Степень корня указывается над знаком корня слева. \[\sqrt[x]{a}\], в данном примере х — степень. Если запись не имеет такого обозначения, значит перед нами корень квадратный.
Умножение корней
Существует несколько вариантов умножения корней, это умножение с множителем, без множителя и с разными показателями.
Умножение без множителей
Первым делом рассмотри, как умножаются корни без множителя.
Убедившись, что корни, с которыми необходимо произвести действие имеют одинаковые степени. Например квадратный корень из числа а, можно умножать на квадратный корень из d.
Рассмотрим правило на двух примерах произведения двух квадратных и двух кубических корней.
Примеры:
\[\sqrt{2} * \sqrt{6}=\] первый пример умножение квадратных корней.
\[\sqrt[3]{3} * \sqrt[3]{18}=\] второй пример умножение кубических корне.
Решение:
Для того чтобы решить данные примеры необходимо произвести умножение под корнем.
{2} * 3}=2 \sqrt{3}\], в данном примере число 12 можно разложить на произведение чисел 4 и 3, где 4 равно двум в квадрате. Поэтому 2 выносим за приделы корня и упрощаем выражение.
\[\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27 * 2}=\sqrt[3]{(3 * 3 * 3) * 2}=3 \sqrt[3]{2}\] в данном случае получившееся подкоренное число 54 можно разложить на произведение двух чисел 27 и 2 , где 27 = 33, тройку выносим за корень кубический, тем самым мы упростили выражение.
Точно также производится умножение корней других степеней, при этом не важно количество умножаемых корней, правило не изменится.
Умножение корней с множителями
В данном случае мы так же рассматриваем примеры умножения корней с одинаковыми степенями. Множителем является число, стоящее перед корнем. Если при написании множитель отсутствует, то он равен единице. Умножить корень на число значит умножить число на множитель перед корнем. Для того чтобы произвести умножение с такими корнями, необходимо перемножить множители.
Пример умножения корней:
\[2 \sqrt{6} * \sqrt{6}=2 \sqrt{6 * 6}=2 \sqrt{36}=2 * 6=12\] в данном примере мы сначала произвели умножение множителей 1 и 2 , затем воспользовавшись первым правилом умножения корней, произвели умножение под знаком корня чисел 6 и 6.
Следующим шагом упрощаем выражение, корень из 36, равен целому числу 6. последним действием умножаем его на полученный множитель 2. и получаем ответ 12.
Пример 2.
\[2 \sqrt{6} * 3 \sqrt{3}=2 * 3 \sqrt{6 * 3}=6 \sqrt{18}=6 \sqrt{9 * 2}=6 * 3 \sqrt{2}=18 \sqrt{2}\]
В приведённом примере, мы также в начале производим умножение множителей 2 и 3, затем производим умножение подкоренных чисел 6 и 3, в результате получаем 6 корней из 18.
После производим упрощение выражения под знаком корня, для этого разложили его на множители, таким образом чтобы одно из чисел можно было вынести за пределы знака корень такими числами стали 9 и 2, в результате получилось, что вынесенное число равно трём, так как 9 = \[3^{2}\] .
Теперь умножим получившийся ранее множитель 6 на вынесенное из под корня число 3, и получим ответ 18 корней из двух.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Умножение корней с разными показателями
Теперь разберём, как умножить корни если их показатели степени разные. Для этого необходимо найти наименьшее общее кратное число для этих показателей. Таким числом является наименьшее число, которое можно разделить на оба эти показателя. Для того чтобы разобраться лучше в данном методе, приведём пример.
Пример:
\[\sqrt[2]{2} * \sqrt[3]{5}=\]
Сначала необходимо найти наименьшее общее кратное, наименьшим в данном случае является произведение 2*3 = 6. Значит для того чтобы произвести умножение корней необходимо привести их к показателю шестой степени.
Записываем новое полученное выражение \[\sqrt[6]{2} * \sqrt[6]{5}=\]
Теперь находим числа на которые нужно умножить показатели, чтобы найти наименьшее общее кратное
Для первого корня это деление 6\2 = 3, для второго 6\3 =2
Следующим шагом нужно возвести подкоренное число в степень, которая ровна числам найденным ранее, при нахождении НОК, то есть \[\sqrt[6]{2^{3}} * \sqrt[6]{5^{2}}=\]
Далее имея одинаковые показатели производим действия по умножению корней, так как делали это в предыдущих правилах.
{2}}=\sqrt[6]{8 * 25}=\sqrt[6]{200}\]
Если полученное выражение можно упростить, то упрощаем его. В данном случае это невозможно.
Как мы видим произвести умножение корней не так и сложно, главное запомнить основные правила и формулы умножения корней и пользоваться ними.
Как внести под знак корня: число, множитель, букву
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
В данной публикации мы рассмотрим, как число (множитель) или букву внести под знак квадратного и более старших степеней корня. Информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.
- Правило внесения под знак корня
- Квадратный корень
- Корень n-ой степени
- Отрицательное число/множитель
- Внесение под корень буквы
Правило внесения под знак корня
Квадратный корень
Чтобы внести число (множитель) под знак квадратного корня, его следует возвести во вторую степень (другими словами, в квадрат), затем полученный результат написать под знаком корня.
Пример 1: внесем число 7 под квадратный корень.
Решение:
1. Для начала возведем заданное число в квадрат: 72 = 49.
2. Теперь просто записываем рассчитанное число под корнем, т.е. получаем √49.
Коротко внесение под знак корня можно записать так:
Примечание: Если речь идет про множитель, его мы умножаем на уже имеющееся подкоренное выражение.
Пример 2: представим произведение 3√5 полностью под корнем второй степени.
Корень n-ой степени
Чтобы внести число (множитель) под знак кубического и более старших степеней корня, мы возводим это число в заданную ступень, затем переносим результат в подкоренное выражение.
Пример 3: внесем число 6 под кубический корень.
Пример 4: представим произведение 25√3 под корнем 5-ой степени.
Отрицательное число/множитель
При внесении отрицательного числа/множителя под корень (неважно какой степени), знак “минус” обязательно остается перед знаком корня.
Пример 5
Внесение под корень буквы
Чтобы внести букву под знак корня, поступаем так же, как и с числами (в т.ч. с отрицательными) – возводим эту букву в соответствующую степень, после чего добавляем в подкоренное выражение.
Пример 6
Это справедливо при p > 0, если же p – отрицательное число, то перед знаком корня необходимо добавить знак “минус”.
Пример 7
Рассмотрим более сложный случай: (3 + √8) · √5.
Решение:
1. Сперва внесем выражение в скобках под знак корня.
2. Теперь согласно формуле сокращенного умножения возведем выражение (3 + √8) в квадрат.
Примечание: первый и второй шаг можно поменять местами.
3. Остается только выполнить умножение под корнем с раскрытием скобок.
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Искусство решения проблем
Корень функции (часто многочлена), диапазоном которой являются действительные, комплексные числа или любое абстрактное поле, является значением в области определения функции таким образом, что .
Содержание
- 1 Поиск корней
- 1.1 Общие методы
- 1.2 Рациональные корни
- 1.3 Действительные корни
- 1.4 Сложные корни
- 1.5 В алгебраической форме
Поиск корней
Пусть при всех и , общая степень-многочлен. Степень , поэтому имеет не более комплексных корней. На самом деле сумма кратностей всех различных комплексных корней точно равна ; то есть, считая любые двойные корни дважды, тройные корни трижды и т. д., на самом деле есть точно комплексные корни .
Общие приемы
Умножение или деление всех коэффициентов многочлена на ненулевую константу не меняет его корней. Таким образом, всегда будет монический полином со степенью, имеющей те же корни, что и , заданный
Как только корень найден, теорема о множителях дает, что это множитель . Следовательно, можно разделить с помощью синтетического деления, а корни полученного частного будут оставшимися корнями из .
Рациональные корни
Три простейших значения для проверки: и .
- является корнем тогда и только тогда, когда постоянный член равен .
- является корнем тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов равна .
- является корнем тогда и только тогда, когда сумма переменных коэффициентов равна .
Если все коэффициенты являются целыми числами, то применяется теорема о рациональном корне; а именно, если является корнем , с и относительно простым, то является (положительным или отрицательным) делителем и является делителем .
Если все рациональные, но не обязательно целые числа, то умножение на наименьшее общее кратное знаменателей дает многочлен с теми же корнями, что и целые коэффициенты. Затем к новому многочлену можно применить теорему о рациональном корне для поиска рациональных корней .
В некоторых случаях поиск можно упростить, подставив , где непостоянный линейный полином с рациональными коэффициентами. Если рациональный корень из , то рациональный корень из . Наоборот, если является рациональным корнем , то обратное at должно быть рациональным корнем .
Реальные корни
Вычисление по выбранным значениям может указывать на расположение корней. Если и имеют противоположные знаки, то теорема о промежуточном значении утверждает, что имеет хотя бы один корень в .
Для одинарных корней и других корней нечетной кратности (тройных корней, пятикратных корней и т. д.) всегда будет меняться знак на противоположных сторонах корня, но для корней четной кратности (таких как двойные корни) знак будет быть одинаковым по обе стороны от корня, поэтому теорема о промежуточном значении не обнаружит корни с четной кратностью.
Правило знаков Декарта дает информацию о количестве положительных действительных корней и отрицательных действительных корней .
Записывая коэффициенты в порядке убывания степени и исключая все равные , количество положительных действительных корней равно количеству изменений знака между соседними коэффициентами минус некоторое четное неотрицательное целое число. Количество отрицательных действительных корней равно количеству таких изменений знака после изменения знака каждого коэффициента нечетной степени, снова минус некоторое четное неотрицательное целое число. Здесь корни считаются по кратности, поэтому двойные корни учитываются дважды, тройные корни — три раза и так далее.
В более широком смысле, считая корни в соответствии с их кратностью, как и прежде, число действительных корней всегда имеет ту же четность, что и степень . В частности, если нечетно, то должен иметь хотя бы один действительный корень.
Теорема Ролля гарантирует, что если имеет два корня и , то его производная имеет по крайней мере один корень в интервале . В частности, если не имеет корней в отрезке , то имеет не более одного корня в .
Метод Ньютона генерирует сколь угодно близкие приближения значения действительного корня многочлена. Использование метода Ньютона обычно требует обоснованного предположения о местонахождении корня на основе вышеуказанных критериев. Мы позволяем предположению быть равным и вычисляем приближения рекурсивно:
Комплексные корни
Комплексные корни многочленов с вещественными коэффициентами всегда существуют в сопряженных парах. То есть, если , , и все коэффициенты действительны и является корнем, то также является корнем . В частности, должно быть как четное число различных невещественных корней, так и четная сумма кратностей всех различных невещественных корней.
Произведение множителей, соответствующих и, представляет собой квадратичный многочлен с действительными коэффициентами. Таким образом, деление на произведение оставляет многочлен, который все еще имеет действительные коэффициенты и все корни оригинала, кроме и .
В алгебраической форме
Корень многочлена с целыми коэффициентами всегда будет алгебраическим числом.
Общие формулы дают алгебраическую форму корней многочленов степени не выше .
Для квадратного уравнения корни задаются квадратной формулой
Кубическая формула и формула четвертой степени также существуют, но они довольно длинные и не очень практичны для вычисления вручную.
Для квинтик или многочленов любой более высокой степени не существует подобной формулы. Хотя корнями таких многочленов являются алгебраические числа, их нельзя выразить через коэффициенты, используя только сложение, вычитание, умножение, деление, степени и радикалы.
Эта статья незавершенная. Помогите нам, расширив его.
Краткое руководство по треугольнику 30-60-90
Автор: Мэри Джейн Стерлинг и
-Исчисление для чайниковИсследуйте книгу Купить на Amazon
Треугольник 30-60-90 имеет форму половины равностороннего треугольника, разрезанного прямо посередине вдоль его высоты.
Он имеет углы 30 градусов, 60 градусов и 9 градусов.0 градусов, таким образом, его название! В любом треугольнике 30-60-90 вы видите следующее: самый короткий катет находится напротив угла в 30 градусов, длина гипотенузы всегда вдвое больше длины самого короткого катета, и вы можете найти длину длинного катета. отрезок путем умножения короткого отрезка на квадратный корень из 3.Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, отличная от длинного катета. Длинная нога — это сторона, противоположная углу 60 градусов.
На рисунке показано отношение сторон треугольника с углами 30–60–90 градусов.
Прямоугольный треугольник 30-60-90 градусов
Если вы знаете одну сторону треугольника 30-60-90, вы можете найти две другие с помощью ярлыков.
Вот три ситуации, с которыми вы столкнетесь при выполнении этих расчетов:Тип 1: Вы знаете короткую ногу (сторона напротив угла 30 градусов). Удвойте его длину, чтобы найти гипотенузу. Вы можете умножить короткую сторону на квадратный корень из 3, чтобы найти длинную сторону.
Тип 2: Вы знаете гипотенузу. Разделите гипотенузу на 2, чтобы найти короткую сторону. Умножьте этот ответ на квадратный корень из 3, чтобы найти длинную ногу.
Тип 3: Вы знаете длинную сторону (сторона напротив угла 60 градусов). Разделите эту сторону на квадратный корень из 3, чтобы найти короткую сторону. Удвойте это число, чтобы найти гипотенузу.
Нахождение других сторон треугольника 30-60-90, зная гипотенузу
Поскольку у вас есть гипотенуза TR = 14, вы можете разделить на 2, чтобы получить короткую сторону: RI = 7.