Калькулятор матриц онлайн
Онлайн-калькулятор матриц позволяет выполнять следующие действия над матрицами: сложение матриц, вычитание матриц, умножение матриц. Для того, чтобы произвести вычисления, заполните соответствующие элементы в матрицах А и В, выберите вид действия над матрицами и затем нажмите кнопку «Рассчитать».
Матрица А
Размер Матрицы А:
кол-во строк: 23456
кол-во столбцов:123456
+-×
Матрица B
Размер Матрицы B:
кол-во строк: 23456
кол-во столбцов:123456
Рассчитать
Матрицей в математике принято называть совокупность чисел, представленных в виде прямоугольной таблицы, имеющей m строк и n столбцов.
A(m×n) =
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … … …
am1 am2 … amn
Сложение матриц А и В — вид действия над матрицами, при котором производится сложение соответствующих элементов матриц А и В. Складываться могут только матрицы одинакового размера. Например: А(2×2) + В(2×2), А(3×5) + В(3×5) и т.д. Результатом сложения матриц А и В является матрица С, имеющая такой же размер как и матрицы А и В.
Вычитание матриц А и В — вид действия над матрицами, при котором производится вычитание соответствующих элементов матриц А и В. Вычитаться могут только матрицы одинакового размера.
Умножение матриц А и В — вид действия над матрицами. Умножение матриц возможно лишь в том случае, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Например: А(2×5) × В(5×2), А(3×4) × В(4×5) и т.д. Результатом умножения матрицы А размером m×n на матрицу В размером n×k является матрица С размером m×k.
Найти определитель матрицы — Онлайн калькулятор
Матрица представляет математический объект, который записан в виде таблицы элементов. Ее размер задается количеством столбцов и строк. В квадратной матрице число столбцов и строк одинаковое.
Чтобы найти определитель матрицы онлайн с помощью нашего сервиса, выберите необходимое число столбцов и строк. Затем введите значения в предназначенные для этого пустые поля и запустите расчет.
Ответом будет найденный определитель (детерминант) — величина, которая может быть рассчитана и поставлена в однозначное соответствие квадратной матрице.
Определитель матрицы онлайн
Вычислить определитель матрицы онлайн понадобится студентам при решении задач по алгебре и высшей математике, научным сотрудникам для проверки правильности вычислений и сведения погрешностей к минимуму.
На нашем сайте вы можете посчитать определитель матрицы онлайн бесплатно. Выбор встроенного алгоритма вычислений связан с размером матрицы:
- Для матриц порядка n=2 детерминант находится по формуле: Δ=a11*a22-a12 *a21.
- Для матриц порядка n=3 детерминант находится с помощью алгебраического дополнения или методом Саррюса.
- При размерности матрицы больше трех она раскладывается на алгебраические дополнения, для которых рассчитываются свои детерминанты (миноры).
Вы сможете найти определитель матрицы с онлайн-калькулятором, что позволит проводить дальнейшие расчеты без ошибок и погрешностей. Это важно учитывать при разработке инструментов статистики в науке и технике, где точность вычислений имеет большое значение. Часто искомое значение определителя требуется как промежуточный результат для решения комплекса задач. В таком случае использование онлайн-калькулятора необходимо для экономии времени.
С помощью нашего сервиса легко осуществлять подготовку к занятиям. Самостоятельно искать решение и сверятся с полученным детерминантом матрицы онлайн.
Определитель матрицы, онлайн калькулятор с решением
Наш онлайн калькулятор помогает найти определитель матрицы всего в несколько кликов. Для вычисления определителя матрицы выберите ее размер (матрица обязательно должна быть квадратной), заполните все элементы матрицы и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст детальное решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам проверить свое решение и понять, как был получен ответ.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Как найти определитель матрицы онлайн
Определитель рассчитывается только для квадратных матриц и является сумой слагаемых n-ого порядка. Подробный алгоритм его вычисления будет описан в готовом решении, которое вы сможете получить сразу после ввода условия в данный онлайн калькулятор.
Это доступная и простая возможность получить детальную теорию, поскольку решение будет представлено с подробной расшифровкой каждого шага.
Инструкция пользования данным калькулятором проста. Чтобы найти определитель матрицы онлайн сначала вам нужно определиться с размером матрицы и выбрать количество столбцов и, соответственно, строк в ней. Для этого кликните на иконку «+» или «-». Далее остаётся только ввести нужные числа и нажать «Вычислить». Можно вводить как целые, так и дробные числа. Калькулятор сделает всю требуемую работу и выдаст вам готовый результат.
Чтобы стать экспертом в математике, нужно много и упорно тренироваться. A ещё никогда не помешает дополнительный раз себя перепроверить. Поэтому, когда перед вами поставлена задача вычислить определитель матрицы, целесообразно воспользоваться онлайн калькулятором. Он справится очень быстро, и в течение нескольких секунд на мониторе появится, готовое решение. Это не предполагает, что онлайн калькулятор должен заменять вам традиционные расчёты.
Но он является превосходным помощником, если вам интересно понять алгоритм вычисления определителя матрицы. K тому же, это превосходная возможность проверить, правильно ли выполнена контрольная, подстраховаться от неудачной оценки.
Онлайн калькуляторы матриц
В данном разделе содержатся онлайн калькуляторы для работы с матрицами. С помощью калькуляторов можно выполнять все основные действия над матрицами: сложение, умножение, находить определитель, обратную матрицу и др. Для каждого калькулятора доступно подробное решение задачи на русском языке.
Операции над матрицами 12
Сложение матриц
Калькулятор позволяет сложить две матрицы.
Подробное решение также доступно.
Вычитание матриц Калькулятор находит разность двух матриц с описанием подробного хода решения на русском языке.
Умножение матриц Калькулятор позволяет найти произведение двух матриц. Подробное решение также присутствует.
Возведение матрицы в степень Калькулятор позволяет возвести матрицу в степень натурального числа. Подробное решение доступно на русском языке.
Вычисление ранга матрицы
Калькулятор вычисляет ранг матрицы.
Описание подробного хода решения представлено на русском языке.
Решение уравнений методом обратной матрицы онлайн
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Метод обратной матрицы применяется в математике для решения систем линейных алгебраических уравнений в том случае, когда число неизвестных равно количеству уравнений в системе.
Так же читайте нашу статью «Решить показательное уравнение онлайн»
Допустим, дана следующая система линейных уравнений:
\[\left\{\begin{matrix} 2x_1-x_2+3x_3=1\\ -2x_2+2x_3=2\\ 3x_1+x_2+x_3=0 \end{matrix}\right.\]
Определим матрицу коэффициентов при неизвестных:
\[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ 0 & -2 & 2\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]
Определим матрицу неизвестных:
\[x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}\]
Определим матрицу свободных членов:
\[B = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}\]
Определим матрицу, обратную матрице коэффициентов:
\[A ^-1=1/4 \begin{pmatrix} -4 & 4 & 4\\ 6 & -7 & -4\\ 6 & -5 & -4 \end{pmatrix}\]
Найдем матрицу неизвестных:
\[x=\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 4 & 4\\ 6 & -7 & -4\\ 6 & -5 & -4\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\\ -2\\ -1 \end{pmatrix}\]
Решением систему методом обратной матрицы является:
\[x_1=1\]
\[x_2=2\]
\[x_3=-1\]
Проверить правильность ответа можно, подставив данные значения на место неизвестных в систему.
Где можно решить уравнение с помощью обратной матрицы онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
▶▷▶▷ гдз по матрицам
▶▷▶▷ гдз по матрицам| Интерфейс | Русский/Английский |
| Тип лицензия | Free |
| Кол-во просмотров | 257 |
| Кол-во загрузок | 132 раз |
| Обновление: | 24-09-2019 |
гдз по матрицам — Матрицы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы wwwwebmathrupoleznoeformules_6_16php Cached Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам , прочитать все определения и свойства Список тем находится в правом меню 4 8 ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Помогите classramblerrutemy-gdz4-8-gdz-informatika-10 Cached ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Помогите построить графы, соответствующие матрицам смежности Постройте графы, соответствующие матрицам смежности Шпаргалки Для 4 Класса По Математике — softprogrammy softprogrammyweeblycomblogshpargalki-dlya-4-klassa Cached Представляем вам великолепную шпаргалку по математике! формул и справочных таблиц за школьный курс по математике, с 5 по 11 классы Информатика 9 класс Угринович — учебник онлайн gdz-reshimruинформатика-9-класс Cached Пурышева физика 9 класс триактив-курс 2016 Пурышева физика 9 класс триактив-курс 2016 это не гдз по физике, а проверочный инструмент и учебно-практический курс, который направлен на Шпаргалка По Математике 4 Класс — moypsiholog palitrazdoroviyweeblycomblogshpargalka-po-matematike Cached На этой странице собраны все необходимые шпаргалки по математике, алгебре, геометрии, тригонометрии Шпаргалка по математике для 4 класса Можно использовать для сдачи ЕГЭ и ГИА по 4 9 ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Постройте графы classramblerrutemy-gdz4-9-gdz-informatika-10 Cached 36 вариантов ответов ЕГЭ по русскому языку 2017 И П Цыбулько Средний балл по предметам за ЕГЭ в 2017 году? Лабораторная 1 Физика 7 класс 10 вопросы к 1-3 Составьте в тетради таблицу Решебники по высшей математике (руководства по решению задач wwwdiaryrueekp47594145htm?from180 Cached т1 содержит краткий теоретический материал по определителям и матрицам , системам линейных уравнений, векторной и линейной алгебре, аналитической геометрии на плоскости и в пространстве Матрицы: определение, история, применение матриц на практике wwwwebmathrupoleznoeformules_6_0php Cached Впервые матрица упоминается еще в Древнем Китае На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач Учебник По Английскому ЛИ Кравцова Решебник Онлайн ibc270weeblycombloguchebnik-po-anglijskomu-li Cached Пособие по английскому языку Авторы Гибкие условия доставки в любой л и кравцова английский язык гдз онлайн — ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по Английскому языку, решебник и Решебник журбенко математика в примерах и задачах — PDF docplayerru79260301-Reshebnik-zhurbenko Cached Гдз по истории 7 класс пчелов учебник ответы на вопросы 2016 Гдз по истории 7 класс пчелов учебник ответы на вопросы 2016 Гдз по истории 7 класс пчелов учебник ответы на вопросы 2016 Школьный Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 18,600
- Шпаргалка по высшей математике — Матрицы. Наш сайт тебе помог в решении задачи, сдачи курсовой или д
- иплома? Скачать бесплатно Oxford New Matrix — УМК английского языка для школы. New Matrix Students book, Workbook, Audio, Teachers book download free. Купить скачать бесплатно нью матрикс новая матри
- book, Workbook, Audio, Teachers book download free. Купить скачать бесплатно нью матрикс новая матрица английский язык учебник…
Путь по матрице начинается в левом верхнем углу. За один ход можно пройти в соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (если она существует). ГДЗ Алгебра 7 Колягин, Ткачева, Федорова 510.
Решение задач высшей математики — примеры интегралов, производных, матриц, рядов, пределов. Как решить быстро, а также получить ответ онлайн.
Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 3655 файлов. Обновленые драйвера: 3988 файлов. Логин или e-mail:
ГДЗ з англійської мови 11 клас? Легко, адже на GDZ4YOU є більше тисячі готових домашніх завдань з усіх предметів! Ми впевнені, що Ви знайдете те, що так довго шукали! Заходьте!
Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 8992 файлов. Обновленые драйвера: 9601 файлов. Логин или e-mail:
Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 7001 файлов. Обновленые драйвера: 7784 файлов. Логин или e-mail:
Гдз по новому учебнику по геометрии погорелова 10 класс. Произведение матриц или перемножение матриц. А почему тогда я именно я должен на востоке сдохнуть.
Главная Статьи Гдз 11 класс 11 класс английский язык. Отрывок из решебника по английскому языку для 11 класса, автор Карпюк:
Наш сайт тебе помог в решении задачи, сдачи курсовой или д
Добавлено на сервер за неделю: 8992 файлов. Обновленые драйвера: 9601 файлов. Логин или e-mail:
Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 7001 файлов. Обновленые драйвера: 7784 файлов. Логин или e-mail:
Гдз по новому учебнику по геометрии погорелова 10 класс. Произведение матриц или перемножение матриц. А почему тогда я именно я должен на востоке сдохнуть.
Главная Статьи Гдз 11 класс 11 класс английский язык. Отрывок из решебника по английскому языку для 11 класса, автор Карпюк:рядов
що Ви знайдете те
- тригонометрии Шпаргалка по математике для 4 класса Можно использовать для сдачи ЕГЭ и ГИА по 4 9 ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Постройте графы classramblerrutemy-gdz4-9-gdz-informatika-10 Cached 36 вариантов ответов ЕГЭ по русскому языку 2017 И П Цыбулько Средний балл по предметам за ЕГЭ в 2017 году? Лабораторная 1 Физика 7 класс 10 вопросы к 1-3 Составьте в тетради таблицу Решебники по высшей математике (руководства по решению задач wwwdiaryrueekp47594145htm?from180 Cached т1 содержит краткий теоретический материал по определителям и матрицам
- прочитать все определения и свойства Список тем находится в правом меню 4 8 ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Помогите classramblerrutemy-gdz4-8-gdz-informatika-10 Cached ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Помогите построить графы
- соответствующие матрицам смежности Постройте графы
Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд гдз по матрицам Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Матрицы примеры решения задач, формулы и онлайн webmathruformules__ Примеры решения задач с матрицами , более примеров нахождение определителя, обратной матрицы и ВГУЭС Сборник задач по высшей математике Глава a x Матрицы Даны матрицы А, В, С Онлайн решение задач по математике Матрицы Онлайн калькуляторы для решения математических задач с Матрицы Матрицы , примеры решений SolverBook rusolverbookcomprimeryresheniya На странице собраны примеры решения матриц умножение, сложение и др Каждая матрица содержит PDF Сборник задач и упражнений по высшей математике БГЭУ bseubyhmuchmsb_vmpdf Диагональная матрица , все элементы главной диагонали которой равны , называется единичной матрицей и Онлайн решение задач по математике Матрицы Онлайн калькуляторы для решения математических задач с Матрицы Решебник Абрамяна М Э на Pascal и С Двумерные Решебник Абрамяна Условие вида дана матрица размера M N означает , что вначале дается фактический Картинки по запросу гдз по матрицам DOC Определители и матрицы psturufilesfileResursOprMatrdoc Вычислить определитель высшего порядка Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы Решебник по матрице курс Wiruka net wirukanyboxemirrunet?hokwi Решебник по матрице курс Примеры решения задач с матрицами, более примеров На практике, они Обратная матрица онлайн Онлайнкалькулятор Нахождение обратной матрицы онлайн Решение прямо на сайте с оформлением Word Exponentaru Линейная алгебра для студентов задачи с oldexponentarueducatexamplesasp Вычисление определителя разложением по ой строке; Пример Вычисление определителей матриц и как решать матрицы YouTube авг теория изложена также на сайте в статье Обещанный онлайн myoutubecom Операции с матрицами онлайн Онлайнкалькулятор Матричный калькулятор Основные действия над матрицами умножение, сложение и вычитание решебник по матрицам и слау есть в интернете? ОтветыMailRu вот знатный сайт всегда можно себя проверить html ГДЗ Информатика класс Поляков Постройте gdz gdz ГДЗ Информатика класс Поляков Постройте графы, соответствующие весовым матрицам читайте на Линейная алгебра и аналитическая геометрия Матрицы и Матрицы _ В этой главе будет рассмотрен формальный аппарат, используемый в линейной алгебре, алгебра матриц Сборник задач по высшей математике Часть I Линейная windowedurucatalogpdftxt Матрицы и операции над ними Прямоугольная матрица размера m Ч n имеет вид таблицы, со стоящей из m Матрицы и определители, Белоусов ИВ, Nasholcom июл Подсчет ранга матрицы и Учебники, ГДЗ , решебники, ЕГЭ, ГИА, экзамены, книги Книги и РешеноРабота Упр ГДЗ Семакин класс по Дана прямоугольная матрица Найти строку с наибольшей и строку с наименьшей суммой элементов Вывести Гдз новая матрица класс chaiphooba Hugi Hlynsson aeraiciixahugihlynssoncomid Гдз новая матрица класс Национальная библиотека РК Алматы, которые должны быть озаглавлены Умножение матрицы на матрицу онлайн Матрицы Умножние_на_ Калькулятор матриц онлайн с возможностями нахождения определителя детерминанта, транспонирования Онлайн решебник матриц medcentrmonroru medcentrmonroruonlaynreshebnik Онлайн решебник матриц Определитель матрицы ОНЛАЙН Используется метод разложения по строкам и Линейная алгебра Матрицы Инфоурок мар Cкачать Методическая разработка по математике на тему Линейная алгебра Матрицы курс Гдз по английскому языку класс новая матрица tyzise pinterestcom Гдз по английскому языку класс новая матрица Решение задач по линейной алгебре Решатель Основными инструментами, которые применяются в линейной алгебре, являются матрицы , определители Решения задач по линейной алгебре bankzadachrulineynayaalgebrahtml Вычисление ранга матрицы Подробности Автор Определить ранг матрицы Подробности PDF СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ elibrarysguruuch_litpdf Вступительное слово оператора геометрически, в связи с чем теория λ матриц ста новится ненужной Однако Матричные уравнения Примеры решений Mathprofiru mathprofirumatrichnye_uravneniya_ дек Они устроены практически так же, только вместо чисел правильно матрицы и конечно, Определитель матрицы онлайн matematikamrumatricideterminantph Нахождение определителя матрицы детерминанта онлайн Подробное решение различными методами PDF МАТЕМАТИКА Линейная алгебра istuedulineynaya_algebr Если матрицы имеют одинаковый размер, то их можно складывать В результате получается матрица С того же Новая матрица книга ответ для ecgrafap Английский язык pinterestru Гдз марон класс онлайн Формат Файла, Реклама, Книжная Деятельность, Free Формат ФайлаРекламаКнижная гдз английский учебник матрица paul kelly and elena lebunenurogyruphp сен гдз английский учебник матрица paul kelly and elena khotuntseva Заказать учебник ангийский ГДЗ по английскому языку класс Матрикс рабочая тетрадь https gdz putinainfo gdz matriks ГДЗ готовые домашние задания к рабочей тетради по английскому языку класс New Matrix Матрикс Стайринг, Нахождение определителя матрицы Нахождение определителя матрицы с помощью его разложения вдоль строки столбца или обнуления строки Решебник по матрице nammirureshebnikpomatritsehtml Решебник по матрице Этот калькулятор позволяет транспонировать матрицу онлайн Онлайн калькулятор I решебник по математике матрица optomstockru optomstockruireshebnikpomatematik I Решебник По Математике Матрица Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной DOC линейная алгебра Кафедра высшей математики НИУ МЭИ kafvmsrvmpeiacruMMlaoodoc Задачи произведение линейной комбинации матриц на матрицу , Проверить вычисление обратных матриц Привести Зимина ОВ, Кириллов АИ, Сальникова ТА Решебник Высшая Матрица шпаргалка nevskayaovatsiyaru nevskayaovatsiyarumatritsashpargalka дек Матрица это таблица чисел, упорядоченных по строкам и столбцам Числа матрицы гдз миллениум класс i wwwrhkru gdz milleniumklassi сен гдз миллениум класс i Если порядок n матрицы равен единице, то эта матрица состоит из Решебник по математике матрицы vetrazcenterrureshebnikpomatematik по математике матрицы решебник Онлайн калькуляторы для решения математических задач с Матрицы Учебник Matrix Для Класса Ответы regulationswealth янв Учебник тетрадь ответы тесты решебник книга учителя new matrix підручник NEW MATRIX by Oxford учебники английского матрица английский язык учебник тетрадь Кузнецов ЛА Линейная алгебра Задача Решебник Ру wwwreshebnikrusolutions Кузнецов ЛА Линейная алгебра Задача Действия с операторами и их матрицами Постановка задачи Ответ Тестовый контроль ГДЗ Рабочая тетрадь по bio gdz rutestovyjkontrolhtml б эксперимента Среда жизни, характерная для человека б наземно воздушная Матрица ответов семинары__группа Кафедра высшей алгебры halgebramathmsusuсеминары_ дек гдз , а, а, б вычислить все натуральные степени матрицы , бв, а Примеры приведения матриц к жордановой форме timenun Алгоритм нахождения Жордановой формы матрицы Помогите решить Алгоритм построения жордановой Гдз по английскому языку класс новая матрица oopuneoph rueneifairoplataicomjo gdz po Считая наиболее приемлемой для характеристики статуса МЧП распространенную точку зрения о том, Решение системы линейных уравнений с помощью матриц leipohwohpapdiseicresheniesistemy Коран священная книга мусульман, решение системы линейных уравнений с помощью матриц решебник , ГДЗ по английскому языку класс рабочая тетрадь New Matrix gdz com gdz poanglijskomu ГДЗ решебник рабочая тетрадь Английский язык класс Новая матрица New Matrix Е Хотунцевой, Алгебра и начала анализа класс мордкович ozoofahtooldnlyymalgebrainachala Это были бедные печенеги , алгебра и начала анализа класс мордкович,денищева решебник онлайн, Запросы, похожие на гдз по матрицам матрицы примеры для самостоятельного решения решение матриц методом гаусса определитель матрицы обратная матрица умножение матриц матрицы упражнения определитель матрицы на задачи на матрицы программирование След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка
Шпаргалка по высшей математике — Матрицы.
Наш сайт тебе помог в решении задачи, сдачи курсовой или диплома?
Скачать бесплатно Oxford New Matrix — УМК английского языка для школы. New Matrix Students book, Workbook, Audio, Teachers book download free. Купить скачать бесплатно нью матрикс новая матрица английский язык учебник…
Путь по матрице начинается в левом верхнем углу. За один ход можно пройти в соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (если она существует). ГДЗ Алгебра 7 Колягин, Ткачева, Федорова 510.
Решение задач высшей математики — примеры интегралов, производных, матриц, рядов, пределов. Как решить быстро, а также получить ответ онлайн.
Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 3655 файлов. Обновленые драйвера: 3988 файлов. Логин или e-mail:
ГДЗ з англійської мови 11 клас? Легко, адже на GDZ4YOU є більше тисячі готових домашніх завдань з усіх предметів! Ми впевнені, що Ви знайдете те, що так довго шукали! Заходьте!
Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 8992 файлов.
Обновленые драйвера: 9601 файлов. Логин или e-mail:
Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 7001 файлов. Обновленые драйвера: 7784 файлов. Логин или e-mail:
Гдз по новому учебнику по геометрии погорелова 10 класс. Произведение матриц или перемножение матриц. А почему тогда я именно я должен на востоке сдохнуть.
Главная Статьи Гдз 11 класс 11 класс английский язык. Отрывок из решебника по английскому языку для 11 класса, автор Карпюк:
математика : Математика онлайн — решение уравнений, решение матриц, интегралов
Здравствуйте!
Мы рады приветствовать всех на нашем студенческом сайте, посвященному решению задач и всему, что с этим связано.
Webmath.ru
создан для онлайн помощи школьникам и студентам с решением задач по математике, алгебре, геометрии, физике, теории вероятности и
многим другим предметам. На сайте представлено много
, которые в режиме реального времени (онлайн) решают задачи +
работает
, на котором всегда можно задать вопрос.
Наша помощь дистанционна и онлайн, то есть ответ на свой вопрос или решение задачи Вы получите очень быстро!
На сайте — 35 программ для .
БЕСПЛАТНЫЕ !!
!
! Специальная услуга —
!
Подписка на рассылку Появилась новая функция! Рассылка новостей!
Подписавшись на рассылку Вы сможете своевременно узнавать о на сайте.
Пользуйтесь нашими сервисами и Вы забудете, что такое проблемы с учебой!
Существует много сайтов, посвещенных таким важным наукам, как
математика , алгебра и геометрия.
Все они предлагают Вам обширный материал по данным дисциплинам … но это ли Вам нужно? Зачастую материал, который они Вам
предлагают, просто списан с соседнего сайта, никак не помогает Вам в
решении уравнений и поставленных задач
, и не имеет никакой индивидуальности. На них предложены одни и те же
решения уравнений ,
найдены одинаковые интегралы, производные, рассчитаны похожие треугольники. Зачем нам 15 одинаковых сайтов?
Хочется видеть разный подход к
решению матриц , разные методы
решения уравнений , интегралов и производных.
А при наборе запросов
в поисковике они выскакивают просто в ряд и чтобы найти хоть какой-то оригинальный метод
решения иногда приходиться просмотреть более 5
страниц, а это уже 50 сайтов … Нужен всего лишь один сайт, один оригинальный
математический сайт , на котором был бы сосредоточен уникальный, а главное
полезный и незаменимый материал по
математике , наш сайт не претендует на эту роль, но согласитесь, мысль правильная.
Я думаю многие из Вас уже сталкивались с ситуацией, когда Вы выучили теорию, но этого мало.
Да и, зачастую, теоретический материал можно легко списать прямо на экзамене или на контрольной, а вот где найти практический материал,
где набить руку на
решение уравнений ,
матриц и выполнение практическихзаданий по математике ? Но, даже если он есть, кто проверит правильность Вашего
решения ? …
Все эти факторы могут привести к плачевному результату. Выучили теорию, приступим к практике … Найдем определитель матрицы …
решим уравнение … решим треугольник .
.. (Хотя если и с теорией будет
напряг, на сайте имеется отменный материал по
математике , алгебре и геометрии. Посмотрите, я уверен, что Вы не пожалеете)
Как я уже раскрыл секрет, основная задача нашего сайта, это
решение Ваших проблем с практикой.
И если Вы скажете, что Вам помогут друзья, я конечно с Вами соглашусь, но не до конца … смогут ли они менее чем за секунду найти
решение уравнений ,
причем с великолепной точностью? Смогут ли в мгновение ока разделить полином 8 степени на полином 4 степени? Вы всегда поймете их почерк?
Да и кто из нас не допускал глупых ошибок? А вот программа не умеет допускать, по крайней мере, глупых ошибок … Я думаю даже Ваш преподаватель
за секунду не найдет объем пирамиды. И это только малая часть того, что есть, будет и только планируется разместить на сайте. А теперь давайте я
вкратце поясню назначение каждого раздела нашего сайта и Вы сразу поймете, как Вам повезло, что зашли к нам и, надеюсь, это будет партнерство на
годы …
— Думаю с данной страничкой Вы уже ознакомились и, надеюсь, не остались равнодушны.
Читайте дальше, все самое интересно еще впереди.
— Безусловно самый важный и интересный элемент сайта.
Сайт предназначен для помощи Вам в практике и именно в этом разделе вся возможная и даже невозможная помощь находится.
Здесь, без особого труда и навыков, Вы сможете — рассчитать
определитель матрицы , сложить (вычесть)
матрицы , найти
обратную матрицу ,
умножить матрицы , найти
решение уравнения , разделить 2 полинома различных степеней,
решить треугольник и многое другое. А где еще нажав 2 кнопки Вы сможете рассчитать площадь
треугольника всего лишь по значениям координат 3-ех вершин треугольника и найти объем пирамиды по 4-ем ее вершинам?
А ведь хочется найти
решение уравнения мгновенно,
решить квадратное уравнение , даже не думая о проверке.
И мы Вам обещаем, что это не конец. Важные подразделы:
,
,
,
, нахождение
,
,
,
,
,
, решение СЛАУ
и .
Попробуйте, и я уверен, что Вы сможете сэкономить уйму времени.
— кладовая нашего сайта. Здесь собран самый интересный и полезный найденный нами
учебный материал по
математике, алгебру и геометрии
.
Решение уравнений , основные определения, нахождение
определителя матрицы , свойства
матриц ,
решение интегралов ,
производных и многое другое по математике . Важные подразделы:
,
,
,
и .
Раздел постоянно обновляется и я уверен, что Вы всегда сможете найти там, что-то интересное и новое для себя.
— Здесь собран некий образующий материал. Мелкий материал, который легко забыть, но
без знание которого просто невозможно. Тут можно найти — основные формулы и свойства,
математический постоянные, таблицы и теоремы.
Здесь находиться столь нелюбимый студентами материал по
производным и интегралов , более 100 вариантов формул для
решения интегралов ,
методы
решения уравнений , налетайте.
Ну и конечно, если не удалось одолеть материал, Вы всегда сможете найти здесь лучшие шпаргалки по
математике . Важные подразделы:
,
,
и .
— Форма для отправки сообщений администрации. Если Вам, что-то не понятно,
появился какой то вопрос, есть уникальный материал для сайта или у Вас есть предложение по улучшению сайту, пишите.
— Краткий отчет о сайте. На этой страничке находятся ссылки на все страницы сайта,
если Вам надо быстро найти необходимый материал, это место для Вас.
— Это архив интересных фактор и полезных советов по математике и другим дисциплинам.
Здесь Вы не найдете новые методы
решения уравнений, матриц и интегралов
, зато сможете прочитать полезные статьи по физике,
математике и
некоторым другим дисциплинам, узнаете интересные способы отвлечения преподавателей от Вас, найдете статьи, которые изменят Ваше представление
о
математике и сможете просто расслабиться при подготовке к математике .
В чем именно уникальность нашего сайта ?!
Давайте по порядку: Решение матриц: Решение матриц — это один из основных профилей нашего математического сайта. На сайте располагается
самый большой в интернете архив программ для
решения матриц . У нас Вы сможете совершить полный комплекс работ для
решения матриц , сможете:
Найти определитель матрицы Найти обратную матрицу Умножить две матрицы Найти транспонированную матрицу Сложить (Вычесть) матрицы Возвести матрицу Преобразовать матрицу Решение уравнений: Не менее важный раздел — это решение уравнений . На сайте располагается ряд уникальных
программ для
решения уравнений . Таких как:
Решение квадратный уравнений Решение кубических уравнений Нахождение уравнения Также, в недалеком будущем, планируется написать программы для
решения уравнений любой степени, для нахождения
уравнения окружности (по точкам).
Решение интегралов: Я давно занимаюсь репетиторством и прекрасно знаю, что
интегралы вызывают у студентов
наибольшие затруднения. Иногда, чтобы найти
решение интеграла , студент тратит дни. Именно поэтому мы и написали такую необходимую программу для
решения интегралов .
— eMathHelp
Этот решатель будет складывать, вычитать, умножать, делить и возводить в степень две матрицы с указанными шагами. Он также найдет определитель, инверсию, rref (сокращенная форма эшелона строк), пустое пространство, ранг, собственные значения и собственные векторы.
Ваш ввод
Вычислить $$$ \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \ end {array} \ right] + \ left [\ begin {array} {ccc} 2 & 1 & 4 \\ 5 & 7 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \ end {array} \ right].$$$
Решение
$$$ \ left [\ begin {array} {ccc} \ color {Crimson} {1} & \ color {BlueViolet} {0} & \ color {Chocolate} {0} \\\ color {Фуксия} {0} & \ color {OrangeRed} {0} & \ color {Purple} {4} \\\ color {Magenta} {0} & \ color {SaddleBrown} {1} & \ color {Red} { 0} \ end {array} \ right] + \ left [\ begin {array} {ccc} \ color {Crimson} {2} & \ color {BlueViolet} {1} & \ color {Chocolate} {4} \\ \ color {Fuchsia} {5} & \ color {OrangeRed} {7} & \ color {Purple} {1} \\\ color {Magenta} {1} & \ color {SaddleBrown} {2} & \ color {Red } {5} \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ccc} \ color {Crimson} {\ left (1 \ right)} + \ color {Crimson} {\ left (2 \ right)} & \ color {BlueViolet} {\ left (0 \ right)} + \ color {BlueViolet} {\ left (1 \ right)} & \ color {Шоколад} {\ left (0 \ right)} + \ цвет {Шоколад} {\ left (4 \ right)} \\\ color {Fuchsia} {\ left (0 \ right)} + \ color {Fuchsia} {\ left (5 \ right)} & \ color {OrangeRed} {\ left (0 \ right)} + \ color {OrangeRed} {\ left (7 \ right)} & \ color {Purple} {\ left (4 \ right)} + \ color {Purple} {\ left (1 \ right)} \\\ color {Magenta} {\ left (0 \ right)} + \ color {Ma гента} {\ left (1 \ right)} & \ color {SaddleBrown} {\ left (1 \ right)} + \ color {SaddleBrown} {\ left (2 \ right)} & \ color {Red} {\ left (0 \ right)} + \ color {Red} {\ left (5 \ right)} \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ccc} 3 & 1 & 4 \\ 5 & 7 и 5 \\ 1 и 3 и 5 \ end {array} \ right] $$$
Ответ
$$$ \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \ end {array} \ right] + \ left [\ begin {array} {ccc} 2 & 1 & 4 \\ 5 & 7 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ccc} 3 & 1 & 4 \\ 5 & 7 & 5 \\ 1 & 3 & 5 \ end {array} \ right] $$$ A
Простой онлайн-калькулятор матриц
Этот калькулятор матриц позволяет вам вводить ваши собственные матрицы 2 × 2, складывать и вычитать их, находить умножение матриц (в обоих направлениях) и обратное за вас.
Здесь показаны шаги для получения ответов.
В ячейки матрицы можно ввести любое число (не буквы) от –99 до 99.
Выход
Вот результаты с использованием заданных чисел.
Наши две матрицы:
| А = | 5 | -2 | ||
| −4 | −5 |
| и B = | 1 | −6 | ||
| −6 | 4 |
Добавление матрицы
A + B
| = | 6 | −8 | ||
| −10 | -1 |
Вычитание матрицы
A — B
Умножение матриц
В общем, если
, то произведение матриц X и Y будет равно:
XY
| = | ( a × e + b × g ) | ( a × f + b × h ) | ||
| ( c × e + d × g ) | ( c × f + d × h ) |
Используя этот процесс, мы умножаем наши 2 данные матрицы A и B следующим образом:
AB
| = | (5 × 1 + −2 × −6) | (5 × −6 + −2 × 4) | ||
| (−4 × 1 + −5 × −6) | (−4 × −6 + −5 × 4) |
Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:
BA
| = | (1 × 5 + −6 × −4) | (1 × −2 + −6 × −5) | ||
| (−6 × 5 + 4 × −4) | (−6 × −2 + 4 × −5) |
Умножение матриц некоммутативно
В общем, когда мы умножаем матрицы, AB не равно BA . -1 = 1 / -33 [(- 5, — (- 2)), (- (- 4), 5)] `
`= [(0.-1 млрд = [(- 0,125, -0,1875), (- 0,1875, -0,0313)] [(1, -6), (- 6,4)] `
`= [(1,0), (0,1)]`
Попробовать другой?
Калькулятор умножения матриц 3×3
Как найти произведение матриц $ n \ times n $?
Многие операции с матрицами имеют смысл только в том случае, если матрицы имеют подходящие размеры. Другими словами, они должны быть одинакового размера, с одинаковым количеством строк и одинаковым количеством столбцов.
Когда мы имеем дело с умножением матриц, матрицы $ A = (a_ {ij}) _ {m \ times p} $ с $ m $ строками, $ p $ столбцами и $ B = (b_ {ij}) _ {r \ times n} $ с $ r $ строками, $ n $ столбцов можно умножать тогда и только тогда, когда $ p = r $.Это означает, что количество столбцов первой матрицы $ A $ должно быть равно количеству строк второй матрицы $ B $.
Результатом этой матрицы является новая матрица, которая имеет то же количество строк, что и первая матрица, $ A $, и такое же количество столбцов, как вторая матрица, $ B $.
Итак, соответствующее произведение $ C = A \ cdot B $ представляет собой матрицу размера $ m \ times n $. Элементами $ c_ {ij} $ этой матрицы являются
$$ c_ {ij} = a_ {i1} b_ {1j} + a_ {i2} b_ {2j} \ ldots + a_ {ip} b_ {pj} \ quad \ mbox {for} \; i = 1, \ ldots , т, \; j = 1, \ ldots, п.$$
Например, умножение матриц $ 3 \ times 3 $ определяется по следующей формуле
$$ \ begin {align} & \ left (
\ begin {array} {ccc}
а_ {11} и а_ {12} и а_ {13} \\
а_ {21} и а_ {22} и а_ {23} \\
а_ {31} и а_ {32} и а_ {33} \\
\ end {массив}
\ справа) \ cdot
\оставил(
\ begin {array} {ccc}
b_ {11} & b_ {12} & b_ {13} \\
b_ {21} & b_ {22} & b_ {23} \\
b_ {31} & b_ {32} & b_ {33} \\
\ end {массив}
\ right) \\ & = \ left (\ begin {array} {ccc}
a_ {11} b_ {11} + a_ {12} b_ {21} + a_ {13} b_ {31} и a_ {11} b_ {12} + a_ {12} b_ {22} + a_ {13} b_ {32} & a_ {11} b_ {13} + a_ {12} b_ {23} + a_ {13} b_ {33} \\
a_ {21} b_ {11} + a_ {22} b_ {21} + a_ {23} b_ {31} и a_ {21} b_ {12} + a_ {22} b_ {22} + a_ {23} b_ { 32} & a_ {21} b_ {13} + a_ {22} b_ {23} + a_ {23} b_ {33} \\
a_ {31} b_ {11} + a_ {32} b_ {21} + a_ {33} b_ {31} и a_ {31} b_ {12} + a_ {32} b_ {22} + a_ {33} b_ { 32} & a_ {31} b_ {13} + a_ {32} b_ {23} + a_ {33} b_ {33} \\
\ end {array} \ right) \ end {align} $$
Свойства умножения матриц
- Умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, $ AB \ not BA $.В некоторых случаях возможно, что продукт $ AB $ существует, а продукт $ BA $ не существует. Оба произведения $ AB $ и $ BA $ определены тогда и только тогда, когда матрицы $ A $ и $ B $ являются квадратными матрицами одинакового размера.
- Если $ A = (a_ {ij}) _ {mn} $, $ B = (b_ {ij}) _ {np} $ и $ C = (c_ {ij}) _ {pk} $, то матричное умножение ассоциативно, т. е. $$ A (BC) = (AB) C $$
- Если $ A = (a_ {ij}) _ {mn} $, $ B = (b_ {ij}) _ {np} $, $ C = (c_ {ij}) _ {np} $ и $ D = (d_ {ij}) _ {pq} $, тогда умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц, т.е.е. $$ \ begin {align} A (B + C) & = AB + AC \\ (B + C) D & = BD + CD \ end {align} $$
- Если $ A_ {n \ times n} $ — квадратная матрица, существует единичная матрица $ I_ {n \ times n} $ такая, что $$ AI = IA = A $$
Работа матричного умножения с пошаговыми инструкциями показывает полное пошаговое вычисление для нахождение произведения $ AB $ двух $ 3 \ times 3 $ матриц $ A $ и $ B $ с использованием формулы умножения матриц.Для любые другие матрицы, просто укажите элементы матриц $ 2 $, элементы которых являются действительными числами, и нажмите СОЗДАТЬ РАБОТУ кнопка. Учащиеся начальной школы и люди, изучающие математику, используют этот калькулятор умножения матриц для вычисления работать, проверять результаты вычисленных вручную матриц умножения или эффективно выполнять домашние задания. Ученики начальной школы также могут использовать этот калькулятор для решения линейных уравнений.
Дифференциальные уравнения — Обзор: матрицы и векторы
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметкиПохоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 5-2: Обзор: матрицы и векторы
Этот раздел призван стать уловкой для многих основных концепций, которые иногда используются при работе с системами дифференциальных уравнений.В этом разделе не будет много деталей, и мы не будем работать с большим количеством примеров. Кроме того, во многих случаях мы не будем рассматривать общий случай, поскольку нам не понадобятся общие случаи в нашей работе с дифференциальными уравнениями.
Начнем с основных обозначений матриц. Матрица \ (n \ times m \) (ее часто называют размером или размером матрицы) — это матрица с \ (n \) строками и \ (m \) столбцами и записью в \ (i ^ {\ text {th}} \) строка и \ (j ^ {\ text {th}} \) столбец обозначается \ (a_ {ij} \).Краткий метод записи общей матрицы \ (n \ times m \) следующий.
\ [A = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {11}}} & {{a_ {12}}} & \ cdots & {{a_ {1m}) }} \\ {{a_ {21}}} & {{a_ {22}}} & \ cdots & {{a_ {2m}}} \\ \ vdots & \ vdots & {} & \ vdots \\ {{ a_ {n1}}} & {{a_ {n2}}} & \ cdots & {{a_ {nm}}} \ end {array}} \ right) _ {n \ times m}} = {\ left ({ {a_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} \]Размер или размер матрицы при необходимости указывается в нижнем индексе, как показано.Если это не требуется или не ясно из проблемы, индексированный размер часто опускается из матрицы.
Специальные матрицы
Есть несколько «специальных» матриц, которые мы можем иногда использовать. Первая специальная матрица — это квадратная матрица . Квадратная матрица — это любая матрица, размер (или размерность) которой равен \ (n \ умножить на n \). Другими словами, в нем столько же строк, сколько и столбцов. В квадратной матрице диагональ, которая начинается в верхнем левом углу и заканчивается в правом нижнем углу, часто называется главной диагональю .
Следующие две специальные матрицы, которые мы хотим рассмотреть, — это нулевая матрица и единичная матрица. Нулевая матрица , обозначенная \ (0_ {n \ times m} \), является матрицей, все элементы которой являются нулями. Единичная матрица представляет собой квадратную матрицу \ (n \ умноженную на n \), обозначенную \ (I_ {n} \), все главные диагонали которой равны единицам, а все остальные элементы равны нулю. Вот общие нулевая и единичная матрицы.
\ [{0_ {n \ times m}} = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & {} & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {array}} \ right) _ {n \ times m}} \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} {I_n} = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {array}} \ right) _ {n \ times n}} \]В матричной арифметике эти две матрицы будут действовать в матричной работе как ноль, а единица — в действительной системе счисления.
Последние две специальные матрицы, которые мы здесь рассмотрим, — это матрица столбцов и матрица строк .Это матрицы, состоящие из одного столбца или одной строки. В общем, их
\ [x = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ \ vdots \\ {{x_n}}} \ end {массив }} \ right) _ {n \ times 1}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} y = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r }} {{y_1}} & {{y_2}} & \ cdots & {{y_m}} \ end {array}} \ right) _ {1 \ times m}} \]Мы часто будем называть их векторов .
Арифметика
Теперь нам нужно взглянуть на арифметику с матрицами.Начнем с , сложения и вычитания двух матриц. Итак, предположим, что у нас есть две матрицы \ (n \ times m \), \ (A \) и \ (B \). Сумма (или разность) этих двух матриц тогда равна
. \ [{A_ {n \ times m}} \ pm {B_ {n \ times m}} = {\ left ({{a_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} \ pm {\ left ({{b_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} = {\ left ({{a_ {ij}} \ pm {b_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} \]Сумма или разность двух матриц одинакового размера — это новая матрица одинакового размера, элементы которой представляют собой сумму или разность соответствующих записей из двух исходных матриц.Обратите внимание, что мы не можем добавлять или вычитать записи разных размеров.
Теперь давайте посмотрим на скалярное умножение . При скалярном умножении мы собираемся умножить матрицу \ (A \) на константу (иногда называемую скаляром) \ (\ alpha \). В этом случае мы получаем новую матрицу, все элементы которой умножены на константу \ (\ alpha \).
\ [\ alpha {A_ {n \ times m}} = \ alpha {\ left ({{a_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} = {\ left ({\ alpha \, { a_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} \] Пример 1 Учитывая следующие две матрицы, \ [A = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 3 & {- 2} \\ {- 9} & 1 \ end {array}} \ right) \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} B = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {- 4} & 1 \\ 0 & {- 5} \ end {array }} \верно)\]вычислить \ (A-5B \).
Показать решениеЗдесь особо нечем заняться, кроме работы.
\ [\ begin {align *} A — 5B & = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 3 & {- 2} \\ {- 9} & 1 \ end {array}} \ справа) — 5 \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {- 4} & 1 \\ 0 & {- 5} \ end {array}} \ right) \\ & = \ left ( {\ begin {array} {* {20} {r}} 3 & {- 2} \\ {- 9} & 1 \ end {array}} \ right) — \ left ({\ begin {array} {* {20 } {r}} {- 20} & 5 \\ 0 & {- 25} \ end {array}} \ right) \\ & = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {23 } & {- 7} \\ {- 9} & {26} \ end {array}} \ right) \ end {align *} \]Сначала мы умножили все элементы \ (B \) на 5, затем вычли соответствующие элементы, чтобы получить элементы в новой матрице.
Последняя матричная операция, которую мы рассмотрим, — это умножение матриц . Здесь мы начнем с двух матриц, \ (A_ {n \ times p} \) и \ (B_ {p \ times m} \). Обратите внимание, что \ (A \) должен иметь такое же количество столбцов, как \ (B \) имеет строки. {\ text {th}} \), \ (c_ {ij} \), находится путем умножения строки \ (i \) матрицы \ (A \) на столбец \ (j \) матрицы \ (B \).Это не всегда имеет смысл на словах, поэтому давайте рассмотрим пример.
Пример 2 Дан \ [A = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & {- 1} & 0 \\ {- 3} & 6 & 1 \ end {array}} \ right) _ {2 \ times 3}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} B = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 0 & {- 1} & 2 \\ {- 4} & 3 & 1 & 0 \ \ 0 & 3 & 0 & {- 2} \ end {array}} \ right) _ {3 \ times 4}} \]вычислить \ (AB \).
Показать решениеНовая матрица будет иметь размер \ (2 \ умножить на 4 \).Запись в строке 1 и столбце 1 новой матрицы будет найдена путем умножения строки 1 матрицы \ (A \) на столбец 1 матрицы \ (B \). Это означает, что мы умножаем соответствующие записи из строки \ (A \) и столбца \ (B \), а затем складываем результаты. Вот пара записей, рассчитанных полностью.
\ [\ begin {align *} {c_ {11}} & = \ left (2 \ right) \ left (1 \ right) + \ left ({- 1} \ right) \ left ({- 4} \ right » ) + \ left (0 \ right) \ left (0 \ right) = 6 \\ {c_ {13}} & = \ left (2 \ right) \ left ({- 1} \ right) + \ left ({ — 1} \ right) \ left (1 \ right) + \ left (0 \ right) \ left (0 \ right) = — 3 \\ {c_ {24}} & = \ left ({- 3} \ right ) \ left (2 \ right) + \ left (6 \ right) \ left (0 \ right) + \ left (1 \ right) \ left ({- 2} \ right) = — 8 \ end {align *} \]Вот полное решение.
\ [C = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 6 & {- 3} & {- 3} & 4 \\ {- 27} & {21} & 9 & {- 8} \ end {array}} \ right) \]В этом последнем примере обратите внимание, что мы не могли сделать продукт BA , поскольку количество столбцов в \ (B \) не соответствует количеству строк в \ (A \). Важно отметить, что то, что мы можем вычислить \ (AB \), не означает, что мы можем вычислить \ (BA \). Точно так же, даже если мы можем вычислить как \ (AB \), так и \ (BA \), они могут быть одной и той же матрицей, а могут и не быть.
Определитель
Следующая тема, которую нам нужно рассмотреть, — это определитель матрицы. Определитель на самом деле является функцией, которая преобразует квадратную матрицу в число. Фактическая формула функции несколько сложна и определенно выходит за рамки этого обзора.
Основной метод вычисления определителей любой квадратной матрицы называется методом сомножителей. Поскольку мы собираемся иметь дело почти исключительно с матрицами \ (2 \ times 2 \) и случайной матрицей \ (3 \ times 3 \), мы не будем вдаваться в этот метод.Мы можем дать простые формулы для каждого из этих случаев. Стандартным обозначением определителя матрицы \ (A \) является.
\ [\ det \ left (A \ right) = \ left | A \ right | \]Вот формулы для определителя матриц \ (2 \ times 2 \) и \ (3 \ times 3 \).
\ [\ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} a & c \\ b & d \ end {array}} \ right | = ad — cb \] \ [\ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {11}}} & {{a_ {12}}} & {{a_ {13}}} \\ {{a_ {21}} } & {{a_ {22}}} & {{a_ {23}}} \\ {{a_ {31}}} & {{a_ {32}}} & {{a_ {33}}} \ end { массив}} \ right | = {a_ {11}} \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {22}}} & {{a_ {23}}} \\ {{a_ {32}}} и {{a_ {33}} } \ end {array}} \ right | — {a_ {12}} \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {21}}} & {{a_ {23}}} \\ {{a_ {31}}} и {{a_ {33}} } \ end {array}} \ right | + {a_ {13}} \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {21}}} & {{a_ {22}}} \\ {{a_ {31}}} и {{a_ {32}} } \ end {array}} \ right | \] Пример 3 Найдите определитель каждой из следующих матриц.\ [A = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {- 9} & {- 18} \\ 2 & 4 \ end {array}} \ right) \ hspace {0.25in} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} B = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 3 & 1 \\ {- 1} & {- 6} & 7 \\ 4 & 5 & {- 1 } \ end {array}} \ right) \] Показать решениеДля \ (2 \ times 2 \) ничего не остается, кроме как вставить его в формулу.
\ [\ det \ left (A \ right) = \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} {- 9} & {- 18} \\ 2 & 4 \ end {array}} \ right | = \ left ({- 9} \ right) \ left (4 \ right) — \ left ({- 18} \ right) \ left (2 \ right) = 0 \]Для \ (3 \ times 3 \) мы могли бы подставить его в формулу, однако, в отличие от случая \ (2 \ times 2 \), запомнить эту формулу непросто.Есть более простой способ получить тот же результат. Более быстрый способ получить тот же результат — сделать следующее. Сначала запишите матрицу и прикрепите к ее концу копии первых двух столбцов следующим образом.
\ [\ det \ left (B \ right) = \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 3 & 1 \\ {- 1} & {- 6} & 7 \\ 4 & 5 & {- 1} \ end {array}} \ right | \, \, \, \, \ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 3 \\ {- 1} & {- 6} \\ 4 & 5 \ end {array} \]Теперь обратите внимание, что есть три диагонали, идущие слева направо, и три диагонали, идущие справа налево.Что мы делаем, так это умножаем записи на каждой диагонали вверх, и если диагональ идет слева направо, мы складываем их, а если диагональ идет справа налево, мы вычитаем их.
Вот работа для этой матрицы.
\ [\ begin {align *} \ det \ left (B \ right) & = \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 3 & 1 \\ {- 1} & {- 6} & 7 \\ 4 & 5 & {- 1} \ end {array}} \ right | \, \, \, \, \ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 3 \\ {- 1} & {- 6} \\ 4 & 5 \ end {array} \\ & = \ left (2 \ right) \ left ( {- 6} \ right) \ left ({- 1} \ right) + \ left (3 \ right) \ left (7 \ right) \ left (4 \ right) + \ left (1 \ right) \ left ( {- 1} \ right) \ left (5 \ right) — \\ & \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ left (3 \ right) \ left ({- 1} \ right) \ left ({- 1} \ right) — \ left (2 \ right) \ left (7 \ right) \ left (5 \ right) — \ left (1 \ right) \ left ({- 6} \ right) \ left (4 \ right) \\ & = 42 \ end {align *} \ ]Вы можете использовать формулу или сокращение, чтобы получить определитель \ (3 \ times 3 \).
Если определитель матрицы равен нулю, мы называем эту матрицу сингулярной , а если определитель матрицы не равен нулю, мы называем матрицу невырожденной .{-1} \).
Вычислить обратную матрицу \ (A \) довольно просто. Сначала формируем новую матрицу
\ [\ left ({A \, \, \, {I_n}} \ right) \], а затем используйте операции со строками из предыдущего раздела и попробуйте преобразовать эту матрицу в форму
\ [\ left ({{I_n} \, \, \, B} \ right) \]Если мы можем, то \ (B \) обратен \ (A \). Если мы не можем, то не существует обратной матрицы \ (A \).
Пример 4 Найдите обратную матрицу, если она существует.\ [A = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 1 & 1 \\ {- 5} & {- 3} & 0 \\ 1 & 1 & {- 1} \ end {array}} \ right ) \] Показать решениеСначала мы формируем новую матрицу, добавляя к ней единичную матрицу \ (3 \ times 3 \). Это
\ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 1 & 1 \\ {- 5} & {- 3} & 0 \\ 1 & 1 & {- 1} \ end {array} \ quad \ begin { array} {* {20} {r}} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) \]Теперь мы будем использовать операции со строками, чтобы попытаться преобразовать первые три столбца в идентичность \ (3 \ times 3 \).Другими словами, нам нужна 1 на диагонали, которая начинается в верхнем левом углу и равна нулю во всех остальных записях в первых трех столбцах.
Если задуматься, этот процесс очень похож на процесс, который мы использовали в предыдущем разделе для решения систем, но он идет немного дальше. Вот работа для этой проблемы.
\ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 1 & 1 \\ {- 5} & {- 3} & 0 \\ 1 & 1 & {- 1} \ end {array} \ quad \ begin { array} {* {20} {r}} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} \ leftrightarrow {R_3} } \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & {- 1} \\ {- 5} & {- 3} & 0 \\ 2 & 1 & 1 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} { {R_2} + 5 {R_1}} \\ {{R_3} — 2 {R_1}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \] \ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & {- 1} \\ 0 & 2 & {- 5} \\ 0 & {- 1} & 3 \ end {array} \ quad \ begin { array} {* {20} {r}} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & {- 2} \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {\ frac {1 } {2} {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & {- 1} \\ 0 & 1 & {\ frac {- 5 }} {2}} \\ 0 & {- 1} & 3 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 & 0 & 1 \\ 0 & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {5} {2}} \\ 1 & 0 & {- 2} \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_3} + {R_2}} \ \ \ Rightarrow \ end {массив} \] \ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & {- 1} \\ 0 & 1 & {\ frac {{- 5}} {2}} \\ 0 & 0 & {\ frac {1}) {2}} \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 & 0 & 1 \\ 0 & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {5} {2}} \\ 1 & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {1} {2}} \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {2 { R_3}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & {- 1} \\ 0 & 1 & {\ frac {{- 5}} {2} } \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 & 0 & 1 \\ 0 & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {5} {2}} \\ 2 & 1 & 1 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} + \ frac {5} {2} {R_3}} \\ {{R_1} + {R_3}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \] \ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 1 & 2 \ \ 5 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} — {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({ \ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} {- 3} & {- 2 } & {- 3} \\ 5 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \ end {array}} \ right) \]Итак, мы смогли преобразовать первые три столбца в единичную матрицу \ (3 \ times 3 \), поэтому существует обратное, и оно есть,
\ [{A ^ {- 1}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {- 3} & {- 2} & {- 3} \\ 5 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \ конец {массив}} \ right) \]Итак, был пример, в котором действительно существовало обратное.Давайте посмотрим на пример, в котором обратного не существует.
Пример 5 Найдите обратную матрицу, если она существует. \ [B = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 3} \\ {- 2} & 6 \ end {array}} \ right) \] Показать решениеВ этом случае мы используем тождество \ (2 \ times 2 \), чтобы получить новую матрицу, а затем попытаемся преобразовать первые два столбца в единичную матрицу \ (2 \ times 2 \).
\ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 3} & 1 & 0 \\ {- 2} & 6 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) \, \, \, \ begin {массив} {* {20} {c}} {2 {R_1} + {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \, \, \ left ({\ begin {array} {* {20} { r}} 1 & {- 3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \ end {array}} \ right) \, \, \]И дальше идти не надо.Чтобы идентификатор \ (2 \ times 2 \) находился в первых двух столбцах, мы должны иметь 1 во второй записи второго столбца и 0 во второй записи первого столбца. Однако нет способа получить 1 во второй записи второго столбца, которая сохранит 0 во второй записи в первом столбце. Следовательно, мы не можем получить тождество \ (2 \ times 2 \) в первых двух столбцах, и, следовательно, обратного к \ (B \) не существует.
Мы закончим обсуждение инверсий следующим фактом.{-1} \) НЕ будет существовать.
Я предоставлю вам проверить этот факт на двух предыдущих примерах.
Новый взгляд на системы уравнений
Нам нужно сделать быстрый пересмотр систем уравнений. Начнем с общей системы уравнений.
\ [\ begin {уравнение} \ begin {выровнено} {a_ {11}} {x_1} + {a_ {12}} {x_2} + \ cdots + {a_ {1n}} {x_n} & = {b_1} \ \ {a_ {21}} {x_1} + {a_ {22}} {x_2} + \ cdots + {a_ {2n}} {x_n} & = {b_2} \\ \ vdots \ hspace {0.8in} & \\ {a_ {n1}} {x_1} + {a_ {n2}} {x_2} + \ cdots + {a_ {nn}} {x_n} & = {b_n} \ end {выровнено} \ label { уравнение: уравнение1} \ end {уравнение} \]Теперь превратите каждую сторону в вектор, чтобы получить,
\ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {11}} {x_1} + {a_ {12}} {x_2} + \ cdots + {a_ {1n}}) {x_n}} \\ {{a_ {21}} {x_1} + {a_ {22}} {x_2} + \ cdots + {a_ {2n}} {x_n}} \\ \ vdots \\ {{a_ { n1}} {x_1} + {a_ {n2}} {x_2} + \ cdots + {a_ {nn}} {x_n}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} { * {20} {r}} {{b_1}} \\ {{b_2}} \\ \ vdots \\ {{b_n}} \ end {array}} \ right) \]Левую часть этого уравнения можно рассматривать как умножение матриц.
\ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {11}}} & {{a_ {12}}} & \ cdots & {{a_ {1n}}}} \ \ {{a_ {21}}} & {{a_ {22}}} & \ cdots & {{a_ {2n}}} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {{a_ {n1) }}} & {{a_ {n2}}} & \ cdots & {{a_ {nn}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {* {20} {r} } {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ \ vdots \\ {{x_n}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r }} {{b_1}} \\ {{b_2}} \\ \ vdots \\ {{b_n}} \ end {array}} \ right) \]Немного упрощая обозначения дает,
\ [\ begin {уравнение} A \ vec x = \ vec b \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]где, \ (\ vec x \) — вектор, компоненты которого являются неизвестными в исходной системе уравнений.Мы называем \ (\ eqref {eq: eq2} \) матричной формой системы уравнений \ (\ eqref {eq: eq1} \), а решение \ (\ eqref {eq: eq2} \) эквивалентно решению \ (\ eqref {eq: eq1} \). Процесс решения идентичен. Расширенная матрица для \ (\ eqref {eq: eq2} \) равна
\ [\ left ({A \, \, \, \ vec b} \ right) \]Когда у нас есть расширенная матрица, мы действуем так же, как и с системой, которая не была записана в матричной форме.
У нас также есть следующий факт о решениях \ (\ eqref {eq: eq2} \).
Факт
Учитывая систему уравнений \ (\ eqref {eq: eq2} \), у нас есть одна из следующих трех возможностей решения.
- Решений не будет.
- Будет ровно одно решение.
- Решений будет бесконечно много.
На самом деле, теперь мы можем пойти немного дальше. Поскольку мы предполагаем, что у нас столько же уравнений, сколько и неизвестных, матрица \ (A \) в \ (\ eqref {eq: eq2} \) является квадратной матрицей, и поэтому мы можем вычислить ее определитель.Это дает следующий факт.
Факт
Учитывая систему уравнений в \ (\ eqref {eq: eq2} \), мы имеем следующее.
- Если \ (A \) неособо, то у системы будет ровно одно решение.
- Если \ (A \) сингулярно, то у системы либо не будет решения, либо решений будет бесконечно много.
Матричная форма однородной системы
\ [\ begin {уравнение} A \ vec x = \ vec 0 \ label {eq: eq3} \ end {уравнение} \], где \ (\ vec 0 \) — вектор всех нулей.В однородной системе мы гарантированно имеем решение \ (\ vec x = \ vec 0 \). Приведенный выше факт для однородных систем равен
Факт
Для однородной системы \ (\ eqref {eq: eq3} \) имеем следующее.
- Если \ (A \) неособое, то единственным решением будет \ (\ vec x = \ vec 0 \).
- Если \ (A \) сингулярно, то у системы будет бесконечно много ненулевых решений.
Линейная независимость / Линейная зависимость
Это не первый раз, когда мы встречаемся с этой темой.Мы также увидели линейную независимость и линейную зависимость, когда рассматривали дифференциальные уравнения второго порядка. В этом разделе мы имели дело с функциями, но здесь концепция по сути та же. Если мы начнем с \ (n \) векторов,
\ [{\ vec x_1}, \, \, {\ vec x_2}, \, \, \ ldots, \, \, {\ vec x_n} \]Если мы сможем найти константы, \ (c_ {1} \), \ (c_ {2} \),…, \ (c_ {n} \) с как минимум двумя ненулевыми, такими, что
\ [\ begin {уравнение} {c_1} {\ vec x_1} + {c_2} {\ vec x_2} + \, \ ldots + {c_n} {\ vec x_n} = \ vec 0 \ label {eq: eq4} \ конец {уравнение} \], то мы называем векторы линейно зависимыми.Если в \ (\ eqref {eq: eq4} \) работают только константы \ (c_ {1} = 0 \), \ (c_ {2} \) = 0,…, \ (c_ {n} = 0 \), то векторы назовем линейно независимыми.
Если мы далее сделаем предположение, что каждый из векторов \ (n \) имеет \ (n \) компоненты, , то есть , каждый из векторов будет выглядеть так,
\ [\ vec x = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ \ vdots \\ {{x_n}} \ end { массив}} \ справа) \], мы можем получить очень простой тест на линейную независимость и линейную зависимость.Обратите внимание, что это не обязательно так, но во всей нашей работе мы будем работать с \ (n \) векторами, каждый из которых имеет \ (n \) компоненты.
Факт
Учитывая векторы \ (n \), каждый с компонентами \ (n \),
\ [{\ vec x_1}, \, \, {\ vec x_2}, \, \, \ ldots, \, \, {\ vec x_n} \]образуют матрицу,
\ [X = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{{\ vec x} _1}} & {{{\ vec x} _2}} & \ cdots & {{{ \ vec x} _n}} \ end {array}} \ right) \]Итак, матрица \ (X \) — это матрица, столбец \ (i ^ {\ text {th}} \) которой является вектором \ (i ^ {\ text {th}} \), \ ({\ vec x_i} \).Затем
- Если \ (X \) неособое (, т.е. \ (\ det (X) \) не равно нулю), то векторы \ (n \) линейно независимы, и
- , если \ (X \) сингулярно (, т.е. \ (\ det (X) = 0 \)), то векторы \ (n \) линейно зависимы, а константы, которые делают \ (\ eqref {eq: eq4} \) true можно найти, решив систему
\ [X \, \ vec c = \ vec 0 \]
, где \ (\ vec c \) — вектор, содержащий константы из \ (\ eqref {eq: eq4} \).{(3)}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 6 \\ {- 2} \\ 1 \ end {array}} \ right) \] Показать решение
Итак, первое, что нужно сделать, это сформировать \ (X \) и вычислить его определитель.
\ [X = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 2} & 6 \\ {- 3} & 1 & {- 2} \\ 5 & 4 & 1 \ end {array}} \ right ) \ quad \ quad \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ det \ left (X \ right) = — 79 \]Эта матрица неособая, поэтому векторы линейно независимы.{(3)}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 \\ {- 1} \\ 4 \ end {array}} \ right) \] Показать решение
Как и в предыдущем примере, сначала сформируйте \ (X \) и вычислите его определитель.
\ [X = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 4} & 2 \\ {- 1} & 1 & {- 1} \\ 3 & {- 6} & 4 \ end { array}} \ right) \ quad \ quad \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ det \ left (X \ right) = 0 \]Итак, эти векторы линейно зависимы.Теперь нам нужно найти взаимосвязь между векторами. Это означает, что нам нужно найти константы, которые сделают \ (\ eqref {eq: eq4} \) истинным.
Итак, нам нужно решить систему
\ [X \, \ vec c = \ vec 0 \]Вот расширенная матрица и решение для этой системы.
\ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 4} & 2 \\ {- 1} & 1 & {- 1} \\ 3 & {- 6} & 4 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} + {R_1}} \\ {{R_3} — 3 {R_1}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 4} & 2 \\ 0 & {- 3} & 1 \\ 0 & 6 & {- 2} \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ справа) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_3} + 2 {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} { r}} 1 & {- 4} & 2 \\ 0 & {- 3} & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {- \ frac {1} {3} {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \] \ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 4} & 2 \\ 0 & 1 & {- \ frac {1} {3}} \\ 0 & 0 & 0 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} + 4 {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 0 & {\ frac {2} {3}} \\ 0 & 1 & {- \ frac { 1} {3}} \\ 0 & 0 & 0 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} {{c_1} + \ frac {2} {3} {c_3} = 0} \\ {{c_2} — \ frac {1} {3} {c_3} = 0} \\ {0 = 0} \ end {array} \ quad \ Rightarrow \ quad \ begin {array} {* {20} {l}} {{c_1} = — \ frac {2} { 3} {c_3}} \\ {{c_2} = \ frac {1} {3} {c_3}} \\ {} \ end {array} \]Теперь нам нужны фактические значения для констант, поэтому, если использовать \ ({c_3} = 3 \), мы получим следующее решение \ ({c_1} = — 2 \), \ ({c_2} = 1 \), и \ ({c_3} = 3 \).{(3)}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \]
Исчисление с матрицами
В этом нет ничего особенного, кроме как просто убедиться, что мы можем иметь дело с исчислением с матрицами.
Во-первых, до этого момента мы рассматривали только матрицы с числами в качестве элементов, но элементы в матрице также могут быть функциями. Итак, мы можем посмотреть на матрицы в следующем виде:
\ [A \ left (t \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {11}} \ left (t \ right)} & {{a_ {12 }} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{a_ {1n}} \ left (t \ right)} \\ {{a_ {21}} \ left (t \ right)} & {{a_ {22}} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{a_ {2n}} \ left (t \ right)} \\ \ vdots & \ vdots & {} & \ vdots \\ {{a_ { m1}} \ left (t \ right)} & {{a_ {m2}} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{a_ {mn}} \ left (t \ right)} \ end {массив }} \верно)\]Теперь мы можем поговорить о дифференцировании и интегрировании матрицы такого вида.Чтобы дифференцировать или интегрировать матрицу этой формы, все, что мы делаем, — это дифференцируем или интегрируем отдельные записи.
\ [A ‘\ left (t \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{{a’} _ {11}} \ left (t \ right)} & {{{a ‘} _ {12}} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{{a’} _ {1n}} \ left (t \ right)} \\ {{{a ‘} _ {21}} \ left (t \ right)} & {{{a ‘} _ {22}} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{{a’} _ {2n}} \ left (t \ right)} \\ \ vdots & \ vdots & {} & \ vdots \\ {{{a ‘} _ {m1}} \ left (t \ right)} & {{{a’} _ {m2 }} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{{a ‘} _ {mn}} \ left (t \ right)} \ end {array}} \ right) \] \ [\ int {{A \ left (t \ right) \, dt}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {\ int {{{a_ {11}}} \ left (t \ right) \, dt}}} & {\ int {{{a_ {12}} \ left (t \ right) \, dt}}} & \ cdots & {\ int {{{a_ {1n) }} \ left (t \ right) \, dt}}} \\ {\ int {{{a_ {21}} \ left (t \ right) \, dt}}} & {\ int {{{a_ { 22}} \ left (t \ right) \, dt}}} & \ cdots & {\ int {{{a_ {2n}} \ left (t \ right) \, dt}}} \\ \ vdots & \ vdots & {} & \ vdots \\ {\ int {{{a_ {m1}} \ left (t \ right) \, dt}}} & {\ int {{{a_ {m2}} \ left (t \ right) \, dt}}} & \ cdots & {\ int {{{a_ {mn}} \ left (t \ right) \, dt}}} \ end {array}} \ right) \]Итак, когда мы сталкиваемся с подобными вещами, не волнуйтесь об этом. {- 1} \ mathbf {b} \]
Следующие примеры иллюстрируют основные свойства обратной матрицы.{-1} = а / а = 1 \).
NB: Иногда вы получаете очень маленькие недиагональные значения (например,
1.341e-13). Функцияzapsmall ()округляет их до 0.## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 1 0 0 ## [2,] 0 1 0 ## [3,] 0 0 13. Обратное —
рефлексивное :inv (inv (A)) = AДважды взяв обратное, вы вернетесь к тому, с чего начали.
## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 5 1 0 ## [2,] 3 -1 2 ## [3,] 4 0–14.
inv (A)является симметричным тогда и только тогда, когда A симметричен## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 0,0625 0,6875 0,25 ## [2,] 0,0625 -0,3125 0,25 ## [3,] 0,1250 -0,6250 -0,50## [1] ЛОЖЬ## [1] ЛОЖЬВот симметричный случай:
B <- матрица (c (4, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 3), nrow = 3, byrow = TRUE) inv (B)## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 0.50 -0,25 -0,25 ## [2,] -0,25 0,50 0,00 ## [3,] -0,25 0,00 0,50## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 0,50 -0,25 -0,25 ## [2,] -0,25 0,50 0,00 ## [3,] -0,25 0,00 0,50## [1] ИСТИНА## [1] ИСТИНА## [1] ИСТИНАДополнительные свойства обратной матрицы
1. матрица, обратная диагонали = диагональ (1 / диагональ)
В этих простых примерах часто бывает полезно показать результаты матричных вычислений в виде дробей, используя
MASS :: fractions ().## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 1 0,0 0,00 ## [2,] 0 0,5 0,00 ## [3,] 0 0,0 0,25## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 1 0 0 ## [2,] 0 1/2 0 ## [3,] 0 0 1/42. Обратное к обратному:
inv (inv (A)) = AA <- матрица (c (1, 2, 3, 2, 3, 0, 0, 1, 2), nrow = 3, byrow = TRUE) AI <- inv (A) inv (AI)## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 1 2 3 ## [2,] 2 3 0 ## [3,] 0 1 23.инверсия
транспонировать :inv (t (A)) = t (inv (A))## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 1,50 -1,0 0,50 ## [2,] -0,25 0,5 -0,25 ## [3,] -2,25 1,5 -0,25## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 1,50 -1,0 0,50 ## [2,] -0,25 0,5 -0,25 ## [3,] -2,25 1,5 -0,254. инверсия скалярной * матрицы:
inv (k * A) = (1 / k) * inv (A)## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 0.3 -0,05 -0,45 ## [2,] -0,2 0,10 0,30 ## [3,] 0,1 -0,05 -0,05## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 0,3 -0,05 -0,45 ## [2,] -0,2 0,10 0,30 ## [3,] 0,1 -0,05 -0,055. инверсия матричного произведения:
inv (A * B) = inv (B)% *% inv (A)B <- матрица (c (1, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 4, 1), nrow = 3, byrow = TRUE) C <- B [, 3: 1] А% *% В## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 9 20 10 ## [2,] 5 13 12 ## [3,] 5 11 4## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 4.0 -1,50 -5,50 ## [2,] -2,0 0,70 2,90 ## [3,] 0,5 -0,05 -0,85## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 4,0 -1,50 -5,50 ## [2,] -2,0 0,70 2,90 ## [3,] 0,5 -0,05 -0,85Это распространяется на любое количество членов: обратное произведение - произведение обратного произведения в обратном порядке.
## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 77 118 49 ## [2,] 53 97 42 ## [3,] 41 59 24## [, 1] [, 2] [, 3] ## [1,] 1.{-1} \)Определитель обратного является обратным (обратным) определителем
## [1] 0,25## [1] 0,25Геометрические интерпретации
Некоторые из этих свойств обратной матрицы легче понять из геометрических диаграмм. Здесь мы берем невырожденную матрицу \ (2 \ times 2 \) \ (A \),
## [, 1] [, 2] ## [1,] 2 1 ## [2,] 1 2## [1] 3Чем больше определитель \ (A \), тем меньше определитель \ (A ^ {- 1} \).
## [, 1] [, 2] ## [1,] 2/3 -1/3 ## [2,] -1/3 2/3## [1] 0,3333Теперь постройте строки \ (A \) как векторы \ (a_1, a_2 \) от начала координат в двухмерном пространстве. Как показано в виньетке
("det-ex1"), определяющим фактором является площадь параллелограмма, определяемая этими векторами.номинал (мар = c (3,3,1,1) +. 1) xlim <- c (-1,3) ylim <- c (-1,3) plot (xlim, ylim, type = "n", xlab = "X1", ylab = "X2", asp = 1) сумма <- A [1,] + A [2,] # рисуем параллелограмм, определяемый строками A многоугольник (rbind (c (0,0), A [1,], sum, A [2,]), col = rgb (1,0,0 ,.{-1} = I \). - Образование
- Исследовать
- Инновации
- Прием + помощь
- Студенческая жизнь
- Новости
- Выпускников
- О MIT
- Подробнее ↓
- Прием + помощь
- Студенческая жизнь
- Новости
- Выпускников
- О MIT
Можно задаться вопросом, зависят ли эти свойства от симметрии \ (A \), поэтому вот еще один пример для матрицы A <- matrix (c (2, 1, 1, 1), nrow = 2) , где \ (\ det (A) = 1 \).
## [, 1] [, 2]
## [1,] 2 1
## [2,] 1 1 ## [, 1] [, 2]
## [1,] 1 -1
## [2,] -1 2 Площади двух параллелограммов одинаковы, потому что \ (\ det (A) = \ det (A ^ {- 1}) = 1 \).
Матрицы решений, см. Полные решения
Рейтинг редактора:
Оценки пользователей:
[Всего: 0 Среднее: 0/5]Вот несколько хороших онлайн-калькуляторов матриц с шагами бесплатных сайтов . Вы можете найти обратный, определитель, сложение, вычитание матриц, мощность матрицы, умножение матриц, транспонирование и многое другое.Все, что вам нужно сделать, это добавить некоторые значения для входной матрицы (или матриц), а затем выбрать операцию вывода, которая может быть сложением, транспонированием, вычитанием и т. Д. После этого вы получите выходной ответ в поле.
Вам также видны шаги, связанные с тем, как решалась входная матрица. В то время как один веб-сайт позволяет вам расширять отдельные шаги по отдельности, другой веб-сайт позволяет вам видеть все шаги, не расширяя шаги вручную.
Давайте проверим этот бесплатный онлайн-калькулятор матриц, пошагово пошагово.
eMathHelp
eMathHelp (домашняя страница) поставляется с очень полезным инструментом для вычисления матриц. Он позволяет вам выбрать операцию (сложение, умножение, деление, найти обратное, определитель, возвести в степень, найти ранг и т. Д.) И добавить значения в матрицы. Как только вы это сделаете, вы можете использовать кнопку Calculate . Результат виден в рамке. Вы можете увидеть входные матрицы, шаги, как матрица решается, и выходную матрицу или ответ.
При желании можно также скрыть шаги вывода.С помощью этого решателя матриц для проверки шагов выходной матрицы все очень просто.
Symbolab
На веб-сайтеSymbolab есть отдельная функция «Калькулятор матриц», где вы можете создать матрицу с нуля или использовать доступные примеры. Существуют примеры, доступные для определителя, вычитания матриц, транспонирования и т. Д. Выберите пример, отредактируйте его, а затем вы сможете решить его и изучить все шаги. Чтобы показать все шаги, вам будет предложено выполнить обновление. Однако вы можете изучить отдельные шаги один за другим, чтобы вам не приходилось обновляться, и увидеть все шаги, необходимые для решения матрицы.
Вы также можете сохранить матричное уравнение и шаги в виде файла PDF на свой компьютер. Выходной PDF-файл будет содержать водяной знак веб-сайта, но это не проблема для личного использования.
Онлайн-школа MSchool
OnlineMSchool предлагает калькуляторы для сложения и вычитания матриц, транспонирования, скалярного умножения, степеней, рангов, определителей, обратных и транспонированных матриц. Вы можете выбрать любой из доступных инструментов, а затем добавить значения в матрицу. После этого вам нужно нажать кнопку « = », чтобы получить результат.
Вывод отображается как ответ, а также этапы создания этого вывода. Как матрица вывода, так и компоненты (шаги вывода) отображаются в отдельных полях. Таким образом, легко понять, что такое вывод без помех.
Заключение:
Это бесплатный и простой онлайн-калькулятор матриц с пошаговыми инструкциями. В этом списке я считаю, что первый веб-сайт лучше других. Его простой интерфейс, возможность выбора размеров матрицы и отображения / скрытия шагов вывода делают его хорошим веб-сайтом.
Страница не найдена | MIT
Перейти к содержанию ↓Попробуйте поискать что-нибудь еще! Что вы ищете? Увидеть больше результатов
Предложения или отзывы?
.