Косинус свойства функции: Свойства функции y = cosx и её график — урок. Алгебра, 11 класс.

В частности, поскольку график синуса можно рассматривать как график косинуса, сдвинутый на \(\frac{\pi}{2}\) единиц вправо, отсюда следует, что для любого значения \(t\text{,}\ )

\[ \sin(t) = \cos(t-\frac{\pi}{2})\text{.} \nonumber \]

Аналогично, поскольку косинусоидальный график можно рассматривать как синусоидальный сдвинут влево,

\[ \cos(t) = \sin(t + \frac{\pi}{2})\text{. } \nonumber \] 92(t) = 1\text{.} \nonumber \]

На графиках двух функций есть дополнительные тенденции и шаблоны, которые мы рассмотрим подробнее в следующем упражнении.

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Используйте Рисунок \(\PageIndex{12}\) , чтобы ответить на следующие вопросы.

1. Приведите пример наибольшего из найденных интервалов, на котором \(f(t) = \sin(t)\) убывает.
2. Приведите пример наибольшего интервала, который вы можете найти, на котором \(f(t) = \sin(t)\) убывает и вогнут вниз.
3. Приведите пример наибольшего из найденных интервалов, на котором \(g(t) = \cos(t)\) возрастает.
4. Приведите пример наибольшего интервала, который вы можете найти, на котором \(g(t) = \cos(t)\) возрастает и вогнут вверх.
5. Без каких-либо вычислений, на каком интервале средняя скорость изменения \(g(t) = \cos(t)\) больше: \([\pi, \pi+0,1]\) или \([\ frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} + 0. 1]\text{?}\) Почему?
6. Как бы вы в целом охарактеризовали места на графиках синуса и косинуса, где функции возрастают или убывают быстрее всего?
7. Думая с точки зрения единичного круга, для которого квадранты плоскости \(x\)-\(y\) \(\cos(t)\) отрицательны для угла \(t\), лежащего в этом квадрант?

Используя вычислительную технику

Мы установили, что знаем точное значение \(\sin(t)\) и \(\cos(t)\) для любого из \(t\)-значений в таблице 2.3. .6, а также для любых таких \(t \pm 2j\pi\text{,}\), где \(j\) — целое число, в силу периодичности функций. Но что, если мы хотим узнать \(\sin(1.35)\) или \(\cos(\frac{\pi}{5})\) или значения для других входных данных, которых нет в таблице?

Любое стандартное вычислительное устройство, такое как научный калькулятор, Desmos , Geogebra или WolframAlpha , имеет возможность вычислять функции синуса и косинуса при любом входном сигнале, который мы пожелаем. Поскольку ввод рассматривается как угол, каждое вычислительное устройство может учитывать угол в радианах или градусах. Всегда важно знать, какой тип ввода ожидает ваше устройство. Наше вычислительное устройство — Desmos 9.0049 . В Desmos вы можете изменить тип ввода между радианами и градусами, щелкнув значок гаечного ключа в правом верхнем углу и выбрав нужные единицы измерения. Радианная мера используется по умолчанию.

Чтобы вычислительное устройство могло вычислить синусоидальную и косинусную функции при любом желаемом значении, требуется основательная и сложная математика; алгоритмы включают идею исчисления, известную как бесконечный ряд. Несмотря на то, что ваше вычислительное устройство является мощным, полезно и важно понимать значение этих значений на единичной окружности и помнить специальные точки, для которых мы точно знаем выходные значения функций синуса и косинуса.

Activity \(\PageIndex{4}\)

По возможности точно ответьте на следующие вопросы. Если вы оцениваете значение, делайте это с точностью не менее \(5\) знаков после запятой.

1. Координата \(x\) точки на единичной окружности, лежащей в третьем квадранте и координата \(y\) которой равна \(y = -\frac{3}{4}\text{. }\)
2. \(y\)-координата точки на единичной окружности, образованной центральным углом в стандартном положении, который измеряет \(t = 2\) радиан.
3. \(x\)-координата точки на единичной окружности, образованной центральным углом в стандартном положении, который измеряет \(t = -3,05\) радиан.
4. Значение \(\cos(t)\), где \(t\) — угол в квадранте II, удовлетворяющий условию \(\sin(t) = \frac{1}{2}\text{.}\)
5. Значение \(\sin(t)\), где \(t\) — угол в квадранте III, для которого \(\cos(t) = -0,7\text{.}\)
6. Средняя скорость изменения \(f(t) = \sin(t)\) на интервалах \([0,1,0,2]\) и \([0,8,0,9]\текст{.}\)
7. Средняя скорость изменения \(g(t) = \cos(t)\) на интервалах \([0.1,0.2]\) и \([0.8,0.9]\text{.}\)

Резюме

• Функции синуса и косинуса являются результатом отслеживания \(y\)- и \(x\)-координат точки, пересекающей единичный круг против часовой стрелки от \((1,0)\text{.} \) Значением \(\sin(t)\) является \(y\)-координата точки, прошедшей \(t\) единиц по окружности из \((1,0)\) (или эквивалентно, что соответствует углу \(t\) радиан), а значение \(\cos(t)\) является \(x\)-координатой той же точки.
• Функции синуса и косинуса являются периодическими функциями, которые имеют одну и ту же область определения (множество всех действительных чисел), диапазон (интервал \([-1,1]\)), среднюю линию (\(y = 0\)) , амплитуда (\(a = 1\)) и период (\(P = 2\pi\)). Кроме того, функция синуса представляет собой горизонтальный сдвиг функции косинуса на \(\frac{\pi}{2}\) единиц вправо, поэтому \(\sin(t) = \cos(t-\frac{\ pi}{2})\) для любого значения \(t\text{.}\)
• Если \(t\) соответствует одному из известных нам специальных углов на единичной окружности (как на рис. 2.3.1), мы можем вычислить значения \(\sin(t)\) и \(\cos (т)\) точно. Для других значений \(t\text{,}\) мы можем использовать вычислительное устройство для оценки значения любой функции при данном входе; когда мы это делаем, мы должны позаботиться о том, в каких единицах мы вычисляем: в радианах или в градусах.

Упражнения

5.

Без использования вычислительного устройства определите точное значение каждой из следующих величин. 2(t)\)

Эта страница под названием 2.3: Функции синуса и косинуса распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Мэтью Болкинсом, Дэвидом Остином и Стивеном Шликером (ScholarWorks @Grand Valley State University) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Активное исчисление

   Лицензия

   CC BY-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@https://activecalculus. org/prelude

Косинус: определения и примеры — Club Z! Tutoring

Косинус — это фундаментальная математическая функция, встречающаяся в различных областях математики, физики и техники. Это одна из трех основных тригонометрических функций, наряду с синусом и тангенсом, и обозначается символом «cos». Функция косинуса связывает отношение прилежащей стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе. Он имеет множество приложений в таких областях, как геометрия, обработка сигналов и обработка изображений.

Функция косинуса определяется как отношение прилежащей стороны к гипотенузе прямоугольного треугольника. Это определение подразумевает, что функция косинуса принимает значения от -1 до 1 включительно. Функция косинуса может быть определена с помощью единичного круга, который представляет собой круг радиуса один с центром в начале координат на декартовой плоскости. Косинус угла? является координатой x точки на единичной окружности, полученной поворотом на угол ? против часовой стрелки от положительной оси x.

Одним из существенных свойств функции косинуса является ее периодичность. Функция косинуса повторяется через каждые 2? радианы или 360 градусов. Это свойство делает функцию косинуса полезной для описания периодических явлений, таких как колебания, волны и циклические процессы. Функция косинуса также является четной функцией, что означает, что cos(-?) = cos(?) для любого угла ?.

Функция косинуса имеет несколько фундаментальных тождеств, вытекающих из ее определения и свойств. Наиболее фундаментальным тождеством является тождество Пифагора, которое связывает функцию косинуса с функцией синуса и определяется как: 92(?) = 1

Это тождество получено из теоремы Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов смежных и противоположных сторон прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Другим существенным тождеством является четно-нечетное тождество, которое связывает функцию косинуса с ее четностью и задается формулой: ось, которая является вертикальной осью, проходящей через начало координат.

Функция косинуса имеет несколько применений в различных областях математики и естественных наук. В геометрии функция косинуса используется для нахождения длины прилежащей или противоположной стороны прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу. Функция косинуса также используется для нахождения углов между двумя векторами в евклидовом пространстве, где скалярное произведение двух векторов выражается как произведение их величин и косинуса угла между ними.

При обработке сигналов функция косинуса используется для представления периодических сигналов, таких как звуковые волны, электрические сигналы и электромагнитные волны. Ряд Фурье, представляющий собой математический инструмент, используемый для представления периодических сигналов в виде суммы функций синуса и косинуса, основан на свойствах функции косинуса. Функция косинуса также используется в цифровой обработке сигналов для представления сигналов дискретного времени в виде суммы функций косинуса с разными частотами и амплитудами.

При обработке изображений функция косинуса используется в дискретном косинусном преобразовании (DCT) — математическом методе, используемом для сжатия и распаковки цифровых изображений. ДКП преобразует двумерное изображение в сумму косинусоидальных функций с разными частотами и амплитудами, где низкочастотные составляющие содержат большую часть энергии изображения, а высокочастотные составляющие — большую часть деталей. DCT широко используется в таких стандартах сжатия изображений и видео, как JPEG, MPEG и H.264.

В заключение, функция косинуса является фундаментальной математической функцией с многочисленными приложениями в различных областях математики, физики и техники. Это одна из основных тригонометрических функций, определяемая как отношение прилежащей стороны к гипотенузе прямоугольного треугольника.

Косинус угла определяется как отношение длины прилежащей стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе. Другими словами, косинус — это функция, которая связывает угол с отношением двух сторон треугольника.