Матрица умножения: Онлайн калькулятор. Умножение матриц

Умножение матриц

Каталин Дэвид

Чтобы можно было умножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Умножаем элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы.

1. Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
   
   • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
   • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
   • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
   • Складываем полученные произведения.
   • Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
2. Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
   
   • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
   • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
   • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
   • Складываем полученные произведения.
   • Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
3. Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
4. Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
5. Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.

Пример 7
$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ 1 & 5\\ \end{pmatrix}$

Заметим, что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки, значит, их можно перемножить.

$A \cdot B=$ $\begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{blue}2 & \color{green}2\\ \color{red}3 &\color{blue}1 & \color{green}1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{red}2 \\ \color{blue}3 & \color{blue}1 \\ \color{green}1 & \color{green}5 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot4}+\color{blue}{2\cdot3}+\color{green}{2\cdot1} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1}+\color{green}{2\cdot5}\\ \color{red}{3\cdot4}+\color{blue}{1\cdot3}+\color{green}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1}+\color{green}{1\cdot5} \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 12 & 14\\ 16 & 12\\ \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}4 &\color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \\ \color{red}1 & \color{blue}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{red}2 & \color{red}2\\ \color{blue}3 &\color{blue}1 & \color{blue}1 \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot1}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1}\\ \color{red}{3\cdot1}+\color{blue}{1\cdot3} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1}\\ \color{red}{1\cdot1}+\color{blue}{5\cdot3} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} & \color{red}{1\cdot2}+ \color{blue}{5\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 6 & 7 & 7 \\ 16 & 7 & 7 \end{pmatrix}$

Заметим, что $A \cdot B \neq B \cdot A$

Пример 8
$A= \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{red}6 \\ \color{blue}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot4}+\color{blue}{2\cdot5} & \color{red}{5\cdot6}+\color{blue}{2\cdot2} \\ \color{red}{3\cdot4}+\color{blue}{1\cdot5} & \color{red}{3\cdot6}+\color{blue}{1\cdot2} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 30 & 34\\ 17 & 20 \end{pmatrix}$

$B \cdot A= \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{blue}6 \\ \color{red}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{red}2 \\ \color{blue}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot5}+\color{blue}{6\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} \\ \color{red}{5\cdot5}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{5\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 38 & 14\\ 31 & 12 \end{pmatrix}$

Опять-таки $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Пример 9
$A= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{4} & \color{green}{3} \\ \color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{red}{2} & \color{red}{1} \\ \color{blue}{4} & \color{blue}{3} & \color{blue}{2} \\ \color{green}{2} & \color{green}{1} & \color{green}{5} \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot5} + \color{blue}{4\cdot4} + \color{green}{3\cdot2} & \color{red}{1\cdot2} + \color{blue}{4\cdot3} + \color{green}{3\cdot1} & \color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{4\cdot2} + \color{green}{3\cdot5} \\ \color{red}{2\cdot5} + \color{blue}{1\cdot4} + \color{green}{5\cdot2} & \color{red}{2\cdot2} + \color{blue}{1\cdot3} + \color{green}{5\cdot1} & \color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{5\cdot5}\\ \color{red}{3\cdot5} + \color{blue}{2\cdot4} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{3\cdot2} + \color{blue}{2\cdot3} + \color{green}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot1} + \color{blue}{2\cdot2} + \color{green}{1\cdot5} \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 27 & 17 & 24\\ 24 & 12 & 29\\ 25 & 13 & 12 \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{blue}{2} & \color{green}{1}\\ \color{red}{4} & \color{blue}{3} & \color{green}{2}\\ \color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{5} \\ \color{green}{3} & \color{green}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot1} + \color{blue}{2\cdot2} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{5\cdot4} + \color{blue}{2\cdot1} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{5\cdot3} + \color{blue}{2\cdot5} + \color{green}{1\cdot1} \\ \color{red}{4\cdot1} + \color{blue}{3\cdot2} + \color{green}{2\cdot3} & \color{red}{4\cdot4} + \color{blue}{3\cdot1} + \color{green}{2\cdot2} & \color{red}{4\cdot3} + \color{blue}{3\cdot5} + \color{green}{2\cdot1}\\ \color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{5\cdot3} & \color{red}{2\cdot4} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{5\cdot2} & \color{red}{2\cdot3} + \color{blue}{1\cdot5} + \color{green}{5\cdot1} \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 11 & 24 & 26\\ 16 & 23 & 29\\ 19 & 19 & 16 \end{pmatrix}$

Опять-таки $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Пример 10
$A= \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1\\ \end{pmatrix} I_{2}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{blue}{2}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot1}+\color{blue}{2\cdot0} & \color{red}{5\cdot0}+\color{blue}{2\cdot1} \\ \color{red}{3\cdot1}+\color{blue}{1\cdot0} & \color{red}{3\cdot0}+\color{blue}{1\cdot1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{0} \\ \color{red}{0} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{red}{2} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{1} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot5}+\color{blue}{0\cdot3} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{0\cdot1} \\ \color{red}{0\cdot5}+\color{blue}{1\cdot3} & \color{red}{0\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

Заметим, что $A \cdot I_{2} = I_{2} \cdot A=A$.

Пример 11
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} I_{3}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{4} & \color{green}{3} \\ \color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1} & \color{blue}{0} \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & \color{green}{1} \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{4\cdot0} + \color{green}{3\cdot0} & \color{red}{1\cdot0} + \color{blue}{4\cdot1} + \color{green}{3\cdot0} & \color{red}{1\cdot0} + \color{blue}{4\cdot0} + \color{green}{3\cdot1} \\ \color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot0} + \color{green}{5\cdot0} & \color{red}{2\cdot0} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{5\cdot0} & \color{red}{2\cdot0} + \color{blue}{1\cdot0} + \color{green}{5\cdot1}\\ \color{red}{3\cdot1} + \color{blue}{2\cdot0} + \color{green}{1\cdot0} & \color{red}{3\cdot0} + \color{blue}{2\cdot1} + \color{green}{1\cdot0} & \color{red}{3\cdot0} + \color{blue}{2\cdot0} + \color{green}{1\cdot1} \end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{0} & \color{green}{0} \\ \color{red}{0} & \color{blue}{1} & \color{green}{0}\\ \color{red}{0} & \color{blue}{0} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{5} \\ \color{green}{3} & \color{green}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{0\cdot2} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{1\cdot4} + \color{blue}{0\cdot1} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{1\cdot3} + \color{blue}{0\cdot5} + \color{green}{0\cdot1} \\ \color{red}{0\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{0\cdot3} & \color{red}{0\cdot4} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{0\cdot3} + \color{blue}{1\cdot5} + \color{green}{0\cdot1}\\ \color{red}{0\cdot1} + \color{blue}{0\cdot2} + \color{green}{1\cdot3} & \color{red}{0\cdot4} + \color{blue}{0\cdot1} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{0\cdot3} + \color{blue}{0\cdot5} + \color{green}{1\cdot1} \end{pmatrix} =$
$=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Опять-таки $A \cdot I_{3} = I_{3} \cdot A = A$.

Примечание:

1. В общем случае умножение матриц некоммуникативно.
2. $A\cdot I_{n} = I_{n} \cdot A = A$ для любой матрицы A, имеющей n столбцов.

Матрицы Определитель Ранг матрицы Обратные матрицы Матричные уравнения Системы уравнений Калькуляторы для матриц

Произведение двух матриц: формула, решения, свойства

• Произведение матриц: определение, формула, способ нахождения
• Примеры нахождения произведения матриц различной размерности
• Возведение матрицы в степень
• Свойства произведения матриц
• Калькулятор произведения матриц онлайн

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Из этого определения следует формула элемента матрицы C:

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B, если

,

.

Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B, произведения которых складываются для получения элемента матрицы C.

В результате получаем элементы произведения матриц:

 

Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:

.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .

Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:

Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:

В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .

Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C, которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:

а) 2 Х 10 и 10 Х 5;

б) 10 Х 2 и 2 Х 5;

в) 4 Х 4 и 4 Х 10.

Решение:

а) 2 Х 5;

б) 10 Х 5;

в) 4 Х 10.

Пример 3. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 2.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .

Пример 4. Найти произведение матриц и .

Правильное решение и ответ.

---

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Пример 5. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 1.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 6. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 3, число столбцов в матрице B — 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 3 X 3.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 7. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 1, число столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 1 X 1.

Вычисляем элемент матрицы C = AB.

Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке «Компьютеры и программирование».

Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n-ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:

Пример 8. Дана матрица . Найти A² и A³.

Решение:

Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Дана матрица

Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.

Правильное решение и ответ.

Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А , т.е. АЕ = ЕА = А .              

Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.

Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы

на единичную матрицу справа и слева.

Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где

—
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С = АЕ :

                                                                                               

Получается, что АЕ = А .

Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :

Доказано: ЕА = А .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 2. Произведение матрицы А на нуль-матрицу является нуль-матрицей. Это свойство очевидно, так как все элементы нуль-матрицы равны нулю.

Свойство 3. Произведение матриц некоммутативно:
.

Для этого достаточно показать, что равенство АВ = ВА не выполняется для каких-либо двух матриц.

Пример 11. Найти произведения матриц АВ и ВА, если

,

,

и убедиться в том, что эти произведения не равны друг другу:

.

Решение. Находим:

И действительно, найденные произведения не равны:
.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 4. Произведение матриц ассоциативно: (АВ)С = А(ВС) .

Свойство 5. Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон: (А + В) С = АС + ВС , С (А + В) = СА + СВ .

Свойство 6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: если С = АВ , то

.

Назад

Листать

Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Поделиться с друзьями

Начало темы «Матрицы»

Понятие матрицы

Продолжение темы «Матрицы»

Обратная матрица

Умножение матрицы на число

Сложение матриц

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Решение матричных уравнений

Другие темы линейной алгебры

Определители

Системы линейных уравнений

Умножение матриц — 2×2, 3×3

Умножение матриц или умножение матриц — одна из операций, которые можно выполнять над матрицами в линейной алгебре. Умножение матрицы A на матрицу B возможно, когда обе заданные матрицы A и B совместимы. Умножение матриц — это бинарная операция, которая дает матрицу из двух заданных матриц.

Умножение матриц было впервые введено в 1812 году французским математиком Жаком Филиппом Мари Бине для представления линейных карт с использованием матриц. Давайте разберемся с правилом умножения матриц в следующих разделах.

1.	Что такое умножение матриц?
2.	Как умножать матрицы?
3.	Правила умножения матриц
4.	Формула умножения матриц 2×2
5.	Формула умножения матриц 3×3
6.	Свойства умножения матриц
7.	Часто задаваемые вопросы по умножению матриц

Что такое умножение матриц?

Умножение матриц — это бинарная операция, результатом которой также является матрица при умножении двух матриц. В линейной алгебре умножение матриц возможно только тогда, когда матрицы совместимы. В общем случае умножение матриц, в отличие от арифметического, не является коммутативным, а это означает, что умножение матриц A и B, заданных как AB, не может быть равно BA, т. е. AB ≠ BA. Поэтому порядок умножения для умножения матриц важен.

Две матрицы A и B называются совместимыми, если количество столбцов в A равно количеству строк в B. Это означает, что если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n× p, то можно сказать, что матрицы A и B совместимы.

Предположим, у нас есть две матрицы A и B, произведение матрицы A на матрицу B можно представить как (AB). Это означает, что результирующая матрица для умножения любой матрицы m × n «A» на матрицу «B» размера n × p может быть представлена ​​как матрица «C» порядка m × p. Давайте разберемся с этой концепцией подробно в следующем разделе.

Как умножать матрицы?

Мы можем понять общий процесс умножения матриц с помощью метода: «Первые строки умножаются на столбцы (элемент за элементом), а затем строки заполняются. Умножение матриц можно выполнить, используя следующие шаги:

• Шаг 1:  Убедитесь, что количество столбцов в матрице 1 ^st равно количеству строк в матрице 2 ^nd (совместимость матриц).
• Шаг 2: Умножьте элементы строки i ^th первой матрицы на элементы столбца j ^th второй матрицы и сложите произведения. Это будет элемент, который находится в i ^-й -й строке и j ^-м -м столбце результирующей матрицы.
• Шаг 3:  Разместите добавленные товары на соответствующих позициях.

Давайте лучше разберемся с этими шагами умножения матриц на примере.

Пример: Умножьте приведенные ниже матрицы, чтобы найти их произведение \( \begin{pmatrix}
1 и 2 \
3 и 4 \ 5 и 1 \
\end{pmatrix} \text{and}\begin{pmatrix}
2\\
4\
\end{pmatrix}
\).

Решение: Данные матрицы имеют порядок 3×2 и 2×1 . Таким образом, t заданные матрицы совместимы, мы можем выполнить умножение матриц, и матрица произведения будет иметь порядок 3×1.

\(\begin{pmatrix}
1 и 2 \
3 и 4 \ 5 и 1 \
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
2\\
4\
\end{pmatrix}\\\\
= \begin{pmatrix}
(1\times2)+(2\times4) \\
(3\times2)+(4\times4) \\ (5\times2)+(1\times4) \\
\end{pmatrix} \\\\ = \begin{pmatrix}
2+8 \\
6+16\10+4\
\end{pmatrix}
\\\\
= \begin{pmatrix}
10\
22\14\
\end{pmatrix}\)

Следовательно, матрица произведения равна \(\begin{pmatrix}
10\
22\14\
\end{pmatrix}
\)

В результирующей матрице видно, что первый элемент первой строки получается умножением элементов первой строки первой матрицы на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы и последующим сложением. т. е., вообще говоря, найти элемент в i ^-я -я строка и j ^-й -й столбец в матрице произведения,

• Возьмите элементы i ^-й -й строки первой матрицы.
• Возьмем элементы j ^-го -го столбца второй матрицы.
• Умножьте соответствующие элементы.
• Добавить все продукты.

Правила умножения матриц

Как мы изучили, две матрицы можно перемножать только тогда, когда они совместимы, а это означает, что для существования умножения матриц количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице, в приведенном выше случай ‘н’. Если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n×p, то порядок произведения матриц равен m×p.

Примеры:

а) Умножение матрицы 4 × 3 на матрицу 3 × 4 верно и дает матрицу порядка 4 × 4

б) Матрица 7 × 1 и матрицы 1 × 2 совместимый; произведение дает матрицу 7 × 2.

c) Умножение матрицы 4 × 3 на матрицу 2 × 3 НЕВОЗМОЖНО.

Формула умножения матриц 2×2

Процесс одинаков для матрицы любого порядка. Умножаем элементы каждой строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы (поэлементно), как показано на рисунке. Наконец, мы добавляем продукты. Результатом произведения двух матриц 2×2 снова является матрица 2×2.

Формула умножения матриц 3×3

Матрица 3×3 Умножение можно выполнить с помощью формулы умножения матриц, так как любые две матрицы 3×3 совместимы. Процесс точно такой же для матрицы любого порядка. Результатом произведения двух матриц 3×3 снова является матрица 3×3.

Здесь матрицы имеют одинаковые размеры, поэтому результирующая матрица также имеет одинаковую размерность 3×3.

Пример:

\(\left(\begin{array}{rrr}
1&2&-1\
3 & 2 & 0 \
-4 и 0 и 2
\end{массив}\right)\) \(\left(\begin{массив}{rrr}
3 и 4 и 2 \
0&1&0\
-2 и 0 и 1
\end{массив}\right)\)

= \(\left(\begin{массив}{rrr}
1(3)+2(0)+(-1)(-2) и 1(4)+2(1)+(-1)0 и 1(2)+2(0)+(-1)( 1)\
3(3)+2(0)+(0)(-2) и 3(4)+2(1)+(0)0 и 3(2)+2(0)+(0)(1) \ \
-4(3)+0(0)+(2)(-2) и -4(4)+0(1)+(2)0 и -4(2)+0(0)+(2)( 1)\
\end{массив}\right)\)

= \(\left(\begin{массив}{rrr}
5 и 6 и 1 \
9 и 14 и 6 \
-16&-16&-6\
\конец{массив}\справа)\)

Свойства умножения матриц

Существуют определенные свойства операции умножения матриц в линейной алгебре в математике. Эти свойства приведены ниже,

• Некоммутативный: Умножение матриц является некоммутативным, т. е. для умножения двух матриц A и B AB ≠ BA.
• Дистрибутивность: Свойство дистрибутивности можно применять при перемножении матриц, т. е. A(B + C) = AB + BC, учитывая, что A, B и C совместимы.
• Произведение со скаляром: Если произведение матриц A и B, AB определено, то c(AB) = (cA)B = A(Bc), так что c является скаляром.
• Транспонирование: Транспонирование произведения матриц A и B может быть задано как (AB) ^T = B ^T A ^T , где ^T обозначает транспонирование.
• Комплексное сопряжение: Если A и B являются комплексными элементами, то (AB) ^* = B ^* A ^*
• Ассоциативность: Умножение матриц является ассоциативным. Для трех матриц A, B и C, произведения (AB)C и A(BC) определены, тогда (AB)C = A(BC).
• Определитель:  Определитель произведения матриц есть не что иное, как произведение определителей отдельных матриц. т. е. det (AB) = det A × det B,

Нестандартное мышление:

• Используя приведенные ниже матрицы, проверьте, является ли умножение матриц коммутативным или нет.
  \( \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\\
  2 и 4 \
  \end{pmatrix} \text{and}\begin{pmatrix}
  6 и 8 \\\
  4 и 3 \
  \end{pmatrix}
  \)
• Является ли умножение матриц ассоциативным?

Важные замечания по умножению матриц:

• Для умножения матриц данные матрицы должны быть совместимы.
• Порядок матрицы произведения можно получить по следующему правилу:
  Если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n×p, то порядок матрицы произведения равен m×p.
• Умножение матриц указывает на умножение строк на столбцы.

☛ Похожие темы:

• Калькулятор умножения матриц
• Матричный калькулятор
• Калькулятор сложения матриц

Часто задаваемые вопросы по умножению матриц

Что такое умножение матриц в линейной алгебре?

Умножение матриц — одна из бинарных операций, которые можно применять к матрицам в линейной алгебре. Чтобы умножить две матрицы A и B, количество столбцов в матрице A должно быть равно количеству строк в матрице B. ⇒AB существует.

Как перемножать матрицы 3×3?

Матрицы 3×3 в математике можно умножать путем умножения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы для получения соответствующих элементов матрицы произведения.

Что такое формула умножения матриц?

Формула умножения матриц используется для выполнения умножения матриц в целом. Например, для матриц 3×3 формула выглядит следующим образом:

Можно ли перемножать матрицы порядка 2×3 и 2×2?

Нет, мы не можем умножать матрицы 2×3 и 2×2, потому что для умножая матрицы, две матрицы должны быть совместимы. Поскольку количество столбцов в первой матрице (3) не равно количеству строк во второй матрице (2), мы не можем выполнить умножение матриц для этого случая.

Какова цель умножения матриц?

Умножение матриц важно для облегчения вычислений в линейной алгебре и используется для представления линейных карт. Это важный инструмент во многих областях математики, а также в прикладной математике, статистике, физике, экономике и технике.

Чему равно произведение матриц порядков 2×1 и 2×2?

Нет, их нельзя перемножить, так как эти матрицы несовместимы. Количество столбцов первой матрицы не равно количеству строк второй матрицы.

Когда возможно умножение матриц?

Умножение матриц возможно, только если матрицы совместимы, т. е. умножение матриц допустимо только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Всегда ли умножение матриц является коммутативным?

Умножение матриц, в отличие от арифметического умножения, не является коммутативным. Это означает, что порядок умножения матриц имеет значение.

Всегда ли определено умножение матриц?

Умножение матриц возможно только в том случае, если матрицы совместимы. Чтобы существовало умножение матриц, количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице

Объяснение урока: Свойства умножения матриц

В этом объяснении мы научимся определять свойства матрицы умножение, включая транспонирование произведения двух матриц, и как они соотносятся со свойствами умножения чисел.

Чтобы начать обсуждение свойств умножения матриц, начнем напомнив определение общей матрицы.

Определение: умножение матриц

Предположим, что 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛 и что 𝐵 — матрица с порядок 𝑛×𝑝 такой, что 𝐴=⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎…𝑎𝑎𝑎…𝑎⋮⋮⋱⋮𝑎𝑎…𝑎⎞⎟⎟⎠,𝐵=⎛⎜⎜⎜⎝𝏏𝑏…❑𝑏𝑏⋋⋋⋮ 𝑏…𝑏⎞⎟⎟⎟⎠. 

Тогда произведение матрицы равно 𝐶 с порядком 𝐶 𝑚×𝑝, с формой 𝐴𝐵=⎛⎜⎜⎝𝑐𝑐…𝑐𝑐𝑐…𝑐⋮⋮⋱⋮𝑐𝑐…𝑐⎞⎟⎟⎠, где каждая запись 𝑐 представляет собой попарную сумму записи от 𝐴 и 𝐵 предоставлены 𝑐=𝑎𝑏=𝑎𝑏+⋯+𝑎𝑏.

Уже должно быть очевидно, что умножение матриц — это операция, является гораздо более строгим, чем его реальный числовой аналог. Во-первых, мы знаем что произведение матриц 𝐴𝐵 может существовать только в том случае, если 𝐴 имеет порядок 𝑚×𝑛 и 𝐵 имеет порядок 𝑛×𝑝, что означает, что количество столбцов в 𝐴 должно совпадать с количеством строк в 𝐵.

Следует также учитывать, что многие свойства, применимые к умножение действительных чисел не применяется к матрицам. Например, для любого два действительных числа 𝑎 и 𝑏, мы имеем 𝑎𝑏=𝑏𝑎.

Это известно как свойство коммутативности .

Если бы умножение матриц также было коммутативным, это означало бы, что 𝐴𝐵=𝐵𝐴 для любых двух матриц 𝐴 и 𝐵. Предполагая, что 𝐴 имеет порядок 𝑚×𝑛 и 𝐵 имеет порядок 𝑛×𝑝, то вычисление 𝐵𝐴 будет означает попытку объединить матрицу с порядком 𝑛×𝑝 и матрица порядка 𝑚×𝑛. Это значит, что 𝐵𝐴 корректно определено только в том случае, если 𝑚=𝑝. Сразу же это показывает нам, что умножение матриц не всегда может быть коммутативным по той простой причине, что обратный порядок не всегда может быть возможный.

Предположим, что у нас была ситуация, когда 𝑚=𝑝. Рассмотрим две матрицы 𝐴=2310809,𝐵=−6−45104.

Так как 𝐴 является матрицей 2×3 и 𝐵 — матрица 3×2, произведение 𝐴𝐵 существует и является матрицей 2×2. Продемонстрируем вычисление первой записи, где мы вычислили 2⋅(−6)+3⋅5+10⋅0=3. Мы можем продолжить это обработайте другие записи, чтобы получить следующую матрицу: 𝐴𝐵=2310809−6−45104=335−484.

Однако теперь рассмотрим умножение в обратном направлении (т.е. 𝐵𝐴). Поскольку 𝐵 — матрица 3 × 2 и 𝐴 — матрица 2×3, результатом будет Матрица 3×3. Для первой записи имеем где мы вычислили (−6)⋅2+(−4)⋅8=−44. Повторение этого процесса для остальных записей получаем 𝐵𝐴=−6−451042310809=−44−18−9618155932036.

Итак, хотя и 𝐴𝐵, и 𝐵𝐴 в порядке определены, две матрицы имеют порядок 2 × 2 и 3×3 соответственно, а это означает, что они не могут быть равны. В на самом деле, единственная ситуация, в которой приказы 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴 может быть равно, когда 𝐴 и 𝐵 являются квадратными матрицами одного порядка (т. е. когда 𝐴 и 𝐵 оба имеют порядок 𝑛×𝑛). Однако даже в этом случае нет гарантии, что 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴 будет равно. Это общее свойство матрицы умножение, которое мы сформулируем ниже.

Свойство: некоммутативность матричного умножения

Если 𝐴 и 𝐵 матрицы порядков 𝑚×𝑛 и 𝑛×𝑚 соответственно, то обычно 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.

Другими словами, умножение матриц является некоммутативным .

Заметим, что хотя возможно, что матрицы могут коммутировать при определенных условиях, как правило, это не так. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим несколько примеров, чтобы продемонстрировать некоммутативность матрицы умножение. В первом примере определим произведение двух квадратных матриц в обоих направлениях и сравнить их результаты.

Пример 1. Вычисление произведения двух матриц в обоих направлениях

Учитывая, что 𝐴=−422−4,𝐵=−3−3−11, найти 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴.

Ответ

В этом примере мы хотим определить матричное умножение двух Матрицы 2×2 в обоих направлениях.

Поскольку и 𝐴, и 𝐵 имеют порядок 2×2, их произведение в любом направлении будет иметь заказ 2×2. Рассмотрим расчет первый элемент матрицы 𝐴𝐵. У нас есть

, где мы вычислили (−4)⋅(−3)+2⋅(−1)=10. Мы продолжайте делать это для каждой записи 𝐴𝐵, что дает нам следующую матрицу: 𝐴𝐵=−422−4−3−3−11=1014−2−10.

Осталось вычислить 𝐵𝐴, что мы и можем сделать, поменяв местами матрицы вокруг, давая нам 𝐵𝐴=−3−3−11−422−4=666−6.

Заметим, что 𝐴𝐵 не равно 𝐵𝐴, означает, что в этом случае умножение не коммутирует.

Рассмотрим другой пример, где мы проверяем, меняется ли порядок умножение матриц дает тот же результат.

Пример 2. Проверка коммутативности умножения двух матриц

Рассмотрим матрицы 2×2 𝐴=1100 и 𝐵=0101. 𝐴𝐵=𝐵𝐴?

Ответ

В этом примере мы хотим определить матричное умножение двух Матрицы 2×2 в обоих направлениях для проверки коммутативность матричного умножения.

Вычисление умножения в одном направлении дает нам 𝐴𝐵=11000101=0200.

Между тем вычисление в другом направлении дает нам 𝐵𝐴=01011100=0000.

Если мы рассмотрим запись (1,2) обоих матрицы, мы видим, что 2 ≠ 0, что означает, что две матрицы не равны. Следовательно, 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.

Увидев два примера, где умножение матриц не является коммутативным, мы могли бы задаться вопросом, существуют ли матрицы, которые коммутируют друг с другом. Напомним конкретный класс матриц, для которых это может иметь место.

Определение: диагональная матрица

Предположим, что 𝐴=𝑎 — квадратная матрица. (т.е. матрица порядка 𝑛×𝑛). Тогда 𝐴 — диагональная матрица если все записи вне главной диагонали равны нулю, или, другими словами, если 𝑎=0 для 𝑖≠𝑗. То есть матрицы такого типа имеют следующий вид: 𝐴=⎛⎜⎜⎝𝑎0⋯00𝑎⋯0⋮⋱⋮00⋯𝑎⎞⎟⎟⎠.

В случаях 2×2 и 3×3 (которые мы будем преимущественно рассматривать в этом объяснении), диагональные матрицы принимают формы 𝐴=𝑎00𝑎,𝐴=𝑎000𝑎000𝑎.

Теперь в следующем примере мы покажем, что хотя умножение матриц некоммутативна вообще, на самом деле она коммутативна для диагональных матриц. В в частности, мы будем рассматривать диагональные матрицы 2×2.

Пример 3. Проверка утверждения о коммутативности матриц

Верно или неверно: если 𝐴 и 𝐵 оба матрицы 2×2, то 𝐴𝐵 никогда не бывает одинаковым как 𝐵𝐴.

Ответ

В этом примере мы хотим определить, является ли утверждение относительно возможность коммутативности при умножении матриц истинна или ложна.

Чтобы доказать, что утверждение ложно, нам нужно найти только один пример, где это не держится. Для этого рассмотрим два произвольных диагональные матрицы 𝐴 и 𝐵 (т.е. матрицы, у которых все недиагональные элементы равны нулю): 𝐴=1002, 𝐵=300−1.

Вычисление 𝐴𝐵, находим 𝐴𝐵=1002300−1=300−2.

Далее, если мы вычислим 𝐵𝐴, мы найдем 𝐵𝐴=300−11002=300−2.

Таким образом, поскольку обе матрицы имеют одинаковый порядок и все их элементы равны, имеем 𝐴𝐵=𝐵𝐴. Это доказывает, что утверждение неверно: 𝐴𝐵 может быть таким же, как 𝐵𝐴.

Продемонстрированное выше явление не является уникальным для матриц 𝐴 и 𝐵 мы использовали в примере, и мы можем на самом деле обобщить этот результат, чтобы сделать утверждение о всех диагональных матрицы.

Свойство: коммутативность диагональных матриц

Если 𝐴 и 𝐵 являются диагональными матрицами с порядка 𝑛×𝑛, то две матрицы коммутируют. В другими словами, 𝐴𝐵=𝐵𝐴.

Чтобы доказать это для случая 2×2, рассмотрим два диагональные матрицы 𝐴 и 𝐵: 𝐴=𝑎00𝑎,𝐵=𝑏00𝑏.

Тогда их произведения в обоих направлениях равны 𝐴𝐵=𝑎00𝑎𝑏00𝑏𝐵𝐴=𝑏00𝑏𝑎00𝑎=𝑎𝑏00𝑎𝑏,=𝑏𝑎𝑎.00  

Таким образом, 𝐴𝐵=𝐵𝐴 для любых двух 2×2 диагональные матрицы. Обратите внимание, что произведение двух диагональных матриц всегда приводит к диагональной матрице, где каждая диагональная запись является произведением два соответствующих диагональных элемента из исходных матриц. Таким образом, легко представить, как это может быть расширено за пределы 2×2 случай.

Важно отметить, что это свойство выполняется только тогда, когда обе матрицы являются диагональными. Например, рассмотрим две матрицы 𝐴=700−3,𝐵=−10583, где 𝐴 — диагональная матрица, а 𝐵 — не диагональная матрица. В данном случае мы находим, что 𝐴𝐵=−7035−24−9,𝐵𝐴=−70−1556−9.

Таким образом, хотя диагональные элементы в конечном итоге равны, недиагональные записи не являются, поэтому 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.

Несмотря на то, что свойство коммутативности может выполняться не для всех диагональные матрицы в паре с недиагональными матрицами, на самом деле существуют определенные типы диагональных матриц, которые могут коммутировать с любой другой матрицей того же заказ. Давайте рассмотрим частный случай этого: тождественная матрица .

Определение: Единичная матрица

Единичная матрица (также известная как единичная матрица) представляет собой диагональную матрицу, в которой все диагональных элементов равны 1. Другими словами, единичные матрицы принимают вид 𝐼=⎛⎜⎜⎝10⋯001⋯0⋮⋱⋮00⋯1⎞⎟⎟⎠, где 𝐼 обозначает единичную матрицу порядка 𝑛×𝑛 (если размер указывать не нужно, Вместо этого часто используется 𝐼).

В большинстве случаев, которые мы будем рассматривать, единичные матрицы принимать формы 𝐼=1001,𝐼=100010001,𝐼=⎛⎜⎜⎝1000010000100001⎞⎟⎟⎠.

Ключевое свойство единичных матриц состоит в том, что они коммутируют с любой матрицей 𝐴 того же порядка. Однако у них есть и более мощное свойство, которое мы продемонстрируем в следующем примере.

Пример 4. Расчет матричных произведений с использованием единичной матрицы

Учитывая, что 𝐴=−14−111 и 𝐼 является единичной матрицей заказать как 𝐴, найти 𝐴×𝐼 и 𝐼×𝐼.

Ответ

Напомним, что единичная матрица — это диагональная матрица, в которой все диагональные записей 1. Учитывая, что 𝐴 является Матрица 2 × 2 и что единичная матрица имеет размер того же порядка, что и 𝐴, поэтому 𝐼 является Матрица 2 × 2 вида 𝐼=1001.

Нас попросили найти 𝐴×𝐼 и 𝐼×𝐼, поэтому давайте найдем их, используя матрицу умножение. Во-первых, у нас есть 𝐴×𝐼=−14−1111001=−14−111=𝐴.

Далее имеем 𝐼×𝐼=10011001=1001=𝐼.

Итак, мы показали, что 𝐴×𝐼=𝐴 и 𝐼×𝐼=𝐼.

Последний пример показал, что произведение произвольной матрицы на тождественная матрица привела к той же самой матрице и что произведение единичная матрица сама с собой была также единичной матрицей. В самом деле, если бы мы вычислив 𝐼𝐴, мы бы точно так же обнаружили, что 𝐼×𝐴=1001−14−111=−14−111=𝐴.

Таким образом, 𝐴𝐼=𝐼𝐴=𝐴 означает, что не только матрицы коммутировать, но произведение также равно 𝐴 в обоих случаях.

Можно заметить, что это свойство похоже на свойство числа 1. (иногда называемое мультипликативным тождеством). Для действительных чисел, а именно для любого действительного числа 𝑎 мы имеем 𝑎⋅1=1⋅𝑎=𝑎.

На самом деле это свойство работает почти так же для идентификации матрицы.

Свойство: Мультипликативное тождество для матриц

Единичная матрица 𝐼 является мультипликативной идентичностью для умножение матриц. То есть для любой матрицы 𝐴 порядка 𝑚×𝑛, тогда 𝐴𝐼=𝐼𝐴=𝐴, где 𝐼 и 𝐼 — 𝑛×𝑛 и 𝑚×𝑚 единичные матрицы соответственно.

Отметим, что использованные выше порядки единичных матриц выбраны чисто так. что умножение матриц корректно определено. В случае, если 𝐴 — квадратная матрица, 𝑚=𝑛, поэтому 𝐼=𝐼.

Докажем это свойство для случая 2×2 следующим образом: учитывая общую матрицу 2 × 2 𝐴=𝑎𝑎𝑎𝑎.

Если мы вычислим произведение этой матрицы на единичную матрицу 𝐼, мы находим, что 𝐴𝐼=𝑎𝑎𝑎𝑎1001=𝑎𝑎𝑎𝑎=𝐴.

vers

vers 𝐼𝐴=1001𝑎𝑎𝑎𝑎=𝑎𝑎𝑎𝑎=𝐴.

3 𝐼=𝐼𝐴=𝐴 для любого матрица 2×2 𝐴, и она равна можно показать это для случаев более высокого порядка.

До сих пор мы обнаружили, что, несмотря на то, что коммутативность является свойством умножение действительных чисел, это свойство не переносится на умножение матриц. Однако, несмотря на то, что это конкретное свойство не верно, существуют и другие свойства умножения действительных чисел которые мы можем применить к матрицам. Рассмотрим их сейчас.

Напомним, что для любых действительных чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐, у нас есть (𝑎𝑏)𝑐=𝑎(𝑏𝑐).

Это известно как ассоциативное свойство . Ассоциативное свойство означает, что в ситуациях, когда нам нужно выполнить умножение дважды, мы можем выбрать, в каком порядке это делать; мы можем найти 𝑎𝑏, тогда умножьте это на 𝑐, или мы можем найти 𝑏𝑐 и умножить на 𝑎, и оба ответа будут одинаковыми.

Чтобы выяснить, применимо ли это свойство к умножению матриц, давайте рассмотрим пример, связанный с умножением трех матриц.

Пример 5. Исследование ассоциативного свойства матричного умножения

Учитывая, что 𝐴=03−216−1,𝐵=−5−614,𝐶=−304−2, правда ли, что (𝐴𝐵)𝐶=𝐴(𝐵𝐶)?

Ответ

В этом примере нам нужно вычислить произведение трех матрицы двух возможных порядков; либо мы можем вычислить 𝐴𝐵, а затем умножьте его справа на 𝐶, или мы можем вычислить 𝐵𝐶 и умножить это слева от 𝐴.

Начнем с поиска 𝐴𝐵. Так как 𝐴 3×2 и 𝐵 2×2, 𝐴𝐵 будет Матрица 3×2. Для демонстрации процесса возьмем детали умножения для первой строки. У нас есть

, где мы вычислили 0⋅(−5)+3⋅1=3. Для следующей записи в в строке у нас есть

, так как 0⋅(−6)+3⋅4=12. Повторение этого процесса для каждой записи в 𝐴𝐵 мы получаем 𝐴𝐵=03−216−1−5−614=3121116−31−40.

Далее, чтобы найти (𝐴𝐵)𝐶, мы умножаем эту матрицу справа от 𝐶. Это дает нам (𝐴𝐵)𝐶=3121116−31−40−304−2=39−2431−32−6780.

Теперь нам нужно найти 𝐴(𝐵𝐶), что означает, что мы необходимо сначала вычислить 𝐵𝐶 (2×2 матрица). Это дает нам 𝐵𝐶=−5−614−304−2=−91213−8.

Затем, чтобы найти 𝐴(𝐵𝐶), мы умножаем это на слева 𝐴. Это дает нам 𝐴(𝐵𝐶)=03−216−1−91213−8=39−2431−32−6780.

В заключение мы видим, что матрицы, которые мы вычислили для (𝐴𝐵)𝐶 и 𝐴(𝐵𝐶) эквивалентны. Таким образом, мы можем заключить, что свойство ассоциативности выполнено и заданное утверждение верно.

Как мы видели в предыдущем примере, матричная ассоциативность сохраняется для три произвольно выбранные матрицы. По сути, это общий свойство, справедливое для всех возможных матриц, для которых умножение справедливо (хотя полное доказательство этого довольно громоздко и не особенно поучительно, поэтому мы не будем его здесь освещать).

Свойство: ассоциативность матричного умножения

Пусть 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛, 𝐵 — матрица порядка 𝑛×𝑝, и 𝐶 — матрица порядка 𝑝×𝑞. Тогда у нас есть (𝐴𝐵)𝐶=𝐴(𝐵𝐶).

Другими словами, умножение матриц ассоциативно.

Пока мы изучаем свойства умножения матриц и эквивалентны ли они умножению действительных чисел, давайте Рассмотрим еще одно полезное свойство.

Напомним, что для любых действительных чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐 имеем 𝑎(𝑏+𝑐)=𝑎𝑏+𝑎𝑐.

Это известно как свойство дистрибутива , и оно предоставляет нам простой способ расширения скобок в выражениях. На самом деле у нас есть уже видели, что это свойство выполняется для скалярного умножения матрицы. Напомним, что скалярное умножение матриц можно определить как следует.

Определение: Скалярное умножение

Для матрицы порядка 𝑚×𝑛, определяемой формулой 𝐴=⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎…𝑎𝑎𝑎…𝑎⋮⋮⋱⋮𝑎𝑎…𝑎⎞⎟⎟⎠, скаляр, кратный 𝐴 на константу 𝑘 находится путем умножения каждой записи 𝐴 на 𝑘, или, другими словами, 𝑘𝐴=⎛⎜⎜⎜⎝𝑘𝑎𝑘𝑎…𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎…𝑘𝑎⋮⋮⋱⋮𝑘𝑎𝑘𝑎…𝑘𝑎⎞⎟⎊ 

Как мы видели, свойство дистрибутивности выполняется для скалярного умножения так же, как и для действительных чисел: а именно, если задан скаляр 𝑎 и две матрицы 𝐵 и 𝐶 того же порядка имеем 𝑎(𝐵+𝐶)=𝑎𝐵+𝑎𝐶.

Что касается полного умножения матриц, мы можем подтвердить, что это действительно так. что дистрибутивное свойство все еще сохраняется, что приводит к следующему результату.

Свойство: дистрибутивность умножения матриц

Пусть 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛 и 𝐵 и 𝐶 — матрицы порядка 𝑛×𝑝. Тогда у нас есть 𝐴(𝐵+𝐶)=𝐴𝐵+𝐴𝐶.

Другими словами, умножение матриц является дистрибутивным по отношению к матрице добавление.

Важно знать порядок матриц, приведенный выше. свойство, так как и сложение 𝐵+𝐶, и умножения 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 и 𝐴(𝐵+𝐶) должны быть четко определены.

Обратите внимание, что, как и в случае с ассоциативностью, конкретное доказательство более занимает больше времени, чем интересно, так как это всего лишь случай, чтобы доказать это запись за записью, используя определения матричного умножения и сложения.

Давайте рассмотрим пример, где мы можем увидеть применение дистрибутивное свойство матриц.

Пример 6. Исследование распределительного свойства матрицы Умножение над сложением

Предположим, что 𝐴=1−3−42, 𝐵=201−1 и 𝐶=01−30.

1. Найдите 𝐴𝐵.
2. Найдите 𝐴𝐶.
3. Найти 𝐴(2𝐵+7𝐶).
4. Экспресс 𝐴(2𝐵+7𝐶) в пересчете на 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶.

Ответ

Часть 1

Для начала нас попросили вычислить 𝐴𝐵, что мы можем сделать, используя матричное умножение. 𝐴 и 𝐵 — матрицы 2×2, поэтому их произведение также будет матрицей 2×2. Демонстрировать расчет нижней левой записи, мы имеем

, где мы вычислили (−4)⋅2+2⋅1=−6. Повторяем это для оставшихся записи, мы получаем 𝐴𝐵=1−3−42201−1=−13−6−2.

Часть 2

Мы можем рассчитать 𝐴𝐶 почти так же, как мы это сделали 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 также будет Матрица 2 × 2, поскольку 𝐴 и 𝐶 обе матрицы 2×2. Выполняя умножение матриц, получаем 𝐴𝐶=1−3−4201−30=91−6−4.

Часть 3

Для следующей части нас попросили найти 𝐴(2𝐵+7𝐶). Чтобы вычислить это непосредственно, мы необходимо сначала найти скалярные множители 𝐵 и 𝐶, а именно 2𝐵 и 7𝐶. Мы делаем это, умножая каждый элемент матрицы на соответствующий скаляр. Таким образом, у нас есть 2𝐵=2201−17𝐶=701−30=402−2,=07−210.

Следующим шагом является добавление матриц с помощью сложения матриц. Мы делаем это по добавление записей в одних и тех же позициях вместе. Это дает нам 2𝐵+7𝐶=402−2+07−210=47−19−2.

Наконец, чтобы найти 𝐴(2𝐵+7𝐶), мы умножаем эту матрицу на 𝐴. Как и прежде, мы получим Матрица 2×2, так как мы берем произведение двух Матрицы 2×2. Мы получаем 𝐴(2𝐵+7𝐶)=1−3−4247−19−2=6113−54−32.

Часть 4

В заключительной части мы должны выразить 𝐴(2𝐵+7𝐶) через 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶. Самый простой способ сделать это — использовать распределительное свойство матричного умножения. То есть для матриц 𝐴, 𝑋 и 𝑌 соответствующих Заказ, у нас есть 𝐴(𝑋+𝑌)=𝐴𝑋+𝐴𝑌.

В этом случае, если мы подставим 𝑋=2𝐵 и 𝑌=7𝐶, мы находим, что 𝐴(2𝐵+7𝐶)=𝐴(2𝐵)+𝐴(7𝐶)=2𝐴𝐵+7𝐴𝐶.

Таким образом, мы выразили 𝐴(2𝐵+7𝐶) через из 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶. Тем не менее, мы можем хотим убедиться, что наше решение верно и что законы дистрибутивность держится. Поскольку мы уже вычислили 𝐴(2𝐵+7𝐶), 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в предыдущих частях это должно быть довольно легко сделать этот. 2𝐴𝐵 и 7𝐴𝐶 можно найти с помощью скалярное умножение 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶; то есть, 2𝐴𝐵=2−13−6−27𝐴𝐶=791−6−4=−26−12−4,=637−42−28.

Наконец, мы можем сложить эти две матрицы вместе, используя сложение матриц, чтобы получить 2𝐴𝐵+7𝐴𝐶=−26−12−4+637−42−28=6113−54−32.

Так как это соответствует матрице 𝐴(2𝐵+7𝐶), которые мы вычислили в предыдущем часть, мы можем подтвердить, что наше решение действительно правильное: 𝐴(2𝐵+7𝐶)=2𝐴𝐵+7𝐴𝐶.

В заключительной части этого объяснения мы рассмотрим, как матрица транспонируется взаимодействует с умножением матриц. Начнем с того, что напомним определение.

Определение: транспонирование матрицы

Предположим, что 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛. Транспонирование матрицы 𝐴 является оператор, переворачивающий матрицу по ее диагонали. Другими словами, он переключает индексы строк и столбцов матрицы. Эта операция создает другую матрицу порядок 𝑛×𝑚 обозначается 𝐴.

Если 𝑎 элементы матрицы 𝐴 с 𝑖=1,…,𝑚 и 𝑗=1,…,𝑛, то 𝑎 — элементы 𝐴, и он принимает форму 𝐴=⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎⋯𝑎𝑎𝑎⋯𝑎⋮⋮⋱⋮𝑎𝑎⋯𝑎⎞⎟⎟⎠. 

Например, рассмотрим матрицу 2×3 𝐴=5681−29.

Транспонирование этой матрицы 𝐴 следующее Матрица 3×2: 𝐴=516−289.

Как оказалось, матричное умножение и матричное транспонирование имеют интересное свойство при сочетании, которое мы рассмотрим в теореме ниже.

Свойство: умножение матриц и транспонирование

Предположим, что 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛 а 𝐵 — матрица порядка 𝑛×𝑝, гарантируя, что произведение матриц 𝐴𝐵 корректно определено. транспонировать 𝐴 и 𝐵 — матрицы 𝐴 и 𝐵 заказов 𝑛×𝑚 и 𝑝×𝑛 соответственно, поэтому их произведение в обратном направлении 𝐵𝐴 равно также хорошо определены.

Умножение матриц в сочетании с транспонированием удовлетворяет следующему свойству: (𝐴𝐵)=𝐵𝐴.

Еще раз, мы не будем включать полное доказательство этого, так как оно просто включает используя определения умножения и транспонирования по записи основа.

В последнем примере мы продемонстрируем свойство транспонирования матрицы умножение на заданное произведение.

Пример 7. Свойства умножения и транспонирования матрицы

Учитывая, что 𝐵𝐴=8−4−7−5, что такое 𝐴𝐵?

Ответ

В этом примере мы хотим определить произведение транспонирования двух матрицы, учитывая информацию об их произведении.

Напомним, что транспонирование матрицы 𝑚×𝑛 переключает строки и столбцы, чтобы создать другую матрицу порядка 𝑛×𝑚. Умножение матриц в сочетании с транспонирование удовлетворяет свойству (𝐵𝐴)=𝐴𝐵.

Следовательно, для расчета произведения 𝐴𝐵, нам просто нужно транспонировать 𝐵𝐴 с помощью этого свойства.

Отсюда имеем 𝐴𝐵=(𝐵𝐴)=8−4−7−5=8−7−4−5.

Давайте закончим повторением свойств умножения матриц, которые мы узнали в ходе этого объяснителя.

Ключевые моменты

• Умножение матриц в общем случае не является коммутативным; то есть, 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.
• Если 𝐴 и 𝐵 являются диагональными матрицами того же порядка, то 𝐴𝐵=𝐵𝐴.
• Единичная матрица 𝐼 — это диагональная матрица с 1 за каждый вход по диагонали. Матрицы идентичности (до порядка 4) принимают показанные формы ниже: 𝐼=1001,𝐼=100010001,𝐼=⎛⎜⎜⎝1000010000100001⎞⎟⎟⎠.
• является квадратной матрицей того же порядка, то 𝐴𝐼=𝐼𝐴=𝐴.
• Умножение матриц ассоциативно; то есть для действительных матриц 𝐴, 𝐵 и 𝐶 имеем (𝐴𝐵)𝐶=𝐴(𝐵𝐶).
• Умножение матриц является распределительным над сложением, поэтому для допустимых матриц 𝐴, 𝐵 и 𝐶 имеем 𝐴(𝐵+𝐶)=𝐴𝐵+𝐴𝐶.

  No related posts.