Примеры на пределы функций
Продолжаем изучать правила раскрытия неопределенностей в пределах. Сегодня рассмотрим 5 примеров и проанализируем ход вычислений.
Пример 6. Вычислить предел последовательности:
Решение: При подстановке бесконечности получим неопределенность вида бесконечность поделить на бесконечность (∞/∞).
Раскрыть особенность возможно двумя способами: по правилу Лопиталя или выделением множителей, которые вносят наибольший вклад в числителе и знаменателе дроби.
По правилу Лопиталя получим
По второй методике предел последовательности равен
Значения совпадают, как первая схема так и вторая не тяжелые для применения.
Однако часто в одних задачах требуют вычислить предел последовательности по правилу Лопиталя.
В других наоборот – не используя правило Лопиталя найти предел.
Пример 7. Вычислить предел последовательности:
Решение: Имеем разницу двух корней, которые при подстановке переменной дают особенность вида бесконечность минус бесконечность (∞-∞).
Для устранения особенности умножим и разделим корневую зависимость на сопряженное выражение (сумму корней). В результате придем к разности квадратов в числителе.
Повторная подстановка дает особенность вида бесконечность разделить на бесконечность.
Чтобы избавиться от особенности выделяем доминантные множители в числителе и знаменателе и оцениваем, что в итоге перевешивает (доминирует).
Получили, что в числителе старший степень чем в знаменателе, поэтому предел стремится к бесконечности. Но важно еще выяснить к плюс бесконечности или к минус бесконечности. Для этого следует проанализировать вклад слагаемых в скобках.
Пример 8. Найти предел функции:
Решение: При подстановке единицы получаем особенность вида ноль разделить на ноль {0/0}.
Для ее раскрытия разницу корней в числителе умножим на сумму корней, чтобы избавиться от иррациональности. На ту же сумму корней следует умножить знаменатель, чтобы манипуляциями не изменить значение предела.
Далее анализируем знаменатель – он содержит полином, который в свою очередь имеет в разложении множитель (x-1) (как особенность).
Разложим полином на простые множители и заменим ими соответствующую часть дроби.
Далее упрощаем числитель и знаменатель на общий множитель (x-1), и методом подстановки находим предел функции, что осталась.
Пример 9. Найти предел функции:
Решение: В заданиях, где переменная стремится к нулю и имеем дробь, содержащий логарифмы или тригонометрические функции следует искать возможность получить первую замечательный предел, следствия второго и первого лимита или сочетание обоих вариантов. Этот пример сочетает все возможное, что может Вас ждать на практике.
Простая подстановка показывает, что имеем лимит с неопределенностью вида {0/0}. Для устранения неопределенности и возведения сперва логарифма к виду ln(1+y)/y, делим и умножаем на sin(3x). Чтобы этот же синус в числителе свести под некую формулу, разделим и умножим на (3x). ∞. А это означает, что имеем дело со вторым замечательным пределом.
Для устранения особенности в скобках и показателе выделим выражения, содержащие (x-1). После этого делаем замену переменных, t=x-1, при этом новая переменная стремится к нулю. Далее в показателе выделяем множитель, который является обратно пропорциональным к слагаемому в дужках (1/4t), это даст нам экспоненту.
Все, что останется множителем в показателе даст степень экспоненты в предельном переходе (12).
Хорошо проанализируйте приведенный пример, он на самом деле не такой тяжелый, если внимательно разобраться.
В новых публикациях Вы получите ответы на другие вопросы, которые могли у Вас возникнуть в связи с тем, что рассмотрено всего 5 примеров.
Примеры решения пределами с ответами
Простое объяснение принципов решения пределов 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения пределов
Теорема
Пределом называется значение функции, вычисленное в точке к которой стремиться независимый аргумент.
Свойства пределов
Если
то
Если
то
Если
то
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Цена работы
Примеры решений пределов
Пример 1
Задача
Найти предел:
Решение
Заменим в выражении аргумент его предельным значением:
Ответ
Пример 2
Задача
Найти предел:
Решение
Заменим в выражении аргумент его предельным значением:
Ответ
Пример 3
Задача
Найти предел:
Решение
Заменим в выражении аргумент его предельным значением:
Ответ
Пример 4
Задача
Найти предел:
Решение
Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение в
Вычисляем передел:
Ответ
Пример 5
Задача
Найти предел:
Решение
Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение в
Вычисляем предел:
Ответ
Пример 6
Задача
Найти предел:
Решение
Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение в
Вычисляем предел:
Ответ
Пример 7
Задача
Найти предел:
Решение
В данном примере знаменатель обращается в нуль при предельном значении аргумента
Преобразуем выражение
Ответ
Пример 8
Задача
Найти предел:
Решение
При числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Для решения задачи необходимо сделать подстановку Число является наименьшим общим кратным показателей корней.
Разделим числитель и знаменатель дроби
на
В итоге получим:
Ответ
Пример 9
Задача
Найти предел:
Решение
При знаменатель дроби обращается в нуль, поэтому вычислить непосредственно предел нельзя.
Рассмотрим обратную дробь
и её предел при
Т.к.
, то при функция является бесконечно малой, поэтому при является бесконечно большой, а
Ответ
Пример 10
Задача
Найти предел:
Решение
Разделим числитель и знаменатель дроби на – высшую степень , встречающуюся в дроби
При поэтому
Ответ
Средняя оценка 3. 1 / 5. Количество оценок: 58
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
55817
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Полезно
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя может помочь нам рассчитать предел, который в противном случае может быть трудным или невозможным.
L’Hôpital произносится как «лопиталь». Он был французским математиком 1600-х годов.
В нем говорится, что предел , когда мы делим одну функцию на другую, остается тем же самым после того, как мы берем производную каждой функции (с некоторыми особыми условиями, показанными позже).
В символах можно написать:
лим x → C F (x) G (x) = Lim x → C F ’(x) G’ (x)
Предел, когда x приближается к c для «f-of-x над g-of-x» равен
пределу, когда x приближается к c для «f-dash-of-x над g-dash-of-x»
Все, что мы сделали, это добавили маленькую черточку ’’ к каждой функции, что означает получение производной.
Пример:
lim x→2 x 2 +x−6 x 2 −4
При x=2 мы обычно получаем:
2 2 +2−6 2 2
Что не определено, так что мы застряли. Или мы?
Давайте попробуем L’Hôpital!
Дифференцировать верх и низ (см. Производные правила):
lim x→2 x 2 +x−6 x 2 -4 = lim x→2 2x+1−0 2x−0
Теперь подставим x=2 , чтобы получить ответ:
90 015 лим х→2 2х +1−0 2x−0 = 5 4
Вот график, обратите внимание на «дыру» в точке x = 2:
факторинг, см. Оценка пределов .
Пример:
лим x→∞ e x x 2
Обычно это результат:
lim x→∞ e x x 2 = ∞ 9 0016 ∞
Оба устремляются в бесконечность. Что неопределенно.
Но давайте различать верх и низ (обратите внимание, что производная от e x равна e x ):
lim x→∞ e x x 2 = lim x→∞ e x 2x 900 03
Хммм, до сих пор не решено, оба стремятся к бесконечности. Но мы можем использовать его снова:
lim x→∞ e x x 2 = lim 900 17 x→∞ e x 2x = lim х→∞ e х 2
Теперь у нас есть:
lim x→∞ e x 2 = ∞
Это показало нам, что e
Чемоданы
Мы уже видели пример 0 0 и ∞ ∞ . Вот все неопределенные формы, с которыми может помочь правило Лопиталя:
0 0 ∞ ∞ 0×∞ 1 ∞ 0 0 ∞ 0 ∞−∞
Условия
Дифференцируемый
Для предела, приближающегося к c, исходные функции должны быть дифференцируемы в обе стороны от c, но не обязательно в c.
Точно так же g’(x) не равно нулю ни в одну из сторон от c.
Предел должен существовать
Этот предел должен существовать:lim x→c f’(x) g’(x)
Почему? Хорошим примером являются функции, которые никогда не устанавливают значение.
Пример:
lim x→∞ x+cos(x) x
Это случай ∞ ∞ . Давайте продифференцируем верх и низ:
lim x→∞ 1−sin(x) 1
И поскольку оно просто колеблется вверх и вниз, оно никогда не приближается к какому-либо значению.
Так что нового предела не существует!
Таким образом, правило Лопиталя в данном случае неприменимо.
НО мы можем сделать так:
lim x→∞ x+cos(x) x = lim x →∞ (1 + cos(x) х )
Когда x стремится к бесконечности, тогда cos(x) x стремится к −1 ∞ и +1 ∞ 9001 8, и оба стремятся к нулю.
И у нас осталась только «1», значит:
lim x→∞ x+cos(x) x =
Пределы — Математика для старших классов
Все ресурсы по математике для старших классов
8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Справка по математике для старших классов » Предварительный расчет » Ограничения
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Предел описывает, к какому значению приближается функция при приближении к определенному значению (в данном случае ). Самый простой способ узнать, к какому -значению приближается функция, — это подставить -значение в уравнение.
Замена на дает нам неопределенное значение (это НЕ то же самое, что 0). Это означает, что функция не определена в этой точке. Однако то, что функция не определена в какой-то точке, не означает, что она не имеет предела. Предел — это просто любое значение, которое получает функция закрыть к.
Один из способов найти предел — максимально упростить уравнение:
Как видите, между числителем и знаменателем есть общие множители, которые можно сократить. (Помните, когда вы вычеркиваете множитель из рационального уравнения, это означает, что функция имеет дырку — неопределенную точку — где этот множитель равен нулю.)
После исключения общих множителей мы осталось:
Несмотря на то, что область определения исходной функции ограничена (не может равняться), мы все же можем подставить в это упрощенное уравнение, чтобы найти предел в
Сообщить об ошибке
Пусть .
Найти .
Возможные ответы:
Предел не существует.
Правильный ответ:
Объяснение:
Это график . Мы знаем, что это не определено; следовательно, нет значения для . Но если мы посмотрим на график, то увидим, что по мере приближения к 0 слева значение приближается к отрицательной бесконечности.
Это можно проиллюстрировать, представив маленькие отрицательные числа.
ПРИМЕЧАНИЕ: Обратите внимание на односторонние ограничения, так как легко выбрать неправильный ответ, если вы не будете осторожны.
на самом деле бесконечность, а не отрицательная бесконечность.
Сообщить об ошибке
Оцените предел ниже:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
приблизится при приближении , поэтому будет иметь вид, как показано ниже:
Таким образом, мы можем применить правило L’Hospital:
с:
отсюда:
Сообщить об ошибке
Возможные ответы:
Правильный ответ: 9 0003
Объяснение:
Сообщить об ошибке
Рассчитать .
Возможные ответы:
Предел не существует.
Правильный ответ:
Объяснение:
Это можно переписать следующим образом:
Мы можем подставить , отметив, что как , :
, что является правильным выбором.
Сообщить об ошибке
Скорость автомобиля, движущегося по шоссе, определяется следующей функцией времени:
Что вы можете сказать о скорости автомобиля по прошествии длительного времени (то есть по мере приближения к бесконечности)?
Возможные ответы:
Скорость автомобиля приближается к бесконечности.
Скорость автомобиля приближается к постоянному числу.
Скорость автомобиля зависит от стартовой скорости.