Решение различных задач по комбинаторике 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Задача 1
В команде 11 человек. Сколько есть способов выбрать из этой команды капитана и вице-капитана?
Решение
Выбрать капитана – 11 способов, для каждого из них выбрать вице-капитана – 10 способов.
Значит, всего будет 110 способов.
Эту задачу можно было решить с помощью формулы. Мы выбираем двух людей из одинадцати. Порядок нам в данном случае важен, потому что капитан и вице-капитан не могут быть одним и тем же человеком. Поэтому:
По формуле:
Ответ: 110 способов.
Задача 2
В группе по английскому языку учится 11 человек. Учитель выбирает произвольного ученика по журналу и назначает его старостой группы, после чего снова выбирает произвольного ученика и назначает его стирать с доски. Сколько у учителя способов сделать свой выбор?
Решение
Казалось бы, задача такая же и ответ тот же.
Но не совсем так! Ведь староста и стиратель с доски могут быть одним и тем же человеком. В этом случае есть 11 вариантов для выбора старосты и 11 вариантов для человека, который будет стирать с доски.
Ответ: 121 способ.
Задача 3
У мастера есть 4 полоски ткани: красная, синяя, зеленая и белая. Мастер хочет сшить трехполосный флаг (полосы – горизонтальные). Сколько у него есть способов это сделать (предполагается, что красный – синий – белый и белый – синий – красный – разные флаги)?
Решение
В качестве первой полоски – 4 варианта. Для каждого из них выбрать вторую полоску – 3 варианта. Третья полоска – 2 варианта.
Итого 24.
Можно было решить задачу и по формуле: у нас есть 4 варианта, из них надо выбрать три, причем порядок выбора важен. Значит, это число размещений из 4 вариантов по 3 местам:
.
Ответ: 24 способа.
Задача 4
Сколько существует трехзначных чисел, которые составлены из четных различных цифр?
Решение
Всего четных цифр 5 – 0, 2, 4, 6, 8.
На первое место 4 варианта (кроме 0). На второе – также 4 (подойдет любая цифра, кроме первой). На третье – уже три (все, кроме первой и второй). Итого:
Ответ: 48 чисел.
Задача 5
Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?
Решение
Напомним: диагональ – это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.
Рассмотрим произвольную вершину. Сколько диагоналей можно провести из нее?
Очевидно, 17: во все вершины, кроме самой себя и двух соседних. Всего вершин 20, значит, диагоналей будет . Все? Увы, нет.
Заметим, что каждую диагональ мы посчитали два раза! Если рассмотреть диагональ, то мы ее считаем два раза, когда рассматривали каждую из точек. Значит, надо поделить найденное количество на 2. Итого, ответ:
Эту формулу можно обобщить и для произвольного -угольника: .
Ответ: 170 диагоналей.
Заключение
Сегодня мы с вами узнали, как решаются некоторые комбинаторные задачи, мы повторили, что такое размещение.
А кроме того, выяснили, что иногда даже очень похожие внешне задачи имеют разные решение и, соответственно, разные ответы, в зависимости от контекста.
Задача повышенной сложности
У Юли есть 4 любимые картины, а у ее мужа Георгия – 5 красивых постеров. Юля и Георгий хотят оформить стену в гостиной, для этого они хотят повесить вдоль стены 2 картины и 2 постера. Сколько способов у них есть это сделать?
Решение
Во-первых, посчитаем количество способов выбрать 2 картины из 4. Так как пока порядок нам не важен, мы просто выбираем 2 объекта, то это вариантов.
Аналогично, выбираем 2 постера – вариантов.
Итого, 60 вариантов выбрать 4 объекта на стену.
Теперь посчитаем, сколько способов расположить их на стене. C этого момента порядок становится важен. Давайте посчитаем, сколько способов есть повесить картины и постеры в нужном нам порядке. А это будет уже просто перестановка из четырех элементов:
Эти 24 варианта есть для каждого из 60 вариантов выбора объектов на стену.
Итого, имеем:
Ответ: 1440 способов.
Список литературы
1. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей 7–9 класс. Изд-во: Учитель, 2010.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Под ред. С.А. Теляковского. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7–9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: 2003.
3. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистика. Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7–9 классов. – М.: Мнемозина, 2002.
4. Ткачев М.В., Федоров М.Е. Алгебра 7–9. Элементы статистики и вероятности. – М.: Просвещение, 2003.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет портал «Я Класс» (Источник)
2. Интернет портал «Математика в школе» (Источник)
3. Интернет портал «Открытый урок» (Источник)
Домашнее задание
1.
Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?
2. Алексей занимается спортом, причем 4 дня в неделю – легкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?
3. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
Читать онлайн «Занимательная комбинаторика», Дмитрий Кудрец – Литрес
© Дмитрий Кудрец, 2022
ISBN 978-5-0050-7620-5
Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero
Предисловие
В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда нам необходимо рассадить гостей за столом, составить букеты из имеющихся цветов, подсчитать количество выигрышных билетов в лотерее и т. д. Но задумывались ли вы, сколькими вариантами мы можем это сделать? На этот вопрос помогает ответить комбинаторика – раздел математики, изучающий задачи выбора и расположения элементов из некоторого множества в соответствии с заданными правилами.
Формулы и методы комбинаторики широко используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий.
Комбинаторика как самостоятельная наука появилась в XVIII веке. Рождение комбинаторики связано с трудами Блеза Паскаля и Пьера Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторики методов внесли Готфрид Вильгельм Лейбниц, Яков Бернулли, Леонард Эйлер и другие выдающиеся ученые.
Перестановки
Однажды в выходной день Маша решила навести порядок в своих игрушках и рассадить в ряд медвежонка, куклу и львёнка.
Вначале она рассадила их так:
Но ей не понравилось, что медвежонок сидит рядом со львёнком. Тогда Маша пересадила игрушки следующим образом:
Но и тут Маша не смогла определиться, кто должен сидеть справа от куклы – львёнок или медвежонок?
Так бы Маша и продолжала бы переставлять игрушки с места на место, если бы в комнату не вошел Машин папа.
– Ты чем это занимаешься? – поинтересовался он у Маши.
– Да вот, – грустно вздохнула Маша, – пытаюсь расставить игрушки, но у меня что-то не получается. Столько много разных вариантов, а мне ни один не нравится.
– Допустим, – не согласился папа, – что вариантов не так уж и много. У тебя три игрушки, значит, вариантов всего шесть.
– Как ты так быстро посчитал? – удивилась Маша.
– Есть такая наука, – пояснил папа, – комбинаторика. Она и занимается подсчетом различных вариантов перестановок. Допустим у тебя всего две игрушки – медвежонок и кукла. Их можно переставить только двумя способами:
или
Если у тебя три игрушки, то это можно сделать уже шестью способами:
– А если у меня четыре игрушки? – спросила Маша.
– Тогда существует 24 варианта различных способов их перестановки. В комбинаторике такие упорядочения множества, состоящего из определенного количества элементов, так и называют – перестановками. Особенностью перестановок является то, что в них должны участвовать все элементы данного множества.
Количество всех возможных перестановок можно найти по формуле, где n – количество элементов данного множества.
Символ n
! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n..
Например, 3!=1∙2∙3=6. 4!=1∙2∙3∙4=24.
При вычислении факториала принято считать, что 0!=1, 1!=1.
– А если у меня пять игрушек? – не унималась Маша.
– В таком случае у тебя 1∙2∙3∙4∙5=120 вариантов перестановок.
– Так много? – удивилась Маша.
– А если множество состоит из 6 элементов, – продолжал папа, – то число перестановок будет равняться 720. Для 7 элементов число перестановок будет равно 5040, для 8 – 40320 и так далее. Чем больше число элементов, тем больше число перестановок.
– А если вместо пяти игрушек взять пять конфет? – спросила Маша. – Число перестановок изменится?
– Если конфеты все различные, то, как и в случае с игрушками число перестановок все равно будет 120.
– То есть, – заключила Маша, – число перестановок не зависит от того, что я переставляю – игрушки, конфеты или еще что-нибудь?
– Совершенно верно! – подтвердил папа.
– Посчитать число перестановок несложно, – согласилась Маша, – а вот переставить игрушки и не запутаться при этом гораздо сложнее.
– Для того чтобы не запутаться, – успокоил Машу папа, – можно использовать дерево возможных вариантов. Одолжим на время у мамы пуговицы.
В первый ряд положим 3 пуговицы разного цвета. Мы уже считали, что возможных перестановок для трех элементов равно шести.
Второй ряд, он будет у нас вспомогательным, мы составим следующим образом:
– То есть мы добавили пуговицы других цветов? – предположила Маша.
– Совершенно верно. В третьем ряду мы просто поменяем пуговицы местами. Вот так:
– А что мы будем делать с четвёртым рядом? – поинтересовалась Маша.
– А четвертого ряда не будет, – ответил папа. У нас три пуговицы, то есть три элемента множества, значит и рядов будет три. Осталось только, следуя сверху вниз, перечислить все варианты перестановок:
И совсем несложно.