический тангенс угла где x1 — противолежащий катет, x2 — прилежащий катет. В отличие от arctan (x) функция arctan2 (y, x) справедлива для всех углов и поэтому может быть использована для преобразования вектора в угол без риска деления на ноль, а также возвращает результат в правильном квадранте.
degrees(x): Преобразует радианную меру угла в градусную.
radians(x): Преобразует градусную меру угла в радианную.
unwrap(p[, discont, axis]): Корректировка фазовых углов при переходе через значение pi.
deg2rad(x): Преобразует градусную меру угла в радианную.
rad2deg(x): Преобразует радианную меру угла в градусную.

3.2. Гиперболические функции

sinh(x): Гиперболический синус.
cosh(x): Гиперболический косинус.
tanh(x): Гиперболический тангенс.
arcsinh(x): Обратный гиперболический синус.
arccosh(x): Обратный гиперболический косинус.
arctanh(x): Обратный гиперболический тангенс.

3.3. Округление

around(a[, decimals, out]): Равномерное (банковское) округление до указанной позиции к ближайшему четному числу.
round_(a[, decimals, out]): Эквивалентна around().
rint(x): Округляет до ближайшего целого.
fix(x[, out]): Округляет до ближайшего к нулю целого числа.
floor(x): Округление к меньшему («пол»).
ceil(x): Округление к большему («потолок»).
trunc(x): Отбрасывает дробную часть числа.

3.4. Суммы, разности, произведения

prod(a[, axis, dtype, out, keepdims]): Произведение элементов массива по заданной оси.
sum(a[, axis, dtype, out, keepdims]): Сумма элементов массива по заданной оси.
nanprod(a[, axis, dtype, out, keepdims]): Произведение элементов массива по заданной оси в котором элементы NaN учитываются как 1.
nansum(a[, axis, dtype, out, keepdims]): Сумма элементов массива по заданной оси в котором элементы NaN учитываются как 0.
cumprod(a[, axis, dtype, out]): Возвращает накопление произведения элементов по заданной оси, т.е. массив в котором каждый элемент является произведением предшествующих ему элементов по заданной оси в исходном массиве.
cumsum(a[, axis, dtype, out]): Возвращает накопление суммы элементов по заданной оси, т.е. массив в котором каждый элемент является суммой предшествующих ему элементов по заданной оси в исходном массиве.
nancumprod(a[, axis, dtype, out]): Возвращает накопление произведения элементов по заданной оси, т.е. массив в котором каждый элемент является произведением предшествующих ему элементов по заданной оси в исходном массиве. Элементы NaN в исходном массиве при произведении учитываются как 1.
nancumsum(a[, axis, dtype, out]): Возвращает накопление суммы элементов по заданной оси, т.е. массив в котором каждый элемент является суммой предшествующих ему элементов по заданной оси в исходном массиве. Элементы NaN в исходном массиве при суммировании учитываются как 0.
diff(a[, n, axis]): Возвращает n-ю разность вдоль указанной оси.
ediff1d(ary[, to_end, to_begin]): Разность между последовательными элементами массива.
gradient(f, *varargs, **kwargs): Дискретный градиент (конечные разности вдоль осей) массива f.
cross(a, b[, axisa, axisb, axisc, axis]): Векторное произведение двух векторов.
trapz(y[, x, dx, axis]): Интегрирование массива вдоль указанной оси методом трапеций.

3.5. Экспоненцирование и логарифмирование

exp(x, /[, out, where, casting, order, …]): Экспонента всех элементов массива.
expm1(x, /[, out, where, casting, order, …]): Вычисляет exp(x)-1 всех элементов массива.
exp2(x, /[, out, where, casting, order, …]): Вычисляет 2**x для всех x входного массива.
log(x, /[, out, where, casting, order, …]): Натуральный логарифм элементов массива.
log10(x, /[, out, where, casting, order, …]): Десятичный логарифм элементов массива.
log2(x, /[, out, where, casting, order, …]): Логарифм элементов массива по основанию 2.
log1p(x, /[, out, where, casting, order, …]): Вычисляет log(x+1) для всех x входного массива.
logaddexp(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Натуральный логарифм суммы экспонент элементов входных массивов.
logaddexp2(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Двоичный логарифм от 2**x1 + 2**x2 для всех элементов входных массивов.

3.6. Другие специальные функции

i0(x): Модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
sinc(x): Вычисляет нормированный кардинальный синусс элементов массива.

3.7. Операции с плавающей точкой

signbit(x, /[, out, where, casting, order, …]): Возвращает True для всех элементов массива у которых знаковый бит установлен в отрицательное значение.
copysign(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Изменяет знак элементов из массива x1 на знак элементов из массива x2.
frexp(x[, out1, out2], / [, out, where, …]): Разложение элементов массива в показатель мантиссы и двойки.
ldexp(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Вычисляет x1*2**x2.
nextafter(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Возвращает значение c плавающей точкой следующее за элементом из x1 в направлении элемента из x2.
spacing(x, /[, out, where, casting, order, …]): Поэлементно вычисляет расстояние между значением из массива x и ближайшим соседним числом.

3.8. Арифметические операции

lcm(x1, x2, /[, out, where, casting, order, …]): Поэлементно вычисляет наименьшее общее кратное массивов x1 и x2.
gcd(x1, x2, /[, out, where, casting, order, …]): Поэлементно вычисляет наибольший общий делитель массивов x1 и x2.
add(x1, x2, /[, out, where, casting, order, …]): Поэлементная сумма значений массивов.
reciprocal(x, /[, out, where, casting, …]): Вычисляет обратное значение (1/x) каждого элемента массива.
positive(x, /[, out, where, casting, order, …]): Эквивалентно простому копированию (numpy.copy) элементов массива, но только для массивов поддерживающих математические операции. Формально соответствует математической записи b = +a.
negative(x, /[, out, where, casting, order, …]): Отрицательное значение элементов массива.
multiply(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Поэлементное умножение значений массива x1 на значения массива x2.
divide(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Поэлементное деление значений массива x1 на значения массива x2.
power(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Поэлементное возведение значений массива x1 в степень равную значениям из массива x2.
subtract(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Поэлементная разность значений массива x1 и x2.
true_divide(x1, x2, /[, out, where, …]): Поэлементное истинное деление значений массива x1 на значения массива x2.
floor_divide(x1, x2, /[, out, where, …]): Поэлементное целочисленное деление значений массива x1 на значения массива x2.
float_power(x1, x2, /[, out, where, …]): Поэлементное возведение значений массива x1 в степень равную значениям из массива x2, адаптированное для чисел с плавающей точкой.
fmod(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Поэлементный остаток от деления значений массива x1 на значения массива x2.
mod(x1, x2, /[, out, where, casting, order, …]): Поэлементно вычисляет остаток от деления значений массива x1 на значения массива x2.
modf(x[, out1, out2], / [, out, where, …]): Дробная и целая часть элементов массива.
remainder(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Элементарный остаток от деления значений массива x1 на значения массива x2.
divmod(x1, x2[, out1, out2], / [[, out, …]): Результат истинного деления и остаток от деления значений массива x1 на значения массива x2.

3.9. Операции с комплексными числами

angle(z[, deg]): Вычисляет угол каждого комплексного числа в массиве.
real(val): Действительная часть комплексного числа.
imag(val): Мнимая часть комплексного числа.
conj(x, /[, out, where, casting, order, …]): Комплексно-сопряженный элемент.

3.10. Прочие математические функции

convolve(a, v[, mode]): Дискретная линейная свертка.
clip(a, a_min, a_max[, out]): Ограничение значений массивов указанным интервалом допустимых значений.
sqrt(x, /[, out, where, casting, order, …]): Квадратный корень элементов массива.
cbrt(x, /[, out, where, casting, order, …]): Кубический корень элементов массива.
square(x, /[, out, where, casting, order, …]): Квадрат элементов массива.
absolute(x, /[, out, where, casting, order, …]): Абсолютное значение (модуль) элементов массива.
fabs(x, /[, out, where, casting, order, …]): Возвращает абсолютное значение (модуль) элементов массива в виде чисел с плавающей точкой.
sign(x, /[, out, where, casting, order, …]): Элементарный указатель на знак числа.
heaviside(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Ступенчатая функция Хевисайда.
maximum(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Наибольшие значения после поэлементного сравнения значений массивов.
minimum(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Наименьшие значения после поэлементного сравнения значений массивов.
fmax(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Наибольшие значения после поэлементного сравнения значений массивов в виде чисел с плавающей точкой.
fmin(x1, x2, /[, out, where, casting, …]): Наименьшие значения после поэлементного сравнения значений массивов в виде чисел с плавающей точкой.
nan_to_num(x[, copy]): Заменяет nan на 0, бесконечность и минус-бесконечность заменяются на наибольшее и наименьшее доступное число с плавающей точкой соответственно.
real_if_close(a[, tol]): Переводит комплексные числа в вещественные если мнимая часть комплексного числа меньше машинной эпсилон.
interp(x, xp, fp[, left, right, period]): Одномерная линейная интерполяция.

→ sin()
← NumPy справочное руководство

Объясните формулу обратных гиперболических функций

В математике обратные функции гиперболических функций называются обратными гиперболическими функциями или гиперболическими функциями площади. Существует шесть обратных гиперболических функций, а именно: обратный гиперболический синус, обратный гиперболический косинус, обратный гиперболический тангенс, обратный гиперболический косеканс, обратный гиперболический секанс и обратный гиперболический котангенс. Эти функции обозначены как sinh ^-1 x, cosh ^-1 x, tanh ^-1 x, csch ^-1 x, sech ^-1 x, и coth ^-1 x. С помощью обратной гиперболической функции мы можем найти гиперболический угол соответствующей гиперболической функции.

4141 (-эйт.

cosine 70041

(-∞, ∞)

гиперверсия

Function name	Function	Formula	Domain	Range
Inverse hyperbolic sine	sinh ^-1 x	LN [x + √ (x ² + 1)]	(-∞, ∞)	(-∞, ∞)
(-∞, ∞)
cosh ^-1 x	ln[x + √(x ² – 1)	[1, ∞)	[0, ∞)
Арктический гиперболический тангенс	tanh ^-1 x	½ ln [(1 + x)/(1-x)]	(-1,1)	(-, ∞)
Верный гиперболический космол
. CSCH ^-1 x	LN [(1 + √ (x ² + 1)/x]	(-∞, ∞)	(-∞, ∞)
(-∞, ∞)
Арктический гиперболический секанс	sech ^-1 x	ln[(1 + √(1 – x 9)0003 2 )/x]	(0, 1]	[0, ∞)
. [(x + 1)/(x – 1)]	(-∞, -1) или (1, ∞)	(-∞, ∞)

019 Функция

sinh ^-1 x = ln[x + √(x ² + 1)]

Доказательство:

LET SINH ^-1 x = z, где z ∈ R
⇒ x = sinh z
Использование гиперболической функции SINE мы получаем,
⇒ x = (E ^{z z} -E ^-z)/2
⇒ 2x = E ^z -E ^-z
⇒ E ^2Z -2xe ^z -1 = 0
Мы знаем, что корты уравнения ax ² + bx + c = 0 являются x = [-b ± √(b ² – 4ac)]/2a
Итак, e ^z = x ± √(x ² + 1)
Поскольку z — действительное число, e должно быть положительным числом.
Следовательно, e ^z = x + √(x ² + 1)
⇒ z = ln[x + √(x ² + 1)]
⇒ l 0 sh3 — 900 [x + √ (x ² + 1)]
SINH ^-1 X = LN [x + √ (x ² + 1)]

Функция обратной гиперилолической косиран ch ^-1 x = ln[x + √(x ² -1)]

Доказательство:

Let Cosh ^-1 x = z, где z ∈ R
⇒ x = cosh z
Использование гиперболической функции Cosin ⇒ x = (E ^z + E ^-z)/2
⇒ 2x = E ^Z + E ^-Z
⇒ E ^2Z -2xe ^z + 1 = 0
Мы знаем, что корнями уравнения ax ² + bx + c = 0 являются x = [-b ± √(b ² – 4ac)]/2a
Итак, e ^z = x ± √(x ² – 1)
Поскольку z — действительное число, e должно быть положительным числом.
Следовательно, e ^z = x + √(x ² – 1)
⇒ z = ln[x + √(x ² – 1)]
⇒ l n = ln3 — 900 [x + √ (x ² -1)]
COSH ^-1 x = LN [x + √ (x ² -1)]

Обратная гиперболическая тангентная функция

. Тан ^-1 x = ½ ln[(1 + x)/(1 – x)] = ½ [ln(1 + x) – ln(1 – x)]

Доказательство:

Let tanh ^-1 x = z, где z ∈ R
⇒ x = th z
С помощью касательной гиперболической функции получаем z + e ^-z )
x =
⇒ x = (e ^2z – 1)/(e ^2z + 1)
) = 1 0 4z
⇒ 3 (e 29000 ^2з – 1)
⇒ (x – 1) e ^2z + (x + 1) = 0
⇒ e ^2z = -[(x +1)/(x – 1)]
⇒ e ^2z = [(x + 1)/(1 – x)]
⇒ 2z = ln [(x + 1)/(1 – x)]
⇒ z = ½ ln[(1 + x)/ (1 – x)] = ½ [ln(1 + x) – ln(1 – x)]
⇒ tanh ^-1 x = ½ ln[(1 + x)/(1 – x)] = ½ [ln(1 + x) – ln(1 – x)]
tanh ^-1 x = ½ ln[ ] = ½ [ln(1 + x) – ln(1 – x)]

Функция обратного гиперболического косеканса

CSCH ^-1 x = LN [(1 + √ (x ² + 1)/x]

Доказательство:

. ∈ R
⇒ x = csch z
Используя гиперболическую функцию косеканса, получаем
⇒ x =
⇒ x = 2e ^z /(e ^2z – 1)
⇒ x (e ^2z – 1) = 2e ^z
⇒ xe ^2z − 2e ^z – x = 0
Мы знаем, что корнями уравнения ax ² + bx + c = 0 являются x = [-b ± 900(3 – 4ac)]/2a
⇒ e ^z = (1 + √(x ² + 1)/x
⇒ z = ln[ ]
⇒ csch = ln
4
^{-1 4 ^{= ln[1 + √(1 + x ² )] – ln(x)
csch ^-1 x = ln[ ] = ln[1 + √(1 + x ² )] – пер(х)}}

Inverse hyperbolic secant function

sech ^-1 x = ln[(1 + √(1 – x ² )/x]

Proof:

Let sech ^-1 x = z, где z ∈ R
⇒ x = sech z
. Используя гиперболическую функцию секущей, получаем /(e ^z + e ^-z )
⇒ x =
⇒ x = 2e ^z /(e ^2Z + 1)
⇒ x (E ^2Z +1) = 2E ^Z
⇒ XE ^2Z — 2E ^Z + x = 0
Мы знаем, что Roots of Accation Ax ² + bx + c = 0 are x = [-b ± √(b ² – 4ac)]/2a
Таким образом, упрощая, получаем
e ^z =
z = ln[ ] = ln[1 + √(1 – x ² )] – ln(x)
⇒ sech ^-1 x = ln[ ] = ln[1 + √(1 – x ² )] – ln (х)
SECH ^-1 X = LN [ ] = LN [1 + √ (1 -x ²)] -LN (x)

. 1 x = ½ ln[(x + 1)/(x – 1)]

Доказательство:

Пусть coth ^-1 x = z, где z ∈ R
⇒ x = coth
Используя гиперболическую функцию котангенса, получаем
coth z = (e ^z + e ^-z )/(e ^Z -E ^-Z)
⇒ x = (E ^Z + E- ^Z)/(E ^Z -E ^-Z)
⇒ x =
⇒ x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x =. (e2z + 1)/(e ^2z – 1)
⇒ x (e ^2z – 1) = (e ^2z + 1)
⇒ (x – 1) e2z – (x + 1) = 0
⇒ e ^2z = [(x + 1)/(x – 1)]
⇒ 2z = ln [(x + 1)/(x – 1)]
⇒ z = ½ ln[ (x + 1)/(x – 1)] = ½[ln(x + 1) – ln(x – 1)]
coth ^-1 x = ½ ln[(x + 1)/(x – 1)] = ½ [ln(x + 1) – ln(x – 1)]

Производные обратных гиперболических функций

Inverse hyperbolic function	Derivative
sinh ^-1 x	1/√(x ² + 1)
cosh ^-1 х	1/√(х ² – 1), х>1
танх ^-1 x	1/(1 – x ² ), \|x\| < 1
csch ^-1 x	1/{\|x\|√(1 + x ² )}, x ≠ 0
sech ^-1 x	-1/[x√ (1 -x ²)], 0
Coth ^-1 x	1/(1 -X ²	1/(1 -X ^{20004 ), \|х\| > 1}

Примеры задач

Задача 1. Если sh x = 4, то докажите, что x = log _e (4 + √17).

Решение:

Дано, SINH X = 4
⇒ x = SINH ^-1 (4)
Мы знаем, что,
SINH ^-1 (x) = goge [x) =. + √(x ² + 1)]
⇒ x = log _e [4 + √(4 ² + 1)] = log _e (4 + √17)
Следовательно, x = log _e (4 + √17)

Задача 2: Докажите, что tanh ^-1 (sin x) = ch ^-1 (sec x).

Решение:

Мы знаем, что
tanh ^-1 x = 1/2 ln[(1+x)/(1-x)]
9000 Теперь sin x) = 1/2 log[(1 + sin x)/(1 – sin x)]
Имеем,
ch ^-1 x = ln(x + √[x ² -1 ])
Сейчас, кош ^-1 (сек x) = ln[сек x + √(сек ² x – 1)]
= ln[сек x + √tan ² x] {С, сек ² x – 1 = tan ² x}
= ln[sec x + tan x]
= ln[1/cos x + sin x/cos x]
= ln[(1 + sin x)/cos x ]
Теперь умножьте и разделите член на 2
= 1/2 × 2 ln[(1 + sin x)/cos x]
= 1/2 ln[(1 + sin x)/cos x] ² {так как 2 ln x = ln x ² }
= 1/2 ln[(1 + sin x) ² /cos ² x]
Мы знаем, cos ² x = 1 – sin ² x = (1 + sin x )(1 – sin x)
Следовательно, (1 + sin x)2/cos2 x = [(1 + sin x)(1+ sin x)]/[(1 + sin x)(1 – sin x )] = (1 + sin x)/(1 – sin x)
= 1/2 ln[(1 + sin x)/(1 – sin x)]
= tanh ^-1 (sin x)
Следовательно, tanh ^-1 (sin x) = ch ^-1 (sec x)

Задача 3: найти значение tanh ^-1 (1/5).

Решение:

Мы знаем,
TANH ^-1 x = 1/2 LN [(1+X)/(1-x)]
⇒ Tanh ^{— (1-x)]}
⇒ TANH ^{— (1-x)]}
⇒ 1/5) = 1/2 ln[(1+(1/5))/(1 – (1/5)]
= 1/2 ln[(6/5)/(4/5)]
=1/2 ln(3/2)
Следовательно, tanh ^-1 (1/5) = 1/2 ln(3/2)

Задача 4. Найти значение sech ^-1 (3/8)

Решение:

Мы знаем,
sech ^-1 x = ln[(1 + √(1 – x ² )/x]
Итак, sech ^-1 (3/8) =
= ln[ (8 + √(64 – 9))/3]
=
Следовательно, sech ^-1 (3/8) =

Задача 5. Найдите производную от [sinh ^-1 (5x + 1)] ² .

Решение:

Пусть y = [sinh ^-1 (5x + 1)] ²
015
dy/dx = d([sinh ^-1 (5x + 1)] ² )/dx
= 2[sinh ^-1 (5x + 1)] d/dx [sinh ^-1 (5x + 1)
Мы знаем d(sin ^-1 x)/dx = 1/√(x ² + 1)
= 2 [sinh ^{+ 1}) ( ] {1/√[(5x+1) ² + 1]} d(5x+1)/dx
= 2 [sin-1 (5x + 1)] × {1/√(25×2 + 10x + 2)} × 5
= 10 sinh ^-1 (5x+1)/[√(25x ² +10x+2)]
Следовательно, производная от [sinh ^-1 (5x+1)] = .

Видео с вопросами: Найдите ряд Маклорена для функции гиперболического косинуса

Стенограмма видео

Найдите ряд Маклорена для функция гиперболический cos двух 𝑥, который равен 𝑒 в степени двойки 𝑥 плюс 𝑒 в степени минус два 𝑥 все разделить на два.

Напомним, что для бесконечно дифференцируемая функция 𝑓 от 𝑥, ряд Маклорена от 𝑓 от 𝑥 равен 𝑓 оценивается как ноль плюс первая производная от 𝑓 оценивается как ноль, умноженная на 𝑥 плюс вторая производная от 𝑓, оцененная в нуле, деленная на два факториала умножить на 𝑥 в квадрате. И эта сумма продолжается бесконечно, что дает нам сумму от 𝑛 равной нулю до ∞ 𝑛-й производной от 𝑓, оцененной в ноль разделить на 𝑛 факториал, умноженный на 𝑥 в 𝑛-й степени.

В этот момент мы можем поддаться искушению определить 𝑓 из 𝑥 как сумму двух 𝑥, а затем продифференцировать эту функцию и попытайтесь найти образец для 𝑛-й производной, оцененной в нуле. И это сработает. Однако чуть более простой способ было бы использовать слово 𝑥, а затем заменить на 𝑥 в конце. Итак, давайте установим нашу функцию 𝑓 из 𝑥 быть равным кош 𝑥, который равен 𝑒 в степени 𝑥 плюс 𝑒 в сила отрицательного 𝑥 все делится на два.

Чтобы найти первую производную нашего функция 𝑓 от 𝑥, дифференцируем каждый член отдельно. Во-первых, мы замечаем, что производная от 𝑒 в степени 𝑥, деленная на два, равна самой себе, 𝑒 в степени 𝑥 все разделить на два. Точно так же производная от 𝑒 к степень отрицательного 𝑥 все разделить на два отрицательное 𝑒 в степени отрицательного 𝑥 все разделить на два. Мы иногда называем эту функцию гиперболический грех 𝑥 или грех 𝑥.

Теперь найдем вторую производную нашей функции 𝑓 от 𝑥 мы берем производную от нашей первой производной. Так что это производная от нашего функция, гиперболический знак 𝑥. Производная от 𝑒 в степени из 𝑥, деленное на два, просто равно самому себе. И когда мы различаем наши второй член, который имеет 𝑒 в отрицательной степени 𝑥, мы получим два отрицательных единицы, что дает нам плюс 𝑒 в степени минуса 𝑥, деленное на два. Итак, у нас есть вторая производная от наша функция 𝑓 от 𝑥 относительно 𝑥 равна гиперболическому cos от 𝑥.

Таким образом, мы показали, что если продифференцируем нашу функцию 𝑓 от 𝑥 нечетное число раз, получим гиперболический грех 𝑥. И если мы различаем наши функция 𝑓 от 𝑥 четное количество раз, мы получим гиперболический cos от 𝑥. Теперь мы готовы начать оценку эти функции равны нулю. У нас есть эта наша функция 𝑓 оцененный в нуле, равен гиперболическому cos, оцененному в нуле, равен 𝑒 к нулевая степень плюс 𝑒 в отрицательной нулевой степени, разделенная на два. А так как 𝑒 в нулевой степени и 𝑒 в отрицательной нулевой степени просто равны единице, у нас есть только одна плюс один все разделить на два, что равно единице.

Затем мы можем сделать то же самое, чтобы найти значение нашей первой производной функции, оцененное в нуле, равное гиперболический грех оценивается как ноль, который просто равен нулю. Теперь, используя тот факт, что если мы продифференцируем нашу функцию 𝑓 от 𝑥 нечетное число раз по 𝑥, мы получить гиперболический грех 𝑥. Тогда, если мы оценим это 𝑥 равно нулю, мы просто получим ноль. Точно так же, поскольку мы показали, если мы продифференцируем нашу функцию 𝑓 четное число раз, получим гиперболический cos из 𝑥. Если мы оценим это, когда 𝑥 равно нулю, мы просто получим единицу.

В частности, то, что мы показали вот что для нечетного 𝑛 в нашем ряду Маклорена мы просто получили бы ноль в ряд. Так что мы можем оставить их. Таким образом, используя наше определение Серия Маклорена. У нас есть гиперболический cos 𝑥 равно сумме от 𝑛, равной нулю, до ∞ 𝑛-й производной, оцененной в нуле разделить на 𝑛 факториал, умножить на 𝑥 в 𝑛-й степени. Мы можем разделить эту серию на две ряд, первый дает нам все нечетные значения 𝑛, а второй дает нам все четные значения 𝑛.

Как мы уже говорили ранее, каждый коэффициент в нашем первом ряду равен нулю. Таким образом, мы можем просто удалить ряд. И во второй серии, для нашего четные значения 𝑛, мы имеем, что оценки нашей функции в нуле всегда равен единице. Давая нам серию Маклорена для гиперболический cos 𝑥 равен сумме от 𝑛 равного нулю до ∞ от 𝑥 до степень двойки 𝑛, деленная на два 𝑛 факториала.

Теперь мы хотим использовать наш Maclaurin ряд для гиперболического cos 𝑥, чтобы найти ряд Маклорена для гиперболического потому что два 𝑥.

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Определение

Математические функции | NumPy

3.1. Тригонометрические функции

3.2. Гиперболические функции

3.3. Округление

3.4. Суммы, разности, произведения

3.5. Экспоненцирование и логарифмирование

3.6. Другие специальные функции

3.7. Операции с плавающей точкой

3.8. Арифметические операции

3.9. Операции с комплексными числами

3.10. Прочие математические функции

Объясните формулу обратных гиперболических функций

4

Примеры задач

015

Видео с вопросами: Найдите ряд Маклорена для функции гиперболического косинуса

Стенограмма видео

Добавить комментарий Отменить ответ