Кумулятивная частота: Как рассчитать кумулятивную частоту в Excel

Кумулятивная частота — определение термина

частота для классов с накоплением, включая их установленные границы.

Научные статьи на тему «Кумулятивная частота»

Все это заболевания неспецифические, однако излучение повышает частоту их проявления….
Кумулятивный эффект Некоторые радиоактивные элементы поглощаются и накапливаются в определенных органах

Статья от экспертов

Широко известные генераторы случайных величин Пуассона связаны с различными модификациями алгоритма на основе сходимости по вероятности последовательности равномерных случайных величин к пуассоновской случайной величине. Однако такой подход в некоторых ситуациях дает различные дискретные распределения вероятностей Пуассона и пропуски генерируемых величин. Предложен новый подход для создания случайных величин Пуассона на основе полного вихревого генератора равномерных случайных величин, используя технологию кумулятивных частот.

Результаты моделирования подтверждают, что вероятностное и частотное распределение получаемых величин полностью совпадает с теоретическим распределением Пуассона. Кроме того, комбинирование нового подхода с алгоритмом настройки базовой вихревой генерации позволяет существенно увеличить длину создаваемых последовательностей без использования дополнительной оперативной памяти компьютера

Creative Commons

Научный журнал

Как правило, на месторождениях для осуществления процесса перфорации используются пулевые и кумулятивные…
двигатель с редуктором, обеспечивающий вращение постоянного магнита с торцевыми измерительными катушками с частотой

Статья от экспертов

Приведены результаты моделирования зависимости кумулятивных частот слов (КЧС) и кумулятивных длин слов (КДС) от их последовательности, начиная с наибольшей величины русского и английского текстов, натуральных логарифмов кумулятивных словоформ (КСФ) и кумулятивных словоупотреблений (КСУ) от частоты 1-25 русского и английского текстов, натуральных логарифмов КСФ и КСУ от частоты выше 25 русского и английского текстов, натуральных логарифмов КСФ и КСУ от частоты выше 25 русского и английского текстов, КСУ от частоты 1-25 русского и английского текстов (в %) русского и английского текстов и КСФ (в %). Показано, что относительная скорость (величина b в степенном уравнении) исследованных характеристик значительно превышает относительную экспоненциальную скорость (величина b в экспоненциальном уравнении). Подтверждена гипотеза, что текст русского перевода больше английского текста.

Creative Commons

Научный журнал

Повышай знания с онлайн-тренажером от Автор24!

1. Напиши термин
2. Выбери определение из предложенных или загрузи свое
3. Тренажер от Автор24 поможет тебе выучить термины с помощью удобных и приятных карточек

Дисфункция легочного гомографта после операции Росса у взрослых пациентов: опыт одного центра | Энгиноев

Операция Росса имеет ряд преимуществ по гемодинамическим показателям, клапан-ассоциированным осложнениям и выживаемости у молодых пациентов [1-3]. Тем не менее процедура Росса остается ограниченной методикой даже у молодых пациентов [4-6]. В основном, это объясняется технической сложностью операции и риском повторных вмешательства на легочном клапане из-за дисфункции гомотрансплантата. Предыдущие исследования продемонстрировали, что это осложнение в основном связано со стенозом гомотрансплантата [7]. Хотя точный механизм, приводящий к стенозу, остается неясным, считается, что это результат сочетания воспаления, а также непрямой иммунной реакции между хозяином и гомотрансплантатом [7]. Таким образом, были разработаны стратегии, направленные на уменьшение воспаления, к ним относятся систематическое введение противовоспалительных средств в послеоперационном периоде и, начиная с 2001г, использование децеллюляризованных криоконсервированных легочных гомотрансплантатов в надежде снизить риск дисфункции [8]. Действительно, установлено, что стандартные (недецеллюляризованные) криоконсервированные гомотрансплантаты вызывают реакцию, которая частично опосредована иммунными процессами, что влияет на долговечность трансплантанта. Различные исследования сообщают о степени дисфункции от 6% и 30% через 5 лет со стандартными гомотрансплантатами [7][9-11].

Целью данного исследования было изучить отдаленные результаты легочного гомографта при операции Росса (кумулятивную частоту дисфункции легочного гомографта, свободу от реоперации на легочном гомографте, отдаленную выживаемость, предикторы дисфункции легочного гомографта) с использованием данных одного российского центра.

Материал и методы

Популяция включенных больных. В ретроспективное исследование включены 212  пациентов от 18 лет и старше с поражением аортального клапана (АК), которым была выполнена операция Росса с апреля 2009 по декабрь 2020гг одним хирургом. Все пациенты перенесли операцию Росса с использованием свежеприготовленного легочного гомографта (Санкт-Петербургский банк гомографтов, Санкт-Петербург, Россия¹).

Всем пациентам проводилось эхокардиографическое (ЭхоКГ) исследование АК до, после операции и до выписки из стационара, пациентам ≥35 лет до операции выполнялась коронарография. До, интраоперационно и в раннем послеоперационном периоде (до выписки из стационара) ЭхоКГ проводились на аппарате экспертного класса ie 33 (Philips, Нидерланды). До и после операции выполнялись трансторакальные ЭхоКГ, интраоперационно чреспищеводное ЭхоКГ исследование. После выписки из стационара ЭхоКГ выполняли по месту жительства или в нашем учреждении. До операции и интраоперационно при ЭхоКГ измеряли необходимые параметры при патологии АК [12][13]. После операции оценивали степень аортальной недостаточности на неоАК (аутографте), пиковый и средний градиенты давления на неоАК (аутографте), размер синусов Вальсальвы, проксимальной части легочного аутографта и аорты, фракция выброса левого желудочка по Simpson, градиент давления на проксимальной и дистальной частях (в области анастомозов) легочного гомографта, степень регургитации легочного гомографта.

За дисфункцию легочного гомографта считали: пиковый градиент на легочном клапане ≥30 мм рт.ст., регургитация на легочном клапане ≥2 степени, хирургическое вмешательство на легочном гомографте. Медиана периода наблюдения составила 79 (26,5-102,7) мес. Исследование было одобрено местным этическим комитетом.

Критерии включения в исследование: пациенты 18 лет и старше.

Хирургическая техника. Двум (0,9%) пациентам доступ к сердцу осуществлялся через министернотомию, в остальных случаях через срединную стернотомию. Во всех случаях использовали полное замещение корня аорты (full root replacement). Проксимальный анастомоз легочного аутографта накладывали с использованием непрерывного (реже) или отдельных узловых швов. Методику окутывания легочного аутографта собственным корнем аорты использовали при расширении или аневризме аорты, при диаметре аорты ≥40 мм выполняли редукцию аорты, при нормальных размерах аорты использовали методику имплантации легочного аутографта в синтетический дакроновый протез, размер сосудистого протеза выбирали такого же диаметра как легочный аутографт или на 2-3 мм больше. При использовании обеих методик устья коронарных артерий имплантировались в легочный аутографт без захвата протеза/собственной аорты по методике “кнопок”. Дакроновый протез в области проксимального анастомоза (в области корня аорты) фиксировался как при операции Дэвида при помощи “П” образных швов на прокладках. Дистальный анастомоз укрепленного аутографта с восходящей аортой по типу “сэндвича” накладывали однорядным швом. Для реконструкции выводного тракта правого желудочка использовали свежеприготовленный легочный гомографт (Санкт-Петербургский банк гомографтов, Россия). Гомотрансплантат был имплантирован в анатомическую ориентацию при помощи непрерывных швов на проксимальном и дистальном концах с использованием нити полипропилен 4-0 и 5-0, соответственно. Техника имплантации была стандартизирована во всех случаях, т.к. выполнялась одним хирургом. После окончания искусственного кровообращения проводили контрольное чреспищеводное ультразвуковое исследование для оценки функции миокарда и клапанов, гемодинамики на аутографте в аортальной позиции и гомографте в выводном отделе правого желудочка (ВОПЖ). Более подробно хирургическая техника и рисунки были описаны нами ранее в соответствующей статье [14].

Статистический анализ. Статистическую обработку материала выполняли с использованием пакета программного обеспечения IBM SPSS Statistics 26 (США) и Jamovi (Version 1.6.9) https://www.jamovi. org. Выполнена проверка всех количественных переменных на тип распределения с помощью критерия Колмогорова-Смирнова с поправкой Лиллиефорса. Количественные признаки, имеющие распределение, близкое к нормальному, описывали в форме среднего значения и стандартного отклонения (M±SD), в случае отличного от нормального распределения в виде медианы и 25-й, 75-й процентили (Me [Q1-Q3]). Время до первого клинического события: летального исхода, реоперации на легочном клапане, а также дисфункции легочного гомографта были оценены с использованием метода Каплана-Майера. Регрессионный анализ Кокса использовали для определения независимых факторов риска наступления конечных точек (дисфункция легочного гомографта). Факторы, имеющие тенденцию к увеличению значимости при одномерном тестировании (p≤0,1), были введены в многомерный анализ. Отношения шансов с 95% доверительными интервалами (ДИ) были рассчитаны для каждого из значимых факторов риска. Проверка статистических гипотез проводилась при критическом уровне значимости р=0,05.

Результаты

Медиана возраста больных составила 35 (26-44) лет. В основном это были мужчины — 159 (75%) человек. Подробная дооперационная характеристика пациентов, включенных в исследование, представлена в таблице 1. Длительность искусственного кровообращения и ишемии миокарда составила 139 (123-155) мин и 115 (103-127) мин, соответственно. У 18,9% выполнялись комбинированные вмешательства: 17 (8%) — коронарное шунтирование, 16 (7,5%) вмешательство на митральном клапане, 4 (1,9%) вмешательство на трикуспидальном клапане, 14 (6,6%) протезирование восходящей аорты (табл. 2). В целом была 1 госпитальная летальность (1/212; 0,5%) (табл. 3).

Таблица 1

Демографические и дооперационные характеристики пациентов

Сокращения: АГ — артериальная гипертензия, АК — аортальный клапан, ИБС — ишемическая болезнь сердца, ИЭ — инфекционный эндокардит, СДЛА — систолическое давление в легочной артерии, ФВ ЛЖ — фракция выброса левого желудочка, ФК — функциональный класс, ФП — фибрилляция предсердий, ХОБЛ — хроническая обструктивная болезнь легких, ХСН — хроническая сердечная недостаточность, ЭКС — электрокардиостимулятор, NYHA — New York Heart Association.

Таблица 2

Интраоперационные параметры

Таблица 3

Постоперационные показатели

Сокращения: ОПН — острая почечная недостаточность, ЭКС — электрокардиостимулятор.

Отдаленные результаты

Медиана периода наблюдения составила 79 (26,5-102,7) мес. Часть пациентов обследована в нашей клинике, другая часть по месту жительства. Сбор данной информации производился при помощи очной и заочной консультации. При заочной консультации информацию собирали при помощи телефонной связи с пациентом или близким родственником, а также посредством электронной почты. Пятии десятилетняя выживаемость после операции Росса составили 98,5% и 95,4%, соответственно (рис. 1 и 2). Четверым больным после выписки понадобились реоперации на легочном клапане: троим по поводу стеноза c недостаточностью (одному выполнена пластика клапана, второму протезирование клапана аутоперикардом и третьему репротезирование легочным гомографтом), еще одному пациенту выполнена тромбэктомия из легочного гомографта. Таким образом, кумулятивная частота повторного вмешательства на легочном клапане через 10 лет составила 4,6% (рис. 2).

Рис. 1. Кривая Каплана-Мейера для общей выживаемости.
Сокращение: ДИ — доверительный интервал.

Рис. 2. Свобода от реоперации на легочном клапане.
Сокращение: ДИ — доверительный интервал.

ЭхоКГ наблюдение в отдаленном периоде было достигнуто у 209 (98,5%) больных. Медиана ЭхоКГ наблюдения за пациентами составила 26,5 (11-77) мес. Восемнадцать пациентов (18/158) соответствовали одному из критериев дисфункции легочного гомографта. У 9 пациентов развился стеноз (у двоих стеноз с недостаточностью), у 8 больных регургитация и у одного тромбоз гомографта. Кумулятивная частота дисфункции легочного гомографта через 1, 5 и 10 лет составила: 1,5%, 7,4% и 35,2%, соответственно (рис. 3).

Рис. 3. Кумулятивная частота дисфункции легочного гомографта.

Обсуждение

Проведен сравнительный анализ клинических результатов использования криоконсервированных гомографтов (105 легочных и 5 аортальных) и биопротезов (73 биопротеза “Medtronic Freestyl”) для протезирования легочной артерии во время операции Росса (186 пациентов). По данным клинических наблюдений в течение 8 лет после операции было установлено, что применение гомографтов обеспечивало эффективную работу клапанов неолегочной артерии у 95% пациентов. При этом через 5 лет после операции у 99% пациентов отмечалось отсутствие значимых дисфункций клапанов, что исключало необходимость повторных операций. При использовании биопротезов адекватная работа клапанов неолегочной артерии наблюдалась у 95% пациентов в течение 3 лет после операции. Через 5 лет после операции только у 72% пациентов отсутствовали показания для проведения повторной имплантации. Отмечено также, что у пациентов с гомографтами в ряде случаев возникала регургитация клапанов, тогда как для пациентов с биопротезами характерным являлось формирование стеноза в области дистального анастомоза. На основании анализа результатов операции Росса с использованием гомографтов и биопротезов авторами статьи сделан вывод о том, что у пациентов с биопротезами в правых отделах сердца выше риск возникновения дисфункции имплантата, требующей его замены. При этом в качестве основной причины дисфункции предполагается выраженная воспалительная реакция в области анастомозов [15].

Практика, основанная на предыдущих исследованиях, показывает, что меньшие размеры гомотрансплантатов были связаны с более высокими показателями стенозов гомотрансплантатов в отдаленном периоде [16-18]. Опубликованы данные Канадского регистра по операциям Росса: размер имплантированного гомотрансплантанта в легочную позицию составлял ≥28 мм в 96% случаях [19]. По нашим данным, медиана размера имплантированного легочного гомографта составила 27 (26-29) мм. Частота имплантации ≥27 мм составила 70,7% (табл. 4).

Таблица 4

ЭхоКГ данные в отдаленном периоде наблюдения

Сокращения: АК — аортальный клапан, ФВ ЛЖ — фракция выброса левого желудочка.

Кумулятивная частота дисфункции легочного децеллюляризованного гомографта (использовали такие же критерии) составила 2%, 9% и 11% через 1, 3 и 6 лет, соответственно, а кумулятивная частота вмешательства на легочном гомографте — 0,5%, 2%, 3% через 1, 3 и 6 лет, соответственно [19]. Проведённый анализ данных 443 пациентов после операции Росса показал свободу от повторного вмешательства на легочном гомографте (криоконсервированном) через 5, 10, 15, 20 лет — 98,9%, 97,7%, 96,6% и 96,6%, соответственно, свободу от дисфункции 94,5%, 88,1%, 84,9% и 78,3% через 5, 10, 15, 20 лет, соответственно [9]. По нашим же данным кумулятивная частота дисфункции легочного гомографта составила 1,5%, 4,4%, 9,4% через 1, 3 и 6 лет, а кумулятивная частота повторных вмешательств на легочном гомографте 0,5%, 0,5%, 1,2% через 1, 3 и 6 лет, соответственно (рис. 2 и 3). По данным Канадского регистра по операциям Росса возраст реципиентов <45 лет был независимым фактором риска дисфункции легочного децеллюляризованного гомографта [19]. По нашим данным, при проведении многофакторного анализа выявлен один фактор, влияющий на дисфункцию легочного гомографта — это возраст ≤30 лет (табл. 5).

Таблица 5

Факторы, влияющие на дисфункцию легочного гомографта

Сокращения: АГ — артериальная гипертензия, ДИ — доверительный интервал, ОШ — отношение шансов, СДЛА — систолическое давление в легочной артерии, ФВ ЛЖ — фракция выброса левого желудочка.

Опубликованы отдаленные результаты процедуры Росса с использованием децеллюляризованных биопротезов AutoTissue Matrix PVR. При ЭхоКГ контроле в отдаленном периоде была высокая частота дисфункции протеза и правожелудочковой недостаточности. Частота легочной регургитации ≥2 степени через 1, 5 и 10 лет составила 12,7%, 36,8% и 41,1%, а средний градиент на клапане через 1, 5 и 10 лет составил 35,2±12 мм рт.ст., 39,4±13,6 мм рт.ст. и 41,3±1,9 мм рт.ст. Свобода от повторной операции на легочном клапане через 5, 10 и 12,5 лет составила 76,2±2,1%, 58,6±2,9% и 53,4±3,4%, соответственно [20].

Были проанализированы результаты 28 пациентов, которым в качестве реконструкции ВОПЖ при операции Росса использовали кондуит из политетрафторэтилена. Средняя продолжительность наблюдения составила 48,5±31,2 мес. Транспротезные градиенты со временем значительно увеличились. Размер кондуита был единственным независимым предиктором прогрессирования пикового градиента ВОПЖ (р=0,02). Ни у одного из пациентов не наблюдалось значительной регургитации ВОПЖ. Одному пациенту потребовалась повторная операция на ВОПЖ [21].

В метаанализе по операциям Росса показано отсутствие вмешательства на ВОПЖ через 5, 10, 15 и 20 лет в 95,0% (95% ДИ: 94,2-95,7%), 90,6% (95% ДИ: 89,5-91,7%), 87,8% (95% ДИ: 86,3-89,2%) и 84,1% (81,9-86,3%) случаях. Свобода от повторного вмешательства при реконструкции ВОПЖ гомотрансплантатом составила 97,9% (95% ДИ: 97,4-98,4%) и 96,1% (95% ДИ: 95,3-96,9%), 93,5% (95% ДИ: 92,3-94,8%) и 89,6% (95% ДИ: 87,4-91,9%) в течение 5, 10, 15 и 20 лет, соответственно. Свобода от повторного вмешательства при реконструкции ВОПЖ ксенотрансплантатом составила 77,7% (95% ДИ: 71,4-81,4%) и 61,0% (95% ДИ: 56,0-66,5%) через 5 и 10 лет, соответственно [22].

Ограничение исследования. Исследование представляет собой ретроспективный анализ, все операции выполнены одним опытным хирургом. Проспективное рандомизированное исследование на большой выборке пациентов необходимо для повышения степени доказательств результатов.

Заключение

Свежеприготовленные легочные гомографты имеют низкую частоту дисфункций и повторного вмешательства на легочном клапане после операции Росса. Молодой возраст — это единственный независимый фактор риска дисфункции легочного гомотрансплантата.

Отношения и деятельность: все авторы заявляют об отсутствии потенциального конфликта интересов, требующего раскрытия в данной статье.

1. http://гомографт.рф

1. El-Hamamsy I, Eryigit Z, Stevens L-M, et al. Long-term outcomes after autograft versus homograft aortic root replacement in adults with aortic valve disease: a randomised controlled trial. Lancet. 2010;376:524-31. doi:10.1016/S0140-6736(10)60828-8.

2. Buratto E, Shi WY, Wynne R, et al. Improved Survival After the Ross Procedure Compared With Mechanical Aortic Valve Replacement. J Am Coll Cardiol. 2018;71:1337-44. doi:10.1016/j.jacc.2018.01.048.

3. Mazine A, David TE, Rao V, et al. Long-Term Outcomes of the Ross Procedure Versus Mechanical Aortic Valve Replacement: Propensity-Matched Cohort Study. Circulation. 2016;134:576-85. doi:10.1161/CIRCULATIONAHA.116.022800.

4. Reece TB, Welke KF, O’Brien S, et al. Rethinking the ross procedure in adults. Ann Thorac Surg. 2014;97:175-81. doi:10.1016/j.athoracsur.2013.07.036.

5. Carrel T. The Ross procedure is under-used although long-term results show superior results to those obtained following mechanical aortic valve replacement. Ann Transl Med. 2016;4:S21. doi:10.21037/atm.2016.10.12.

6. Otto CM, Nishimura RA, Bonow RO, et al. 2020 ACC/AHA Guideline for the Management of Patients With Valvular Heart Disease: Executive Summary: A Report of the American College of Cardiology/American Heart Association Joint Committee on Clinical Practice Guidelines. Circulation 2021;143:e35-71. doi:10.1161/CIR.0000000000000932.

7. Carr-White GS, Kilner PJ, Hon JK, et al. Incidence, location, pathology, and significance of pulmonary homograft stenosis after the Ross operation. Circulation. 2001;104:I16-20. doi:10.1161/hc37t1.094545.

8. Ghoneim A, Bouhout I, Losenno K, et al. Expanding Eligibility for the Ross Procedure: A Reasonable Proposition? Can J Cardiol. 2018;34:759-65. doi:10.1016/j.cjca.2018.01.023.

9. Fricke TA, Skillington PD, Shi WY, et al. Pulmonary Valve Function Late After Ross Procedure in 443 Adult Patients. Ann Thorac Surg. 2020;109:1127-31. doi:10.1016/j.athoracsur.2019.07.060.

10. Kalfa D, Feier H, Loundou A, et al. Cryopreserved homograft in the Ross procedure: outcomes and prognostic factors. J Heart Valve Dis. 2011;20:571-81.

11. Feier H, Collart F, Ghez O, et al. Risk factors, dynamics, and cutoff values for homograft stenosis after the Ross procedure. Ann Thorac Surg. 2005;79:1669-75; discussion 1675. doi:10.1016/j.athoracsur.2004.10.060.

12. Zoghbi WA, Adams D, Bonow RO, et al. Recommendations for Noninvasive Evaluation of Native Valvular Regurgitation: A Report from the American Society of Echocardiography Developed in Collaboration with the Society for Cardiovascular Magnetic Resonance. J Am Soc Echocardiogr Off Publ Am Soc Echocardiogr. 2017;30:303-71. doi:10.1016/j.echo.2017.01.007.

13. Baumgartner H, Hung J, Bermejo J, et al. Recommendations on the Echocardiographic Assessment of Aortic Valve Stenosis: A Focused Update from the European Association of Cardiovascular Imaging and the American Society of Echocardiography. J Am Soc Echocardiogr. 2017;30:372-92. doi:10.1016/j.echo.2017.02.009.

14. Tsaroev B, Chernov I, Enginoev S, Mustaev M. Survival and freedom from reoperation after the Ross procedure in a Russian adult population: A single-center experience. JTCVS Open 2022;10:140-7. doi:10.1016/j.xjon.2022.04.026.

15. Miskovic A, Monsefi N, Doss M, et al. Comparison between homografts and Freestyle® bioprosthesis for right ventricular outflow tract replacement in Ross procedures. Eur J Cardio-Thoracic Surg Off J Eur Assoc Cardio-Thoracic Surg. 2012;42:927-33. doi:10.1093/ejcts/ezs185.

16. Raanani E, Yau TM, David TE, et al. Risk factors for late pulmonary homograft stenosis after the Ross procedure. Ann Thorac Surg. 2000;70:1953-7. doi:10.1016/s00034975(00)01905-6.

17. Mokhles MM, Charitos EI, Stierle U, et al. The fate of pulmonary conduits after the Ross procedure: longitudinal analysis of the German-Dutch Ross registry experience. Heart. 2013;99:1857-66. doi:10.1136/heartjnl-2013-304425.

18. Pasquali SK, Shera D, Wernovsky G, et al. Midterm outcomes and predictors of reintervention after the Ross procedure in infants, children, and young adults. J Thorac Cardiovasc Surg. 2007;133:893-9. doi:10.1016/j.jtcvs.2006.12.006.

19. Chauvette V, Bouhout I, Tarabzoni M, et al. Pulmonary homograft dysfunction after the Ross procedure using decellularized homografts-a multicenter study. J Thorac Cardiovasc Surg. 2022;163:1296-1305.e3. doi:10.1016/j.jtcvs.2020.06.139.

20. Christ T, Paun AC, Grubitzsch H, et al. Long-term results after the Ross procedure with the decellularized AutoTissue Matrix P® bioprosthesis used for pulmonary valve replacement. Eur J Cardio-Thoracic Surg. 2019;55:885-92. doi:10.1093/ejcts/ezy377.

21. Sharifulin R, Bogachev-Prokophiev A, Demin I, et al. Right ventricular outflow tract reconstruction using a polytetrafluoroethylene conduit in Ross patients. Eur J Cardio-Thoracic Surg Off J Eur Assoc Cardio-Thoracic Surg. 2018;54:427-33. doi:10.1093/ejcts/ezy128.

22. Flynn CD, Bono JH De, Muston B, et al. Systematic review and meta-analysis of longterm outcomes in adults undergoing the Ross procedure. Ann Cardiothorac Surg. 2021;10(4):411-9. doi:10.21037/acs-2021-rp-30.

Как рассчитать кумулятивную таблицу частот в Excel?

Суммарная частота — это нарастающая сумма частот, начиная с самой первой частоты и заканчивая последней частотой. Если мы упростим термин промежуточный итог, мы можем сказать, что первая частота добавляется ко второй частоте, а затем их сумма добавляется к третьей частоте, и продолжается та же последовательность. Предположим, у нас есть таблица частот, заданная как:

Фрукты	Частота
Apple	12
Banana	18
Cherry	45
Fig	5
Апельсин	6

Тогда кумулятивная частота каждого из этих фруктов рассчитывается как:

Fruits	Frequency	Cumulative Frequency
Apple	12	12
Banana	18	12 + 18 = 30
Вишня	45	30 + 45 = 758 1 3 0015 Fig	5	75 + 5 = 80
Orange	6	80 + 6 = 86

In the first row, cumulative частота равна индивидуальной частоте, т. е. 12. Теперь для второй строки совокупная частота равна частоте в первой строке, добавленной к частоте во второй строке, т. е. 12 + 18 = 30. Для третьей строки мы прибавляем сумму во второй строке к частоте в третьей строке, т. е. 30+45=75, и то же самое происходит для всех строк, следующих до последней строки. В этой статье мы узнаем, как рассчитать совокупную частоту распространения с помощью Microsoft Excel.

Как мы видели из приведенного выше объяснения, кумулятивная частота на самом деле представляет собой промежуточную сумму и включает в себя операцию сложения. Мы будем использовать функцию SUM() , доступную в Microsoft Excel.

Синтаксис:

 =СУММ(число1, число2…) 

Здесь число1 представляет первое число в вашей ячейке для добавления, здесь вы можете указать до 255 чисел и 6 число2 9 Необязательное поле, сюда можно добавить до 255 номеров.

Шаг 1: Для первого элемента мы можем ввести формулу как =СУММ($B$2:B2) , так как первая частота такая же, как и она.

Шаг 2: Для второго элемента мы вводим формулу как =СУММ($B$2:B3) , так как кумулятивная частота будет суммой элементов в ячейках B2 и B3.

Шаг 3: Для третьего элемента мы вводим формулу как =СУММ($B$2:B4) , так как кумулятивная частота будет суммой элементов из ячеек B2 в B4.

Шаг 4: Теперь мы можем использовать функцию автоматического заполнения Excel для заполнения совокупной частоты всех оставшихся ячеек. Нам просто нужно переместить курсор в угол ячейки B4, чтобы он превратился в символ плюс (+) , а затем перетащить ячейку к последнему элементу в массиве.

Вот как мы вычисляем кумулятивную частоту в Excel.

Суммарная частота — математика GCSE

Введение

Что такое кумулятивная частота?

Как нарисовать график кумулятивной частоты

Рабочий лист суммарной частоты

Оценка значений по графику кумулятивной частоты

Оценка частоты/процентиля с учетом значения данных

Распространенные заблуждения

Практика совокупной частоты вопросов

Совокупная частота вопросов GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застрял

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE

Узнать больше

Введение

Что такое кумулятивная частота?

Как нарисовать график кумулятивной частоты

Совокупная рабочая таблица частоты

Оценка значений по графику кумулятивной частоты

Оценка частоты/процентиля с учетом значения данных

Распространенные заблуждения

Практика совокупной частоты вопросов

Общая частота вопросов GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застрял

Здесь мы узнаем о кумулятивной частоте, в том числе о том, как нарисовать график кумулятивной частоты, а также как читать и интерпретировать график кумулятивной частоты, включая диаграммы.

Существуют также рабочие листы с кумулятивной частотой , основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что такое совокупная частота?

Суммарная частота — это промежуточная сумма частот в частотном распределении.

Графики кумулятивной частоты (или диаграммы кумулятивной частоты) полезны при представлении или анализе распределения больших сгруппированных наборов данных. Их также можно использовать для нахождения оценок медианного значения, нижнего и верхнего квартилей для набора данных.

Горизонтальная ось графика кумулятивной частоты отмечена интервалами классов из набора данных, которые должны быть нанесены на непрерывную шкалу. Точки данных нанесены на верхнюю границу класса.

Вертикальная ось графика кумулятивной частоты всегда обозначается как кумулятивная частота.

Во многих случаях кумулятивная кривая частоты имеет характерную «s-образную форму», как показано выше. Это связано с тем, что большинство данных обычно находится в интервалах среднего класса, а меньшее количество элементов данных находится в самых дальних значениях диапазона набора данных. Вы не должны предполагать это для всех кумулятивных частотных диаграмм.

Обратите внимание, что градиент кумулятивной кривой частоты всегда положителен.

Что такое совокупная частота?

Как построить график кумулятивной частоты

Чтобы построить график кумулятивной частоты:

1. Рассчитайте значения кумулятивной частоты для набора данных.
2. Нарисуйте набор осей с подходящими метками.
3. Постройте график каждого значения в конце интервала.
4. Соедините точки плавной изогнутой линией.
5. Добавьте заголовок к графику кумулятивной частоты.

Объясните, как построить график совокупной частоты

Сводная таблица частот

Получите бесплатную сводную таблицу частот, содержащую более 20 вопросов и ответов.

Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Рабочий лист суммарной частоты

Получите бесплатную сводную таблицу частот, содержащую более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Примеры кумулятивной частоты

Пример 1: построение графика кумулятивной частоты

В этой таблице показано время (в минутах), которое требуется 100 учащимся, чтобы добраться до школы.

Нарисуйте график кумулятивной частоты, чтобы представить это распределение.

1. Рассчитайте кумулятивные значения частоты для набора данных.

Совокупная частота — это промежуточная сумма данных. Первым значением кумулятивной частоты всегда является первая частота. Чтобы вычислить кумулятивную частоту следующей строки, мы добавляем текущее значение кумулятивной частоты и частоту для следующего интервала класса.

В вопросе указано, что 100 студентов. Таким образом, суммарная частота должна составлять 100 . Если нет, вернитесь назад и снова проверьте каждое значение суммарной частоты.

2 Нарисуйте набор осей с подходящими метками.

По горизонтальной оси X отложено время в минутах, поэтому мы должны обозначить эту ось от 0 до 60. Суммарная частота находится на вертикальной оси Y, поэтому мы обозначим эту ось от 0 до 100.

3 График каждое значение в конце интервала.

Поскольку мы знаем только общую частоту в конце интервала, мы наносим кумулятивную частоту на верхнюю границу класса.

Для интервала 0 < t \leq 10 с кумулятивной частотой 20 наносим координату (10,20).

Для следующего интервала наносим координату (20,44).

Продолжая это для всех оставшихся интервалов, мы получаем следующий график.

4 Соедините точки плавной изогнутой линией.

Линия должна быть непрерывной и проходить через каждую точку суммарной частоты.

Поскольку начальная частота равна 0, кривая должна начинаться с (0,0).

5 Добавьте заголовок к графику кумулятивной частоты.

Пример 2: построение графика кумулятивной частоты с разрывом оси

В приведенных ниже таблицах указана масса тела при рождении (г) 200 детей.

Нарисуйте график кумулятивной частоты, чтобы представить это распределение.

Рассчитайте кумулятивные значения частоты для набора данных.

В первой таблице показана частота каждого интервала класса, поскольку вес w имеет верхнюю и нижнюю границы. Во второй таблице выше показана совокупная частота. Это показано, поскольку значение неравенства для w имеет только верхнюю границу, показывая, что этот интервал включает все частоты до этого веса.

Нам нужно записать кумулятивные значения частоты во вторую таблицу.

Совокупная частота для первого интервала равна 5.

Совокупная частота для второго интервала равна 5 + 31 = 36 и так далее.

Опять же, окончательное совокупное значение частоты равно 200, что соответствует частоте в вопросе.

Примечание. Окончательное кумулятивное значение частоты обычно является «хорошим» числом (кратным 5 или даже четным).

Нарисуйте набор осей с подходящими метками.

Значения по горизонтальной оси находятся в диапазоне от 2000 до 4500. Если бы мы начали ось с 0, перед началом кривой кумулятивной частоты было бы много пустого пространства. Поэтому мы рисуем разрыв (зигзагообразную линию) на оси, чтобы сжать пространство, не содержащее значений, и пишем 2000 как первое значение после разрыва на оси.

По вертикальной оси отложена суммарная частота. Эта ось должна начинаться с 0 и не должна содержать разрыва. Общая частота равна 200, поэтому мы можем отметить вертикальную ось от 0 до 200 с равными шагами по 20.

Постройте график каждого значения в конце интервала.

Нанося каждое значение на верхнюю границу интервала, имеем

Соединяем точки плавной кривой линией.

Поскольку наименьшее значение веса может быть 2000 г, мы начнем линию с (2000,0) и проведем непрерывную плавную кривую через все нанесенные значения до конечной точки.

Добавьте заголовок к графику кумулятивной частоты.

Чтение данных из графика накопленной частоты

График кумулятивной частоты можно использовать для оценки медианы, квартилей и других процентилей для набора данных. Это связано с тем, что все значения в данных расположены в порядке возрастания.

Чтобы найти местонахождение любого процента данных, нам нужно знать общую частоту данных.

Затем мы находим процент от общей частоты.

Ниже приведен краткий обзор того, где в данных находятся некоторые ключевые значения, а также визуализация каждого значения с использованием кумулятивной частотной диаграммы.

Пошаговое руководство: Квартиль

Например, давайте найдем медиану для следующей кумулятивной диаграммы частоты.

Общая частота для этого набора данных равна 70.

Медиана отмечает место, где 50\% данных находится ниже.

При вычислении 50\% от 70 \ (=35) положение медианы для этих данных лежит там, где находится 35-е значение в данных.

Мы проводим горизонтальную линию от 35 по оси кумулятивной частоты до кривой, а затем проводим вертикальную линию по оси x и считываем соответствующее значение.

Таким образом, средняя высота деревьев в лесу составляет 4,7 м.

Чтение данных из графика совокупной частоты

Блочные диаграммы

Блочную диаграмму (или диаграмму «ящик и усы») удобно строить непосредственно под кривой кумулятивной частоты. Это связано с тем, что мы можем найти оценку требуемых значений (нижний квартиль, медиана и верхний квартиль) с помощью описанного выше метода, а также самые высокие и самые низкие значения диапазона.

Помните, что блочная диаграмма также должна лежать в масштабе, поэтому ее также необходимо нарисовать (реплицируйте ось x под блочной диаграммой). См. пример ниже.

Пошаговое руководство. соответствует медиане/квартилю/процентилю на кумулятивной оси частоты.

Проведите горизонтальную линию от этого значения до кривой кумулятивной частоты.

Проведите вертикальную линию от кривой к оси \bf{x} и считайте соответствующее значение данных.

Примеры оценки значений кумулятивной частоты

Пример 3: оценка медианы по графику кумулятивной частоты

Ниже приведена диаграмма кумулятивной частоты, показывающая время, необходимое 120 учащимся для бега на 100 метров.

Расчет медианы.

Найдите значение, соответствующее медиане/квартилю/процентилю на кумулятивной оси частот.

В этом случае нам нужно вычислить положение медианного значения. Есть 120 студентов и, следовательно, есть 120 единиц данных. Чтобы найти медиану, мы вычисляем 50% от 120 и помещаем это значение на кумулятивную ось частот.

\frac{50}{100}\times{120}=60

Нам нужно найти время для 60-го элемента данных.

Проведите горизонтальную линию от этого значения до кривой кумулятивной частоты.

Проведите вертикальную линию от кривой к оси \bf{x} и считайте соответствующее значение данных.

Среднее время, затрачиваемое студентом на пробежку 100 м, составляет примерно 15,3 секунды.

Пример 4: оценка межквартильного диапазона по графику кумулятивной частоты

На приведенном ниже графике кумулятивной частоты показано общее количество оценок, полученных 360 учащимися на последнем экзамене. 9{\text{th}}\text{значение}

Нарисуйте горизонтальную линию от этого значения до кривой кумулятивной частоты.

Поскольку нам нужно найти два значения (90-е и 270-е), мы можем провести горизонтальную линию от каждого значения по оси Y к кривой.

Проведите вертикальную линию от кривой до оси \bf{x} и считайте соответствующее значение данных.

Проведя для каждого значения вертикальную линию от кривой к оси x, получим

Нижний квартиль, LQ = 64 .

Верхний квартиль, UQ = 94 .

Межквартильный размах, IQR = UQ-LQ = 94-64 = 30.

Пошаговое руководство: Межквартильный размах

высота (в см) 150 растений в бордюре.

Оцените значение 80-го процентиля.

Найдите значение, соответствующее медиане/квартилю/процентилю на кумулятивной оси частот.

80-й процентиль — это значение, которое составляет 80% прохождения данных. Здесь, поскольку общая частота равна 150, нам нужно вычислить 80\% от 150.

\frac{80}{100}\times{150}=120

Итак, нам нужна высота 120-го значения.

Проведите горизонтальную линию от этого значения до кривой кумулятивной частоты.

Проведите вертикальную линию от кривой к оси \bf{x} и считайте соответствующее значение данных.

Значение 80-го процентиля (120-е значение) составляет примерно 14,5 см.

Оценка частоты/процентиля по значению данных

Чтобы оценить частоту или процентиль по значению данных:

1. Найдите значение данных на -ось.
2. Проведите вертикальную линию от этого значения до кривой кумулятивной частоты.
3. Проведите горизонтальную линию от кривой к оси \bf{y} и отсчитайте соответствующее значение на оси кумулятивной частоты.
4. Завершите дальнейшие вычисления.

Оценка частоты с учетом примеров данных

Пример 6: обращение процесса для определения процента

На приведенном ниже графике кумулятивной частоты показано среднее количество шагов в день (в тысячах) 72 человек.

Как часто люди проходили более 7500 шагов в день?

Найдите значение данных на \bf{x} -оси.

Поскольку нам нужно найти значение 7500, а ось записана в тысячах, нам нужно разделить 7500 на 1000, чтобы получить наше значение на оси.

7500\дел{1000}=7,5

Проведите вертикальную линию от этого значения до кривой кумулятивной частоты.

Проведите горизонтальную линию от кривой до \bf{y} -ось и считайте соответствующее значение на оси кумулятивных частот.

Суммарное значение частоты для 7500 шагов равно 54.

Завершите дальнейшие вычисления.

Поскольку кумулятивное значение частоты для 7500 шагов равно 54, а общая частота равна 72, количество людей, прошедших в среднем более 7500 шагов в день, равно

72-54 = 18 .

18 человек прошли более 7500 шагов в день.

Распространенные заблуждения

• Просто график частот, а не подсчет промежуточных сумм

График кумулятивной частоты обычно имеет s-образную форму и всегда должен начинаться в левом нижнем углу и заканчиваться в правом верхнем углу набора осей. Если ваш график больше похож на горный хребет, вы нанесли на график частоты, а не 90 161 кумулятивную частоту 90 162.

• Построение графика в середине интервала каждого класса

Точки на кумулятивном графике частот всегда отображаются с использованием верхней границы класса каждой группы, в отличие от многоугольника частот, в котором используются средние точки.

• Соединение начала кривой с \bf{0} на оси \bf{x}

Кривая всегда должна начинаться с наименьшего значения в наборе данных — это не всегда 0. При необходимости используйте разрыв оси (зигзаг), чтобы показать, что некоторые значения данных были опущены (см. Пример 2).

• Отрицательный градиент кривой кумулятивной частоты

Градиент кумулятивной кривой частоты всегда должен быть положительным (или, возможно, плоским, когда нет изменений от одного интервала к другому). Градиент не может быть отрицательным, потому что количество элементов данных всегда увеличивается или остается неизменным, никогда не уменьшаясь.

• Вычисление медианного значения путем деления пополам значения оси \bf{y}

Медиана — это положение значения 50-го процентиля (50\% данных лежат ниже этого значения). Общая частота может не совпадать с максимальным значением по оси y, поэтому убедитесь, что вы нашли 50% от общей частоты, а не 50% от максимального значения по оси y.

Практика вопросов с совокупной частотой

Добавьте 17 в столбце совокупной частоты к следующей частоте (19), чтобы получить ответ 36. кумулятивная частота для предыдущей строки (104).

 

116-104 = 12.

Нарисуйте столбец кумулятивной частоты рядом с таблицей и используйте его для расчета промежуточных сумм.

 

 

Построив кумулятивную частоту на верхней границе интервала каждого класса, мы получим следующую диаграмму 200 = 100).

 

Проведите линию от 100 по оси кумулятивной частоты к кривой, затем вниз по оси x, чтобы считать оценку медианы.

 

Имеется 200 элементов данных, поэтому нижний квартиль — это 50-й элемент (оценка 5), а верхний квартиль — 150-й элемент (оценка 34).

 

 

IQR = UQ-LQ = 34-5 = 29

Имеется 100 элементов данных, поэтому медиана — это 50-й элемент, а квартили — 25-й и 75-й. Нарисуйте линии от 25, 50 и 75 на оси кумулятивной частоты до кривой, а затем вниз по оси x, чтобы считать оценки.

 

 

LQ = 49
Медиана = 57
UQ = 66 (80) значений.

Совокупная частота вопросов GCSE

1. Приведенный ниже график совокупной частоты дает информацию о распределении роста выборки из 100 учащихся с точностью до ближайшего сантиметра.

 

 

Рост самого маленького ребенка 134 см.
Самый высокий ребенок 185см.

 

Начертите коробчатую диаграмму в масштабе, предоставленном для представления этого распределения.

 

(3 балла)

Показать ответ

Концы усов на 134 и 185 с коробкой.

(1)

Медиана на 162 \ (\pm 1) внутри коробки.

(1)

Концы коробки на 152 \ (\pm 1) и 171 \ (\pm 1) .

(1)

Завершенная блочная диаграмма

 

2. Сгруппированная таблица частот дает информацию о времени в минутах, которое требуется 80 детям для сборки головоломки.

 

 

(a) Заполните таблицу кумулятивной частоты.

 

 

(b) Нарисуйте на сетке график кумулятивной частоты для этой информации.

 

 

(c) Используйте свой график, чтобы оценить процент детей, которым потребовалось пять минут или меньше, чтобы собрать пазл.

 

(5 баллов)

Показать ответ

(a)

 

Все значения правильные.

(1)

 

(b)

 

4 или 5 точек нанесены правильно.

(1)

Гладкая непрерывная кривая через все точки.

(1)

 

(c)

 

Метод считывания с графика в точке 5 по оси x – приблизительно 32 по оси cf.

(1)

\frac{32}{80}\times{100}=40 \%

(1)

3. В таблице ниже показан вес подносов с продуктами в фермерском магазине.

 

 

(a) Заполните таблицу кумулятивной частоты.

 

 

(b) Нарисуйте на сетке график кумулятивной частоты для этой информации.

 

 

(c) Используйте свой график для оценки количества лотков весом более 3,75 кг.

 

(6 баллов)

Показать ответ

(a)

 

Все значения верны.

(1)

 

(b)

 

4 или 5 точек нанесены правильно.

(1)

Совершенно правильный график.

(1)

 

(c)

 

Метод считывания с графика при 3,75 по оси x – примерно 57 \ (\pm 1) по оси cf.

(1)

80-”их 57”

(1)

23 \ (\pm 1)

(1)

Контрольный список для обучения

Теперь вы научились:

• Заполнять таблицу кумулятивной частоты
• Нарисуйте график совокупной частоты
• Оценка медианы и квартилей по графику кумулятивной частоты

Все еще застряли?

Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning.