Кубический дискриминант – Решение кубических уравнений: примеры, метод Виета-Кардано

алгебра / Дискриминант кубического уравнения / Математика

Придётся продолжить здесь.

Для начала замечу, что книгу писали специалисты экстра-класса. Я здесь имею в виду в первую очередь даже не математику, а методику. То есть вопросы типа того, в какой последовательности надо излагать материал, в каких «дозах», в какой степени общности, и так далее. Далеко не все авторы в этом деле ориентируются свободно. В данном же случае, как мне это видится, имеет место «высший пилотаж». То есть замысел был именно такой, как надо. Попробую объяснить внутреннюю логику авторов, которая мне понятна, так как вопросы методики мне достаточно близки.

Прежде всего, книга рассчитана на школьников, которые хотят как-то расширить свои знания сверх школьной программы. Понятие дискриминанта им знакомо только для случая квадратного уравнения. Прежде чем вводить общее понятие для многочлена $%n$%-й степени, полезно рассмотреть отдельно случай кубического уравнения, и для него всё посчитать вручную. Дело в том, что уже здесь вычисление получается не самое простое. Поэтому желательно сначала осознать, как обстоит дело с многочленом 3-й степени, а потом уже по аналогии пытаться расширять его на более общий случай. Заметьте, что если читателю не будет понятен этот частный случай, то общий случай освоить будет ещё сложнее.

Ставить вопрос о том, почему дискриминант равен тому-то, в такой форме нельзя, так как это понятие не было определено. Но вполне законно спросить, почему именно такое выражение, как в условии, было названо дискриминантом кубического многочлена. Это довольно просто осознать, потому что оно имеет вид произведения квадратов разностей корней. И тут лучше написать формулу, которая как бы сама за себя говорит (в противном случае, при наличии кратных корней может появиться двусмысленность). В сравнении с предыдущим упражнением номер 305, хорошо видна аналогия: «обычный» дискриминант равен именно $%(x_1-x_2)^2$%, и он же выражается в виде $%p^2-4q$% через коэффициенты. Значит, и для кубического уравнения можно попытаться сделать аналогичную вещь, взяв $%(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2$%, и попробовав выразить это всё при помощи формул Виета через коэффициенты. Только после этого можно ввести само понятие дискриминанта, потому что это многочлен от коэффициентов. Он имеет несколько искусственный вид, а то, что он равен произведению квадратов разностей корней — это его свойство, которое школьник, решая задачу, сам получает.

Далее, что было бы при попытке описать случай многочлена $%n$%-й степени? Во-первых, появилась бы формула сложного вида типа $%\prod\limits_{i < j}(x_i-x_j)^2$%, что ещё труднее воспринимается, и осознание того, какой это имеет смысл, всё равно достигается через рассмотрение частных случаев. Тот, кто впервые видит подобную вещь, должен будет вручную выписать вид произведения для $%n=3$%, и, возможно, $%n=4$%. Тогда наступит осознание. Помимо этого, такое выражение пока ещё не очень желательно называть дискриминантом, так как он не выражен в явном виде через коэффициенты. Сама эта возможность не очевидна, и она основана на теории симметрических многочленов. Поэтому, прежде чем дать общее определение, пришлось бы проделать кучу работы. А именно, дать понятие симметрического многочлена от нескольких переменных; сформулировать теорему Виета для общего случая и ввести понятие элементарных (основных) симметрических многочленов; сформулировать основную теорему о симметрических многочленах, из которой нужная вещь следует. Это привело бы к появлению длинного текста, в которой понятия вводятся «по верхам». Если это всё изучать в общем виде, то надо обращаться к вузовским учебникам алгебры. Без этого знакомство с общими понятиями всё равно будет фиктивным. Кроме того, упомянутую теорему надо будет доказывать, а доказательство у неё очень длинное, и оно требует проделать объёмную подготовительную работу.

Поэтому такой путь методически неприемлем, и я считаю, что авторы выбрали оптимальный, и даже в каком-то смысле единственно правильный вариант изложения. Не говоря о том, что сложные вещи надо всегда начинать разбирать с частных примеров.

Мотивировка определения, демонстрирующая аналогию с дискриминантом квадратного уравнения, в тексте задачи также приведена. Из общего вида формулы ясно, что обращение в ноль равносильно наличию кратного корня. И тут ещё одна тонкость, которую я оценил: авторы вместо этого говорят о «близких», а не о совпадающих корнях, что по смыслу мало отличается, но корректнее в плане введения новых понятий, так как определение кратного корня в общем виде вводить было нежелательно, а без формального определения у читателя могли возникнуть вопросы.

Постепенное освоение нового материала, на мой взгляд, предпочтительнее подхода «всё и сразу». Это в точности как с пищей: мы ведь культурно режем поедамое на кусочки, работая ножом и вилкой, а не «хаваем» как дикари, откусывая от огромной туши 🙂

math.hashcode.ru

2011 Дискриминант кубического уравнения

f x x3 18×2 105x 200 g x 6 , где

g t t3 pt q x 6 3 p x 6 q 0 .

Следовательно, можно использовать схему Горнера для раз-

ложения x3 18×2

105x 200

по степеням x 6 x a :

 

1

-18

105

 

-200

 

 

6

1

-12

33

 

-2

 

 

6

1

-6

-3

 

 

 

 

6

1

0

 

 

 

 

 

Поэтому имеем неполное уравнение

t3 3t 2 0 p 3, q 2

p2

 

q3

1 1 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

27

 

Значит, есть кратные корни. Далее

 

c

 

 

3 2

2 , c

 

c

 

c1

1. Итак, для уравнения

 

1

 

3

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t3 3t 2 0 имеем решения: 2; 1; 1 . Решения исходного уравнения xi ci 6 : 8;5;5 .

2.x3 6ix2 15x 100i 0 . Приведем к неполному уравнению

Сведем сначала к неполному уравнению, то есть сделаем за-

мену x t b t 2i t x 2i , так чтобы уравнение при-

3

няло вид t3 pt q 0 . Тогда мы имеем

f x x3 6ix2 15x 100i g x 2i , где

g t t3 pt q x 2i 3 p x 2i q 0 .

Следовательно, можно использовать схему Горнера для разложения

x3 3ix2 24x 80i

по степеням x i x a :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

6i

 

15

100i

 

2i

1

4i

 

23

54i

 

 

2i

1

2i

 

27

 

 

2i 1 0

Поэтому имеем неполное уравнение t3 27t 54i p 27,q 54i .

Далее c

 

 

3q

 

3 54i

6i

, c

 

c

c

/ 2 3i , то есть

1

 

 

2

 

 

p

27

 

 

3

 

1

 

6i;3i;3i .

 

 

 

 

 

 

ck 2i : 4i;5i;5i

Решения исходного уравнения

xk

Кубические уравнения с действительными коэффициентами

Если у приведенного кубического уравнения кратных корней нет, то имеется либо три различных действительных корня, и тогда дис-

криминант положителен, либо один действительный корень и два комплексно сопряженных (не являющихся действительными) корня. В последнем случае дискриминант отрицателен. Действительно, пусть r действительный корень и z, z − комплексно сопряженные корни. Тогда, поскольку r z, r z также комплексно сопряженные числа,

studfiles.net

Дискриминант

TR | UK | KK | BE | EN |
дискриминант формула, дискриминант
Дискримина́нт многочлена p x = a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n +a_x+\cdots +a_x^ , a n ≠ 0 \neq 0 , есть произведение D p = a n 2 n − 2 ∏ i

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена⇨, знак которого определяет количество действительных корней

Содержание

  • 1 Свойства
  • 2 Примеры
    • 21 Многочлен второй степени
    • 22 Многочлен третьей степени
    • 23 Многочлен четвертой степени
  • 3 История
  • 4 См также
  • 5 Литература
  • 6 Примечания

Свойстваправить

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни
  • D p = − 1 n n − 1 / 2 a n R p , p ′ Rp,p’ , где R p , p ′  — результант многочлена p x и его производной p ′ x
    • В частности, дискриминант многочлена
p x = x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0 +a_x^+\ldots +a_x+a_ равен, с точностью до знака, определителю следующей 2 n − 1 × 2 n − 1 -матрицы:

Примерыправить

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом

Многочлен второй степениправить

Дискриминант квадратного трёхчлена a x 2 + b x + c +bx+c равен D = b 2 − 4 a c -4ac

  • При D > 0 вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле
x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a =-4ac
  • При D = 0 корень один в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях, кратности 2:
x = − b 2 a
  • При D < 0 вещественных корней нет Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой 1 без использования извлечения корня из отрицательного числа, либо формулой
x 1 , 2 = − b ± i 4 a c − b 2 2 a =

Многочлен третьей степениправить

Дискриминант кубического многочлена a x 3 + b x 2 + c x + d +bx^+cx+d равен

D = b 2 c 2 − 4 a c 3 − 4 b 3 d − 27 a 2 d 2 + 18 a b c d c^-4ac^-4b^d-27a^d^+18abcd

В частности, дискриминант кубического многочлена x 3 + p x + q +px+q корни которого вычисляются по формуле Кардано равен − 27 q 2 − 4 p 3 -4p^

  • При D > 0 кубический многочлен имеет три различных вещественных корня
  • При D = 0 он имеет кратный корень либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3
  • При D < 0 кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня являющихся комплексно-сопряженными

Многочлен четвертой степениправить

Дискриминант многочлена четвертой степени a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e +bx^+cx^+dx+e равен

D = 256 a 3 e 3 − 192 a 2 b d e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 c d 2 e − 27 a 2 d 4 + 144 a b 2 c e 2 − 6 a b 2 d 2 e − 80 a b c 2 d e + 18 a b c d 3 + 16 a c 4 e − 4 a c 3 d 2 − 27 b 4 e 2 + 18 b 3 c d e − 4 b 3 d 3 − 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2 &D=256a^e^-192a^bde^-128a^c^e^+144a^cd^e-27a^d^\\&+144ab^ce^-6ab^d^e-80abc^de+18abcd^+16ac^e\\&-4ac^d^-27b^e^+18b^cde-4b^d^-4b^c^e+b^c^d^\end

Для многочлена x 4 + q x 2 + r x + s +qx^+rx+s дискриминант имеет вид

D = 256 s 3 − 128 q 2 s 2 + 144 q r 2 s − 27 r 4 + 16 q 4 s − 4 q 3 r 2 -128q^s^+144qr^s-27r^+16q^s-4q^r^

и равенство D = 0 определяет в пространстве q , r , s поверхность, называемую ласточкиным хвостом

  • При D < 0 многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня
  • При D > 0 многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные
А именно, для многочлена x 4 + q x 2 + r x + s +qx^+rx+s :1
  • если q ≥ 0 , то все корни комплексные,
  • если q < 0 и s > q 2 4 , то все корни комплексные,
  • если q < 0 и s < q 2 4 , то все корни вещественные
  • При D = 0 многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень вещественный или комплексный Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел
Точнее:1
  • если q < 0 и s > q 2 4 , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q < 0 и − q 2 12 < s < q 2 4 <s< , то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
  • если q < 0 и s = q 2 4 , то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
  • если q < 0 и s = − q 2 12 , то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
  • если q > 0 , s > 0 и r ≠ 0 , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q > 0 , s = q 2 4 и r = 0 , то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
  • если q > 0 и s = 0 , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q = 0 и s > 0 , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q = 0 и s = 0 , то один вещественный корень кратности 4

Историяправить

Термин образован от лат discrimino — «разбираю», «различаю» Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др Термин ввёл Сильвестр2

См такжеправить

Литератураправить

  • Прасолов В В Многочлены — М: МЦНМО, 1999, 2001, 2003

Примечанияправить

  1. 1 2 Rees, E L 1922 «Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation» The American Mathematical Monthly 29 2: 51–55 DOI:102307/2972804
  2. Matrices and Determinants — Numericana

дискриминант, дискриминант в алгебре, дискриминант видео, дискриминант квадратного, дискриминант онлайн, дискриминант примеры, дискриминант равен нулю, дискриминант формула, дискриминант это, дискриминантный анализ


Дискриминант Информацию О




Дискриминант Комментарии

Дискриминант
Дискриминант
Дискриминант Вы просматриваете субъект

Дискриминант что, Дискриминант кто, Дискриминант описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Дискриминант Википедия

Дискримина́нт многочлена p(x)=a0+a1x+⋯+anxn{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}, an≠0{\displaystyle a_{n}\neq 0}, есть произведение

D(p)=an2n−2∏i<j(αi−αj)2{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}},
где α1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}} — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.

Свойства[ | ]

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
  • D(p)=(−1)n(n−1)/2anR(p,p′){\displaystyle D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p’)}, где R(p,p′){\displaystyle R(p,p’)} — результант многочлена p(x){\displaystyle p(x)} и его производной p′(x){\displaystyle p'(x)}.
    • В частности, дискриминант многочлена
p(x)=xn+an−1xn−1+…+a1x+a0{\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}

ru-wiki.ru

Дискриминант — WiKi

Дискримина́нт многочлена p(x)=a0+a1x+⋯+anxn{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}, an≠0{\displaystyle a_{n}\neq 0}, есть произведение

D(p)=an2n−2∏i<j(αi−αj)2{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}},
где α1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}} — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени

Дискриминант квадратного трёхчлена ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}  равен D=b2−4ac.{\displaystyle D=b^{2}-4ac.} 

  • При D>0{\displaystyle D>0}  вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле
x1,2=−b±b2−4ac2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} .
  • При D=0{\displaystyle D=0}  корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
x=−b2a{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}} .
  • При D<0{\displaystyle D<0}  вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
x1,2=−b±i4ac−b22a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}} .

Многочлен третьей степени

Дискриминант кубического многочлена ax3+bx2+cx+d{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}  равен

D=b2c2−4ac3−4b3d−27a2d2+18abcd.{\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.} 

В частности, дискриминант кубического многочлена x3+px+q{\displaystyle x^{3}+px+q}  (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен −27q2−4p3{\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}} .

  • При D>0{\displaystyle D>0}  кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
  • При D=0{\displaystyle D=0}  он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
  • При D<0{\displaystyle D<0}  кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Многочлен четвертой степени

Дискриминант многочлена четвертой степени ax4+bx3+cx2+dx+e{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}  равен

D=256a3e3−192a2bde2−128a2c2e2+144a2cd2e−27a2d4+144ab2ce2−6ab2d2e−80abc2de+18abcd3+16ac4e−4ac3d2−27b4e2+18b3cde−4b3d3−4b2c3e+b2c2d2.{\displaystyle {\begin{aligned}&D=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}} 

Для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}  дискриминант имеет вид

D=256s3−128q2s2+144qr2s−27r4+16q4s−4q3r2{\displaystyle D=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}} 

и равенство D=0{\displaystyle D=0}  определяет в пространстве (q,r,s){\displaystyle (q,r,s)}  поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

  • При D<0{\displaystyle D<0}  многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
  • При D>0{\displaystyle D>0}  многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
А именно, для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s} :[1]
  • При D=0{\displaystyle D=0}  многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
Точнее:[1]
  • если q<0{\displaystyle q<0}  и s>q24{\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q<0{\displaystyle q<0}  и −q212<s<q24{\displaystyle -{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}} , то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
  • если q<0{\displaystyle q<0}  и s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}} , то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
  • если q<0{\displaystyle q<0}  и s=−q212{\displaystyle s=-{\frac {q^{2}}{12}}} , то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
  • если q>0{\displaystyle q>0} , s>0{\displaystyle s>0}  и r≠0{\displaystyle r\neq 0} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q>0{\displaystyle q>0} , s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}  и r=0{\displaystyle r=0} , то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
  • если q>0{\displaystyle q>0}  и s=0{\displaystyle s=0} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q=0{\displaystyle q=0}  и s>0{\displaystyle s>0} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q=0{\displaystyle q=0}  и s=0{\displaystyle s=0} , то один вещественный корень кратности 4.

ru-wiki.org

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.