Линейные уравнения – примеры с объяснением (7 класс, математика)
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 938.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 938.
Линейные уравнения это первый шаг на пути изучения огромного количества самых разных уравнений. Именно в этой теме ученики усваивают важнейшие приемы решения. Чтобы не упустить ни одну из мелочей курса математики 6 класса, разберемся в вопросе подробнее.
Что такое уравнение?
В общем случае, уравнением называется тождество с одной неизвестной.
Тождеством зовется равенство. То есть уравнение это два равных между собой выражения, одно из которых или оба содержат неизвестное. Важным является условие присутствия только одной неизвестной в одном уравнении.
Можно написать уравнение с двумя и большим количеством переменных, но такое выражение решить не получится. Запомните, даже в системах уравнений, количество переменных должно равняться количеству уравнений.
Например, система:
х+3=2
у+х=3
Z+у=4 – имеет решение. А вот уравнение:
Х+у=12 – однозначных решений не имеет. Почему?
Решением называется строго определенные числа, которые удовлетворяю требованиям равенства. То есть:Х+3=5
Неизвестная имеет только одно решение. В уравнении х+у=12 – решений бесконечно много. Число х может быть любым, как только мы выберем и подставим любое число, изменится в соответствии с нашим выбором и у. Поэтому и говорят, что у такого уравнения нет определенных решений.
Виды уравнений
Выделяют следующие виды уравнений:
Выделяют так же системы уравнений, где несколько тождеств имеют одинаковые значения переменных. В таких уравнениях часто используют способ подстановки, заменяя одну переменную другой.
Способы решения линейного уравнения
Любое уравнение можно решить двумя способами:
- Аналитическим, то есть с помощью математических вычислений. Этот способ хорош своей точностью
- Графическим, то есть с помощью построения на графике.
Этот способ хорош возможностью использования практически в любой ситуации. К нему прибегают, когда найти корень с помощью вычислений невозможно.
Этот способ хорош возможностью использования практически в любой ситуации. К нему прибегают, когда найти корень с помощью вычислений невозможно.Рассмотрим каждый из способов.
Графический способ
Для понимания графического способа нужно вспомнить, что такое функция. Функция это зависимость одной переменной от другой. Выражение, которое мы записали в начале: х+у=12 – как раз является функцией. Перенесем х в левую сторону выражения и запишем функцию в классическом виде.
у=12-х – функция имеет форму линии, откуда и название функции и соответствующего ей уравнения. Значение корня любого уравнения это одна или несколько точек на графике функции. Точки эти задаются пересечением с графиком другой функции.
Например, уравнение х+7=13 можно разбить на две функции:
у=х+7
у=13 – в первом случае это прямая линия. Во втором, прямая линия, которая проходит параллельно оси Оу через точку 13 на оси Ох. Точка пересечения двух графиков и будет решением уравнения.
Аналитический способ
Аналитический способ решения линейных уравнений подразумевает перенос величин из одной части выражения в другую с заменой знака. Смысл переноса в том, чтобы собрать все неизвестные в одной части уравнения, а все числа в другой.
Приведем пример линейного уравнения: 2х-7х+15=0
2х-7х+15=0 – соберем все значения х в правой части, а числа в левой
2х-7х=-15
-5х=-15 – теперь поделим обе части выражения на коэффициент при неизвестном, т. е. на число -5
х=3
Что мы узнали?
Мы поговорили о видах уравнений. Разобрали, какие уравнения нельзя решить и привели объяснение. Выделили и разобрали на примерах два способа решений линейных уравнений.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.Марина Богданова
8/10
Ольга Симанович
10/10
Валя Никитина
9/10
Герман Крутов
9/10
Татьяна Гужиева
10/10
Валерий Периков
6/10
Ярик Старовский
10/10
Наталья Карасёва
7/10
Романчитос Канаев
7/10
Валерий Цыганков
9/10
Оценка статьи
4.
2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 938.
А какая ваша оценка?
Практика. Линейные уравнения и их системы 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Решение линейных уравнений
Пример 1. Решить уравнение: .
Решение
Вспомним, что деление, по определению, операция, обратная умножению (деление на какое-либо число – это то же самое, что и умножение на обратное к этому числу):
Разделим обе части уравнения на или умножим на :
Упростим выражение в левой части уравнения:
Упростим выражение в правой части уравнения:
Таким образом, решением уравнения будет:
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение: .
Решение
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .
Упростим уравнение – выполним действия в обеих частях уравнения: .
Разделим обе части уравнения на :
Решением уравнения является .
Ответ: .
Пример 3. Решить уравнение: .
Решение
Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения. Для выражения в левой части уравнения используем распределительный закон: .
Тогда . Вспомним, что если перед скобками стоит знак минус, то при раскрытии скобок все знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположный: .
Перепишем уравнение после применения преобразований: .
Как и в предыдущем примере, перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .
Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим тождество: .
Таким образом, данное равенство верно всегда, при любых значениях переменной.
Ответ: – любое число.
Пример 4.
Решить уравнение: .
Решение
Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения, используя распределительный закон .
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .
Получаем .
Данное равенство неверно всегда, т.е. оно не выполняется ни при каких значениях переменной.
Ответ: нет решений.
Пример 5. Решить уравнение: .
Решение
Избавимся от знаменателей дробей – умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей, т.е. число :
Получим: .
Выполним сокращения и избавимся от знаменателей: .
Раскроем скобки:
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .
Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим следующее уравнение: .
Найдем :
Ответ: .
Системы линейных уравнений
В общем виде системы линейных уравнений выглядят следующим образом: где – переменные, – произвольные числа.
Есть несколько методов решения систем уравнений.
- Метод подстановки.
- Метод сложения.
- Графический метод.
Решение систем линейных уравнений
Пример 6. Решить систему: .
Решение (несколько способов)
1. Метод подстановки – необходимо в уравнении выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение.
Из первого уравнения выразим , для этого перенесем из левой части уравнения в правую: .
Затем умножим обе части первого уравнения на : .
Теперь подставим во второе уравнение полученное выражение: .
Теперь во втором уравнении только одна переменная , решим его (мы уже умеем это делать – получилось обычное линейное уравнение с одной переменной).
Раскроем скобки во втором уравнении: .
Во втором уравнении перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую: .
Выполним действия в обеих частях второго уравнения: .
Найдем : .
Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:
Решением системы будет: .
Ответ: .
2. Метод сложения – нужно преобразовать уравнения так, чтобы при одной переменной в разных уравнениях были противоположные коэффициенты, после этого нужно сложить правые и левые части уравнений.
Избавимся от переменной . Умножим первое уравнение на : .
Теперь система имеет вид: .
Сложим уравнения системы: .
Получим следующее уравнение: . Выполним действия: .
Найдем :
Подставим найденное значение в любое из уравнений исходной системы, например, в первое: .
Выразим : . Решением системы будет: .
Ответ: .
3. Графический метод
Сначала перепишем каждое из уравнений так, чтобы они задавали линейную функцию в привычном для нас виде , т.
е. выразим через :
Графиком линейной функции является прямая. Построим обе прямые по двум точкам. Вместо возьмем произвольные значения и подставим их в соответствующие уравнения прямых:
Отметим точки на координатной плоскости и проведем через них прямые (Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к примеру 6
Видно, что точкой пересечения прямых является точка с координатами . Поскольку точка лежит на каждой из прямых, а прямая – это множество решений уравнения, то точка пересечения прямых является решением каждого из уравнений, т.е. является решением системы. Координаты точки пересечения и будут решением системы.
Дополнительно нужно подставить координаты точки в исходную систему, чтобы убедиться в правильности: .
Ответ: .
Пример 7. Решить систему: .
Решение
Сначала упростим уравнения системы – избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим каждое уравнение на общий знаменатель дробей, которые в него входят (чтобы найти это число, нужно рассмотреть наименьшее общее кратное чисел, которые стоят в знаменателе):
Получим:
Выполним сокращения и избавимся от знаменателей:
Раскроем скобки:
Приведем подобные слагаемые:
Умножим второе уравнение на :
Сложим уравнения системы:
Получим уравнение:
Выполним действия:
Найдем :
Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:
Решением системы будет: .
Ответ: .
Задачи, решение которых сводятся к линейным уравнениям и их системам
Задача 1
Провод длиной 456 метров разрезали на 3 части (Рис. 2), причем первая часть в 4 раза длиннее третьей, а вторая – на 114 метров длиннее третьей. Найти длину каждой части провода.
Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1
Решение
1. Провод длиной 456 метров разрезали на 3 части:
Первая часть в 4 раза длиннее третьей:
Вторая часть на 114 метров длиннее третьей:
Теперь все выражено через часть 3, поэтому все замены можно переписать так:
2. Обозначим длину части 3 за :
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую:
Выполним действия:
Найдем – длину части :
3. Найдем длину части :
м
Часть :
м
Ответ: 228 метров; 171 метров; 57 метров.
Задача 2
Из села в город легковой автомобиль доехал за 2 ч, а грузовой – за 5 ч (Рис. 3). Найти скорость движения каждого автомобиля, если скорость грузового автомобиля на 48 км/ч меньше скорости легкового.
Рис. 3. Иллюстрация к задаче 2
Решение
Введем обозначения:
- Легковой автомобиль: – его скорость, – время, – путь, который он проходит.
- Грузовой автомобиль: –скорость, – время, – путь, который он проходит.
Перепишем условие задачи в новых обозначениях:
– автомобили проехали одно и то же расстояние
Воспользуемся следующей формулой: . Тогда:
Так как , то . Используем оставшееся условие и получим следующую систему: .
Такую систему будем решать методом подстановки – подставим первое уравнение во второе: .
Раскроем скобки: .
Перенесем все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без переменной – в другую: .
Найдем :
Таким образом, скорость легкового автомобиля: км/ч.
Найдем скорость грузового автомобиля: подставим найденное значение в уравнение :
км/ч
Ответ: 80 км/ч; 32 км/ч.
Задача 3
Токарь планировал изготавливать ежедневно по 24 детали, чтобы выполнить задание вовремя. Но он изготавливал ежедневно на 15 деталей больше (Рис. 4) и уже за 6 дней до окончания срока работы сделал 21 деталь сверх плана. За сколько дней токарь планировал выполнить задание?
Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3
Решение
Введем обозначения:
- Токарь планировал: сделать работу со скоростью за время .
- Получилось: сделал работу со скоростью за время .
Перепишем условие задачи в новых обозначениях:
деталь/день
деталь/день
Воспользуемся формулой:
Тогда:
Если , то .
Подставим в предыдущее уравнение: .
Раскроем скобки: .
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .
Выполним действия: .
Найдем :
Ответ: 17 дней.
Задачи. Системы линейных уравнений
Задача 4
Лодка за 3 ч движения по течению реки и 4 ч против течения проходит 114 км (Рис. 5). Найти скорость лодки по течению и ее скорость против течения, если за 6 ч движения против течения она проходит такой же путь, как и за 5 ч по течению.
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4
Решение
Введем обозначения:
- Скорость лодки по течению: .
- Скорость лодки против течения: .
Воспользуется формулой: .
Лодка за 3 ч движения по течению реки и 4 ч против течения проходит 114 км, тогда .
За 6 ч движения против течения она проходит такой же путь, как и за 5 ч по течению: .
Запишем полученную систему линейных уравнений: .
Воспользуется методом подстановки. Во втором уравнении выразим через – разделим обе части уравнения на : .
Подставим полученное значение в первое уравнение: .
Выполним действие: .
Найдем : .
Найдем : .
Ответ: км/ч; км/ч.
Задача 5
В двух ящиках лежат яблоки. Если из первого ящика переложить во второй 45 яблок, то в обоих ящиках их станет поровну (Рис. 6). Если же из второго ящика переложить в первый 20 яблок, то в первом станет в 3 раза больше яблок, чем во втором (Рис. 7). Сколько яблок лежит в каждом ящике?
Рис. 6. Иллюстрация к задаче 5
Рис. 7. Иллюстрация к задаче 5
Решение
Пусть изначально в первом ящике было яблок, а во втором – яблок. Если из первого ящика переложить во второй 45 яблок, то в обоих ящиках их станет поровну:
Если же из второго ящика переложить в первый яблок, то в первом станет в раза больше яблок, чем во втором: .
Запишем полученную систему линейных уравнений: .
Раскроем скобки во втором уравнении: .
В обоих уравнениях выразим через : .
Воспользуемся методом подстановки – подставим выражение во второе уравнение: .
Во втором уравнении перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую: .
Найдем – количество яблок во втором ящике: . Подставим найденное значение в первое уравнение и найдем – количество яблок в первом ящике:
Ответ: .
Задача 6
Один металлический сплав содержит меди, другой – меди (Рис. 8). Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить 120 кг сплава, содержащего меди (Рис. 9)?
Рис. 8. Иллюстрация к задаче 6
Рис. 9. Иллюстрация к задаче 6
Решение
Пусть необходимо взять кг первого сплава и кг второго сплава. Тогда .
Теперь посчитаем массу меди, она составляет: .
Мы знаем, что – это от чего-то (Рис.
10), значит, — это , т.е. от – это .Аналогично от – это , а от – это .
Рис. 10. Иллюстрация к задаче 6
Запишем уравнение: . Запишем полученную систему линейных уравнений: .
В первом уравнении выразим через : .
Воспользуемся методом подстановки – подставим первое уравнение во второе: .
Раскроем скобки во втором уравнении: .
Во втором уравнении оставим слагаемые с переменной в левой части уравнения, а без переменной перенесем в правую: .
Выполним действия: . Найдем – количество кг второго сплава, которое необходимо взять: .
Найдем – количество кг первого сплава: .
Ответ: кг; кг.
Задача 7
Сумма цифр двузначного числа равна . Если поменять местами его цифры, то получим число, которое больше данного на . Найти данное число.
Решение
Обозначим двузначное число так: . Сумма цифр двузначного числа равна : .
Если поменять местами его цифры, то получим следующее число: .
Так как в числе десятков и единиц, то , а в числе десятков и единиц, значит, .
Число на больше, чем , поэтому .
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую:
Запишем полученную систему линейных уравнений: .
В первом уравнении выразим через : .
Воспользуемся методом подстановки – подставим это выражение во второе уравнение: .
Во втором уравнении раскроем скобки: .
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую и выполним действия: .
Найдем – число единиц в числе :
Найдем – число десятков в числе :
Таким образом, исходным числом является .
Ответ: .
Заключение
На этом уроке мы потренировались решать различные уравнения и системы линейных уравнений, а также задачи, которые к ним сводятся.
Список рекомендованной литературы
- Никольский С. М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, изд-во «Просвещение», 2017.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2014.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2013.
М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, изд-во «Просвещение», 2017.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
- Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
- Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
Домашнее задание
- Решите уравнение: .
- Решите графически систему уравнений: .
- Три утенка и четыре гусенка весят г, а четыре утенка и три гусенка весят г. Сколько весит один гусенок?
Linear Equations Class 10 — NCERT Solutions, MCQ, Exemplar [2023-24]
Вы учитесь.
..
Обновлено для NCERT 2023-24 Книги
Получите решения NCERT для главы 3, класс 10 — Пара линейных уравнений с двумя переменными в Teachoo. Ответы на все вопросы упражнения, примеры и дополнительные вопросы были снабжены видео каждого вопроса
Мы изучали линейные уравнения с двумя переменными в классе 9, мы будем изучать пара линейных уравнений в этой главе.
В этой главе мы узнаем
- Что такое Линейные уравнения с двумя переменными
- Преобразование утверждений в уравнения и построение графика этих линейных уравнений
- Возможный тип графиков для пары линейных уравнений с двумя переменными — две пересекающиеся линии, две параллельные линии, совпадающие прямые
- Нахождение s Решение уравнений по графикам
- Непротиворечивость уравнений путем нахождения отношения a 1 /a 2 , b 1 /b 2 , c 1 /c 9004 1 2
- и проверка того, являются ли линии
- Совпадающие линии (Бесконечное множество решений)
- Параллельные линии ( Нет решений)
- Замена Метод
- Исключение Метод
- Перекрестное умножение Метод
Щелкните ссылку на упражнение или тему ниже, чтобы начать выполнение главы 9.
0003
Примечание. При нажатии на ссылку открывается первый вопрос. Чтобы открыть любой другой вопрос упражнения, перейдите в конец страницы. Существует список со стрелками, содержащий все вопросы ( важных вопросов, также отмечены)
Серийный номер
Пример 3.1
Пример 3.2
Пример 3.3
Примеры
Вопросы по делу (MCQ)
MCQ от NCERT Exemplar
График пары линейных уравнений
Метод перекрестного умножения
Уравнения, сведенные к паре линейных уравнений
Важные вопросы по линейным уравнениям
Концептуальные вопросы
Составление уравнений графически и алгебраически
Нахождение соотношений (согласованность)
Графическое решение уравнений
Замена
Ликвидация
Метод перекрестного умножения
Смешанные вопросы — Уравнение
Смешанные вопросы — Составим уравнение
Что в нем?
Обновлено для NCERT 2023-24 Books
Получите решения NCERT для главы 3, класс 10 — Пара линейных уравнений с двумя переменными в Teachoo.
Ответы на все вопросы упражнения, примеры и дополнительные вопросы были предоставлены с видео каждого вопроса
Мы изучали линейные уравнения с двумя переменными в классе 9, мы будем изучать пар из линейных уравнений в этой главе.
В этой главе мы узнаем
- Что такое Линейные уравнения с двумя переменными
- Преобразование утверждений в уравнения и построение графика этих линейных уравнений
- Возможный тип графиков для пары линейных уравнений с двумя переменными — две пересекающиеся линии, две параллельные линии, совпадающие прямые
- Нахождение Решение уравнений по графикам
- Непротиворечивость уравнений путем нахождения отношения 1 /а 2 , б 1 /б 2 , в 1 /с 2
- и проверка того, являются ли линии
- Совпадающие линии (Бесконечное множество решений)
- Параллельные линии ( Нет решений)
- Замена Метод
- Ликвидация Метод
- Перекрестное умножение Метод
Щелкните ссылку на упражнение или тему ниже, чтобы начать выполнение главы
Примечание.
При нажатии на ссылку открывается первый вопрос. Чтобы открыть любой другой вопрос упражнения, перейдите в конец страницы. Есть список со стрелками, в котором есть все вопросы (с важные вопросы также отмечены)Teachoo дает вам лучший опыт, когда вы вошли в систему. Пожалуйста, войдите 🙂
Войти
Teachoo ответит на все ваши вопросы, если вы черный пользователь!
Присоединиться к Teachoo Черный
Уравнение, сводимое к паре линейных уравнений с примерами
Мы обсудим решение таких пар уравнений, которые не являются линейными, но могут быть приведены к линейному виду с помощью подходящих замен.
вопрос 1. Решите следующую систему уравнений
, х, у ≠ 0,
Решение: Положим 1/x = u и 1/y = v
⇒ 12u + 4v = 1 …(i)
3u + 2v = 0 …(ii)
Умножьте уравнение (ii) на 4, чтобы сделать коэффициенты u равными
12u + 4v = 1…(iii)
12u + 8v = 0 …(iv)
–4v = 1
v = -1/4
Ввод значения v в уравнение (i)
Следовательно,
1/x = u или 1/x = 1/6 ⇒ x = 6
1/y = v или 1/y = 1/-4 ⇒ y = –4
Решение x = 6, y = –4.
вопрос 2. Решите следующую систему уравнений
.
Решение:
10/ х + у + 2/х- у = 4…(i)
15/х + у — 5/х -у = -2 … (ii)
Положим 1/x + y = u и 1/x — y = v
10u + 2v = 4 …(iii)
15u — 5v = -2…(iv)
Умножение уравнения (iii) на 5 и уравнения (iv) на 2 для исключения v
50u + 10v = 20
30у — 10в = -4
80u = 16
и = 16/80 = 1/5
Подставляя значение u в уравнение (iii), мы получаем
10 х 1/5 + 2в = 4
2 + 2v = 4
2т = 2
v = 1
∴ 1/х + у = 1/5, 1/х -у = 1
или х + у = 5 …(v)
х — у = 1 …(vi)
Складывая уравнения (v) и (vi), получаем
2x = 6 ⇒ x = 3
Подставляя значение x в уравнение (v), получаем
3 + у = 5
у = 2
Решение х = 3; у = 2
ЗАДАЧИ СЛОВА:
Для решения повседневных задач с помощью одновременных линейных уравнений с двумя переменными или приводимых к ним уравнений поступают следующим образом:0003
(i) Представить неизвестные величины теми же переменными x и y, которые подлежат определению.
(ii) Найдите условия, данные в задаче, и переведите вербальные условия в пару одновременных линейных уравнений.
(iii) Решите эти уравнения и получите требуемые величины в соответствующих единицах измерения.
Тип проблем:
(i) Определение двух чисел, когда задано отношение между ними.
(ii) Проблемы с дробями, цифрами числа, возрастом людей.
(iii) Проблемы течения реки, времени и расстояния.
(iv) Проблемы, связанные с менструацией и геометрией.
(v) Проблемы, связанные со временем и работой.
(vi) Проблемы, связанные с смесями, раскладушками, переносом и утерей, скидками.
вопрос 3. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Кроме того, девять раз это число вдвое больше числа, полученного путем изменения порядка цифр. Найдите число.
Решение: Пусть цифра в разряде единиц = y.
Пусть цифра десятков = х.
∴ Данное число равно 10x + y.
Согласно вопросу,
х + у = 9 … (i)
Когда цифры перевернуты, y становится цифрой десятков, а x становится цифрой единиц.
∴ Обратное число 10y + x.
Согласно вопросу,
9(10х + у) = 2(10у + х)
90x + 9y = 20y + 2x
90x — 2x = 20y — 9y
88х — 11у = 0
8x – y = 0 …(ii)
8х = у … (iii)
Подставляя значение y в уравнение (ii), мы имеем
х + 8х = 9
9x = 9
х = 1.
Из уравнения (iii) y = 8,
Необходимое число 18.
вопрос 4. Найдите два числа такие, что сумма удвоенного первого и трехкратного второго равна 89 и первое в четыре раза больше второго в пять раз на 13.
Решение: Пусть два числа будут x и y.
Тогда образуются уравнения 2x + 3y = 89 ….(i)
4x – 5y = 13 …(ii)
При решении уравнения (i) и (ii), мы получаем
х = 22
и у = 15
Следовательно, требуемые числа 22 и 15.
вопрос 5. Числитель дроби на 4 меньше знаменателя. Если числитель уменьшить, а знаменатель увеличить на 1, то знаменатель в восемь раз больше числителя.