14 Функции многих переменных
Функции многих переменных
§1. Понятие функции многих переменных.
Пусть имеется n переменных величин . Каждый набор обозначает точку n—мерного множества (п-мерный вектор).
Пусть даны множества и .
Опр. Если каждой точке ставится в соответствие единственное число , то говорят, что задана числовая функция n переменных:
.
называют областью определения, — множеством значений данной функции.
В случае n=2 вместо обычно пишут x, y, z. Тогда функция двух переменных имеет вид:
z=f(x,y).
Например, — функция двух переменных;
— функция трех переменных;

Опр. Графиком функции n переменных называется n—мерная гиперповерхность в пространстве , каждая точка которой задается координатами
.
Например, графиком функции двух переменных z=f(x,y) является поверхность в трехмерном пространстве, каждая точка которой задается координатами (x,y,z), где , и .
Поскольку график функции трех и более переменных изобразить не представляется возможным, в основном мы будем (для наглядности) рассматривать функции двух переменных.
Построение графиков функций двух переменных является довольно сложной задачей. Существенную помощь в ее решении может оказать построение так называемых линий уровня.
Опр. Линией уровня функции двух переменных z=f(x,y) называется множество точек плоскости ХОУ, являющихся проекцией сечения графика функции плоскостью, параллельной ХОУ.
Опр. Поверхностью уровня функции n переменных y=f () называется гиперповерхность в пространстве , в каждой точке которой значение функции постоянно и равно некоторому значению с. Уравнение поверхности уровня: f ()=с.
.
.
При с=1: ; .
При с=4: ; .
При с=9: ; .
Линии уровня –
концентрические окружности, радиус
которых уменьшается с ростом z.
§2. Предел и непрерывность функции многих переменных.
Для функций многих переменных определяются те же понятия, что и для функции одной переменной. Например, можно дать определения предела и непрерывности функции.
Опр. Число А называется пределом функции двух переменных z=f(x,y) при , и обозначается , если для любого положительного числа найдется положительное число , такое, что если точка удалена от точки на расстояние меньше , то величины f(x,y) и А отличаются меньше чем на .
Опр. Если функция z=f(x,y) определена в точке и имеет в этой точке предел, равный значению функции , то она называется непрерывной в данной точке.
Пример.
.
.
§3. Частные
производные функции многих переменных.
Рассмотрим функцию двух переменных .
Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например , положив . Тогда функция есть функция одной переменной . Пусть она имеет производную в точке :
.
Разность называется частным приращением по и обозначается :
.
Учитывая приведенные обозначения, можно записать
.
Аналогично определяется
.
Частной производной функции нескольких переменных по одной
из этих переменных называется предел
отношения частного приращения функции
к приращению соответствующей независимой
переменной, когда это приращение
стремится к нулю.
При нахождении частной производной по какому-либо аргументу другие аргументы считаются постоянными. Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы для частных производных функции многих переменных.
Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.
Например, функция имеет четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:
; ;
; .
и — смешанные частные производные.
Пример. Найти частные производные второго порядка для функции
.
Решение. , .
, .
, .
Задание.
1. Найти частные производные второго порядка для функций
, ;
2. Для функции доказать, что .
Полный дифференциал функции многих переменных.
При одновременном изменении величин х и у функция изменится на величину , называемую полным приращением функции z в точке . Так же, как и в случае функции одной переменной, возникает задача о приближенной замене приращения на линейную функцию от и . Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции:
Полный дифференциал второго порядка:
=
= .
=.
В общем виде полный дифференциал п-го порядка имеет вид:
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция z=f(x
,y) определена в некоторой окрестности точки M(x,y) и — некоторое направление, задаваемое единичным вектором .
,
.
При перемещении точки M(x,y) в данном направлении l в точку функция z получит приращение
,
называемое приращением функции в данном направлении l.
Если ММ1=∆l, то
.
Т
огда
.
О
пр. Производной функции z=f(x,y)по направлению называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆l при стремлении последней к нулю:
.
Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. Очевидно, что частные производные и представляют собой производные по направлениям, параллельным осям Ox и Oy. Нетрудно показать, что
.
Пример. Вычислить производную функции в точке (1;1) по направлению .
Опр. Градиентом функции z
=f(x,y) называется вектор с координатами, равными частным производным:.
Рассмотрим скалярное произведение векторов и :
Легко видеть, что , т.е. производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора направления .
Поскольку
,
то скалярное произведение максимально,
когда векторы одинаково направлены.
Таким образом, градиент функции в точке
задает направление наискорейшего
возрастания функции в этой точке, а
модуль градиента равен максимальной
скорости роста функции.
Зная градиент функции, можно локально строить линии уровня функции.
Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция z=f(x,y) и в точке градиент функции не равен нулю: . Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.
Таким образом, если, начиная с некоторой точки, строить в близких точках градиент функции и малую часть перпендикулярной ему линии уровня, то можно (с некоторой погрешностью) построить линии уровня.
Локальный экстремум функции двух переменных
Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки .
Опр. Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность точки , в которой для любой точки выполняется неравенство:
.
Аналогично вводится
понятие локального минимума.
Теорема (необходимое условие локального экстремума).
Для того, чтобы дифференцируемая функция имела локальный экстремум в точке , необходимо, чтобы все ее частные производные первого порядка в этой точке были равны нулю:
Итак, точками возможного наличия экстремума являются те точки, в которых функция дифференцируема, а ее градиент равен 0: . Как и в случае функции одной переменной, такие точки называются стационарными.
Пример. .
1)Определение функции двух переменных
Если каждой паре ( x;y) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторого множества D соответствует единственное значение величины, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная на множестве D.
Обозначается: z=f(x;y)
или z=z(x;y).
Например, S=ab, S=S(a;b)- функции двух переменных; V=abc, V=V(a,b.c) – функция трех переменных;
2)Область определения ф-ии двух переменных
Область определения функции z=f(x,y) называется совокупность пар чисел (x,y), которым соответствуют действительные значения функции. D={(x,y)}
Множество Z={f(x,y)} – множество значений функции.
3)График функции двух переменных. Линии уровня. Поверхности уровня.
Графиком функции z= f(x,y) называется поверхность, представляющая собой геометрическое место точек функции, когда точка (x,y) принимает все значения из области определения.
Линией уровня функции z= f(x,y) называется геометрическое место точек (x,y) плоскости, в которой функция принимает одно и то же значение С. Линию уровня можно построить, спроектировав на плоскость XOY множество точек пространства. Уравнение линии уровня имеет вид f(x,y)=С.
Поверхностью
уровня u=с
функции u=
f(x,y,z)
называется поверхность f(x,y,z)=с,
в точках которой функция u=
f(x,y,z)
сохраняет значение, равное с.
4)Предел и непрерывность ф-ии нескольких переменных.
Введем понятие D-окрестности точки М0 (Х0 , у0) на плоскости ОХу как круга радиуса D с центром в данной точке. Аналогично можно определить D-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса D с центром в точке М0 (Х0 , у0 , Z0). Для N-мерного пространства будем называть D-окрестностью точки М0 множество точек М С координатами , удовлетворяющими условию
Координаты точки М0. Иногда это множество называют «шаром» в N-мерном пространстве.
Число А называется Пределом функции нескольких переменных
В точке М0, если
Такое, что | F(M) – A| < ε для любой точки М из δ-окрестности М0.
Обозначения:
Необходимо
учитывать, что при этом точка М может приближаться к М0,
условно говоря, по любой траектории
внутри D-окрестности
точки М0. Поэтому следует отличать предел функции
нескольких переменных в общем смысле
от так называемых Повторных
пределов,
получаемых последовательными предельными
переходами по каждому аргу
Функция Называется Непрерывной в точке М0 Если |
Если ввести обозначения
То это условие можно переписать в форме
Внутренняя точка М0 Области определения функции Z = F (M) называется Точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняется условие |
Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве Линии Или Поверхности разрыва.
5)Определение частных производных
Частные
производные функции y=f(M)в
том случае, если они существуют не в
одной точке, а на некотором множестве
A’,
являются функциями, определенными на
этом множестве. Поэтому удобно ввести
следующие обозначения:
F’x1=g1(M), f’x2=g2(M)….
Полученные функции g1, g2….gn, определенные в A’, могут быть непрерывными и иметь частные производные в различных точках A’.Назовем частные производные от функций g1,g2…gn. частными производными высшего порядка от функции f(M) и примем для каждого j (j=1,2,3…n)
(fx1)’xj=f’’x1xj , (f’x2)’xj=f’’x2xj,…, (f’xn)’xj=f’’xnxj или (f’xi)’xj=f’’xixj, где I и j= 1,2,3…n.
Эти производные разбиваются на две группы: вторые частные производные от f по переменным xi
f’’x²i= (f’xi)’xj, i=1,2,…n, j=1,2,…n.
и смешанные частные производные от f по переменным xi и xj (i≠j)
f’’xixj=(f’xi)’xj, i=1,2…n, j=1,2…n.
Число
вторых частных производных функции
f(M)равно
n,
а число смешанных частных производных
– разности n²-n=n(n-1).
При этом величина n²
определяет общее число всех старших
производных и совпадает с числом
элементов квадратной матрицы порядка
n.
Элементы такой матрицы имеют индексы
I
и j,
которые находятся во взаимно однозначном
соответствии с координатными индексами
xi,
xj,
определяющими порядок частной производной.
Пример 16.1.1. Рассмотрим $f(x,y)=3x+4y-5$. Написание этого как $z=3x+4y-5$ и затем $3x+4y-z=5$ узнаем уравнение самолет. В форме $f(x,y)=3x+4y-5$ акцент сместился: теперь мы думайте о $x$ и $y$ как о независимых переменных и $z$ как о переменной зависит от них, но геометрия неизменна. $\квадрат$ 92
Пример 16.1.3. Рассмотрим $f=\sqrt x+\sqrt y$. Эта функция определяется только тогда, когда
оба $x$ и $y$ неотрицательны. Когда $y=0$, мы получаем $f(x,y)=\sqrt x$,
знакомая функция квадратного корня в плоскости $x$-$z$, а при $x=0$
мы получаем такую же кривую в плоскости $y$-$z$. Вообще говоря, мы видим
что, начиная с $f(0,0)=0$, эта функция становится больше во всех направлениях
примерно так же, как функция квадратного корня получает
больше. Например, если мы ограничим внимание строкой $x=y$, мы
получаем $f(x,y)=2\sqrt x$ и вдоль строки $y=2x$ имеем $f(x,y)=\sqrt
x+\sqrt{2x}=(1+\sqrt2)\sqrt x$.
$\квадрат$
Рисунок 16.1.1. $f(x,y)=\sqrt x+\sqrt y$
Компьютерная программа, рисующая такие поверхности, может быть очень полезной, так как она часто трудно получить хорошее представление о том, как они выглядят. Все еще, полезно уметь визуализировать относительно простые поверхности без таких пособий. Как и в предыдущем примере, часто бывает хорошей идеей исследовать функцию на ограниченных подмножествах плоскости, особенно линии. Также может быть полезно определить те точки $(x,y)$, которые имеют общее $z$-значение. 92$
Как и в этом примере, точки $(x,y)$ такие, что $f(x,y)=k$ обычно
образуют кривую, называемую кривой уровня функция. График некоторых кривых уровня может дать хорошее представление о
форма поверхности; это очень похоже на
топографическая карта
принадлежащий
поверхность. На рисунке 16. 1.2 как поверхность, так и
показаны связанные с ним кривые уровня. Обратите внимание, что, как и в случае с
на топографической карте высоты, соответствующие кривым уровня, равны
равномерно распределены, так что там, где кривые расположены ближе друг к другу, поверхность
круче.
9n\to\R$ ведут себя как функции двух
переменные; мы будем при случае обсуждать функции трех переменных.
Основная трудность с такими функциями заключается в том, чтобы визуализировать их, как
они не «вписываются» в три измерения, с которыми мы знакомы.
три переменных существуют различные способы интерпретации функций, которые
сделать их более понятными. Например, $f(x,y,z)$ может
представляют собой температуру в точке $(x,y,z)$, или давление, или
сила магнитного поля. По-прежнему полезно рассмотреть те
точки, в которых $f(x,y,z)=k$, где $k$ — некоторая постоянная величина. Если
$f(x,y,z)$ — температура, множество точек $(x,y,z)$ таких, что
$f(x,y,z)=k$ — совокупность точек пространства с температурой $k$;
вообще это называется 92}$
(отвечать)
Пример 16. 1.7 Ниже приведены два набора кривых уровня. Один для конуса, один
это для параболоида. Какой какой? Объяснять.
Поверхности, часть 6
Поверхности, часть 6Поверхности и контурные графики
Часть 6: Контурные линии
Контурная линия (также известная как
как кривая уровня ) для данной поверхности есть кривая пересечения
поверхность с горизонтальной плоскостью, z = с . Представитель
совокупность контурных линий, спроецированных на плоскость xy , представляет собой контур карта или контурный участок поверхности .
В частности, если поверхность график функции две переменные, скажем, z = f ( x , y ), то контуры определяются неявно уравнениями вида f ( x , y ) = в , г = с . Проекции на плоскость xy , которые составляют контурную карту, определяемую как f ( x , y ) = c , z = 0, опять же для репрезентативного набора констант c . На следующем рисунке мы показываем обычный график графика функции на слева и соответствующая контурная карта справа. На этой карте цвета используются для отображения разных высот, более светлые цвета на более высоких высотах.
- Убедитесь, что вы понимаете, как
контурная карта представляет функцию на рисунке выше. Как вы можете сказать
из контурной карты где есть «вершина» на поверхности? Долина»?
«седловая точка»? [Седловая точка — это ровная точка, с которой вы
может идти вниз в каком-то направлении и вверх в каком-то другом направлении.
] Дайте приблизительное xy -координаты для каждого из этих трех объектов.
- Запишите уравнения уровня кривые для f ( x , y ) = x 2 + y 2 для четырех значений c . Нарисуйте эту поверхность и эти кривые уровня на вашем рабочий лист. Если в вашей системе компьютерной алгебры есть параметр контура, используйте его для начертите контурные линии как на поверхности, так и в проекции на xy -плоскость.
Широко используются контурные графики в географии для обозначения высоты земли над точкой на карте. Такой карты называются топографическими картами . Следующий рисунок является примером.
- Определите вершину горы в топографическая карта, показанная на рисунке выше. Как можно использовать контуры, чтобы уверен в этом? Как отличить относительно крутые места на горный склон из не очень крутых мест?
- На рисунке ниже показан контур
график математической функции.