Метод Крамера в Scilab | Презентация к уроку по информатике и икт на тему:
Слайд 1
Авторы проекта: Зыбина А.С. Пашикина С.И . Решение систем линейных уравнений с несколькими неизвестными методом Крамера в программе Scilab . Интегрированное занятие для дисциплин информатика и математика в СПО.
Слайд 2
Основные понятия Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: где — неизвестные, — коэффициенты ( ), — свободные члены. Тройка чисел называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными , если при подстановке их в уравнения системы вместо получают верные числовые равенства. Если система трёх линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной . Если система трёх линейных уравнений решений не имеет, то она называется несовместной . Если система трёх линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют определенной ; если решений больше одного, то – неопределенной .
Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной , в противном случае – неоднородной .
Слайд 3
Метод Крамера Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: (1) в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а определители получаются из определителя системы ∆ посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов. Теорема (правило Крамера ). Если определитель системы ∆≠0 , то рассматриваемая система (1) имеет одно и только одно решение, причём
Слайд 4
Решите систему методом Крамера : Решение: Вычислим определитель системы: Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера . Составим и вычислим необходимые определители :
Слайд 5
Решим систему методом Крамера : Находим неизвестные по формулам Крамера : Ответ:
Слайд 6
Решение систем линейных уравнений в программе SCILAB Для решения подобных систем уравнений в Scilab существует функция linsolve .
Обращение к ней выглядит следующим образом: linesolve ( K,k ) . K — таблица, составленная из коэффициентов уравнений системы, причем она сформирована таким образом, что каждая строка представляет собой список коэффициентов одного из уравнений системы, а каждый столбец — список коэффициентов при одноименных переменных, то есть если первым элементом в первой строке является коэффициент при y , то первыми элементами других строк также должны быть коэффициенты при y в соответствующих уравнениях. Общий вид K : K =
Слайд 7
Для решаемой системы: К= k — столбец, содержащий свободные (стоящие после знака «=») коэффициенты. Примечание: при задании в Scilab k должен быть именно столбцом , поэтому перечисление переменных нужно делать через «;» Общий вид: Для решаемой системы k = к = :
Слайд 8
После того как элементы списков K и k определены, приступим к решению системы в Scilab
Слайд 10
Второй корень ( 5.888D-16 ) нужно округлить. Получится 0. Таким образом, решение системы принимает вид: (4; 0; -1).
Для проверки можно посчитать детерминанты (определители) матриц отдельно. Процесс будет более длительным. Рассмотрим такой способ решения.
Слайд 12
Задание для самостоятельной работы : решить систему уравнений с помощью системы Scilab и проверить полученное решение вручную.
математических слов: правило Крамера
математических слов: правило Крамера
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Правило Крамера может только
использоваться, когда система
является квадратным, а коэффициент
матрица обратима.правило Крамера для двух уравнений
Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными мы используем следующие правила.
Правило 1 :
Если ∆ ≠ 0. Тогда система имеет единственное решение, и мы можем решить уравнения, используя формулу
x = ∆ₓ/∆, y = ∆ᵧ/∆
Правило 2:
IF
∆ = 0 и ∆ₓ = 0, ∆ᵧ = 0
и не менее одного из коэффициентов. 11 , a 12 , a 21 , a 22 отличны от нуля, то система непротиворечива и имеет бесконечно много решений.
Правило 3 :
Если ∆ = 0 и хотя бы одно из значений ∆ₓ, ∆ᵧ отлично от нуля, то система несовместна и не имеет решения.
Пример 1:
Решение следующего уравнения с использованием детерминантного метода
x + 2y = 3, x + y = 2
Решение:
rap the grade x x
.
Здесь Δ ≠ 0, Δx ≠ 0 и Δy ≠ 0.
Итак, система совместная и имеет единственное решение.
x = Δx/Δ и y = Δy/Δ
x = -1/(-1) ==> 1
x = -1/(-1) ==> 1
Следовательно, решение ( 1, 1).
Пример 2:
Решение следующего уравнения с использованием детерминантного метода
3x + 2y = 5 и x + 3y = 4
Раствор:
.
Итак, система непротиворечива и имеет единственное решение.
x = Δx/Δ и y = Δy/Δ
x = 7/7 ==> 1
x = 7/7 ==> 1
Следовательно, решение (1, 1).
Пример 3:
Решите следующее уравнение методом определителя
x + 2y = 3 и 2x + 4y = 8
Решение :
Здесь Δ = 0, но Δx ≠ 0.
Итак, система противоречива нет решения.
Пример 4:
Решите следующее уравнение с использованием метода детерминантов
x + 2y = 3 и 2x + 4y = 6
Решение:
с ∆ 0, 0,018. ∆ 0,018 ∆ 0, 0,0186 ∆ 0, 0,0186. ᵧ = 0 и хотя бы один из элементов в ∆ не равен нулю.
Тогда система совместна и имеет бесконечно много решений. Приведенная выше система сводится к одному уравнению.
Чтобы решить это уравнение, мы должны присвоить y = k.
x+2y = 3
x+2(k) = 3
x+2k = 3
x = 3-2k и y = k
Итак, решение (3-2k, k) . Здесь k ∈ R, где R — действительные числа.
Пример 5 :
Решите следующее уравнение методом определителя
2x+4y = 6, 6x+12y = 24
Решение:
Здесь ∆ = 0, но ∆ ₓ ≠ 0, тогда система непротиворечива и не имеет решения.
Пример 6:
Решите следующее уравнение, используя метод детерминанта
2x+y = 3 и 6x+3y =
Решение:
с тех пор ∆ 0, 0,018 ∆ 0, 0,018. ∆ 0,018. ᵧ = 0 и хотя бы один из элементов в ∆ не равен нулю. Тогда система совместна и имеет бесконечно много решений. Приведенная выше система сводится к одному уравнению. Чтобы решить это уравнение, мы должны присвоить y = k.
2x+y = 3
2x+K = 3
2x+K = 3
2x = 3-K
x = (3-K)/2
.