Мат ожидание это: Математическое ожидание | это… Что такое Математическое ожидание?

Математическое ожидание Теория вероятностей. Математическая статистика и…

Привет, сегодня поговорим про ма тическое ожидание, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое ма тическое ожидание , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины (это распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей)^[1]. В англоязычной литературе обозначается через ^[2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской —  (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение .

 

Содержание

• 1 Определение
• 2 Основные формулы для математического ожидания
  • 2. 1 Математическое ожидание дискретного распределения
    • 2.1.1 Математическое ожидание целочисленной величины
  • 2.2 Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения
• 3 Математическое ожидание случайного вектора
• 4 Математическое ожидание преобразования случайной величины
• 5 Простейшие свойства математического ожидания
• 6 Дополнительные свойства математического ожидания
• 7 Примеры
• 8 Примечания
• 9 См. также
• 10 Литература

 

Пусть задано вероятностное пространство   и определенная на нем случайная величина . То есть, по определению,  — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от  по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается  или .

Основные формулы для математического ожидания[править ]

• Если  —  функция распределения  случайной величины, то ее математическое ожидание задается интегралом Лебега — Стилтьеса:

.

Математическое ожидание дискретного распределения[править ]

• Если  — дискретная случайная величина, имеющая распределение

,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

.

Математическое ожидание целочисленной величины[править ]

• Если  — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

то ее математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности 

как значение первой производной в единице:  . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Если математическое ожидание  бесконечно, то  и мы будем писать 

Теперь возьмем производящую функцию  последовательности «хвостов» распределения 

Эта производящая функция связана с определенной ранее функцией  свойством:  при . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения[править ]

• Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задается плотностью , равно

.

Математическое ожидание случайного вектора[править ]

Пусть  — случайный вектор . Тогда по определению

,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины[править ]

Пусть  — борелевская функция , такая что случайная величина  имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

,

если  имеет дискретное распределение;

,

если  имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение  случайной величины  общего вида, то

.

В специальном случае, когда , Математическое ожидание  называется -тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания[править ]

• Математическое ожидание числа есть само число .

 — константа;

• Математическое ожидание линейно, то есть

,

где  — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а  — произвольные константы;

• Математическое ожидание сохраняет неравенства , то есть если  почти наверное, и  — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины  также конечно, и более того

;

• Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если  почти наверное, то

.

• Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин  равно произведению их математических ожиданий

.

Дополнительные свойства математического ожидания[править ]

• Неравенство Маркова;
• Теорема Леви о монотонной сходимости;
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
• Тождество Вальда;
• Лемма Фату.
• Математическое ожидание случайной величины  может быть выражено через ее производящую функцию моментов  как значение первой производной в нуле: 

Примеры[править ]

• Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть  Тогда ее математическое ожидание

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

• Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где . Тогда ее плотность имеет вид  и математическое ожидание равно

.

• Пусть случайная величина   имеет стандартное распределение Коши. Тогда

,

то есть математическое ожидание   не определено.

Примечания[править ]

1. ↑ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
2. ↑ А. Н. Ширяев 1 // « Вероятность ». — М.: МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.

См. также[править ]

Напиши свое отношение про ма тическое ожидание. Это меня вдохновит писать для тебя всё больше и больше интересного. Спасибо Надеюсь, что теперь ты понял что такое ма тическое ожидание и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но емко про ма тическое ожидание

Математическое ожидание — Студопедия

Поделись  

Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры.

Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность веро-ятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач доста-точно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный во-прос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.

Определение 7.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п . (7.1)

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то , если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3.

Тогда

Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х – числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:

Х			…	п	…
р	0,5	(0,5)2	…	(0,5)п	…

Тогда ..+

+ (при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , откуда ).

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М(С) = С. (7.2)

Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение

С с вероятностью р = 1, то М(С) = С?1 = С.

2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

М(СХ) = С М(Х). (7.3)

Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

то ряд распределения для СХ имеет вид:

Сxi	Сx1	Сx2	…	Сxn
pi	p1	p2	…	pn

Тогда М(СХ) = Сх₁р₁ + Сх₂р₂ + … + Сх_пр_п = С( х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п) = СМ(Х).

Определение 7.2. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.

Определение 7.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей.

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

xi	x1	x2
pi	p1	p2

уi	у1	у2
gi	g1	g2

Тогда ряд распределения для XY выглядит так:

ХY	x1y1	x2y1	x1y2	x2y2
p	p1g1	p2 g1	p1g2	p2g2

Следовательно, M(XY) = x₁y₁?p₁g₁ + x₂y₁?p₂g₁ + x₁y₂?p₁g₂ + x₂y₂?p₂g₂ = y₁g₁(x₁p₁ + x₂p₂) + + y₂g₂(x₁p₁ + x₂p₂) = (y₁g₁ + y₂g₂) (x₁p₁ + x₂p₂) = M(X)?M(Y).

Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.

Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.

Определение 7.4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или незави-симых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M (X + Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Доказательство.

Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведен-ными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х₁ + у₁, х₁ + у₂, х₂ + у₁, х₂ + у₂. Обозначим их вероятности соответственно как р₁₁, р₁₂, р₂₁ и р₂₂. Найдем М( Х +Y ) = (x₁ + y₁)p₁₁ + (x₁ + y₂)p₁₂ + (x₂ + y₁)p₂₁ + (x₂ + y₂)p₂₂ =

= x₁(p₁₁ + p₁₂) + x₂(p₂₁ + p₂₂) + y₁(p₁₁ + p₂₁) + y₂(p₁₂ + p₂₂).

Докажем, что р₁₁ + р₂₂ = р₁. Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х₁ + у₁ или х₁ + у₂ и вероятность которого равна р₁₁ + р₂₂, совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х₁ (его вероятность – р₁). Аналогично дока-зывается, что p₂₁ + p₂₂ = р₂, p₁₁ + p₂₁ = g₁, p₁₂ + p₂₂ = g₂. Значит,

M(X + Y) = x₁p₁ + x₂p₂ + y₁g₁ + y₂g₂ = M (X) + M (Y).

Замечание. Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.

Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:

М(Х₁) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4 М(Х)=

Дисперсия.

Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида

Х
р	0,1	0,8	0,1

Y
p	0,5	0,5

Найдем М(Х) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М(Х) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М(Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.

Определение 7.5. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

D(X) = M (X – M(X))². (7.6)

Пример.

Найдем дисперсию случайной величины Х (числа стандартных деталей среди отобранных) в примере 1 данной лекции. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможно-го значения от математического ожидания:

(1 – 2,4)² = 1,96; (2 – 2,4)² = 0,16; (3 – 2,4)² = 0,36. Следовательно,

Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.

Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:

Теорема 7.1. D(X) = M(X ²) – M ²(X). (7.7)

Доказательство.

Используя то, что М(Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду:

D(X) = M(X – M(X))² = M(X² — 2X?M(X) + M²(X)) = M(X²) – 2M(X)?M(X) + M²(X) =

= M(X²) – 2M²(X) + M²(X) = M(X²) – M²(X), что и требовалось доказать.

Пример. Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y, рассмотренных в начале этого раздела. М(Х) = (49²?0,1 + 50²?0,8 + 51²?0,1) – 50² = 2500,2 – 2500 = 0,2.

М(Y) = (0²?0,5 + 100²?0,5) – 50² = 5000 – 2500 = 2500. Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для Y это отклонение весьма существенно.

Свойства дисперсии.

1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (C) = 0. (7.8)

Доказательство. D(C) = M((C – M(C))²) = M((C – C)²) = M(0) = 0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(CX) = C²D(X). (7.9)

Доказательство. D(CX) = M((CX – M(CX))²) = M((CX – CM(X))²) = M(C²(X – M(X))²) =

= C²D(X).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X + Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Доказательство. D(X + Y) = M(X² + 2XY + Y²) – (M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2M(X)M(Y) +

+ M(Y²) – M²(X) – 2M(X)M(Y) – M²(Y) = (M(X²) – M²(X)) + (M(Y²) – M²(Y)) = D(X) + D(Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Доказательство. D(X – Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)²D(Y) = D(X) + D(X).

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Определение 7.6. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

. (7.12)

Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно



Welc.

..wait Вы привиты Коврик на дверь Социальная дистанция

• Загрузка

Нажмите, чтобы увеличить

22 720 продаж |

5 из 5 звезд

Цена: от 22,39 евро

Первоначальная цена: от 26,34 €

(скидка 15%)

Загрузка

Включая НДС (где применимо), плюс стоимость доставки

Размер

Выберите размер Потертости 18 x 30 дюймов [Продано] M 18 x 30 дюймов (42,74–118,05 евро) M THIN INDOOR COIR в дюймах (100,75 евро) L 24 x 36 дюймов (122,12–168,9 евро). 4) XL 24 x 60 дюймов (196,70 евро)

Выберите размер

Материал

Выберите материал КОКОСОВАЯ КРАСКА (42,74–196,70 €) КОКОС ФЛОК (101,77–160,80 €) ВСЕ ПОГОДНЫЕ СТАЯ (118,05 € — 168,9 €4)

Выберите материал

Количество

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969798991001011021031041051061071081091101111121131141151161171181191201211221231241251261271281291301311321331341351361371381391401411421431441451461471481491501511521531541551561571581591601611621631641651661671681691701711721731741751761771781791801811821831841851861871881891192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605606607608609610611612613614615616617618619620621622623624625626627628629630631632633634635636637638639640641642643644645646647648649650651652653654655656657658659660661662663664665666667668669670671672673674675676677678679680681682683684685686687688689690691692693694695696697698699700701702703704705706707708709710711712713714715716717718719720721722723724725726727728729730731732733734735736737738739740741742743744745746747748749750751752753754755756757758759760761762763764765766767768769770771772773774775776777778779780781782783784785786787788789790791792793794795796797798799800801802803804805806807808809810811812813814815816817818819820821822823824825826827828829830831832833834835836837838839840841842843844845846847848849850851852853854855856857858859860861862863864865866867868869870871872873874875876877878879880881882883884885886887888889890891892893894895896897898899

1902903904905906907908909910911912913914915916917918919920921922923924925926927928929930931932933934935936937938939940941942943944945946947948949950951952953954955956957958959960961962963964965966967968969970971972973974975976977978979980981982983984985986987988989990991992993994995996997998999

Исследуйте другие похожие поисковые запросы

Внесен в список 12 сентября 2022 г.

50 избранных

Сообщить об этом элементе в Etsy

Выберите причину… С моим заказом возникла проблемаОн использует мою интеллектуальную собственность без разрешенияЯ не думаю, что это соответствует политике EtsyВыберите причину…

Первое, что вы должны сделать, это связаться с продавцом напрямую.

Если вы уже сделали это, ваш товар не прибыл или не соответствует описанию, вы можете сообщить об этом Etsy, открыв кейс.

Сообщить о проблеме с заказом

Мы очень серьезно относимся к вопросам интеллектуальной собственности, но многие из этих проблем могут быть решены непосредственно заинтересованными сторонами. Мы рекомендуем связаться с продавцом напрямую, чтобы уважительно поделиться своими проблемами.

Если вы хотите подать заявление о нарушении прав, вам необходимо выполнить процедуру, описанную в нашей Политике в отношении авторских прав и интеллектуальной собственности.

Посмотрите, как мы определяем ручную работу, винтаж и расходные материалы

Посмотреть список запрещенных предметов и материалов

Ознакомьтесь с нашей политикой в ​​отношении контента для взрослых

Товар на продажу…

не ручной работы

не винтаж (20+ лет)

не ремесленные принадлежности

запрещены или используют запрещенные материалы

неправильно помечен как содержимое для взрослых

Пожалуйста, выберите причину

Расскажите нам больше о том, как этот элемент нарушает наши правила. Расскажите нам больше о том, как этот элемент нарушает наши правила.

Пожалуйста, подождите здесь Напольный коврик с символом 194WH

Минимум 148,00 долларов США

Минимум 148,00 долларов США

Обычно отгружается в течение 0 дней Пожалуйста, свяжитесь со службой поддержки клиентов по телефону
800-798-9250, чтобы узнать время выполнения заказа.

Нужен оптовый или специальный заказ? Получить цитату

Дополнительная информация

Модель №	194WH
Доступные цвета	Синий; Древесный уголь; Зеленый; Красный
Общая толщина	3/8
Стандартные размеры	3’x 5′; 4’x 6′
Группа	Входное покрытие
Область фильтра	Внутренний
Особые характеристики	Без DOP, без ДМФ, без веществ, разрушающих озоновый слой, без силикона и без тяжелых металлов
Рекомендуемое использование	Для размещения внутри подъездов гостиниц, магазинов, универмагов, школ, университетов, ресторанов, супермаркетов.
Особые примечания	Усилить рекомендации по социальному дистанцированию громко и четко
Поверхность	Стандартный дизайн
Края	Виниловые бордюры
Интенсивность использования	Средний трафик
Спецификации материалов	Нейлон
Основа	Черный винил (без DOP)
Процесс	Тафтинг
Вес фунт/кв. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт