Решение иррациональных уравнений: Простейшие иррациональные уравнения — урок. Алгебра, 10 класс.

Иррациональные уравнения и системы — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

• Основные теоретические сведения
  • Некоторые рекомендации к решению иррациональных уравнений и систем
  • Основные свойства степеней
  • Основные свойства математических корней
  • Основные свойства квадратного корня

 

Некоторые рекомендации к решению иррациональных уравнений и систем

К оглавлению…

Существуют два равноценных метода решения иррациональных уравнений с квадратными корнями:

• Метод равносильных переходов (с учетом ОДЗ). При этом для правильной записи области допустимых значений, в общем случае необходимо потребовать неотрицательности всех подкоренных выражений, а также выражений, которым равны корни квадратные (если таковые можно алгебраически выразить из уравнения).
• Метод перехода к уравнению-следствию (без учета ОДЗ). В этом методе обязательно требуется проверка корней подстановкой.

Честно говоря, в иррациональных уравнениях порой так сложно правильно записать ОДЗ, что даже если Вы будете пробовать это сделать, то корни всё равно лучше проверять подстановкой, особенно если корни представляют из себя целые числа.

Обратите внимание на очень частую ошибку – если Вы решаете уравнение типа:

То при записи ОДЗ необходимо требовать неотрицательность правой части, то есть накладывать условие:

Причем необходимо понимать, что данное условие нужно дополнительно добавлять в ОДЗ даже если к подобному уравнению Вы пришли уже после нескольких преобразований (возведений в квадрат), а не только в случае, когда уравнение изначально выглядело соответствующим образом.

В иррациональных уравнения особо актуально становится следующее замечание: для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, необходимо, чтобы хотя бы один их них равнялся нолю, а остальные существовали. Когда множителями являются корни, а не просто скобки как в рациональных уравнениях, то они часто могут и не существовать.

Так возникают ошибки.

Если в иррациональном уравнении много корней, то крайне желательно перед возведением этого уравнения в квадрат перенести корни справа налево или наоборот так, чтобы с каждой из сторон получилась именно сумма корней, то есть заведомо положительное выражение. Если же, по каким-то причинам, Вы решили возводить в квадрат разность корней (т.е. выражение чей знак неизвестен), то будьте готовы получить несколько посторонних корней. В этом случае обязательно нужно проверить все корни подстановкой, потому что правильно записать ОДЗ уже скорее всего не получится.

Если в иррациональном уравнении имеется корень в корне, то необходимо будет несколько раз возводить это уравнение в квадрат, при этом главное понимать, что в соответствии с изложенными выше условиями, при каждом таком возведении могут получаться всё новые и новые условия для ОДЗ. В таких уравнениях при возможности лучше проверять корни подстановкой.

При решении иррациональных уравнений часто удобно использовать замену. При этом главное помнить, что после введения замены в некоторое уравнение это уравнение должно:

• во-первых, стать проще;
• во-вторых, больше не содержать первоначальной переменной.

Кроме того, важно не забывать выполнять обратную замену, т.е. после нахождения значений для новой переменной (для замены), записывать вместо замены то, чему она равна через первоначальную переменную, приравнивать это выражение к найденным значениям для замены и опять решать уравнения.

При решении систем иррациональных уравнений с двумя неизвестными зачастую достаточно действовать по стандартной схеме. А именно, выразить одну из переменных из одного из уравнений и подставить данное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение. После чего получится некоторое иррациональное уравнение с одной неизвестной, которое затем следует решить с учетом всех правил решения иррациональных уравнений. Значение первой переменной затем нужно найти используя её выражение через уже найденную переменную.

При решении систем иррациональных уравнений с большим количеством переменных также зачастую достаточно использовать метод подстановки. Также при решении систем иррациональных уравнений часто помогает метод замены переменных. При этом нужно понимать, что после введения замены переменных в систему:

• во-первых, она опять-таки должна упроститься;
• во-вторых, новых переменных должно быть столько же сколько и старых;
• в-третьих, система больше не должна содержать старых переменных;
• в-четвёртых, нужно не забыть выполнить обратную замену.

 

Основные свойства степеней

К оглавлению…

При решении иррациональных уравнений необходимо помнить много свойств степеней и корней. Перечислим ниже основные из них. У математических степеней есть несколько важных свойств:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

 

Основные свойства математических корней

К оглавлению…

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак «минус»):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным, то для таких корней имеется следующее важное свойство:

Итак всегда нужно помнить, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное выражение, и сам корень тоже есть неотрицательное выражение.  Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

 

Основные свойства квадратного корня

К оглавлению…

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно очень хорошо запомнить и не путать:

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

Обратите внимание на другой случай использования последнего свойства. Если под корнем квадратным имеется произведение двух отрицательных величин (т.е. по итогу величина положительная, а значит корень существует), то этот корень раскладывается на множители следующим образом:

Основные методы решения иррациональных уравнений

В курсе математики, значительную часть занимает материал по темам уравнения и неравенства. Самым сложным разделом, который изучается в школе, считается иррациональные уравнения, поскольку на их решение уделяется очень мало внимания. Обучающиеся достаточно часто допускают ошибки при решении иррациональных уравнение, так как недостаточно владеют умением решать их.

При изучении иррациональных уравнений возникают следующие трудности:

• отсутствие четкого алгоритма решения;
• неправильное преобразование;
• потеря корней.

Задачи на тему «Иррациональные уравнения» встречаются на проведение ОГЭ (Основного Государственного Экзамена) и при различных вступительных экзаменах, но неправильное решение данных номеров, часто для ребят является огромным препятствием на пути достижения поставленной цели.

Поэтому в данной статье, я решила, рассказать о различных методиках решения иррациональных уравнений и показатьприменение этих методик на примерах.

Для начала давайте разберемся, что же такое иррациональное уравнение и какой вид оно имеет. Иррациональным называется уравнение, которое содержит под знаком корня переменную. Примером иррационального уравнение будет являться:

Существуют различные методики решения иррациональных уравнений, перечислим их:

• метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
• метод введения новых переменных;
• разложение на множители.

Разберем подробно каждый метод и приведем пример решения иррациональных уравнений каждым методом.

1 метод: метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Смысл его том, чтобы избавиться от корня и получить рациональное уравнение, которое более легко при решении.

Но нужно помнить, если обе части иррационального уравнения мы будем возводить в нечетную степень, одну и ту же, то у нас получится уравнение, которое равносильно данному. А если же мы возведем в четную степень, то получится уравнение, которое будет следствие данного, именно из-за этого возможно появление посторонних корней решения уравнений.

Рассмотрим пример использования метода возведения частей в одну и туже степень при решения иррационального уравнения.

Равенство получилось верным, поэтому данный корень будет являться корнем данного уравнения.

Равенство получилось верным, поэтому данный корень будет являться корнем данного уравнения.

Ответ: 1, 0, 3

В данной статье, я рассказала про методы решения иррациональных уравнений и показала примеры применения каждого метода. Каждый метод решения иррациональных уравнений по-своему интересен для обучающихся, но для каждого наиболее легкий метод решения свой. Кому-то легче возвести обе части в одну и ту же степень, кому-то же заменить переменной общий множитель. Но полагаясь на свою практику, хочется отметить, что всё-таки основным методом решения, у обучающихся, чаще всего является 1 метод, метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Примеры уравнений как с рациональными, так и с иррациональными числами

И рациональные, и иррациональные числа могут называться действительными числами, но когда дело доходит до их свойств, есть несколько различий. Вы можете представить рациональное число в форме P/Q, где P и Q — целые числа, а Q ≠ 0.

Иррациональные числа нельзя записывать простыми дробями. 2/3 — пример рационального числа, тогда как √2 — иррациональное число.

Давайте начнем с определения каждого термина отдельно, затем мы сможем узнать больше о каждом и рассмотреть несколько примеров.

Что такое рациональное число?

Любое число, представленное в виде дроби с положительными числами, отрицательными числами и нулем, называется рациональным числом. Рациональные числа произошли от слова «отношение». Другими словами, это отношение двух целых чисел. Например, 3/2 — рациональное число, что означает, что 3 делится на другое целое число 2.

Что такое иррациональное число?

По существу, иррациональные числа могут быть записаны как десятичные дроби, но как отношение двух целых чисел. Иррациональные числа, как правило, имеют бесконечные неповторяющиеся цифры после запятой. Возьмем такой пример: √8= 2,828.

Примеры рациональных и иррациональных чисел

Для рациональных чисел

• 0,5 можно записать как ½ или 5/10, а любое десятичное число в конце является рациональным числом.
• √81, так как квадратный корень можно упростить до 9, что является частным дроби 9/1
• Вы можете выразить 3 как 3/1, где 3 — это частное целых чисел 3 и 1.
• 0,777777 — это повторяющиеся десятичные дроби и рациональное число.
• 1/5 — рациональное число, потому что и знаменатель, и числитель — целые числа.

Для Иррациональных

• √2 это число нельзя упростить; следовательно, это иррациональное число.
• Π — иррациональное число, имеющее значение 3,142… это бесконечное и неповторяющееся число. Следовательно, значение π не равно какой-либо дроби. Дробь 22/7 — это всего лишь оценка.
• 0,212112111…является иррациональным числом, неповторяющимся и непрерывающимся, поэтому его нельзя выразить как частное от дроби.
• Хотя число в √7/5 является дробью, числитель и знаменатель должны быть целыми числами. Но поскольку √ 7 не является целым числом, указанное число иррационально.
• 5/0 иррационально. Любая дробь со знаменателем 0 иррациональна.

Свойства рациональных и иррациональных чисел

Это основные правила арифметики, применяемые к рациональным и иррациональным числам

Правило 1: Результат суммы двух рациональных чисел также является рациональным

• Пример: ½ +1/3 = 5/6

Правило 2: Произведение двух рациональных чисел рационально

• Пример: ½ x 1/3 = 1/6

Правило 3: результат суммы двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным

• Возьмем, например: √2 + √2 = 2√2 иррационально
• а 2 + 2√5 + (-2√5) = 2 результат рациональный

Правило 4: Произведение двух иррациональных чисел может быть как иррациональным, так и рациональным.

• Возьмем, например: √2 * √3 = √6 иррационально
• , тогда как √2 * √2 = √4 = 2 рационально

Теперь сосредоточимся на отдельных свойствах рациональных и иррациональных чисел.

Отличительные признаки рациональных чисел

• Сумма рациональных чисел всегда является рациональным числом. Например, если W и Z — два рациональных числа, сумма W и Z рациональна.
• Результат деления рационального числа на ненулевое число является рациональным числом. Например, W÷Z= рациональное число.
• Произведение любых двух или трех рациональных чисел дает другое рациональное число. Например, если вы умножите W и Z, то ответ, который вы получите, должен быть рациональным.
• Разница между двумя рациональными числами дает другое число. Например, если вы вычтете Z из W, вы получите рациональное число.

Так как результатом суммы любых двух рациональных чисел является рациональное число, то рациональные числа всегда должны быть закрытыми. Следовательно, рациональные числа одинаково закрыты для умножения, вычитания и деления, если делитель не равен нулю.

Как представить рациональные числа в виде десятичных дробей

Любое рациональное число можно представить как завершающую или неконечную десятичную дробь. Завершающим десятичным знаком является любое десятичное число, в котором после конечного числа десятичных знаков другие последующие разряды равны 0. Например, 1/8 = 0,125.

Как видно из приведенного примера, деление точное. Такие частные называются конечными десятичными дробями. В качестве альтернативы рациональные числа также могут быть выражены как неконечные десятичные дроби. Неконечная десятичная дробь — это те десятичные дроби, которые продолжаются бесконечно после запятой.

Давайте посмотрим на эти примеры:

1. 3/7=0,42857142
2. 18/23=0,78260869

В двух приведенных выше примерах вы понимаете, что разделение никогда не заканчивается, независимо от того, как долго оно может продолжаться. Частные таких делений называются конечными десятичными дробями.

В некоторых случаях неконечная десятичная дробь может содержать постоянно повторяющуюся цифру или набор цифр. Эти незавершающиеся десятичные числа называются периодическими, повторяющимися или циркулирующими десятичными знаками. Набор повторяющихся цифр называется периодом повторяющегося десятичного числа.

Примеры

4/9=0,44444444

11/30=0,36666666

Отличительные признаки иррациональных чисел

• Произведение иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональный.
• Результат произведения ненулевого рационального числа и иррационального числа всегда иррационален.
• Сумма иррациональных чисел может быть как рациональной, так и иррациональной.
• Сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна.
• Разница между двумя иррациональными числами может быть иррациональной, а может и не быть.
• Сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна.

Существенные различия между рациональными и иррациональными числами

• Рациональное число может быть выражено как отношение двух чисел в форме (p/q), а иррациональное число — нет.
• Рациональное число включает числа, которые могут заканчиваться или повторяться, а иррациональные числа не заканчиваются и не повторяются.
• Рациональное число имеет совершенные квадраты, такие как 4, 9, 16, 25 и т. д., а иррациональные числа имеют сурды, такие как √2, √3, √5, √7.
• Для рационального числа числитель и знаменатель являются целыми числами, где знаменатель не равен нулю: 3/2 = 1,5, 3,6767,
• Иррациональные числа нельзя записать в виде дроби: √5, √11.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое рациональные и иррациональные числа?

Вы можете представить рациональные числа в виде отношения (P/Q & Q ≠ 0), но иррациональные числа нельзя выразить в виде дроби. Тем не менее, они оба являются действительными числами, которые вы можете включить в числовую строку.

В чем существенная разница между рациональными и иррациональными числами?

Рациональные числа являются конечными и повторяющимися десятичными знаками, тогда как иррациональные числа бесконечны и не повторяются.

Пи действительное число?

Пи (π) — иррациональное число, поэтому это действительное число. Значение (π) равно 22/7 r 3,142…

Является ли 4 рациональным числом?

Да, потому что оно удовлетворяет всем условиям рационального числа. Вы можете выразить это как отношение, пока знаменатель не равен нулю.

Если вы представите десятичное число чертой, будет ли оно рациональным или иррациональным? Десятичное число с чертой означает, что число после запятой повторяется, поэтому это рациональное число.

3,605551275… рационально или иррационально?

Многоточие (…) после 3.605551275 показывает, что номер не завершается и не имеет повторяющегося шаблона. Так что это иррационально.

Заключение

Рациональные числа могут применяться для расчета скорости износа, колебаний, течения воды или скорости ветра.