Онлайн-калькулятор: Калькулятор собственных значений
Исследование Математика Алгебра
Этот онлайн-калькулятор вычисляет собственные значения квадратной матрицы до четвертой степени путем решения характеристического уравнения.
Этот онлайн-калькулятор вычисляет собственные значения квадратной матрицы, решая характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение – это уравнение, полученное приравниванием характеристического многочлена к нулю. Таким образом, этот калькулятор сначала получает характеристическое уравнение с помощью калькулятора характеристического полинома, а затем решает его аналитически для получения собственных значений (действительных или комплексных). Это происходит только для матриц 2×2, 3×3 и 4×4 с использованием калькуляторов решения квадратного уравнения, кубического уравнения и решения уравнения четвертой степени. Таким образом, он может найти собственные значения квадратной матрицы до четвертой степени.
Очень маловероятно, что у вас будет квадратная матрица более высокой степени в математических задачах, потому что, согласно теореме Абеля–Руффини, общее полиномиальное уравнение пятой или более высокой степени не имеет решения в радикалах, а значит, может решать только численными методами. (Обратите внимание, что степень характеристического полинома — это степень его квадратной матрицы). Больше теории можно найти под калькулятором.
Калькулятор собственных значений
3 1 5 3 3 1 4 6 4
Квадратная матрица
Точность вычислений
Знаки после запятой: 2
Характеристическое уравнение
Файл очень большой. Во время загрузки и создания может происходить замедление работы браузера.
Собственные значения легче объяснить с помощью собственных векторов. Предположим, у нас есть квадратная матрица A . Эта матрица определяет линейное преобразование, то есть, если мы умножаем любой вектор на A, мы получаем новый вектор, который меняет направление:
.
Однако есть некоторые векторы, для которых это преобразование дает вектор, параллельный исходному вектору. Другими словами:
,
где — некоторое скалярное число.
Эти векторы являются собственными векторами
Это уравнение можно переписать как
, где I — единичная матрица.
Поскольку v не равно нулю, матрица вырожденная, а значит, ее определитель равен нулю.
— характеристическое уравнение А, а его левая часть называется характеристическим полиномом А.
Корни этого уравнения являются собственными значениями A, также называемыми характеристическими значениями или характеристическими корнями .
Характеристическое уравнение A является полиномиальным уравнением, и для получения полиномиальных коэффициентов необходимо разложить определитель матрицы
Для случая 2×2 у нас есть простая формула: след A (сумма его диагональных элементов) и detA является определителем числа A.