Формулы половинного угла: доказательства (вывод) и примеры
Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул. Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `\frac{\alpha}2` через эти ж функции аргумента `\alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла. Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.
Содержание статьи:
Содержание
Список всех формул половинного угла
Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:
Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `\alpha`.
Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `\alpha`, при которых определен `tg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alpha\ne\pi+2\pi n, \ n \in Z`.
Формула котангенса выполняется для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alpha\ne 2\pi n, \ n \in Z`.
С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `\alpha` через тангенс половинного угла.
`sin \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha\ne \pi +2\pi n, n \in Z` `cos \ \alpha= \frac{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z` `tg \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z` `ctg \ \alpha = \frac{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{2tg\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`
Вывод формул половинного угла
Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos \alpha=1-2 \ sin^2 \frac \alpha 2` и `cos \alpha=2 \ cos^2 \frac \alpha 2-1`. Выразив из первого равенства ` sin \frac \alpha 2` получим `sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos \frac \alpha 2` в результате будем иметь `cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`.
Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg \frac \alpha 2=\frac{sin\frac \alpha 2}{cos \frac \alpha 2}` и `ctg \frac \alpha 2=\frac{cos \frac \alpha 2}{sin \frac \alpha 2}`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.
Пример 1. Найти `cos 15^\circ`, если известно, что `cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}2`.
Решение. Формула половинного угла для тригонометрической функции косинус имеет вид `cos^2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}2`. Подставив известные значения, имеем `cos^2 15^\circ=\frac {1+cos 30^\circ}2=` `\frac{1+\frac{\sqrt3}2}2=\frac{2+\sqrt3}4`. Имея значение `cos^2 15^\circ`, найдем `cos 15^\circ`. Поскольку угол 15 градусов лежит в первой координатной четверти, а косинус в этой четверти имеет знак «+», то `cos 15^\circ=\sqrt{\frac{2+\sqrt3}4}=` `\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2`.
Ответ. `cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2`.
Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos \frac {\alpha}2+2cos \alpha+5`, если `cos \alpha=\frac {1}8`.
Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4\sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}+2cos \alpha+5=4\sqrt{\frac {1+\frac {1}8}2}+2 \cdot \frac {1}8+5=` `4\sqrt{\frac {9}16}+\frac{1}4+5=8\frac{1}4`.
Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:
В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.
Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Загрузка…
Формулы половинного угла (аргумента) онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы половинного угла (и другие формулы) тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Формулы половинного угла выражают тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тригонометрические функции угла . Выведем формулы половинного угла для функций синус, косинус, тангенс, котангенс. Воспользуемся следующими формулами двойного угла (подробнее смотрите на странице Формулы двойного и тройного угла (аргумента) онлайн):
Подставим в (1) и (2) . Тогда имеем
Из равенств (3) и (4) найдем соответвсвенно и :
Следовательно:
Равенства (5) и (6) (или (7) и (8)) являются формулами половинного угла для функций синус и косинус. Для выведения формул для тангенса и котангенса запишем основные тригонометрические тождества для этих функций:
Тогда
Откуда:
Отметим, что в знак формулах (7), (8), (11) и (12) совпадает со знаком тригонометрической функции для угла .
Выражения (11) и (12) являются формулами половинного угла для функций тангенс и котангенс. Отметим, что
определен тогда, когда (т.е. , где Z -множество целых чисел). определен тогда, когда (т.е. ).
Выведем другие формулы для половинного угла тангенса и котангенса. Для этого воспользуемся формулами (9) и (10).
Вторая формула для тангенса половинного угла:
или
Третья формула для тангенса половинного угла:
или
Вторая формула для котангенса половинного угла:
или
Третья формула для котангенса половинного угла:
или
Заметим, что формулы (15) и (16) можно также получить, учитывая равенство
(или ).
Примеры применения формул половинного угла (аргумента)
Пример. Вычислить используя формулу половинного угла.
Решение. Воспользуемся формулой (7). Так как знак синуса угла 15° положительно, то берем формулу (7) со знаком «+»:
Ответ:
Формулы тригонометрических функции двойного и половинного угла
Синус половинного угла: \(sin \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \pm \sqrt {\large\frac{{1 — cos \alpha }}{2}\normalsize}\). Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол \(\frac{\alpha}2\) в левой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.
Тангенс половинного угла: \(tg \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \pm \sqrt {\large\frac{{1 — cos \alpha }\normalsize}{{1 + cos \alpha }}} = \large\frac{{sin \alpha }}{{1 + cos \alpha }}\normalsize = \large\frac{{1 — cos \alpha }}{{sin \alpha }}\normalsize \).
Котангенс половинного угла: \(ctg \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \pm \sqrt {\large\frac{{1 + cos \alpha }\normalsize}{{1 — cos \alpha }}} = \large\frac{{sin \alpha }}{{1 — cos \alpha }}\normalsize = \large\frac{{1 + cos \alpha }}{{sin \alpha }}\normalsize\).
Выражение синуса через тангенс половинного угла: \(sin\alpha = \large\frac{{2tg \frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).
Выражение косинуса через тангенс половинного угла: \(cos\alpha = \large\frac{{1 — {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).
Выражение тангенса через тангенс половинного угла: \(tg\alpha = \large\frac{{2tg \frac{\alpha }{2}}}{{1 — {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).
Выражение котангенса через тангенс половинного угла: \(ctg\alpha = \large\frac{{1 — {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{2tg \frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).
Формулы понижения степени
Квадрат синуса: \({sin^2}\alpha = \large\frac{{1 — cos 2\alpha }}{2}\normalsize\).
Куб синуса: \({sin^3}\alpha = \large\frac{{3sin \alpha — sin 3\alpha }}{4}\normalsize\).
Квадрат косинуса: \({cos^2}\alpha = \large\frac{{1 + cos 2\alpha }}{2}\normalsize\).
Куб косинуса: \({cos^3}\alpha = \large\frac{{3cos \alpha + cos 3\alpha }}{4}\normalsize\).
Квадрат тангенса: \({tg^2}\alpha = \large\frac{{{{sin }^2}\alpha }}{{{{cos }^2}\alpha}}\normalsize = \large\frac{{1 — cos 2\alpha }}{{1 + cos 2\alpha }}\normalsize\).
Куб тангенса: \({tg^3}\alpha = \large\frac{{{{sin }^3}\alpha }}{{{{cos }^3}\alpha}}\normalsize = \large\frac{{3sin \alpha — sin 3\alpha }}{{3cos \alpha + cos 3\alpha}}\normalsize\).
Алгебра» по теме » Тригонометрические формулы» (часть 2)
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ПЕДАГОГИКИ И ПРАВА»
Волжский социально-педагогический колледж
Математика: Алгебра (10-11кл., 1 курс СПО)
Конспект лекций (раздаточный материал) по разделу
«Тригонометрические формулы» (часть 2)
Автор: Бондаренко Людмила Валентиновна
Место работы: Волжский социально-педагогический колледж – структурное подразделение ВИЭПП
Должность: Преподаватель
Чтобы получить тригонометрические формулы двойного аргумента достаточно в формулах сложенияβ заменить на α.
1. sin2 α = sin(α +α) =sin αcos α + sin αcos α = 2 sin αcos α. Итак,sin2 α = 2 sin αcos α (1)
2. cos 2 α = cos (α + α) = cosαcosα — sinαsinα = cos2α — sin2α.Итак, cos 2 α = cos2α — sin2α. (2)
Задача 1. Вычислить sin2 α, если sin α = — 0,6 и π α . Решение. По формуле (1) находим
sin2 α = 2 sin αcos α = 2· (-6) ·cosα = -1,2· cosα. Так как π α , то cosα 0, и поэтому
Следовательно, sin α = — 1,2·(-0,8)= 0,96
Задача 2 . Вычислить cos 2 α, если cosα = 0,3. Решение. Используя формулу (2) и основное тригонометрическое тождество, имеем cos 2 α = cos2α— sin2α= cos2α — (1 — cos2α) = 2 cos2α— 1 =
= 2 (0,3)2— 1 = -0,82.
Задача 3 .Упростить выражение Решение.
Задача 4. Вычислить tg 2α, если tgα
= . Решение. Полагая в формуле
β = α, получаем (3). Если tgα = , то поформуле (3) находим
Синус,косинус и тангенс половинного угла
По известным значениям sin αи cos α можно найти значения sin ,costg если известно, в какой четверти лежит угол α. Из формулы cos 2х = cos2х — sin2х при х = получаем
cos α = cos2 — sin2(1)
Запишем основное тригонометрическое тождество в виде 1 =cos2 — sin
2(2)
Складывая равенства (1) и (2) и вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем
1 + cosα =2 cos2 (3)
1 — cosα =2 cos2 (4)
Формулы (3) и (4) можно записать так: (5) (6)
Формулы (5) и (6) называют формулами синуса и косинуса половинного угла. Иногда их называют также формулами понижения степени.
Если известен cos α, то из формул (5) и (6) можно найти . Знаки sinи cosмогут быть определены, если известно, в какой четверти лежит угол .
Задача 1. Вычислить cos , если cos α = -0,02 и0 α π. Решение. По формуле (5) Так как 0 α π, то 0 , и поэтому cos0. Следовательно, cos = = 0,7. Разделив равенство (6) на равенство (5), получим формулу тангенса половинного угла.
(7)
Задача 2.Вычислить tgα = , если cos α = 0,8и π α 2π. Решение. По формуле (7) имеем По условию π α 2π, поэтому π и tg 0. Следовательно tg =
Задача 3. Упростить выражение Решение.
Задача 4. Решить уравнение 1+cos2х = 2 cos х. Решение. Т.к. 1 +cos 2х =2 cos2 х, то данное уравнение примет вид 2 cos2 х = 2 cos х, откуда cos х(cos х-1) = 0.
1)cos х = 0, х = + πk, kZ. 2)cos
х = 1, х =2 πn , nZ. Итак исходное уравнение имеет две серии корней х = + πk, kZи х =2 πn , nZ. В ответе можно записывать обе серии с одной буквой (k или n). Ответ. х = + πk, х =2 πk , kZ.
Задача 5. Выразить sin ,costgчерез tg .Решение.1). sin=
Итак, (8)
2).cos = Итак, (9)
3). Итак, (10). Эту формулу можно получить почленным делением равенств (8) и (9).
Итак, по формулам (8) – (10) можно находить синус, косинус и тангенс угла,зная тангенс угла .
Формулы приведения
Таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса составляются для углов от 00 до 900 (или от 0 до ). Это объясняется тем, что их значения для остальных углов сводятся к значениям для острых углов.
Задача 1. Вычислить sin 870° и cos 870°. Решение. Заметим, что 870° = 2 • 360°+ 150°. Следовательно, при повороте точки Р(1; 0) вокруг начала координат на 870° точка совершит два полных оборота и еще повернется на угол 150°, т. е. получится та же самая точка М, что и при повороте на150° (рис. 66). Поэтому sin 870° = sin 150°, cos 870° = cos 150°.
Построим точку М1, симметричную точке М относительно оси Оу (рис. 67). Ординаты точек М и М1одинаковы, а абсциссыотличаются только знаком. Поэтому sin 150° = sin 30° = ,cos 150° =
= — cos 30° = — . Ответ: sin 870°= , cos 870° = — .
Задача 2. При решении задачи 1 использовались равенства
sin (2 • 360°+ 150°) = sin 150°, cos (2· 360°+ 150°) = cos 150°, (1)
sin (180° — 30°) = sin 30°, cos (180° — 30°) = — cos 30°. (2)
Равенства (1) верны, так как при повороте точки Р(1; 0) на угол α +2 πk , kZ, получается та же самая точка, что и при повороте на угол α.
Следовательно, верны формулы sin (α +2 πk) = sinα, cos (α +2 πk) = cosα,kZ. (3)
sin (π—α) = sin πcosα— cosπsinα= 0·cosα— (-1) sinα= sinα.
Аналогично доказывается и вторая из формул (4). Формулы (4) называются формулами приведения.
Вообще формулами приведения для синуса и формулами приведения для косинусаназывают соответственно следующие шесть формул:
Формулы (5) и (6) справедливы при любых значениях α.
Задача 2. Вычислить sin 930°. Решение. Используя из формул (3) первую, получаем
sin 930° = sin (3· 360°-150°)= sin (-150°). По формуле sin (-α) = —sinα имеем sin (-150°)= — sin 150°.
По формуле (4) находим: — sin 150° = — sin (180° — 30°) = — sin 30° = -1 . Ответ. sin 930° = — .
Задача 3. Вычислить cos . Решение.
Покажем теперь, как можно свести вычисление тангенса любого угла к вычислениям тангенса острого угла. Отметим, что из формул (3) и определения тангенса следует равенство
tg (α +2 πk) = tg α,kZ.Используя это равенство и формулы (4), получаем
Следующие четыре формулы называют формулами приведения для тангенса и котангенса:
Формулы (9) справедливы для всех допустимых значениях α.
Формулы приведения для синуса и косинуса доказываются с помощью формул сложения аналогично тому, как доказана первая формула (4). Формулы (9) можно получить из формул (5) и (6), зная, что tgα = .
Формулы приведениянеобязательно запоминать. Для того чтобы записать любую из них, можно руководствоваться следующими правилами:
1) В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии 0 < α < .
2) Если в левой части формулы угол равен ± α или ± α, то синус заменяется на косинус, тангенс — на котангенс и наоборот. Если угол равен π ± α, то замены не происходит.
Например, покажем, как с помощью этих правил можно получить формулу приведения для По первому правилу в правой части формулы надо поставить знак «—», так как если
0 < α < , то + α а косинус во второй четвертиотрицателен.
По второму правилукосинус нужно заменить на синус, следовательно,
Итак, формулы (3), (7) и формулы приведения позволяют свести вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.
Итак. Формула приведения — это обычный синус (или косинус) суммы или разности двух аргументов, но записанный в таком виде, что все вычисления значительно сокращаются. Применяются только для конструкция вида:
Другими словами, первое слагаемое должно быть кратно π/2.Они применяются к суммам и разностям аргументов и включают в себя два правила:
1).Если первый аргумент стоит на вертикальной оси координатной окружности, то функция меняется на «противоположную»: синус — на косинус, тангенс — на котангенс и т.д. Если же первый аргумент стоит на горизонтальной оси, функция не меняется.
2).При этом спереди у новой функции следует поставить знак «минус», еслиисходная функция принимала отрицательное значение при малом α. Либо оставить «плюс», если при малом α функция положительна.
Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Рассмотрим формулы, по которым сумму синусов и сумму косинусов, разность синусов и разность косинусов можно преобразовать в произведение.
Задача 1. Упростить выражение
Решение. Используя формулу сложения и формулу синуса двойного угла, получаем
Эту задачу можно решить проще, если использовать формулу суммы синусов:
Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
С помощью этой формулы получаем
Докажем теперь справедливость формулы (1). Обозначим
Тогда х + у =α, х — у =β, ипоэтому sinα + sin β = sin (х + у)+ sin (х — у) = sin х cos у + cos х sin у + + sin х cos у –cos х sin у= 2 sin х cos у = 2 sincos.
Наряду с формулой (1) используется формула разности синусов, а также формулы суммы и разности косинусов.
Формулы (3) и (4) доказываются так же, как и формула (1); формула (2) получается из формулы (1) заменой β на – β.
Задача 2. Вычислить sin 750 + cos750.Решение. sin 750 + cos750= sin 750 + sin 150 =
Задача 3. Преобразовать в произведение 2 sinα + . Решение.
Произведение синусов и косинусов
В ходе преобразований тригонометрических выражений бывает также полезно представлять произведение синусов и косинусов в виде суммы или разности.
Так, для произведения синуса и косинуса справедлива формула:
sinα cos β = [sin(α + β) + sin (α — β)] (5) .
Докажем теперь справедливость формулы (5).
По формулам сложения имеем
Складывая почленно эти равенства, получаем sin(α + β) + sin (α — β) = 2 sinα cos β , откуда
следует формула (5)
Аналогично доказываются формулы: sinα sin β = [cos(α — β) — cos (α+ β)] (6)
cosαcos β = [cos(α + β) + cos (α— β)] (7)
Задача 4.Вычислить . По формуле (7) получаем
Упражнения к главе V «Тригонометрические формулы».
Тригонометрические формулы половинного углаФормулы по геометрии
Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого угол ACB прямой.
a, b – катеты прямоугольного треугольника
c – гипотенуза прямоугольного треугольника
α – угол треугольника, противолежащий стороне a
A, B, C – вершины треугольника
Синус половинного угла sin(α/2) равен:
Косинус половинного угла cos(α/2) равен:
Тангенс половинного угла tg(α/2) равен:
Котангенс половинного угла ctg(α/2) равен:
Все формулы по теме Тригонометрические формулы половинного угла:
Синус половинного угла, формула и примеры
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Синус половинного угла выражается формулой, которая связывает функцию угла и функцию угла формуле
Вывод формулы синуса половинного угла
Получить эту формулу можно используя формулу косинуса двойного угла следующим образом:
откуда
Эту формулу еще называют формулой понижения степени синуса.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание
Вычислить
Решение
Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой половинного угла синуса
Загрузка…
через тригонометрические функции угла 
. Выведем формулы половинного угла для функций синус, косинус, тангенс, котангенс. Воспользуемся следующими формулами двойного угла (подробнее смотрите на странице Формулы двойного и тройного угла (аргумента) онлайн):
. Тогда имеем
и 
:
.
(т.е. 
, где Z -множество целых чисел). 
определен тогда, когда 
(т.е. 
).
).
используя формулу половинного угла.
Следовательно, sin α = — 1,2·(-0,8)= 0,96
Решение. 
(3). Если tg α = , то по формуле (3) находим 
(5) 
(6)
Так как 0 α π, то 0 , и поэтому cos 0. Следовательно, cos = = 0,7. Разделив равенство (6) на равенство (5), получим формулу тангенса половинного угла. 
По условию π α 2π, поэтому π и tg 0. Следовательно tg = 
Решение. 
Итак, 
(8)
Итак, 
(9)
Итак, 
(10). Эту формулу можно получить почленным делением равенств (8) и (9).
По первому правилу в правой части формулы надо поставить знак «—», так как если
. По формуле (7) получаем
