3.4 Кривые второго порядка
Всякая кривая второго порядка относительно декартовых координат задается уравнением:
, (18)
Где – константы.
Это уравнение задает окружность, эллипс, параболу или гиперболу в зависимости от соотношений между его коэффициентами. Например, если в уравнении и , то оно является уравнением окружности.
Если уравнение (18) разлагается на два линейных множителя, то в этом случае оно определяет пару прямых, которые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.
Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки плоскости, называемой ее центром.
Каноническое уравнение окружности имеет вид:
, (19)
Где – координаты центра, а – радиус окружности.
Пример 1. Найти центр и радиус окружности .
Решение. Выделяя полные квадраты по и по , приведем уравнение к виду , откуда, сравнивая с (19), находим и .
Пример 2. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки , , .
Решение. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через середины хорд. Точка – середина хорды , а – середина и , . Уравнения перпендикуляров к хордам и , проходящих через их середины, имеют вид: и или и . Точка пересечения этих прямых .
Для нахождения радиуса найдем расстояние между точками и : . Запишем уравнение окружности: .
Определение. Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение эллипса:
, (20)
Где – большая полуось, – малая полуось, – эксцентриситет эллипса.
Прямую, на которой расположены фокусы эллипса , называют фокальной осью, а и – фокальными радиусами.
Прямые называют директрисами эллипса.
Пример 3. Убедитесь, что уравнение определяет эллипс.
Найдите полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис.
Решение. Приведем уравнение к каноническому виду , откуда , . Из условия найдем , то есть . Тогда , а уравнение директрис .
Пример 4. Доказать, что уравнение определяет эллипс. Найти координаты его центра симметрии.
Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты по и по :
.
Обозначим , где – новые переменные. Тогда уравнение примет вид или, приводя к каноническому виду, . Сравнивая полученное уравнение с уравнением (20) убеждаемся, что кривая – эллипс. Центр его симметрии находится в точке .
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек и плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы:
, (21)
Где .
Точки , называются вершинами гиперболы, прямые являются асимптотами гиперболы, – действительная полуось, – мнимая полуось, – эксцентриситет гиперболы, прямые – ее директрисы.
Пример 5. Написать уравнение гиперболы и ее асимптот, если фокусы гиперболы находятся в точках и длина вещественной оси равна 6.
Решение. По условию , тогда из формулы найдем . Каноническое уравнение гиперболы: уравнения асимптот: .
Пример 6. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку , асимптоты которой .
Решение. Из уравнения асимптот следует, что . Уравнение гиперболы будем искать в виде . Так как точка лежит на гиперболе, то . Решая систему найдем , . Получаем или .
Пример 7. Доказать, что уравнение определяет гиперболу. Написать уравнения ее асимптот.
Решение. Выделим полные квадраты по и по :
или
. Обозначая и деля обе части уравнения на 9, получим каноническое уравнение , откуда следует, что , центр находится в точке то есть . Учитывая, что асимптоты проходят через точку и , запишем их уравнения: или .
Определение.
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы
, (22)
Где (параметр параболы) – расстояние между фокусом и директрисой, а уравнение ее директрисы .
Так как уравнение параболы содержит , то она симметрична относительно оси . Ось симметрии параболы называется осью параболы.
Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии.
Пример 8. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее каноническое уравнение.
Решение. Подставляя координаты точки в уравнение (22), найдем, что . Значит, уравнение параболы .
Пример 9. Доказать, что уравнение определяет параболу. Найти значение ее параметра и координаты вершины.
Решение. Выделяя полный квадрат, получим .
Если положить то уравнение примет вид . Сравнивая его с каноническим уравнением (22), находим , откуда . Вершина параболы находится в точке , , то есть .
Для самостоятельного решения.
1. Найти координаты центра и радиус окружности .
Ответ: , .
2. Составить уравнение окружности, если она проходит через точки и , а центр ее лежит на прямой .
Ответ: .
3. Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.
Ответ: 16.
4. Составить уравнение хорды параболы , которая проходит через ее вершину перпендикулярно прямой .
Ответ: .
5. На параболе найти точку , ближайшую к прямой , и вычислить расстояние от точки до прямой.
Ответ: .
6. Найти площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой .
Ответ: 12.
7. Дана окружность . Найти уравнение радиусов, проведенных из центра в точки пересечения окружности с осью ординат, а также угол между этими радиусами.
Ответ: .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
§ 3. Кривые второго порядка
Литература: (1, с.135-149; 2, с. 120-138; 3, с. 52-64; 4, с. 52-64)
Определение кривой второго порядка
Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае это уравнение имеет вид:
(18)
где коэффициент – действительные числа и хотя бы одно из чисел А, В или С отлично от нуля.
К кривым второго порядка относятся линии: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Окружность
Окружностью
называется совокупность точек,
равноудалённых от одной и той же точки,
называется центром.
Уравнение окружности
имеет вид:
(19)
где — координаты центра окружности, а- радиус окружности.Пример 1. Составить уравнение окружности, которая проходит через точку и её центр находится в точке.
Решение. Воспользуемся формулой (19). Имеем ;. Найдём радиус окружности
. Тогда уравнение окружности имеет вид:
Эллипс
Эллипсом называется совокупность точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называется фокусами, есть величина постоянная. Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:
(20)
где — большая.- малая полуоси эллипса (рис. 6)
— фокусное расстояние.
Связь между ,иопределяется формулой:
(21)
(22)
Для эллипса
,
так как.
Фокусы эллипса лежат на большой оси.
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и.
Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид (20): . Так как точкиилежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют уравнению (20).
Имеем:
Решая систему получим: ,. Следовательно, уравнение эллипса имеет вид:.
Гипербола
Гиперболой называется совокупность точек, разность расстояний которых до двух данных точек, называется фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
(23)
где — вещественная,- мнимая полуоси (рис. 7).
— фокусное расстояние. Связь между ,иопределяется соотношением:
(24)
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых:
(25)
Отношение
называется эксцентриситетом гиперболы.
Фокусы гиперболы расположены на
действительной оси.
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку , зная, что её эксцентриситет равен.
Решение. Такая точка М лежит на гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению гиперболы. Подставив ,в уравнение (23), получим. Так как эксцентриситет, то по условию получим, или. Используя формулу (24), имеем. Следовательно,. Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид.
Парабола
Параболой называется совокупность точек, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы:
(26)
где — параметр,, определяет расстояние от фокусадо директрисы(рис. 8)
Другие виды
уравнений параболы (рис.
9)
Пример 4. Парабола симметрична оси Ох, проходит через точку , а вершина его лежит в начале координат. Составить её уравнение.
Решение. Так как парабола проходит через точку с положительной абсциссой, а её осью служит ось Ох, то уравнение параболы имеет вид. Подставив координаты тачки А в это уравнение, получим,. Следовательно, искомое уравнение имеет вид.
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому
Общее уравнение линии второго порядка имеет вид (18).
Задача упрощения такого уравнения состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении, были устранены: 10 член, содержащий произведение текущих координат, и 2) члены, содержащие первые степени двух координат или, по крайней мере, одной из них.
Рассмотрим случай
упрощения уравнения кривой второго
порядка, когда оно не содержит произведения
текущих координат, т.
е. имеет вид:
.
Путём дополнения до полного квадрата
и параллельного переноса такое уравнение
сводится к одному из канонических
уравнений.
Пример 5. Какую линию определяет уравнение ?
Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:
,
Обозначим: ,.
Тогда уравнение в новой системе с центром в точкепримет вид:, или.
Таким образом, заданная кривая является эллипсом (рис. 10).
Пример 6. Какую линию определяет уравнение
Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:
;
; .
Обозначим: ,.
Тогда уравнение в системе с центром в точкепримет вид.
Таким образом: данная кривая – парабола с вершиной в точке (рис. 11).
Замечание.
Если
уравнение линии второго порядка содержит
произведение текущих координат, то
путём поворота осей и надлежащим выбором
угла поворота следует добиться того,
чтобы преобразованном уравнении
отсутствовало произведение текущих
координат.
Пример 7. Привести к простейшему виду уравнение кривой
.
Решение. Применим формулы поворота (6).
;
.
Выберем угол так, чтобы.
Тогда .
Следовательно, уравнение кривой в системе примет вид:или- эллипс (рис. 12).
Вопросы для самопроверки
Как определяется кривая второго порядка?
Что называется окружностью и как записывается её каноническое уравнение?
Как определяется эллипс и каково его каноническое уравнение?
Определите гиперболу
и запишите её каноническое уравнение.
Какая линия называется параболой и какой вид имеет её каноническое уравнение?
Как приводится уравнение кривой второго порядка к каноническому виду?
Примеры для самостоятельного решения
Написать уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным 6.
Ставить уравнение окружности, проходящей через точки и, если её центр лежит на прямой.
Найти длинны осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса .
Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку , если асимптоты гиперболы имеют уравнения.
Составить простейшее уравнение параболы, если известно, что её фокус находится в точке пересечения прямой с осью Ох.
Определить, какие кривые определяются следующими уравнениями.
Построить рисунки.
Построить рисунки.а) ;
б) ;
в) :
г) ;
д) .
Ответы к примерам
3.8.1. 3.8.2.
3.8.3. ;;;;
3.8.4. 3.8.5.
3.8.6. а) окружность, центр в точке ,
б) эллипс ,
в) гипербола ,
г) парабола ,
д) эллипс ;;в системе.
13.1 Пространственные кривые
Мы уже видели, что удобный способ описать линию тремя
измерения состоит в том, чтобы предоставить вектор, который «указывает» на каждую точку на
линия как параметр $t$ меняется, как
$$\langle 1,2,3\rangle+t\langle 1,-2,2\rangle
=\langle 1+t,2-2t,3+2t\rangle.$$
За исключением того, что это дает особенно простой геометрический объект,
нет ничего особенного в отдельных функциях $t$, составляющих
координаты этого вектора — любой вектор с параметром, например
$\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$, будет описывать некоторую кривую в трех
размеры, поскольку $t$ изменяется через все возможные значения.
Рисунок 13.1.1. Две спирали.
Векторное выражение вида $\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$ называется векторная функция ; это функция из действительные числа $\R$ множеству всех трехмерных векторов. Мы можем поочередно думать об этом как о трех отдельных функциях, $x=f(t)$, $y=g(t)$ и $z=h(t)$, описывающие точки в пространстве. В В этом случае мы обычно ссылаемся на систему уравнений как параметрических уравнений для кривой, просто как для строки. Хотя параметр $t$ в векторной функции может представлять любую из ряда физических величин или быть просто «чистое число», часто бывает удобно и полезно думать о $t$ как о представляющий время. Затем векторная функция сообщает вам, где в пространстве конкретный объект находится в любое время.
Векторные функции могут быть трудны для понимания, т.
рисунок. Когда доступно, компьютерное программное обеспечение может быть очень полезным. Когда
работая вручную, одним из полезных подходов является рассмотрение
«проекции» кривой на три стандартные координаты
самолеты.
Частично мы это уже сделали: в
В примере 13.1.1 мы отметили, что все три кривые проецируются на
окружность в плоскости $x$-$y$, так как $\langle \cos t,\sin t\rangle$
двумерная векторная функция для единичного круга.
Пример 13.1.2. График проекций $\langle \cos t,\sin t,2t\rangle$ на плоскости $x$-$z$ и плоскости $y$-$z$. Двумерная векторная функция для проекция на плоскость $x$-$z$ равна $\langle \cos t, 2t\rangle$ или в параметрическая форма, $x=\cos t$, $z=2t$. Исключая $t$, мы получаем уравнение $x=\cos(z/2)$, знакомая кривая, показанная слева на рисунок 13.1.2. Для проекции на плоскость $y$-$z$ начнем с вектор-функцией $\langle \sin t, 2t\rangle$, которая является то же, что $y=\sin t$, $z=2t$. Исключение $t$ дает $y=\sin(z/2)$, так как показано справа на рисунке 13.1.2. $\квадрат$ 92=9$ и $y+z=2$. (отвечать)
Пример 13.1.6 Жучка ползет наружу по спице колеса, которое лежит вдоль
радиус колеса. Ошибка ползает со скоростью 1 единица в секунду и
колесо вращается со скоростью 1 радиан в секунду.
Предположим, что колесо лежит
в плоскости $y$-$z$ с центром в начале координат, а в момент времени $t=0$
спица лежит вдоль положительной оси $y$, а ошибка находится в начале координат.
Найдите вектор-функцию ${\bf r}(t)$
для положения ошибки в момент времени $t$.
(отвечать)
Пример 13.1.9 Учитывая точки $A=(a_1, a_2, a_3)$ и $B=(b_1, b_2, b_3)$, дать параметрические уравнения для линии , отрезка , соединяющего $A$ и $Б$. Не забудьте указать соответствующие значения $t$.
Пример 13.1.10 С параметрическим графиком и набором значений $t$ мы можем связать «направление». Например, кривая $\langle \cos t, \sin t \rangle$ — единичная окружность, описываемая против часовой стрелки. Как мы можем изменить набор заданных параметрических уравнений и значений $t$, чтобы получить то же самое кривая, только прослеживается в обратном направлении?
В рамках нашего курса мы в основном будем изучать кривые 2-го порядка, называемые кониками .
Рисунок 5 Прямая на бесконечности плоскости коники также пересекает конику в
две точки. Гипербола есть коника, пересекающая прямую на бесконечности в точке двух действительных и
различных точек, т.е. прямая в бесконечности является секущей
гипербола. Парабола — это коника, пересекающая прямую на бесконечности в одна точка (две точки совпадающие), т.е. прямая на бесконечности является касательной параболы. Эта точка в бесконечности лежит на оси параболы. Эллипс — это коника, пересекающая прямую на бесконечности в два мнимых точки. Переместите точку X на рисунке 6. Рисунок 6 Рисунок 7 Плоские алгебраические кривые можно сортировать не только по их степени, но и по класс кривой. Класс плоской алгебраической кривой равен числу касательных линии к кривой из любой точки плоскости кривой. Касательные к кривой могут быть действительными, но могут быть и сопряженными мнимыми. Воображаемый
линии очень трудно представить, как и воображаемые точки. Мы заявляем, что все
коники являются кривыми класса 2, то есть через любую точку плоскости проходят два
касательные к конике. Эти касательные действительны и различны, если
точка лежит вне коники, вещественна, но совпадает, если точка лежит на
коническое и сопряженное мнимое, если точка лежит внутри
конический Если степень и класс алгебраической кривой совпадают, то говорят
эта кривая имеет порядок. |
Классифицируем коники по типу этого пересечения:
6 показаны точки пересечения коник с линией на бесконечности. Эти
точки легко представить, когда они настоящие, но нарисовать невозможно
их. Воображаемые точки в бесконечности очень трудно даже представить. Но они
могут влиять на действительные части коник. В качестве примера ответьте на следующие
Вопрос: Почему две окружности имеют не более двух общих вещественных точек?