Логарифм 49 по основанию 7: Mathway | Популярные задачи

2

Содержание

4.2. Определение логарифма и его свойства

Определение. Логарифмом от числа b по данному основанию a

называется показатель степени c , в который надо возвести основание

a ,

чтобы получить заданное (логарифмируемое) число

b.

 

 

Логарифм обозначается

так: loga b = c, где

а −основание логарифма,

b −заданное (логарифмируемое) число (a > 0,

b > 0,

a ≠1).

 

 

Из определения логарифма можно записать показательное уравнение

 

 

 

ac = b.

 

 

 

 

Заметим, что каждая из функций y = ax

и y = loga x (a > 0, a ≠1)

является

обратной по отношению к другой.

 

 

 

 

Логарифмы чисел по основанию 10 принято обозначать, lg x и называют

десятичными

логарифмами.

А логарифмы чисел по основанию

e ,

где

e = 2,7182K ,

принято обозначать ln x −их

называют натуральными

логарифмами.

Таким образом, log10 x = lg x,

loge x = ln x.

 

 

Пример. Записать с помощью знака логарифма:

 

 

 

 

а) 52

= 25;

б) 8−3 =

1

.

Решение.

 

 

512

 

 

 

 

 

 

 

а) Т.к.

основание

степени

есть 5, показатель степени

(логарифм) равен 2, а степень равна 25, то log5 25 = 2 .

б) Основание степени есть 8, показатель степени (логарифм) равен −3, а

степень равна

 

1

, то log

 

1

= −3.

 

 

 

512

8 512

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти логарифмы данных чисел по известным основаниям: a) log2 16; б) log6 36; в) log8 1.

Решение. а) здесь нужно найти такой показатель степени x , что 2x =16.

Решая это уравнение, получаем

2x = 24, откуда x = 4 . Итак, log2 16 = 4.

б) из уравнения 6x = 36

находим, 6x = 62,

то есть x = 2 . Значит,

log6 36 = 2.

 

 

в) в данном случае имеем уравнение 8x =1.

Это возможно только при

условии, что x = 0, откуда log8 1 = 0.

 

Пример. Определить x по заданным условиям:

62

a) log4 x = −3; б) logx

1

=

3 .

 

8

 

2

Решение. а) по определению логарифма, запишем x = 4−3, откуда x = 641 .

б) согласно определению логарифма получаем уравнение x32 = 81.

Так как 18 = 2−3 и x32 = x3 ,то оно примет вид x3 = 2−3. Возведем обе части последнего равенства в квадрат:

 

 

 

2

 

(

 

−3

)

2

 

3

−6

 

 

−2

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

=

2

 

 

 

x = 2

 

 

x = 2

 

x =

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства логарифмов

(x > 0,

a > 0,

a ≠1)

 

 

1º. Логарифм единицы равен нулю: loga 1 = 0.

2º. Логарифм основания равен единице: loga a =1, (loga an = n).

3º. Основное логарифмическое тождество: aloga x = x. 4º. Формула для логарифма произведения:

loga (x1 x2 ) = loga x1 +loga x2, x1 > 0, x2 > 0.

5º. Формула для логарифма частного:

 

 

log

 

 

x1

= log

a

x −log

x

 

,

x > 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

1

a 2

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6º.

Формула для логарифма степени:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

loga x p = p loga x,

p R .

7º. log

a

m x =

loga x,

m R,

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log

a

m x p =

loga x,

log

a

m xm = loga

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

8º.

Формула перехода к новому основанию:

loga x =

logb x

,

b > 0, b ≠1.

logb a

 

 

 

>0.

m, p R.

63

9º. loga x = log1x a .

4.3.Тождественные преобразования показательных

илогарифмических выражений

Преобразование показательных и логарифмических выражений основаны на применении основных свойств соответствующих функций, показателя степени и свойств логарифмов.

Пример. Вычислить: 4−2log4 3 .

Решение. Используя свойства степеней и основные логарифмические тождества, получим

4−2log4 3 = (4log4 3)−2 = 3−2 = 19.

3

Пример. Вычислить: (35)log2 5 .

Решение. Используя свойства логарифмов (3º, 9º), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

log2

5

 

 

log

 

2

 

 

 

 

 

 

log

 

5

 

 

(

3

5)log2

5

 

 

53

 

 

=5

 

 

= 2.

 

=

 

 

 

 

2

 

=5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Вычислить: log3(log2 (lg100)).

Решение. По свойствам логарифмов (6º, 1º) lg100 можно записать так

lg100 = lg102 = 2lg10 = 2.

Тогда получим

log3(log2 2) = log31 = 0.

Пример. Вычислить log49 16 , если log14 28 = a. Решение. Используя свойство 7º логарифмов, получим

log49 16 = log72 42 = log7 4 = log7 22 = 2log7 2.

Пусть log7 2 = x, тогда log49 16 = 2x . Далее имеем

64

log

 

28 = log7 28 = log7

(4

7) = log7 4

+log7 7

= 2x +1.

 

14

log7 14 log7

(2

7)

log7 2

+log7 7

x +1

 

 

 

 

По условию log14 28 = a, тогда получим уравнение

 

 

 

2x +1

= a, 2x +1 = ax + a, (2 − a)x = a −1, x =

a −1

,

x +1

2 − a

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

2(a −1)

 

 

 

 

 

 

log49 16 = 2x =

.

 

 

 

 

 

2 −a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Часто приходится логарифмировать обе части данного выражения или, напротив, потенцировать. Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных. Потенцирование – это действие, обратное логарифмированию.

Пример. Дано x = 3

 

 

:

2b

 

, a > 0,

b > 0, c > 0.

Найти lg x.

 

ac

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Логарифмируя обе части равенства, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

2b

 

 

 

 

 

a2c

 

 

 

 

a2c

 

lg x = lg

3 ac :

 

3 ac

= lg 3 ac

 

 

 

 

 

 

 

 

= lg

 

+lg

 

=

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

2b

 

 

 

 

 

=lg(ac) 13 +lg(a2c) −lg(2b) = 13 lg ac +lg a2 +lg c −(lg2 +lgb) =

=13 lg a + 13 lg c +2lg a +lg c −lg2 −lgb = 73 lg a + 43 lg c −lg2 −lgb.

Пример. Найти x

по данному его логарифму: lg x =

3 lg a −

4 lgb, a > 0,

 

 

2

3

b >0.

Решение. Воспользовавшись свойствами логарифмов и потенцируя обе части равенства, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

 

 

a

 

 

a3

 

 

a

 

 

a

 

 

lg x = lg a

2

−lgb

3

= lg

= lg

 

 

= lg

a

x =

a

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта