Рекуррентная формула онлайн: Рекурсия и рекуррентные вычисления — калькулятор

Содержание

Основная теорема о рекуррентных соотношениях

В этой статье вы познакомитесь с основной теоремой о рекуррентных соотношениях и узнаете, как использовать ее для решения рекуррентных соотношений.

Основная теорема о рекуррентных соотношениях — это формула, предназначенная для решения рекуррентных соотношений следующего вида:

T(n) = aT(n/b) + f(n), где
n = объем входных данных
a = количество подзадач в рекурсии
n/b = размер каждой подзадачи. Предполагается, что все подзадачи имеют одинаковый размер.
f(n) = оценка выполненной работы вне рекурсивных вызовов.

Также она включает в себя вычислительную стоимость деления на подзадачи объединения решений этих подзадач.

Здесь a ≥ 1 и b > 1 — константы, а f(n) — асимптотически положительная функция.

Асимптотически положительная функция — функция, где при достаточно больших значениях n f(n)>0.

Основная теорема о рекуррентных соотношениях — простой и быстрый способ вычисления временной сложности рекуррентных соотношений (например, «Разделяй и влавствуй»).

Формулировка теоремы

Если a ≥ 1 и b > 1 — константы, а f(n) — асимптотически положительная функция, то временная сложность рекуррентного соотношения задается выражением:

T(n) = aT(n/b) + f(n)

T(n) имеет следующие асимптотические оценки:

Если f(n) = O(n^log_b^a-ϵ), то T(n) = Θ(n^log_b ^a).
Если f(n) = Θ(n^log_b ^a), то T(n) = Θ(n^log_b ^a*log n).
Если f(n) = Ω(n^log_b ^a+ϵ), то T(n) = Θ(f(n)).

ϵ > 0 — константа.

Каждое из этих условий можно интерпретировать следующим образом:

Если стоимость решения подзадач на каждом уровне увеличивается на некий коэффициент, то значение f(n) станет полиномиально меньше, чем n^log_b ^a. То есть, временная сложность зависит от стоимости последнего уровня — n^log_b ^a.
Если стоимость решения подзадач на каждом уровне примерно одинакова, то значение f(n) станет равно n^log_b ^a. То есть, временная сложность будет равна f(n), умноженной на количество уровней — n^log_b ^a*log n.
Если стоимость решения подзадач на каждом уровне уменьшается на некий коэффициент, то значение f(n) станет полиномиально больше, чем n^log_b ^a. То есть, временная сложность зависит от стоимости f(n).

Пример использования

T(n) = 3T(n/2) + n2
Здесь:
a = 3
n/b = n/2
f(n) = n2
log_ba = log₂3 ≈ 1.58 < 2
то есть f(n) < n^{log_b a+ϵ}, где ϵ — константа.
То есть, это 3 случай.
Следовательно, T(n) = f(n) = Θ(n2)

Когда не работает

Основную теорему о рекуррентных соотношениях нельзя использовать в следующих случаях:

T(n) не монотонна — например, T(n) = sin n.
f(n) не полиномиальна — например, f(n) = 2n.
a не константа — например, а = 2n.
a < 1.

Использование рекуррентных формул при интегрировании

В этой статье мы расскажем, что такое рекуррентные формулы и как использовать их при интегрировании. Мы не будем перечислять все возможные варианты, а лишь сформулируем общий принцип их получения.

Рекуррентные формулы выражают n-ный член последовательности через предыдущие члены. Их можно вывести путем преобразования подынтегральной функции с помощью метода интегрирования по частям.

Допустим, мы вычисляем неопределенный интеграл с помощью рекуррентной формулы Jn(x)=cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x).

Расчет будет выглядеть следующим образом:

J5(x)=∫sin5xdx=-cos x·sin4x5+45J3(x)==-cos x·sin4x5+45∫sin3xdx==-cos x·sin4x5+45-cos x·sin2x3+23∫sin xdx==-cos x·sin4x5-4cos x·sin2 x15-815cos x+C

Теперь рассмотрим, как именно была выведена формула Jn(x)=∫sinnxdx=-cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x).

Вспомним основные тригонометрические формулы и запишем:

Jn(x)=∫sinnxdx=∫sinn-2x·sin2xdx=∫sinn-2x·(1-cos2x)dx==∫sinn-2xdx-∫sinn-2x·cos2xdx=Jn-2(x)-∫sinn-2x·cos2xdx

Получившийся в итоге интеграл можно взять, используя метод интегрирования по частям. Берем в качестве функции u(x)cos x, тогда dvx=sinn-2x·cos xdx.

dux=-sin xdx, v(x)=∫sinn-2x·cos xdx=∫sinn-2xd(sin x)=sinn-1xn-1

Значит,

∫sinn-2x·cos2xdx=u(x)v(x)-∫v(x)d(u(x))==sinn-1x·cos xn-1+1n-1∫sinnxdx=sinn-1x·cos xn-1+1n-1Jn(x)

Теперь вернемся к тому интегралу, что был у нас в начале:

Jn(x)=∫sinnxdx=Jn-2(x)-∫sinn-2x·cos2xdx==Jn-2(x)-sinn-1x·cos xn-1+1n-1Jn(x)==Jn-2(x)-sinn-1x·cos xn-1-1n-1Jn(x)

Таким образом, мы получим следующее:

Jn(x)=Jn-2(x)-sinn-1x·cos xn-1-1n-1Jn(x)⇒⇒1+1n-1Jn(x)=Jn-2(x)-sinn-1x·cos xn-1⇒Jn(x)=-cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x)

Это и есть то, что нам нужно было доказать.

Другие рекуррентные формулы могут быть выведены точно таким же образом.

Определение 1

Чтобы найти интеграл вида Jn(x)=∫sinnxdx, нужно использовать формулу Jn(x)=-cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x), где n является натуральным числом.
Если нам надо вычислить интеграл вида Jn(x)=∫dxsinn(x), то для этого нам пригодится формула Jn(x)=cos x(n-1)·sinn-1x+n-2n-1Jn-2(x).
Для вычисления интеграла Kn(x)=∫cosn(x)dx применяется рекуррентная формула Kn(x)=sin x·cosn-1(x)n+n-1nKn-2(x).
Чтобы найти интеграл вида Kn(x)=sin x·cosn-1(x)n+n-1nKn-2(x), берем формулу Kn(x)=sin x(n-1)·cosn-1x+n-2n-1Kn-2(x).

Пример 1

Вычислите неопределенный интеграл ∫cos-3xdx.

Решение

Нам потребуется рекуррентная формула, указанная в пункте 4. Значение n при этом будет равно трем.

Из таблицы первообразных мы знаем, что ∫cos-1xdx=ln1+sin xcos x+C1, следовательно,

∫cos-3xdx=sin x2cos2x+12∫cos-1xdx==sin x2 cos2x+12ln1+sin xcos x+C

Добавим к нашему списку формул еще одну. Она пригодится в том случае, если нужно выполнить интегрирование простейших дробей четвертого типа.

Jn=∫dxx2+px+qn==2x+p(n-1)(4q-p2)(x2+px+q)n-1+2n-3n-1·24q-p2·Jn-1

Она выводится путем преобразования подынтегральной функции с дальнейшим интегрированием по частям.

∫dxx2+px+qn=∫dxx+p22+4q-p24n=z=x+p2==∫dzz2+4q-p24n=44q-p2∫z2+4q-p24-z2dzz2+4q-p24n==44q-p2∫dzz2+4q-p24n-1-44q-p2∫z2dzz2+4q-p24n-1

Получившийся в итоге интеграл мы берем по частям.

Ответы: dv(z)=zdzz2+4q-p24n-1

Пример 2

Найдите множество первообразных функции 1(x2+3x+8)3.

Решение

Из условия мы знаем, что q = 8, p = 3, а n = 3. Для вычисления берем рекуррентную формулу:

∫dx(x2+3x+8)3==2x+3(3-1)(4·8-32)x2+3x+83-1+2·3-33-1·24·8-32·∫dx(x2+3x+8)2==2x+346(x2+3x+8)2+323·∫dx(x2+3x+8)2==применяем формулу вновь для n=2==2x+346(x2+3x+8)2++323·2x+3(2-1)(4·8-32)x2+3x+82-1+2·2-32-1·24·8-32·∫dxx2+3x+8==2x+346(x2+3x+8)2+3529·2x+3×2+3x+8+6529·∫dxx2+3x+8==выделяем полный квадрат в знаменателе==2x+346(x2+3x+8)2+3529·2x+3×2+3x+8+6529·∫dxx+322+234==2x+346(x2+3x+8)2+3529·2x+3×2+3x+8+6529·223·arctg2x+323+C==2x+346(x2+3x+8)2+3529·2x+3×2+3x+8+1252923·arctg2x+323+C

Ответ: ∫dx(x2+3x+8)3=2x+346(x2+3x+8)2+3529·2x+3×2+3x+8+1252923·arctg2x+323+C

Подводя итоги статьи, отметим, что применение рекуррентных формул делает интегрирование более быстрым и простым, однако в некоторых случаях можно обойтись без них, воспользовавшись основными методами интегрирования.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Решение квадратных уравнений

Бесплатные учебники по алгебре
!

jpg»/>


	Дом
	Системы линейных уравнений и решение задач
	Решение квадратных уравнений
	Решение абсолютных неравенств
	Решение квадратных уравнений
	Решение квадратных неравенств
	Решающие системы сокращения строк уравнений
	Решение систем линейных уравнений с помощью графиков
	Решение квадратных уравнений
	Решение систем линейных уравнений
	Решение линейных уравнений. Часть II
	Решение уравнений I
	Итоговая оценка результатов решения проблем и навыков
	Решение математических задач: длинное деление лица
	Решение линейных уравнений
	Системы линейных уравнений с двумя переменными
	Решение системы линейных уравнений с помощью графика
	Ti-89 Решение одновременных уравнений
	Системы линейных уравнений с тремя переменными и матричные операции
	Решение рациональных уравнений
	Решение квадратных уравнений методом факторинга
	Решение квадратных уравнений
	Решение систем линейных уравнений
	Системы уравнений с двумя переменными
	Решение квадратных уравнений
	Решение экспоненциальных и логарифмических уравнений
	Решение систем линейных уравнений
	Решение квадратных уравнений
	Математическая логика и решение задач с отличием
	Решение квадратных уравнений методом факторинга
	Решение буквенных уравнений и формул
	Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата
	Решение экспоненциальных и логарифмических уравнений
	Решение уравнений с дробями
	Решение уравнений
	Решение линейных уравнений
	Решение линейных уравнений с одной переменной
	Решение линейных уравнений
	РЕШЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМУЛЫ
	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

НАСТРОЙКА: Удалить все дроби и круглые скобки, сгруппировать термины, сделать квадрат члена положительным,
и ввести в стандартную форму:

Ax ² + Bx + C = 0

ВСЕГДА: Сначала вынесите на множители все общие множители

2 ТЕРМИНА
Отсутствует 1 ^ст Член 3x — 12 = 0 Не квадратичный! (линейный) Решите для 1 ответа x = 12 x = 4	Отсутствует 2 ^nd Термин Использовать метод квадратного корня		Missing 3 ^rd Term x ² + 3 = 0 вы забыли вычесть из общего «x»
	изолировать x ² x = 12 оба стороны	изолировать квадратный бином оба стороны
ВСЕ 3 УСЛОВИЯ
Факторинг	Завершением квадрата 2x ² — 6x — 3 = 0 коэффициент x ² должен быть 1: разделить обе стороны на 2: завершить квадрат: добавить (½B)2 к обеим сторонам : записать в виде бинома в квадрате: использовать метод квадратного корня: B ² -4ac называется дискриминантом 1) если B ² -4ac положительно: 2 действительных корня 2) если B ² -4ac отрицательно: 2 комплексных корня 3) если B ² -4ac = 0:1 действительный корень (дважды)		Квадратичная формула
	Помните: вы должны проверить оба решения, когда вы превращаете неквадратичное уравнение в квадратное!

jpg»>

Калькулятор последовательности, определяемой повторением

Рекурсивная последовательность, онлайн-исчисление

Резюме :

Калькулятор последовательности позволяет в режиме онлайн вычислить члены последовательности, определяемые повторяемостью и ее первым членом, до указанного индекса.

recursive_sequence онлайн

Описание:

Калькулятор может вычислить в режиме онлайн члены последовательности, определяемой повторением между двумя индексами этой последовательности.

Также возможно вычислять элементы числовой последовательности, когда она явно определена .

Вычисление членов последовательности, определяемой повторяемостью

Калькулятор умеет вычислять членов последовательности, определяемой повторением между двумя индексами этой последовательности.

Таким образом, чтобы получить элемента последовательности , определяемой формулой `u_(n+1)=5*u_n` и `u_0=2`, между 1 и 4, введите: recursive_sequence(`5x;2;4;x`) после вычисления возвращается результат.

Вычисление элементов арифметической прогрессии, определяемой повторяемостью

Калькулятор способен вычислять члена арифметической прогрессии между двумя индексами этой последовательности , из первого члена последовательности и рекуррентного соотношения.

Таким образом, чтобы получить члена арифметической последовательности, определяемой повторением с отношением `u_(n+1)=5*u_n` и `u_0=3`, между 1 и 6 входить : recursive_sequence(`5*x;3;6;x`) после вычисления возвращается результат.

Вычисление членов геометрической прогрессии

Калькулятор способен вычислять членов геометрической прогрессии между двумя индексами этой последовательности, из отношения рекуррентности и первого члена последовательности.

Таким образом, чтобы получить члена геометрической последовательности , определяемой формулой `u_(n+1)=3*u_n` и `u_0=2`, между 1 и 4, введите: recursive_sequence(`3*x;1;4;x`) после вычисления возвращается результат.

Вычисление суммы членов последовательности

Калькулятор умеет вычислять сумма членов последовательности между двумя индексами этого ряда, его можно использовать, в частности, для расчета частичные суммы некоторых рядов. .

Синтаксис:

recursive_sequence(выражение;первый_член;верхняя граница;переменная)

Примеры:

В этом примере показано, как вычислить первые члены геометрической последовательности, определяемой повторением. `u_(n+1)=4*u_n` и `u_0=-1` recursive_sequence(`4*x;-1;3;x`)

Расчет онлайн с помощью recursive_sequence (калькулятор рекурсивной последовательности)

См. также

Список связанных калькуляторов:

Вычислить элементы продукта последовательности: продукт.
No related posts.