Тригонометрические функции двойного и половинного угла: теория и практика
8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕФУНКЦИИ ДВОЙНОГО УГЛА
1.
s i n 2 2 s i n c o s
1. c o s 2 c o s 2 s i n 2
tg2 2tg
3.
2. c o s 2 2 c o s 2 1
2.
синус двойного угла
3. c o s 2 1 2 s i n 2
1 t g 2 α
косинус двойного угла
тангенс двойного угла
t g 2 α , ес ли s i n 1 , .
Приме р 1. Н а йти s i n 2 α i c o s 2 αo
Решение. Применим формулу (1):
2 2
s in 2 2 s i n c o s ,
sin известен из условия, cos найдём из соотношения cos 1 sin 2 (перед ра- дикалом выбираем знак минус, т.к. угол находится во II четверти, в которой косинус от- рицателен):
1 3 3
1 2
co s 1
1 .
4
2
4
2
Подставим в формулу (1), получим
1 3
3
s i n 2 2 .
2 2 2
Применим формулу (2.3):
1 1
1 2
2
c o s 2 1 2 s i n , c o s 2 1 2
1 .
2 2
2
tg 2 найдём по определению
tg2α sin2α ,
t g 2 α 3 1 3 .
c o s 2 α 2 2
П ример 2. У п ро с т и ть в ыр а ж е ние 1 s i n 2 c os 2 .
1 s i n 2 c os 2
Решение. Применим в числителе и в знаменателе формулы синуса и косинуса двойного
угла
18
1 sin 2 cos2 1 2sin cos cos 2 sin 2 2sin 2 2sin cos
1 s i n 2 c o s 2
1 2sin cos cos 2 sin 2 2cos 2 2sin cos
.
2 s i n s i n c o s t g .
2 c o s s i n c o s
Пример 3. Выразить sin3 x и cos3 x через одноимённые тригонометрические функции угла x .
Решение. Представим 3 x 2 x x и применим формулу синуса суммы, а затем фор- мулы синуса и косинуса двойного угла, получим:
sin3 x sin(2 x x ) sin 2 x cos x cos 2 x sin x 2sin x cos 2 x sin x 2sin 3
Пр е д с та в им c o s 2 x 1 s i n 2 x , тогда
2 s i n x 1 s i n 2 x s i n x 2 s in 3 x 2 s i n x 2 s in 3 x s i n x 2 s in 3 x 3 s i n x 4 s in 3 x .
Таким образом,
si n 3 x 3 si n x 4 si n 3 x .
Аналогичным образом выведем формулу для cos3 x :
cos3 x cos(2 x x ) cos 2 x cos x sin 2 x sin x (2 cos 2 x 1) cos x 2sin 2 x cos x
2 cos 3 x cos x 2(1 cos 2 x ) cos x 2 cos 3 x cos x 2 cos x 2 cos 3 x
4 cos 3 x 3cos xТаким образом,
c o s 3 x 4 c os 3 x 3 c o s x .
Данные формулы называют формулами синуса и косинуса тройного угла соответствен- но. Эти формулы часто применяют при упрощении тригонометрических выражений и реше- нии тригонометрических уравнений.
Упражнения:
№ 1. Найти:
1) co s 2 , ес ли t g 3 , 1 8 0 0 2 7 0 0
Ответ: 4
5
Ответ: 3
4
Ответ:
5
Ответ: 3
5
24
Ответ:
7
2) t g 2 , ес ли s i n 1 , 27 0 0 36 0 0
2
3) s i n 2 , ес ли t g 2 , 18 0 0 27 0 0
4) s i n 2 , ес ли t g 1 , 9 0 0 18 0 0
3
5) c t g 2 , ес ли s i n 4 , 9 0 0 18 0 0
5
19
6) t g 2 , ес ли c o s 3
7) sin22 0 30 cos22 0 30
8) 2sin15 0 cos15 0
, 18 0 0 27 0 0
Ответ:
2
9) cos 2 sin 2
3
1
Ответ:
4
Ответ:
2
Ответ:
2
2
8
2tg22 0 30
10)
1 t g 2 2 2 0 30
2
8
Ответ: 1
№ 2.
Упростить выражения:
2
t g α c t g α
Отв е т: s i n 2
Ответ: 2cos 2
Ответ: tg
1)
2) 1 co s 2
s i n 2 s i n
3)
1 c o s c o s 2 s i n 2 s i n
Ответ: tg
4)
1 c o s 2 c o s
1 cos 2
5)
Отв е т: c t g 2
1 cos 2
1 cos 2 s i n 2
6)
Ответ: tg 1 cos 2 s i n 2 1 s i n 2
c o s 2
s i n co s c o s s i n
7)
Отв е т:
c o s 2 c o s s i n
- c o s
Ответ: sin
8)
s i n 3 s i n 3
Ответ: ctg
9)
co s 3 co s 3
c o s 2 c o s 2
2
Отв е т: t g
10)
1 c o s 2
2 s i n 2 s i n 4
11)
Отв е т: t g 2
Ответ: 2
s i n 4 2 s i n 2
12) t g α c t g α si n 2 α
c o s 2 2 4 c o s 2 3
13)
c o s 2 2 4 c o s 2 1
4
Ответ: tg
Отв е т: c o s 2 t g
14) s i n 2 t g 2
20
№ 3*** Доказать тождества:
1) c o s 4 s i n 4 1 0 , 5 s i n 2 2
2) cos 6 s i n 6 1 0 , 7 5 s i n 2 2
1 s i n 2
3) t g
4) 1 s i n 2 c o s 2
4 2
4
c os 2
2 c o s 2 4 5 0
5) c o s 4 s i n 4 s i n 2
*** – задание повышенной сложности
9.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО УГЛА
Формулы для тригонометрических функций половинного аргумента позволяют выра-
зить функции аргумента через тригонометрические функции аргумента .
2
2.
1.
s i n 1 c o s 2 2
Синус половинного угла
c o s 1 c o s 2 2
Косинус половинного угла
t g 1 c o s , 2 k 1
2 1 c o s
3.
t g s i n , 2 k 1
2 1 c o s
t g 1 c o s , 2 k 1 ,
Тангенс половинного угла
2 sin
2 k
Все тригонометрические функции любого аргумента можно выразить через тангенс по- ловинного угла этого аргумента:
2tg
2 ,
2 k 1
sin
1 t g 2
2
1 t g 2
2 k 1
cos 2 ,
1 t g 2
2
2tg
2
tg
1 t g 2
2
21
Пример 1.
Вычислить sin15 0 .
30 0
2
0
Решение. Представим 15
и применим формулу синуса половинного угла, полу-
ч им:
30 0 1 cos30 0 1 3 2 3 2 3
2 2 2 4 4 2
0
sin15 sin
.
В процессе решения перед радикалом выбрали знак +, т.к. угол в 15 0 находится в I четверти.
, cos
2
, tg
2
, ес ли c o s 0 , 8 , 0
2
2
Пример 2. Найти sin
.
Решение . Применим формулы половинного аргумента. Угол находится в I четверти,
следовательно, угол тоже находится в I четверти, поэтому во всех формулах половинного
2
аргумента перед радикалами выбираем знак +.
2
1 c o s
2
2
1 c o s
2
1 0 , 8
2
1 0 , 8
9
10
2
1
3 10
10
10
10
10
c o s
,
s i n
,
1 co s 1 0 , 8 0 , 2 1 1
1,8
t g
.
1 0 , 8
9 3
2 1 co s
Упражнения.
№ 1. Найти значения тригонометрических функций половинного угла по известному значению тригонометрической функций угла .
0 0
27 0 .
1) Н а йти c o s , t g , ес ли s i n 0 ,8 , 180
2 2
Отв е т: c o s 0 , 2 , t g 1 .
2 2 2
2) Н а йти t g , ес ли t g 3 , 18 0 0 27 0 0 .
2
Отв е т: t g 1 0 1
2 9
119
3) Н а йти s i n , c o s и t g , ес л и c o s
и 0 .
2
169
2
2 2
Отв е т: s i n 5 , c o s 1 2 , t g 5 .
2 13 2 13 2 12
22
3
0
0
4) Найти sin , cos и tg , если cos и 270 360
4
2
2
2
2 , 14 ,
c os
tg 7 .
Отв е т: s i n
2 4
2 4
2
7
4
0 0
5) Н а йти s i n , c o s и t g , ес л и s i n и 1 80 2 70 .
2 2
2
5
0,8, cos 0,2, tg 2
Отв е т: s i n
2
2
2
№ 2. Доказать тождества:
0
2
2) 1 s i n 2 s i n 2
1) 1 sin 2 cos 45
4 2
2
1 c o s
s i n
3) tg
4) tg
sin 2
1 cos 2
s i n 2 c o s
6) tg
1 cos 2 1 cos 2
1 s i n 2
5) t g
4
c os 2
7) tg ctg 2ctg 2 2
8) s i n t g c o s t g
2 2
2
9) t g t g
4 2 4 2
c o s
10.
ФОРМУЛЫ ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ
№
Формула
Название
1.
s i n 2 1 c o s 2
c o s 2 1 c o s 2
2.
Формула понижения степени для функции синус
2
2
Формула понижения степени для функции косинус
Упражнения.
Преобразовать в произведение
1) 1 2 c o s c o s 2
Отв е т: 4 c o s s i n 2
2
1 c o s
2)
Отв ет: c t g 2
2
1 c o s
23
Тригонометрия — Формулы, теоремы, определения
Нет нужного материала?
Укажите материал, который Вы не нашли, и он будет добавлен в самое ближайшее время!
Название*:
Раздел науки:
———Математика > АрифметикаМатематика > Арифметика > Арифметические действияМатематика > Арифметика > Рациональные числаФизика > Атомная и ядерная физикаМатематика > Квадратные уравненияФизика > Колебания и волныФизика > Колебания и волны > Механические волныФизика > Колебания и волны > Механические колебанияФизика > Колебания и волны > Электромагнитные волныМатематика > ЛогарифмыФизика > МеханикаФизика > Механика > ДинамикаФизика > Механика > Импульс, энергияФизика > Механика > КинематикаФизика > Механика > Механика жидкостиФизика > Молекулярная физика и термодинамикаФизика > ОптикаГеометрия > ПланиметрияМатематика > ПределыМатематика > ПрогрессииМатематика > Прогрессии > Арифметическая прогрессияМатематика > Прогрессии > Геометрическая прогрессияМатематика > Производная функцииФизика > Специальная теория относительностиГеометрия > СтереометрияМатематика > Теория группМатематика > Теория чиселМатематика > ТригонометрияМатематика > Формулы сокращенного умноженияФизика > ЭлектричествоФизика > Электричество > МагнетизмФизика > Электричество > Переменный электрический токФизика > Электричество > Постоянный электрический токФизика > Электричество > Электрическое полеФизика > Электричество > Электронные и ионные явленияМатематика > Элементарная математика
Что такое h3O*:
Данное поле ОБЯЗАТЕЛЬНО к заполнению, чтобы убедиться, что Вы человек
показать все на одной странице
Тригонометрия
Формула Синус суммы и разности
Формула Косинус суммы и разности
Формула Синус половинного угла
Формула Косинус половинного угла
Формула Синус двойного угла
Формула Косинус двойного угла
Формула Основное тригонометрическое тождество
Формула Тангенс суммы и разности
Формула Котангенс суммы и разности
Формула Тангенс двойного угла
Формула Котангенс двойного угла
Формула Синус тройного угла
Формула Косинус тройного угла
Формула Тангенс тройного угла
Формула Котангенс тройного угла
Формула Тангенс половинного угла
Формула Котангенс половинного угла
Формула Произведение синусов
Формула Произведение синуса на косинус
Формула Произведение косинусов
Формула Сумма и разность синусов
Формула Сумма и разность косинусов
Формула Сумма и разность тангенсов
Формула Сумма и разность котангенсов
Вопрос Видео: Формулы трех углов из формулы Эйлера
Стенограмма видео
Используя формулу Эйлера, выведите формулу для cos of three 𝜃 и sin of three 𝜃 через sin 𝜃 и cos 𝜃.
Напомним, формула Эйлера говорит, что 𝑒 к 𝑖𝜃 равно cos 𝜃 плюс 𝑖 sin 𝜃. Итак, как мы можем использовать это, чтобы вывести формулу для cos, равного трем 𝜃, и sin, равного трем 𝜃? Что ж, давайте начнем с кубирования обеих частей нашего уравнения. Когда мы это делаем, в этой левой части мы видим, что 𝑒 в 𝑖𝜃 все в степени три равно 𝑒 в степени три 𝑖𝜃. Но, конечно, используя формулу Эйлера, мы можем записать это как cos of three 𝜃 плюс 𝑖 sin of three 𝜃. Таким образом, cos трех 𝜃 плюс 𝑖 sin трех 𝜃 равен cos of 𝜃 плюс 𝑖 sin of 𝜃, все в кубе.
Теперь в этой правой части мы также можем использовать биномиальную теорему для распределения скобок. Это говорит о том, что 𝑎 плюс 𝑏 в 𝑛-й степени равно сумме от 𝑘 равно нулю до 𝑛 из 𝑛 выбрать 𝑘 умножить на 𝑎 в степени 𝑛 минус 𝑘 умножить на 𝑏 в 𝑘-й степени. Когда 𝑛 равно трем, это 𝑎 в кубе плюс три выбирают один 𝑎 в квадрате 𝑏 плюс три выбирают два 𝑎𝑏 в квадрате плюс 𝑏 в кубе.
И на самом деле, трое выбирают один и трое выбирают два равны трем.
Итак, у нас есть 𝑎 в кубе плюс три 𝑎 в квадрате 𝑏 плюс три 𝑎𝑏 в квадрате плюс 𝑏 в кубе. Итак, мы находим, что первый член разложения cos 𝜃 плюс 𝑖 sin 𝜃 в кубе равен cos в кубе 𝜃. Наш второй член равен три кос в квадрате 𝜃 𝑖 грех 𝜃, который мы решим переписать как три 𝑖 кос в квадрате 𝜃 грех 𝜃. Наш третий член равен трем cos 𝜃, умноженным на 𝑖 sin 𝜃 в квадрате.
Распределим показатель степени по этому набору скобок и получим 𝑖 квадрат греха в квадрате 𝜃. Но, конечно, 𝑖 в квадрате равен минус единице. Таким образом, этот третий член становится отрицательным три cos 𝜃 sin в квадрате 𝜃. Затем четвертый и последний член — это 𝑖 sin 𝜃 в кубе. Это 𝑖 в кубе, умноженное на грех в кубе 𝜃. И мы можем записать 𝑖 в кубе как 𝑖 умноженное на 𝑖 в квадрате, что, конечно, отрицательное 𝑖 или отрицательное 𝑖. И наш четвертый член становится отрицательным 𝑖 раз в кубе греха 𝜃. Итак, мы видим, что cos три 𝜃 плюс 𝑖 sin three 𝜃 равно cos в кубе 𝜃 плюс три 𝑖 cos в квадрате sin 𝜃 минус три cos 𝜃 sin в квадрате 𝜃 минус 𝑖 sin в кубе 𝜃. Теперь сравним действительную и мнимую части.
В левой части действительная часть равна cos 3 𝜃, а мнимая часть — коэффициенту 𝑖. Это грех три 𝜃. В правой части действительные части представляют собой кос-куб 𝜃 минус три кос-с 𝜃 квадрат греха 𝜃. А в правой части — и помните, нас интересует коэффициент 𝑖 — у нас есть три cos в квадрате 𝜃 sin 𝜃 минус куб sin 𝜃. Итак, сравнивая действительные части, мы видим, что cos три 𝜃 должен быть равен cos в кубе 𝜃 минус три cos 𝜃 в квадрате sin 𝜃. И сравнивая мнимые части, мы находим, что грех три 𝜃 равен трем кос в квадрате 𝜃 греха 𝜃 минус куб греха 𝜃.
Теперь мы могли бы оставить это так, но было бы идеально выразить cos three 𝜃 исключительно через cos и sin three 𝜃 чисто через sin. Итак, мы используем известное тригонометрическое тождество: косинус в квадрате 𝜃 плюс квадрат греха 𝜃 равно единице. И если мы переставим, то обнаружим, что квадрат греха 𝜃 равен единице минус квадрат cos 𝜃. Распределив эти скобки, мы находим, что это равно cos в кубе 𝜃 минус три cos в кубе 𝜃 плюс три cos в кубе 𝜃.
И, наконец, собираем подобные термины. И мы находим, что cos трех 𝜃 равен четырем cos в кубе 𝜃 минус три cos 𝜃.
Давайте повторим этот процесс для греха три 𝜃. На этот раз мы заменим косинус в квадрате 𝜃 на единицу минус квадрат греха 𝜃. Распределяем скобки, и получается три греха 𝜃 минус три в кубе греха 𝜃 минус куб греха 𝜃, что упрощается до трех грехов 𝜃 минус четыре в кубе греха 𝜃. Итак, мы использовали формулу Эйлера, чтобы вывести формулу для cos 3 𝜃 и sin 3 𝜃 через sin 𝜃 и cos 𝜃. Потому что три 𝜃 равно четырем в кубе 𝜃 минус три в кубе 𝜃, тогда как грех три 𝜃 равен трем в кубе 𝜃 минус четыре в кубе греха 𝜃.
Вычисление sin(3x)/sinx-cos(3x)/cosx по тождествам тройного угла
- Математические сомнения
- Проблемы
- Тригонометрия
- Несколько углов
- Тройной уголок
Синус тройного угла и косинус тройного угла участвуют в формировании тригонометрического выражения тройного угла в этой задаче тригонометрии.
Использование тригонометрических функций тройного угла показывает, что тригонометрические тождества тройного угла должны использоваться для оценки данного тригонометрического выражения тройного угла.
Теперь давайте научимся находить значение синуса трехкратного $x$, деленного на синус угла $x$ минус косинус трехкратного $x$, деленного на косинус угла $x$, используя тригонометрическую формулу тройного угла. формулы.
Разложить тригонометрические функции тройного угла
Согласно тождествам тройного угла, синус функции тройного угла $\sin{3x}$ может быть разложен согласно тождеству синуса тройного угла и косинусу функции тройного угла $\cos {3x}$ также можно разложить по тождеству тройного угла косинуса. 92{x}\big)$
Сумма квадратов функций синуса и косинуса под углом равна единице согласно тождеству Пифагора функций синуса и косинуса.
$=\,\,$ $6$ $-$ $4 \times (1)$
Теперь найдем значение арифметического выражения путем упрощения.
$=\,\,$ $6$ $-$ $4 \times 1$
$=\,\,$ $6-4$
$=\,\,$ $2$
Другой метод
Оценка $\dfrac{\sin{3x}}{\sin{x}}$ $-$ $\dfrac{\cos{3x}}{\cos{x}}$
Узнайте, как найти значение синуса тройной угол $x$, деленный на синус $x$ минус косинус трехкратного $x$, деленный на косинус угла $x$, без использования тригонометрических тождеств тройного угла.