Котангенс ряд тейлора: Котангенс в нуле в ряд тейлора : Анализ-I

Котангенс в нуле в ряд тейлора : Анализ-I

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

 
never-sleep 

 Котангенс в нуле в ряд тейлора

10. 01.2012, 14:52 

27/11/11
153

Нужно разложить в ряд Тейлора в окрестности с точностью до

В лоб по формуле Тейлора — не получается, ибо не определено

Тут дело в том, что приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, мы получим при
равенство

Мне кажется, что это все связано с неопред. котангенса в нуле…

Появилась идея разложить тангенс в нуле, а потом воспользоваться тем, что
и раскладывать в Тейлора так, но мне не нравится эта затея…

Может подскажете — как быть?)


   

                  

Nemiroff 

 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора

10. 01.2012, 14:58 

Заслуженный участник

20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ

Ну вообще, котангенс в нуле издалека напоминает бесконечность, так что странно ждать нормального значения у него при нулевой степени.
Добавьте, что ли, еще минус первую степень икса в неопределенное разложение котангенса.


   

                  

never-sleep 

 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора

10.

01.2012, 15:00 

27/11/11
153

Nemiroff в сообщении #525264 писал(а):

Ну вообще, котангенс в нуле издалека напоминает бесконечность, так что странно ждать нормального значения у него при нулевой степени.
Добавьте, что ли, еще минус первую степень икса в неопределенное разложение котангенса.

Ок, спасибо! А как вы до этого догадались и как это можно обосновать, что мы должны добавлять отрицательные степени? А почему только минус первую? А может еще нужно минус вторую?

Как в аналогичных примерах действовать)

Есть ли еще подобные функции, где с такими подвохами нужно бороться?!


   

                  

PAV 

 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора

10. 01.2012, 15:02 

Супермодератор

29/07/05
8248
Москва

Рассмотрите произведение — особенность в нуле исчезнет.


   

                  

Nemiroff 

 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора

10. 01.2012, 15:08 

Заслуженный участник

20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ

Разделил косинус на синус, вынес из синус одну степень икса и разложил знаменатель.


   

                  

svv 

 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора

10. 01.2012, 15:16 

Заслуженный участник

23/07/08
9562
Crna Gora

never-sleep писал(а):

Есть ли еще подобные функции, где с такими подвохами нужно бороться?!

Нужно всё-таки иметь в виду, что исходное задание — разложить котангенс в ряд Тейлора в нуле — невыполнимо. Ни сама функция, ни её производные в этой точке не определены. Если Вам дано такое задание, Вы вправе просто объяснить его некорректность и больше ничего.

Вообще, полезно помнить, что не любую функцию и не в любой точке можно разложить в ряд Тейлора.

Все дальнейшие советы проистекают из стремления представить функцию в нуле хоть как-то, раз нельзя с помощью ряда Тейлора. Или — Тейлором, но несколько другую функцию (). Но это уже другие задачи.


   

                  

never-sleep 

 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора

10.01.2012, 18:21 

27/11/11
153

PAV в сообщении #525269 писал(а):

Рассмотрите произведение — особенность в нуле исчезнет.

Ок, спасибо, понятно)

— 10.01.2012, 18:25 —

Nemiroff в сообщении #525273 писал(а):

Разделил косинус на синус, вынес из синус одну степень икса и разложил знаменатель.

Спасибо) Я понял так)

Правильно?

— 10.01.2012, 18:30 —

svv в сообщении #525275 писал(а):

Нужно всё-таки иметь в виду, что исходное задание — разложить котангенс в ряд Тейлора в нуле — невыполнимо. Ни сама функция, ни её производные в этой точке не определены. Если Вам дано такое задание, Вы вправе просто объяснить его некорректность и больше ничего.

Вообще, полезно помнить, что не любую функцию и не в любой точке можно разложить в ряд Тейлора.

Все дальнейшие советы проистекают из стремления представить функцию в нуле хоть как-то, раз нельзя с помощью ряда Тейлора. Или — Тейлором, но несколько другую функцию (). Но это уже другие задачи.

Ок, спасибо, теперь понятнее. В ряде тейлора вроде как нет отрицательных степеней…видимо поэтому это разложение и нельзя назвать рядом тейлора.


   

                  

SpBTimes 

 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора

10.01.2012, 19:10 

Заслуженный участник

18/12/10
1600
spb

Лоран, если хотите


   

                  

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
   Страница 1 из 1
 [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы


Ряд Тейлора.

Разложение функции в ряд Тейлора.

Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.


Поиск на сайте DPVA

Поставщики оборудования

Полезные ссылки

О проекте

Обратная связь

Ответы на вопросы.

Оглавление

Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник



Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Степенные ряды Тейлора, Маклорена (=Макларена) и периодический ряд Фурье. Разложение функций в ряды. / / Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Поделиться:   

Ряд Тейлора.

Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1), где f(x) — функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn — остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

  1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
  2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от  linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

исчисление — ряд Тейлора для $\cot x$

спросил

Изменено 2 года назад

Просмотрено 34к раз

$\begingroup$

Привет, ребята, не могли бы вы показать мне, как разложить ряд Тейлора $\cot x $ в точке $x=0$. 6)) \ приблизительно 1 / х-х / 3, $ $ 92×загар х)}$$ $$= \frac{-1}{(3×(\frac{tan x}{x})}$$

Надеюсь, поможет!!!

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

исчисление — ряд Тейлора для $f(x)=\cot(x)$

спросил

Изменено 6 лет, 9 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Попытка расширить $f(x)=\cot(x)$ до ряда Тейлора (точнее, Маклорена). Но я продолжаю «складывать» бесконечности при использовании формулы. (Из-за $\cot(0)=\infty$) Не могли бы вы подсказать, как действовать дальше?

  • исчисление
  • разложение Тейлора

$\endgroup$

$\begingroup$

Функция $\cot x$ не является непрерывной в нуле и, следовательно, не имеет ряда по степеням вокруг нуля.

Если вы знакомы со сложным анализом, вам следует вместо этого искать ряд Лорана $\cot z$ при $z=0$.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Поскольку $f$ не определено в $0$, его ряд Маклорена не определен.

С другой стороны, полюс $f$ в точке $0$ прост, и нетрудно вычислить, что вычет $f$ там равен $1$, поэтому можно вычислить ряд Маклорена для $\cot x — \frac{1}{x}$ там, а именно, $$\cot x — \frac{1}{x} \sim -\frac{1}{3} x — \frac{1}{45} x^3 — \cdots .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *