Mathscene — Экспоненты и логарифмы
Mathscene — Экспоненты и логарифмы — Урок 3| 2007 Расмус Эхф и Джанн Сак Птурссон | Экспоненты и логарифмы | печать |
Урок 3
Естественный логарифмы
Поскольку калькуляторы и компьютеры стали инструменты для большинства числовых операций, логарифмы с основанием 10 стали менее полезно. С другой стороны, логарифм с другим основанием чем 10, становится все более полезным во многих науках.
Эта функция называется функцией натурального логарифма и имеет символ пер.
f(x)=ln x
Основанием натуральных логарифмов является число e которые вы видите на своем калькуляторе.
e — иррациональное число e2,718
| Пример 1 |
Вот как вы находите натуральный логарифм 2 на калькуляторе CASIO:
Ответ примерно
0,693 — степень, в которую нам нужно возвести e, чтобы получить 2.
e 0 . 693 ≈ 2
Проверь это на себе калькулятор:
Ответ: 1,9997 ≈ 2,
Функции f(x) = ln x и g(x) = e x отменить каждое other out, когда одна функция используется на выходе другой. Это то же самое происходит с f(x) = log x и g(x) = 10 x или возведение числа в квадрат, а затем извлечение квадратного корня из результата. Другими словами, функция f(x) = ln x обратна функции g(x) = e х .
Верно следующее: x = x og e ln х = х
Число e иррационально
и поэтому мы не можем найти точное значение для него.
Мы можем вычислить его значение до любого числа знаков после запятой, выбрав большее
и большие значения x и подставляя их в следующую формулу.
Пример 2
Рассчитайте e, подставив x = 1000 в формулу и с помощью калькулятора.
С помощью EXCEL получаем значение
2,7182818284591 для эл.
Таким образом, выбор x = 1000 дает нам только два правильных
цифры. Теперь попробуйте вычислить e, используя x = 1000000.
Теперь у нас есть пять правильных цифр. Чем выше значение x тем больше точность в нашем вычислении e.
Пример 3
Нарисуйте графики функции f(x) = ln x и g(x) = e x .
Первый составить таблицу значений:
| х | ф(х) = е х | х | г(х) = пер х | |
| -3 | 0,05 | -1,39 | ||
| -2 | 0,14 | -0,69 | ||
| -1 | 0,37 | 1 | 0 | |
| 0 | 1 | 2 | 0,69 | |
| 1 | 2,72 | 4 | 1,39 | |
| 2 | 7,39 | 8 | 2,08 |
Обратите внимание, что нет отрицательных
значения в столбце для g(x) = e x и в столбце x нет отрицательных значений для обратной функции g(x) =
х .
Область определения f(x) = ln x множество {xR | х > 0}.
Обратите внимание, что когда мы рисуем оба графика в одном
система координат они зеркальное отображение каждого
прочие (симметричные) в линию через точки, где у = х.
Это относится к графикам любых двух функций, которые являются обратными друг другу.
Те же правила действуют для натуральная логарифмическая функция
Следующие примеры показывают как эти правила используются.
Пример 4
Решите следующее уравнения :
а)
| Двигаться
2 и напишите как власть. Подставьте базовое число e в обе части уравнения. e и ln отменяют друг друга оставив нам квадратное уравнение. Переместить x над знаком равенства. Разложить на множители и решить на х |
x = 0 невозможно, так как
нельзя записать 0 как степень.
б)
| Запись
левая часть как один логарифм.
Положить в основном числе e. ln и e компенсируют друг друга.
|
в)
|
| Упрощение слева, записав как один логарифм. |
| Вставить основание e с обеих сторон. |
Пример 5
Решите следующее уравнения:
а)
| Взять логарифм обеих сторон . |
б)
Использование правила: и х( n ) м = a морских миль по
запишите каждую сторону как степень e .
|
в)
Использование правила: и x a y = a x+y и a x /a y = a x−y , чтобы записать каждую сторону как мощность эл.
|
Пример 6
Решите уравнения:
а)
Взять журнал обеих частей уравнения, затем используйте правило а x = x ln a для перемещения неизвестное значение перед пер.
|
б)
Взять
члены в x в одну часть уравнения и другие члены в другую
сторона. |
