Логарифм lg: Логарифмы, log, ln, lg

2

Логарифмы . Вечность

Логарифмическая функция — самая простая вещь на свете: она всего лишь отменяет показательную функцию. Если у нас есть какое-то число, которое может быть выражено в форме 10^x, а это возможно для любого положительного числа, то логарифм этого числа равен просто[313]

lg(10^x) = x.

Что может быть проще? Точно так же возведение в степень отменяет логарифм:

10^lgx = x.

Можно также думать об этом так: если число представляет собой целую степень десяти (например, 10, 100, 1 000 и т. п.), то логарифм — это просто-напросто число нулей справа от единицы:

lg(10) = 1,

lg(100) = 2,

lg(1000) = 3.

^{Рис. П2. Логарифмическая функция lg(x). Она не определена для отрицательных значений x, и по мере приближения x к нулю справа значение логарифма стремится к минус бесконечности}

Однако так же как и показательная функция, логарифм — это гладкая функция, как показано на рис.

П2. Логарифм числа 2,5 равен 0,3979, логарифм 25 равен примерно 1,3979, логарифм 250 — примерно 2,3979 и т. д. Единственное ограничение заключается в том, что невозможно взять логарифм от отрицательного числа, и это разумно, так как логарифм отменяет показательную функцию, а получить отрицательное число в результате операции возведения в степень невозможно. Грубо говоря, для больших чисел логарифм — это просто «количество цифр в числе».

Логарифм демонстрирует свойство, аналогичное тому, с которым мы уже познакомились выше для возведения в степень (результат возведения в степень, равную сумме чисел, равен произведению соответствующих степеней): логарифм произведения равен сумме логарифмов, то есть

log(x ? y) = log(x) + log(y).

Это чудесное свойство делает логарифмы невероятно полезными для изучения энтропии. Как мы обсуждали в главе 8, физическое свойство энтропии заключается в том, что энтропия двух систем после объединения равна сумме энтропий этих систем по отдельности.

Но число возможных состояний объединенной системы равно произведению количеств возможных состояний двух систем. Поэтому Больцман сделал вывод о том, что энтропия должна быть равна логарифму числа состояний, а не самому числу состояний. В главе 9 мы рассказали схожую историю, но уже для информации: Шэннон хотел найти меру информации, для которой общая информация, переданная в двух независимых сообщениях, была бы равна сумме количеств информации в каждом из сообщений, и он также прибегнул к помощи логарифма.

Проще говоря, логарифмы обладают таким милым свойством, что они берут огромные числа и стачивают их до управляемых размеров. Беря логарифм от такого тяжеловесного числа, как миллиард, мы получаем симпатичную девятку. Логарифм — функция монотонная, то есть его значение всегда увеличивается по мере увеличения значения, от которого берется логарифм. Таким образом, логарифм предоставляет специфическую меру того, насколько число велико, но при этом сжимает громадные числа до разумных размеров, что чрезвычайно полезно в таких областях, как космология, статистическая механика и даже экономика.

В заключение необходимо отметить, что, так же как и степенная функция, логарифмы могут браться по разным основаниям. «Логарифм по основанию b» числа x — это степень, в которую необходимо возвести b, для того чтобы получить x:

log₂(2^x) = x,

log₁₂(12^x) = x

и т. д. Если мы не записываем основание явно, то подразумевается, что оно равно 10, потому что именно таким количеством пальцев обладает большинство людей. Однако ученые и математики частенько используют нечто странное, а именно натуральный логарифм, который часто записывается как ln(

x) и основанием в котором служит число Эйлера:

ln(x) = log_e(x),

e = 2,7182818284…

Число Эйлера — это иррациональное число, как ? или квадратный корень из двух, так что в десятичной записи, которая частично показана выше, оно продолжается бесконечно. На первый взгляд кажется, что использовать нечто подобное в качестве основания логарифма невероятно странно. Но в действительности если углубиться в математику, то выяснится, что число e обладает множеством приятных свойств: в математическом анализе, например, функция e^x — единственная (за исключением вырожденной функции, всегда равной нулю), которая равна своей производной, а также интегралу от себя самой. В этой книге все наши логарифмы брались по основанию 10 и обозначались lg, но если вы решите взяться за физику и математику на высшем уровне, то будете постоянно встречаться с натуральными логарифмами.

numpy.log — Руководство NumPy v1.24

numpy.log ( x , /, out = none , * , где = true , Casting = ‘Some_kind’ , Order = ‘K’ , Dtype = None , = ‘K’ , Dtype = None , . subok=True [ подпись , extobj ]) =

Натуральный логарифм, поэлементно.

Натуральный логарифм log является обратной экспоненциальной функцией, так что лог(ехр(х)) = х . Натуральный логарифм — это логарифм по основанию и .

Параметры:

x array_like

Входное значение.

out ndarray, None или кортеж из ndarray и None, необязательный

Местоположение, в котором сохраняется результат. Если он предусмотрен, он должен иметь форма, на которую транслируются входные данные. Если не указано или Нет, возвращается только что выделенный массив. Кортеж (возможен только как аргумент ключевого слова) должен иметь длину, равную количеству выходов.

где array_like, необязательный

Это условие передается по входу. В местах, где условие равно True, массив из будет установлен в результат ufunc. В другом месте массив из сохранит исходное значение. Обратите внимание, что если неинициализированный массив из создан по умолчанию out=None , места внутри него, где условие равно False, будут остаются неинициализированными.

**kwargs

Другие аргументы, содержащие только ключевые слова, см. документы ufunc.

Возвращает:

y ndarray

Натуральный логарифм x по элементам. Это скаляр, если x является скаляром.

См. также

log10 , log2 , log1p , emath.log

Примечания

Логарифм — многозначная функция: для каждых х существует бесконечное число число z такое, что exp(z) = x . Конвенция состоит в том, чтобы вернуть z , чья мнимая часть лежит в (-pi, pi] .

Для типов входных данных с действительным знаком log всегда возвращает реальный вывод.

За каждое значение, которое не может быть выражено как действительное число или бесконечность, дает nan и устанавливает неверный флаг ошибки с плавающей запятой .

Для входных данных с комплексным знаком log представляет собой сложную аналитическую функцию, которая имеет ветвь cut [-inf,0] и непрерывна сверху на ней. журнал обрабатывает отрицательный нуль с плавающей запятой как бесконечно малый отрицательный номер, соответствующий стандарту C99.

В случаях, когда вход имеет отрицательную действительную часть и очень мало отрицательная комплексная часть (приближается к 0), результат так близок к -pi что он вычисляет ровно -pi .

Каталожные номера

[1]

М. Абрамовиц и И.А. Стегун, «Справочник по математическим функциям», 10-е издание, 1964, стр. 67. https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/page_67.htm

[2]

Википедия, «Логарифм». https://en.wikipedia.org/wiki/Логарифм

Примеры

 >>> np.log([1, np.e, np.e**2, 0])
массив([ 0., 1., 2., -Inf])
 

Математические слова: правила логарифмирования

Математические слова: правила логарифмирования

индекс: нажмите на букву индекс: предметные области
	Правила логарифмирования Правила алгебры, используемые при работе с логарифмами.   Предположим, что x , y , a и b все положительны. Также предположим, что a ≠ 1, б ≠ 1.   Определения 1. log a x = N означает, что a N = x . 2. журнал x означает журнал 10 x . Все правила журнала и применяются к журналу. Когда логарифм пишется без основания, это означает десятичный логарифм. 3. ln x означает log e x , где e составляет около 2,718. Все правила журнала и применяются для пер. Когда логарифм пишется «ln», это означает натуральный логарифм.     Примечание: ln x иногда записывается как Ln x или LN x .   Правила 1. Обратные свойства:   log a a x = x и   a (log a x ) = 1 2. Продукт:  log a ( xy ) = log a x + log a 1 9 5 3. Частное:   4. Мощность: журнал a ( x p ) = p log a x 5. Изменение базовой формулы:   Осторожно!! журнал a ( x + y ) ≠ log a x + log a журнал a ( x – y ) ≠ журнал a x – бревно a y
	эта страница обновлена 19 июля 17 Математические слова: термины и формулы от алгебры I до исчисления написано, проиллюстрировано и создано веб-мастером Брюсом Симмонсом Авторские права © Брюс Симмонс, 2000 г. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт