Логарифмы уравнения примеры решения: Решение логарифмических уравнений на ЕГЭ

Содержание

Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с понятием и видами логарифмов и основными формулами.
Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид log_ax = b, где a и b -некоторые числа,x — неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения является x = a^b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log₂х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log₂2. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log₂х = log₂16. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения log_ax = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

одинаковые числовые основания у логарифмов
логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т. е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log₂х = 2log₂ (1- х) потенцирование неприменимо — коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log₂х+log₂ (1 — х) = log₂ (1+х) также не выполняется одно из ограничений — слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

log_a (…) = log_a (…)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

Возьмем другой пример:

log₃ (2х-5) = log₃х

Применяем потенцирование, получаем:

2х-5 = х

х=5

Пойдем дальше. Решим следующий пример:

log₃ (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм — это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т. е. (4х-1), получаем:

3² = 2х-1

Дальше уже дело техники:

2х-1 = 9

х =5

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше логарифмическое уравнение log₃ (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log₃9, ведь 3²=9.

Тогда log₃ (2х-1) = log₃9 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений, даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая — работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log₃ (х²-3) = log₃ (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log₃ (х²-3) = log₃ (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

х²-3 = 2х

х²-2х-3 = 0

Находим корни уравнения:

х₁= 3

х₂= -1

Получилось два корня.

Ответ: 3 и -1

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

Начнем с х₁

= 3:

log₃6 = log₃6

Проверка прошла успешно, теперь очередь х₂= -1:

log₃ (-2) = log₃ (-2)

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент — логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.

Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею — 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

Воспользуемся опять тем же уравнением:

log₃ (х²-3) = log₃ (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т.е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х₁= 3 и х₂

= -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый — решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:

На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.

На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения, пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.

Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) — готова принять новых учащихся.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Логарифмические уравнения. Способы решения и примеры

С уравнениями мы все знакомы с начальных классов. Еще там мы учились решать самые простые примеры, и надо признать, что они находят свое применение даже в высшей математике. С уравнениями все просто, в том числи и с квадратными. Если у вас проблемы с этой темой, настоятельно рекомендуем вам повторить ее.

Логарифмы вы, вероятно, тоже уже прошли. Тем не менее, считаем важным рассказать, что это для тех, кто еще не знает. Логарифм приравнивается к степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось число, стоящее справа от знака логарифма. Приведем пример, исходя из которого, вам все станет ясно.

Если вы возведете 3 в четвертую степень получится 81. Теперь подставьте по аналогии числа, и поймете окончательно, как решаются логарифмы. Теперь осталось лишь совместить два рассмотренных понятия. Изначально ситуация кажется чрезвычайно сложной, но при ближайшем рассмотрении весе становится на свои места. Мы уверены, что после этой короткой статьи у вас не будет проблем в этой части ЕГЭ.

Содержание

1 Как правильно решать?
2 Не переживайте насчет ООФ!
3 Как решать логарифмические уравнения с разными основаниями
4 Что в итоге?

Как правильно решать?

Сегодня выделяют множество способов решения подобных конструкций. Мы расскажем о самых простых, эффективных и наиболее применимых в случае заданий ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений должно начинаться с самого простого примера. Простейшие логарифмические уравнения состоят из функции и одной переменной в ней.

Важно учесть, что x находится внутри аргумента. A и b должны быть числами. В таком случае вы можете попросту выразить функцию через число в степени. Выглядит это следующим образом.

Разумеется, решение логарифмического уравнения таким методом приведет вас к верному ответу. Ног проблема подавляющего большинства учеников в этом случае заключается в том, что они не понимают, что и откуда берется. В результате приходится мириться с ошибками и не получать желаемых баллов. Самой обидной ошибкой будет, если вы перепутаете буквы местами. Чтобы решить уравнение этим способом, нужно зазубрить эту стандартную школьную формулу, потому что понять ее сложно.

Чтобы было проще, можно прибегнуть к другому способу – канонической форме. Идея крайне проста. Снова обратите внимание на задачу. Помните, что буква a – число, а не функция или переменная. A не равно одному и больше нуля. На b никаких ограничений не действует. Теперь из всех формул вспоминаем одну. B можно выразить следующим образом.

Из этого следует, что все исходные уравнения с логарифмами можно представить в виде:

Теперь мы можем отбросить логарифмы. Получится простая конструкция, которую мы уже видели ранее.

Удобство данной формулы заключается в том, что ее можно применять в самых разных случаях, а не только для самых простых конструкций.

Не переживайте насчет ООФ!

Многие опытные математики заметят, что мы не уделили внимание области определения. Сводится правило к тому, что F(x) обязательно больше 0. Нет, мы не упустили этот момент. Сейчас мы говорим об еще одном серьезном преимуществе канонической формы.

Лишних корней здесь не возникнет. Если переменная будет встречаться лишь в одном месте, то область определения не является необходимостью. Она выполняется автоматически. Чтобы убедиться в данном суждении, займитесь решением нескольких простых примеров.

Как решать логарифмические уравнения с разными основаниями

Это уже сложные логарифмические уравнения, и подход к их решению должен быть особым. Здесь редко получается ограничиться пресловутой канонической формой. Начнем наш подробный рассказ. Мы имеем следующую конструкцию.

Обратите внимание на дробь. В ней находится логарифм. Если вы увидите такое в задании, стоит вспомнить один интересный прием.

Что это значит? Каждый логарифм можно представить в виде частного двух логарифмов с удобным основанием. И у данной формулы есть частный случай, который применим с этим примером (имеем ввиду, если c=b).

Именно такую дробь мы и видим в нашем примере. Таким образом.

По сути, перевернули дробь и получили более удобное выражение. Запомните этот алгоритм!

Теперь нужно, что логарифмическое уравнение не содержало разных оснований. Представим основание дробью.

В математике есть правило, исходя из которого, можно вынести степень из основания. Получается следующая конструкция.

Казалось бы, что мешает теперь превратить наше выражение в каноническую форму и элементарно решить ее? Не все так просто. Дробей перед логарифмом быть не должно. Исправляем эту ситуацию! Дробь разрешается выносить в качестве степени.

Соответственно.

Если основания одинаковые, мы можем убрать логарифмы и приравнять сами выражения. Так ситуация станет в разы проще, чем была. Останется элементарное уравнение, которое каждый из нас умел решать еще в 8 или даже в 7 классе. Расчеты вы сможете произвести сами.

Мы получили единственно верный корень этого логарифмического уравнения. Примеры решения логарифмического уравнения достаточно просты, не так ли? Теперь и у вас получится самостоятельно разобраться даже с самыми сложными задачами для подготовки и сдачи ЕГЭ.

Что в итоге?

В случае с любыми логарифмическими уравнениями мы исходим из одного очень важного правила. Необходимо действовать так, чтобы привести выражение к максимально простому виду. В таком случае у вас будет больше шансов не просто решить задание правильно, но еще и сделать это максимально простым и логичным путем. Именно так всегда действуют математики.

Настоятельно не рекомендуем вам искать сложных путей, особенно в этом случае. Запомните несколько простых правил, которые позволят преобразовать любое выражение. К примеру, привести два или три логарифма к одному основанию или вывести степень из основания и выиграть на этом.

Также стоит помнить о том, что в решении логарифмических уравнений необходимо постоянно тренироваться. Постепенно вы будете переходить ко все более сложным конструкциям, а это приведет вас к уверенному решению всех вариантов задач на ЕГЭ. Готовьтесь к экзаменам заблаговременно, и удачи вам!

Поделиться с друзьями:

Логарифмические уравнения, примеры решения. Урок и презентация по алгебре

Дата публикации: 10 апреля 2017.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Скачать:Логарифмические уравнения. Примеры (PPTX)

Знакомство с логарифмическими уравнениями

Ребята, мы продолжаем изучать большую тему логарифмов, сегодня мы с вами посмотрим, как решать различные уравнения, в которых есть логарифмы.
Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида: $\log_a{f(x)}=log_a{g(x)}$.

Не забываем все требования, выдвигаемые в определение логарифма. Вспомните самостоятельно о показателе логарифма и числе, стоящее под знаком логарифма.
Ребята, также вспомните теорему 4 урока «Свойства логарифмов». Опираясь на эту теорему, давайте сформулируем основный принцип при решении логарифмических уравнений.

Теорема. Если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то логарифмическое уравнение $\log_a{f(x)}=\log_a{g(x}$, где $a>0$, $a≠1$, равносильно уравнению $f(x)=g(x)$. 2-y)}=\log_5{x}.\end{cases}$

Решение логарифмических уравнений — Математика для старших классов

Все ресурсы по математике для старших классов

8 диагностических тестов 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Справка по математике для средней школы » Алгебра II » Математические отношения и основные графики » Логарифмы » Решение и построение логарифмических уравнений » Решение логарифмических уравнений

Решите уравнение.

Возможные ответы:

Нет решения

Правильный ответ:

Нет решения

Объяснение:

Замените 125 на , чтобы обе стороны имели одинаковое основание. Примените журнал, а затем установите экспоненциальные выражения равными друг другу, чтобы . При попытке выделить становится ясно, что решения нет.

Сообщить об ошибке

Решить для :

Возможные ответы:

Уравнение не имеет решения.

Правильный ответ:

Объяснение:

Так как , , и мы можем переписать и решить это выражение следующим образом:0004

Замена подтверждает, что это единственное решение.

Сообщить об ошибке

Решить для :

Возможные ответы:

Уравнение не имеет решения.

Набор решений уравнения представляет собой набор всех действительных чисел.

Правильный ответ:

Объяснение:

Мы можем переписать это следующим образом:

Разделите это на составной отчет и решайте:

Поскольку логарифмы могут быть только у положительных чисел, это уравнение не имеет смысла. не является решением.

это решение — единственное решение.

Сообщить об ошибке

Какова сумма значений x, которые удовлетворяют уравнению ?

Возможные ответы:

100

35/2

Нет решения.

Правильный ответ:

35/2

Объяснение:

Нам нужно переписать логарифмическое уравнение в более узнаваемую форму.

Уравнение в форме можно переписать в экспоненциальной форме , где a, b и c — константы (и b > 0). Таким образом, мы перепишем наше исходное уравнение следующим образом:

Теперь мы можем подойти к этому как к типичному квадратному уравнению.

Вычтите 100 с обеих сторон. Нам нужно установить все члены равными нулю.

Мы можем разложить это на множители, сначала умножив внешние коэффициенты. Произведение 2 и -100 равно -200. Мы должны придумать два числа, которые при умножении дают -200, а при сложении дают -35 (средний коэффициент). Два числа, которые удовлетворяют обоим этим требованиям, — это -40 и 5. Теперь мы перепишем квадратичный многочлен.

Мы можем использовать группировку, чтобы разложить многочлен на множители. Разделите первые два члена и два последних члена.

Обратите внимание, что теперь мы можем вынести x — 20 из числа 2x и члена 5.

Чтобы решить эту проблему, приравняем каждый множитель к нулю.

Вопрос в конечном итоге требует суммы значений x, которые удовлетворяют уравнению, поэтому мы должны добавить -5/2 и 20, что дает 35/2.

Ответ: 35/2.

Сообщить об ошибке

Решите следующее логарифмическое уравнение:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Поскольку основания журналов одинаковы, а логарифмы добавлены, аргументы можно перемножать.

Затем логарифм можно преобразовать в экспоненциальную форму.

Хотя есть два решения уравнения, логарифмы не могут быть отрицательными. Поэтому единственным реальным решением является .

Сообщить об ошибке

Решите следующее логарифмическое уравнение:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Запуск с преобразования логарифмов в экспоненциальную форму:

снова в экспоненциальную форму:

Упрощение и решает:

9000 9000 9000

Сообщить об ошибке
Решите следующее логарифмическое уравнение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
6
4
Объяснение:
Так как основания логов одинаковые, то члены внутри логов можно поставить равными друг другу.
Сообщить об ошибке
Решите уравнение.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Измените правую сторону на , чтобы обе стороны были одинаковыми. Примените log к обеим сторонам, чтобы можно было установить экспоненциальные выражения равными друг другу ().
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы по математике для старших классов
8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
Логарифмические уравнения — примеры и практические задачи
Упражнения на логарифмические уравнения можно решать, используя законы логарифмов. С помощью законов логарифмов мы можем переписать логарифмические выражения, чтобы получить более удобные выражения. В зависимости от задачи мы можем получить два типа логарифмических уравнений, с которыми нам придется использовать разные методы, чтобы получить ответ.
Здесь мы рассмотрим процесс, используемый для решения упражнений на логарифмическое уравнение. Мы рассмотрим краткое изложение двух методов, которые мы можем применить для получения ответа. Кроме того, мы рассмотрим несколько примеров с ответами, чтобы полностью освоить тему логарифмических уравнений.
АЛГЕБРА
Актуально для …
Обучение решению логарифмических уравнений с примерами.
См. примеры
Содержание
АЛГЕБРА
Актуально для …
Обучение решению логарифмических уравнений на примерах.
См. примеры
Краткое изложение логарифмических уравнений
Логарифмические уравнения можно решать, используя законы логарифмирования. Эти законы позволяют нам переписывать логарифмы и образовывать более удобные выражения. Если вам нужно просмотреть законы логарифмов, вы можете посмотреть эту статью: Законы логарифмов.
Цель состоит в том, чтобы свести к логарифмическому уравнению, пока вы не получите один логарифм с каждой стороны или один логарифм с одной стороны. Исходя из этого, можно выделить два типа логарифмических уравнений. Мы должны распознать эти два типа, чтобы облегчить решение уравнений.
Типы логарифмических уравнений
Как правило, после применения законов логарифмирования для сокращения уравнения мы можем получить один из двух типов логарифмических уравнений:
Первый тип выглядит так:
В тех случаях, когда мы получаем только один логарифм с каждой стороны уравнения, мы можем исключить логарифмы, если они имеют одинаковое основание, и мы можем составить уравнение с аргументами. Например, в приведенном выше выражении аргументами являются алгебраические выражения, представленные P и Q .
Второй тип выглядит так:
В тех случаях, когда мы получаем один логарифм только с одной стороны уравнения, мы можем записать логарифм в виде экспоненциального выражения и решить его таким образом.
Логарифмические уравнения – примеры с ответами
В следующих примерах логарифмических уравнений используются законы логарифмов и оба описанных выше метода. Каждый пример имеет свой ответ, но рекомендуется попробовать решить упражнения самостоятельно, прежде чем смотреть решение.
ПРИМЕР 1
Каков результат $latex \log_{5}(x+1)+\log_{5}(3)=\log_{5}(15)$?
Решение
Мы видим, что в правой части у нас есть сумма логарифмов с одинаковым основанием, поэтому мы можем использовать закон произведения для их объединения. Это закон продукта, если вы его не помните:
Следовательно, имеем:
$latex \log_{5}(x+1)+\log_{5}(3)=\log_{5}(15)$
$latex \log_{5}[ (x+1)3]=\log_{5}(15)$
Мы можем расширить умножение, чтобы получить:
$latex \log_{5}(3x+3)=\log_{5}(15) $
Логарифмы имеют одинаковое основание, поэтому мы можем исключить их и составить уравнение с аргументами:
$latex 3x+3=15$
Линейное уравнение легко решить:
$latex 3x+3 =15$
$латекс 3x=12$
$latex x=4$
ПРИМЕР 2
Решите уравнение $$\log_{4}(2x+2)+\log_{4}(2)=\log_{4}(x+1 )+\log_{4}(3)$$
Решение
В этом случае у нас есть сумма логарифмов с каждой стороны уравнения. Следовательно, мы собираемся использовать закон произведения в обе стороны, чтобы получить:
$$\log_{4}(2x+2)+\log_{4}(2)=\log_{4}(x+ 1)+\log_{4}(3)$$
$latex \log_{4}[(2x+2)2]=\log_{4}[(x+1)3]$
Мы можем расширить умножение с обеих сторон, чтобы получить:
$latex \log_{4}(4x+4)=\log_{4}(3x+3)$
Теперь исключим логарифмы и составим уравнение с аргументами:
$latex 4x+4= 3x+3$
Линейное уравнение легко решается:
$latex 4x+4=3x+3$
$latex x=-1$
ПРИМЕР 3
Решите уравнение $$\log_ {7}(x)+\log_{7}(x+5)=\log_{7}(2x+10)$$
Решение
Мы можем использовать закон произведения в левой части:
$$ \log_{7}(x)+\log_{7}(x+5)=\log_{7}(2x+10)$$ 92}+3x-10=0$
$латекс (x+5)(x-2)=0$
Решаем для каждого фактора:
⇒ $латекс x=-5$
⇒ $латекс x =2$
Следовательно, у нас есть два ответа: $latex x=-5$ и $latex x=2$.
Начните прямо сейчас: изучите наши дополнительные ресурсы по математике
ПРИМЕР 4
Каково значение x в $$\log_{3}(x+3)-\log_{3}(2)=\ log_{3}(x-1)-\log_{3}(7)$$
Решение
В этом случае у нас есть логарифмические вычитания с обеих сторон уравнения, поэтому мы можем применить закон логарифмического отношения . Если вы не помните, вот частное:
Следовательно, применяя этот закон к обеим сторонам, мы имеем:
$$\log_{3}(x+3)-\log_{3}(2)=\log_{3}(x-1)-\ log_{3}(7)$$
$латекс \log_{3}(\frac{x+3}{2})=\log_{3}(\frac{x-1}{7})$
Выражения внутри логарифмов больше не могут быть упрощены. Однако мы можем исключить логарифмы, так как они оба имеют одно и то же основание:
$latex \frac{x+3}{2}=\frac{x-1}{7}$
Мы можем перекрестить умножение, чтобы упростить:
$latex 7(x+3)=2(x-1)$
Умножаем, используя распределительное свойство: 92}=16$
Теперь возьмем квадратный корень из обеих частей:
$latex x=\sqrt{16}$
$latex x=\pm 4$
Следовательно, у нас есть два ответа, $ латекс x=4$ и $латекс x=-4$.
ПРИМЕР 6
Каково значение x в $латексе\log(4x+60)=2$?
Решение
Здесь у нас также нет основания в логарифме, поэтому мы знаем, что это десятичный логарифм и что его основание равно 10.
В этом уравнении у нас есть односторонний логарифм. Это уравнение второго упомянутого выше случая: 92}$
Возводим в степень и решим линейное уравнение:
$латекс 4х+60=100$
$латекс 4х=40$
$латекс х=10$
ПРИМЕР 7 8 90 Найти значение x в уравнении $latex \log_{2}(3x)-2=\log_{2}(2x-5)$.
Решение
Мы должны переместить логарифмы в одну часть уравнения, а постоянные члены в другую:
$latex \log_{2}(3x)-2=\log_{2}(2x-5 )$
$латекс \log_{2}(3x)-\log_{2}(2x-5)=2$ 92}$
$latex \frac{3x}{2x-5}=4$
Упрощаем, умножая крест-накрест:
$latex 3x=4(2x-5)$
Распределяем умножение:
$latex 3x=8x-20$
Решаем линейное уравнение:
$latex 3x=8x-20$
$latex -5x=-20$
$latex x=\frac{-20}{- 5}$
$latex x=4$
Упрощение алгебраических выражений. Практические задачи
Примените на практике то, что вы узнали о логарифмических уравнениях, с помощью следующих задач. Решите задачи и выберите свой ответ. Проверьте свой ответ, чтобы убедиться, что вы выбрали правильный.
Решите уравнение $latex \log_{2}(x+2)+\log_{2}(3)=\log_{2}(27)$.
Выберите ответ
$латекс x=3$
$латекс x=5$
$латекс x=7$
$latex x=9$
Решите уравнение $latex \log_{3}(x)+\log_{3}(x-2)=\log_{3}(x+10)$.
Выберите ответ
$латекс x=-3, ~~x=-2$
$латекс x=5, ~~x=-2$
$латекс x=4, ~~x=-1$
$латекс x=4, ~~x=2$
Решите уравнение $латекс \ln(3x)=\ln(4x+1)+\ln(1-x)$.
Выберите ответ
$латекс х=\фракция{1}{2}$
$латекс х=\фракция{3}{2}$
$латекс x=2$
$latex x=3$
Решите уравнение $latex \log_{3}(8x-15)=4$.
Выберите ответ
$латекс x=2$
$латекс x=6$
$латекс x=8$
$латекс x=12$
Решите уравнение $латекс \log_{5}(10x)-1=\log_{5}(3x-1)$.
Выберите ответ
$латекс х=\фракция{1}{2}$
$латекс x=-1$
$латекс x=1$
$latex x=2$
См. также
Хотите узнать больше о логарифмических уравнениях? Взгляните на эти страницы:
Логарифмические шкалы – приложения и примеры
Как решать логарифмические уравнения?
Изучайте математику с помощью наших дополнительных ресурсов по различным темам
УЗНАТЬ БОЛЬШЕ
сообщите об этом объявлении
Простой способ решения логарифмических уравнений
Алгебра Учебники
Решение логарифмических уравнений — это то, что вам часто придется делать при работе с алгебраическими процедурами, и для их решения стоит разработать конкретную стратегию.
В этом уроке вы узнаете об основных стратегиях, которым необходимо следовать при решении логарифмических уравнений.
Что такое логарифмическое уравнение?
Первое, что нам нужно, это определить, что такое логарифмическое уравнение.
Логарифмическое уравнение – это уравнение, в котором присутствует хотя бы одна неизвестная переменная, причем логарифмическое выражение встречается хотя бы в одной части уравнения. .
Пример логарифмического уравнения:
\[\ln х = 2\ln х — \ln 3\]
или также
\[\ln(3x-1) — \ln(2x + 1) = 1\]
Обратите внимание, что логарифмическое уравнение может содержать более одного неизвестного, например
\[\ln(x-1) = \ln(2y + 1)\]
Стратегии решения логарифмических уравнений
Первый отказ от ответственности заключается в том, что не существует пуленепробиваемых способов решения логарифмического уравнения или общего уравнения в этом отношении. Причина этого в том, что все методы предполагают определенную структуру уравнения, которая не обязательно присутствует во всех уравнениях.
Итак, мы не можем найти ТАКОЙ способ решения логарифмических уравнений, потому что не существует одного способа, который бы подходил для всех возможных случаев.
Тем не менее, есть несколько стратегий, которые дадут вам наилучшие шансы пройти уравнение и найти решение, если оно существует.
Во-первых, попробуйте сгруппировать все логарифмические выражения в одно логарифмическое выражение.
Это достигается, как правило, с помощью наиболее распространенных правила журнала , которые позволяют сжать логарифмическое выражение, если это позволяет структура выражения.
Во-вторых, как только логарифмические выражения будут максимально сжаты, вы избавитесь от них, обычно применяя экспоненциальную функцию к обеим частям равенства.
Этот последний шаг, надеюсь, удалит все логарифмы с картинки и позволит вам найти неизвестные.
Итак, другими словами, решение логарифмического уравнения состоит из группировки логарифмических выражений, устранения их путем применения экспоненты, а затем решения уравнения как обычного уравнения.
Очевидно, что когда вы избавитесь от логарифмов, вы столкнетесь с уравнением, которое может иметь свои собственные проблемы.
Решение различных примеров логарифмических уравнений
Нет лучшего способа научиться решать уравнения, чем попрактиковаться в их решении:
ПРИМЕР 1:
Решите следующее уравнение:
\[\большой 4 \log(\sqrt x) = \log(6x-1)\]
ОТВЕЧАТЬ:
Давайте следовать стратегиям. Идея состоит в том, чтобы максимально сжать логарифмические выражения. 2) = \log(6x-1)\] 92-4(1)(1)}}{2(1)}\] \[\large \Rightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{36-4}}{2}\] \[\large \Rightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2}\] \[\large \Rightarrow x = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2}\] \[\большой \стрелка вправо x = 3 \pm 2\sqrt 2\]
тогда $x_1 = 3 + 2\sqrt 2$ и $x_2 = 3 — 2\sqrt 2$. Технически вам нужно проверить, являются ли эти два решения исходным уравнением, чтобы убедиться, что они принадлежат области логарифмических выражений.
В этом случае оба $x_1 = 3 + 2\sqrt 2$ и $x_2 = 3 — 2\sqrt 2$ являются решениями исходного уравнения.
ПРИМЕР 2:
Решите следующее логарифмическое уравнение:
\[\большой \ln 5 — \ln(6-x) = \ln x\]
ОТВЕЧАТЬ:
Используя правила журнала, мы можем сжать выражения журнала, мы получаем, что 9{\ln a} = a\), что является одним из основных логарифмических правил. 2 -6x + 5 = 0\] \[\большой \displaystyle \стрелка вправо (x-1)(x-5) = 0\]
тогда $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Давайте подставим эти значения в исходное уравнение, чтобы увидеть, действительно ли они являются решениями:
Для $x_1 = 1$:
\[\большой \ln 5 — \ln(6-1) = \ln 1\]
что то же самое, что:
\[\большой \ln 5 — \ln(5) = 0\]
что верно, поэтому уравнение выполняется.
Для $x_1 = 5$:
\[\большой \ln 5 — \ln(6-5) = \ln 5\]
что то же самое, что:
\[\большой \ln 5 — \ln(1) = \ln(5)\]
что верно, поэтому уравнение выполняется.
Следовательно, решения уравнения равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Подробнее о решении логарифмических уравнений
Одна вещь, которая больше всего волнует студентов, это то, как избавиться от логарифма в уравнении. Но мы видели, что на самом деле это самая легкая часть. Что сложнее, так это фактически алгебраически обработать выражение, чтобы журналы можно было удалить.
Это поднимает вопрос о том, как поступать с различными основаниями, для чего требуется отдельный параграф.
Решение логарифмических уравнений с разными основаниями
В приведенных выше примерах мы имели дело только с $\log$ (логарифм с основанием 10) и $\ln$ (логарифм с основанием $e$).
No related posts.