Теорема фалес: Теорема Фалеса — урок. Геометрия, 8 класс.

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Углы

Теорема Фалеса. Через произвольные точки

A₁, A₂, … A_n–1, A_n,

лежащие на стороне AO угла AOB (рис.1), проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках

B₁, B₂, … B_n–1, B_n,

соответственно. Тогда справедливы равенства

Рис.1

Доказательство. Докажем сначала следующую лемму.

Лемма. Через произвольную точку C, лежащую на стороне OA треугольника OAB, проведена прямая, параллельная прямой AB и пересекающая сторону OB в точке D (рис. 2).

Рис.2

Тогда справедливо равенство

(1)

Доказательство леммы. Опустим из точек A и B перпендикуляры AK и BL на прямую CD (рис.3). Заметим, что эти перпендикуляры равны, поскольку AKLB – прямоугольникпрямоугольник.

Рис.3

Из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую OA (рис.4).

Рис.4

Из точки C опустим перпендикуляр CG на прямую OB (рис.5).

Рис.5

В соответствии с рисунком 4 площади треугольников OCD и ACD можно вычислить по формулам

Следовательно,

В соответствии с рисунком 5 площади треугольников OCD и BCD можно вычислить по формулам

Следовательно,

Кроме того, заметим, что площади треугольников ACD и BCD равны. Действительно, в соответствии с рисунком 3 справедливы формулы

Следовательно,

S_{Δ ACD} = S_{Δ BCD} ,

откуда получаем цепочку равенств

что и завершает доказательство леммы.

Воспользовавшись леммой, заметим (рис.1), что из равенства (1) вытекают равенства

откуда на основе свойств производных пропорций, заключаем, что справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы Фалеса.

Следствие. Если через точки

A₁, A₂, … A_n–1, A_n,

лежащие на стороне AO угла AOB (рис.6) и удовлетворяющие условию

A₁A₂ = A₂A₃ = … =
= A_n–2A_n–1 = A_n–1A_n ,

проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках

B₁, B₂, … B_{n –1}, B_n ,

соответственно, то справедливы равенства

B₁B₂ = B₂B₃ = … =
= B_n–2B_n–1 = B_n–1B_n ,

Рис. 6

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Научная теорема фалеса. Фалес Милетский, или о том, как важно знать подобие треугольников и теорему Фалеса

О параллельных и секущих.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла .

Формулировки

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . {\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}

Замечания

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Доказательство в случае секущих

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 {\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}} и при этом A B = C D {\displaystyle AB=CD} .

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC . Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC , а углы ACB

и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC .

Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD . ■

Вариации и обобщения

Обратная теорема

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … {\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots } , следует, что A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … {\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots } .

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :

Пусть f {\displaystyle f} — проективное соответствие между точками прямой l {\displaystyle l} и прямой m {\displaystyle m} . Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть f {\displaystyle f} — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых X f (X) {\displaystyle Xf(X)} будет коника (возможно, вырожденная).

О параллельных и секущих.