Лопиталя формула: Правило Лопиталя: формула, примеры решения

Правило Лопиталя

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
$\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$).

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ :

а) дифференцируемы в окрестности точки $a,$ за исключением, быть
может, самой точки $a,$ причем $g'(x)\neq 0$ в этой окрестности;

б) функции $f(x)$ и $g(x)$ являются одновременно либо бесконечно
малыми либо бесконечно большими при $x\rightarrow a;$

в) существует конечный $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$ 

Тогда существует  $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ и
выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$   

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $a,$

$g(a)=f(a)=0,$ $ g'(a)\neq ,0$ то $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$

 Примеры:

1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}. 3}=\frac{1}{3}$  (см. пример 4), то искомый предел равен $2/3.$

Правило Лопиталя

Производные позволяют не только исследовать функции на возрастание, убывание или выпуклость. Ещё с их помощью можно находить пределы, раскрывая неопределенности.

20.1Раскрытие неопределенности 0/0

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности с помощью дифференцирования. Существует много разных версий этого правила — для начала, я сформулирую ту, которую проще доказывать.

Теорема 1. (Правило Лопиталя для неопределенности 0/0 в конечной точке). Пусть функции f и g определены на интервале (a,b),

limx→a+f(x)=0,limx→a+g(x)=0,

существуют производные f′(x) и g′(x) для всех x∈(a,b), g′(x) не обращается в ноль на (a,b), и существует предел

limx→a+f′(x)g′(x)=:L.

Тогда существует предел

limx→a+f(x)g(x),

и он равен L.

Иными словами, теорема 1 позволяет раскрывать неопределенность 0/0 путём дифференцирования числителя и знаменателя дроби. Неформально можно думать об этой теореме так: она показывает, что если две величины стремятся к нулю, то предел их отношения совпадает с пределом их скоростей. Что звучит довольно логично.

20.1.1Теорема Коши

Для доказательства теоремы 1 нам понадобится вспомогательное утверждение, известное как теоремы Коши.

Теорема 2. (Коши). Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемы на интервале (a,b). Пусть g′(x)≠0 при всех x∈(a,b). Тогда существует такая точка c∈(a,b), что

f(a)−f(b)g(a)−g(b)=f′(c)g′(c)

Доказательство. Рассмотрим функцию

H(x)=f(x)−f(a)−f(b)g(a)−g(b)(g(x)−g(b)).

Это похоже на то, как мы доказывали теорему Лагранжа, только вместо линейной функции вычитаем функцию g(x) с подходящим коэффициентом.

Заметим, что

H(a)=f(b)=H(b).

Применим к H теорему Ролля. Существует такая точка c∈(a,b), что H′(c)=0. Запишем производную H:

H′(x)=f′(x)=f(a)−f(b)g(a)−g(b)g′(x).

Следовательно

0=H′(c)=f′(c)−f(a)−f(b)g(a)−g(b)g′(c).

Поскольку g′(c)≠0 (т.к. g′(x)=0 для всех x∈(a,b)), можно на него поделить и получить искомое равенство.∎

Вопрос 1. А почему при определении функции H можно делить на (g(a)−g(b)), почему эта штука не обращается в ноль?

  Узнать ответ

Верный ответ. Если бы она обращалась в ноль, то g(a) было бы равно g(b) и функция g удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля, а значит нашлась бы точка на интервале (a,b), в которой производная g обнуляется. А это ей запрещено условием нашей теоремы.

20.1.2Доказательство правила Лопиталя

Доказательство теоремы 1. До- или переопределяя функции f и g в точке a, можно считать, что f(a)=g(a)=0. На пределы и производные это никак не повлияет, поскольку они не зависят от того, чему равны функции в точке a. Тогда

limx→a+f(x)g(x)=limx→a+f(x)−f(a)g(x)−g(a)=…

Применим теорему Коши к отрезку [a,x]. Существует такая точка c(x)∈(a,x), что дробь под знаком предела равна f′(c(x))/g′(c(x)). (Теорема Коши для фиксированного отрезка даёт фиксированную точку c, а в нашем случае для каждого x свой отрезок, поэтому точка c зависит от x.)

Можно продолжить равенство:

…=limx→a+f′(c(x))g′(c(x))=…

Заметим, что c(x)→a+ при x→a+ и c(x)≠a, поскольку c(x)∈(a,x) (по теореме о двух милиционерах). Значит, можно использовать теорему о пределе сложной функции (см. упражнение 2 в лекции 13). Имеем:

…=limc→a+f′(c)g′(c)=L.

∎

20.2Другие версии и примеры

Конечно, можно доказать утверждение, аналогичное теореме 1 с пределом слева, а также с двусторонним пределом (в этом случае требуется, что f и g были дифференцируемы в проколотой окрестности точки a). Доказательства полностью аналогичны.

20.2.1Предел в бесконечности

Случай x→+∞ или x→−∞ легко сводится к теореме 1.

Теорема 3. Пусть функции f и g определены на луче (a,+∞),

limx→+∞f(x)=0,limx→+∞g(x)=0,

существуют производные f′(x) и g′(x) для всех x∈(a,+∞), g′(x) не обращается в ноль на (a,+∞) и существует предел

limx→+∞f′(x)g′(x)=:L.

Тогда существует предел

limx→+∞f(x)g(x).

и он равен L.

Доказательство. Пусть t=1/x. Тогда при x→+∞, t→0+. По теореме о пределе сложной функции (похожая была в домашнем задании),

limx→+∞f(x)g(x)=limt→0+f(1/t)g(1/t)=…(20.1)

Рассмотрим функции

~f(t):=f(1/t),~g(t):=g(1/t).

Равенство (20.1) можно продолжить:

limt→0+~f(t)~g(t)=…

Применим теорему 1 к получившемуся пределу и интервалу (0,1/a) (можно считать, что a>0). Для вычисления производных f(1/t) и g(1/t) применим теорему о производной сложной функции.

…=limt→0+~f′(t)~g′(t)=limt→0+f′(1/t)⋅(−1t2)g′(1/t)⋅(−1t2)=limt→0+f′(1/t)g′(1/t=…

…=limt→0+~f′(t)~g′(t)==limt→0+f′(1/t)⋅(−1t2)g′(1/t)⋅(−1t2)==limt→0+f′(1/t)g′(1/t=…

Теперь можно снова применить теорему о пределе сложной функции, делая обратную замену x=1/t, и получить:

…=limx→+∞f′(x)g′(x).

∎

Аналогично можно разобрать случай x→−∞ и x→∞.

20.2.2Примеры раскрытия неопределенности 0/0

Пример 1. Найдём предел

limx→0sinxx+x2.

Перед нами неопределенность 0/0, производная знаменателя не обнуляется вблизи нуля, продифференцируем числитель и знаменатель. Имеем:

limx→0cosx1+2x.

Теперь неопределенности нет, этот предел существует и равен 1 (в силу непрерывности косинуса и теоремы о пределе частного). Значит, исходный предел также существует и равен 1.

Пример 2. Найдём предел

limx→01−cosxsin(x2).(20.2)

Снова неопределенность 0/0. Производная знаменателя не обнуляется вблизи нуля. Продифференцируем числитель и знаменатель.

limx→0sinx2xcosx2.(20.3)

Снова получили неопределенность 0/0. Можно попробовать к новому пределу также применить правило Лопиталя.

limx→0cosx2cosx2+4x2sinx2.

Теперь неопределенности нет, и в силу непрерывности косинуса и синуса и арифметики пределов, предел равен 1/2. Значит, правило Лопиталя применимо для вычисления предела (20.3), он существует и равен 1/2. Значмт, правило Лопиталя применимо для вычисления предела (20.2), он существует и равен 1/2.

Пример 3. Найдём предел

limx→0sinxx.

В принципе, можно было бы формально применить правило Лопиталя и получить верный ответ, но тут возникает логическая ошибка.

Дело в том, что это первый замечательный предел. При доказательстве дифференцируемости синуса и вычислении его производной мы воспользовались тем, что этот предел существует и равен 1. (Это мы доказывали на семинарах из геометрических соображений.) Чтобы воспользоваться правилом Лопиталя сейчас, нам нужно продифференцировать синус, но сделать мы это можем только если уже как-то доказали, что данный предел равен 1.

20.2.3Раскрытие неопределенности ∞/∞

Вместо условия, что f и g одновременно стремятся к нулю, можно использовать условие, что они одновременно стремятся к бесконечности. Доказательство этого утверждения довольно громоздкое, и мы его приводить не будем, а вот пример разберём.

Пример 4. Найдём предел

limx→+∞lnx√x.

Это неопределенность вида ∞/∞, производная знаменателя не обращается в ноль. Попробуем продифференцировать числитель и знаменатель. Имеем:

limx→+∞1/x1/(2√x)=limx→+∞2√x=0.

Предел существует и равен нулю, значит, правило Лопиталя применимо, исходный предел также существует и равен нулю.

20.3Заключение

Правило Лопиталя часто (хотя и не всегда) позволяет раскрывать неопределенности вида 0/0 или ∞/∞ без особых раздумий — если после первого дифференцирования снова получили неопределенность, не беда — можно продифференцировать ещё раз, и так пока не получим какой-нибудь конкретный предел. (Главное не забывать проверить, что условия соответствующих теорем применимы.) Студенты его очень любят. А я нет. Потому что на практике вместо правило Лопиталя быстрее использовать другую штуку — разложение функций в ряд Тейлора. Об этом мы поговорим в следующий раз.

---

← Предыдущая глава Следующая глава →

Что такое правило Лопиталя (L’Hospital’s Rule)?

Правило Лопиталя (правило Лопиталя) произносится как «правило лопиталя», и это правило является очень важным правилом исчисления, которое используется для оценки странных пределов, которые приводят к неопределенным формам (таким как 0/0, ∞/ ∞ и др. ). Эти типы лимитов

• не могут быть рассчитаны путем прямой подстановки лимита и/или
• можно оценить, но с использованием очень длинной процедуры.

Давайте посмотрим на правило Лопиталя вместе с его формулировкой, доказательством и примерами. Кроме того, давайте рассмотрим некоторые распространенные заблуждения, которые могут возникнуть при применении этого правила.

1.	История правил Лопиталя
2.	Что такое правило больницы L?
3.	Формула правила Лопиталя
4.	Доказательство правила Лопиталя
5.	Когда и как применять правило Лопиталя?
6.	Неправильные представления о правиле Лопиталя
7.	Часто задаваемые вопросы о правиле Лопиталя

История правила Лопиталя

Правило Лопиталя имеет различные названия, такие как правило Лопиталя, правило Лопиталя, правило Бернулли и т. д., и используется для оценки пределов неопределенных форм. Впервые оно было введено швейцарским математиком Иоганном Бернулли в 1694 году и поэтому известно как правило Бернулли. Позже оно было разработано французским математиком Гийомом де л’Опиталем и поэтому стало популярным под названием правила Лопиталя.

Давайте рассмотрим пример, прежде чем смотреть, что говорит это правило: lim _{x → 2} (x ² — 4) / (x — 2). Первое, что мы обычно делаем для оценки предела, — это подставляем предел. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы применяем ограничение. Получаем (2 ² — 4) / (2 — 2) = 0/0. Это неопределенная форма (поскольку 0/0 не определено). Но попробуем упростить этот предел по-другому. Мы знаем, что x ² — 4 можно записать как (x + 2) (x — 2) (используя формулу a² — b²). Так лим _{x → 2} (x ² — 4) / (x — 2) = lim _{x → 2} [(x + 2) (x — 2)] / (x — 2) = lim _{x → 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4. Из-за факторизации мы могли легко вычислить этот предел.

Возьмем другой предел lim _{x → 0} (sin x) / x (действительное значение которого равно 1, и это будет доказано позже), который также дает нам неопределенную форму 0 / 0, но ее нелегко оценить, так как другой. Правило Лопиталя упрощает процесс нахождения пределов, дающих неопределенные формы, путем применения предела. Прежде чем приступить к его изучению, давайте просто посмотрим, какими могут быть другие неопределенные формы.

Неопределенные формы:

Неопределенная форма — это то, что не может быть определено математически. Неопределенные формы могут быть вида 0/0, ±∞/±∞, 0 × ∞, ∞ — ∞, 0 ⁰ , 1 ^∞ , ∞ ⁰ и т. д. Но наиболее распространены неопределенные формы, встречающиеся в то время как применение правила Лопиталя — 0/0 и ± ∞ / ± ∞.

Что такое правило больницы L?

Правило Лопиталя гласит, что предел отношения двух функций (где знаменатель НЕ равен 0), который приводит к неопределенной форме при прямом применении предела, равен пределу отношения их производные. Давайте посмотрим на математическое определение правила Лопиталя ниже.

Формула правила Лопиталя

Правило Лопиталя гласит, что для любых двух непрерывных функций f(x) и g(x) lim _{x → a} f(x)/g(x) является неопределенной формой, тогда lim _{x → a} f(x) / g(x) = lim _{x → a} f’ (x) / g'(x), где

• ‘a’ — любое действительное число, или ∞, или — ∞.
• lim _{x → a} f(x) / g(x) является неопределенной формой, когда применяется x = a.
• f'(x) является производной от f(x)
• g'(x) является производной от g(x) и g'(a) ≠ 0,

Доказательство правила Лопиталя

Мы знаем, что правило Лопиталя применяется, когда предел имеет вид 0/0 и ±∞/±∞. Предположим, что lim _{x → a} f(x)/g(x) = 0/0, т. е. f(a)/g(a) = 0/0, что означает f(a) = 0 и g( а) = 0. Рассмотрим левую часть правила и в конечном итоге добьемся правой части.

LHS = lim _{x → a} f(x) / g(x)

= lim _{x → a} [ f(x) — f(a) ] / [ g(x) — g(a) ] (∵ f(a) = g (a) = 0)

Деление числителя и знаменателя на (x — a),

= lim _{x → a} \(\dfrac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} {\ frac {g (x) -g (a)} {xa}} \)

= \(\ frac {lim_ {x → a} \ frac {f (x) -f (a)} {xa} }{ lim_{x → a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}\)

По определению производной

= f'(a) / g'(a)

= lim _{x → a} f’ (x) / g'(x)

= RHS

Таким образом, правило Лопиталя доказано. Это доказательство расширяется до пределов с другими неопределенными формами, такими как ± ∞ / ± ∞ (хотя это доказательство сложное и продвинутое).

Когда и как применять правило Лопиталя?

Правило Лопиталя следует применять только тогда, когда lim _{x → a} f(x) / g(x) приводит к неопределенной форме прямым применением предела. В таких случаях мы просто дифференцируем числитель и знаменатель (используя формулы производных) по отдельности, а затем применяем предел. Вот те же самые примеры, которые были упомянуты в первом разделе и очень легко решаются с помощью правила Лопиталя.

• lim _{x → 2} (x ² — 4) / (x — 2) = 0/0 прямым применением предела (x = 2).
  Используя правило Лопиталя:
  lim _{x → 2} (x ² — 4) / (x — 2) = lim _{x → 2} (2x) / (1) = 2(2) = 4
  (это следует из правила мощности)
• lim _{x → 0} (sin x) / x = 0 / 0, когда применяется x = 0.
  Используя правило Лопиталя:
  lim _{x → 0} (sin x) / x = lim _{x → 0} (cos x) / 1 = cos 0 = 1
  (это следует из формулы производной sin x)

Иногда предел все еще приводит к неопределенной форме даже после однократного применения правила Лопиталя. В этом случае мы можем применять одно и то же правило снова и снова по мере необходимости.

Многократное применение правила Лопиталя:

Мы можем применять правило Лопиталя столько раз, сколько потребуется. Каждый раз, когда мы применяем правило, мы вычисляем производные функций числителя и знаменателя отдельно, а затем применяем предел. Но перед каждым применением этого правила просто убедитесь, что текущий предел приводит к неопределенной форме. Вот пример.

Пример: Оценка предела lim _{x → 0} (1 — cos 2x) / x ² .

Решение:

Непосредственным применением предела x → 0 мы получаем (1 — cos 0) / 0 = (1 — 1) / 0 = 0 / 0, что является неопределенной формой. Поэтому применим правило Лопиталя. Мы знаем, что производные от 1 — cos 2x и x ² равны 2 sin 2x и 2x соответственно. Тогда приведенный выше предел становится следующим:

lim _{x → 0} (2 sin 2x / 2x) = lim _{x → 0} (sin 2x / x)

Теперь попробуем применить ограничение. Тогда мы получаем (sin 0)/0 = 0/0, что снова является неопределенной формой. Итак, мы снова применяем правило Лопиталя. Мы знаем, что производные от sin 2x и x равны 2 cos 2x и 1 соответственно. Тогда вышеуказанный предел принимает вид:

lim _{x → 0} (2 cos 2x / 1) = 2 cos 0 = 2(1) = 2.

Следовательно, lim _{x → 0} (1 — cos 2x) / х ² = 2.

Неправильные представления о правиле Лопиталя

В некоторых случаях мы склонны применять правило Лопиталя, но это приводит к неправильному результату. Поэтому мы должны быть осторожны при применении этого правила. Давайте посмотрим, где мы можем ошибиться при применении правила.

Когда нельзя применять правило Лопиталя?

Применение правила Лопиталя, когда предел НЕ дает неопределенной формы, дает неправильный результат. Например:

lim _{x → 2} (3x + 1) / (2x + 2) = (3(2) + 1) / (2(2) + 2) = 7/6 (правильный ответ)

Ограничение не привело к неопределенной форме, поэтому мы не можем применить правило Лопиталя. Посмотрим, что мы получим, если подадим заявку. Мы знаем, что производные от 3x + 1 и 2x + 2 равны 3 и 2 соответственно. Таким образом, приведенный выше предел после применения правила становится:

lim _{x → 2} (3/2) = 3/2 (неправильный ответ)

☛ Поэтому сначала примените ограничение и убедитесь, что в результате получается неопределенная форма перед применением правила.

Упрощайте дробь перед каждым применением:

Когда мы применяем правило Лопиталя несколько раз, каждый раз упрощайте рациональное выражение, прежде чем каждый раз применять ограничение. В противном случае получаем неверный ответ. Вот пример.

lim _{x → 1} (x ³ — 1) / (x ² — 1)
= lim _{x → 1} (3x ² /2x)
= lim _{х → 1} (3x / 2)
= 3(1)/2
= 3/2 (правильный ответ)

Но что произойдет, если мы не упростим дробь (на третьем шаге) и попытаемся снова применить правило Лопиталя?

lim _{x → 1} (x ³ — 1) / (x ² — 1)
= lim _{x → 1} (3x ² /2x)
= lim _{х → 1} (6x / 2)
= lim _{х → 1} 3x
= 3(1)
= 3 (неправильный ответ)

☛ Таким образом, упрощаем все до минимума перед применением правила.

Важные примечания к правилу Лопиталя:

• Предел дроби двух функций (что приводит к неопределенной форме) равен пределу дроби их производных.
• Не применяйте правило Лопиталя, если ограничение не приводит к неопределенной форме.
• Мы можем применять правило Лопиталя столько раз, сколько потребуется, но перед каждым применением мы должны проверять, не дает ли предел на этом конкретном шаге неопределенную форму.
• Когда мы пытаемся применить правило Лопиталя для произведения f(x) · g(x), сначала запишем его в виде дроби (т.е. либо как f(x)/(1/g(x)) либо как g(x) / (1/ f(x)) ).

☛ Связанные темы:

• Калькулятор пределов
• Интегральный калькулятор
• Калькулятор производных
• Калькулятор определенных интегралов

Часто задаваемые вопросы о правиле Лопиталя

Что такое правило Лопиталя в исчислении?

Правило Лопиталя в исчислении очень хорошо работает при оценке пределов, значение которых является неопределенным значением после прямого применения предела. Чтобы применить это правило, мы просто заменяем заданную долю функций долей их производных, а затем применяем предел. Мы всегда можем применить это правило столько раз, сколько потребуется.

Как применять правило Лопиталя?

Чтобы применить правило Лопиталя для оценки предела lim _{x → a} f(x)/g(x):

• Сначала проверьте, приводит ли f(a)/g(a) к неопределенной форме, такой как 0/0, ∞/∞ и т. д.
• Если да, найдите производные f'(x) и g'(x).
• Затем данный предел получается путем вычисления предела lim _{x → a} f'(x)/g'(x).

Что такое формула правил больницы L?

Формула правила L Hopitals lim _{x → a} f(x) / g(x) = lim _{x → a} f’ (x) / g'(x), где левосторонний предел дает неопределенную форму, применяя предел x = a. Здесь f'(x) и g'(x) — производные соответствующих функций.

Как узнать, применимо ли правило L’Hospital?

Чтобы вычислить любой предел как x → a, мы сначала подставим x = a в данное выражение. Если это приводит к неопределенным значениям, таким как 0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д., то мы применяем правило Лопиталя.

Когда нельзя использовать правило Лопиталя?

Когда применение предела к дроби функций приводит к любому действительному числу, или ∞, или -∞, тогда мы не должны применять правило Лопиталя к этому пределу.

Можно ли использовать правило Лопиталя несколько раз?

Да, мы можем использовать правило Лопиталя несколько раз. Но перед каждым применением правила убедитесь, что применение ограничения дает неопределенное значение, например 0/0.

Как произносится правило Лопиталя?

Правило Лопиталя на самом деле называется правилом Лопиталя (которое было выведено французским математиком Гийомом де л’Опиталем) и произносится как «правило лопиталя». Он используется для оценки пределов, которые приводят к неопределенной форме.

Как применять правило Лопиталя для экспонент?

При нахождении пределов, если в выражении присутствует переменная, сначала обозначьте предел как L, а затем примените логарифмирование к обеим частям. Например, чтобы вычислить предел lim _{x → ∞} x ^1/x , сначала предположим, что L = lim _{x → ∞} x ^1/x . Затем берём «ln» с обеих сторон,
ln L = lim _{x → ∞} ln x ^1/x
ln L = lim _{x → ∞} (1/x) ln x
ln L = lim _{x → ∞} (ln x) / x
По правилу Лопиталя, 90 182 ln L = lim _{x → ∞} (1/x) / 1
lн L = 0
L = e ⁰ = 1

Следовательно, lim _{x → ∞} x ^1/x = 1.

Использование правила Лопиталя для оценки пределов

Правило Лопиталя — это метод дифференцирования
для решения неопределенных пределов
. Неопределенные пределы — это пределы
функций, где и функция в числителе, и функция
в знаменателе приближаются к 0 или положительной или отрицательной бесконечности.
Неясно, каков предел неопределенных форм, но при применении правила Лопиталя
можно облегчить оценку неопределенных пределов.

Оцените следующие пределы:

(1)

(2)

Эти пределы неопределенны, потому что частное слева равно ⁰ ⁄ ₀ , когда x =
3, а предел справа равен ^∞ ⁄ _-∞ , когда x приближается к бесконечности.
Мы не можем просто подставить приближающееся значение x , чтобы найти предел. К счастью,
есть разные методы, которые мы можем использовать.

(1) Для первого предела мы могли бы
вынести за скобки (x-3)

Легко видеть, что когда x равно 3, предел 6.

(2) Для второго предела мы можем выделить x ²

Зная, что предел любого числа, превышающего бесконечность, равен 0, мы можем подставить 0 к пределу
и упростить до ⁶ ⁄ _-5 .

(3) А как насчет этого предела?

Мы ничего не можем исключить, так как же мы это оцениваем?

Мы можем видеть, что когда x приближается к 0, и числитель, и знаменатель приближаются к
0. Поскольку частное будет ⁰ ⁄ ₀ , неясно, каким будет предел. На странице ограничений
мы оценили этот предел, посмотрев на график поведения функции
по мере приближения к 0 слева и справа. Используя правило Лопиталя,
, теперь мы можем вычислить предел в детерминантной форме. Поскольку и числитель, и
знаменатель равны 0, и обе функции имеют производную, мы можем применить 9 Лопиталя.правило 0182.

Правило Лопиталя гласит, что для функций f(x) и g(x) :

Правило Лопиталя

Давайте воспользуемся правилом Лопиталя для нашего предела.

Дифференцирование как числителя, так и знаменателя упростит частное
и облегчит вычисление предела.

Взяв производную от числителя и знаменателя, легче увидеть предел.
Мы знаем, что cos(0) равен 1, поэтому предел при приближении x к 0 равен 1. Чтобы проверить, мы можем
построить график обеих функций и увидеть, что они обе сходятся к y = 1, когда x приближается к
0

Давайте применим правило Лопиталя к нашим первым двум ограничениям, чтобы проверить, работает ли оно.

(1) и (2) Оцените следующие пределы:

(1)

Мы берем производную и подставляем 3 для x , чтобы получить наш предел.