Lim x стремится к бесконечности онлайн: Правило Лопиталя онлайн

Поведение функции в бесконечности и асимптоты

Асимптоты. Поведение функции в бесконечности

Асимптота – это прямая, к которой график функции подходит бесконечно близко, но не сливается с ней. Чуть позже мы подробно поговорим об этом определении. А для начала покажем на примере, что это такое.

На рисунке изображен график функции . У этого графика есть интересная особенность: чем больше , тем ближе подходит график к прямой . При этом график функции не пересекает эту прямую, но и не остается параллельным ей. Если бы мы двигались по графику функции, увеличивая , мы бы видели, как расстояние до прямой становится меньше и меньше.

Прямая – это асимптота для графика функции .

Есть два варианта произнесения этого слова: асимпто́та, или аси́мптота, и оба варианта считаются правильными.

Возможно, это слово для вас пока непривычно. А вот сами асимптоты вы видели много раз.

1. Вспомним, как выглядит знакомый вам с 7-го класса график

Как вы думаете – почему он такой?

Чем больше х, тем меньше Если то Если то

Если х стремится к бесконечности, то у стремится к нулю.
Сейчас мы все объясним.
Что значит: «х стремится к бесконечности?» Это значит, что какую бы сколь угодно большую величину мы ни взяли, х будет больше этой величины. Больше тысячи, больше миллиона и больше 100 миллиардов.

Так вот, если х стремится к бесконечности, то стремится к нулю.

Кратко это записывается так: Если то

И если х стремится к бесконечности, то график функции ближе и ближе подходит к оси абсцисс, но не пересекает ее и не сливается с ней.

В этом случае прямая , то есть ось абсцисс, — горизонтальная асимптота для графика функции при х стремящемся к бесконечности.

А теперь другая ситуация. Пусть х стремится к нулю. Это значит, что мы берем значения переменной х все меньше и меньше. И в какой-то момент увидим, что х меньше , меньше Какую бы сколь угодно малую величину мы ни взяли, х будет меньше этой величины. Кратко это записывается так: . Тогда значение переменной у стремится к бесконечности,

Запишем кратко: Если то

Это мы и видим на графике.

В самом деле, , и чем ближе х к нулю, тем дальше в бесконечность уходит величина

Прямая , или ось ординат, — вертикальная асимптота графика функции

2. Еще один пример: функция

График этой функции получается из графика функции сдвигом на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Вместе с графиком двигаются и асимптоты.

В этом случае вертикальная асимптота – это прямая , а горизонтальная – прямая .

Обратим внимание, что вертикальная асимптота соответствует значению , при котором знаменатель обращается в ноль. В точке функция не определена. Но всегда ли точка, в которой функция не определена, соответствует вертикальной асимптоте?

3. Рассмотрим функцию Будет ли у нее вертикальная асимптота ? Чтобы ответить на этот вопрос, разложим выражение в числителе по формуле разности квадратов. Получим: при .

Никаких вертикальных асимптот здесь нет. График – прямая , причем точка с абсциссой 3 на этой прямой – выколотая.

4. Построим эскиз графика функции

Нули этой функции: и .

Запишем формулу функции в виде Точки -3; 0; 2 разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых функция сохраняет свой знак.

Функция не определена при Прямая – вертикальная асимптота графика этой функции.

Есть ли у функции другие асимптоты? Посмотрим, каким будет ее поведение при

Однако сделать это не так-то просто: с увеличением х растут и числитель, и знаменатель дроби Математики говорят, что мы получили неопределенность вида Что делать?

Выделим целую часть в формуле функции:

В выражении разделим и числитель, и знаменатель на х. Мы можем себе это позволить, поскольку х стремится к бесконечности и точно не обратится в ноль.

Получим: При больших значениях х величина стремится к нулю, и мы можем ею пренебречь.

Получим, что чем больше х, тем ближе график функции подходит к прямой . Прямая является наклонной асимптотой для графика данной функции.

Вот эскиз графика:

Уравнение наклонной асимптоты, как и всякое уравнение прямой, имеет вид . В высшей математике существуют специальные формулы для нахождения k и b (через пределы).

5. Построим эскиз графика функции .

Эта функция определена при всех х, так как всегда. Более того, , и значит, область значений функции: . Функция четная, ее график симметричен относительно оси Y. Поскольку , наименьшее значение функции равно 1 и достигается при . Как же ведет себя эта функция, если ?

В этом случае Мы вынесли из-под корня , поскольку Если
то и график функции ведет себя как Это значит, что при наклонной асимптотой будет прямая , а при ? наклонной асимптотой будет .

Это наше первое знакомство с асимптотами. Обобщим то, что мы узнали:
Асимптота – такая прямая, к которой график функции подходит бесконечно близко, но не сливается с ней.

Представим себе, что мы движемся по графику функции. Если мы приближаемся к точке, в которой функция не определена, и при этом график функции уходит в бесконечность, приближаясь к некой вертикальной прямой, то эта прямая – вертикальная асимптота.

Если существует такая прямая, что при увеличении х расстояние от точки на графике функции до этой прямой стремится к нулю, то такая прямая будет горизонтальной или наклонной асимптотой.

Вертикальную асимптоту график функции пересекать не может. А вот горизонтальную или наклонную – может. Такой пример показан на самом первом рисунке в этой главе. Здесь нет противоречия, поскольку о приближении к горизонтальной или наклонной асимптоте имеет смысл говорить, когда значение х стремится к бесконечности.

Можно сказать, что асимптота кривой – это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность. Расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при движении вдоль ее ветви к бесконечности.

6. Запишите формулы вертикальных и горизонтальных асимптот гипербол:

а)

б)

в)

г)

Решение:

а) График гиперболы сдвинут относительно графика на 2 вправо и на 3 вверх (и растянут в 3 раза по вертикали). Значит, вертикальная асимптота горизонтальная асимптота

б) Преобразуем формулу: Вертикальная асимптота , горизонтальная асимптота

в) Формула задает гиперболу. Функция определена при , т.е. функция имеет точку разрыва с абсциссой 2. Значит, вертикальная асимптота имеет формулу .
Так как график функции не сдвинут ни вверх, ни вниз, горизонтальная асимптота имеет формулу

г) Функция определена при , т.е. функция имеет точку разрыва с абсциссой 0. Значит, вертикальная асимптота , горизонтальная асимптота

Ответ: а) б) в) г)

7. На каких из рисунков изображены асимптоты графиков функций?

Решение:

Асимптота – это прямая, к которой график функции подходит бесконечно близко, но не сливается с ней. Вертикальная асимптота соответствует точке, в которой функция не определена. Горизонтальные и наклонные асимптоты – прямые, к которым бесконечно близко подходит график функции, если аргумент стремится к бесконечности. Асимптоты графиков функции изображены на рисунках 2, 3, 4.

Обратите внимание, что на рисунке 4 график пересекает асимптоту. Но происходит это не в бесконечности, а при некотором . И если , то график бесконечно близко подходит к асимптоте, но не сливается с ней.

На рисунке 1 график функции приближается к пунктирной прямой на ограниченном участке, но не в бесконечности, поэтому эта прямая не является асимптотой.
Значит, асимптоты изображены только на рисунках 2, 3 и 4.

Посмотрим на графики знакомых элементарных функций.

Прямая – горизонтальная асимптота показательной функции при .

График логарифмической функции имеет вертикальную асимптоту

График функции имеет бесконечно много асимптот.

Это вертикальные прямые где При таких значениях переменной х тангенс не определен.

Об элементарных функциях и их графиках читайте здесь.

Посмотрим, как асимптоты помогают строить графики функций.
Подробно о построении графиков функций здесь.

8. Построим график функции

Это дробно-рациональная функция.

Область определения

Нули функции:

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты:

Если x стремится к бесконечности,

Мы сократили числитель и знаменатель в формуле функции на . Мы можем сделать это, поскольку x стремится к бесконечности и значит, не равен нулю.

Получаем, что Чем больше х, тем меньше значения выражений и Если x стремится к бесконечности, то этими выражениями можно пренебречь. Тогда у стремится к 4.

Значит, — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

9. Построим график функции

В этой задаче нам помогут несколько приемов: выделение целой части, сложение графиков, асимптоты.

Область определения: .

Выделим целую часть

функция является суммой двух элементарных функций, и

Если ,то , значит, — вертикальная асимптота.

При слагаемым можно пренебречь, и функция ведет себя как Значит, – наклонная асимптота. Вот эскиз графика:

10. Постром график функции

Запишем формулу функции в виде

Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и ⁡ График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции – в точках, где то есть при Отметим эти точки на оси Х.

Отметим также точки с абсциссой В этих точках значение синуса равно 1. Значение функции в этих точках такое же, как и у функции Аналогично для точек, в которых значение синуса равно -1. В них значение функции равно

Если х стремится к бесконечности,⁡ стремится к нулю, то есть при Для этой функции ось абсцисс – горизонтальная асимптота. Несмотря на то, что график функции пересекает ее бесконечное число раз. График функции подходит ближе и ближе к оси абсцисс, но не сливается с ней.

Соединим полученные точки плавной кривой. График почти готов.

Но что же будет, если х стремится к нулю? Ведь и , и будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?
Оказывается, что если х стремится к нулю, то ⁡ стремится к единице. 3+5) = 8

Lim x стремится к бесконечности (2x-1)/(x+3) = 2

Заранее спасибо ! 🙂

предел

задан 19 Ноя ’13 12:40

Майленко
7●2●2●4

изменен 20 Ноя ’13 1:18

Deleted
1●2●6

старыеновыеценные

3) Докажем из определения, что $$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x-1}{x+3}=2. $$ Рассмотрим разность $$2-\frac{2x-1}{x+3}=\frac{7}{2(x+3)}.$$ Мы хотим, чтобы эта величина стала по модулю меньше произвольно заданного положительного $%\varepsilon$%, поэтому напишем желаемое неравенство и поймём, при каких $%x$% (достаточно больших по модулю) оно заведомо будет выполнено. Легко понять, что неравенство $$\frac7{2|x+3|} < \varepsilon$$ будет справедливо при $%|x+3| > \frac7{2\varepsilon}$%. Это значит, что $%x+3 > \frac7{2\varepsilon}$% или $%x+3 < -\frac7{2\varepsilon}$%. Каждое из этих условий нас устраивает. Если мы потребуем выполнения условия $%|x| > 3+\frac7{2\varepsilon}$%, то из свойств неравенств будет ясно, что для положительных $%x$% будет верно первое из условий (даже с «запасом»), а для отрицательных — второе условие. Тогда из определения предела следует доказываемый факт. ссылка отвечен 19 Ноя ’13 15:46 org/Person»>falcao 285k●9●37●51

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

регистрация »

отмечен:

предел ×171

задан
19, 2013, 12:40 п.п.»>19 Ноя ’13 12:40

показан
55004 раза

обновлен
20 Ноя ’13 17:30

Связанные вопросы

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Limits to Infinity Calculator & Solver

Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора

Limits to Infinity . Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Проверьте все наши онлайн-калькуляторы здесь!

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

C

D

F

C

D

F

C

D

F

.

(◻)

+

—

×

◻/◻

/

÷

◻ ²

◻ ^◻

√◻

√

^◻ √ ◻

^◻ √

∞

e

π

ln

бревно

бревно _◻

LIM

D/DX

D ^□ _x

∫

∫ ^◻

| ◻ |

θ

=

>

<

>=

<=

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

asec

acsc

sinh

cosh 9{n-1}$

$6x+4$

Размножить числитель на $2$

$\lim_{x\to\infty }\left(\frac{2\left(6x-2\right)} {6x+4}\right)$

Фактор знаменателя на $2$

$\lim_{x\to\infty }\left(\frac{2\left(6x-2\right)}{2\left (3x+2\right)}\right)$

Отменить общий делитель дроби $2$

$\lim_{x\to\infty }\left(\frac{6x-2}{3x+2}\right )$

7

После вычисления числителя и знаменателя предел дает

$\lim_{x\to\infty }\left(\frac{6x-2}{3x+2}\right)$

Промежуточные шаги

Подставить значение $\infty $ в предел

$\frac{6\infty -2}{3\infty +2}$

Любое выражение, умноженное на бесконечность, стремится к бесконечности

$\frac{\infty -2}{3\infty +2}$

Бесконечность плюс любое алгебраическое выражение равно бесконечности

$\frac{\infty }{3\infty +2}$

Любое выражение, умноженное на бесконечность, стремится к бесконечности

$\frac{\infty }{\infty +2}$

Бесконечность плюс любое алгебраическое выражение равно бесконечности

$\frac{\infty }{\infty }$

8

Если мы непосредственно оцениваем предел $\lim_{x\to \infty }\left(\frac{6x-2}{3x+2}\right)$ при стремлении $x$ к $\infty $, мы можем видим, что это дает нам неопределенную форму

$\frac{\infty }{\infty }$

9

Мы можем решить этот предел, применив правило Лопиталя, которое состоит в вычислении производной как числителя, так и знаменателя по отдельности

$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(6x-2\right)}{\frac{d}{dx}\left(3x+ 2\right)}\right)$

Промежуточные шаги

Найти производную числителя

$\frac{d}{dx}\left(6x-2\right)$

Производная суммы двух или более функций является суммой производных каждой функции

$\frac{d}{dx}\left(6x\right)+\frac{d}{dx}\left(-2\right)$

Производная постоянной функции ($-2$) равна нулю

$\frac{d}{dx}\left(6x\right)$

Производная линейной функции, умноженная на константу, равна константе

$6$

Найдите производную знаменателя

$\frac{d}{dx}\left(3x+2\right)$

Производная суммы двух или более функций равна сумме производных каждой функции

$\frac{d}{dx }\left(3x\right)+\frac{d}{dx}\left(2\right)$

Производная постоянной функции ($2$) равна нулю

$\frac{d}{dx}\left(3x\right)$

Производная линейной функции, умноженная на константу, равна константе

$3$

Разделить $6$ на $3$

$\lim_{x\to\infty}\left(2\right)$

10

После вычисления числителя и знаменателя предел дает

$\lim_{x\to\infty }\left(2\right)$

11

Пределом константы является только константа

$2$

Окончательный ответ

$2$

Проблемы с математикой?

Доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем!

Исчисление I — Бесконечные пределы

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2.6: Бесконечные пределы

В этом разделе мы рассмотрим пределы, значение которых равно бесконечности или минус бесконечности. Эти виды ограничений будут довольно регулярно появляться в последующих разделах и на других курсах, поэтому вам нужно будет справляться с ними, когда вы сталкиваетесь с ними.

Первое, что мы, вероятно, должны сделать здесь, это определить, что мы имеем в виду, когда говорим, что предел имеет значение бесконечности или минус бесконечность.

Определение

Мы говорим

\[\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \]

, если мы можем сделать \(f(x)\) произвольно большим для всех \(x\), достаточно близких к \(x=a\), с обеих сторон, фактически не допуская \(x = a\).

Мы говорим

\[\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} f\left( x \right) = — \infty \]

, если мы можем сделать \(f(x)\) произвольно большим и отрицательным для всех \(x\), достаточно близких к \(x=a\), с обеих сторон, фактически не допуская \(x = a\) .

Эти определения могут быть соответственно изменены и для односторонних пределов. Чтобы увидеть более точное и математическое определение этого вида предела, см. раздел «Определение предела» в конце этой главы. 9- }} \ frac {1} {x} \ hspace {0,5 дюйма} \ mathop {\ lim } \ limit_ {x \ to 0} \ frac {1} {x} \]

Показать решение

Итак, мы рассмотрим пару односторонних ограничений, а также обычный предел. Обратите внимание, что во всех трех случаях мы не можем просто подставить \(x = 0\). Если бы мы это сделали, мы бы получили деление на ноль. Также помните, что приведенные выше определения можно легко изменить, чтобы дать аналогичные определения для двух односторонних пределов, которые нам здесь понадобятся.

Теперь есть несколько способов получить значения для этих пределов. Один из способов — подставить несколько точек и посмотреть, к какому значению приближается функция. В предыдущем разделе мы сказали, что больше не будем этого делать, но в данном случае это хороший способ проиллюстрировать, что происходит с этой функцией.

Итак, вот таблица значений \(x\) слева и справа. Используя эти значения, мы сможем оценить значение двух односторонних пределов, и как только мы это сделаем, мы сможем использовать тот факт, что нормальный предел будет существовать только в том случае, если два односторонних предела существуют и имеют одинаковое значение. .

\(х\)	\(\displaystyle \frac{1}{x}\)	\(х\)	\(\displaystyle \frac{1}{x}\)
-0,1	-10	0,1	10
-0,01	-100	0,01	100
-0,001	-1000	0,001	1000
-0,0001	-10000	0,0001	10000

Из этой таблицы видно, что по мере того, как мы делаем \(x\) все меньше и меньше, функция \(\frac{1}{x}\) становится все больше и больше и сохраняет тот же знак, что и \(x\ ) изначально было. — }} \frac{1}{x} = — \infty \]

Еще один способ увидеть значения двух односторонних пределов здесь — построить график функции. Опять же, в предыдущем разделе мы упоминали, что не будем делать это слишком часто, поскольку большинство функций нельзя просто быстро набросать, а также проблемы с точностью считывания значений с графика. Однако в этом случае не так уж сложно нарисовать график функции, и в этом случае, как мы увидим, точность не будет проблемой. Итак, вот краткий набросок графика.

Итак, на этом графике видно, что функция ведет себя во многом так, как мы и предсказывали, исходя из наших табличных значений. Чем ближе \(х\) к нулю справа, тем больше (в положительном смысле) становится функция, а чем ближе \(х\) к нулю слева, тем больше (в отрицательном смысле) становится функция. .

Наконец, нормального предела в этом случае не будет, так как два односторонних предела имеют разные значения.

Таким образом, вот значения трех пределов для этого примера. 9- }} \frac{1}{x} = — \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\mbox{ не существовать}}\]

Для большинства оставшихся примеров в этом разделе мы попытаемся «обговорить» каждый предел. Это означает, что мы посмотрим, сможем ли мы проанализировать, что должно произойти с функцией, когда мы подойдем очень близко к рассматриваемой точке, фактически не вставляя какие-либо значения в функцию. Для большинства следующих примеров такой анализ не должен быть слишком сложным. Мы также проверим наш анализ с помощью быстрого графика. 92}}}\]

Показать решение

Как и в предыдущем примере, начнем с двух односторонних пределов. Как только мы получим их, мы сможем определить значение нормального предела.

Итак, давайте сначала взглянем на правый предел и, как отмечалось выше, посмотрим, сможем ли мы выяснить, что будет делать каждый предел, фактически не подставляя в функцию какие-либо значения \(x\). Поскольку мы берем все меньшие и меньшие значения \(x\), оставаясь положительными, возведение их в квадрат только уменьшит их (вспомним, что возведение в квадрат числа между нулем и единицей уменьшит его) и, конечно, оно останется положительным. Итак, у нас есть положительная константа, деленная на все меньшее положительное число. В результате должно получиться возрастающее положительное число. Похоже, в этом случае у нас должно быть следующее значение правого предела, 92}}} = \infty\]

Теперь давайте посмотрим на левый предел. В этом случае мы будем брать все меньшие и меньшие значения \(x\), оставаясь на этот раз отрицательными. Когда мы возведем их в квадрат, они станут меньше, но после возведения в квадрат результат будет положительным. Итак, у нас есть положительная константа, деленная на все меньшее положительное число. Результатом, как и в случае правого предела, будет все большее положительное число, поэтому левый предел будет равен 9.- }} \frac{{ — 4}}{{x + 2}}\hspace{0. 5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to — 2} \frac{{ — 4}}{{x + 2}}\]

Показать решение

Начнем снова с правого предела. С правым пределом мы знаем, что имеем

. \[x > — 2\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}x + 2 > 0\]

Кроме того, по мере того, как \(x\) становится все ближе и ближе к -2, тогда \(x + 2\) будет все ближе и ближе к нулю, оставаясь при этом положительным, как отмечалось выше. Итак, для правого предела у нас будет отрицательная константа, деленная на все меньшее положительное число. Результатом будет все более большое и отрицательное число. Итак, похоже, что правый предел будет равен отрицательной бесконечности.

Для левого предела у нас есть

\[x < - 2\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}x + 2 <0\]

и \(x + 2\) будут все ближе и ближе к нулю (и будут отрицательными) по мере того, как \(x\) становится все ближе и ближе к -2. В этом случае у нас будет отрицательная константа, деленная на все меньшее отрицательное число. Результатом будет все большее положительное число, и поэтому похоже, что левый предел будет положительной бесконечностью. 9- }} \frac{{ — 4}}{{x + 2}} = \infty \hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\ limit_{x \to — 2} \frac{{ — 4}}{{x + 2}}\,\,{\mbox{не существует}}\]

Здесь мы должны кратко отметить идею вертикальных асимптот. На каждом из трех предыдущих графиков было по одному. Вспомним из курса алгебры, что вертикальная асимптота — это вертикальная линия (пунктирная линия в точке \(x = -2\) в предыдущем примере), на которой график будет стремиться к бесконечности и/или минус бесконечности с одной или обеих сторон линия. 9+ }} f\left( x \right) = \pm \,\infty \hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \pm \ ,\infty\]

Обратите внимание, что для того, чтобы функция имела вертикальную асимптоту в \(x = a\), требуется только один из указанных выше пределов. 3} > 0\] 9- }} \frac{{2x}}{{x — 3}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x}}{{x — 3} }\]

Показать решение

Давайте сначала рассмотрим правый предел. Для этого лимита у нас будет

. \[x > 3\hspace{0,5 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,5in}x — 3 > 0\]

Основное отличие здесь от этого примера заключается в поведении числителя по мере того, как мы приближаем \(x\) к 3. В этом случае мы имеем следующее поведение как для числителя, так и для знаменателя.

\[x — 3 \to 0\,\,\,{\mbox{and}}2x \to 6\,\,\,{\mbox{as}}x \to 3\]

Итак, по мере того, как мы приближаем \(x\) к 3 (всегда оставаясь справа, конечно), числитель, хотя и не является константой, все ближе и ближе к положительной константе, в то время как знаменатель становится все ближе и ближе к нулю и будет положительным, так как мы находимся на правой стороне.

Это означает, что у нас будет числитель, который все ближе и ближе к ненулевой и положительной константе, деленной на все меньшее положительное число, и поэтому результатом должно быть все большее положительное число. Тогда правый предел должен равняться положительной бесконечности.

Для левого предела у нас будет

\[x < 3\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x - 3 <0\]

Как и в случае правого предела, у нас будет следующее поведение числителя и знаменателя:

\[x — 3 \to 0\,\,\,{\mbox{and}}2x \to 6\,\,\,{\mbox{as}}x \to 3\]

Основное отличие в этом случае состоит в том, что знаменатель теперь будет отрицательным. Итак, у нас будет числитель, который приближается к положительной, отличной от нуля константе, деленной на все меньшее отрицательное число. Результатом будет все более большое и отрицательное число. 9- }} \frac{{2x}}{{x — 3}} = — \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x}}{{ x — 3}}{\mbox{ не существует}}\]

Как и в большинстве примеров в этом разделе, нормального предела не существует, поскольку два односторонних предела не совпадают.

Вот краткий график для проверки наших пределов.

Пока все, что мы сделали, это рассмотрели пределы рациональных выражений, давайте сделаем пару быстрых примеров с некоторыми другими функциями. 9+ }} \ln \влево( х \вправо)\]

Показать решение

Во-первых, обратите внимание, что здесь мы можем оценить только правый предел. Мы знаем, что областью определения любого логарифма являются только положительные числа, поэтому мы даже не можем говорить о левостороннем пределе, потому что это потребовало бы использования отрицательных чисел. Точно так же, поскольку мы не можем иметь дело с левосторонним пределом, мы не можем говорить и о нормальном пределе.

Этот предел довольно просто получить из быстрого наброска графика. 9- }} \tan \left( x \right) = \infty \]

Обратите внимание, что нормального предела не будет, поскольку два односторонних предела не совпадают.

Мы закончим этот раздел несколькими фактами о бесконечных пределах.

Факты

Учитывая функции \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\), предположим, что мы имеем, \[\ mathop {\ lim } \ limit_ {x \ to c} f \ left ( x \ right) = \ infty \ hspace {0,5 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ mathop {\ lim } \ limits_ {x \ to c} g\left( x \right) = L\]

для некоторых действительных чисел \(c\) и \(L\). Тогда

1. \(\ mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = \infty \)
2. Если \(L > 0\), то \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = \infty\)
3. Если \(L < 0\), то \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = - \infty\)
4. \(\displaystyle \mathop {\lim}\limits_{x \to c} \frac{{g\left(x\right)}}{{f\left(x\right)}} = 0\)

Доказательство этого набора фактов см.