Косинус и синус формулы: формулы cos, sin, tg, ctg

Содержание

Основные формулы — Тригонометрия

 Формулы тригонометрических функций суммы углов.

все тригонометрические формулы

 

все тригонометрические формулы

 

все тригонометрические формулы

 

все тригонометрические формулы

 

 


 

Формулы тригонометрических функций разницы углов.

все тригонометрические формулы

 

все тригонометрические формулы

 

все тригонометрические формулы

 

все тригонометрические формулы

 

 


 

Формулы тригонометрических функций двойного

sin(2α)- через sin и cos:

все тригонометрические формулы

 

sin(2α)- через tg и ctg:

все тригонометрические формулы

 

cos(2α)- через sin и cos:

все тригонометрические формулы

 

cos(2α)- через tg и ctg:

все тригонометрические формулы

 

 

tg(2α) и сtg(2α):

все тригонометрические формулы

 

все тригонометрические формулы

 


 

 

Формулы тригонометрических функций тройного угла  

все тригонометрические формулы

 

все тригонометрические формулы

 

все тригонометрические формулы

 

Формулы двойного и тройного угла

    \[\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}\]

    \[\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = 2\cos^2{\alpha}-1 =1 - 2 \sin^2{\alpha}\]

    \[\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1- \operatorname{tg} ^2{\alpha}}\]

    \[\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3{\alpha}\]

    \[\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos{\alpha}\]

    \[\operatorname{tg}3\alpha=\frac{3\operatorname{tg}\alpha -  \operatorname{tg}^3\alpha }{1 -  3\operatorname{tg}^2\alpha}\]

Формулы двойного угла — это формулы, связывающие тригонометрические функции угла 2\alpha (синус, косинус, тангенс) с тригонометрическими функциями угла \alpha.

Формулы двойного и тройного угла (аргумента) выводятся из формул сложения.

Синус двойного угла

    \[\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}.\]

Доказательство. Воспользуемся формулой сложения для синуса

    \[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.\]

Из этой формулы получаем

    \[ \sin (2\alpha) = \sin (\alpha + \alpha) =\]

    \[=\sin\alpha\cos\alpha +\cos\alpha\sin\alpha =  2\sin{\alpha}\cos{\alpha}.\]

Косинус двойного угла

    \[\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = 2\cos^2{\alpha}-1 =1 - 2 \sin^2{\alpha}.\]

Доказательство. Применим формулу суммы агументов косинуса: 

    \[\cos (\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.\]

Получим

    \[\cos (2\alpha) = \cos (\alpha + \alpha) = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha.\]

Тангенс двойного угла

    \[\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1- \operatorname{tg} ^2{\alpha}}.\]

Доказательство этой формулы аналогично, поэтому эту формулу мы предлагаем вам доказать самостоятельно :).

Синус, косинус и тангенс тройного угла

    \[\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3{\alpha}.\]

    \[\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos{\alpha}.\]

    \[\operatorname{tg}3\alpha=\frac{3\operatorname{tg}\alpha -  \operatorname{tg}^3\alpha }{1 -  3\operatorname{tg}^2\alpha}.\]

Доказательство. Формулы тройного угла можно получить из формул сложения, зная формулы двойного угла. Покажем это на примере синуса:

    \[ \sin(3\alpha) = \sin{\alpha + 2\alpha} =  \sin\alpha\cos 2\alpha+\cos\alpha\sin 2\alpha = \]

    \[=\sin{\alpha}\left(1 - 2 \sin^2{\alpha}\right) + \cos\alpha(2\sin{\alpha}\cos{\alpha}).\]

Используя основное тригонометрическое тождество \cos^2\alpha = 1 - \sin^2{\alpha} и приводя подобные члены, получаем формулу тройного угла для синуса.

Аналогично получаются формулы тройного угла для косинуса и тангенса.

Основные тригонометрические тождества

  • Главная
  • Справочник
  • Тригонометрия
  • Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

\[ \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

\[ \dfrac{1}{cos^{2}\alpha} = tg^{2} \alpha\]

\[ \dfrac{1}{sin^{2}\alpha} = ctg^{2} \alpha\]

Четность, нечетность тригонометрических функций

\[ \sin \left ( — \alpha \right ) = — \sin \left ( \alpha \right ) \]

\[ \cos \left ( — \alpha \right ) = \cos \left ( \alpha \right ) \]

\[ tg \left ( — \alpha \right ) = — tg \left ( \alpha \right ) \]

\[ ctg \left ( — \alpha \right ) = ctg \left ( \alpha \right ) \]

Зависимость между синусом и косинусом

\[ \sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1 \]

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой \( \dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), а отношение \( \dfrac{x}{y}=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \( \alpha \), при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества \( tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Например: \( tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) является справедливой для углов \( \alpha \), которые отличны от \( \dfrac{\pi}{2}+\pi z \), а \( ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) — для угла \( \alpha \), отличного от \( \pi z \), \( z \) — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Данное тождество справедливо только для таких углов \( \alpha \), которые отличны от \( \dfrac{\pi}{2} z \). Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что \( tg \alpha = \dfrac{y}{x} \), а \( ctg \alpha=\dfrac{x}{y} \). Отсюда следует, что \( tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}=1 \). Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

\( tg^{2} \alpha + 1=\dfrac{1}{\cos^{2} \alpha} \) — сумма квадрата тангенса угла \( \alpha \) и \( \alpha \), отличных от \( \dfrac{\pi}{2}+ \pi z \).

\( 1+ctg^{2} \alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha} \) — сумма \( \alpha \), равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \( \alpha \), отличного от \( \pi z \).

Формулы приведения

sinα+2πz=sinα, cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα, ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα, cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα, ctg-α+2πz=-ctgαsinπ2+α+2πz=cosα, cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα, ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα, cosπ2-α+2πz=sinαtgπ2-α+2πz=ctgα, ctgπ2-α+2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα, cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα, ctgπ+α+2πz=ctgαsinπ-α+2πz=sinα, cosπ-α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=-tgα, ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα, cos3π2+α+2πz=sinαtg3π2+α+2πz=-ctgα, ctg3π2+α+2πz=-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα, cos3π2-α+2πz=-sinαtg3π2-α+2πz=ctgα, ctg3π2-α+2πz=tgα

Формулы понижения степени

sin2α=1-cos2α2cos2α=1+cos2α2sin3α=3sinα-sin3α4cos3α=3cosα+cos3α4sin4α=3-4cos2α+cos4α8cos4α=3+4cos2α+cos4α8

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов — урок. Алгебра, 10 класс.

Перед тем как начать подробное ознакомление с формулами преобразования тригонометрических выражений, поясним, для чего  вообще нужны преобразования тригонометрических выражений. 

 

Дело в том, что очень часто тригонометрические выражения даже самого «устрашающего» вида после несложных преобразований довольно легко приводятся к выражениям с табличным значением аргумента — таким, например, как: 30°(π6),45°(π4),60°(π3)… или к таким выражениям, решение которых найти гораздо проще, чем решение исходного тригонометрического выражения. 

 

В этом и заключается основная цель преобразования тригонометрических выражений — привести заданное выражение к такому виду, чтобы найти его решение было проще.

 

А средством для достижения этой цели — её «инструментом» — и являются формулы преобразования тригонометрических выражений,

знакомство с которыми мы начнём с изучения наиболее важных из них — формул синуса и косинуса суммы аргументов.

 

Именно эти формулы считаются основными и наиболее важными формулами преобразования тригонометрических выражений, поскольку из этих формул без особого труда выводятся практически все формулы тригонометрии.

 

Доказательство самих формул синуса и косинуса суммы аргументов технически довольно сложно, и оно не входит в базовый курс обучения. 

 

Примечание. Для краткости и упрощения в дальнейшем исключим слово «аргументов» из названий формул — это общепринятая практика — и, говоря о формулах синуса или косинуса суммы (разности), будем понимать, что это формулы синуса или косинуса суммы (разности)  аргументов этих функций.

 

Формула синуса суммы:  sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny.        (1)

 

Формула косинуса суммы:  cos(x+y)=cosx⋅cosy−sinx⋅siny.       (2)

 

Рассмотрим теперь выражение sin(x−y)  в таком виде: sin(x+(−y)) — и воспользуемся формулой синуса суммы (1): sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y).

 

Теперь вспомним о свойстве чётности функции косинус: cos(−y)=cosy —

и свойстве нечётности функции синус: sin(−y)=−siny.

 

Тогда:

sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny.

 

Формула синуса разности:  sin(x−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny.    (3)

Аналогично, представив cos(x−y) в виде cos(x+(−y)), воспользуемся формулой косинуса суммы (2), 

и свойствами чётности функции косинус  cos(−y)=cosy,

и нечётности функции синус  sin(−y)=−siny.

 

Тогда получим:

cos(x+(−y))=cosx⋅cos(−y)−sinx⋅sin(−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny.

 

Формула косинуса разности: cos(x−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny.   (4)

Формулы тригонометрии — YouClever.org

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Привет!

Сегодня мы с тобой разберем ряд полезных формул тригонометрии, которые без труда позволят тебе решать большинство задачек на тригонометрию в части B в ЕГЭ.

Мы решим 22 примера!!! И ты точно будешь знать формулы тригонометрии и сможешь решить любую задачу на ЕГЭ!

Эти задачки будут в основном связаны с упрощением некоторых изначально “страшных” выражений до милого и приятного вида, для того, чтобы потом ты мог вычислить значение выражения в некоторой заданной точке.

Конечно, ты можешь возразить мне, что можно и без всякого упрощения все посчитать. Ну что мне сказать, можно!

Я бы с удовольствием посмотрел на тебя, как ты посчитаешь значение, скажем выражения:

 

при  . Не думаю, что у тебя выйдет что-то путное за вменяемое время, ты уж меня извини.

Тут тебя может спасти только знание формул тригонометрии. Так что к их изучению мы и приступим.

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ​

Как ты уже понял, тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Стоп! Вот прямо здесь мы и остановимся! Я задам тебе вопрос: какие тригонометрические функции ты знаешь? Верно! Их всего четыре!

  1. Синус  
  2. Косинус  
  3. Тангенс  
  4. Котангенс  

Хотя, положа руку на сердце, я скажу тебе, что знание последней не так уж и обязательно (хотя желательно!), поскольку она легко выражается через тангенс.

Да и сам тангенс, по сути – тоже лишь тригонометрическое выражение, зависящее от синуса и косинуса.

Таким образом, у нас есть две основные тригонометрические функции – синус и косинус и две «второстепенные» — тангенс и котангенс.

Я не буду сейчас определять, что такое синус и косинус, ты и так это уже знаешь из предыдущих разделов. Я лишь скажу пару слов про важность этих понятий.

Итак, пара слов: первые зачатки тригонометрии возникли более 3 тысяч лет назад. Я думаю, что тебе очевидно, что тогда люди не занимались «формулами ради формул».

Так что тригонометрические функции имеют полезные практические свойства. Я не буду их перечислять. Если тебе интересно, ты всегда можешь найти море информации в интернете. Сейчас я приведу тебе некоторые основные соотношения между тригонометрическими величинами, которые оказываются полезными при решении задач.

Формулы тригонометрии (основа)

  1. Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
     
  2. Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
     
  3. Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
     
  4. Первое следствие формулы 1:
     
  5. Второе следствие формулы 1:
     
  6. Третье следствие формулы 1:
     
  7. Четвертое следствие формулы 1:
     

Уже получилось 7 формул! К сожалению, это еще далеко не предел. Совсем не предел.

Тем не менее последние 4 формулы есть ни что иное, как простое следствие первой.

В самом деле, ты заметил, почему это так?

Формула 4 получается делением обеих частей формулы 1 на   и применением формулы 2.

Формула 5 получается аналогично: разделим обе части формулы 1 на   и вместо выражения   запишем  , исходя из определения 3. Формулы 1 – 5 мы трактуем вполне однозначно. Чего нельзя сказать про формулы 6 и 7.

В чем «фишка» формул 6 и 7? Их особенность заключается в знаке  , который стоит перед корнем.

Как это понимать?

А понимать надо так: в некоторых случаях мы ставим плюс, а в некоторых – минус.

Теперь у тебя должен возникнуть вопрос: в каких-таких «некоторых случаях»? Туманность этой формулировки снимается следующим правилом:

  • Если в формуле

     

    Угол   таков, что  , то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

  • Если в формуле

     

    Угол   таков, что  , то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

Есть опять некий «запутанный» момент в правиле, не так ли? В чем осталось разобраться?

Осталось понять, как связан угол со знаком тригонометрической функции. Ответом на этот вопрос (если ты, конечно, забыл) служат следующие картинки:

Они подскажут тебе, какой нужно выбирать знак для той или иной функции, так что ты не допустишь досадной ошибки.

К тому же это избавит тебя от мучительных размышлений по поводу того «а зачем в этом примере нужен этот угол?!».

Тебе не кажется, что пришла пора мне уже перейти от теории к некоторой практике? Давай начнем!

  1. Най­ди­те  , если   и  .
  2. Най­ди­те  , если   и  .
  3. Най­ди­те   если   и  .
  4. Най­ди­те  , если   и  .

Ну что же, давай разбираться:

1. Так как  , то подставим сюда значение , тогда  

 

Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол.

По условию задачи: . Смотри на картинку. Какая это четверть? Четвертая.

Каков знак косинуса в четвертой четверти? На картинке стоит знак «плюс», значит косинус в четвертой четверти положительный.

Тогда нам остается выбрать знак «плюс» перед  .  , тогда  .

Ответ:  .

Ну вот видишь, ничего сложного. Абсолютно ничего. Нужно лишь запомнить знаки синуса, косинуса и тангенса (котангенса) по четвертям. Ну а как это делать автоматически описано в статье, посвященной тригонометрической окружности.

Давай разберем оставшиеся примеры.

2. Так как  , то все, что нам нужно – это подставить   в нашу формулу. Что мы с тобой и сделаем:

 .

Опять нужно определиться со знаком. Смотрим на рисунок. Четверть – снова четвертая. Знак синуса четвертой четверти – отрицательный. Ставим знак «минус».  , тогда  .

Ответ:  .

3. Ничего нового. Скорее для закрепления. Снова подставляем в формулу   значение  :

 .

Смотрим на знак косинуса при  . Какая это четверть? Вторая. Косинус второй четверти отрицательный. Тогда выбираем знак «минус».

Ответ:  .

4. Здесь перед нами стоит задачка чуть сложнее. Однако, не стоит огорчаться. Давай вспомним, что такое тангенс. Это ведь отношение синуса к косинусу. Синус нам уже дан.

Давай вначале найдем косинус. Как это сделать, ты уже знаешь.  .

Так как   (это угол в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак «минус»), то  .

Теперь все, что нам осталось, это воспользоваться определением тангенса:

 

Ответ:  .

Уф, выдохнули! Ну вот мы с тобой решили некоторые (довольно типичные и распространенные) примеры.

Ты спросишь: «и что, это все?». Я отвечу, увы нет. Это далеко не все.

Далее нам потребуются более сложные формулы тригонометрии.

Формулы тригонометрии – 2 (более сложные).

  1. Синус суммы и разности:
     
  2. Косинус суммы и разности:
     
  3. Тангенс суммы и разности:
     
  4. Синус двойного угла (следствие формулы 1)
     
  5. Косинус двойного угла (следствие формулы 2)
     
     
  6. Тангенс двойного угла:
     

Как распознать, что тебе требуются именно эти, а не какие-нибудь другие формулы?

Очень просто: если ты видишь косинус, синус, тангенс от суммы двух углов или двойных углов, то это должно служить тебе индикатором – мне нужно применить одну из формул для суммы/разности или для двойного угла.

Звучит несколько путано? Давай посмотрим на примеры. Заодно я дам еще ряд важных комментариев.

1.  

2.  

3.  

4. Най­ди­те  , если  

5. Най­ди­те  , если  

6. Най­ди­те  , если   и  .

7. Най­ди­те  , если  .

8. Най­ди­те  , если  

9. Най­ди­те  , если  .

Список этих заданий можно продолжать бесконечно… Но я выбрал здесь а) не самые сложные формулы б) не самые «страшные» углы.

Страшные углы я припас нам напоследок. А пока что давай разберем 9 примеров.

Кстати, здесь тебе понадобится знание также тех формул, которые я привел в самом начале. Поехали!

Давай разберем 9 примеров, чтобы узнать почти все, что нужно для ЕГЭ )

Пример №1.

 

Ни ты, ни я не знаем, чему в точности равен синус или косинус   градусов, и чему равен синус   градусов.

Но что мы должны заметить?

Верно!

 .

Значит, снизу записан синус двойного угла!

Тогда применим формулу синуса двойного угла:

 

Подставим это значение в знаменатель нашей дроби и сократим!

 .

Ответ:  .

Ну вот, ничего страшного не случилось?

Пример решился в одну строчку с применением одной единственной формулы. Другое дело, иногда не совсем очевидно, какую из формул применять. Тут тебе нужен опыт. Нужно, как говорится, «набить руку» на таких примерах.

Пример №2

 

Опять-таки, сразу можно заметить, что  .   градуса стоит в косинусе.

Это говорит о том, что в примере спрятан косинус двойного угла. Вспомним его определение:

 

Что же у нас есть в числителе?

А там все наоборот: синус в квадрате вычитается из косинуса в квадрате. Тогда в числителе у нас написана формула чего?

Да все того же косинуса двойного угла, только «наоборот», со знаком «минус»!

 

 .

Тогда получим:

 .

Ответ:  .

 

90000 Sum and Difference Formulas (Trig without Tears Part 7) 90001 Sum and Difference Formulas (Trig without Tears Part 7) 90002 Trig without Tears Part 7: 90003 90002 Copyright © 1997-2019 Stan Brown, BrownMath.com 90003 90002 90007 Summary: 90008 Continuing with trig identities, this page looks at the 90007 sum and difference formulas 90008, namely sin (90011 A 90012 ± 90011 B 90012), cos (90011 A 90012 ± 90011 B 90012), and tan (90011 A 90012 ± 90011 B 90012).Remember one, and all the rest flow from it. There’s also a 90007 beautiful way to get them from Euler’s formula 90008. 90003 90026 Sine and Cosine of 90011 A 90012 ± 90011 B 90012 90031 90002 Formulas for cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012), sin (90011 A 90012 — 90011 B 90012), and so on are important but hard to remember. Yes, you can derive them by strictly trigonometric means. But such proofs are lengthy, too hard to reproduce when you’re in the middle of an exam or of some long calculation.90003 90002 This brings us to W.W. Sawyer’s marvelous idea, as expressed in chapter 15 of 90043 Mathematician’s Delight 90044 (1943; reprinted 1991 by Penguin Books). He shows how you can derive the sum and difference formulas by ordinary algebra and one simple formula. 90003 90002 The ordinary algebra is simply the rules for combining powers: 90003 90002 (46) 90011 x 90012 90051 90011 a 90012 90054 90011 x 90012 90051 90011 b 90012 90054 = 90011 x 90012 90051 90011 a 90012 + 90011 b 90012 90054 90003 90002 (90011 x 90012 90051 90011 a 90012 90054) 90051 90011 b 90012 90054 = 90011 x 90012 90051 90011 a 90012 90011 b 90012 90054 90003 90002 (If you’re a bit rusty on the laws of exponents, you may want to review them.) 90003 90092 Euler’s Formula 90093 90002 You may already know the «simple formula» that I mentioned above. It’s 90003 90002 (47) 90007 Memorize: 90008 90003 90002 cos 90011 x 90012 + i sin 90011 x 90012 = e 90 051 i 90011 x 90012 90054 90003 90002 The formula is not Sawyer’s, by the way; it’s commonly called Euler’s formula. I do not even know whether the idea of ​​using Euler’s formula to get the sine and cosine of sum and difference is original with Sawyer. But I’m going to give him credit, since his explanation is 90007 simple and clear 90008 and I’ve never seen it explained in this way anywhere else.90003 90002 You’ll sometimes see cos 90011 x 90012 + i sin 90011 x 90012 abbreviated as cis 90011 x 90012 for brevity. 90003 90002 I’ve marked Euler’s formula «Memorize». Although it’s not hard to derive (and Sawyer does it in a few steps by means of power series), you have to start 90123 somewhere 90124. And that formula has so many other applications that it’s well worth committing to memory. For instance, you can use it to get the roots of a complex number and the logarithm of a negative number.90003 90092 Sine and Cosine of a Sum 90093 90002 Okay, back to Sawyer’s idea. What happens if you substitute 90011 x 90012 = 90011 A 90012 + 90011 B 90012 in equation 47 above? You get 90003 90002 cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) + i sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = e 90051 i 90011 A 90012 + i 90011 B 90012 90054 90003 90002 Hmmm, this looks interesting. It involves exactly what we’re looking for, cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) and sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012).Can you simplify the right-hand side? Yes, use equation 46 and then equation 47 to rewrite it: 90003 90002 cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) + i sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = e 90051 i 90011 A 90012 + i 90011 B 90012 90054 90003 90002 cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) + i sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = e 90051 i 90011 A 90012 90054 e 90051 i 90011 B 90012 90054 90003 90002 cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) + i sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = (Cos 90011 A 90012 + i sin 90011 A 90012) (Cos 90011 B 90012 + i sin 90011 B 90012) 90003 90002 Multiply out the right-hand side, and group real and imaginary terms separately: 90003 90002 cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) + i sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + i sin 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + i cos 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 + i² sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90002 cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) + i sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + i sin 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + i cos 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 — sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90002 cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) + i sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = (Cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 — sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012) + i (sin 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + cos 90011 A 90012 sin 90011 B 90012) 90003 90002 Now here’s the sneaky part.If I tell you 90011 a 90012 + 90011 b 90012 i = 7-9i and ask you to solve for 90011 a 90012 and 90011 b 90012, you know immediately that 90011 a 90012 = 7 and 90011 b 90012 = -9, right? More formally, if two complex numbers are equal, their real parts must be equal and their imaginary parts must be equal. So the above equation in sines and cosines is actually two equations, one for the real part and one for the imaginary part. (I’m showing the imaginary part first in the box below, to put sine before cosine.) 90003 90002 (48) sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = sin 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + cos 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90002 cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 — sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90002 In just a few short steps, the formulas for cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) and sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) flow right from equation 47, Euler’s equation for e 90051 i 90011 x 90012 90054.No more need to memorize which one has the minus sign and how all the sines and cosines fit on the right-hand side: all you have to do is a couple of substitutions and a multiply. 90003 90002 90007 Example: 90008 What’s the exact value of cos 75 ° or cos (5π / 12)? 90003 90002 90007 Solution: 90008 75 ° = 45 ° + 30 ° (5π / 12 = π / 4 + π / 6). Using equation 48, 90003 90002 cos 75 ° = cos (45 ° + 30 °) 90003 90002 cos 75 ° = cos 45 ° cos 30 ° — sin 45 ° sin 30 ° 90003 90002 cos 75 ° = (√2 / 2) × (√3 / 2) — (√2 / 2) × (1/2) 90003 90002 cos 75 ° = √6 / 4 — √2 / 4 90003 90092 Sine and Cosine of a Difference 90093 90002 What about the formulas for the differences of angles? You can write them down at once from equation 48 by substituting — 90011 B 90012 for 90011 B 90012 and using equation 22.Or, if you prefer, you can get them by substituting 90011 x 90012 = 90011 A 90012 — 90011 B 90012 in equation 47 above. Either way, you get 90003 90002 (49) cos (90011 A 90012 — 90011 B 90012) = cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90002 sin (90011 A 90012 — 90011 B 90012) = sin 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 — cos 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90092 Some Geometric Proofs 90093 90002 I personally find the algebraic reasoning given above very easy to follow, though you do have to remember Euler’s formula.90003 90002 If you prefer geometric derivations of sin (90011 A 90012 ± 90011 B 90012) and cos (90011 A 90012 ± 90011 B 90012), you’ll find a beautiful set by Len and Deborah Smiley. (Phil Kenny drew my attention to this page’s original version and to the link at the University of Alaska.) Eric’s Treasure Trove of Mathematics has smaller versions of the pictures. 90003 90002 The fallback position is the standard proof: draw a diagram and use the distance formula or Pythagorean Theorem to prove the formula for cos (90011 A 90012 — 90011 B 90012).90003 90026 Tangent of 90011 A 90012 ± 90011 B 90012 90031 90002 Sometimes-though not very often-you have to deal with the tangent of the sum or difference of two angles. I have only a vague idea of ​​the formula, but it’s easy enough to work out «on the fly»: 90003 90002 tan (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) / cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) 90003 90002 tan (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = (sin 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + cos 90011 A 90012 sin 90011 B 90012) / (cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 — sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 ) 90003 90002 What a mess! There’s no way to factor that and remove common terms-or is there? Suppose you start with a vague idea that you’d like to know tan (90011 A 90012 + 90011 B 90012) in terms of tan 90011 A 90012 and tan 90011 B 90012 rather than all those sines and cosines.The numerator and denominator contain sines and cosines, so if you divide by cosines you’d expect to end up with sines or perhaps sines over cosines. And sine / cosine is tangent, so this seems like a promising line of attack. Since you’ve got cosines of angles 90011 A 90012 and 90011 B 90012 to contend with, try dividing the numerator and denominator of the fraction by cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012: 90003 90002 tan (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = (sin 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + cos 90011 A 90012 sin 90011 B 90012) / (cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 — sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 ) 90003 90002 tan (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = [Sin 90011 A 90012 / cos 90011 A 90012 + sin 90011 B 90012 / cos 90011 B 90012] / [1 — (sin 90011 A 90012 / cos 90011 A 90012) (sin 90011 B 90012 / cos 90011 B 90012)] 90003 90002 Success! Simplify it using the definition of tan 90011 x 90012, and you have 90003 90002 (50) tan (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = (tan 90011 A 90012 + tan 90011 B 90012) / (1 — tan 90011 A 90012 tan 90011 B 90012) 90003 90002 Now if you replace 90011 B 90012 with — 90011 B 90012, you have the formula for tan (90011 A 90012 — 90011 B 90012).(Take a minute to review why tan (- 90011 x 90012) = -tan 90011 x 90012.) 90003 90002 (51) tan (90011 A 90012 — 90011 B 90012) = (tan 90011 A 90012 — tan 90011 B 90012) / (1 + tan 90011 A 90012 tan 90011 B 90012) 90003 90002 90007 Example: 90008 What’s the exact value of tan 15 ° or tan (π / 12)? 90003 90002 90007 Solution: 90008 15 ° = 60 ° -45 ° (Π / 12 = π / 3 — π / 4). Therefore 90003 90002 tan (π / 12) = tan (π / 3 — π / 4) 90003 90002 tan (π / 12) = [tan (π / 3) — tan (π / 4)] / [1 + tan (π / 3) tan (π / 4)] 90003 90002 tan (π / 12) = (√3- 1) / (1 + √3 × 1) 90003 90002 tan (π / 12) = (√3- 1) / (√3 + 1) 90003 90002 If you like, you can rationalize the denominator: 90003 90002 tan (π / 12) = (√3- 1) ² / (√3 + 1) (√3 — 1) 90003 90002 tan (π / 12) = (3 — 2√3 + 1) / (3 — 1) 90003 90002 tan (π / 12) = (4 — 2√3) / 2 90003 90002 tan (π / 12) = 2 — √3 90003 90026 Practice Problems 90031 90002 To get the most benefit from these problems, work them without first looking at the solutions.Refer back to the chapter text if you need to refresh your memory. 90003 90002 90007 Recommendation 90008: Work them on paper — it’s harder to fool yourself about whether you really understand a problem completely. 90003 90002 You’ll find full solutions for all problems. Do not just check your answers, but check your method too. 90003 90002 1 Find sin (-15 °) exactly. 90003 90002 2 Find tan 105 ° exactly. 90003 90002 3 Prove: cos 2 90011 A 90012 = 2 cos² 90011 A 90012 — 1.(Hint: 2 90011 A 90012 = 90011 A 90012 + 90011 A 90012.) 90003 4 Prove these formulas from equation 22, by using the formulas for functions of sum and difference. 90002 (a) cos (- 90011 A 90012) = cos 90011 A 90012 (I’ve done the first step for you.) 90003 90002 cos (- 90011 A 90012) = cos (0 — 90011 A 90012) 90003 90002 (b) tan (π + 90011 A 90012) = tan 90011 A 90012 90003 90002 (c) sin (π — 90011 A 90012) = sin 90011 A 90012 90003 90026 BTW: Product-Sum Formulas 90031 90092 Product to Sum 90093 90002 Sometimes you need to simplify an expression like cos 3 90011 x 90012 cos 5 90011 x 90012.Of course it’s not equal to cos (15 90011 x 90012 ²), but can it be simplified at all? The answer is yes, and in fact you need this technique for calculus work. There are four formulas that can be used to break up a product of sines or cosines. 90003 90002 These product-to-sum formulas come from equation 48 and equation 49 for sine and cosine of 90011 A 90012 ± 90011 B 90012. First let’s develop one of these formulas, and then we’ll look at an application before developing the others. 90003 90002 Take the two formulas for cos (90011 A 90012 ± 90011 B 90012) and add them: 90003 90002 cos (90011 A 90012 — 90011 B 90012) = cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90002 cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 — sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90002 cos (90011 A 90012 — 90011 B 90012) + cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = 2 cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 90003 90002 ½ [cos (90011 A 90012 — 90011 B 90012) + cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012)] = cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 90003 90002 90007 Example: 90008 Suppose you need to graph the function 90003 90002 f (90011 x 90012) = cos 2 90011 x 90012 cos 3 90011 x 90012, 90003 90002 or perhaps you need to find its integral.Both of these are rather hard to do with the function as it stands. But you can use the product-to-sum formula, with 90011 A 90012 = 2 90011 x 90012 and 90011 B 90012 = 3 90011 x 90012, to rewrite the function as a sum: 90003 90002 f (90011 x 90012) = cos 2 90011 x 90012 cos 3 90011 x 90012 90003 90002 f (90011 x 90012) = ½ [Cos (2 90011 x 90012 — 3 90011 x 90012) + cos (2 90011 x 90012 + 3 90011 x 90012)] 90003 90002 f (90011 x 90012) = ½ [cos (- 90011 x 90012) + cos 5 90011 x 90012] 90003 90002 You know that cos (- 90011 x 90012) = cos 90011 x 90012, and therefore 90003 90002 f (90011 x 90012) = ½ [cos 90011 x 90012 + cos 5 90011 x 90012] 90003 90002 f (90011 x 90012) = ½ cos 90011 x 90012 + ½ cos 5 90011 x 90012 90003 90002 This is quite easy to integrate.And while it’s not exactly trivial to graph, it’s much easier than the original, because cos 90011 x 90012 and cos 5 90011 x 90012 90123 are 90124 easy to graph. 90003 90002 The other three product-to-sum formulas come from the other three ways to add or subtract the formulas in equation 48 and equation 49. If you subtract the two cosine formulas instead of adding: 90003 90002 cos (90011 A 90012 — 90011 B 90012) = cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90002 -cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = -cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 + sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90002 you get 90003 90002 cos (90011 A 90012 — 90011 B 90012) — cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) = 2 sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90002 ½ [cos (90011 A 90012 — 90011 B 90012) — cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012)] = sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 90003 90002 To get the other two product-to sum formulas, add the two sine formulas from equation 48 and equation 49, or subtract them.Here are all four formulas together: 90003 90002 (52) cos 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 = ½ cos (90011 A 90012 — 90011 B 90012) + ½ cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) 90003 90002 sin 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 = ½ cos (90011 A 90012 — 90011 B 90012) — ½ cos (90011 A 90012 + 90011 B 90012) 90003 90002 sin 90011 A 90012 cos 90011 B 90012 = ½ sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) + ½ sin (90011 A 90012 — 90011 B 90012) 90003 90002 cos 90011 A 90012 sin 90011 B 90012 = ½ sin (90011 A 90012 + 90011 B 90012) — ½ sin (90011 A 90012 — 90011 B 90012) 90003 90002 The fourth one of those formulas really is not needed, because you can always evaluate cos 90011 p 90012 sin 90011 q 90012 as sin 90011 q 90012 cos 90011 p 90012.But it’s traditional to present all four formulas. 90003 90092 Sum to Product 90093 90002 There are also formulas that combine a sum or difference into a product. Heon Joon Choi, a physics student from Cornell, has kindly told me of an application: «Superposing two waves and trying to figure out the nodes is much easier if they are multiplied, rather than added. » This makes sense: solving most equations is easier once you’ve factored them. The sum-to-product formulas are also used to prove the Law of Tangents, though that itself is no longer used in solving triangles.90003 90002 Here’s how to get the sum-to-product formulas. First make these definitions: 90003 90002 90011 A 90012 = ½ (90011 u 90012 + 90011 v 90012), and 90011 B 90012 = ½ (90011 u 90012 — 90011 v 90012) 90003 90002 Then you can see that 90003 90002 90011 A 90012 + 90011 B 90012 = 90011 u 90012, and 90011 A 90012 — 90011 B 90012 = 90011 v 90012 90003 90002 Now make those substitutions in all four formulas of equation 52, and after simplifying you will have the sum-to-product formulas: 90003 90002 (53) cos 90011 u 90012 + cos 90011 v 90012 = 2 cos (½ (90011 u 90012 + 90011 v 90012)) cos (½ (90011 u 90012 — 90011 v 90012)) 90003 90002 cos 90011 u 90012 — cos 90011 v 90012 = -2 sin (½ (90011 u 90012 + 90011 v 90012)) sin (½ (90011 u 90012 — 90011 v 90012)) 90003 90002 sin 90011 u 90012 + sin 90011 v 90012 = 2 sin (½ (90011 u 90012 + 90011 v 90012)) cos (& frac12 (90011 u 90012 — 90011 v 90012)) 90003 90002 sin 90011 u 90012 — sin 90011 v 90012 = 2 sin (½ (90011 u 90012 — 90011 v 90012)) cos (& frac12 (90011 u 90012 + 90011 v 90012)) 90003 90026 BTW: Proof of Euler’s Formula 90031 90002 Euler’s formula (equation 47) is easily proved by means of power series.Start with the formulas 90003 90002 (54) 90003 90002 You can click the image to see a larger version. Or if you can not see the image at all, here are the formulas in linear text: 90003 90002 e 90051 90011 x 90012 90054 = SUM [90011 x 90012 90051 90011 k 90012 90054/90011 k 90012! ] = 1 + 90011 x 90012 + 90011 x 90012 90051 2 90054/2! + 90011 x 90012 90051 3 90054/3! + ⋯ 90003 90002 cos 90011 x 90012 = SUM [(-1) 90051 90011 k 90012 90054 90011 x 90012 90051 2 90011 k 90012 90054 / (2 90011 k 90012)! ] = 90011 1 90012 — 90011 x 90012 90051 2 90054/2! + 90011 x 90012 90051 4 90054/4! — 90011 x 90012 90051 6 90054/6! + ⋯ 90003 90002 sin 90011 x 90012 = SUM [(-1) 90051 90011 k 90012 90054 90011 x 90012 90051 2 90011 k 90012 +1 90054 / (2 90011 k 90012 +1)! ] = 90011 x 90012 — 90011 x 90012 90051 3 90054/3! + 90011 x 90012 90051 5 90054/5! — 90011 x 90012 90051 7 90054/7! + ⋯ 90003 90002 (These are how the function values ​​are actually calculated, by the way.All three series converge quickly, meaning that you get quite an accurate result from computing just the first few terms. If you want to know the value of e 90051 2 90054, you just substitute 2 for 90011 x 90012 in the formula and compute until the additional terms fall within your desired accuracy.) 90003 90002 Now we have to find the value of e 90051 i 90011 x 90012 90054, where i = √-1. Use the first formula to find e 90051 i 90011 x 90012 90054, by substituting i 90011 x 90012 for 90011 x 90012: 90003 90002 e 90051 i 90011 x 90012 90054 = SUM [(i 90011 x 90012) 90051 90011 k 90012 90054/90011 k 90012! ] 90003 90002 e 90051 i 90011 x 90012 90054 = 1 + (i 90011 x 90012) + (I 90011 x 90012) 90051 2 90054/2! + (I 90011 x 90012) 90051 3 90054/3! + (I 90011 x 90012) 90051 4 90054/4! + (I 90011 x 90012) 90051 5 90054/5! + (I 90011 x 90012) 90051 6 90054/6! + (I 90011 x 90012) 90051 7 90054/7! +… 90003 90002 Simplify the powers of i, using i² = -1: 90003 90002 e 90051 i 90011 x 90012 90054 = 1 + i 90011 x 90012 — 90011 x 90012 90051 2 90054/2! — i 90011 x 90012 90051 3 90054/3! + 90011 x 90012 90051 4 90054/4! + I 90011 x 90012 90051 5 90054/5! — 90011 x 90012 90051 6 90054/6! — i 90011 x 90012 90051 7 90054/7! + … 90003 90002 Finally, group the real and imaginary terms separately: 90003 90002 e 90051 i 90011 x 90012 90054 = [1 — 90011 x 90012 90051 2 90054/2! + 90011 x 90012 90051 4 90054/4! — 90011 x 90012 90051 6 90054/6! +…] + i [90011 x 90012 — 90011 x 90012 90051 3 90054/3! + 90011 x 90012 90051 5 90054/5! — 90011 x 90012 90051 7 90054/7! + …] 90003 90002 Those should look familiar. If you refer back to the power series at the start of this section, you’ll see that the first group of terms is just cos 90011 x 90012 and the second group is just sin 90011 x 90012. So you have 90003 90002 e 90051 i 90011 x 90012 90054 = cos 90011 x 90012 + i sin 90011 x 90012 90003 90002 which is Euler’s formula, as advertised! 90003 90002 You may wonder where the series for cos 90011 x 90012, sin 90011 x 90012, and e 90051 90011 x 90012 90054 come from.The answer is that they are the Taylor series expansions of the functions. (You’ll probably study Taylor series in second- or third-semester calculus.) 90003 90026 What’s New 90031 91294 91295 90007 19 Dec 2018 90008: Following a suggestion from Vincent DiCarlo, rewrote the derivation of equation 48 to make it clearer. 91298 91295 90007 11 Dec 2016 90008: Added three new proofs to the Practice Problems. 91298 91295 90007 26/27 Nov 2016 90008: 91294 91295 Added practice problems.91298 91295 Marked the product-sum formulas section as BTW. 91298 91295 Flipped the order of equation 48, because everyone expects to see sine before cosine. 91298 91295 Added an Equation Editor image of equation 54 (formerly equation 81), to make the fractions and exponents stand out better. 91298 91295 Updated the mathematical notation, particularly the use of italics and spaces, to conform to the standard. I used Jukka Korpela’s comprehensive 90043 Writing Mathematical Expressions 90044 (2014 року, Suomen E-painos Oy), ISBN 978-952-6613-25-3.91298 91319 91298 91295 (intervening changes suppressed) 91298 91295 90007 19 Feb 1997 90008: New document. 91298 91319 90002 next: 8 / Double and Half Angles 90003 .{2} (A) = 1, $ 90003 90002 where $ A $ is one of the internal angles of a right triangle. If the hypotenuse of the triangle is of length $ 1, $ then $ \ sin (A) $ is the length of the side opposite to the angle $ A, $ $ \ cos (A) $ is the length of the adjacent side. 90003 90002 Ptolemy’s theorem also provides an elegant way to prove other trigonometric identities. In a little while, I’ll prove the 90009 addition and subtraction formulas for sine 90010: 90003 90002 90003 90002 (1) 90003 90002 $ \ Sin (A + B) = \ sin (A) \ cos (B) + \ cos (A) \ sin (B) $ 90003 90002 90003 90002 (2) 90003 90002 $ \ Sin (A — B) = \ sin (A) \ cos (B) — \ cos (A) \ sin (B).$ 90003 90002 90003 90002 But first let’s have a simple proof for the 90009 Law of Sines 90010. 90003 90030 90002 Proposition III.20 from Euclid’s 90009 Elements 90010 says: 90003 In a circle the angle at the center is double of the angle at the circumference, when angles have the same circumference as base. 90002 90003 90002 The more common formulation asserts that an angle circumscribed in a circle is equal to half the central angle that subtends the same chord.(As a corollary, from here it follows that all circumscribed angles subtending the same arc are equal irrespective of their position on the circle. This is Proposition III.21) On the diagram, $ \ angle BOC = 2 \ angle BAC (= 2A .) $ 90003 90002 90003 90002 Drop a perpendicular from $ O $ on the side $ BC. $ Assuming the radius of the circle is $ R, $ $ OB = OC = R. $ Also, $ \ angle BOP = \ angle POC. $ In $ \ Delta BOP, $ $ \ sin (\ angle BOP) = BP / OB = BC / 2R. $ Therefore, $ BC / \ sin (\ angle BOP) = 2R.$ When angle $ A $ is obtuse, the center $ O $ is located outside $ \ Delta ABC $ and the diagram looks differently. The resulting identity is, however, the same. Repeating these steps with the other two angles $ B $ and $ C $ of $ \ Delta ABC $ we get the 90009 Law of Sines 90010 which in the standard notations appear as 90003 90002 (3) 90003 90002 $ \ Displaystyle \ frac {a} {\ sin (A)} = \ frac {b} {\ cos (B)} = \ frac {c} {\ sin (A)} = 2R. $ 90003 90002 In the case, where the diameter of the circumscribed circle is 1, we have $ a = \ sin (A), $ $ b = \ sin (B), $ and $ c = \ sin (C).$ This is all we need to apply Ptolemy’s theorem. This is of course useful to remember the definition of the sine and cosine functions. In a right triangle, the sine of an acute angle is the ratio of the opposite leg to the hypotenuse; its cosine is the ratio of the adjacent leg to the hypotenuse. 90003 90030 90002 Consider a quadrilateral $ ABDC $ inscribed into a circle of diameter $ 1 $ so that the diagonal $ BC $ serves as a diameter. 90003 90002 From the definition of sine and cosine we determine the sides of the quadrilateral.The Law of Sines supplies the length of the remaining diagonal. The addition formula for sine is just a reformulation of Ptolemy’s theorem. 90003 90002 90003 90002 To prove the subtraction formula, let the side $ BC $ serve as a diameter. 90003 90002 90003 90002 As a consequence, we obtain formulas for sine (in one step) and for cosine (in two steps) of complementary angles: 90003 90002 $ \ Begin {align} \ Sin (\ frac {\ pi} {2} — \ alpha) & = \ cos \ alpha, \\ \ Cos (\ frac {\ pi} {2} — \ alpha) & = \ sin \ alpha.\ End {align} $ 90003 90002 From these and the addition formulas for sine it is not difficult to derive the addition formulas for cosine: 90003 90002 $ \ Begin {align} \ Cos (\ alpha + \ beta) & = \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) — \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta), \\ \ Cos (\ alpha — \ beta) & = \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta). \ End {align} $ 90003 90002 (There are additional simple proofs of those formulas.) 90003 90072 References 90073 90074 90075 E.Maor, 90009 Trigonometric Delights 90010, Princeton University Press, 1998. 90078 90079 90030 90072 Trigonometry 90073 90030 90084 | Contact | | Front page | | Contents | | Geometry | | Up | 90003 90086 Copyright © 1996-2018 Alexander Bogomolny 90003 .90000 The Law of Cosines 90001 90002 90003 90002 For any triangle: 90003 90006 90007 90008 90009 90008 90002 90012 a 90013, 90012 b 90013 and 90012 c 90013 are sides. 90003 90002 90012 C 90013 is the angle opposite side c 90003 90009 90024 90025 90002 90012 The Law of Cosines 90013 (also called the 90012 Cosine Rule 90013) says: 90003 90002 c 90033 2 90034 = a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 — 2ab cos (C) 90003 90002 It helps us solve some triangles.Let’s see how to use it. 90003 90042 Example: How long is side «c» …? 90043 90044 90003 90044 We know angle C = 37º, and sides a = 8 and b = 11 90003 90002 90012 The Law of Cosines 90013 says: c 90033 2 90034 = a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 — 2ab cos (C) 90003 90002 Put in the values ​​we know: c 90033 2 90034 = 8 90033 2 90034 + 11 90033 2 90034 — 2 × 8 × 11 × cos (37º) 90003 90002 Do some calculations: c 90033 2 90034 = 64 + 121 — 176 × 0.798 … 90003 90002 More calculations: c 90033 2 90034 = 44.44 … 90003 90002 Take the square root: c = √44.44 = 90012 6.67 90013 to 2 decimal places 90003 90044 90079 Answer: c = 6.67 90003 90081 How to Remember 90082 90002 How can you remember the formula? 90003 90002 Well, it helps to know it’s the Pythagoras Theorem with something extra so it works for all triangles: 90003 90002 Pythagoras Theorem: 90079 (only for Right-Angled Triangles) a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 = c 90033 2 90034 90003 90002 Law of Cosines: 90079 (for all triangles) a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 — 2ab cos (C) = c 90033 2 90034 90003 90002 So, to remember it: 90003 90107 90108 think «90012 abc 90013»: 90012 a 90013 90033 2 90034 + 90012 b 90013 90033 2 90034 = 90012 c 90013 90033 2 90034, 90123 90108 then a 90012 2 90013 nd «90012 abc 90013»: 90012 2ab 90013 cos (90012 C 90013), 90123 90108 and put them together: 90012 a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 — 2ab cos (C) = c 90033 2 90034 90013 90123 90144 90081 When to Use 90082 90002 The Law of Cosines is useful for finding: 90003 90107 90108 the third side of a triangle when we know 90012 two sides and the angle between 90013 them (like the example above) 90123 90108 the angles of a triangle when we know 90012 all three sides 90013 (as in the following example) 90123 90144 90042 Example: What is Angle «C»…? 90043 90044 90003 90002 The side of length «8» is opposite angle 90164 90012 C 90013 90167, so it is side 90012 c 90013. The other two sides are 90012 a 90013 and 90012 b 90013. 90003 90002 Now let us put what we know into 90012 The Law of Cosines 90013: 90003 90002 Start with: c 90033 2 90034 = a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 — 2ab cos (C) 90003 90002 Put in a, b and c: 8 90033 2 90034 = 9 90033 2 90034 + 5 90033 2 90034 — 2 × 9 × 5 × cos (C) 90003 90002 Calculate: 64 = 81 + 25 90033 90034 — 90 × cos (C) 90003 90002 Now we use our algebra skills to rearrange and solve: 90003 90002 Subtract 25 from both sides: 39 = 81 90033 90034 — 90 × cos (C) 90003 90002 Subtract 81 from both sides: -42 = 90033 90034 -90 × cos (C) 90003 90002 Swap sides: -90 × cos (C) = -42 90033 90034 90003 90002 Divide both sides by -90: cos (C) = 42/90 90003 90002 Inverse cosine: C = cos 90033 -1 90034 (42/90) 90003 90002 Calculator: C = 90012 62.2 ° 90013 (to 1 decimal place) 90003 90081 In Other Forms 90082 90042 Easier Version For Angles 90043 90002 We just saw how to find an angle when we know three sides. It took quite a few steps, so it is easier to use the «direct» formula (which is just a rearrangement of the c 90033 2 90034 = a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 — 2ab cos (C) formula). It can be in either of these forms: 90003 90002 cos (C) = 90236 a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 — c 90033 2 90034 90243 90244 2ab 90245 90003 90002 cos (A) = 90236 b 90033 2 90034 + c 90033 2 90034 — a 90033 2 90034 90243 90244 2bc 90245 90003 90002 cos (B) = 90236 c 90033 2 90034 + a 90033 2 90034 — b 90033 2 90034 90243 90244 2ca 90245 90003 90042 Example: Find Angle «C» Using The Law of Cosines (angle version) 90043 90044 90003 90002 In this triangle we know the three sides: 90003 90002 Use The Law of Cosines (angle version) to find angle 90012 C 90013: 90003 90002 cos C = (a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 — c 90033 2 90034) / 2ab 90003 90002 = (8 90033 2 90034 + 6 90033 2 90034 — 7 90033 2 90034) / 2 × 8 × 6 90003 90002 = (64 + 36 — 49) / 96 90003 90002 = 51/96 90003 90002 = 0.53125 90003 90002 C = cos 90033 -1 90034 (0.53125) 90003 90002 = 90012 57.9 ° 90013 to one decimal place 90003 90044 90003 90042 Versions for a, b and c 90043 90002 Also, we can rewrite the c 90033 2 90034 = a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 — 2ab cos (C) formula into a 90033 2 90034 = and b 90033 2 90034 = form. 90003 90002 Here are all three: 90003 90002 a 90033 2 90034 = b 90033 2 90034 + c 90033 2 90034 — 2bc cos (A) 90003 90002 b 90033 2 90034 = a 90033 2 90034 + c 90033 2 90034 — 2ac cos (B) 90003 90002 c 90033 2 90034 = a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 — 2ab cos (C) 90003 90002 But it is easier to remember the «90012 c 90033 2 90034 90013 =» form and change the letters as needed! 90003 90002 As in this example: 90003 90042 Example: Find the distance «z» 90043 90044 90003 90002 The letters are different! But that does not matter.We can easily substitute x for a, y for b and z for c 90003 90002 Start with: c 90033 2 90034 = a 90033 2 90034 + b 90033 2 90034 — 2ab cos (C) 90003 90002 x for a, y for b and z for cz 90033 2 90034 = x 90033 2 90034 + y 90033 2 90034 — 2xy cos (Z) 90003 90002 Put in the values ​​we know: z 90033 2 90034 = 9.4 90033 2 90034 + 6.5 90033 2 90034 — 2 × 9.4 × 6.5 × cos (131º) 90003 90002 Calculate: z 90033 2 90034 = 88.36 + 42.25 — 122.2 × (-0.656 …) 90003 90002 z 90033 2 90034 = 130.61 + 80.17 … 90003 90002 z 90033 2 90034 = 210.78 … 90003 90002 z = √210.78 … = 90012 14.5 90013 to 1 decimal place. 90003 90044 Answer: z = 14.5 90003 90002 Did you notice that cos (131º) is negative and this changes the last sign in the calculation to + (plus)? The cosine of an obtuse angle is always negative (see Unit Circle). 90003 90002 90003 90002 90003 .90000 The Law of Sines 90001 90002 90003 The Law of Sines 90004 (or 90003 Sine Rule 90004) is very useful for solving triangles: 90007 90002 90009 a 90010 90011 sin A 90012 = 90009 b 90010 90011 sin B 90012 = 90009 c 90010 90011 sin C 90012 90007 90002 It works for any triangle: 90007 90024 90025 90026 90027 90028 90027 90002 90003 a 90004, 90003 b 90004 and 90003 c 90004 are sides.90007 90002 90003 A 90004, 90003 B 90004 and 90003 C 90004 are angles. 90007 90002 90047 (Side a faces angle A, 90048 side b faces angle B and 90048 side c faces angle C). 90050 90007 90028 90053 90054 90055 90002 And it says that: 90007 90002 When we 90003 divide side a by the sine of angle A 90004 90048 it is equal to 90003 side b divided by the sine of angle B 90004, 90048 and also equal to 90003 side c divided by the sine of angle C 90004 90007 90068 Sure…? 90069 90002 Well, let’s do the calculations for a triangle I prepared earlier: 90007 90024 90025 90074 90027 90028 90027 90002 90009 a 90010 90011 sin A 90012 = 90009 8 90010 90011 sin (62.2 °) 90012 = 90009 8 90010 90011 0.885 … 90012 = 90003 9.04 … 90004 90007 90002 90009 b 90010 90011 sin B 90012 = 90009 5 90010 90011 sin (33.5 °) 90012 = 90009 5 90010 90011 0.552 … 90012 = 90003 9.06 … 90004 90007 90002 90009 c 90010 90011 sin C 90012 = 90009 9 90010 90011 sin (84.3 °) 90012 = 90009 9 90010 90011 0.995 … 90012 = 90003 9.04 … 90004 90007 90028 90053 90054 90055 90002 The answers are 90003 almost the same! 90004 90048 90047 (They would be 90003 exactly 90004 the same if we used perfect accuracy). 90050 90007 90002 So now you can see that: 90007 90002 90009 a 90010 90011 sin A 90012 = 90009 b 90010 90011 sin B 90012 = 90009 c 90010 90011 sin C 90012 90007 90155 Is This Magic? 90156 90002 90007 90002 Not really, look at this general triangle and imagine it is two right-angled triangles sharing the side 90003 h 90004: 90007 90002 90007 90002 The sine of an angle is the opposite divided by the hypotenuse, so: 90007 90002 90007 90024 90025 90171 90172 sin (A) = h / b 90028 90027 90028 90176 90028 90176 b sin (A) = h 90028 90053 90171 90172 sin (B) = h / a 90028 90027 90028 90176 90028 90176 a sin (B) = h 90028 90053 90054 90055 90002 90003 a sin (B) 90004 and 90003 b sin (A) 90004 both equal 90003 h 90004, so we get: 90007 90002 a sin (B) = b sin (A) 90007 90002 Which can be rearranged to: 90007 90002 90009 a 90010 90011 sin A 90012 = 90009 b 90010 90011 sin B 90012 90007 90002 We can follow similar steps to include c / sin (C) 90007 90068 How Do We Use It? 90069 90002 Let us see an example: 90007 90155 Example: Calculate side «c» 90156 90002 90007 90002 Law of Sines: a / sin A = b / sin B = c / sin C 90007 90002 Put in the values ​​we know: a / sin A = 7 / sin (35 °) = c / sin (105 °) 90007 90002 Ignore a / sin A (not useful to us): 7 / sin (35 °) = c / sin (105 °) 90007 90002 Now we use our algebra skills to rearrange and solve: 90007 90002 Swap sides: c / sin (105 °) = 7 / sin (35 °) 90007 90002 Multiply both sides by sin (105 °): c = (7 / sin (35 °)) × sin (105 °) 90007 90002 Calculate: c = (7/0.574 …) × 0.966 … 90007 90002 c = 90003 11.8 90004 (to 1 decimal place) 90007 90068 Finding an Unknown Angle 90069 90002 In the previous example we found an unknown side … 90007 90002 … but we can also use the Law of Sines to find an 90003 unknown angle 90004. 90007 90002 In this case it is best to turn the fractions upside down (90003 sin A / a 90004 instead of 90003 a / sin A 90004, etc): 90007 90002 90009 sin A 90010 90011 a 90012 = 90009 sin B 90010 90011 b 90012 = 90009 sin C 90010 90011 c 90012 90007 90155 Example: Calculate angle B 90156 90002 90007 90002 Start with: sin A / a = sin B / b = sin C / c 90007 90002 Put in the values ​​we know: sin A / a = sin B / 4.7 = sin (63 °) / 5.5 90007 90002 Ignore «sin A / a»: sin B / 4.7 = sin (63 °) / 5.5 90007 90002 Multiply both sides by 4.7: sin B = (sin (63 °) /5.5) × 4.7 90007 90002 Calculate: sin B = 0.7614 … 90007 90002 Inverse Sine: B = sin 90286 -1 90287 (0.7614 …) 90007 90002 B = 90003 49.6 ° 90004 90007 90068 Sometimes There Are Two Answers! 90069 90002 There is one 90003 very 90004 tricky thing we have to look out for: 90007 90002 Two possible answers. 90007 90024 90025 90074 90027 90028 90027 90002 Imagine we know angle 90003 A 90004, and sides 90003 a 90004 and 90003 b 90004.90007 90002 We can swing side 90003 a 90004 to left or right and come up with two possible results (a small triangle and a much wider triangle) 90007 90002 Both answers are right! 90007 90028 90027 90028 90053 90054 90055 90002 This only happens in the «Two Sides and an Angle 90003 not 90004 between «case, and even then not always, but we have to watch out for it. 90007 90002 Just think «could I swing that side the other way to also make a correct answer?» 90007 90002 90007 90155 Example: Calculate angle R 90156 90002 90007 90002 The first thing to notice is that this triangle has different labels: PQR instead of ABC.But that’s OK. We just use P, Q and R instead of A, B and C in The Law of Sines. 90007 90002 Start with: sin R / r = sin Q / q 90007 90002 Put in the values ​​we know: sin R / 41 = sin (39 °) / 28 90007 90002 Multiply both sides by 41: sin R = (sin (39 °) / 28) × 41 90007 90002 Calculate: sin R = 0.9215 … 90007 90002 Inverse Sine: R = sin 90286 -1 90287 (0.9215 …) 90007 90002 R = 90003 67.1 ° 90004 90007 90002 But wait! There’s another angle that also has a sine equal to 0.9215… 90007 90002 90003 The calculator will not tell you this 90004 but sin (112.9 °) is also equal to 0.9215 … 90007 90002 So, how do we discover the value 112.9 °? 90007 90002 Easy … take 67.1 ° away from 180 °, like this: 90007 90002 180 ° — 67.1 ° = 112,9 ° 90007 90002 So there are two possible answers for R: 90003 67.1 ° 90004 and 90003 112.9 ° 90004: 90007 90375 90007 90002 Both are possible! Each one has the 39 ° angle, and sides of 41 and 28.90007 90002 So, always check to see whether the alternative answer makes sense. 90007 90381 90382 … sometimes it will (like above) and there are 90003 two solutions 90004 90385 90382 … sometimes it will not (see below) and there is 90003 one solution 90004 90385 90390 90024 90025 90074 90027 90028 90027 90002 We looked at this triangle before. 90007 90002 As you can see, you can try swinging the «5.5 «line around, but no other solution makes sense. 90007 90002 So this has only one solution. 90007 90028 90053 90054 90055 90002 90007 90002 90007 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.