Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
,
где p и q — вещественные числа (постоянные величины), f(x) — непрерывная функция.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. такого, у которого правая часть равна нулю. Записывается это так: .
Общее решение может найти каждый, кто ознакомился с соответствующим уроком. Остаётся рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Существуют методы решения для случаев, когда функция f(x) в правой части уравнения представляет собой многочлен, показательную функцию и тригонометрическую функцию.
Пусть правая часть — многочлен второй степени: . Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать также в виде многочлена второй степени: . Задача состоит в определении коэффициентов A, B, C.. Для этого находим первую и вторую производные функции Y, а затем выражения Y, и подставляем в уравнение вместо маленькой буквы y с соответствующим количеством штрихов. В результате получаем
или после группировки членов левой части
Последнее тождество возможно лишь при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях x:
Т. е. получили систему трёх уравнений относительно трёх неизвестных A, B, C. При система даёт единственное решение для A, B, C
.
Если же в линейном неоднородном дифференциальном уравнении коэффициент , то его частное решение следует искать в виде
.
Далее — также ищем и , а затем подставляем выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, не забывая, что .
Если же и , то исходное уравнение имеет вид . Оно решается непосредственным двукратным интегрированием.
Аналогично поступают в случаях, когда в линейном неоднородном дифференциальном уравнении функция f(x) является многочленом n-й степени. Если , то частное решение ищут в виде многочлена той же степени. Если же , то частное решение ищут в виде произведения многочлена n-й степени на x. Если и предшествующий ему коэффициент равен нулю, то частное решение ищут в виде и т.д.
Пример 1. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Сначала решаем однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному. Характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и (как искать корни квадратного уравнения). Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде , поскольку в правой его части — многочлен второй степени, а . Подстановка функции Y и её производных в данное уравнение приводит к тождеству
или
.
Отсюда для определения коэффициентов A, B, C получаем систему уравнений
Её решения , , .
Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения
,
а его общее решение
.
Пример 2. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид . Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Так как в данном уравнении (отсутствует член с y), а в правой его части — многочлен первой степени, то частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде . Найдя первую и вторую производные функции
или
.
Таким образом, для определения коэффициентов A, B получаем систему уравнений
Её решения , .
Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения
,
а его общее решение
.
Правая часть уравнения — показательная функция
То есть, . Тогда и его частное решение также будем искать в виде показательной функции: . Для определения коэффициента A найдём первую и вторую производные этой функции: , , а затем подставим выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Это даёт
или
так как . Отсюда найдём A, если , т. е. если коэффициент b не является корнем характеристического уравнения.
Если же b — однократный корень характеристического уравнения, т. е. , то частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде . В этом случае коэффициент A определяется однозначно. Для этого находим и , а затем подставив выражения для Y, и в исходное уравнение, получим
или после тождественных преобразований
.
Если же является корнем характеристического уравнения, то это означает, что b является двукратным корнем этого уравнения. Тогда частное решение линейного однородного дифференциального уравнения следует искать в виде . Для определения коэффициента A находим и , а затем подставляем выражения для Y, и в исходное уравнение и получим
или после приведения подобных членов и сокращения на
.
Но как дискриминант характеристического уравнения, имеющего равные корни. Следовательно, последнее равенство упрощается и принимает вид , откуда и определяется A.
Пример 3. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение.
Сначала решим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному. Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид.
Правая часть исходного уравнения представляет собой показательную функцию, а коэффициент b = 4 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде. Находим его первую и вторую производные, а затем выражения для Y, и подставляем в исходное уравнение и получим
или , т. е. .
Следовательно, частным решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения служит функция , а его общее решение имеет вид
.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Данному уравнению соответствует такое же однородное уравнение, как и в примере 3, а значит, такое же решение однородного уравнения. Однако частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , так как коэффициент b = 2 является корнем характеристического уравнения. Для определения коэффициента A находим и , а затем выражения для Y, и подставляем в исходное уравнение и получим
откуда находим , т. е. .
Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а общее решение
.Правая часть уравнения — тригонометрическая функция вида ,
причём . Тогда и частное решение следует искать в таком же виде, а именно . Для определения коэффициентов A и B находим первую и вторую производные этой функции и подставляем выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Тогда после группировки членов в левой части получаем
.
Это тождество возможно, если коэффициенты при и совпадают. Приравнивая их, получим систему уравнений
откуда находим
,
.
Эти формулы показывают, что коэффициенты A и B можно найти всегда, за исключением случая . Так как , то это равенство возможно, если и , т. е. если линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет вид
.
В этом случае частное решение следует искать в виде . Найдя вторую производную и подставив выражения для Y и в уравнение, получим
или после упрощений
откуда , .
Из этих уравнений всегда можно определить коэффициенты A и B, поскольку
Пример 5.
Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид . Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Для определения коэффциентов A и B находим и и подставляем выражения для Y, и в исходное уравнение и получим
или после приведения подобных членов
откуда для определения A и B получаем систему уравнений
Решая её, найдём .
Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а его общее решение
.
Пример 6. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Данному неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение . Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Таким образом, общее решение однородного уравения
.
В данном уравнении отсутствует член с первой производной, а . Поэтому его частное решение ищем в виде . Подстановка выражений и Y даёт
или
откуда , .
Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а его общее решение
.
Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму рассмотренных типов функций, т. е. , то частное решение этого уравнения равно сумме частных решений, полученных отдельно для каждого слагаемого.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
К началу страницы
Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения Бернулли
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться с друзьями
Решение ЛНДУ | Математика
Рассмотрим решение ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов,если правая часть — произведение экспоненты и многочлена.
Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
Для однородного уравнения составляем характеристическое уравнение и решаем его:
Поскольку коэффициенты k1 и k2 — действительные числа и k1≠k2, общее решение однородного дифференциального уравнения есть
Поскольку
значит, это случай Ia, поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде
Найдем первую и вторую производные частного решения
Теперь подставим их в условие:
Обе части уравнения разделим на e в степени 3x:
Отсюда
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
Находим корни характеристического уравнения:
Корни комплексные, поэтому общее решение однородного дифференциального уравнение есть
Подставляем в условие:
Решение ЛНДУ есть
Составим для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение и найдем его корни:
Поскольку корни действительные, но совпадающие, общее решение
Теперь подставляем полученные выражения в условие:
Отсюда общее решение неоднородного уравнения
Составляем для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение и решаем его:
Корни действительные, и
Теперь находим первую и вторую производные частного решения, полученные выражения подставляем в условие:
Отсюда получили частное решение неоднородного дифференциального уравнения:
а общее решение ЛНДУ — сумма найденных решений:
Составляем характеристическое уравнение для ЛОДУ:
Корни действительные и различные, поэтому общее решение однородного уравнения есть
Находим первую и вторую производные частного решения ЛНДУ:
Теперь полученные выражения подставляем в условие:
Решение ЛНДУ — сумма общего решения однородного и частного — неоднородного уравнений:
Примеры для самопроверки.
Найти решение ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов:
Показать решение
ЛДУ-Э | Сигнод
Связаться с нами Запросить демо
Группа решений
- Продукция
- Услуги
- Интеграция
- Автоматика
упаковка
комплект
объединить
склад
транспорт
Региональная доступность
Америка
Азиатско-Тихоокеанский регион
EMEA
Запайщик коробок LDU-E предназначен для коробок с малым весом и быстрой переналадки с одной коробки на другую.
Низкие эксплуатационные расходы
Закрытая система двигателя и привода для простоты обслуживания
Быстрая замена
Замена одного устройства на другое менее чем за 10 секунд
Сэкономьте до 25 % своего времени с помощью LDU-E по сравнению с ручным заклеиванием лентой
LDU-E
Заклейщик коробок LDU-E обеспечивает удивительно быструю замену одной коробки на другую, прочная конструкция заклейщика коробок спроектированы в соответствии с высокими стандартами для обеспечения надежного обслуживания. LDU-E лучше всего работает с коробками меньшей высоты из-за конструкции смещенного картриджа, приводимого в действие одним закрытым моторным редуктором, система проста в обслуживании. Предлагая повышенную производительность по сравнению с ручным запечатыванием, LDU-E является отличным вариантом для экономии времени для вашего бизнеса.
LDU-E можно интегрировать в автоматизированную упаковочную линию. Чтобы узнать больше о том, как Signode может помочь с автоматизированными решениями, нажмите здесь.
Особенности и преимущества
- Ассортимент коробок
С LDU-E можно использовать коробки различных размеров, от плоских до высоких, что делает универсальное решение для упаковки. - Простые замены
Настроить машину очень просто, и ее можно использовать одновременно со сменными картриджами.
Доступные опции
- Картридж с короткой лентой (25 мм)
- Сверхширокий картридж (75 мм)
- Подающий стол
- Ролики
- Конвейеры 90 80 Injet
8 90 0015
Технические характеристики
Технические характеристики LDU-E Рабочая скорость (м/мм скорость ленты) 19 Вес (кг) 152 Материал крышки Лента, чувствительная к давлению, 50 мм Питание 90 В однофазноеВместимость кейса Диапазон длин (мм) 114 до бесконечности Диапазон ширины (мм) 114 до 558 Диапазон высоты (мм) 6 70 139 5 5 5 5 0 Примечание.
Определенные комбинации длины/ширины/высоты могут не обрабатываться из-за нестабильных условий транспортировки. Брошюра LDU-E
Группа решений
- Продукты
- Услуги
- Интеграция
- Автоматика
упаковка
комплект
объединить
склад
транспорт
LDU — MecTho
Блок обнаружения жизни
Обнаружение людей на конвейерных лентах или в критических зонах
Блок обнаружения жизни
Обнаружение людей на конвейерных лентах или в критических зонах
Инновационная система обнаружения на основе искусственного интеллекта
LDU™ — это инновационная встроенная система обнаружения, способная идентифицировать присутствие людей (и, возможно, других категорий интересов) в пределах объемов проверки, настраиваемых во время установки.
Особая забота была посвящена пятнистым младенцам и детям. Он основан на передовой технологии искусственного интеллекта в сочетании с трехмерным компьютерным зрением.Безопасность, первая
LDU™ был разработан для решения очень специфической проблемы безопасности в аэропорту: возможного опасного незамеченного или несанкционированного прохода людей по конвейерным лентам, перевозящим зарегистрированный багаж, из зоны общего пользования в зону безопасности. Система способна справляться с присутствием операторов аэропорта, работающих рядом с зоной досмотра или вторгающихся в нее, и оптимизирована для установки на конвейерах выдачи, стойках регистрации и багажных каруселях. Однако, благодаря высокой модульности и масштабируемости, его также можно эффективно использовать в различных приложениях и контекстах.
Мозг системы
Мозг LDU™ — это аналитический модуль, встроенная система, которая выполняет все вычислительные задачи на борту. Вместе можно использовать больше модулей, чтобы получить более широкую область анализа или добиться большей избыточности.
Результаты анализа передаются на внешнее устройство с помощью открытого строкового протокола TCP/IP или цифрового ввода-вывода. Оператор может войти в каждый модуль через веб-интерфейс, доступный для любого браузера или устройства.LDU™ защищен итальянскими патентами № 102017000064268, 102017000064301 и следующими патентными заявками № EP3635614, US 2020/0097758.
Истории болезни
Аэропорт Станстед и компания Robson Handling Technology выбрали LDU в качестве датчика присутствия человека для новой системы обработки багажа.
- Подробнее о полной истории болезни читайте здесь
- Прочтите короткую презентацию проекта в формате PDF здесь
- Посмотрите 3D-тур по новой багажной системе здесь
Ваш браузер не поддерживает видео тег.
Характеристики системы
Чрезвычайно высокие характеристики с точки зрения точности и отзыва, поэтому система очень эффективна, не нарушая работу регулярных служб аэропорта.
Определенные комбинации длины/ширины/высоты могут не обрабатываться из-за нестабильных условий транспортировки. 
Особая забота была посвящена пятнистым младенцам и детям. Он основан на передовой технологии искусственного интеллекта в сочетании с трехмерным компьютерным зрением.
Результаты анализа передаются на внешнее устройство с помощью открытого строкового протокола TCP/IP или цифрового ввода-вывода. Оператор может войти в каждый модуль через веб-интерфейс, доступный для любого браузера или устройства.