Квадратный корень из 5 (√5)
В этой статье мы собираемся вычислить квадратный корень из 5, узнать, что такое квадратный корень, и ответить на некоторые часто задаваемые вопросы. Мы также рассмотрим различные методы вычисления квадратного корня из 5 (как с компьютером/калькулятором, так и без него).
Квадратный корень из 5 Определение
В математической форме мы можем представить квадратный корень из 5, используя знак радикала, например: √5. Это обычно называют квадратным корнем из 5 в радикальной форме.
Хотите быстро узнать или освежить память о том, как вычислять квадратный корень, посмотрите это быстрое и информативное видео прямо сейчас!
Так что же такое квадратный корень? В этом случае квадратный корень из 5 — это количество (которое мы будем называть q), которое при умножении само на себя будет равно 5.
√5 = q × q = q 2
Является ли число 5 идеальным квадратом?
В математике мы называем 5 полным квадратом, если квадратный корень из 5 является целым числом.
В этом случае, как мы увидим в вычислениях ниже, мы видим, что 5 не является правильным квадратом.
Чтобы узнать больше о идеальных квадратах, вы можете прочитать о них и посмотреть список из 1000 квадратов в нашем разделе Что такое идеальный квадрат? статья.
Является ли квадратный корень из 5 рациональным или иррациональным?
Обычный вопрос состоит в том, является ли квадратный корень из 5 рациональным или иррациональным. Рациональные числа можно записать в виде дроби, а иррациональные — нет.
Быстрый способ проверить это — посмотреть, является ли число 5 правильным квадратом. Если да, то это рациональное число. Если это не идеальный квадрат, то это иррациональное число.
Мы уже знаем, является ли 5 полным квадратом, поэтому мы также можем видеть, что √5 — иррациональное число.
Можно ли упростить квадратный корень из 5?
5 можно упростить, только если вы можете уменьшить 5 внутри радикального символа. Это процесс, который называется упрощением сурда.
В этом примере квадратный корень из 5 не может быть упрощен.
√5 уже находится в простейшей радикальной форме.
Как вычислить квадратный корень из 5 с помощью калькулятора
Если у вас есть калькулятор, то самый простой способ вычислить квадратный корень из 5 — использовать этот калькулятор. На большинстве калькуляторов это можно сделать, набрав 5 и нажав клавишу √x. Вы должны получить следующий результат:
√5 ≈ 2,2361
Как вычислить квадратный корень из 5 с помощью компьютера
На компьютере вы также можете вычислить квадратный корень из 5 с помощью Excel, Numbers или Google Sheets и функции SQRT, например:
SQRT(5) ≈ 2,2360679775
Чему равен квадратный корень из 5 с округлением?
Иногда вам может понадобиться округлить квадратный корень из 5 до определенного числа знаков после запятой. Вот решения для этого, если это необходимо.
10-й: √5 ≈ 2,2
100-й: √5 ≈ 2,24
1000-й: √5 ≈ 2,236
Что такое квадратный корень из 5 в виде дроби?
Ранее в этой статье мы говорили о том, что только рациональное число может быть представлено в виде дроби, а иррациональное число — нет.
Как мы сказали выше, поскольку квадратный корень из 5 является иррациональным числом, мы не можем превратить его в точную дробь. Однако мы можем превратить его в приблизительную дробь, используя квадратный корень из 5, округленный до сотых.
√5
≈ 2,2/1
≈ 224/100
≈ 2 1,5/6,25
Что такое квадратный корень из 5, записанный с показателем степени?
Все вычисления квадратного корня могут быть преобразованы в число (называемое основанием) с дробным показателем степени. Давайте посмотрим, как это сделать с квадратным корнем из 5:
√b = b ½
√5 = 5 ½
используйте метод длинного деления для вычисления квадратного корня из 5. Это очень полезно для тестов на длинное деление, и именно так математики вычисляли квадратный корень из числа до изобретения калькуляторов и компьютеров.
Шаг 1
Разместите 5 в парах из двух цифр справа налево и присоедините один набор 00, потому что мы хотим один десятичный знак:
Шаг 2
Начиная с первого набора: самый большой полный квадрат меньше или 5 равно 4, а квадратный корень из 4 равен 2.
Поэтому поставьте 2 сверху и 4 снизу вот так:
| 2 | |
5 | 00 |
4 |
Шаг 3
Вычислите 5 минус 4 и запишите разницу ниже. Затем переместитесь вниз к следующему набору чисел.
| 2 | |
5 | 00 |
4 | |
1 | 00 |
Шаг 4
Удвойте число, выделенное зеленым сверху: 2 × 2 = 4. Затем используйте 4 и нижнее число, чтобы решить эту задачу:
4? × ? ≤ 100
Знаки вопроса «пробел» и такие же «пробел». Путем проб и ошибок мы обнаружили, что наибольшее число, которое может быть пустым, равно 2.
Теперь введите 2 сверху:
| 2 | 2 |
5 | 00 |
4 | |
1 | 00 |
Вот и все! Ответ показан вверху зеленым цветом.
Квадратный корень из 5 с точностью до одной цифры после запятой равен 2,2.
Обратите внимание, что последние два шага фактически повторяют два предыдущих. Чтобы добавить десятичные знаки к вашему ответу, вы можете просто добавить больше наборов 00 и повторить последние два шага.
Экспоненты и квадратные корни
Экспоненциальное представление и положительные целые экспоненты
Если число многократно повторяется как множитель, то мы можем записать произведение в более компактной форме, используя экспоненциальное представление Компактное представление ax2+bx+c=0 . используется, когда множитель повторяется несколько раз. Например,
ОснованиеМножитель a в экспоненциальной записи an. множитель, а положительный целочисленный показатель степениПоложительное целое число n в экспоненциальной записи, указывающее, сколько раз основание используется в качестве множителя. указывает, сколько раз основание повторяется как множитель. В приведенном выше примере основание равно 5, а показатель степени равен 4.
В общем, если a является основанием, которое повторяется как множитель n раз, то
Когда показатель степени равен 2, мы называем результат квадратРезультат, когда показатель степени любого действительного числа равен 2. Например,
Число 3 является основанием, а целое число 2 — показателем степени. Обозначение 32 можно прочитать двояко: «три в квадрате» или «3, возведенное во вторую степень». Основанием может быть любое действительное число. 9) следующим образом:
Квадрат целого числа называется идеальным квадратом. Результат возведения в квадрат целого числа.. Способность распознавать совершенные квадраты полезна при изучении алгебры. Следует запомнить квадраты целых чисел от 1 до 15. Вот неполный список идеальных квадратов:
Попробуйте! Упростить (−12)2.
Ответ: 144
Решение для видео
(нажмите, чтобы посмотреть видео) Когда показатель степени равен 3, мы называем результат кубом.
Обозначение 33 можно прочитать двумя способами: «три в кубе» или «3 в третьей степени». Как и прежде, основанием может быть любое действительное число.
Обратите внимание, что результат кубирования отрицательного числа отрицательный. Куб целого числа называется совершенным кубом. Результат кубирования целого числа. Умение распознавать совершенные кубы пригодится при изучении алгебры. Кубики целых чисел от 1 до 10 следует запомнить. Ниже приведен неполный список совершенных кубов:
Попробуйте это! Упростить (−2)3.
Ответ: −8
Решение для видео
(нажмите, чтобы посмотреть видео)Если показатель степени больше 3, то обозначение an читается как « a в степени n ».
Обратите внимание, что результат отрицательного основания с четным показателем степени положительный. Результат отрицательного основания с нечетным показателем степени отрицателен.
| Основание равно (−2) | Основание 2 |
|---|---|
| (−2)4=(−2)⋅(−2)⋅(−2)⋅(−2)=+16(−2)3=(−2)⋅(−2)⋅( −2)=−8 | −24=−2⋅2⋅2⋅2=−16−23=−2⋅2⋅2=−8 |
Скобки указывают, что в качестве основания следует использовать отрицательное число.
Пример 1: Вычислить:
а. (−13)3
б. (−13)4
Решение: Основание равно −13 для обеих задач.
а. Используйте базу как множитель три раза.
б. Используйте базу как множитель четыре раза.
Ответы: а. −127; б. 181
Попробуйте! Упростить: −104 и (−10)4.
Ответы: −10 000 и 10 000
Решение для видео
(нажмите, чтобы посмотреть видео)Квадратный корень из действительного числа
Подумайте о том, чтобы найти квадратный кореньЧисло, которое при умножении само на себя дает исходное число.
числа как обратное квадрату числа. Другими словами, чтобы определить квадратный корень из 25, нужно задать вопрос: «Какое число в квадрате равно 25?» На самом деле есть два ответа на этот вопрос: 5 и −5.
Когда нас спрашивают о квадратном корне числа, мы неявно имеем в виду главный (неотрицательный) квадратный корень. 25 равно 5». Символ √ называется подкоренным знаком. Символ √ используется для обозначения квадратного корня. а 25 называется радикалом. Выражение a в подкоренном знаке, an.. Альтернативная текстовая запись для квадратных корней следующая:
Стоит также отметить, что
Дело в том, что 12=1, а 02=0.
Пример 2: Упрощение: 10 000.
Решение: 10 000 — полный квадрат, потому что 100⋅100=10 000.
Ответ: 100
Пример 3: Упростим: 19.
Решение: Здесь мы замечаем, что 19 — квадрат, потому что 13⋅13=19.
Ответ: 13
Если a и b являются положительными действительными числами, используйте следующее свойство для упрощения квадратных корней, подкоренные числа которых не являются квадратами:
Идея состоит в том, чтобы определить наибольший квадратный множитель подкоренного числа, а затем применить свойство, показанное выше.
Например, чтобы упростить 8, обратите внимание, что 8 не является идеальным квадратом. Однако 8=4⋅2 и, таким образом, имеет совершенный квадратный множитель, отличный от 1. Примените это свойство следующим образом:
Здесь 22 — упрощенное иррациональное число. Вас часто просят найти примерный ответ, округленный до определенного знака после запятой. В этом случае используйте калькулятор, чтобы найти десятичную аппроксимацию, используя либо исходную задачу, либо ее упрощенный эквивалент. 92. Что вы ожидаете? Почему ответ не такой, как вы ожидали?
Важно отметить, что подкоренное число должно быть положительным . Например, -9 не определено, поскольку не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат было бы отрицательным. Попробуйте извлечь квадратный корень из отрицательного числа на калькуляторе. Что это говорит? Примечание: извлечение квадратного корня из отрицательного числа определяется позже в курсе.
Пример 4: Упростите и дайте примерный ответ, округленный до сотых: 75,
Решение: Подкоренное число 75 можно разложить на множители как 25 ⋅ 3, где множитель 25 — полный квадрат.
Ответ: 75≈8,66
Для проверки посчитайте 75 и 53 на калькуляторе и убедитесь, что оба результата приблизительно равны 8,66.
Пример 5: Упростить: 180.
Решение:
Поскольку вопрос не требовал приблизительного ответа, мы приводим точный ответ.
Ответ: 65
Пример 5: Упрощение: -5162.
Решение:
Ответ: −452
Попробуйте! Упростите и дайте примерный ответ с округлением до сотых: 128.
Ответ: 82≈11.31
Видеорешение
(нажмите, чтобы посмотреть видео)Рисунок 1.1 Пифагор
Источник: Деталь Афинская школа Рафаэлло Санцио, 1509, с http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sanzio_01_Pythagoras.jpg.
Прямоугольный треугольникТреугольник с углом, равным 90°. треугольник, у которого один из углов равен 90°. Сторона, лежащая против прямого угла, является наибольшей стороной, называемой гипотенузойСамая длинная сторона прямоугольного треугольника, она всегда будет стороной, противолежащей прямому углу.
, а две другие стороны называются катетамиСтороны прямоугольного треугольника, которые не являются гипотенуза .. Эта геометрическая фигура используется во многих реальных приложениях. Теорема Пифагора: Дан любой прямоугольный треугольник с катетами, равными 9.0219 a
Пример 6: Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 3 единицам и 4 единицам, найдите длину гипотенузы.
Решение: Зная длины катетов прямоугольного треугольника, используйте формулу c=a2+b2, чтобы найти длину гипотенузы.
Ответ: c = 5 единиц
При нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора подкоренное число не всегда является правильным квадратом.
Пример 7: Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 2 единицам и 6 единицам, найдите длину гипотенузы.
Решение:
Ответ: c=210 единиц
Ключевые выводы
- При использовании экспоненциального представления an основание a используется как множитель n раз.
- Когда показатель степени равен 2, результат называется квадратом. Когда показатель степени равен 3, результат называется кубом.
- Запомните квадраты целых чисел до 15 и кубы целых чисел до 10. Они будут часто использоваться по мере вашего продвижения в изучении алгебры. 905:00
- Если используются отрицательные числа, позаботьтесь о том, чтобы связать показатель степени с правильным основанием. Скобки группируют отрицательное число, возведенное в некоторую степень.
- Отрицательное основание, возведенное в четную степень, является положительным.
- Отрицательное основание, возведенное в нечетную степень, является отрицательным.
- Квадратный корень из числа — это число, которое при возведении в квадрат дает исходное число. Главный квадратный корень — это положительный квадратный корень. 905:00
- Упростите квадратный корень, найдя наибольший квадратный множитель подкоренного числа. Как только идеальный квадрат найден, примените свойство a⋅b=a⋅b, где a и b неотрицательны, и упростите.
- Проверьте упрощенный квадратный корень, вычислив приближение ответа, используя как исходную задачу, так и упрощенный ответ на калькуляторе, чтобы убедиться, что результаты совпадают.
- Найдите длину гипотенузы любого прямоугольного треугольника, зная длины катетов, используя теорему Пифагора. 92
17. (213)2
18. (534)2
Если s — длина стороны квадрата, то площадь равна A=s2 .
19. Определите площадь квадрата, если сторона равна 5 дюймам.
20. Определите площадь квадрата, если сторона равна 2,3 фута.
21. Перечислите все квадраты целых чисел от 0 до 15.
22. Перечислите все квадраты целых чисел от −15 до 0,
23. Перечислите квадраты всех рациональных чисел в множестве {0, 13, 23, 1, 43, 53, 2}.
24. Перечислите квадраты всех рациональных чисел в множестве {0, 12, 1, 32, 2, 52}.
Часть B: Целочисленные показатели
Упрощение.
25. 53
26. 26
27. (−1)4
28. (−3)3
29. −14
3 9.0002 3 9. (03)4
32. (−7)3
33. −(−3)3
34. −(−10)4
910041. −(12)3
42. (12)6
43. (52)3
44. (−34)4
45. Перечислите все кубы целых чисел от −5 до 5.
46. Перечислите все кубы целых чисел от −10 до 0.
47. Перечислите все кубы рациональных чисел в множестве {−23, −13, 0, 13, 23}.
48. Перечислите все кубы рациональных чисел в множестве {−37, −17, 0, 17, 37}.
Часть C: Квадратный корень из числа
Определите точный ответ в упрощенной форме.
49. 121
50. 81
51. 100
52. 169
53. −25
54. −144
55. 12
56. 27
57. 45
56. 27
57. 45
56. 27
57. 45
58. 50
59. 98
60. 2000
61. 14
62. 916
63. 59
64. 836
65. 0,64
66. 0,81
67. 302
66. 0,81
67. 3029.
68. 152
69. (−2)2
70. (−5)2
71. −9
72. −16
73. 316
74. 518
75. −236
76. −332
77. 6200
78. 1027
приблизительно к ближайшему сотне.
79. 2
80. 3
81. 10
82. 15
83. 23
84. 52
85.
−6586. −46
87. SQRT (79. )
88. sqrt(54)
89. −sqrt(162)
90. −sqrt(86)
91. Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 6 единицам и 8 единицам, то найдите длину гипотенузы.
92. Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 5 единицам и 12 единицам, найдите длину гипотенузы.
93. Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 9 единицам и 12 единицам, то найдите длину гипотенузы.
94. Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 32 единицам и 2 единицам, то найдите длину гипотенузы.
95. Если оба катета прямоугольного треугольника имеют длину 1 единицу, то найдите длину гипотенузы.
96. Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 1 единице и 5 единицам, то найдите длину гипотенузы.
97. Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 2 единицам и 4 единицам, то найдите длину гипотенузы.
98. Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 3 единицам и 9 единицам, то найдите длину гипотенузы.
−65