Косинус половинного угла формула: Формулы половинного угла в тригонометрии

Формулы половинного угла: доказательства (вывод) и примеры

Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул. Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `\frac{\alpha}2` через эти ж функции аргумента `\alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла. Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.

Содержание статьи:

Список всех формул половинного угла

Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1+cos \ \alpha}=\frac {1-cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1-cos \ \alpha}=\frac {1+cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`

Знак «+» или «-» перед корнями зависит от того, в какую из координатных четвертей попадает угол `\frac{\alpha}2`.

Во втором варианте имеем дело с квадратами тригонометрических функций половинного угла:

`sin^2 \ \frac \alpha 2=\frac {1-cos \ \alpha}2`
`cos^2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}2`
`tg^2 \ \frac \alpha 2=\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}`
`ctg^2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}`

Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `\alpha`.

Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `\alpha`, при которых определен `tg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alpha\ne\pi+2\pi n, \ n \in Z`.

Формула котангенса выполняется для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alpha\ne 2\pi n, \ n \in Z`.

С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `\alpha` через тангенс половинного угла.

`sin \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha\ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{2tg\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Вывод формул половинного угла

Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos \alpha=1-2 \ sin^2 \frac \alpha 2` и `cos \alpha=2 \ cos^2 \frac \alpha 2-1`. Выразив из первого равенства ` sin \frac \alpha 2` получим `sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos \frac \alpha 2` в результате будем иметь `cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`.

Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg \frac \alpha 2=\frac{sin\frac \alpha 2}{cos \frac \alpha 2}` и `ctg \frac \alpha 2=\frac{cos \frac \alpha 2}{sin \frac \alpha 2}`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.

В результате будем иметь: `tg \frac \alpha 2=\frac{sin\frac \alpha 2}{cos \frac \alpha 2}=` `\frac{\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}}{\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}}=` `\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}}` и `ctg \frac \alpha 2=\frac{cos\frac \alpha 2}{sin \frac \alpha 2}=` `\frac{\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}}{\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}}=` `\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}}`.

Примеры использования при решении задач

Пример 1. Найти `cos 15^\circ`, если известно, что `cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}2`.

Решение. Формула половинного угла для тригонометрической функции косинус имеет вид `cos^2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}2`. Подставив известные значения, имеем `cos^2 15^\circ=\frac {1+cos 30^\circ}2=` `\frac{1+\frac{\sqrt3}2}2=\frac{2+\sqrt3}4`. Имея значение `cos^2 15^\circ`, найдем `cos 15^\circ`. Поскольку угол 15 градусов лежит в первой координатной четверти, а косинус в этой четверти имеет знак «+», то `cos 15^\circ=\sqrt{\frac{2+\sqrt3}4}=` `\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2`.

Ответ. `cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2`.

Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos \frac {\alpha}2+2cos \alpha+5`, если `cos \alpha=\frac {1}8`.

Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4\sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}+2cos \alpha+5=4\sqrt{\frac {1+\frac {1}8}2}+2 \cdot \frac {1}8+5=` `4\sqrt{\frac {9}16}+\frac{1}4+5=8\frac{1}4`.

Ответ. `4cos \frac {\alpha}2+2cos \alpha+5=8\frac{1}4`.

Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:

В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Формулы половинного угла (аргумента) онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы половинного угла (и другие формулы) тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Формулы половинного угла (аргумента) − теория, доказательство, примеры

Формулы половинного угла выражают тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тригонометрические функции угла . Выведем формулы половинного угла для функций синус, косинус, тангенс, котангенс. Воспользуемся следующими формулами двойного угла (подробнее смотрите на странице Формулы двойного и тройного угла (аргумента) онлайн):

Подставим в (1) и (2) . Тогда имеем

Из равенств (3) и (4) найдем соответвсвенно и :

Следовательно:

Равенства (5) и (6) (или (7) и (8)) являются формулами половинного угла для функций синус и косинус. Для выведения формул для тангенса и котангенса запишем основные тригонометрические тождества для этих функций:

Тогда

Откуда:

Отметим, что в знак формулах (7), (8), (11) и (12) совпадает со знаком тригонометрической функции для угла .

Выражения (11) и (12) являются формулами половинного угла для функций тангенс и котангенс. Отметим, что

определен тогда, когда (т.е. , где Z -множество целых чисел). определен тогда, когда (т.е. ).

Выведем другие формулы для половинного угла тангенса и котангенса. Для этого воспользуемся формулами (9) и (10).

Вторая формула для тангенса половинного угла:

или

Третья формула для тангенса половинного угла:

или

Вторая формула для котангенса половинного угла:

или

Третья формула для котангенса половинного угла:

или

Заметим, что формулы (15) и (16) можно также получить, учитывая равенство

(или ).

Примеры применения формул половинного угла (аргумента)

Пример. Вычислить используя формулу половинного угла.

Решение. Воспользуемся формулой (7). Так как знак синуса угла 15° положительно, то берем формулу (7) со знаком «+»:

Ответ:

Формулы тригонометрических функции двойного и половинного угла

Формулы двойных и кратных углов

  1. Синус двойного угла: \(sin 2\alpha = 2sin \alpha \cdot cos \alpha\).
  2. Косинус двойного угла: \(cos 2\alpha = {cos ^2}\alpha — {sin ^2}\alpha = 1 — 2\,{sin ^2}\alpha = 2\,{cos ^2}\alpha — 1\).
  3. Тангенс двойного угла: \(tg 2\alpha = \large\frac{{2tg \alpha }}{{1 — {{tg }^2}\alpha}}\normalsize = \large\frac{2}{{ctg \alpha -tg \alpha }}\normalsize\).
  4. Котангенс двойного угла: \(ctg 2\alpha = \large\frac{{{{ctg }^2}\alpha — 1}}{{2ctg\alpha}}\normalsize = \large\frac{{ctg \alpha -tg \alpha }}{2}\normalsize\).
  5. Синус тройного угла: \(sin 3\alpha = 3sin\alpha — 4\,{sin^3} \alpha = 3\,{cos ^2}\alpha\cdot sin \alpha — {sin ^3}\alpha\).
  6. Косинус тройного угла: \(cos 3\alpha = 4\,{cos^3} \alpha — 3cos \alpha = {cos ^3}\alpha — 3\,{sin ^2}\alpha \cdot cos \alpha\).
  7. Тангенс тройного угла: \(tg 3\alpha = \large\frac{{3tg \alpha — {{tg }^3}\alpha }}{{1 — 3\,{{tg }^2}\alpha }}\normalsize\).
  8. Котангенс тройного угла: \(ctg 3\alpha = \large\frac{{\,{ctg^3}\alpha — 3ctg \alpha }}{{3\,{{ctg }^2}\alpha — 1}}\normalsize\).

Формулы половинного угла

  1. Синус половинного угла: \(sin \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \pm \sqrt {\large\frac{{1 — cos \alpha }}{2}\normalsize}\). Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол \(\frac{\alpha}2\) в левой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.
  2. Косинус половинного угла: \(cos \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \pm \sqrt {\large\frac{{1 + cos \alpha }}{2}\normalsize}\).
  3. Тангенс половинного угла: \(tg \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \pm \sqrt {\large\frac{{1 — cos \alpha }\normalsize}{{1 + cos \alpha }}} = \large\frac{{sin \alpha }}{{1 + cos \alpha }}\normalsize = \large\frac{{1 — cos \alpha }}{{sin \alpha }}\normalsize \).
  4. Котангенс половинного угла: \(ctg \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \pm \sqrt {\large\frac{{1 + cos \alpha }\normalsize}{{1 — cos \alpha }}} = \large\frac{{sin \alpha }}{{1 — cos \alpha }}\normalsize = \large\frac{{1 + cos \alpha }}{{sin \alpha }}\normalsize\).
  5. Выражение синуса через тангенс половинного угла: \(sin\alpha = \large\frac{{2tg \frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).
  6. Выражение косинуса через тангенс половинного угла: \(cos\alpha = \large\frac{{1 — {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).
  7. Выражение тангенса через тангенс половинного угла: \(tg\alpha = \large\frac{{2tg \frac{\alpha }{2}}}{{1 — {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).
  8. Выражение котангенса через тангенс половинного угла: \(ctg\alpha = \large\frac{{1 — {{tg }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{2tg \frac{\alpha }{2}}}\normalsize\).

Фор­му­лы по­ни­же­ния сте­пе­ни

  1. Квадрат синуса: \({sin^2}\alpha = \large\frac{{1 — cos 2\alpha }}{2}\normalsize\).
  2. Куб синуса: \({sin^3}\alpha = \large\frac{{3sin \alpha — sin 3\alpha }}{4}\normalsize\).
  3. Квадрат косинуса: \({cos^2}\alpha = \large\frac{{1 + cos 2\alpha }}{2}\normalsize\).
  4. Куб косинуса: \({cos^3}\alpha = \large\frac{{3cos \alpha + cos 3\alpha }}{4}\normalsize\).
  5. Квадрат тангенса: \({tg^2}\alpha = \large\frac{{{{sin }^2}\alpha }}{{{{cos }^2}\alpha}}\normalsize = \large\frac{{1 — cos 2\alpha }}{{1 + cos 2\alpha }}\normalsize\).
  6. Куб тангенса: \({tg^3}\alpha = \large\frac{{{{sin }^3}\alpha }}{{{{cos }^3}\alpha}}\normalsize = \large\frac{{3sin \alpha — sin 3\alpha }}{{3cos \alpha + cos 3\alpha}}\normalsize\).
Алгебра» по теме » Тригонометрические формулы» (часть 2)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ПЕДАГОГИКИ И ПРАВА»

Волжский социально-педагогический колледж

Математика: Алгебра (10-11кл., 1 курс СПО)

Конспект лекций (раздаточный материал) по разделу

«Тригонометрические формулы» (часть 2)

Автор: Бондаренко Людмила Валентиновна

Место работы: Волжский социально-педагогический колледж – структурное подразделение ВИЭПП

Должность: Преподаватель

Чтобы получить тригонометрические формулы двойного аргумента достаточно в формулах сложения β заменить на α.

1. sin 2 α = sin (α + α) = sin α cos α + sin α cos α = 2 sin α cos α. Итак, sin 2 α = 2 sin α cos α (1)

2. cos 2 α = cos (α + α) = cos α cos αsin α sin α = cos2 αsin2 α.Итак, cos 2 α = cos2 αsin2 α. (2)

Задача 1. Вычислить sin 2 α, если sin α = — 0,6 и π α . Решение. По формуле (1) находим

sin 2 α = 2 sin α cos α = 2· (-6) ·cos α = -1,2· cos α. Так как π α , то cos α 0, и поэтому

hello_html_m4b91451b.gifСледовательно, sin α = — 1,2·(-0,8)= 0,96

Задача 2 . Вычислить cos 2 α, если cos α = 0,3. Решение. Используя формулу (2) и основное тригонометрическое тождество, имеем cos 2 α = cos2 α sin2 α = cos2 α — (1 — cos2 α) = 2 cos2 α — 1 =

= 2 (0,3)2 — 1 = -0,82.

Задача 3 .Упростить выражение hello_html_m27f2eea1.gifРешение. hello_html_m1460597c.gif

hello_html_f0a2402.gif

Задача 4. Вычислить tg 2α, если tg α

= . Решение. Полагая в формуле hello_html_6c3a81b8.gif

β = α, получаем hello_html_6ed06a50.gif(3). Если tg α = , то по формуле (3) находим hello_html_m5f2bf591.gif

hello_html_m541f8185.gif

hello_html_28c6974c.gif

hello_html_cb9f07a.gif

Синус,косинус и тангенс половинного угла

По известным значениям sin α и cos α можно найти значения sin , cos tg если известно, в какой четверти лежит угол α. Из формулы cos 2х = cos2 х — sin2 х при х = получаем

cos α = cos2  — sin2  (1)

Запишем основное тригонометрическое тождество в виде 1 = cos2 sin

2  (2)

Складывая равенства (1) и (2) и вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем

1 + cos α = 2 cos2  (3)

1 cos α = 2 cos2  (4)

Формулы (3) и (4) можно записать так: hello_html_64e39f86.gif(5) hello_html_4f9abe9c.gif (6)

Формулы (5) и (6) называют формулами синуса и косинуса половинного угла. Иногда их называют также

формулами понижения степени.

Если известен cos α, то из формул (5) и (6) можно найти . Знаки sin и cos могут быть определены, если известно, в какой четверти лежит угол .

Задача 1. Вычислить cos , если cos α = -0,02 и 0 α π. Решение. По формуле (5) hello_html_m71f151f2.gifТак как 0 α π, то 0 , и поэтому cos 0. Следовательно, cos = = 0,7. Разделив равенство (6) на равенство (5), получим формулу тангенса половинного угла. hello_html_m15a04784.gif

(7)

Задача 2.Вычислить tg α = , если cos α = 0,8 и π α 2π. Решение. По формуле (7) имеем hello_html_76042179.gifПо условию π α 2π, поэтому π и tg 0. Следовательно tg = hello_html_3a788a4.gif

Задача 3. Упростить выражение hello_html_m795de103.gifРешение. hello_html_4024319b.gif

hello_html_m2e64e3ab.gif

Задача 4. Решить уравнение 1+ cos2х = 2 cos х. Решение. Т.к. 1 + cos 2х = 2 cos2 х, то данное уравнение примет вид 2 cos2 х = 2 cos х, откуда cos х(cos х-1) = 0.

1) cos х = 0, х = + πk, k Z. 2) cos

х = 1, х =2 πn , n Z. Итак исходное уравнение имеет две серии корней х = + πk, k Z и х =2 πn , n Z. В ответе можно записывать обе серии с одной буквой (k или n). Ответ. х = + πk, х =2 πk , k Z.

Задача 5. Выразить sin , cos tg через tg . Решение.1). sin = hello_html_32559f.gif

hello_html_m2c1c4ed8.gifИтак, hello_html_1f087aa1.gif (8)

2). cos = hello_html_m4b35ff2.gif hello_html_13eb0da1.gifИтак, hello_html_m59fa5c0e.gif(9)

3). hello_html_cd91f4.gifИтак, hello_html_m5c6db3a5.gif (10). Эту формулу можно получить почленным делением равенств (8) и (9).

Итак, по формулам (8) – (10) можно находить синус, косинус и тангенс угла,зная тангенс угла .

hello_html_48cd81fd.gifhello_html_m3682adf8.gif

hello_html_m70b1a5ca.gifhello_html_m3ac6474a.gif

Формулы приведения

Таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса составляются для углов от 00 до 900 (или от 0 до ). Это объясняется тем, что их значения для остальных углов сводятся к значениям для острых углов.

Задача 1. Вычислить sin 870° и cos 870°. Решение. Заметим, что 870° = 2 • 360°+ 150°. Следовательно, при повороте точки Р(1; 0) вокруг начала координат на 870° точка совершит два полных оборота и еще повернется на угол 150°, т. е. получится та же самая точка М, что и при повороте на 150° (рис. 66). Поэтому sin 870° = sin 150°, cos 870° = cos 150°.hello_html_6f8ee390.gif

Построим точку М1, симметричную точке М относительно оси Оу (рис. 67). Ординаты точек М и М1 одинаковы, а абсциссы отличаются только знаком. Поэтому sin 150° = sin 30° = , cos 150° =

= — cos 30° = — . Ответ: sin 870° = , cos 870° = — .

Задача 2. При решении задачи 1 использовались равенства

sin (2 • 360°+ 150°) = sin 150°, cos (2· 360°+ 150°) = cos 150°, (1)

sin (180° — 30°) = sin 30°, cos (180° — 30°) = — cos 30°. (2)

Равенства (1) верны, так как при повороте точки Р(1; 0) на угол α + 2 πk , k Z, получается та же самая точка, что и при повороте на угол α.

Следовательно, верны формулы sin (α + 2 πk) = sin α, cos (α + 2 πk) = cos α, k Z. (3)

Равенства (2) являются частными случаями формул sin (π — α) = sin α, cos (πα) = — cos α.(4)

Докажем формулу sin (π — α) = sin α. Применяя формулу сложения для синуса, имеем

sin (π α) = sin π cos α — cos π sin α = 0· cos α — (-1) sin α = sin α.

Аналогично доказывается и вторая из формул (4). Формулы (4) называются формулами приведения.

Вообще формулами приведения для синуса и формулами приведения для косинуса называют соответственно следующие шесть формул:

hello_html_m2aaec1c.gifhello_html_m151459c9.gif

Формулы (5) и (6) справедливы при любых значениях α.

Задача 2. Вычислить sin 930°. Решение. Используя из формул (3) первую, получаем

sin 930° = sin (3· 360°-150°)= sin (-150°). По формуле sin () = — sin α имеем sin (-150°)= — sin 150°.

По формуле (4) находим: sin 150° = — sin (180° — 30°) = — sin 30° = -1 . Ответ. sin 930° = — .

Задача 3. Вычислить cos . Решение. hello_html_m3682b0ad.gif

Покажем теперь, как можно свести вычисление тангенса любого угла к вычислениям тангенса острого угла. Отметим, что из формул (3) и определения тангенса следует равенство

tg (α + 2 πk) = tg α, k Z. Используя это равенство и формулы (4), получаем

tg (α + π) = tg (α + π2 π) = tg (α — π) = hello_html_54043f55.gif

Следовательно, справедлива формула tg (α + πk) = tg α, k Z. (7)

Аналогично доказывается формула сtg (α + πk) = сtg α, k Z. (8)

Следующие четыре формулы называют формулами приведения для тангенса и котангенса:

Формулы (9) справедливы для всех допустимых значениях α.hello_html_392c0032.gif

Формулы приведения для синуса и косинуса доказываются с помощью формул сложения аналогично тому, как доказана первая формула (4). Формулы (9) можно получить из формул (5) и (6), зная, что tg α = .

Формулы приведения необязательно запоминать. Для того чтобы записать любую из них, можно руководствоваться следующими правилами:

1) В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии 0 < α < .

2) Если в левой части формулы угол равен ±  α или ± α, то синус заменяется на косинус, тангенс — на котангенс и наоборот. Если угол равен π ± α, то замены не происходит.

Например, покажем, как с помощью этих правил можно получить формулу приведения для hello_html_2177d926.gif По первому правилу в правой части формулы надо поставить знак «», так как если

0 < α < , то   + α а косинус во второй четверти отрицателен.

По второму правилу косинус нужно заменить на синус, следовательно, hello_html_58f1e84d.gif

Итак, формулы (3), (7) и формулы приведения позволяют свести вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.

Итак. Формула приведения — это обычный синус (или косинус) суммы или разности двух аргументов, но записанный в таком виде, что все вычисления значительно сокращаются. Применяются только для конструкция вида: hello_html_m4a16682f.png

Другими словами, первое слагаемое должно быть кратно π/2. Они применяются к суммам и разностям аргументов и включают в себя два правила:

1).Если первый аргумент стоит на вертикальной оси координатной окружности, то функция меняется на «противоположную»: синус — на косинус, тангенс — на котангенс и т.д. Если же первый аргумент стоит на горизонтальной оси, функция не меняется.

2).При этом спереди у новой функции следует поставить знак «минус», если исходная функция принимала отрицательное значение при малом α. Либо оставить «плюс», если при малом α функция положительна.

hello_html_m49ecd4f4.gifhello_html_m3424c6e1.gif

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.

Рассмотрим формулы, по которым сумму синусов и сумму косинусов, разность синусов и разность косинусов можно преобразовать в произведение.

Задача 1. Упростить выражение hello_html_m3bd76d46.gif

Решение. Используя формулу сложения и формулу синуса двойного угла, получаем hello_html_mb441410.gifhello_html_m4eb765db.gifhello_html_169eb618.gif

Эту задачу можно решить проще, если использовать формулу суммы синусов:

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.hello_html_m22068099.gif

С помощью этой формулы получаем hello_html_m680897db.gif hello_html_m725eec4c.gif

Докажем теперь справедливость формулы (1). Обозначим hello_html_m766a5e16.gif

Тогда х + у = α, х — у = β, и поэтому sin α + sin β = sin (х + у)+ sin (х — у) = sin х cos у + cos х sin у + + sin х cos у – cos х sin у= 2 sin х cos у = 2 sin cos .

Наряду с формулой (1) используется формула разности синусов, а также формулы суммы и разности косинусов.hello_html_5ed4cd27.gif

Формулы (3) и (4) доказываются так же, как и формула (1); формула (2) получается из формулы (1) заменой β на – β.

Задача 2. Вычислить sin 750 + cos 750.Решение. sin 750 + cos 750= sin 750 + sin 150 =

hello_html_28cdbbbc.gifhello_html_569289d2.gif

Задача 3. Преобразовать в произведение 2 sin α + . Решение. hello_html_2c9fa0e9.gif hello_html_79e637c3.gif

Произведение синусов и косинусов

В ходе преобразований тригонометрических выражений бывает также полезно представлять произведение синусов и косинусов в виде суммы или разности.

Так, для произведения синуса и косинуса справедлива формула:

sin α cos β = [sin (α + β) + sin (αβ)] (5) .

Докажем теперь справедливость формулы (5).

По формулам сложения имеем hello_html_m47c7f066.gifhello_html_7bf4848d.gif

Складывая почленно эти равенства, получаем sin (α + β) + sin (αβ) = 2 sin α cos β , откуда

следует формула (5)

Аналогично доказываются формулы: sin α sin β = [cos (αβ) — cos (α+ β)] (6)

cos α cos β = [cos (α + β) + cos (αβ)] (7)

Задача 4.Вычислить hello_html_m5b5fd15e.jpg. По формуле (7) получаемhello_html_m5b5fd15e.jpghello_html_m5b5fd15e.jpg

hello_html_m45e4b884.gif

hello_html_64447843.gif

hello_html_623dac73.gif

hello_html_m5470fe6b.gif

hello_html_7a6c61d1.gif

hello_html_m5f8c0150.gif

Упражнения к главе V «Тригонометрические формулы».

hello_html_m697e83d6.gif

hello_html_5aa0bc9e.gif

hello_html_5455a9b3.gif

hello_html_m49a28db8.gif

hello_html_m4ea121aa.gif

Тригонометрические формулы половинного углаФормулы по геометрии

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого угол ACB прямой.

a, b – катеты прямоугольного треугольника

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

α – угол треугольника, противолежащий стороне a

A, B, C – вершины треугольника

 

Синус половинного угла sin(α/2) равен:

 

 

 

Косинус половинного угла cos(α/2) равен:

 

 

 

Тангенс половинного угла tg(α/2) равен:

 

 

 

Котангенс половинного угла ctg(α/2) равен:

 

Все формулы по теме Тригонометрические формулы половинного угла:

Синус половинного угла, формула и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Синус половинного угла выражается формулой, которая связывает функцию угла и функцию угла формуле

   

Вывод формулы синуса половинного угла

Получить эту формулу можно используя формулу косинуса двойного угла следующим образом:

   

откуда

   

Эту формулу еще называют формулой понижения степени синуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить

   

Решение Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой половинного угла синуса

   

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!
90000 90001 Summary of trigonometric identities 90002 90003 90004 You have seen quite a few trigonometric identities in the past few pages. It is convenient to have a summary of them for reference. These identities mostly refer to one angle denoted 90005 θ 90006, but there are some that involve two angles, and for those, the two angles are denoted 90005 α 90006 and 90005 β 90006. 90011 90012 90003 90014 90011 90012 90003 90004 90019 The more important identities.90020 You do not have to know all the identities off the top of your head. But these you should. 90011 90012 90003 90014 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 Defining relations 90032 for tangent, cotangent, secant, and cosecant in terms of sine and cosine. 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 The Pythagorean formula for sines and cosines. 90032 This is probably the most important trig identity. 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 Identities expressing trig functions in terms of their complements.90032 There’s not much to these. Each of the six trig functions is equal to its co-function evaluated at the complementary angle. 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 Periodicity of trig functions. 90032 Sine, cosine, secant, and cosecant have period 2 90005 π 90006 while tangent and cotangent have period 90005 π 90006. 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 Identities for negative angles. 90032 Sine, tangent, cotangent, and cosecant are odd functions while cosine and secant are even functions.90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 Ptolemy’s identities, the sum and difference formulas for sine and cosine. 90032 90011 90012 90003 90014 90011 90082 90031 Double angle formulas for sine and cosine. 90032 Note that there are three forms for the double angle formula for cosine. You only need to know one, but be able to derive the other two from the Pythagorean formula. 90011 90012 90003 90014 90011 90012 90003 90014 90011 90012 90003 90004 90019 The less important identities.90020 You should know that there are these identities, but they are not as important as those mentioned above. They can all be derived from those above, but sometimes it takes a bit of work to do so. 90011 90012 90003 90014 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 The Pythagorean formula for tangents and secants. 90032 There’s also one for cotangents and cosecants, but as cotangents and cosecants are rarely needed, it’s unnecessary. 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 Identities expressing trig functions in terms of their supplements.90032 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 Sum, difference, and double angle formulas for tangent. 90032 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 The half angle formulas. 90032 The ones for sine and cosine take the positive or negative square root depending on the quadrant of the angle 90005 θ 90006/2. For example, if 90005 θ 90006/2 is an acute angle, then the positive root would be used. 90011 90012 90003 90014 90011 90012 90003 90004 90019 Truly obscure identities.90020 These are just here for perversity. No, not really. They have some applications, but they’re usually narrow applications, and they could just as well be forgotten until needed. 90011 90012 90003 90014 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 Product-sum identities. 90032 This group of identities allow you to change a sum or difference of sines or cosines into a product of sines and cosines. 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 Product identities.90032 Aside: weirdly enough, these product identities were used before logarithms were invented in order to perform multiplication. Here’s how you could use the second one. If you want to multiply 90005 x 90006 times 90005 y, 90006 use a table to look up the angle 90005 α 90006 whose cosine is 90005 x 90006 and the angle 90005 β 90006 whose cosine is 90005 y 90006. Look up the cosines of the sum 90005 α 90006 + 90005 β 90006. and the difference 90005 α — β 90006. Average those two cosines.You get the product 90005 xy 90006! Three table look-ups, and computing a sum, a difference, and an average rather than one multiplication. Tycho Brahe (1546-1601), among others, used this algorithm known as 90005 prosthaphaeresis. 90006 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 Triple angle formulas. 90032 You can easily reconstruct these from the addition and double angle formulas. 90011 90012 90003 90014 90011 90014 90031 More half-angle formulas.90032 These describe the basic trig functions in terms of the tangent of half the angle. These are used in calculus for a particular kind of substitution in integrals sometimes called the Weierstrass 90005 t 90006 -substitution. 90011 90012 90211.90000 Double-Angle and Half-Angle Identities 90001 90002 90003 Double-Angle and Half-Angle Identities 90004 90005 90002 Special cases of the sum and difference formulas for sine and cosine yields what is known as the 90007 double-angle identities 90008 and the 90007 half-angle identities 90008. First, using the sum identity for the sine, 90005 90002 sin 2α = sin (α + α) 90005 90002 sin 2α = sin α cos α + cos α sin α 90005 90002 sin 2α = 2 sin α cos α 90005 90002 Similarly for the cosine, 90005 90002 90021 90005 90002 Using the Pythagorean identity, sin 90024 2 90025 α + cos 90024 2 90025 α = 1, two additional cosine identities can be derived.90005 90002 90030 90005 90002 and 90005 90002 90035 90005 90002 The half-angle identities for the sine and cosine are derived from two of the cosine identities described earlier. 90005 90002 90040 90005 90002 The sign of the two preceding functions depends on the quadrant in which the resulting angle is located. 90005 90002 90045 Example 1: 90046 Find the exact value for sin 105 ° using the half-angle identity. 90005 90002 In the following verification, remember that 105 ° is in the second quadrant, and sine functions in the second quadrant are positive.Also, 210 ° is in the third quadrant, and cosine functions in the third quadrant are negative. From Figure 1, the reference triangle of 210 ° in the third quadrant is a 30 ° -60 ° -90 ° triangle. Therefore, cos 210 ° = -cos 30 °. 90005 90002 90005 90002 90045 Figure 1 90054 90046 Drawing for Example 1. 90005 90002 Using the half-angle identity for sine, 90005 90002 90060 90005 90002 90045 Example 2: 90046 Find the exact value for cos 165 ° using the half-angle identity.90005 90002 In the following verification, remember that 165 ° is in the second quadrant, and cosine functions in the second quadrant are negative. Also, 330 ° is in the fourth quadrant, and cosine functions in the fourth quadrant are positive. From Figure 2, the reference triangle of 330 ° in the fourth quadrant is a 30 ° -60 ° -90 ° triangle. Therefore, cos 330 ° = cos 30 °. 90005 90002 90005 90002 90045 Figure 2 90054 90046 Drawing for Example 2. 90005 90002 Using the half-angle identity for the cosine, 90005 90002 90078 90005 90002 90045 Example 3: 90046 Use the double-angle identity to find the exact value for cos 2 90083 x 90084 given that sin 90083 x 90084 = 90087.90005 90002 Because sin 90083 x 90084 is positive, angle 90083 x 90084 must be in the first or second quadrant. The sign of cos 2 90083 x 90084 will depend on the size of angle 90083 x 90084. If 0 ° <90083 x 90084 <45 ° or 135 ° <90083 x 90084 <180 °, then 2 90083 x 90084 will be in the first or fourth quadrant and cos2 90083 x 90084 will be positive. On the other hand, if 45 ° <90083 x 90084 <90 ° or 90 ° <90083 x 90084 <135 ", then 2 90083 x 90084 will be in the second or third quadrant and cos 2 90083 x 90084 will be negative.90005 90002 90116 90005 90002 90045 Example 4: 90046 Verify the identity 1 - cos 2 90083 x 90084 = tan 90083 x 90084 sin 2 90083 x 90084. 90005 90002 90129 90005 90054 90054 .90000 Double Angle and Half Angle Formulas (Trig without Tears Part 8) 90001 Double Angle and Half Angle Formulas (Trig without Tears Part 8) 90002 Trig without Tears Part 8: 90003 90002 Copyright © 1997-2020 Stan Brown, BrownMath.com 90003 90002 90007 Summary: 90008 Very often you can 90007 simplify your work 90008 by expanding something like sin (2A) or cos (½A) into functions of plain A. Sometimes it works the other way and 90007 a complicated expression becomes simpler 90008 if you see it as a function of half an angle or twice an angle.The formulas seem intimidating, but they're really just variations on equation 48 and equation 50. 90003 90014 Sine or Cosine of a Double Angle 90015 90002 With equation 48, you can find sin (90017 A 90018 + 90017 B 90018). What happens if you set 90017 B 90018 = 90017 A 90018? 90003 90002 sin (90017 A 90018 + 90017 A 90018) = sin 90017 A 90018 cos 90017 A 90018 + cos 90017 A 90018 sin 90017 A 90018 90003 90002 But 90017 A 90018 + 90017 A 90018 is just 2 90017 A 90018, and the two terms on the right-hand side are equal.Therefore: 90003 90002 sin 2 90017 A 90018 = 2 sin 90017 A 90018 cos 90017 A 90018 90003 90002 The cosine formula is just as easy: 90003 90002 cos (90017 A 90018 + 90017 A 90018) = cos 90017 A 90018 cos 90017 A 90018 - sin 90017 A 90018 sin 90017 A 90018 90003 90002 cos 2 90017 A 90018 = cos² 90017 A 90018 - sin² 90017 A 90018 90003 90002 Though this is valid, it's not completely satisfying. It would be nice to have a formula for cos 2 90017 A 90018 in terms of just a sine or just a cosine.Fortunately, we can use sin² 90017 x 90018 + cos² 90017 x 90018 = 1 to eliminate either the sine or the cosine from that formula: 90003 90002 cos 2 90017 A 90018 = cos² 90017 A 90018 - sin² 90017 A 90018 = cos² 90017 A 90018 - (1 - cos² 90017 A 90018) = 2 cos² 90017 A 90018 - 1 90003 90002 cos 2 90017 A 90018 = cos² 90017 A 90018 - sin² 90017 A 90018 = (1 - sin² 90017 A 90018) - sin² 90017 A 90018 = 1 - 2 sin² 90017 A 90018 90003 90002 On different occasions you'll have occasion to use all three forms of the formula for cos 2 90017 A 90018.Do not worry too much about where the minus signs and 1s go; just remember that you can always transform any of them into the others by using good old sin² 90017 x 90018 + cos² 90017 x 90018 = 1. 90003 90002 (59) sin 2 90017 A 90018 = 2 sin 90017 A 90018 cos 90017 A 90018 90003 90002 cos 2 90017 A 90018 = cos² 90017 A 90018 - sin² 90017 A 90018 = 2 cos² 90017 A 90018 - 1 = 1 - 2 sin² 90017 A 90018 90003 90002 There's a very cool second proof of these formulas, using Sawyer's marvelous idea.Also, there's an easy way to find functions of higher multiples: 3 90017 A 90018, 4 90017 A 90018, and so on. 90003 90014 Tangent of a Double Angle 90015 90002 To get the formula for tan 2 90017 A 90018, you can either start with equation 50 and put B = A to get tan (90017 A 90018 + 90017 A 90018), or use equation 59 for sin 2 90017 A 90018 / cos 2 90017 A 90018 and divide top and bottom by cos² 90017 A 90018. Either way, you get 90003 90002 (60) tan 2 90017 A 90018 = 2 tan 90017 A 90018 / (1 - tan² 90017 A 90018) 90003 90014 Sine or Cosine of a Half Angle 90015 90002 What about the formulas for sine, cosine, and tangent of half an angle? Since 90017 A 90018 = (2 90017 A 90018) / 2, you might expect the double-angle formulas equation 59 and equation 60 to be some use.And indeed they are, though you have to pick carefully. 90003 90002 For instance, sin 2 90017 A 90018 is not much help. Put 90017 A 90018 = 90017 B 90018/2 and you have 90003 90002 sin 90017 B 90018 = 2 sin (90017 B 90018/2) cos (90017 B 90018/2) 90003 90002 That's true enough, but there's no easy way to solve for sin (90017 B 90018/2) or cos (90017 B 90018/2). 90003 90002 There's much more help in equation 59 for cos 2 90017 A 90018. Put 2 90017 A 90018 = 90017 B 90018 or 90017 A 90018 = 90017 B 90018/2 and you get 90003 90002 cos 90017 B 90018 = cos² (90017 B 90018/2) - sin² (90017 B 90018/2) = 2 cos² (90017 B 90018/2) - 1 = 1 - 2 sin² (90017 B 90018/2) 90003 90002 Use just the first and last parts of that: 90003 90002 cos 90017 B 90018 = 1 - 2 sin² (90017 B 90018/2) 90003 90002 Rearrange a bit: 90003 90002 sin² (90017 B 90018/2) = (1 - cos 90017 B 90018) / 2 90003 90002 and take the square root 90003 90002 sin (90017 B 90018/2) = ± √ (1 - cos 90017 B 90018) / 2 90003 90002 You need the plus or minus sign because sin (90017 B 90018/2) may be positive or negative, depending on 90017 B 90018.For any given 90017 B 90018 (or 90017 B 90018/2) there will be only one correct sign, which you already know from the diagram that we explored back in Functions of Any Angle. 90003 90002 90007 Example: 90008 If 90017 B 90018 = 280 °, then 90017 B 90018/2 = 140 °, and you know that sin 140 ° is positive because the angle is in Quadrant II (above the axis). 90003 90002 To find cos (90017 B 90018/2), start with a different piece of the cos 2 90017 A 90018 formula from equation 59: 90003 90002 cos 2 90017 A 90018 = 2 cos² 90017 A 90018 - 1 90003 90002 As before, put 90283 = 90017 B 90018/2: 90003 90002 cos 90017 B 90018 = 2 cos² (90017 B 90018/2) - 1 90003 90002 Rearrange and solve for cos (90017 B 90018/2): 90003 90002 cos² (90017 B 90018/2) = (1 + cos 90017 B 90018) / 2 90003 90002 cos (90017 B 90018/2) = ± √ (1 + cos 90017 B 90018) / 2 90003 90002 You have to pick the correct sign for cos (90017 B 90018/2) depending on the value of 90017 B 90018/2, just as you did with sin (90017 B 90018/2).But of course the sign of the sine is not always the sign of the cosine. 90003 90002 (61) sin (90017 B 90018/2) = ± √ (1 - cos 90017 B 90018) / 2 90003 90002 cos (90017 B 90018/2) = ± √ (1 + cos 90017 B 90018) / 2 90003 90002 90007 Example: 90008 Find sin 75 & deg, which is sin 5π / 12. 90003 90002 90007 Solution: 90008 75 ° is half of 150 °, and you know the functions of 150 ° exactly because they are the same as the functions of 30 °, give or take a minus sign. 90003 90002 sin 75 ° = sin (150 ° / 2) = ± √ (1 - cos 150 °) / 2 90003 90002 Here, cos 150 ° is negative because 150 ° is to the left of the origin, in Quadrant II, and 180 & deg - 150 ° = 30 °, so 90003 90002 cos 150 ° = -cos 30 & deg = - (√3) / 2 90003 90002 sin 75 ° must be positive, because 75 ° is in Quadrant I.Therefore, 90003 90002 sin 75 ° = √ (1 - (-√3 / 2)) / 2 90003 90002 sin 75 ° = √ (2 + √3) / 4 90003 90002 sin 75 ° = √2 + √3 / 2 90003 90002 The expression √2 + √3 is called a 90007 nested radical 90008. Some of these can be decomposed to a simpler √ 90017 a 90018 + √ 90017 b 90018 form, but some can not. Denesting Radicals (or Unnesting Radicals) explains how you can tell whether a particular one can be unnested, and gives an easy method to unnest it. This one can be unnested, leading to 90003 90002 sin 75 ° = (√6 + √2) / 4 90003 90014 Tangent of a Half Angle 90015 90002 You can find tan (90017 B 90018/2) in the usual way, dividing sine by cosine from equation 61: 90003 90002 tan (90017 B 90018/2) = sin (90017 B 90018/2) / cos (90017 B 90018/2) = ± √ (1 - cos 90017 B 90018) / (1 + cos 90017 B 90018) 90003 90002 In the sine and cosine formulas we could not avoid the square roots, but in this tangent formula we can.Multiply top and bottom by √1 + cos 90017 B 90018: 90003 90002 tan (90017 B 90018/2) = √ (1 - cos 90017 B 90018) / (1 + cos 90017 B 90018) 90003 90002 tan (90017 B 90018/2) = √ (1 - cos 90017 B 90018) (1 + cos 90017 B 90018) / (1 + cos 90017 B 90018) ² 90003 90002 tan (90017 B 90018/2) = √1-cos² 90017 B 90018 / (1 + cos 90017 B 90018) 90003 90002 Then use equation 38, your old friend: sin² 90017 x 90018 + cos² 90017 x 90018 = 1; 90003 90002 tan (90017 B 90018/2) = √sin² 90017 B 90018 / (1 + cos 90017 B 90018) = sin 90017 B 90018 / (1 + cos 90017 B 90018) 90003 90002 If you multiply top and bottom by √1-cos 90017 B 90018 instead of √1 + cos 90017 B 90018, you get another form of the half-angle tangent formula: 90003 90002 tan (90017 B 90018/2) = sin (90017 B 90018/2) / cos (90017 B 90018/2) = ± √ (1-cos 90017 B 90018) / (1 + cos 90017 B 90018) 90003 90002 tan (90017 B 90018/2) = √ (1-cos 90017 B 90018) ² / ((1 + cos 90017 B 90018) (1-cos 90017 B 90018)) 90003 90002 tan (90017 B 90018/2) = (1-cos 90017 B 90018) / √1-cos² 90017 B 90018 90003 90002 tan (90017 B 90018/2) = (1-cos 90017 B 90018) / √sin² 90017 B 90018 = (1-cos 90017 B 90018) / sin 90017 B 90018 90003 90002 The half-angle tangent formulas can be summarized like this: 90003 90002 (62) tan (90017 B 90018/2) = (1 - cos 90017 B 90018) / sin 90017 B 90018 = sin 90017 B 90018 / (1 + cos 90017 B 90018) 90003 90002 You may wonder what happened to the plus or minus sign in tan (90017 B 90018/2).Luckily for us, it drops out. Since cos 90017 B 90018 is always between -1 and +1, (1 - cos 90017 B 90018) and (1 + cos 90017 B 90018) are never negative for any 90017 B 90018. And the sine of any angle always has the same sign as the tangent of the corresponding half-angle. 90003 90002 Do not take my word for that last statement, please. There are only four possibilities, and they're easy enough to work out in a table. (Review interval notation if you need to.) 90003 90503 90504 90505 90017 B 90018/2 90508 90509 Q I, (0 °; 90 °) 90510 90509 Q II, (90 °; 180 °) 90510 90509 Q III, (180 °; 270 °) 90510 90509 Q IV, (270 °; 360 °) 90510 90517 90504 90505 tan (90017 B 90018/2) 90508 90509 + 90510 90509 - 90510 90509 + 90510 90509 - 90510 90517 90504 90505 90017 B 90018 90508 90509 (0 °; 180 & deg), Q I or II 90510 90509 (180 °; 360 °), Q III or IV 90510 90509 (360 °; 540 °), Q I or II 90510 90509 (540 °; 720 °), Q III or IV 90510 90517 90504 90505 sin 90017 B 90018 90508 90509 + 90510 90509 - 90510 90509 + 90510 90509 - 90510 90517 90560 90002 Of course, you can ignore the whole matter of the sign of the sine and just assign the proper sign when you do the computation.90003 90002 Another question you may have about equation 62: what happens if cos 90017 B 90018 = -1, so that (1 + cos 90017 B 90018) = 0? Do not we have 90007 division by zero 90008 then? Well, take a little closer look at those circumstances. The angles 90017 B 90018 for which cos 90017 B 90018 = -1 are ± 180 °, ± 540 °, and so on. But in this case the half angles 90017 B 90018/2 are ± 90 °, ± 270 °, and so on: angles for which the tangent is not defined anyway. So the problem of division by zero never arises.90003 90002 And in the other formula, sin 90017 B 90018 = 0 is not a problem. Excluding the cases where cos 90017 B 90018 = -1, this corresponds to 90017 B 90018 = 0 °, ± 360 °, ± 720 °, etc. But the half angles 90017 B 90018/2 are 0 °, ± 180 °, ± 360 °, and so on. For all of them, tan (90017 B 90018/2) = 0, as you can verify from the second half of equation 62. 90003 90014 Practice Problems 90015 90002 To get the most benefit from these problems, work them without first looking at the solutions.Refer back to the chapter text if you need to refresh your memory. 90003 90002 90007 Recommendation 90008: Work them on paper - it's harder to fool yourself about whether you really understand a problem completely. 90003 90002 You'll find full solutions for all problems. Do not just check your answers, but check your method too. 90003 90002 1 Use the half-angle formulas to find sin 90 ° and cos 90 °. Of course you already know those; this problem is just for practice in working with the formulas and easy numbers.90003 90002 2Use the double-angle formulas to find sin 120 °, cos 120 °, and tan 120 ° exactly. Again, you already know these; you're just getting comfortable with the formulas. 90003 3 3 90017 A 90018 = 2 90017 A 90018 + 90017 A 90018. Use the double-angle formulas along with the formulas for sine or cosine of a sum to find formulas for sin 3 90017 A 90018 in terms of sin 90017 A 90018 only, and cos 3 90017 A 90018 in terms of cos 90017 A 90018 only. 90002 (This is actually done, in a later section, by using a different method.) 90003 90002 4 Given sin 3 90017 A 90018 = (3 - 4 sin² 90017 A 90018) sin 90017 A 90018 and cos 3 90017 A 90018 = (4 cos² 90017 A 90018 - 3) cos 90017 A 90018, find tan 3 90017 A 90018 in terms of tan 90017 A 90018 only. Check yourself by computing tan (2 90017 A 90018 + 90017 A 90018). 90003 90002 5 Find the sine, cosine, and tangent of π / 8, exactly. 90003 90014 BTW: Cool Proof of Double-Angle Formulas 90015 90002 I can not resist pointing out another cool thing about Sawyer's marvelous idea: you can also use it to prove the double-angle formulas directly.From Euler's formula for 90017 e 90018 90648 90017 i 90018 90017 x 90018 90653 you can immediately obtain the formulas for cos 2 90017 A 90018 and sin 2 90017 A 90018 without going through the formulas for sums of angles. Here's how. 90003 90002 Remember the laws of exponents: 90017 x 90018 90648 90017 a 90018 90017 b 90018 90653 = (90017 x 90018 90648 90017 a 90018 90653) 90648 90017 b 90018 90653. One important special case is that 90017 x 90018 90648 2 90017 b 90018 90653 = (90017 x 90018 90648 90017 b 90018 90653) ².Use that with Euler's formula: 90003 90002 cos 2 90017 A 90018 + i sin 2 90017 A 90018 = e 90648 i (2 90017 A 90018) 90653 90003 90002 cos 2 90017 A 90018 + i sin 2 90017 A 90018 = (e 90648 i 90017 A 90018 90653) ² 90003 90002 cos 2 90017 A 90018 + i sin 2 90017 A 90018 = (cos 90017 A 90018 + i sin 90017 A 90018) ² 90003 90002 cos 2 90017 A 90018 + i sin 2 90017 A 90018 = cos² 90017 A 90018 + 2i sin 90017 A 90018 cos 90017 A 90018 + i²sin² 90017 A 90018 90003 90002 cos 2 90017 A 90018 + i sin 2 90017 A 90018 = cos² 90017 A 90018 + 2i sin 90017 A 90018 cos 90017 A 90018 - sin² 90017 A 90018 90003 90002 cos 2 90017 A 90018 + i sin 2 90017 A 90018 = (Cos² 90017 A 90018 - sin² 90017 A 90018) + i (2 sin 90017 A 90018 cos 90017 A 90018) 90003 90002 Since the real parts on left and right must be equal, you have the formula for cos 2 90017 A 90018.Since the imaginary parts must be equal, you have the formula for sin 2 90017 A 90018. That's all there is to it. 90003 90014 BTW: Multiple-Angle Formulas 90015 90002 The above technique is even more powerful for deriving formulas for functions of 3 90017 A 90018, 4 90017 A 90018, or any multiple of angle 90017 A 90018. To derive the formulas for 90017 n 90018 90017 A 90018, expand the 90017 n 90018 th power of (cos 90017 A 90018 + i sin 90017 A 90018), then collect real and imaginary terms.90003 90002 This was inspired by a May 2009 reading of Paul Nahin's 90790 An Imaginary Tale: The Story of √-1 90791 (Princeton, 1998). 90003 90002 Just to show the method, I'll derive the functions of 3 90017 A 90018 and 4 90017 A 90018. You can try the brute-force approach of cos (90017 A 90018 + 2 90017 A 90018), sin (2 90017 A 90018 + 2 90017 A 90018), and so forth, and see how much effort my method saves. 90003 90807 Functions of 3 90017 A 90018 90810 90002 De Moivre's theorem tells us that 90003 90002 cos 3 90017 A 90018 + i sin 3 90017 A 90018 = (Cos 90017 A 90018 + i sin 90017 A 90018) ³ 90003 90002 Expand the right-hand side via the binomial theorem, remembering that i² = -1 and i³ = -i: 90003 90002 cos 3 90017 A 90018 + i sin 3 90017 A 90018 = cos³ A + 3 i cos² 90017 A 90018 sin 90017 A 90018 - 3 cos 90017 A 90018 sin² 90017 A 90018 - i sin³ A 90003 90002 Collect real and imaginary terms: 90003 90002 cos 3 90017 A 90018 + i sin 3 90017 A 90018 = (Cos³ 90017 A 90018 - 3 cos 90017 A 90018 sin² 90017 A 90018) + I (3 cos² 90017 A 90018 sin 90017 A 90018 - sin³ 90017 A 90018) 90003 90002 Set the real part on the left equal to the real part on the right to find the formula for cos 3 90017 A 90018: 90003 90002 cos 3 90017 A 90018 = cos³ 90017 A 90018 - 3 cos 90017 A 90018 sin² 90017 A 90018 90003 90002 It would be nice to have a formula that involves only cos 90017 A 90018, not sin 90017 A 90018.To get that, factor and then use sin² 90017 A 90018 = 1 - cos² 90017 A 90018: 90003 90002 cos 3 90017 A 90018 = cos 90017 A 90018 (cos² 90017 A 90018 - 3 sin² 90017 A 90018) 90003 90002 cos 3 90017 A 90018 = cos 90017 A 90018 (cos² 90017 A 90018 - 3 (1 - cos² 90017 A 90018)) 90003 90002 cos 3 90017 A 90018 = cos 90017 A 90018 (cos² 90017 A 90018 - 3 + 3 cos² 90017 A 90018) 90003 90002 cos 3 90017 A 90018 = cos 90017 A 90018 (4 cos² 90017 A 90018 - 3) 90003 90002 Going back to the formula with collected terms, set the imaginary part on the left equal to the real part on the right to find the formula for sin 3 90017 A 90018: 90003 90002 sin 3 90017 A 90018 = 3 cos² 90017 A 90018 sin 90017 A 90018 - sin³ 90017 A 90018 90003 90002 sin 3 90017 A 90018 = sin 90017 A 90018 (3 cos² 90017 A 90018 - sin² 90017 A 90018) 90003 90002 sin 3 90017 A 90018 = sin 90017 A 90018 (3 (1 - sin² 90017 A 90018) - sin² 90017 A 90018) 90003 90002 sin 3 90017 A 90018 = sin 90017 A 90018 (3 - 4 sin² 90017 A 90018) 90003 90002 The tangent formula is easy to get: just divide.But it turns out to be easier if you do not divide the final forms, but rather the "raw" collected terms from above: 90003 90002 sin 3 90017 A 90018 = 3 cos² 90017 A 90018 sin 90017 A 90018 - sin³ 90017 A 90018 90003 90002 cos 3 90017 A 90018 = cos³ 90017 A 90018 - 3 cos 90017 A 90018 sin² 90017 A 90018 90003 90002 tan 3 90017 A 90018 = sin 3 90017 A 90018 / cos 3 90017 A 90018 90003 90002 tan 3 90017 A 90018 = (3 cos² 90017 A 90018 sin 90017 A 90018 - sin³ 90017 A 90018) / (Cos³ 90017 A 90018 - 3 cos 90017 A 90018 sin² 90017 A 90018) 90003 90002 Factor top and bottom, then divide both by cos² 90017 A 90018: 90003 90002 tan 3 90017 A 90018 = (Sin 90017 A 90018 (3 cos² 90017 A 90018 - sin² 90017 A 90018)) / (Cos 90017 A 90018 (cos² 90017 A 90018 - 3 sin² 90017 A 90018)) 90003 90002 tan 3 90017 A 90018 = (Sin 90017 A 90018 (3 - tan² 90017 A 90018)) / (Cos 90017 A 90018 (1 - 3 tan² 90017 A 90018)) 90003 90002 tan 3 90017 A 90018 = (Sin 90017 A 90018 / cos 90017 A 90018) (3 - tan² 90017 A 90018) / (1 - 3 tan² 90017 A 90018) 90003 90002 tan 3 90017 A 90018 = tan 90017 A 90018 (3 - tan² 90017 A 90018) / (1 - 3 tan² 90017 A 90018) 90003 90002 (63) sin 3 90017 A 90018 = sin 90017 A 90018 (3 - 4 sin² 90017 A 90018) 90003 90002 cos 3 90017 A 90018 = cos 90017 A 90018 (4 cos² 90017 A 90018 - 3) 90003 90002 tan 3 90017 A 90018 = tan 90017 A 90018 (3 - tan² 90017 A 90018) / (1 - 3 tan² 90017 A 90018) 90003 90807 Functions of 4 90017 A 90018 90810 90002 It's no more work to find the functions of 4 90017 A 90018.Since the technique is similar, I'll just run through the steps without commentary. First, De Moivre's theorem: 90003 90002 cos 4 90017 A 90018 + i sin 4 90017 A 90018 = (Cos 90017 A 90018 + i sin 90017 A 90018) 90648 4 90653 90003 90002 cos 4 90017 A 90018 + i sin 4 90017 A 90018 = cos 90648 4 90653 90017 A 90018 + 4 i cos³ 90017 A 90018 sin 90017 A 90018 - 6 cos² 90017 A 90018 sin² 90017 A 90018 - 4 i cos 90017 A 90018 sin³ 90017 A 90018 + sin 90648 4 90653 90017 A 90018 90003 90002 cos 4 90017 A 90018 + i sin 4 90017 A 90018 = (Cos 90648 4 90653 90017 A 90018 - 6 cos² 90017 A 90018 sin² 90017 A 90018 + sin 90648 4 90653 90017 A 90018) + i (4 cos³ 90017 A 90018 sin 90017 A 90018 - 4 cos 90017 A 90018 sin³ 90017 A 90018) 90003 90002 Set the real parts equal to get cos 4 90017 A 90018: 90003 90002 cos 4 90017 A 90018 = cos 90648 4 90653 90017 A 90018 - 6 cos² 90017 A 90018 sin² 90017 A 90018 + sin 90648 4 90653 90017 A 90018 90003 90002 cos 4 90017 A 90018 = cos 90648 4 90653 90017 A 90018 - 6 cos² 90017 A 90018 sin² 90017 A 90018 + (sin² 90017 A 90018) ² 90003 90002 cos 4 90017 A 90018 = cos 90648 4 90653 90017 A 90018 - 6 cos² 90017 A 90018 (1 - cos² 90017 A 90018) + (1 - cos² 90017 A 90018) ² 90003 90002 cos 4 90017 A 90018 = cos 90648 4 90653 90017 A 90018 - 6 cos² 90017 A 90018 + 6 cos 90648 4 90653 90017 A 90018 + 1 - 2 cos² 90017 A 90018 + cos 90648 4 90653 90017 A 90018 90003 90002 cos 4 90017 A 90018 = 8 cos 90648 4 90653 90017 A 90018 - 8 cos² 90017 A 90018 + 1 90003 90002 Set the imaginary parts equal to get sin 4 90017 A 90018: 90003 90002 sin 4 90017 A 90018 = 4 cos³ 90017 A 90018 sin 90017 A 90018 - 4 cos 90017 A 90018 sin³ 90017 A 90018 90003 90002 sin 4 90017 A 90018 = 4 sin 90017 A 90018 cos 90017 A 90018 (cos² 90017 A 90018 - sin² 90017 A 90018) 90003 90002 sin 4 90017 A 90018 = 4 sin 90017 A 90018 cos 90017 A 90018 (1 - sin² 90017 A 90018 - sin² 90017 A 90018) 90003 90002 sin 4 90017 A 90018 = 4 sin 90017 A 90018 cos 90017 A 90018 (1 - 2 sin² 90017 A 90018) 90003 90002 Unfortunately, the first power of cos 90017 A 90018 can not be changed to something involving only sin 90017 A 90018.Or rather, it 91294 can 91295, but at a cost. cos 90017 A 90018 would be replaced with ± √1 - sin² 90017 A 90018, and we'd have to figure out the proper sign every time. 90003 90002 Now the tangent formula: 90003 90002 tan 4 90017 A 90018 = sin 4 90017 A 90018 / cos 4 90017 A 90018 90003 90002 tan 4 90017 A 90018 = (4 cos³ 90017 A 90018 sin 90017 A 90018 - 4 cos 90017 A 90018 sin³ 90017 A 90018) / (Cos 90648 4 90653 90017 A 90018 - 6 cos² 90017 A 90018 sin² 90017 A 90018 + sin 90648 4 90653 90017 A 90018) 90003 90002 Divide top and bottom by cos 90648 4 90653 A: 90003 90002 tan 4 90017 A 90018 = (4 tan 90017 A 90018 - 4 tan³ 90017 A 90018) / (1 - 6 tan² 90017 A 90018 + tan 90648 4 90653 90017 A 90018) 90003 90002 There are several possibilities for simplifying this formula, but no one that's clearly superior to the others, so I'll just factor tan 90017 A 90018 from the top of the fraction: 90003 90002 tan 4 90017 A 90018 = 4 tan 90017 A 90018 (1 - tan² 90017 A 90018) / (1 - 6 tan² 90017 A 90018 + tan 90648 4 90653 90017 A 90018) 90003 90002 (64) sin 4 90017 A 90018 = 4 sin 90017 A 90018 cos 90017 A 90018 (1 - 2 sin² 90017 A 90018) 90003 90002 cos 4 90017 A 90018 = 8 cos 90648 4 90653 90017 A 90018 - 8 cos² 90017 A 90018 + 1 90003 90002 tan 4 90017 A 90018 = 4 tan 90017 A 90018 (1 - tan² 90017 A 90018) / (1 - 6 tan² 90017 A 90018 + tan 90648 4 90653 90017 A 90018) 90003 90002 next: 9 / Inverse Functions 90003 .90000 Trigonometric Identities | Purplemath 90001 90002 Purplemath 90003 90004 In mathematics, an "identity" is an equation which is always true. These can be "trivially" true, like "90005 x 90006 = 90005 x 90006" or usefully true, such as the Pythagorean Theorem's "90005 a 90006 90011 2 90012 + 90005 b 90006 90011 2 90012 = 90005 c 90006 90011 2 90012" for right triangles.There are loads of trigonometric identities, but the following are the ones you're most likely to see and use. 90021 90004 Basic & Pythagorean, Angle-Sum & -Difference, Double-Angle, Half-Angle, Sum, Product 90021 90002 MathHelp.com 90003 90004 Need a custom math course? 90027 K12 | College | Test Prep 90021 90029 90030 90031 90005 Basic and Pythagorean Identities 90006 90034 90004 Notice how a "co- (something)" trig ratio is always the reciprocal of some "non-co" ratio.You can use this fact to help you keep straight that cosecant goes with sine and secant goes with cosine. 90021 90004 The following (particularly the first of the three below) are called "Pythagorean" identities. 90021 90004 sin 90011 2 90012 (90005 t 90006) + cos 90011 2 90012 (90005 t 90006) = 1 90021 90004 tan 90011 2 90012 (90005 t 90006) + 1 = sec 90011 2 90012 (90005 t 90006) 90021 90004 1 + cot 90011 2 90012 (90005 t 90006) = csc 90011 2 90012 (90005 t 90006) 90021 90004 Note that the three identities above all involve squaring and the number 1.You can see the Pythagorean-Thereom relationship clearly if you consider the unit circle, where the angle is 90005 t 90006, the "opposite" side is sin (90005 t 90006) = 90005 y 90006, the "adjacent" side is cos (90005 t 90006) = 90005 x 90006, and the hypotenuse is 1. 90021 90004 We have additional identities related to the functional status of the trig ratios: 90021 90004 sin (90005 -t 90006) = 90005 - 90006 sin (90005 t 90006) 90021 90004 cos (90005 -t 90006) = cos (90005 t 90006) 90021 90004 tan (90005 -t 90006) = 90005 - 90006 tan (90005 t 90006) 90021 90004 Notice in particular that sine and tangent are odd functions, being symmetric about the origin, while cosine is an even function, being symmetric about the 90005 y 90006 -axis.The fact that you can take the argument's "minus" sign outside (for sine and tangent) or eliminate it entirely (for cosine) can be helpful when working with complicated expressions. 90021 90030 90031 90005 Angle-Sum and -Difference Identities 90006 90034 90004 sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) 90021 90004 sin (α - β) = sin (α) cos (β) - cos (α) sin (β) 90021 90004 cos (α + β) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) 90021 90004 cos (α - β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) 90021 90004 90021 90004 By the way, in the above identities, the angles are denoted by Greek letters.The a-type letter, "α", is called "alpha", which is pronounced "AL-fuh". The b-type letter, "β", is called "beta", which is pronounced "BAY-tuh". 90021 90030 90031 90005 Double-Angle Identities 90006 90034 90004 sin (2 90005 x 90006) = 2 sin (90005 x 90006) cos (90005 x 90006) 90021 90004 cos (2 90005 x 90006) = cos 90011 2 90012 (90005 x 90006) - sin 90011 2 90012 (90005 x 90006) = 1 - 2 sin 90011 2 90012 (90005 x 90006) = 2 cos 90011 2 90012 (90005 x 90006) - 1 90021 90004 90021 90030 90031 90005 Half-Angle Identities 90006 90034 90004 The above identities can be re-stated by squaring each side and doubling all of the angle measures.The results are as follows: 90021 90004 sin 90011 2 90012 (90005 x 90006) = ½ [1 - cos (2 90005 x 90006)] 90021 90004 cos 90011 2 90012 (90005 x 90006) = ½ [1 + cos (2 90005 x 90006)] 90021 90004 90021 90030 90004 Affiliate 90021 90189 90030 90031 90005 Sum Identities 90006 90034 90030 90031 90005 Product Identities 90006 90034 90004 You will be using all of these identities, or nearly so, for proving other trig identities and for solving trig equations.However, if you're going on to study calculus, pay particular attention to the restated sine and cosine half-angle identities, because you'll be using them a 90005 lot 90006 in integral calculus. 90021 90030 90004 URL: https://www.purplemath.com/modules/idents.htm 90021 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.