результат операции
Интеллектуальная рекомендация
Несколько вопросов о справочных указателях 2018-06-15
Указатель по умолчанию под дугой является сильная ссылка: __ SICK & __ слабое и __ небезопасное сравнение ссылка:__strong & __weak & __ Unsafe_unreted…
Pytorch использует больше средств GPU
Использование нескольких графических процессоров в Pytorch требует инициализации заявленной модели после Декларационной модели, такой как: Затем, после запуска файла Python The Model Training, все GPU…
Как долго это так долго? Как логистические роботы не побежали на тысячи домохозяйств?
В заключенных ЦЕС Группа «Немецкая континентальная группа демонстрирует свои последние логистические роботы» — собака доставки пакетов Anymal.
Для этого результат Круг медиа и технологичес…
Примечания к практическому изучению машинного обучения — алгоритм априори
Анализ ассоциаций — это задача поиска интересных взаимосвязей в крупномасштабных наборах данных. Эти отношения могут принимать две формы: Частые наборы элементов: набор элементов, которые часто появля…
Spring (4) Фреймворк заключительной главы третьей интеграции
Spring_day04 (интеграция трех основных фреймворков) 1. Три фреймворка (принцип интеграции) Бэкэнд веб-проекта разделен на три слоя. 2. Направляющий пакет (42) hibernate: hibernate/lib/required hiberna…
Вам также может понравиться
Первое понимание юнит-теста серии Python
Среду модульного тестирования unittest можно применять не только для модульного тестирования, но и для разработки и выполнения веб-автоматизированных тестовых примеров.Конструктура тестирования может …
Принцип непоследовательной загрузки изображений в процессе загрузки изображений в виде списка.
// Основная раскладка интерфейса // Вложенный макет // Основная функция MainActivity // Создать новый класс бина // Создать адаптер // Инструменты…
SpringBoot + mysql + развертывание проекта docker
Подготовка доменного имени и сервера Alibaba Cloud доменное имя: Вы можете приобрести необходимые доменные имена у основных поставщиков облачных услуг. Я приобрел доменное имя Alibaba Cloud. В облако …
Строить IPA-сервер с нуля. Реализация LDAP + Kerberos домена Проверка (Open Firewall, Command Version)
Рисунок метод конфигурации, пожалуйста, обратитесь к статье 1, экспериментальная среда: Физика хост-хост две виртуальные машины. Физический IP хост: 192.168.9.6/24 GW: 192.168.9.254 DNS: 8.8.8.8 Вирту…
Вызов клиента Центра конфигурации Apollo
Вызов клиента Центра конфигурации Apollo введение Центр конфигурации Создать проект Опубликовать пространство имен Создайте файл конфигурации локального кеша код проекта springboot Предыдущая запись: .
..
© 2020-2022 All rights reserved by russianblogs.com
Алгебраические уравнения (двухчленные, трехчленные, многочленные)
Алгебраическим уравнением (неравенством) называют уравнение (неравенство), в левой части которого находится многочлен степени 𝑛 ≥ 0, а в правой — ноль. Многочлен или полином можно рассматривать как сумму одночленов или мономов, каждый из которых представляет собой произведение с числовым коэффициентом нескольких переменных, возведенных в целые неотрицательные степени. Степенью, или порядком, монома называют сумму степеней, входящих в него переменных. Степень многочлена — наибольшая степень входящего в него монома.
Корни двучленного алгебраического уравнения n-го порядка azn + b = 0 находят по формуле z = .
В общем случае для n> 4 не существует формул, выражающих корни алгебраического уравнения через его коэффициенты. Однако справедлив результат, утверждающий наличие корня для любого алгебраического уравнения ненулевой степени.
В простейшем случае при, а=1 имеем хn -1 = 0
Тогда
а) при n= 1 имеем х — 1 = 0 х = 1;
б) при n=2 имеем х² -1 = 0 (х — 1) (х +1) = 0 x₁ =1, х₂ = -1;
в) при n=3 имеем х³ -1 = 0 (х -1) (х² + x + l) = 0x = 1 — единственный действительный корень.
Можно показать, что в общем случае для двучленных уравнений хⁿ — а = 0 справедливы следующие утверждения:
1) при любом положительном, а уравнение хⁿ — а = 0 имеет:
а) при любом нечетном n (n = 2k-1, k∈N) только один действительный корень;
б) при любом четном n (n = 2k, k∈N) только два действительных корня;
2) при, а=0 уравнение хⁿ — а = 0 имеет только один корень х=0;
3) при любом отрицательном, а уравнение, хⁿ-а=0 имеет:
а) при любом нечетном n (n = 2k-1, k∈N) только один действительный корень;
б) при любом четном n (n = 2k, k∈N) не имеет действительных корней.
Пример 1. Решить уравнение.
х4–625 = 0
Решение:
х4–625 = 0 ↔ х1 = = 5, х2 = — = — 5
Ответ: {-5;5}.
Пример 2. Решить уравнение х3–27 = 0.
Решение:
х3–27 = 0 ↔ х3 = 27 ↔ х = = 3.
Ответ: {3}.
Пример 3. Решить уравнение х5 -12 = 0.
Решение:
х5–12 = 0 ↔ х5 = 12 ↔ х = .
Ответ: {}.
Пример 4. Решить уравнение х2 + 4 = 0.
Решение:
x² + 4 = 0 x² = -4 x є 0.
Ответ: ∅.
Пример 5. Решить уравнение x⁶+ 123 = 0
Решение:
х6 + 123 = 0 ↔ х6 = -123 ↔ x є 0.
Ответ: ∅.
Пример 6. Решить уравнения: a) x3 = 0; б) x12 = 0.
Решение:
а) х2 = 0 ↔ х = 0.
б) х12 = 0 ↔ х = 0.
Ответ: а) 0; б) 0.
Трехчленные уравнения. Биквадратные уравнения.
Алгебраическое уравнение вида ах²ⁿ + вхⁿ + с = 0 называется трехчленным, если n≥2, n∈N, а≠0, в≠0, с≠0.
При n=2 трехчленное уравнение ах⁴ + вх² + с = 0 называется биквадратным уравнением.
Заменой переменной xn=t трехчленное уравнение ах²ⁿ + вхⁿ + с = 0 преобразуется в квадратное at² + bt + с = 0.
В частности, для биквадратного уравнения замена х² = t приводит его к квадратному уравнению at² + bt + с = 0.
Пример 1. Решить уравнение x⁴-13x2+36=0.
Решение:
Имеем биквадратное уравнение. Положив x²=t, получим квадратное уравнение t²-13t + 36 = 0 t₁ = 4, t₂ = 9.
Задача свелась к решению уравнений
x² = 4 x₁, ₂ =±2;
x² =9 х₃, ₄ =±3.
Ответ: {±2; ±3}.
Пример 2. Решить уравнение х⁴-3x2–10=0.
Решение:
Положив x² = t, получаем квадратное уравнение t²-3t-10 = 0 t₁ =-2, t₂ =5.
Теперь задача сводится к решению уравнений х² = -2, х² = 5.
Уравнение х² =-2 не имеет действительных корней, уравнение х² = 5 имеет два корня x₁ =-√5, х₂=√5.
Ответ: {±√5}.
Пример 3. Решить уравнение x6–
Решение:
Имеем трехчленное уравнение. Положив x³=t, получаем
x⁶=(x³)²=t²,
Ответ: {1; ³√2}.
Многочлен степени 𝑛 = 1 называют линейным членом. В курсе математики средней школы мы сталкиваемся также с «многочленами бесконечной степени» [3, c. 63].
Полиномом (многочленом) от переменной называют выражение вида
Где аi — коэффициенты полинома, an ≠ 0 — старший коэффициент, a0 — свободный член, n — степень полинома.
Если an = 1, то полином называется приведённым. Для многочленов определены операции сложения, вычитания, умножения. Операция деления определена не для любой пары многочленов, но, как и для целых чисел, возможно деление с остатком.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Pn(z) на линейный многочлен z-z0
равен значению многочлена Pn(z) при z-z0. Корнем многочлена Pn(z) называется такое число z = z0, что Pn(z0) = 0.
Рассмотрим уравнение
anzn + an-1zn-1 + … + a0 = 0, т. е. алгебраическое уравнение n-ой степени. В некоторых частных случаях корни такого уравнения выражаются через его коэффициенты по определенному правилу.
- Корни алгебраического уравнения второй степени az2 + bz + c = 0 находятся по формуле z1,2 = , здесь ± — два значения квадратного корня из комплексного числа.
- Теорема Гаусса (основная теорема алгебры многочленов).
Уравнение anzn + an
Рассмотрим произвольный многочлен Pn(z) ненулевой степени n. Согласно основной теореме алгебры он имеет комплексный корень z1 ипоэтому делится на (z-z1), т.
е. Pn(z) = Pn-1(z)* (z-z1). Если n-1>0, то многочлен Pn-1(z) имеет корень z2, тогда Pn-1(z) = Pn-2(z)* (z-z2), т. е. Pn(z) = Pn-1(z)* (z-z1)* (z-z2) и т. д.
Таким образом, из теоремы Гаусса вытекает наличие у многочлена n-ой степени ровно n корней (считая кратные).
Следствие. Многочлен степени n с комплексными коэффициентами и со старшим коэффициентом an разлагается в произведение n сомножителей вида (z-z0), т. е. anzn + an-1zn-1+…+a1z + a0 = an (z-z1)*(z-z2)*…(z-zn), и это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.
В этом разложении некоторые множители могут оказаться одинаковыми, тогда Pn(z) = an (z-z1)k1 * (z-z2)k2*…*(z-zn)ks, причем k1+ k2 + … ks = n (ki — кратность корня zi).
Из свойств сопряженных комплексных чисел вытекают некоторые результаты о корнях многочленов с действительными коэффициентами.
Теорема. Если комплексное число z0 является корнем многочлена Pn(z) с действительными коэффициентами, то сопряженное число также является корнем этого многочлена.
Доказательство. Из равенства следует равенство =0.
Следствие. Если комплексное число z0 = a0 + b0i, (b0 ≠ 0) является корнем многочлена Pn(z) с действительными коэффициентами, то этот многочлен делится нацело на квадратный трехчлен z2–2az + a2 + b2, также имеющий действительные коэффициенты.
Доказательство. Пусть Pn(z) имеет комплексный корень z0 = a + bi, тогда он имеет и корень . Следовательно, Pn(z) делится нацело на (z-z0)*(z-) = z-a-bi)*(z-a+bi) = z2–2az + a2 + b2.
Литература:
- Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. — Москва: Наука, 2015. — 544 с.
- Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. — Москва: Наука, 2014. — 832 с.
- Королёва Т. М. Пособие по математике для поступающих в вузы. Часть 1 / Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман — Москва: Изд-во МИИГА и К, 2015. — 144 с.
- Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — Москва: Наука, 2015. — 432 с.
- Литвиненко В. Н. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия / В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович. — Москва: Просвещение, 2013. — 352 с.
- Лунц Г. Л. Функции комплексного переменного / Г. Л. Лунц, Л. Э. Эльсгольц. — Москва: Государственное изд-во физико-математической литературы, 2015. — 300 с.
Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, алгебраическое уравнение, корень, многочлен, биквадратное уравнение, квадратное уравнение, комплексное число, корень многочлена, общий случай, трехчленное уравнение.
Комплексные числа и действия над ними
Лекция 10
Комплексные числа и действия над ними
Рассмотрим уравнение
.
Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число (мнимую единицу), которая по определению удовлетворяет уравнению . Поскольку мы желаем, чтобы элементы этого расширенного множества можно было бы умножать и складывать, то вместе с мнимой единицей мы автоматически присоединяем к вещественной прямой все возможные комбинации вида
, , .
Совокупность всех чисел называется множеством комплексных чисел. При этом число называется вещественной частью комплексного числа и обозначается как
,
а число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается как
.
Удобно изображать комплексные числа в виде точек двумерной плоскости с декартовыми координатами . В этом случае соответствующая двумерная плоскость называется комплексной.
Операции умножения и деления комплексных чисел.
При умножении комплексных чисел используется обычное соглашение о раскрытии скобок (дистрибутивность умножения):
Пример.
.
При делении следует использовать операцию умножения на сопряженное выражение.
Пример.
Комплексному числу можно приписать понятие модуля и аргумента, используя полярные координаты на комплексной плоскости.
Модуль числа равен .
Аргументом числа называется полярный угол , (аргумент является многозначной функцией).
Тригонометрическая форма записи комплексного числа:
, где .
Теперь умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, выполняется по формуле
(то есть при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются).
Следствием формулы умножения является следующая формула.
Формула возведения в степень (формула Муавра)
.
Пример.
, , ,
Формула извлечения корня -й степени
, .
Пример. Вычислить .
Запишем в тригонометрической форме:
.
Тогда получаем
при
при
при
Таким образом, всего имеется три комплексных кубических корня из числа :, , .
Формула Эйлера
.
Пример использования.
Вычислить .
Воспользуемся формулой Эйлера для выражения функции через показательную функцию. Имеем:
откуда
.
Следовательно,
,
откуда
.
Первообразная является вещественной функцией, записанной в комплексной форме Чтобы получить вещественную запись этой функции, вновь воспользуемся формулой Эйлера.
,
Отсюда следует
Ответ: .
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Рассмотрим уравнение
где и константы, а функция в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов
, , ,
произвольный многочлен степени .
Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение
назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть , – корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения
имеет вид
,
если , два различных вещественных числа; имеет вид
,
если и, наконец, решение имеет вид
,
если , комплексносопряженные корни характеристического уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения . Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.
Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть
если , и в виде
если или .
Здесь , многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1.
Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение
Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид
.
Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части , частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Получаем:
,
Подставляя , , в исходное уравнение, получаем:
Сокращая на и приводя подобные, получим
,
,
откуда
Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид
.
Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:
,
Поскольку , второе уравнение имеет вид . Решаем систему линейных уравнений на неизвестные и :
Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:
.
Далее,
.
Ответ: .
Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:
,
откуда
,
где мнимая единица. Следовательно, , , и общее решение однородного уравнения есть
.
Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом.
Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
.
Подставляя в исходное уравнение, с учетом того, что
,
получим:
откуда
и, следовательно,
, .
Таким образом, частным решением неоднородного уравнения является функция
.
Общее решение неоднородного уравнения может быть записано в виде
.
Найдем константы и , при которых выполнены краевые условия
, .
Так как
,
получаем систему линейных уравнений на и :
откуда .
сложных уравнений
сложное уравнение| Комплексные числа и уравнения |
Содержание
| A/ Определение равенства |
| B/ Линейные уравнения со сложными решениями |
| C/ квадратичные уравнения со сложными решениями |
| Практика |
| Соолции |
| Соолции |
.
.
A/ Определение равенства
Прежде чем мы сможем решать уравнения со сложными решениями, мы должны определить отношение равенства между такими числами. Мы должны указать, что означает равенство двух комплексных чисел. Что ж, поскольку каждое комплексное число состоит из действительной и мнимой частей, кажется логичным заявить, что действительные части должны быть одинаковыми, а мнимые части должны быть равны, чтобы два комплексных числа были равны друг другу.
| Два комплексных номеров A + B I и C + D I равны, если и только если A = C и B = D . Real части a и c равны и |
.
B/ Линейные уравнения с комплексными решениями
Используя определение равенства между комплексными числами, мы можем легко решить линейные уравнения с одной или двумя переменными , как показано в этих примерах. В случае двух переменных мы обычно заканчиваем тем, что решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными. Для уравнений с одной переменной мы используем метод умножения на сопряженную единицу дроби, чтобы разделить на коэффициент переменной, которую мы ищем.
.
Пример 1 (2 неизвестных)
Найти значения для x и y , если
3 х + yi = 5 х + 1 + 2 i
Мы поместим все переменные члены в левую часть уравнения и оставим комплексное число в правой части уравнения. Затем мы найдем x и y .
2 x + yi = 1 + 2 i
, т. е. 2 x = 1 и yi = 2 i
решение равно х = ½, а y = 2.
.
Пример 2 (1 неизвестно)
Решить для x :
Инструкции по делению одного комплексного числа на другое см. в предыдущем уроке alg9 о мнимых и комплексных числах.
.
C/ Квадратные уравнения с комплексными решениями
Помните, когда мы решали квадратные уравнения с помощью квадратной формулы, были моменты, когда нам приходилось отвечать: «Для этого уравнения нет НАСТОЯЩИХ корней или решений», потому что дискриминант
(b² 4ac) был отрицательным ( меньше нуля). Как только мы вводим наборы мнимых и комплексных чисел, каждое квадратное уравнение имеет решение. Теперь мы должны указать характер решений , а также количество решений. И, как и раньше, когда мы были ограничены решениями в наборе действительных чисел, есть три возможности. Может быть уникальное (2 равных) действительное или сложное решение, два действительных решения или два сложных или мнимых решения.
Давайте сделаем несколько примеров для иллюстрации.
Пример 3
Единственное действительное решение получается из формы ( x h)² = 0 с решением x = h.
Решите ( x 5)² = 0. Извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем x 5 = 0, поэтому x = 5.
.
Пример 4
Уникальное комплексное решение получается из формы x ² + k ² = 0 с решением x = к i .
Решите х ² + 49 = 0. Транспонируя 49, мы получаем х ² = 49, поэтому х = 7 i .
.
Пример 5
Два действительных решения получаются из формы ( x h)² = k , когда k > 0 ( k положительно)
Решите ( x 5)² = 25.
Укореняя обе стороны, получаем х 5 = ! 5,
так что х = 5! 5, что дает х = 10 или х = 0
Если изобразить эту параболическую функцию на графике, она будет иметь нули ( x — точки пересечения) в точках 0 и 10.
Пример 6
Два комплексных решения получаются из формы ( x h)² = k , когда k < 0 ( k отрицательно)
Решите ( x 5)² = 25.
Укоренив обе стороны, получаем x 5 = ! 5 и ,
так что х = 5! 5 и , которые являются сопряженными.
x = 5 + 5 i или x = 5 5 i
.
Мы узнали 3 способа решения квадратных уравнений, когда были ограничены реальными решениями. Эти методы работают для всех квадратных уравнений. Они равны факторизации , завершению квадрата и квадратичной формуле . Чтобы узнать об этих методах, изучите урок alg6.2 под названием «Квадратные уравнения».
Как видно из приведенных выше примеров, если мы возведем в квадрат квадратное выражение, мы сможем легко решить, поскольку получим форму ( x h)² = k , а затем просто возьмем квадратный корень из обоих стороны.
Квадратная формула была получена путем завершения квадрата и решения общей формы квадратного уравнения a x ² + b x + c = 0, поэтому, если мы не можем факторизовать, мы всегда можем использовать формулу для решить любое квадратное уравнение.
Пример 7
Используйте квадратичную формулу для решения x ² + 5 x + 8 = 0. Укажите количество и характер решений.
В этом уравнении a = 1, b = 5 и c = 8. Подставляя в формулу, получаем:
Имеются два комплексно-сопряженных корня.
Дискриминант определяет характер корней.
Если b² 4ac = 0, то существует один вещественный корень.
Если b² 4ac > 0, есть 2 действительных корня, а если b² 4ac < 0, есть 2 сложных корня.
.
Практика
1/
a) Определите, является ли 1 + 2 i решением x ² 2 x + 5 = 0
b) Определите, является ли 1 i решением x ² 2 x + 2 = 0
.
2/ Решить для x и y :
3 х + 1 + ( у + 2) i = 2 х + 2 г. .
.
3/ Решить для x . Дайте ответы в виде комплексных чисел.
| а) (3 + i ) х + i = 5 i | б) (2 + i ) х i = 5 + i | в) (2 + 3 i ) x 2 i = 2 ix + 5 4 i |
.
4/ Решите эти квадратные уравнения. Дайте ответы в виде комплексных чисел по мере необходимости.
| а) х ² 5 х + 7 = 0 | б) 2 х ² 3 х + 2 = 0 | в) 3 x ² 2 x 1 = 0 |
.
.
Решения
1/
а) (1 + 2 i )² 2(1 + 2 i ) + 5 = 1 + 4 i + 4 i ² 2 4 i + 5
, когда мы собираем подобные члены, мы получаем: 4 + 4 i ² = 0,
Итак, (1 + 2 i ) — это решение x ² 2 x + 5 = 0.
б) (1 i )² 2(1 i ) + 2 = 1 2 i + i ² 2 + 2 и + 2
собирая подобные члены, получаем: 1 + i ² = 0, так как i ² = 1.
Таким образом, (1 i ) является решением x ² 2 x + 2 = 0.
.
2/ Решить для x и y :
3 х + 1 + ( y + 2) i = 2 х + 2 yi .
3 x + 1 + yi + 2 i = 2 x + 2 yi
x yi = 1 2 i , что означает x = 6 1 и 9005
.
3/ Решить для x . Дайте ответы в виде комплексных чисел.
| A) (3 + I ) x + I = 5 I (3 + I ) x = 4 I I ) X = 4 I SO ) X = 40055 I SO ) X = 40055 I SO ). я/ (3 + и ) | б) (2 + i ) x i = 5 + i (2 + i ) x = 5 + 2 i | c) (2 + 3 i ) x 2 i = 2 ix + 5 4 i 2 x + 3 0056 2 ix = 5 4 i + 2 i |
.
4/ Используя квадратичную формулу, получаем
а) х ² 5 х + 7 = 0
б) 2 x ² 3 x + 2 = 0
в) 3 x ² 2 x 1 = 0
.
Вернуться к индексу MathRoom по алгебре
.
Одновременные и квадратные уравнения | SkillsYouNeed
На нашей странице Введение в алгебру объясняется, как решать простые уравнения с помощью основ алгебры.
На этой странице обсуждаются более сложные уравнения, в том числе с дробями, и две конкретные проблемы, с которыми вы можете столкнуться: одновременные уравнения и квадратные уравнения.
Самое главное, это ясно показывает, что эти уравнения, как и другие, соответствуют правилам, и что вы все еще можете манипулировать ими, если не забываете делать то же самое с обеими частями уравнения.
Скобки в алгебре
В алгебраических уравнениях вы часто будете встречать термины в квадратных скобках (круглые скобки).
Чтобы решить уравнение, вам может понадобиться раскрыть скобки. Это означает, что нам нужно проработать выражение и убрать скобки логично, по некоторым правилам.
Если в вашем уравнении есть только один набор скобок, процесс прост. Например:
$$4(x−2) = 18$$
В этом случае все, что находится в скобках в левой части уравнения, умножается на 4. Сначала раскройте скобки почленно:
$$4x – 8 = 18$$
Теперь вы можете решить уравнение для \(x\). Затем добавьте по 8 с каждой стороны:
$$4x = 26$$
Окончательно разделить каждую сторону на 4:
$$x = 6,5$$
Если в вашем уравнении есть два набора скобок (или больше), которые необходимо перемножить, то процесс усложняется, но следует логическому набору правил.
Например, разверните выражение:
$$(2x + 5)(x + 4) = 0$$
В левой части уравнения нам нужно умножить (2\(x\) + 5) на (\(x\) + 4).
Каждый набор скобок содержит более одного термина. Это не просто случай умножения набора скобок на 9.0733 коэффициент , как и в предыдущем примере, где вы умножили всю скобку на 4.
В этом случае нужно каждое слагаемое в первой скобке умножить на каждое слагаемое во второй скобке и сложить их все вместе, то есть , умножьте \(x\) на \(x\), \(x\) на 4, затем \(x\) на 5, затем 4 на 5. Это кажется довольно сложным, поэтому вы можете использовать метод, известный как ‘ФОЛЬГА’ в помощь.
ФОЛЬГА означает F первая O внутренняя I внутренняя 92 + 13x + 20 = 0$$
Этот тип уравнения известен как квадратное уравнение . Подробнее об этом ниже.
Уравнения с дробями
Уравнения с дробями выглядят немного устрашающе, но есть простой трюк, облегчающий их решение.
Перекрестное умножение включает удаление дробей путем умножения обеих частей на каждый знаменатель по очереди.
Подробнее о работе с дробями читайте на нашей странице Дроби .
Рабочий пример
$$\frac{2+x}{3}=\frac{9+x}{5}$$
Чтобы убрать дроби, умножьте обе части уравнения на каждый знаменатель (3 и 5) по очереди.
Начните с умножения каждой стороны на 3:
$$\frac{3(2+x)}{3}=\frac{3(9+x)}{5}$$
Слева две тройки сокращаются, остается 2 + \(x\).
Справа раскройте скобки в числителе, чтобы получилось 27 + 3\(x\)
$$2+x=\frac{27+3x}{5}$$
Теперь умножьте обе части на 5. Опять же, две пятерки справа отменяются, и вы получите:
$5(2 + х) = 27 + 3x$$ $10 + 5x = 27 + 3x$$
Перестройте уравнение так, чтобы члены, содержащие \(x\), были слева, а члены, содержащие только числа, были справа. Сначала вычтите по 10 с каждой стороны:
$$5x = 17 + 3x$$
Затем вычтите 3\(x\) с каждой стороны, чтобы получить все значения \(x\) слева, и вы получите:
$$2x = 17$$
Наконец, разделив обе стороны на 2, вы получите значение \(x\):
$$x = 8,5$$
Обратите внимание, что \(x\) не всегда должно быть целым числом.
Одновременные уравнения
До сих пор все примеры содержали только одну «неизвестную» переменную \(x\). Мы можем решить эти уравнения, используя алгебру, чтобы найти значение \(x\). Если у вас есть одно неизвестное, вам нужно решить только одно уравнение, чтобы получить ответ.
Однако что произойдет, если у вас есть такое уравнение, как \(y\) = 4\(x\) + 5, где есть два неизвестных , \(x\) и \(y\)?
Возможно, вы даже встретите более сложное уравнение, в котором есть три неизвестных: \(x\), \(y\) и \(z\).
Чтобы решить их, правило состоит в том, что вам нужно столько же уравнений, сколько у вас есть неизвестных. Все уравнения должны быть верны для всех неизвестных. Это означает, что вам нужно два уравнения для двух неизвестных, три уравнения для трех неизвестных и так далее.
Одновременные уравнения представляют собой набор из двух уравнений, оба из которых включают одни и те же неизвестные переменные, оба из которых верны.
Их называют одновременными , потому что они решаются вместе.
Одновременные уравнения иногда обозначаются длинной фигурной скобкой, чтобы связать их вместе.
Метод решения одновременных уравнений с переменными \(x\) и \(y\):
Сначала перестройте одно уравнение, чтобы получить выражение или значение для \(x\). Перестроенное уравнение может быть \(x\) = число, или это может быть выражение, где \(x\) = функция \(y\) (т.е. \(y\) все еще существует как неизвестное в уравнении ). Вы можете увидеть, что это написано как \(x\) = ƒ(\(y\)), что просто означает ‘\(x\) является функцией \(y\)».
Получив значение или выражение для \(x\), вы можете подставить его в другое уравнение, чтобы найти значение \(y\). В этом новом уравнении будет только одно неизвестное \(у\).
- Наконец, если ваш ответ \(x\) = ? из шага (1) содержит ‘\(y\)’, тогда вы можете подставить значение \(y\) из шага (2) в ваше выражение для \(x\), чтобы найти значение \(x\ ).
Рабочий пример 1: когда x можно найти как значение на шаге 1.
$$\biggl\{\begin{eqnarray} 2x = 6 \квадрат\; \; \; \\ у = 4х + 5 \end{eqnarray}$$
Если 2\(x\) = 6, то \(\boldsymbol{x}\) = 3 .
Подставив 3 вместо \(x\) во втором уравнении, вы можете решить его, чтобы узнать, что такое \(y\).
$$y = (4 х 3) + 5 = 17.$$ $$\boldsymbol{y = 17}$$
Рабочий пример 2: Когда шаг 1 дает \(x = ƒ(y)\)
$$\biggl\{\begin{eqnarray} х — у = 1 \квадрат\; \; \\ 2х + 3у = 27 \end{eqnarray}$$
Шаг 1 : Если \(x\) − \(y\) = 1, то \(x\) = 1 + \(y\)
Шаг 2 : Подстановка во второе уравнение дает 2(1 + \(у\)) + 3\(у\) = 27
Раскрытие скобок дает 2 + 2\(у\) + 3\(у\) = 27
Тогда 2 + 5\( y\) = 27
Таким образом, 5\(y\) = 25, что дает решение \(\boldsymbol{y}\) = 5.
Шаг 3 : Мы знаем, что \(x\) – \(y\) = 1, поэтому \(\boldsymbol{x}\) = 6.
92 + х}\) -\(\boldsymbol{45 = 0}\). В этом уравнении \(a\) = 52, \(b\) = 1 и \(c\) = −45.Параболические кривые и квадратные уравнения
Квадратные уравнения очень важны в математике и естественных науках. Они представляют собой математическое «описание» параболической кривой (параболы). Чтобы узнать больше о параболах и других изогнутых формах, известных как конические сечения, см. нашу страницу о кругах, эллипсе, параболах и гиперболах. Значения \(a\), \(b\) и \(c\) в квадратном уравнении описывают форму кривой и ее положение в наборе декартовых координат (оси x и y). Для получения дополнительной информации см. нашу страницу о декартовых координатах.
Парабола, построенная из квадратного уравнения, где \(a\) = 1, \(b\) = −4 и \(c\) = 5, выглядит следующим образом:
Эти уравнения можно решить несколькими способами:
1.
Разложением на множители В математике фактора — это вещи, которые перемножаются. Факторизация — это процесс, используемый для создания двух множителей из квадратного выражения, которые можно перемножить. Эти факторы представляют собой наборы скобок с простым линейным выражением, содержащим \(x\) внутри каждого. 92 + 9x +20 = 0}$$
Вы знаете, что 4 × 5 = 20 и 4 + 5 = 9.
Таким образом, две скобки равны (\(x\) + 4)(\(x\) + 5).
Это выражение должно равняться нулю, поэтому либо \(x\) + 4 = 0, либо \(x\) + 5 = 0.
Два решения уравнения: \(\boldsymbol {x}\) = −4 и \(\boldsymbol {x}\) = −5 .
Почему у квадратного уравнения два решения?
Потому что график имеет форму параболы.
Ниже приведен график уравнения, используемого в приведенном выше примере \(y\) = \(x\) 2 + 9\(x\) + 20.
Два значения \(x\) известны как корни уравнения. Это значения \(x\), когда \(y\) = 0.
На графике \(y\) = 0 по оси x. Таким образом, точки \(x\) = −4 и \(x\) = −5 находятся там, где кривая уравнения пересекает ось x. Минимальное значение \(y\) (самая нижняя точка кривой) находится между \(x\) = −4 и \(x\) = −5. На этом графике можно просто увидеть кривую, опускающуюся ниже оси x.
Снова взглянем на уравнение, когда \(x\) = 0, тогда \(y\) = 20. На графике видно, что кривая пересекает ось y (\(x\) = 0) при +20. Это известно как y-отрезок и всегда является значением \(c\) в квадратном уравнении. 92 — 4ac}}{2a}$$
В этом случае \(a\) — это коэффициент при \(x\) 2 , \(b\) при \(x\), а \(c\) — число в конце, когда уравнение имеет вид \(ax\) 2 + \(bx\) + \(c\) = 0,
Любое уравнение, которое имеет только членов с \(x\) 2 , \( x\) и числа можно преобразовать в вид \(ax\) 2 + \(bx\) + \(c\) = 0, а затем решить по формуле.
Поскольку вы можете получить \(b\) плюс или минус квадратный корень, квадратные уравнения всегда имеют два решения, как показано в информационном поле выше.
Их называют корнями уравнения, и причина этого более очевидна, если мы посмотрим на формулу \((\pm\sqrt)\).
Важно помнить, что некоторые квадратные уравнения не имеют «реального» ответа.
Например, если \(b\) 2 − 4\(ac\) отрицательно, то действительного ответа не будет, потому что у вас не может быть квадратного корня из минус числа, кроме как в виде мнимое число (подробнее о мнимых числах на нашей странице о специальных числах и понятиях).
3. Заполнение квадрата
Если ваше квадратное уравнение нельзя разложить на множители, альтернативой использованию формулы является метод, называемый завершая квадрат . Возможно, это самый сложный для понимания метод. Это требует, чтобы вы изменили уравнение так, чтобы оно стало « совершенным квадратным трехчленом » (трехчлен — это математическое выражение с тремя членами).
Звучит очень сложно, но это всего лишь «математический язык», говорящий о том, что вы можете использовать этот метод для преобразования квадратного уравнения из уравнения, которое нельзя разложить на множители, в уравнение, которое можно разложить на множители, и вы можете найти решение путем вычисления его квадратного корня.
92 = 9$$
Вы можете видеть, что с помощью этого метода левая часть исходного уравнения была преобразована в совершенный квадратный трехчлен . Это можно решить взяв корни:
$$x — 9 = \pm \sqrt{9}$$ $$x = 9 \pm 3$$
Заключение
Прочитав эту страницу и следуя примерам, вы теперь должны чувствовать себя более уверенно в своей способности решать даже довольно сложные уравнения.
Просто помните золотое правило:
Всегда делайте одно и то же с каждой частью уравнения
Если вы это сделаете, то все будет в порядке.
Одновременные уравнения: определение, примеры и модель
Одновременные уравнения представляют собой наборы уравнений с несколькими неизвестными значениями. Их можно использовать для расчета того, что на самом деле представляет каждое неизвестное. Вы также можете увидеть, что они относятся к системам уравнений.
Пример графических одновременных уравнений, transom.
org
На приведенном выше графике показаны одновременные уравнения
1)
2)
Существует одно решение, которое удовлетворяет обоим уравнениям, и вы можете увидеть его в точке пересечения двух линий. На самом деле это один из способов решения одновременных уравнений, но в этом руководстве мы покажем вам лучшие и более быстрые способы, так что читайте дальше!
Ознакомьтесь с нашим руководством по решению линейных уравнений, если вам нужно освежить в памяти решение для одного неизвестного, так как мы будем опираться на него.
Зачем нужны одновременные уравнения?
Если вы хотите решить уравнение только с одним неизвестным значением, процесс обычно очень прост. Однако все усложняется, когда вводятся дополнительные неизвестные. Рассмотрим первое уравнение из предыдущего:
Вы можете попробовать разные числа и убедиться, что одним из возможных решений будет .
Но на самом деле существует бесконечных решений. Подумайте, что было бы, если бы x или y были дробями!
Нам нужно второе уравнение, чтобы определить единственное, уникальное решение.
Как решать одновременные уравнения?
Одновременные уравнения можно решать несколькими способами. Мы покажем вам два лучших способа, так как они быстрее, чем использование графика, как показано ранее. Каждый способ может быть проще в зависимости от вопроса, и вы можете обнаружить, что один из них кажется вам более естественным, поэтому обязательно попробуйте оба.
Решение методом исключения
Одним из способов решения одновременных уравнений является устранение . Вы можете использовать этот метод наиболее легко, когда неизвестное, которое вы хотите исключить, имеет один и тот же коэффициент в каждом уравнении, но мы покажем вам, как использовать его и в других случаях.
Вернемся к нашим исходным уравнениям:
Мы можем видеть, что если мы сложим каждую часть двух уравнений вместе, мы сможем легко исключить y. (Вы можете добавить или вычесть уравнения в зависимости от ситуации.) Давайте попробуем!
Это оставляет нам единственное уравнение:
Теперь мы можем подставить его в одно из исходных уравнений, чтобы найти у:
эти значения в другое уравнение. Это очень важно, чтобы помочь вам обнаружить ошибки, которые вы, возможно, сделали.
Решить
Для начала вы можете вычесть каждую часть одного уравнения из другой, чтобы исключить x;
Теперь вы можете работать с ответами, чтобы сформировать новое уравнение для решения для y;
Теперь этот ответ можно подставить в одно из исходных уравнений для решения x;
Наконец, не забудьте проверить свои ответы, подставив их в одно из уравнений;
Решение методом исключения (разные коэффициенты)
Теперь рассмотрим новый пример:
1)
2)
В этом примере использование исключения не так просто, как раньше.
Нам нужно каким-то образом изменить уравнения, чтобы сделать коэффициенты одинаковыми. Нам разрешено делать это до тех пор, пока мы выполняем одну и ту же операцию с обеих сторон уравнения.
Похоже, мы можем получить один и тот же коэффициент у, умножив первое уравнение на 3, а второе на 2. Попробуем так: заменим в нашем ответе x как прежде:
. уравнение на 2, что дает нам эти уравнения;
Теперь вы можете вычесть одно уравнение из другого, чтобы исключить y и найти x;
Теперь вы можете ввести x в одно из уравнений, чтобы найти y;
Не забывайте, что можно проверить свои ответы, подставив оба ответа в уравнение и убедившись, что оно работает;
Решение подстановкой
Есть еще один способ, которым мы могли бы подойти к первому набору уравнений: подстановка.
Вспомните, что в наших предыдущих примерах, как только мы нашли одно значение, мы можем подставить его обратно в уравнение, чтобы найти другое. Этот метод включает в себя ту же технику, но на другом этапе процесса.
1)
2)
Чтобы использовать метод подстановки, вы можете начать с подстановки уравнения 2 в y уравнения 1, чтобы помочь вам найти x;
Теперь вы можете подставить 4 в одно из уравнений, чтобы найти y;
1)
2)
В этом случае нам нужно изменить уравнение 2, чтобы получить его через y, это позволит нам подставить его в уравнение 1 и решить для x ;
3)
4)
Последний шаг остается прежним: мы просто используем это значение во втором уравнении, что дает нам y = 1, как и раньше. Тогда обязательно проверьте свой ответ!
Как решать одновременные уравнения с квадратным уравнением?
Для решения одновременных уравнений с квадратным уравнением мы используем метод подстановки, описанный ранее.
1)
2)
На графике эти уравнения будут выглядеть так:
Рабочий пример, transom.org
Первое, что нам нужно сделать в этом случае, это изменить первое уравнение. Ключ в том, чтобы сделать их обоих равными y (т. е. равными одному и тому же), потому что это означает, что мы можем сделать их обоих равными друг другу.
3)
Теперь у нас есть квадратное уравнение , которое вы можете решить, используя предпочитаемый вами метод. В этом примере мы собираемся использовать факторизацию . (Если вам нужно попрактиковаться в этом, ознакомьтесь с нашей статьей о факторинге квадратных выражений!)
Как видите, у нас есть два возможных значения x. Это означает, что нам нужно подставить их обратно, чтобы найти две пары решений наших одновременных уравнений:
1) или 1)
Это дает нам пары
или
проверить:
2)
В этом примере у нас было два решения, но важно помнить, что их не обязательно должно быть два.
Может быть один или даже ни одного, точно так же, как когда вы решаете квадратное уравнение самостоятельно. Например, подумайте, сколько решений будет на графике, показанном ниже:
Пример графика, показывающего несколько решений, transom.org
Как вы формируете свои собственные одновременные уравнения?
Для составления собственных одновременных уравнений может потребоваться интерпретация текста. Некоторые вопросы более многословны и требуют некоторого размышления, чтобы построить уравнения, прежде чем решать их.
Али покупает 2 ириски и 3 жевательных резинки. Би покупает 3 ириски и 2 жевательных резинки. Сумма Али составляет 0,10 фунта стерлингов, а Беа платит 0,15 фунта стерлингов. Сколько стоят ириски и жевательные резинки?
Во-первых, нам нужно идентифицировать переменные. В данном случае это ириски и жевательные резинки. Мы видим, что 2 ириски и 3 жевательных резинки стоят 10 пенсов, а 3 ириски и 2 жевательных резинки стоят 15 пенсов.