Матрицы и определители математика: умножение, сложение, вычитание. Как решать, с чего начать

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

• Значение определителя.
• Свойства определителя.
• Применения.
• Определители в аналитической геометрии.
• Связь определителей с матрицами.
• Якобиан.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, или детерминант, – в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число («значение» определителя). Очень часто под понятием «определитель» имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе. Открытие определителей приписывают японскому математику С.Кова (1683) и, независимо, Г.Лейбницу (1693). Современная теория восходит к работам Ж.Бине, О.Коши и К.Якоби в начале 19 в.

Простейший определитель состоит из 4 чисел, называемых элементами и расположенных в виде 2-х строк и 2-х столбцов. О таком определителе говорят, что он 2-го порядка. Например, таков определитель

значение которого равно 2ґ5 – 3ґ1 (т.е. 10 – 3 или 7). В общем случае определитель 2-го порядка принято записывать в виде

а его значение равно a₁b₂ – a₂b₁, где a и b – числа или функции.

Определитель 3-го порядка состоит из 9 элементов, расположенных в виде 3-х строк и 3-х столбцов. В общем случае определитель n-го порядка состоит из n² элементов, и обычно его записывают как

Первый индекс каждого элемента указывает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, поэтому a_ij – элемент i-й строки и j-го столбца. Часто такой определитель записывают в виде |a_ij|.

Один из методов вычисления определителя, почти всегда используемый при вычислении определителей высокого порядка, состоит в разложении по «минорам». Минором, соответствующим любому элементу определителя, называется определитель меньшего на 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например, минором, соответствующим элементу a₂ из определителя

«Алгебраическим дополнением» элемента называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если она нечетна. В приведенном выше примере элемент a₂ состоит в 1-м столбце и во 2-й строке; сумма (1 + 2) нечетна, и поэтому алгебраическое дополнение элемента a₂ равно его минору, взятому со знаком минус, т.е.

Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, определитель

разложенный по первому столбцу, имеет вид

а его разложение по второй строке, имеет вид

Вычислив каждый минор и умножив его на коэффициент, нетрудно убедиться в том, что оба выражения совпадают.

Значение определителя.

Под значением определителя

принято понимать сумму всех произведений из n элементов, т.е.

В этой формуле суммирование ведется по всем перестановкам j₁, ј, j_n чисел 1, 2, ј, n и перед членом ставится знак плюс, если перестановка четна, и минус, если эта перестановка нечетна. Такая сумма насчитывает ровно n! членов, половина которых берется со знаком плюс, половина – со знаком минус. Каждый член суммы содержит по одному члену из каждого столбца и каждой строки определителя. Можно доказать, что эта сумма совпадает с выражением, получаемым при разложении определителя по минорам.

Свойства определителя.

Среди наиболее важных свойств определителя назовем следующие.

(i) Если все элементы любой строки (или любого столбца) равны нулю, то и значение определителя равно нулю:

(ii) Если элементы двух строк (или двух столбцов) равны или пропорциональны, то значение определителя равно нулю:

(iii) Значение определителя не изменится, если все его строки и столбцы поменять местами, т. е. записать первую строку в виде первого столбца, вторую строку – в виде второго столбца и т.д. (такая операция называется транспонированием). Например,

(iv) Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на произвольный множитель. В следующем примере элементы второй строки умножаются на –2 и прибавляются к элементам первой строки:

(v) Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель изменит знак:

(vi) Если все элементы одной строки (или одного столбца) содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя:

Пример. Вычислим значение следующего определителя 4-го порядка:

Прибавим к 1-й строке 4-ю строку:

Вычтем 1-й столбец из 4-го столбца:

Умножим 3-й столбец на 3 и вычтем из 4-го столбца:

Если угодно, то строки и столбцы можно поменять местами:

Разложим определитель по элементам четвертой строки. Три элемента этой строки равны нулю, ненулевой элемент стоит в третьем столбце, а поскольку сумма (3 + 4) нечетна, его алгебраическое дополнение имеет знак минус. В результате получаем:

Минор можно разложить по элементам третьей строки: два ее элемента равны нулю, а отличный от нуля элемент стоит в третьем столбце; сумма (3 + 3) четна, поэтому предыдущее равенство можно продолжить:

Применения.

Решение системы уравнений

можно получить, если первое уравнение умножить на b₂, второе – на b₁, а затем вычесть одно уравнение из другого. Проделав эти операции, мы получим

или, если

то

Такая запись решения с помощью определителей допускает обобщение на случай решения системы n линейных уравнений с n неизвестными; каждый определитель будет n-го порядка. Определителем системы линейных уравнений

будет

Заметим, что если D = 0, то уравнения либо несовместны, либо не являются независимыми. Поэтому предварительное вычисление определителя D позволяет проверить, разрешима ли система линейных уравнений.

Определители в аналитической геометрии.

Общее уравнение конического сечения представимо в виде

Определитель

называется дискриминантом. Если D = 0, то кривая вырождается в пару параллельных или пересекающихся прямых либо в точку (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

Другой пример: площадь треугольника A с вершинами в точках (обход – против часовой стрелки) (x₁, y₁), (x₂, y₂) и (x₃, y₃) определяется выражением

Связь определителей с матрицами.

Матрицей называется запись массива чисел в виде прямоугольной таблицы. Определители связаны с квадратными матрицами; например, определитель матрицы

Если A, B и С – квадратные матрицы и , то |A|Ч|B| = |C|. См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.

Якобиан.

Если x = f (u, v), y = g (u, v) – преобразование координат, то определитель

называется якобианом или определителем Якоби этого преобразования. Если J № 0 в некоторой точке, то в ее окрестности уравнения преобразования можно однозначно разрешить относительно u и v, представив их как функции от x и y.

Лекция 4. Матрицы и определители

Матрицы и определители. Лекция 4.

Матрицы.

Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Пример 13. , , , .

В общем случае матрица может содержать строк и столбцов

.

Числа называются элементами матрицы, где — указывает номер строки, — указывает номер столбца.

Элементы образуют главную диагональ матрицы. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров называется матрицей – го порядка.

Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е. тогда и только тогда, когда , для всех , .

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.

Пример 14. .

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.

Пример 15. .

Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.

Пример 16. , .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.

Пример 17. , .

Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором

(вектор-строкой, вектор-столбцом).

Пример 18. , .

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .

Пример 19. ;

Очевидно, что .

Действия над матрицами.

Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если

, , то , причем

, для всех .

Пример 20. ,

.

Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число.

Пример 21. Пусть , тогда . Матрица называется

противоположной к матрице.

Умножение матриц.

Умножение матриц можно только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы В этом случае справедливо соотношение , причем элементы матрицы равны , , . Другими словами строки матрицы умножаются на столбцы матрицы

Пример 22. Пусть , . Тогда

,

.

Видим, что в общем случае . Если же выполняется условие , то матрицы и называются перестановочными друг с другом.

Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия:

1. под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0;

2. первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше.

Пример 23. Следующая матрица является ступенчатой.

.

Элементарные преобразования матриц.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

1. Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).

2. Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.

3. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Определители.

Определителем называется квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам.

Пример 24. Если , то . Так .

Если , то .

Так .

Если , то

. Так

.

При вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников.

С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников.

Второй метод заключается в том, что рядом с определителем справа записываются первый и второй столбцы и тогда с плюсом берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух ей параллельных, с минусом – произведения элементов, стоящих на второй диагонали и двух ей параллельных.

Вычисление определителей более высоких порядков осуществляется путем использования их свойств.

Свойства определителей.

Пусть дана квадратная матрица

Из элементов этой матрицы можно составить определитель, который называется детерминантом матрицы и обозначается

Минором некоторого элемента определителя называют определитель, который получается вычеркиванием из него строки и столбца. Например

, .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называют число . Например

, .

Свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, т. е. .

2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух его строк (столбцов).

3. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен 0.

4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например

.

5. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, например

6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое ненулевое число.

(I=I+II).

7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например

.

Для вычисления определителя мы использовали разложение по второй строке, так как она содержит большее число нулевых элементов.

9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна 0.

22

Матрицы и определители — определение, различие, свойства, примеры, часто задаваемые вопросы

Матрицы и определители используются для выполнения различных арифметических операций с массивом элементов. Матрицы представляют собой прямоугольный массив элементов, представленных в виде строк и столбцов. И определители вычисляются для матрицы, и это единственное числовое значение, которое было вычислено из этого массива элементов. Матрица представлена ​​буквой в верхнем регистре и записана как A, а определитель представлен как |A|.

Матрицы и определители имеют разные свойства. Умножение константы K на матрицу умножает каждый элемент матрицы, а умножение константы K на определитель умножает на элементы любой конкретной строки или столбца. Давайте узнаем больше о свойствах и различиях между матрицами и определителями с помощью примеров, часто задаваемых вопросов.

1.	Что такое матрицы и определители?
2.	Разница между матрицами и определителями
3.	Свойства матриц
4.	Свойства определителей
5.	Решение матриц и определителей
6.	Примеры матриц и определителей
7.	Практические вопросы
8.	Часто задаваемые вопросы о матрицах и определителях

Что такое матрицы и определители?

Матрицы и определители представляют массив элементов, и мы вычисляем значение одного элемента для всего определителя. Матрицы — это форма множественного числа матрицы, которая представляет собой прямоугольный массив или таблицу, в которой числа или элементы расположены в несколько строк и столбцов. Матрицы можно складывать или вычитать, только если они имеют одинаковое количество строк и столбцов, тогда как их можно умножать, если только столбцы в первом и строки во втором точно совпадают.

Матрицы и определители тесно связаны в математике. Матрица — это массив элементов, который обозначается M, а определитель — это единственное числовое значение, представляющее эту матрицу и обозначаемое как |M|. Давайте посмотрим на определение матрицы и определителя.

Определение матрицы

Матрица представляет собой массив элементов, представленных в виде строк и столбцов. Детерминанты рассматриваются как скалярные множители матрицы. Матрица обычно обозначается заглавной буквой. Порядок матрицы представлен количеством строк и столбцов в матрице. Матрица порядка m x n имеет m строк и n столбцов.

\(A = \left[\begin{массив}{ccc}
а_{11} и а_{12} и а_{13} .. .& а_{1n} \\
а_{21} и а_{22} и а_{23} … и а_{2n} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} …& a_{3n} \\ : & : & : & : \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} … & a_{мн}
\end{array}\right] \)

Определение определителя

Для каждой квадратной матрицы C = [\(c_{ij}\)] порядка n×n определитель может быть определен как скалярное значение, которое действительное или комплексное число, где \(c_{ij}\) — (i,j) ^-й -й элемент матрицы C. Определитель можно обозначить как det(C) или |C|, здесь определитель записывается путем взятия сетки чисел и размещения их внутри столбцов абсолютного значения вместо использования квадратных скобок.

Рассмотрим матрицу C = \(\left[\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right]\)

Тогда ее определитель можно представить как:

|С| = \(\left|\begin{массив}{ll}a & b \\c & d\end{массив}\right|\)

Разница между матрицами и определителями

Разница между матрицами и определителями помогает лучше понять матрицы и определители.

1. Матрица — это массив чисел, а определитель — это одно числовое значение, найденное после вычисления из матрицы.
2. Значение определителя матрицы может быть вычислено, но матрица не может быть вычислена из определителя.
3. Матрицы могут быть любого порядка. Но определитель можно найти только для квадратной матрицы, имеющей равное количество строк и столбцов.
4. Умножение константы K на матрицу умножает ее на каждый элемент матрицы. Но умножение константы K на определитель умножает ее на каждый элемент конкретной строки или столбца определителя.
5. Строки и столбцы определителя можно поменять местами, но многие строки и столбцы матрицы нельзя поменять местами.
6. Значение определителя равно нулю, если любые две строки или столбца идентичны, но одинаковые строки или столбцы в матрице не делают ее нулевой матрицей.
7. Элементы любой конкретной строки или столбца можно разделить на сумму или разность значений и записать в виде двух разных определителей. Но матричные элементы любой строки или столбца нельзя разбить на сумму или разность любых двух строк.
8. Если к любой строке или столбцу добавить равнократные числа другой строки или столбца, то значение определителя не изменится. Но подобную операцию нельзя выполнить над матрицей.

Свойства матриц

Следующие свойства матриц помогают легко выполнять многочисленные операции над матрицами.

Аддитивное свойство матриц

• Коммутативное право. Для данных двух матриц, матрицы A и матрицы B одного порядка, скажем, m x n, тогда A + B = B + A.
• Ассоциативный закон: для любых трех матриц A, B, C одного и того же порядка m x n имеем (A + B) + C = A + (B + C)
• Существование аддитивной идентичности. Пусть A — матрица порядка m × n, а O — нулевая матрица или нулевая матрица того же порядка m × n, тогда A + O = O + A = A. Другими словами, O является аддитивной идентичностью для сложения матриц.
• Существование аддитивной обратной Пусть A — матрица порядка m × n. и пусть -A — другая матрица порядка m × n такая, что A + (– A) = (– A) + A = O. Таким образом, матрица – A является аддитивной обратной матрицей A или отрицательной матрицей A.

Свойство скалярного умножения матриц

• Произведение константы на сумму матриц равно сумме отдельного произведения константы и матрицы. к(А + В) = кА + кВ
• Произведение суммы констант на матрицу равно сумме произведения каждой из констант на матрицу. (к + 1)А = кА + 1А

Свойство умножения матриц

• Ассоциативное свойство: Для любых трех матриц A, B, C, следующих условиям умножения матриц, мы имеем (AB)C = A(BC). Здесь определены обе части матричного умножения.
• Распределительное свойство: для любых трех матриц A, B, C, следующих условиям умножения матриц, мы имеем A(B + C) = AB + AC.
• Существование мультипликативной идентичности. Для квадратной матрицы A порядка m × n и единичной матрицы I того же порядка имеем AI = IA = A. Здесь произведение единичной матрицы на данную матрицу дает ту же матрицу.

Свойство транспонирования матриц

• Транспонирование матрицы при повторном транспонировании приводит к исходной матрице. (А’)’ = А
• Транспонирование произведения константы на матрицу равно произведению константы на транспонирование матрицы. (кА)’ = кА’
• Транспонирование суммы двух матриц равно сумме транспонирования отдельных матриц. (А + В)’ = А’ + В’
• Транспонирование произведения двух матриц равно произведению транспонирования второй матрицы и транспонирования первой матрицы. (АВ)’ = В’А’

Другие свойства матриц

• Для квадратной матрицы с вещественными элементами A + A’ является симметричной матрицей, а A — A’ является кососимметричной матрицей.
• Квадратная матрица может быть представлена ​​как сумма симметричной и кососимметричной матриц. А = 1/2(А + А’) + 1/2(А — А’).
• Обратная матрица, если она существует, уникальна. АВ = ВА = I.
• Если матрица A обратна матрице B, то матрица B обратна матрице A.
• Если A и B — обратимые матрицы одного и того же порядка m × n, то (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1 .

Свойства определителей

Следующие семь свойств определителей помогают легко вычислить определители.

1. Свойство обмена: Значение определителя остается неизменным, если строки или столбцы определителя изменены. A = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\), A’ = \(\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}\) Det( А) = Дет(А’)
2. Sign Свойство: Знак определителя меняется, если поменять местами любые две отдельные строки или два конкретных столбца определителя. A = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\), B = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\c_1&c_2&c_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}\) Det(A ) = -Det(B)
3. Нуль Свойство: Значение определителя равно нулю, если любые две строки или любые два столбца определителя содержат одни и те же элементы. A = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}\) Здесь элементы первой строки и второй строки идентичны. Отсюда значение определителя равно нулю Der(A) = 0
4. Свойство умножения: Значение определения становится в k раз больше предыдущего значения определителя, если каждый из элементов конкретной строки или столбца умножается на константу k. A = \(\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\ \a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}\), B = \(\begin{vmatrix}ka_1&kb_1&kc_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}\) Det(B) = k× Det(B)
5. Сумма Свойство: Если несколько элементов строки или столбца выражены в виде суммы термов, то определитель может быть выражен как сумма двух или более определителей. \(\begin{vmatrix}a_1+b_1&a_2 + b_2&a_3+b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3\end{vmatrix}\) = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2 &a_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3\end{vmatrix}\) + \(\begin{vmatrix}b_1& b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3\end{vmatrix}\)
6. Свойство инвариантности: Если к каждому элементу строки и столбца определителя добавить равнократные элементы другой строки или столбца определителя, то значение определителя останется неизменным. Это можно выразить в виде формулы \(R_i \rightarrow R_i + kR_j\) или \(C_i \rightarrow C_i + kC_j\). A = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\), B = \(\begin{vmatrix}a_1+kc_1&a_2+kc_2&a_3+kc_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix }\). Дет(А) = Дет(В)
7. Треугольность Свойство: Если элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю, то значение определителя равно произведению элементов диагональной матрицы.

\(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\0&b_2&b_3\\0&0&c_3\end{vmatrix}\) = \(\begin{vmatrix}a_1&0&0\\a_2&b_2&0\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}\) = \(a_1. б_2.в_3\)

Решение матриц и определителей

Матрицы можно решать с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и нахождения их обратной. Кроме того, единственное числовое значение, которое можно вычислить для квадратной матрицы, называется определителем квадратной матрицы. Определители можно вычислить только для квадратных матриц.

Проверим различные операции сложения, вычитания, умножения матриц, а также найдем значение определителя порядка 2 х 2, 3 х 3.

Сложение матриц

Сложение матриц аналогично простому арифметическому сложению термов. Сложение двух матриц возможно, если две матрицы одного порядка. Добавление двух матриц возможно путем одновременного добавления их соответствующих элементов для получения новой матрицы.

Вычитание матриц

Поскольку мы знаем, что вычитание матриц возможно только в том случае, если матрицы имеют одинаковое количество строк и столбцов, следовательно, для вычитания матриц порядка 2 × 2 матрицы должны иметь 2 строки и 2 колонки. Теперь рассмотрим две матрицы A и B размерности 2 × 2. Чтобы вычесть B из A, мы вычтем элементы B из соответствующих элементов A. Общая форма вычитания B из A (порядок 2 × 2) такова :

Умножение матриц

Процесс одинаков для матриц любого порядка. Условие умножения двух матриц состоит в том, что количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице. Умножаем элементы каждой строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы (поэлементно), как показано на рисунке. Наконец, мы добавляем продукты.

Решение двумерного определителя

Для любой двумерной квадратной матрицы или квадратной матрицы порядка 2×2 мы можем использовать формулу определителя для вычисления ее определителя:

C = \(\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{массив}\right]\)

Его двумерный определитель можно вычислить как:

|C| = \(\left|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right|\)

|C| = (a×d) — (b×c)

Например: C = \(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right]\)

Его определитель можно вычислить как:

|С| = \(\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right|\)

|C| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14

Решение трехмерных определителей

Для любой трехмерной квадратной матрицы или квадратной матрицы порядка 3×3 это процедура вычисления ее определителя.

\(C = \left[\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_ {3} & b_{3} & c_{3}\end{массив}\right] \)

Его определитель можно вычислить как:

|С| = \(\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| \)

• \(a_{1}\) фиксируется как номер привязки и двумерный определитель его подматрицы, которая представляет собой квадрат вычисляется матрица.
• Следующий номер привязки берется по порядку, теперь это \(b_{1}\) и вычисляется малый определитель, и, наконец, \(c_{1}\) берется в качестве номера привязки и его двумерного определителя рассчитывается.
• Попеременно продолжайте умножать меньший определитель на номер привязки и на его знак.
• |С| = \(\left|\begin{array}{ccc}+ &-& + \\- & + & — \\+ &-& + \end{array}\right| \)
• Наконец, суммируйте их.

|С| = \(a_{1} \cdot\left|\begin{array}{ll}b_{2} & c_{2} \\b_{3} & c_{3}\end{массив}\right|-b_ {1} \cdot\left|\begin{array}{cc}a_{2} & c_{2} \\a_{3} & c_{3}\end{array}\right|+c_{1} \ cdot\left|\begin{array}{ll}a_{2} & b_{2} \\a_{3} & b_{3}\end{array}\right|\)

|С| = \(a_{1}\left(b_{2} c_{3}-b_{3} c_{2}\right)-b_{1}\left(a_{2} c_{3}-a_{3 } c_{2}\right)+c_{1}\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right)\)

☛ Связанные темы

• Свойства матриц
• Свойства определителей
• Типы матриц
• Детерминанты
• Умножение матриц

Часто задаваемые вопросы о матрицах и определителях

Что такое матрицы и определители?

Матрицы и определители имеют тесную связь в математике. Матрица — это массив элементов, который обозначается M, а определитель — это единственное числовое значение, представляющее эту матрицу и обозначаемое как |M|. Количество строк и столбцов в матрице называется порядком матрицы, а для определителя количество строк должно быть равно количеству столбцов.

Как решать матрицы и определители?

Над матрицами можно выполнять арифметические операции сложения, вычитания, умножения. И определитель можно вычислить для квадратной матрицы, и то же самое значение определителя можно использовать для вычисления обратной матрицы.

В чем разница между матрицами и детерминантами?

Ниже приведены три основных различия между матрицами и определителями.

1. Матрица может быть представлена ​​в виде A = \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), значение определителя равно |A| = |объявление — до н.э.|.
2. Матрицы могут быть любого порядка. Но определитель можно найти только для квадратной матрицы, имеющей равное количество строк и столбцов.
3. Умножение константы K на матрицу умножает ее на каждый элемент матрицы. Но умножение константы K на определитель умножает ее на каждый элемент конкретной строки или столбца определителя.

Каков порядок матриц и определителей?

Порядок матрицы равен m x n, так как она состоит из m строк и n столбцов, а порядок определителя равен n x n, так как он состоит из n строк и n столбцов. Определители можно вычислить только для квадратной матрицы, поэтому она имеет одинаковое количество строк и столбцов.

Что такое формулы матриц и определителей?

Формула матрицы заключается в нахождении транспонированной, присоединенной и обратной матрицы. И мы можем найти единственное числовое значение для определителя. Транспонированная матрица — это матрица, полученная после преобразования и записи элементов строки как элементов столбца, а элементов столбца — как элементов строки. Сопряженная матрица представляет собой транспонирование сомножителей элементов матрицы, а деление сопряженной матрицы на определитель матрицы дает обратную матрицу.

Матрицы и определители — одно и то же?

Матрицы и определители разные. Матрицы представляют собой массив элементов, представленных в виде строк и столбцов, а определитель представляет собой одно числовое значение, вычисленное из элементов матрицы. Для матрицы A = \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) значение определителя равно |A| = |объявление — до н.э.|.

Каковы применения матриц и определителей?

Матрица имеет большое применение в области науки о данных и искусственного интеллекта. Многочисленные алгебраические уравнения могут быть решены методом обращения матриц. Мы также можем найти транспонированную, сопряженную и обратную матрицы.

12: Матрицы и определители — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

44314

• Кен Каттлер
• Университет Бригама Янга via Lyryx

• 12. 1: Матричная арифметика

  Теперь вы решили системы уравнений, записав их в терминах расширенной матрицы, а затем выполняя операции над строками этой расширенной матрицы. Оказывается, матрицы важны не только для систем уравнений, но и во многих приложениях.

• 12.2: Умножение матриц

  Следующая важная операция с матрицами, которую мы рассмотрим, — это умножение матриц. Операция умножения матриц — одна из самых важных и полезных из матричных операций.

• 12.3: ij-я запись произведения

  В предыдущих разделах мы использовали записи матрицы для описания действия сложения матриц и скалярного умножения. Мы также можем изучать умножение матриц, используя элементы матриц.

• 12.4: Свойства умножения матриц

  Как указывалось выше, иногда можно умножать матрицы в одном порядке, но не в другом. Однако даже если определены и AB, и BA, они могут не совпадать. 9−1 \).

• 12.8: Основные методы определения определителей

  Пусть A — матрица размера n×n. То есть пусть A — квадратная матрица. Определитель A, обозначаемый det(A), является очень важным числом, которое мы будем исследовать в этом разделе.

• 12.9: Свойства определителей

  У определителей много важных свойств. Поскольку многие из этих свойств связаны с операциями со строками, которые обсуждались в главе 1, мы сейчас вспомним это определение. Теперь рассмотрим влияние операций над строками на определитель матрицы. В следующих разделах мы увидим, что использование следующих свойств может сильно помочь в поиске определителей. В этом разделе теоремы будут использоваться в качестве мотивации для предоставления различных примеров полезности свойств.

• 12.10: Поиск определителей с помощью операций со строками

  В этом разделе мы рассмотрим два примера, где операции со строками используются для нахождения определителя большой матрицы.

  No related posts.