График функции sin модуль x: График y = sin│x│ — Построение графиков функции y=sinx содержащих переменную под знаком модуля

Вопрос: Постройте график y=sinx+sin п/3-x

Порядок просмотра сериалов, фильмов и спин-оффов следующий:

1. Наруто [ТВ-1] – ТВ (220 эп.), первый сериал, адаптация манги, 2002-2007

2. Наруто OVA-1 – OVA (1 эп.), дополнение к сериалу, 2003 (смотреть после 19 серии ТВ-1).

3. Наруто OVA-2 – OVA (1 эп.), дополнение к сериалу, 2003 (смотреть после 52 серии ТВ-1).

4. Наруто (фильм первый) – п/ф, дополнение к сериалу, 2004 (смотреть после 101 серии ТВ-1).

5. Наруто: Спортивный фестиваль Конохи – к/ф, приложение к первому фильму, 2004 (смотреть после первого фильма).

6. Наруто (фильм второй) – п/ф, дополнение к сериалу, 2005 (смотреть после 141 серии ТВ-1).

7. Наруто OVA-3 – OVA (1 эп.), дополнение к сериалу, 2005 (смотреть после 143 серии ТВ-1).

8. Наруто (фильм третий) – п/ф, дополнение к сериалу, 2006 (смотреть после 147 серии ТВ-1).

9. Наруто [ТВ-2] – ТВ (500 эп. ), второй сериал, адаптация манги, 2007 – 2017)

10. Наруто (фильм четвёртый) – п/ф, дополнение, 2007 (смотреть после 32 серии ТВ-2).

11. Наруто (фильм пятый) – п/ф, дополнение, 2008 (смотреть после 71 серии ТВ-2).

12 Наруто (фильм шестой) – п/ф, дополнение, 2009 (смотреть после 120 серии ТВ-2).

13 Naruto: The Cross Roads – к/ф, дополнение, 2009 (смотреть после 143 серии ТВ-2).

14. Наруто (фильм седьмой) – п/ф, дополнение, 2010 (смотреть после 175 серии ТВ-2).

15. Gekijouban Naruto Soyokazeden: Naruto to Mashin to Mitsu no Onegai Dattebayo!! – к/ф, дополнение к фильму, 2010 (смотреть после седьмого фильма).

16. Naruto x UT – музыкальное видео, дополнение, 2011 (6-минутный муз.клип, смотреть по желанию)

17. Наруто (фильм восьмой) – п/ф, дополнение, 2011 (смотреть после 260 серии ТВ-2).

18. Honoo no Chuunin Shiken! Naruto vs Konohamaru!! – к/ф, дополнение к фильму, 2011 (смотреть после восьмого фильма).

19. Наруто (фильм девятый) – п/ф, дополнение, 2012 (смотреть после 311 серии ТВ-2).

20. Naruto SD: Rock Lee no Seishun Full-Power Ninden – ТВ (51 эп.), ответвление сюжета, 2012-2013 (спинофф чиби-сериал, смотреть по желанию).

21. The Last: Naruto the Movie – п/ф, дополнение, 2014 (смотреть после 480 серии ТВ-2).

22. Boruto: Naruto the Movie – п/ф (1 эп. + 10-минутный спэшл Naruto ga Hokage ni Natta Hi), адаптация новой манги [новая эпоха], 2015 (смотреть желательно после того, как дочитаешь последнюю главу манги).

23. Boruto: Naruto Next Generations (>51 эп.), 2017-2018 (смотреть можно после 500 эп. Наруто [ТВ-2] и фильма Boruto: Naruto the Movie).

UPD: Последняя актуализация списка производилась 19.10.2017.

Блог: vk.com/animeshorts Твиттер: twitter.com/romor_on

Графики,содержащие знак модуля.Построение графиков,содержащих знак модуля. | Учебно-методический материал по алгебре (10 класс) по теме:

         

 Исследовательская работа

«Построение графиков

функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины»

                           

                                                             

                                                         

                                                2008  

               

Оглавление.

I. Введение——————————————————————————1

II. Основная часть.——————————————————————-1-13

    1. Историческая справка——————————————————- -3-4

    2.  Геометрическая интерпретация понятия |а|—————————- -4-5

    3.  График функции у=f |(х)|——————————————————5-8

    4. График функции у = | f (х)|  —————————————————8-10

    5. График функции  у=|f |(х)| | — —- ——————————————10-13

III. Заключение.————————————————————————-13

IV. Список литературы —————————————————————14

        

I. Введение.

        

         Построение графиков функций одна их интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано , то вы сразу видите параболу; если , вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же , то вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».

        Хотя уравнения с модулями мы начали изучать уже с 6-го – 7-го класса, где мы проходили самые азы уравнений с модулями, я выбрала именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах построения графиков, содержащих знак абсолютной величины.

        Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

        Объект исследования: линейные функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

        Методы исследования: построение графиков функций.

II. Основная часть.

1. Историческая справка.

          В первой половине ХVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты тоски кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. 

        Термин «функция» (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

            Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании  и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного  архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

      Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна  a, если a    больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

   Из определения следует, что для любого действительного числа a,

2. Геометрическая интерпретация понятия модуля |а|

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, это точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует её расстояние от начало отсчета, или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Длина отрезка всегда рассматривается как величина неотрицательная.   Геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией модуля данного действительного числа.

                                 

                                   -а                                     0                                   а

                             

                              3. График функции у=f |(х)|

у=f |(х)| — четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f(х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

Например, пусть графиком функции у=f(х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис.2.

                                                                                      Рис.1          

                                                                                       Рис.2.

1. Построить график функции у= |х|

1. Если х≥0, то |х| =х  и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.
2. Если х

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, я сделала  вывод, что второй получается из первого зеркальным отображением относительно ОХ той части первого графика, которая лежит под осью абсцисс. Это положение вытекает из определения абсолютной величины.

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?  Для этого я рассмотрела несколько  функций, и сделала для себя вывод.

 2. Например: у=х2 — |х| -3

а) Строю  у=х2 -х -3 для х>0.

Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а = , а > 0

1. х0 = —

 у0 =-4

(2; -4) – координаты вершины параболы.

2. х=0, у= -3

(0; — 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ.

3. у =0,  х2 -х -3 = 0

                  х2 -4х -12 = 0  Имеем, х1= — 2; х2 = 6.

(-2; 0) и (6; 0) – координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Если х

Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х0.

б) Поэтому достраиваю для х

   

Вывод: Для построения графика функции у=f |(х)|  

1. Достаточно построить график функции у=f(х) для х>0;
2. Строить для х

                                         4. График функции у = | f (х)|          

 По определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

у=f(х), если f(х) ≥0;  у  = — f(х), если f(х)

Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то | f (х)|  = f(х), значит в этой части график  функции у = | f (х)|  совпадает с графиком самой функции у=f(х). Если же f(х) f (х)| = — f(х),т.е. точка (х; | f (х)|  ) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ «отрицательную» часть графика.

1. Построить график функции у= | х2 – х – 6 |.

а) Построить график функции у=  х2 – х – 6 . Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вверх, т.к. а = 1, а >1.

 х0 = —

у0  = —       (1/2; — 6,25) координаты вершины

х=0; у = -6              (0; -6) координаты точки пересечения с осью ОУ.

у= 0, х2 – х – 6=0

    х1 = -2; х2 = 3.   (-2;0) и (3;0) –координаты точек пересечения с осью ОХ

б) Часть графика, расположенного в нижней полуплоскости, отобразить симметрично оси ОХ. (Рис.5)

Вывод: Для построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

(Рис.6, 7.)

     

                          5. График функции  у=|f |(х)| |

Применяя, определение абсолютной величины и исследуя, графиков функции

у = | 2 · |х | — 3|

у = | х2 – 5 · |х| |

у = | |х3 | — 2 |, я нашла алгоритм построения графиков.

 Для того чтобы построить график функции у=|f |(х)|  | надо:

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

1. у = | 2 · |х | — 3|

1) Строю  у = 2х-3, для х>0.   (1; -1)     (; 0)

2) Строю прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.  Рис.8

2. у = | х2 – 5 · |х| |

а) Строю график функции у = х2 – 5 х     для  х>0.

Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены, т.к. а=1, а>0

х0 = -;    

       у0  = 6,25 -12,5 = -6,25        (2,5; -6,25) – координаты вершины

х=0; у=0;                                     (0; 0) – координаты точки пересечения с осью ОУ

у=0;      х2 – 5 х =0                   (0; 0) и ( 5; 0) – координаты точек пересечения с осью ОХ.

х1 =0; х2=5

(Рис.9)

б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

3. у =| |х|3 | — 2 |

  а) Строю у=х3 -2 для х > 0.

     х1= 0; у1= -2

    у2 = 0; х3 -2 =0

                х2 =

 б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

 

 в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. (Рис.10)

III. Заключение.

При выполнении исследовательской  работы я делала такие выводы:

— сформировала алгоритмы построения графиков  функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|  

    1.Построить график функции у=f(х) для х>0;

2.Построить для х

Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)|  |

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

   — приобрела опыт построения графиков таких функций, как:

                                у=f |(х)|; у = | f (х)|;  у=|f |(х)| |;

    — научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор

       научных сведений;

   — приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере.

Список литературы:

1. И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»
2. Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука»
3. М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука»
4. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику.

Москва, «Просвещение».

у

0

х

0

у

х

х

у

х

у

Рис 3.

0

6

-6

-3

х

у

Рис.4

0

6

-6

-2

3

х

у

Рис.5

у

х

Рис.6

у

х

Рис.7

0

у

х

-3/2

3/2

-3

3

Рис.8

1

-1

-6

-6

0

5

5

Рис.9

-2

0

1

2

2

-2

у

х

Рис.10

Модуль math | Python 3 для начинающих и чайников

Модуль math – один из наиважнейших в Python. Этот модуль предоставляет обширный функционал для работы с числами.

math.ceil(X) – округление до ближайшего большего числа.

math.copysign(X, Y) — возвращает число, имеющее модуль такой же, как и у числа X, а знак — как у числа Y.

math.fabs(X) — модуль X.

math.factorial(X) — факториал числа X.

math.floor(X) — округление вниз.

math.fmod(X, Y) — остаток от деления X на Y.

math.frexp(X) — возвращает мантиссу и экспоненту числа.

math.ldexp(X, I) — X * 2ⁱ. Функция, обратная функции math.frexp().

math.fsum(последовательность) — сумма всех членов последовательности. Эквивалент встроенной функции sum(), но math.fsum() более точна для чисел с плавающей точкой.

math.isfinite(X) — является ли X числом.

math.isinf(X) — является ли X бесконечностью.

math.isnan(X) — является ли X NaN (Not a Number — не число).

math.modf(X) — возвращает дробную и целую часть числа X. Оба числа имеют тот же знак, что и X.

math.trunc(X) — усекает значение X до целого.

math.exp(X) — e^X.

math.expm1(X) — e^X — 1. При X → 0 точнее, чем math.exp(X)-1.

math.log(X, [base]) — логарифм X по основанию base. Если base не указан, вычисляется натуральный логарифм.

math.log1p(X) — натуральный логарифм (1 + X). При X → 0 точнее, чем math.log(1+X).

math.log10(X) — логарифм X по основанию 10.

math.log2(X) — логарифм X по основанию 2. Новое в Python 3.3.

math.pow(X, Y) — X^Y.

math.sqrt(X) — квадратный корень из X.

math.acos(X) — арккосинус X. В радианах.

math.asin(X) — арксинус X. В радианах.

math.atan(X) — арктангенс X. В радианах.

math.atan2(Y, X) — арктангенс Y/X. В радианах. С учетом четверти, в которой находится точка (X, Y).

math.cos(X) — косинус X (X указывается в радианах).

math.sin(X) — синус X (X указывается в радианах).

math.tan(X) — тангенс X (X указывается в радианах).

math.hypot(X, Y) — вычисляет гипотенузу треугольника с катетами X и Y (math.sqrt(x * x + y * y)).

math.degrees(X) — конвертирует радианы в градусы.

math.radians(X) — конвертирует градусы в радианы.

math.cosh(X) — вычисляет гиперболический косинус.

math.sinh(X) — вычисляет гиперболический синус.

math.tanh(X) — вычисляет гиперболический тангенс.

math.acosh(X) — вычисляет обратный гиперболический косинус.

math.asinh(X) — вычисляет обратный гиперболический синус.

math.atanh(X) — вычисляет обратный гиперболический тангенс.

math.erf(X) — функция ошибок.

math.erfc(X) — дополнительная функция ошибок (1 — math.erf(X)).

math.gamma(X) — гамма-функция X.

math.lgamma(X) — натуральный логарифм гамма-функции X.

math.pi — pi = 3,1415926…

math.e — e = 2,718281…

Свойства функций y=sin x, y=cos x и их графики. Преобразование графиков на примере тригонометрических функций

Тема урока: Свойства функций y=sin x, y=cos x и их графики. Преобразование графиков на примере тригонометрических функций (практическое занятие)

Цели урока: Вспомнить тригонометрические функции, их графики; рассмотреть геометрические преобразования графиков функций Научится строить графики сложных функций с использованием параллельного переноса, растяжения, сжатия, симметрии относительно осей координат графиков известных функций, показать построение графиков, содержащих модуль, а также с последовательным применением нескольких способов. прививать интерес к математике; воспитывать графическую культуру, умение видеть красоту математики.

0 х у Параллельный перенос вдоль оси OX

0 1 x y -1 ) 3 sin( p + = x y

1 -1 y x ) 3 tg( p - = x y

0 х у Параллельный перенос вдоль оси Oy

0 1 x y -1

0 1 -1 y x

0 х у a > 1 Растяжение (сжатие) в a раз вдоль оси OX 0 < a < 1

0 1 x y -1 2 cos = x y

0 1 x y -1

0 х у 0 < a < 1 Растяжение (сжатие) в а раз вдоль оси Oy a> 1

0 1 x y -1

1 -1 y x

0 х у Преобразование симметрии относительно оси Оy

у = sin (-x) у = sin x у = sin (-x)

0 х у Преобразование симметрии относительно оси Оx

y= tg x y= — tg x y= — tg x

0 х у Cправа от оси Оу график без изменений, а слева – симметрично правому относительно оси Оу

у = sin │x│ у = sin x

0 х у Выше оси Ох график без изменений, а ниже – симметрично относительно оси Ох

y= tg x y=│ tg x │

0 1 x y -1 sin = x y -2 3 sin = x y 3 sin = x y -2 3 sin = x y

0 1 x y -1 Y=cosx Y=cos2x Y=-cos2x Y=-cos2x+3 Y=-cos2x+3

Самостоятельная работа

Критерий оценки С/Р 3-5 баллов – 1 задание «построить» По1баллу за правильную формулу (1б.5) – 2 задание «определить формулу» По 2 балла (2б.4)– 3 задание «определить вид преобразования» max=18 баллов

1в) y = 2sinx-1 Построить самостоятельно:

0 1 x y -1

0 1 x y -1

0 х у 4 1 2 3 5 1 -1 Определите формулы, соответствующие графикам функций

X Y 1 2 -2 -1 - X Y 1 2 -1 -2 X Y 1 2 -1 -2 Определить вид преобразований. Назвать формулу функции по графику X Y 1 1 2 -2 -1 а) б) в) г)

Критерий оценки С/Р 3-5 баллов – 1 задание «построить» По1баллу за правильную формулу (1б.5) – 2 задание «определить формулу» По 2 балла (2б.4)– 3 задание «определить вид преобразования» max=18 баллов

Проверка результатов работы Слайд 1 Слайд 2 — растяжение по оси ОУ в 2 раза — сжатие по оси ОУ в 2 раза — сжатие по оси ОХ в 2 раза — растяжение по оси ОХ в 2 раза

Выставление оценок по критериям 9-12 баллов – «3» 13-16 баллов – «4» 17-18 баллов – «5»

Подведение итогов урока Графики функций широко используются в различных областях науки, поэтому умение строить, “читать”, прогнозировать их “поведение”, имеет огромную роль в практической деятельности разных специальностей.

Домашнее задание Построить графики, найти D(y), E(y)

Построение графиков с модулем — презентация онлайн

|x | =
{
x, если x 0
-x, если x
|x| = {
X , ЕСЛИ X ≥ 0
— X , ЕСЛИ X
-3
-2
-1
|-3|
0
=
1
2
3
3
-3
-2
-1
|3|
0
=
1
2
3
3
yy
0
xx
y
0
1.Построим график y=f(x)
2.Оставить часть графика
в правой полуплоскости
x
3.В левой полуплоскости
нарисовать часть графика
симметричную, правой
y
0
2.Оставить часть графика
в правой полуплоскости
x
y
0
1.Построим график y=f(x)
2.Оставить часть графика в
правой полуплоскости
3.В левой полуплоскости
нарисовать часть графика
симметричную левой
x
у
0
х
1) Построить график y=f(x).
y
x
0
2) Оставить часть графика в верхней
полуплоскости.
y
x
0
y
3) Часть графика нижней
полуплоскости отобразить
зеркально в верхнюю
полуплоскость.
x
0
1) Построить график y =f(x)
2) Оставить часть графика в верхней
полуплоскости
y 3) Часть графика нижней полуплоскости
отобразить зеркально в верхнюю
полуплоскость
x
0
y
0
x
1. Построить график y=f(x)
y
0
x
2. Оставить часть графика
в верхней полуплоскости
y
0
x
y
0
3. Часть графика верхней
полуплоскости отобразить
зеркально в нижнюю
полуплоскость.
x
I. Графики y=kx+b и
y=k|x|+b
y
y=k|x|+b
x
0
y=kx+b
II.Графики y=kx+b
y=|kx+b|
y
y=|kx+b|
0
x
y=kx+b
III.Графики y=kx+b
y
|y|=kx+b
y=kx+b
x
0
|y|=kx+b
I. Графики y=k/x, k
y=k/|x|, k
y
y=k/|x|, k
0
x
y=k/x, k
II Графики y=k/x, k
y=|k/x|, k
y
y=|k/x|, k
0
x
y=k/x, k
III.График y=k/x, k
|y|=k/x, k
y
y = k / x , k
0
|y| = k / x , k
x
I. График y=ax²+bx+c и
y=a|x|²+b|x|+c
y
y=a|x|²+b|x|+c
y=ax²+bx+c
0
x
II. График y=ax²+bx+c и
y=|ax²+bx+c|
y
y=|ax²+bx+c|
y=ax²+bx+c
0
x
III. Графики
y=ax²+bx+c
|y|=ax²+bx+c
y
y=ax²+bx+c
x
|y|=ax²+bx+c
y
IV. График y=sin x и
sin |x|
y=sin x
x
0
y=sin |x|
y
II. График y=sin x и
y=|sin x|
y=|sin x|
x
0
y=sin x
III. График y=sin x и
|y|=sin x
y
y=sin x
0
x
|y|=sin x
I. Графики y=tg x
y
y=tg |x|
y=tg x
0
y=tg |x|
x
II.График y=tgx
y
y=|tgx|
y=|tgx|
x
0
y=tgx
III.Графики y=tg x
|y|=tg x
y
y=tg x
0
x
|y|=tg x
II. Графики y=logax
y=loga|x|y
y
y=loga|x|
x
0
y=logaxy
II. Графики y=logax
y
y=|logaxy|
y=|logax|
x
0
y=logaxy
III. Графики y=logax
|y|=logaxy
y
Y=logax
x
0
1
|y|=logax

Графики функций и поверхностей в Python Питон Matplotlib

Построение графиков с помощью модуля Matplotlib в Python Питон.

В этом уроке мы разберём, как строить графики функций с помощью модуля Matplotlib в Python Питон.
Matplotlib это библиотека для Python, предназначенная для визуализации данных. В данном уроке мы разберём построение графиков функций в Питон на плоскости и построение поверхности в трёхмерном пространстве. Зачастую, именно Matplotlib используется в научных исследованиях и конференциях для демонстрации полученных данных.
Для построения графиков нужно импортировать модуль Pyplot. Pyplot это модуль для работы с графиками в Питоне. Pyplot это набор команд, созданных для построения графиков функций и уравнений. Для удобного построения графиков так же нужно использовать библиотеку

NumPy.
Matplotlib, как и NumPy, встроен в среду разработки Spyder, поэтому их можно импортировать без предварительной установки.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
as np и as plt означает, что когда мы будем вызывать функции и процедуры из модулей, вместо названия модулей мы будем использовать np и plt.
Для построения графика функции в Python нужно задать саму функцию. Её можно задать с помощью лямбда-функции. Лямбда-функция — это краткий способ записи обычной функции в одну строчку. В этом уроке мы рассмотрим построение синусоиды на Питоне. Синусоида задаётся функцией f(x) = sin(x).
y = lambda x: np.sin(x)
y это обозначение функции (для её вызова мы будем использовать y(x)), lambda это ключевое слово, обозначающее начало задания лямбда-функции, x это аргумент, использующийся в функции, после двоеточия задаётся функция. Так как в стандартном Python нет функции, возвращающей синус x, мы его задаём с помощью NumPy, его мы импортировали под именем np.
Все действия в Pyplot производятся на рисунках. Для построения графика функции в Python нужно сначала задать сетку координат. Сетка координат в python задается с помощью команды  plt.subplots().
fig = plt.subplots()
Мы должны определить область значений, на которой мы будем строить график функции в Питоне. Это делается с помощью linspace.
x = np.linspace(-3, 3, 100)
linspace создаёт массив с нижней границей -3 и верхней границей 3, в созданном массиве будет 100 элементов. Чем больше будет последнее число, тем больше значений функции будет рассчитываться, тем точнее будет отображаться график в Python.
После того, как мы создали систему координат, область построения, мы можем построить график в

Питон. Для построения графика фуекции в Python нужно использовать команду plt.plot(x, y(x)), где x это аргумент, y(x) это функция от x, заданная с помощью лямбда-выражения.
plt.plot(x, y(x))
После того, как мы построили  график в Python, нужно показать его на рисунке. Для этого используется plt.show().
Полный код программы на python для рисования графика функции
# импортируем модули
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# функция
y = lambda x: np.sin(x)
# создаём рисунок с координатную плоскость
fig = plt.subplots()
# создаём область, в которой будет
# — отображаться график
x = np.linspace(-3, 3,100)
# значения x, которые будут отображены
# количество элементов в созданном массиве
# — качество прорисовки графика 
# рисуем график
plt.plot(x, y(x))
# показываем график
plt.show()

Получим график синусоиды в python в отдельном окне

 

Отображение нескольких графиков на одном рисунке в Python

В одной области в python можно отобразить графики нескольких функций. Добавим aeyrwb. y=x  и нарисуем ее совместно с синусоидой.
Для этого введем еще одну функцию с помощью lambda
y1=lambda x: x
Построим график этой функции
plt.plot(x,y1(x))
В итоге программа в Python для построения графиков двух функций в одном окне

# импортируем модули
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# функция
y = lambda x: np.sin(x)
y1=lambda x: x
# создаём рисунок с координатную плоскость
fig = plt.subplots()
# создаём область, в которой будет
# — отображаться график
x = np.linspace(-3, 3,100)
# значения x, которые будут отображены
# количество элементов в созданном массиве
# — качество прорисовки графика 
# рисуем график
plt.plot(x, y(x))
plt.plot(x,y1(x))
# показываем график
plt.show()

Трехмерные поверхности в Python

В трёхмерном пространстве каждая точка задаётся тремя координатами, следовательно, в трёхмерном пространстве нужно два аргумента для задания функции.2
от двух аргументов. Аргументы x и y, функция z.
f = lambda x, y: x ** 2 — y ** 2
Чтобы начать рисовать трехмерные поверхности в Python нужно сначал задать область построения с помощью функции  plt.figure принимает параметр figsize(x, y), где x и y – ширина и высота рисунка в дюймах. Создадим рисунок в Python размером 12×6 дюймов для отображения графиков
fig = plt.figure(figsize = (12, 6))
В построенной области мы создадим рисунок, в котором будут отображено трёхмерное пространство с координатными осями и сама поверхность. В Питоне для этого используется fig.add_subplot(). 
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’)
Функция в Python fig.add_subplot() разбивает область построения на клетки и задает в какой клетке рисовать трехмерный график. Так команда ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’) разбивает область построения на две клтки и в первую клетку будет отображаться трехмерный гарфик, благодаря аргументу projection = ‘3d’ 
Введём области отображения функции для каждого аргумента в Питон.
xval = np.linspace(-5, 5, 100)
yval = np.linspace(-5, 5, 100)
Нужно создать поверхность, которая будет отображаться на рисунке в Python. Для этого используется
surf = ax.plot_surface(x, y, z, rstride = 4, cstride = 4, cmap = cm.plasma)
Где x и y это принимаемые аргументы, z это получаемая функция, rstride и cstride отвечает за шаг прорисовки поверхности в Питон, чем меньше будут эти значения, тем более плавно будет выглядеть градиент на поверхности. С помощью cmap.plasma поверхность будет отображаться с цветовой схемой plasma. Например, существуют цветовые схемы, такие как viridis и magma. Полный список цветовых схем есть на сайте Matplotlib.
Пример программы на Python построение поверхности в трёхмерном пространстве# импортируем модули
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
from matplotlib import cm
import matplotlib.pyplot as plt
# уравнение поверхности
f = lambda x, y: x ** 2 — y ** 2
# создаём полотно для рисунка
fig = plt.figure(figsize = (10, 10))
# создаём рисунок пространства с поверхностью
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’)
# размечаем границы осей для аргументов
xval = np.linspace(-4, 4, 100)
yval = np.linspace(-4, 4, 100)
# создаём массив с xval столбцами и yval строками
# — в этом массиве будут храниться значения z
x, y = np.meshgrid(xval, yval)
# приравниваем z к функции от x и y 
z = f(x, y)
# создаём поверхность
surf = ax.plot_surface(
# отмечаем аргументы и уравнение поверхности
x, y, z, 
# шаг прорисовки сетки
# — чем меньше значение, тем плавнее
# — будет градиент на поверхности
rstride = 10,
cstride = 10,
# цветовая схема plasma
cmap = cm.plasma)

Получим график трехмерной поверхности в цветовой гамме в специальном окне

Изменим параметры построения трехмерной поверхности, уменьшим размер сетик, сделаем поверхность более плавной и точной для этого уменьшаем параметры и сменим цветовую гамму на viridis

rstride = 2,
cstride = 2,
cmap = cm.viridis)

Получим график трехмерной поверхности в Python более точный и в другой цветовой гамме

Вернуться к содержанию курса python Следующая тема Классы в Питон

Поделиться:

 

 

как построить – сложное простыми словами — ЕГЭ/ОГЭ

График модуля, как построить – очень просто. Особенно, если знать несколько закономерностей. О них расскажу в статье. С помощью них вы поймете как построить график модуля легко и играючи. Без поиска пробных точек.

На самом деле построение графиков функций с модулями – это удовольствие. Раньше они вызывали у вас в лучшем случае пренебрежение? Забудьте – после прочтения статьи вы будете первым по скорости построения графика.

 

 

Построение различных видов графиков, содержащих модуль:

 

• Воландеморт среди модулей

• Как калькулятор может помочь при построении графика?

• Как построить график модуля и одновременно решить уравнение

• Война среди модулей

 

Господа, перед тем, как мы приступим к светской беседе с модулем. (В которой отдадим дань уважения каждому его виду). Я бы хотел обратить ваше внимание, что модуль никогда не бывает отрицательным. Отсюда и все особенности его графика.

Подмечайте фишки каждой функции, но главное – держите в голове его «неотрицательность».

Главный миф о сложности графиков модуля – полный модуль по правой части

Забудьте сказки про сложность модуля – ведь теперь вы скоро узнаете о методе «Зеркало».

Модуль всей правой части y = |f(x)| отражает график относительно оси X. Все, что было под осью Ox зеркально отражается наверх.

Почему так? Обратите внимание, что значение функции (то есть y) является результатом вычисления модуля. Оно не может быть отрицательным. Согласны? Значит, его заменяют на противоположное ему по знаку. А в построении функций эти зеркальные превращения и есть смена знака у функции.

Уже чувствуете себя как Алиса в Зазеркалье? Ничего страшного – объясню на примере:

Пример: y = |X – 3|

Видите, график функции y = |X – 3| состоит из двух ветвей. Первая y = X – 3, а вторая y = – (X – 3) = 3 – X. Все по определению модуля – не придраться. Зеркально отраженная функция и есть противоположная по знаку той, которую отражали.

Можете так себя проверять – сначала просто отзеркальте конец, который улетает в отрицательную бесконечность (под ось Ох). А потом посмотрите, действительно ли он совпадает с минусовой версией подмодульного выражения. Уверяю, если вы были аккуратны – совпадет.

*Читайте понятное определение модуля в статье «Простая инструкция: как решать любые уравнения с модулем». После ее прочтения вы научитесь расправляться со всеми видами уравнений с модулем с помощью всего 1 инструкции!

А теперь перейдем к функции, которая заставляет поежиться от недовольства слишком многих. Если б они знали, что ее настолько просто начертитить…то стали бы решать уравнения с ней только графически.

Воландеморт среди модульных функций — Полный модуль по правой части

Модуль всей левой части |y| = f(x) отражает график относительно оси X. Все, что было над осью Oх зеркально отражается вниз.

 

 

 

Смотрим, что является результатом вычисления подмодульного выражения? Ага, все, что стоит справа. Значит, в данном случае Рубиконом является ось Oy – отзеркаливаем относительно нее.

Пример: |y| = X – 3

Мы разобрали две базы графиков с модулями. Дальше уже идут вариации с дополнительными математическими па: поднимите график, опустите, сузьте – расширьте. Давайте и их разберем!

 

 

Как калькулятор может помочь при построении графика? — График содержащий модуль

 

 

Это пример сложной функции, такие функции строятся по этапам. Сложной – не потому что она поддается только сильнейшим умам. Просто в ней собрано несколько последовательных действий: модуль и сложение с «потусторонним членом».

С такими функциями работает способ «калькулятор».

Представьте, что вам нужно вычислить выражение: (217 – 327)/72. С чего вы начнете? Вероятно, с возведения в степень, продолжите подсчетом числителя и только потом перейдете к делению. Будете идти от малого к большому.

Тот же метод работает и со сложной функцией. Начните с ядра и продолжайте справляться со всеми остальными прибамбасами вокруг него.

Пример: y = |x–3| + 5 ( ядром является график прямой y=x-3)

1. Y = X – 3                 {строим график прямой}

 

2. Y = |X –3|                {отражаем график относительно оси X}

 

3. Y = |X – 3| + 5        {поднимаем график 2. на +5}.

 

Вспомните суперспособности графиков – положительное число поднимает график, а отрицательное опускает (вверх/вниз относительно оси Ox). Причем, нет ничего страшного в том, что модульная галка окажется под прямой Ox (в отрицательной области) – это необходимые последующие действия с графиком.

Иногда в качестве «потустороннего члена» выступает переменная. Тут уж хитрить с отражениями и подниманиями – не получится. Придется раскрывать алгебраически модуль для каждого интервала – и уже по вычисленному выражению чертить ветви графика.

О том, как легко раскрыть модуль – написано в статье – Решение уравнений с модулем.

А мы двигаемся навстречу забора из модуля. По правде, такой вид функций очень полезно уметь чертить. Этот скилл способен сэкономить вам время. Ведь частенько по графику намного точнее и проще найти корни уравнения такого вида.

Как построить график модуля и одновременно решить уравнение — Модуль внутри модуля

Пример: y = ||X–2|–3|

{Порядок действий как при работе со сложной функцией – пользуемся методом «Калькулятор»}

1. Y = X – 2

2. Y = |X – 2|

 

3. Y = |X – 2|–3

4. Y = ||X – 2|–3|

Согласитесь, что раскрывать уравнения такого типа довольно муторно. Да и велик риск просчитаться. Начертить график и по нему оценить корни (иногда точно их посчитать) супер просто.

Поэтому графический метод решения уравнений нужно эксплуатировать на все 100% именно в этом случае.

 

 

 

 

Теперь нас ждет один из самых непредсказуемых графиков из всего рода модулей. Никогда не знаешь, что именно он приподнесет. Но и с этой неприятной неожиданностью научимся работать)

 

 

 

Война среди модулей — Несколько модулей

Что делать если в бой вступает сразу несколько модулей? – К сожалению, бороться с ними приходится с помощью арифметики и алгебры. Приходится аккуратно раскрывать на разных областях. Так же, как при решении модульных уравнений – алгебраически.

*Подробнее о том, как раскрывать модуль читайте в статье «Простая инструкция: как решать любые уравнения с модулем». В ней на пальцах объяснено, как раскрыть забор из модулей и НЕ запутаться.

Y = |X–2|+|X+2|

I ) X ∈ (–∞;–2] {1 модуль с «–» , 2 модуль с «–»}

Y₁ = – (X – 2) – (X + 2)

Y₁ = – X + 2 – X – 2

Y₁ = –2X

II ) X ∈ (–2;2] {1 модуль с «–» , 2 модуль с «+»}

Y₂ = – (X – 2) + (X + 2)

Y₂ = – X + 2 + X + 2

Y₂ = 4

III) X ∈ (2; +∞) {1 модуль с «+» , 2 модуль с «+»}

Y₃ = (X – 2) + (X + 2)

Y₃ = 2X

Вот такая галочка получилась из трех кусочков различных функций.

 

 

 

Вы уже заметили, что все модульные функции являются кусочно заданными? Их особенностью является то, что они существуют только на определенных интервалах.

 

Главное в модулях – понять закономерности. Дальше все пойдет как по маслу. Надеюсь, мне удалось хоть немного прояснить график модуля, как его построить и не надорваться в счете.

Остались вопросы? – обращайтесь! Я с удовольствием проведу первую консультацию бесплатно. Запишитесь на первое бесплатное занятие: напишите мне на почту или в сообщениях ВКонтакте)

До встречи, Ваш Михаил

Что такое период синусоидальной функции?

Обновлено 30 ноября 2020 г.

Автор: Элиза Хансен

Период синусоидальной функции равен 2π , что означает, что значение функции одинаково каждые 2π единиц.

Синусоидальная функция, такая как косинус, тангенс, котангенс и многие другие тригонометрические функции, является периодической функцией , что означает, что она повторяет свои значения через равные промежутки времени или «периоды». В случае синусоидальной функции этот интервал равен 2π.

TL; DR (слишком долго; не читал)

TL; DR (слишком долго; не читал)

Период синусоидальной функции равен 2π.

Например, sin (π) = 0. Если вы прибавите 2π к значению x , вы получите sin (π + 2π), который равен sin (3π). Как и sin (π), sin (3π) = 0. Каждый раз, когда вы добавляете или вычитаете 2π из нашего значения x , решение будет тем же.

Вы можете легко увидеть период на графике как расстояние между «совпадающими» точками.Поскольку график y = sin ( x ) выглядит как один шаблон, повторяющийся снова и снова, вы также можете думать об этом как о расстоянии по оси x перед графиком. начинает повторяться.

На единичной окружности 2π — это полный оборот по окружности. Любая величина, превышающая 2π радиан, означает, что вы продолжаете двигаться по кругу — это повторяющийся характер синусоидальной функции и еще один способ проиллюстрировать, что каждые 2π единицы значение функции будет одинаковым.

Изменение периода функции синуса

Период основной функции синуса

y = \ sin (x)

равен 2π, но если x умножить на константу, это может измениться стоимость периода.

Если x умножить на число больше 1, это «ускорит» функцию, и период будет меньше. Функция не займет много времени, чтобы начать повторяться.

y = \ sin (2x)

удваивает «скорость» функции.Период равен всего π радиан.

Но если x умножить на дробь от 0 до 1, это «замедлит» функцию, а период будет больше, потому что для повторения функции требуется больше времени.

y = \ sin \ bigg (\ frac {x} {2} \ bigg)

снижает «скорость» функции вдвое; требуется много времени (4π радиан), чтобы завершить полный цикл и начать повторяться снова.

Найдите период синусоидальной функции

Допустим, вы хотите вычислить период модифицированной синусоидальной функции, например

y = \ sin (2x) \ text {или} y = \ sin \ bigg (\ frac { x} {2} \ bigg)

Коэффициент x является ключевым; назовем этот коэффициент B .

Итак, если у вас есть уравнение в форме y = sin ( Bx ), тогда:

\ text {Period} = \ frac {2π} {| B |}

Бары | | означает «абсолютное значение», поэтому, если B — отрицательное число, вы должны просто использовать положительную версию. Если бы, например, B было −3, вы бы просто выбрали 3.

Эта формула работает, даже если у вас есть сложный вариант синусоидальной функции, например

y = \ frac {1} { 3} × \ sin (4x + 3)

Коэффициент x — это все, что имеет значение для вычисления периода, поэтому вы все равно должны:

\ text {Period} = \ frac {2π} {| 4 |} \\ \, \\ \ text {Period} = \ frac {π} {2}

Найдите период любой триггерной функции

Чтобы найти период косинуса, тангенса и других триггерных функций, вы используйте очень похожий процесс.Просто используйте стандартный период для конкретной функции, с которой вы работаете при расчетах.

Поскольку период косинуса равен 2π, то же самое, что и синус, формула для периода функции косинуса будет такой же, как и для синуса. Но для других триггерных функций с другим периодом, таких как тангенс или котангенс, мы сделаем небольшую корректировку. Например, период детской кроватки ( x ) равен π, поэтому формула для периода y = детская кроватка (3 x ) следующая:

\ text {Period} = \ frac {π} {| 3 |}

, где мы используем π вместо 2π.

\ text {Period} = \ frac {π} {3}

Как найти период синусоидальной функции — видео и стенограмма урока

Шаги для решения

Функция называется периодической , если она повторяется бесконечно в обоих направлениях. Синусоидальная функция , подобная приведенной ниже, известна как периодическая тригонометрическая функция.

Синусоидальная функция периодическая

Когда функция является периодической, как функция синуса, у нее есть нечто, называемое периодом.Период периодической функции — это интервал значений x , на котором возникает одна копия повторяющегося шаблона. Обратите внимание, что на графике синусоидальной функции показано, что f ( x ) = sin ( x ) имеет период 2π, потому что график от x = 0 до x = 2π повторяется навсегда в обоих случаях. направления.

Хорошо, пока все хорошо, правда? Мы видим, что основная синусоидальная функция имеет период 2π. Однако существуют разные варианты синусоидальной функции.Другими словами, функция синуса имеет вид f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , где A , B , C , а D может быть любым числом. Из-за этого функция может принимать множество различных форм, и форма определяет период. Теперь, прежде чем вы отчаиваетесь, у меня хорошие новости! У нас есть действительно простой способ определить период синусоидальной функции.

Если у нас есть синусоидальная функция вида f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , то период функции равен 2π / | B |.Следовательно, чтобы найти период функции f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , мы выполняем следующие шаги:

1. Идентифицируем B в функция f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D .
2. Вставка B в 2π / | B |.

Например, рассмотрим функцию f ( x ) = 3sin (π x + 1) — 7.Чтобы найти период этой функции, мы сначала идентифицируем B , которое является числом перед x — или, в данном случае, это π. Затем мы просто подставляем B = π в нашу формулу периода.

Период = 2π / | B | = 2π / | π | = 2

Мы получаем, что период функции f ( x ) = 3sin (π x + 1) — 7 равен 2, и это говорит нам, что один цикл функции повторяется каждые 2 единицы навсегда в обоих направлениях.

Период и амплитуда — тригонометрия

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Абсолютные функции значений · Алгебра и тригонометрия

Абсолютные функции · Алгебра и тригонометрия

В этом разделе вы:

• Постройте график функции абсолютного значения.
• Решите уравнение абсолютного значения.

До 1920-х годов считалось, что так называемые спиральные туманности представляют собой облака пыли и газа в нашей галактике, находящейся на расстоянии нескольких десятков тысяч световых лет от нас. Затем астроном Эдвин Хаббл доказал, что эти объекты сами по себе являются галактиками на расстояниях в миллионы световых лет. Сегодня астрономы могут обнаруживать галактики, удаленные от нас на миллиарды световых лет. Расстояния во Вселенной можно измерить во всех направлениях.Таким образом, полезно рассматривать расстояние как функцию абсолютного значения. В этом разделе мы продолжим наше исследование функций абсолютного значения .

Общие сведения об абсолютном значении

Напомним, что в его основной форме f (x) = \ | x \ |,

функция абсолютного значения — это одна из функций нашего инструментария. Функция абсолютного значения обычно рассматривается как обеспечивающая расстояние, на которое число от нуля на числовой прямой. Алгебраически, для любого входного значения, выход — это значение без учета знака.Зная это, мы можем использовать функции абсолютного значения для решения некоторых видов реальных проблем.

Функция абсолютного значения

Функцию абсолютного значения можно определить как кусочную функцию

f (x) = \ | x \ | = {xifx≥0 − xifx <0

Использование абсолютного значения для определения сопротивления

Электрические детали, такие как резисторы и конденсаторы, имеют указанные значения рабочих параметров: сопротивление, емкость и т. Д.Однако из-за неточности изготовления фактические значения этих параметров несколько различаются от детали к детали, даже если они предполагаются одинаковыми. Лучшее, что могут сделать производители, — это попытаться гарантировать, что отклонения останутся в пределах указанного диапазона, часто ± 1%, ± 5%,

.

или ± 10%.

Предположим, у нас есть резистор номиналом 680 Ом, ± 5%.

Используйте функцию абсолютного значения, чтобы выразить диапазон возможных значений фактического сопротивления.

Мы можем найти, что 5% от 680 Ом составляет 34 Ом. Абсолютное значение разницы между фактическим и номинальным сопротивлением не должно превышать заявленную изменчивость, поэтому при сопротивлении R

Ом,

\ | R − 680 \ | ≤34

Учащиеся, набравшие в пределах 20 баллов из 80, пройдут тест. Запишите это как расстояние от 80, используя обозначение абсолютного значения.

с использованием переменной p

за прохождение, \ | p − 80 \ | ≤20

Построение графика функции абсолютного значения

Наиболее важной особенностью графика абсолютных значений является угловая точка, в которой график меняет направление.Эта точка показана в исходной точке в [ссылка].

[ссылка] показывает график y = 2 \ | x – 3 \ | +4.

График y = \ | x \ |

был смещен вправо на 3 единицы, растянут по вертикали в 2 раза и сдвинут на 4 единицы вверх. Это означает, что угловая точка находится в (3,4)

.

для этой преобразованной функции.

Написание уравнения для функции абсолютного значения на основе графика

Напишите уравнение для функции, изображенной на [ссылка].

Основная функция абсолютного значения изменяет направление в начале координат, поэтому этот график сдвинут вправо на 3 единицы и на 2 единицы вниз от базовой функции инструментария. См. [Ссылка].

Мы также замечаем, что график выглядит растянутым по вертикали, потому что ширина окончательного графика на горизонтальной линии не равна двукратному расстоянию по вертикали от угла до этой линии, как это было бы для нерастянутой функции абсолютного значения.Вместо этого ширина равна 1 вертикальному расстоянию, как показано в [ссылка].

Из этой информации мы можем написать уравнение

f (x) = 2 \ | x − 3 \ | −2, рассматривая растяжение как вертикальное растяжение, или f (x) = \ | 2 (x − 3) \ | −2, рассматривая растяжение как горизонтальное сжатие.

Анализ

Обратите внимание, что эти уравнения алгебраически эквивалентны — растяжение для функции абсолютного значения может быть взаимозаменяемо записано как вертикальное или горизонтальное растяжение или сжатие.

Если бы мы не могли наблюдать растяжение функции по графикам, могли бы мы определить его алгебраически?

Да. Если мы не можем определить растяжение на основе ширины графика, мы можем вычислить коэффициент растяжения, введя известную пару значений для

. x

и

f (x).

е (х) = а \ | х − 3 \ | −2

Теперь подставляем в точку (1, 2)

2 = a \ | 1−3 \ | −24 = 2aa = 2

Напишите уравнение для функции абсолютного значения, которая сдвигается по горизонтали на 2 единицы влево, переворачивается по вертикали и смещается по вертикали на 3 единицы.

е (х) = — \ | х + 2 \ | +3

Всегда ли графики функций абсолютных значений пересекают вертикальную ось? Горизонтальная ось?

Да, они всегда пересекают вертикальную ось. График функции абсолютного значения будет пересекать вертикальную ось, когда вход равен нулю.

Нет, они не всегда пересекают горизонтальную ось. График может пересекать или не пересекать горизонтальную ось, в зависимости от того, как график был смещен и отражен.Функция абсолютного значения может пересекать горизонтальную ось в нуле, одной или двух точках (см. [Ссылка]).

Решение уравнения абсолютных значений

В разделе «Другой тип уравнений» мы затронули концепции уравнений абсолютных значений. Теперь, когда мы немного больше разбираемся в их графиках, мы можем еще раз взглянуть на эти типы уравнений. Теперь, когда мы можем построить график функции абсолютного значения, мы узнаем, как решить уравнение абсолютного значения.Чтобы решить такое уравнение, как 8 = \ | 2x − 6 \ |,

мы замечаем, что абсолютное значение будет равно 8, если количество внутри абсолютного значения равно 8 или -8. Это приводит к двум различным уравнениям, которые мы можем решить независимо.

2x − 6 = 8 или 2x − 6 = −82x = 142x = −2x = 7x = −1

Знать, как решать задачи, связанные с функциями абсолютного значения. полезно. Например, нам может потребоваться определить числа или точки на линии, которые находятся на заданном расстоянии от заданной контрольной точки.

Уравнение абсолютного значения — это уравнение, в котором неизвестная переменная отображается в столбцах абсолютного значения. Например,

\ | x \ | = 4, \ | 2x − 1 \ | = 3 или \ | 5x + 2 \ | −4 = 9

Решения уравнений абсолютных значений

Для вещественных чисел A

и B

, уравнение вида \ | A \ | = B,

с B≥0,

будет иметь решения, когда A = B

или A = -B.

Если B <0,

уравнение \ | A \ | = B

не имеет решения.

Учитывая формулу функции абсолютного значения, найдите горизонтальные пересечения ее графика .

1. Выделите член абсолютного значения.
2. Использование \ | A \ | = B

   для записи

   A = B

   или

   −A = B,

   при условии

   В> 0.
3. Решить для Икс.

Нахождение нулей функции абсолютного значения

Для функции f (x) = \ | 4x + 1 \ | −7,

найти значения x

такой, что f (x) = 0.

0 = \ | 4x + 1 \ | −7 Заменить 0 вместо f (x). 7 = \ | 4x + 1 \ | Изолировать абсолютное значение на одной стороне уравнения. 7 = 4x + 1 или − 7 = 4x + 1 Разбить на два отдельных уравнения и решите 6 = 4x − 8 = 4xx = 64 = 1,5x = −84 = −2

Функция выводит 0, если x = 32

или x = −2.

См. [Ссылка].

Для функции f (x) = \ | 2x − 1 \ | −3,

найти значения x

такой, что f (x) = 0.

Следует ли всегда ожидать двух ответов при решении

\ | A \ | = B?

№Мы можем найти один, два или даже не найти ответов. Например, нет решения 2+ \ | 3x − 5 \ | = 1.

Ключевые понятия

• Прикладные задачи, такие как диапазоны возможных значений, также могут быть решены с помощью функции абсолютного значения. См. [Ссылка].
• График функции абсолютного значения напоминает букву V. У него есть угловая точка, в которой график меняет направление. См. [Ссылка].
• В уравнении абсолютного значения неизвестная переменная является входом функции абсолютного значения.
• Если абсолютное значение выражения установлено равным положительному числу, ожидайте два решения для неизвестной переменной. См. [Ссылка].

Раздел упражнений

Устный

Как решить уравнение абсолютного значения?

Выделите член абсолютного значения так, чтобы уравнение имело вид \ | A \ | = B.

Сформируйте одно уравнение, задав выражение внутри символа абсолютного значения, A,

, равное выражению на другой стороне уравнения B.

Сформируйте второе уравнение, задав A

равно величине, противоположной выражению на другой стороне уравнения, −B.

Решите каждое уравнение для переменной.

Как вы можете определить, есть ли у функции абсолютного значения два интерцепта x без построения графика функции?

При решении функции абсолютного значения изолированный член абсолютного значения равен отрицательному числу. Что это говорит вам о графике функции абсолютного значения?

График функции абсолютного значения не пересекает x

— ось, поэтому график либо полностью выше, либо полностью ниже x

— ось.

Как можно использовать график функции абсолютного значения для определения значений x , для которых значения функции отрицательны?

Алгебраические

Опишите все числа x

, которые находятся на расстоянии 4 от числа 8. Выразите этот набор чисел, используя обозначение абсолютных значений.

Опишите все числа x

, которые находятся на расстоянии 12

из числа −4.Выразите этот набор чисел, используя обозначение абсолютных значений.

\ | х + 4 \ | = 12

Опишите ситуацию, в которой расстояние до этой точки x

из 10 — это минимум 15 единиц. Выразите этот набор чисел, используя обозначение абсолютных значений.

Найти все значения функции f (x)

такое, что расстояние от f (x)

до значения 8 меньше 0,03 единицы. Выразите этот набор чисел, используя обозначение абсолютных значений.

\ | f (x) −8 \ | <0,03

Для следующих упражнений найдите точки пересечения x и y графиков каждой функции.

f (x) = — 3 \ | x − 2 \ | −1

(0, −7);

нет x

-перехватывает

е (х) = — 5 \ | х + 2 \ | +15

(0, 5), (1,0), (- 5,0)

f (x) = 2 \ | x − 1 \ | −6

(0, −4), (4,0), (- 2,0)

f (х) = \ | −2x + 1 \ | −13

(0, −12), (- 6,0), (7,0)

е (х) = — \ | х − 9 \ | +16

(0,7), (25,0), (- 7,0)

Графический

Для следующих упражнений постройте график функции абсолютного значения.Нарисуйте от руки не менее пяти точек для каждого графика.

y = \ | x − 1 \ |

! [График абсолютной функции с точками в точках (-1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, 1) и (3, 2).] (/ Algebra-trigonometry-book /resources/CNX_Precalc_Figure_01_06_201.jpg)

у = \ | х \ | +1

! [График абсолютной функции с точками в точках (-2, 3), (-1, 2), (0, 1), (1, 2) и (2, 3).] (/ Алгебра-тригонометрия- book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_203.jpg)

Для следующих упражнений нарисуйте данные функции вручную.

у = — \ | х \ |

! [График абсолютной функции.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_205.jpg)

у = — \ | х − 3 \ | −2

! [График абсолютной функции.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_207.jpg)

е (х) = — \ | х + 3 \ | +4

! [График абсолютной функции.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_209.jpg)

е (х) = 3 \ | х − 2 \ | +3

! [График абсолютной функции.] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_211.jpg)

е (х) = \ | 3x + 9 \ | +2

! [График абсолютной функции.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_213.jpg)

е (х) = — \ | х + 4 \ | −3

! [График абсолютной функции.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_215.jpg)

Технологии

Используйте графическую утилиту для построения графика f (x) = 10 \ | x − 2 \ |

на смотровом окошке [0,4].

Определите соответствующий диапазон. Покажи график.

диапазон: [0,20]

Используйте графическую утилиту для построения графика f (x) = — 100 \ | x \ | +100

в смотровом окне [−5,5].

Определите соответствующий диапазон. Покажи график.

Для следующих упражнений нарисуйте график каждой функции с помощью графической утилиты. Укажите окно просмотра.

f (х) = — 0,1 \ | 0,1 (0,2 — х) \ | +0,3

x-

перехватывает:

f (x) = 4 × 109 \ | x− (5 × 109) \ | + 2 × 109

Расширения

Для следующих упражнений решите неравенство.

Если возможно, найдите все значения

такое что нет х-

перехватов для f (x) = 2 \ | x + 1 \ | + a.

Если возможно, найдите все значения

такое что нету

-перехват для f (x) = 2 \ | x + 1 \ | + a.

Нет решения для

, который не позволит функции иметь y

-перехват. Функция абсолютного значения всегда пересекает y

-перехват, когда x = 0.

Реальные приложения

Города A и B находятся на одной линии восток-запад. Предположим, что город A расположен в исходной точке. Если расстояние от города A до города B составляет не менее 100 миль и x

представляет собой расстояние от города B до города A, выразите это, используя обозначение абсолютных значений.

Истинная пропорция

р.

человек, которые дают положительную оценку Конгрессу, составляют 8% с погрешностью 1,5%. Опишите это утверждение, используя уравнение абсолютного значения.

\ | p − 0,08 \ | ≤0,015

Учащиеся, набравшие в пределах 18 баллов из числа 82, пройдут определенный тест. Запишите этот оператор, используя обозначение абсолютного значения, и используйте переменную x

для оценки.

Машинист должен изготовить подшипник, диаметр которого не превышает 0,01 дюйма (5,0 дюйма). Использование x

в качестве диаметра подшипника, запишите это утверждение, используя обозначение абсолютного значения.

\ | х − 5.0 \ | ≤0,01

Допуск для шарикового подшипника 0,01. Если истинный диаметр подшипника должен составлять 2,0 дюйма, а измеренное значение диаметра составляет x

дюймов, выразите допуск, используя обозначение абсолютного значения.

---

Эта работа находится под международной лицензией Creative Commons Attribution 4.0.

Вы также можете бесплатно скачать по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]

Атрибуция:

043TrigDerivatives.lbz

043TrigDerivatives.lbz

Предел sin x / x, когда x достигает 0

Через несколько минут нам будет важно узнать, что

есть. Вот график функции около 0.

График предполагает, что предел должен быть 1. Как мы можем доказать, что это правда?

Функция, предел которой мы берем, страдает ошибкой 0/0. До этого момента мы решали задачи 0/0, обращаясь к алгебре с целью вычленить общие термины, вызывающие проблему 0/0, а затем отменить их.К сожалению, этот вариант для нас недоступен. Вместо этого наша стратегия будет основана на теореме сжатия.

Теорема сжатия

Пусть g и две функции, которые сходятся к одному и тому же пределу:

If — функция, удовлетворяющая

для всех x , затем

Доказательство предела sin x / x

Доказательство того, что предел sin x / x , когда x приближается к 0, равен 1, будет использовать теорему сжатия.В частности, мы собираемся сравнить три области, которые зависят от x, и посмотреть, что происходит с этими областями, когда x переходит в 0. На рисунке ниже показаны три области, вписанные в круг с радиусом 1.

Первая и самая маленькая область представляет собой сектор в форме пирога, ограниченный точками A, O и C. Средняя область представляет собой треугольник, ограниченный точками A, O и P. Внешняя область представляет собой сектор в форме пирога. сектор, ограниченный точками B, O и P. Из рисунка видно, что независимо от значения угла x , мы имеем

площадь сектора OAC <площадь треугольника OAP <площадь сектора OBP

(1)

Далее нам нужно определить площади этих областей как функцию x .Чтобы вычислить площади двух секторов, мы можем использовать аргумент пропорциональности: поскольку площадь всего круга с радиусом r равна, площадь сектора с радиусом r и центральным углом x равна

.

, потому что сектор представляет собой часть площади всего круга.

Чтобы вычислить площадь сектора OAC, нам нужно знать радиус этого сектора. Этот радиус определяется длиной линии от O до A. Мы можем использовать простой триггер, чтобы вычислить эту длину, как показано на рисунке ниже.

Поскольку гипотенуза треугольника OAC имеет длину 1, длина стороны OA равна cos x . Таким образом,

(2)

Мы можем определить площадь треугольника OAP следующим образом:

(3)

Поскольку внешний сектор имеет радиус 1 и центральный угол x, мы имеем

(4)

Объединение неравенства (1) с уравнениями (2), (3) и (4) дает

Напомним, что нас интересует значение sin x / x .Чтобы эта величина появилась в среднем выражении, разделим на 1/2 x cos x . Результат

Наконец, если мы воспользуемся тем фактом, что

, что приводит к

Получаем

и по теореме сжатия имеем

Предел (1 — cos x) / x, когда x стремится к 0

Близкая проблема, которую можно решить аналогичным методом, —

.

Текст дает очень хорошее доказательство того, что этот предел равен 0:

.

Альтернативное геометрическое доказательство

Если вы предпочитаете более геометрическое доказательство того, что этот предел равен 0, вот оно.Для начала нарисуем фигуру, на которой будет основано доказательство.

Окружность имеет радиус 1, а угол POA равен. Доказательство основано на соотношении

и поведение этого отношения по мере того, как угол приближается к 0. Первое, что следует отметить, это то, что, поскольку оба расстояния положительны, отношение будет больше 0. Если вы определите длины этих двух вещей, вы обнаружите, что

— именно то количество, которое нас интересует.Следующим шагом будет замена длины дуги от B до P на длину отрезка от B до P. Поскольку отрезок всегда будет короче дуги, выполнение этого переключения увеличит значение дробной части в целом. . У нас

Следующее, что нужно сделать, — это вычислить длины двух сегментов дроби справа. Мы уже знаем, что

Осталось только выяснить, какова длина отрезка ВР. Для этого рисуем более подробную картину треугольника ОБП.

Поскольку треугольник OBP является равнобедренным треугольником (обе стороны OB и OP имеют длину 1), мы можем видеть, что углы в точках B и P должны быть одинаковыми . Так как углы должны складываться, получаем

или

Теперь посмотрим на соотношение, которое нам нужно понять:

Как только мы узнаем угол OBP, мы можем использовать тот факт, что треугольник ABP является прямоугольным, чтобы увидеть

Таким образом, мы имеем

В пределе, равном 0, мы видим, что член до конца вправо переходит в 0.Поскольку то, что нас интересует, оказывается в ловушке между двумя объектами, которые оба стремятся к нулю, он также должен упасть до 0.

Производные от

sin x и cos x

Мы можем использовать определение производной для вычисления производных элементарных триггерных функций.

Теорема Функция sin x везде дифференцируема, а ее производная равна cos x .

Proof И снова мы работаем от определения.

Единственная манипуляция, которая легко напрашивается сама собой, — это использовать формулу сложения для синуса, чтобы расширить член sin (x + h) .

Последнее естественным образом распадается на пределы, которые мы можем вычислить.

= cos x

Вы можете дополнительно убедиться в том, что производная синуса является косинусом, посмотрев на изображение двух функций, построенных рядом. В каждой точке наклон кривой sin x определяется производной, а именно cos x.Действительно, вы можете видеть, что когда sin x имеет нулевой наклон, косинус имеет значение 0 и так далее.

Подобные методы получат нас

Теорема Функция cos x везде дифференцируема, а ее производная равна -sin x .

Доказательство Из определения имеем

= -sin x

Производные других триггерных функций

Мы могли бы приступить к вычислению производных всех других триггерных функций из определения производной, но нет причин так усердно работать.Поскольку любая другая триггерная функция может быть выражена как комбинация синуса и косинуса, мы можем объединить два последних результата с правилами дифференцирования, которые мы разработали в прошлый раз.

Например, чтобы вычислить производную касательной, мы вычисляем

Применяем правило частного

Домашнее задание

Раздел 3.4: 3, 4, 9, 10, 18, 30, 33, 46

Как найти область значений синуса, косинуса и тангенса?

Область и диапазон тригонометрических функций определяются непосредственно из определения этих функций.

Начнем с определения.
Тригонометрические функции определяются с помощью единичного круга на координатной плоскости — круга радиуса # 1 # с центром в начале координат # O #.

Рассмотрим точку # A # на этой окружности и угол от положительного направления оси # X # (луч # OX #) до луча # OA #, который соединяет центр единичной окружности с нашей точкой # A #. Этот угол может быть измерен в градусах или, что более часто при анализе тригонометрических функций, в радианах .

Значение этого угла может быть положительным (если идти против часовой стрелки от # OX # к # OA #) или отрицательным (идти по часовой стрелке). Он может быть больше по абсолютной величине, чем полный угол (один из # 360 # градусов или # 2pi # радиан), и в этом случае положение точки # A # определяется перемещением вокруг центра единичного круга больше чем однажды.

Каждое значение угла от # -oo # до # + oo # (в градусах или, более предпочтительно, радианах) соответствует положению точки на единичной окружности.Для каждого такого угла значения тригонометрических функций определяются следующим образом.

1. Функция # y = sin (x) # определяется как ордината (# Y # -координата) точки на единичной окружности, которая соответствует углу # x # радиан. Следовательно, домен этой функции — все действительные числа от # -oo # до # + oo #. Диапазон составляет от # -1 # до # + 1 #, поскольку это ордината точки на единичной окружности.

2. Функция # y = cos (x) # определяется как абсцисса (# X # -координата) точки на единичной окружности, которая соответствует углу # x # радиан.Следовательно, домен этой функции — все действительные числа от # -oo # до # + oo #. Диапазон составляет от # -1 # до # + 1 #, поскольку это абсцисса точки на единичной окружности.

3. Функция # y = tan (x) # определяется как #sin (x) / cos (x) #. Область действия этой функции — все действительные числа, кроме тех, где #cos (x) = 0 #, то есть все углы, кроме тех, которые соответствуют точкам # (0,1) # и # (0, -1) #. Углы, где # y = tan (x) # не определено, равны # pi / 2 + pi * N # радиан, где # N # — любое целое число.Диапазон, очевидно, состоит из всех действительных чисел от # -oo # до # + oo #.

Особый интерес могут представлять графики этих функций. Вы можете обратиться к серии лекций по Unizor, посвященных подробному анализу этих функций, их графиков и поведения.

Калькулятор периодических функций — онлайн-поиск периодов

Поиск инструмента

Период функции

Инструмент для вычисления периода функции. Период функции — это наименьшее значение t, такое, что функция повторяется: f (x + t) = f (x-t) = f (x), то есть в случае триго-функций (cos, sin и т. Д.))

Результаты

Период функции — dCode

Тег (и): Функции

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Расчет периода функции

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое период функции? (Определение)

Период $ t $ периодической функции $ f (x) $ — это значение $ t $ такое, что $$ f (x + t) = f (x) $$

Графически его кривая повторяется каждый период путем перевода.Функция равна себе на всех длинах $ t $ (представляет собой шаблон, который повторяется при переводе).

Значение периода $ t $ также называется периодичностью функции.

Как найти период функции?

Чтобы найти период $ t $ функции $ f (x) $, продемонстрируйте, что $$ f (x + t) = f (x) $$

Пример: Тригонометрическая функция $ \ sin (x + 2 \ pi) = \ sin (x) $, поэтому $ \ sin (x) $ периодична с периодом $ 2 \ pi $

Тригонометрические функции обычно имеют периодический период. Чтобы угадать период, попробуйте использовать числа, кратные пи, для значения $ t $.

Если период равен 0, то функция не периодическая.

Как найти значение f (x) периодической функции?

Любая периодическая функция периода $ t $ повторяется каждые $ t $ значений. Чтобы предсказать значение периодической функции , для значения $ x $ вычислите $ x_t = x \ mod t $ (по модулю t) и найдите известное значение $ f (x_t) = f (x) $

Пример: Функция $ f (x) = \ cos (x) $ имеет период $ 2 \ pi $, значение для $ x = 9 \ pi $ такое же, как для $ x \ Equiv 9 \ pi \ mod 2 \ pi \ Equiv \ pi \ mod 2 \ pi $ и, следовательно, $ \ cos (9 \ pi) = \ cos (\ pi) = -1 $

Как найти амплитуду периодической функции?

Амплитуда — это абсолютное значение непериодической части функции.

Пример: $ a \ sin (x) $ имеет амплитуду $ | а | $

Как доказать непериодичность функции?

Если $ f $ периодическое, то существует действительное ненулевое значение, например $$ f (x + t) = f (x) $$

Демонстрация состоит в том, чтобы доказать, что это невозможно. Например, с помощью reductio ad absurdum или вычисления, ведущего к противоречию.

Что такое обычные периодические функции?

Наиболее распространенные периодические функции — это тригонометрические функции, основанные на функциях синуса и косинуса (которые имеют период 2 Пи).

Функция	Период
Синус $ \ sin (x) $	$ 2 \ pi $
Косинус $ \ cos (x) $	$ 2 \ pi $
	Касательная $ \ tan (x) $	$ \ pi $

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Период выполнения функции». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любого алгоритма, апплета или фрагмента «Период выполнения функции» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой другой Период функции функции (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанную на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Периода выполнения функции» не будут бесплатными, то же самое для использования в автономном режиме на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

период, функция, периодический, cos, sin, тригонометрический, периодичность

Ссылки

Источник: https: // www.