Матричное уравнение AXB = XC : Высшая алгебра
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
| VoyagerEternal |
| ||
08/08/09 |
| ||
| |||
09.2010, 11:02 | ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
09.2010, 11:23 | VoyagerEternal |
| ||
08/08/09 |
| ||
| |||
09.2010, 11:34 | ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
09.2010, 11:53 | VoyagerEternal |
| ||
08/08/09 |
| ||
| |||
09.2010, 11:58 | gris |
| |||
13/08/08 |
| |||
| ||||
09.2010, 12:01 | VoyagerEternal |
| ||
08/08/09 |
| ||
| |||
09.2010, 12:21 | ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
09.2010, 12:35 | VoyagerEternal |
| ||
08/08/09 |
| ||
| |||
09.2010, 12:49 | ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
09.2010, 12:55 | Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 10 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
| notebook.
3/3$ операцийВопрос Какая сложность решения системы $Ax=b$ с использованием разложения Холецкого?
Система линейных уравнений вида $(A + BC)x = b$
- $A$ — «простая» матрица, т.е. $Ax = b$ можно быстро решить
- $BC$ — представление малоранговой матрицы
Как быстро решать такие системы, Вам будет предложено подумать в домашнем задании 🙂
Собственные векторы и собственые значения
Вопросы
- Что такое собственые вектора и собственные значения?
- Когда матрица являются диагонализуемой и унитарно диагонализуемой?
- Как находить спектр матрицы полностью и частичо?
Определение. Ненулевой вектор $x$ называется собственным вектором преобразования, заданного матрицей $A$, если $$ Ax = \lambda x, $$ где $\lambda$ — собственное значение, соответствующее собственному вектору $x$.
Если у матрицы $A$ есть $n$ линейно незаивисимых собственных векторов, то её можно представить в виде спектрального разложения: $$ A = X\Lambda X^{-1}, $$ где $\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$, а $X = [x_1, \ldots, x_n]$
Теоремы
- Матрица унитарно диагонализуема тогда и только тогда, когда она нормальна: $$ AA^* = A^*A $$
- $$ \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \quad \det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i $$
- Матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её собственные значения положительны
Как вычислять?
- Нахождение всех собственных векторов и собственных значений: $O(n^3)$ — метод Якоби, QR-алгоритм, использование разложения Шура.
.. - Однако полное спектральное разложение бывает необходимо редко. Обычно нужно несколько собственных векторов, соответствующих максимальным собственным значениям. Для решения этой задачи используется степенной метод и метод обратной итерации
..Резюме
- Линейная алгебра — один из базовых инструментов в методах оптимизации
- Операции с векторами и матрицами
- Решение систем линейных уравнений
- Нахождение собственных значений и векторов
ammath — уравнение Ax=b, внутриматричная форма — TeX
Задавать вопрос
спросил
Изменено 1 год, 4 месяца назад
Просмотрено 278 раз
Я пытаюсь написать матричную форму числа Ax=b , просто поместив каждую букву в матрицу.
Вывод такой, как я хочу, но мне нужно сделать его более читабельным, увеличив размер pmatrix с каждой буквой в центре!
\начало{уравнение}
\begin{pmatrix}
А
\end{pматрица}
\ раз
\begin{pmatrix}
Икс
\end{pматрица}
"="
\begin{pmatrix}
б
\end{pматрица}
\end{уравнение}
- уравнения
- математика
- матрицы
- тикз-матрица
0
Я полагаю, вы могли бы увеличить размер круглых скобок, вставив типографские распорки внутри среды \pmatrix , как это сделано в третьем и четвертом уравнениях на следующем снимке экрана.
Вы не указали, какой высоты должны быть pmatrix -круглые скобки, но я полагаю, что они созданы путем включения \tallstrut или \reallytalllstrut достаточно высоки.
\documentclass{статья}
\usepackage{amsmath} % для среды pmatrix
% определяют две высокие типографские стойки:
\ newcommand \ высокая стойка {\ vphantom {\ tfrac {(}{(}}}
\ newcommand \ reallytalllstrut {\ vphantom {\ dfrac {A} {A}}}
\начать{документ}
\[
\mathbf{Ax}=\mathbf{b} способ записи матриц и векторов по умолчанию (?)
\qquad
\begin{pmatrix} А \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} х \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} б \end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix} A\высокая стойка \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} х\высокая стойка \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} б\высокая стойка \end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix} A\reallytallstrut \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} x\reallytallstrut \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} b\reallytallstrut \end{pmatrix}
\]
\конец{документ}
0
Вот решение с использованием nicematrix и макроса Block .
MWE:
\documentclass{статья}
\usepackage[T1]{шрифт}
\usepackage{nicematrix}
\начать{документ}
\begin{уравнение*}
\begin{pNiceMatrix}[ширина столбцов = 1em]
\Блок{3-3}<\БОЛЬШОЙ>{A}\\
& & \\
& &
\end{pNiceMatrix}
\begin{pNiceMatrix}[ширина столбцов = 1em]
\Блок{3-1}<\БОЛЬШОЙ>{x}\\
\\\
\
\end{pNiceMatrix}
"="
\begin{pNiceMatrix}[ширина столбцов = 1em]
\Блок{3-1}<\БОЛЬШОЙ>{b}\\
\\\
\
\end{pNiceMatrix}
\end{уравнение*}
\конец{документ}
Выход:
0
Линейная алгебра 5: Решение Ax = b в необратимых неквадратных матрицах | by adam dhalla
Чтение на 9 мин.
·
20 января 2021 г.
Это можно близко сопоставить с Лекция 8 в его серии.
Здесь мы продолжаем обсуждение решения линейных систем с исключением.
В моей серии «Исключение по Гауссу» мы исследовали, как можно решить квадратные обратимые матрицы методом исключения и замены строк, но мы никогда не углублялись в решение прямоугольных необратимых систем.
На прошлом уроке мы рассмотрели, как можно решать неквадратные системы с помощью исключения Гаусса. В частности, мы решили системы в формате Ax = 0 и обнаружили нуль-пространственные векторы x , что дало x = 0.
Линейная алгебра 4: Сокращенная форма эшелона строк для решения Ax = 0
Это продолжение моей серии статей по линейной алгебре, которую следует рассматривать как дополнительный ресурс при изучении…
adamdhalla.medium.com
Самая большая разница между Ax = b и Ax = 0 заключается в том, что теперь наша правая часть отлична от нуля, и мы должны выполнить операции над с обеих сторон. Это подводит нас к нашей первой теме, а именно к условие разрешимости.
Условия разрешимости
Все эти примеры будут иметь дело с прямоугольными необратимыми матрицами.
Если у вас есть квадратная и обратимая матрица (что часто бывает), используйте более простое исключение Гаусса .
Условия разрешимости — это то, как мы узнаем, является ли некое b в Ax = b решением, которое действительно возможно. Это станет совершенно ясно на примере. Вспомните, что теперь, при выполнении исключения с матрицами, которые, как мы ожидаем, будут зависимыми, мы не остановится на разворотах в нулевом месте. Мы просто продолжим переход к следующему столбцу.
Наша цель — выяснить, как должен выглядеть ответ b, чтобы задача была решаемой.
Итак, первый пример.
Строки 1 и 3 кратны друг другу и после исключения будут заменены строкой нулей. После использования первой строки для исключения первой и второй строк мы получаем:
Но теперь, когда у нас есть ненулевые числа в правой части, мы должны выполнить те же шаги исключения в правой части.
Что мы сделали? Чтобы исключить вторую строку, мы умножили первую строку на минус и вычли из нижней строки (или, можно подумать, мы добавили первую строку).
Затем мы умножаем первую строку на 2 и вычитаем из последней строки. Итак, теперь с нашими переменными b, как это выглядит?
Из-за равенства мы должны выполнять те же операции над строками b. Таким образом, после этого мы можем получить представление о том, как выглядит нашего b.
Условия разрешимости возникают, когда левая часть равна 0. Если бы мы записали это в виде системы уравнений, мы получили бы:
Первые два уравнения не дают нам много информации или ограничений на b, , поскольку они зависят от того, какие значения мы в итоге присвоим нашим переменным x, y, z и t.
Последнее уравнение, с другой стороны, дает нам определенное ограничение на b. Чтобы Ax = b было истинным, b3 – 2b1 должно быть = 0. Переставляя это, мы получаем ограничение на b that:
Теперь мы ограничены в различных b3, которые мы можем поместить в нашу матрицу. Вот несколько примеров векторов b , удовлетворяющих этому ограничению:
Во всех этих векторах b3 в 2 раза больше b1.
Это может дать нам быстрое представление о том, возможно ли Ax = b или нет, или, при составлении уравнения, может дать нам представление о возможных ответах, которые мы можем получить.
Это дает нам два разных способа понять это конкретное Ax = b.
- Используя наши знания о пространстве столбцов, мы знаем, что b должно быть частью пространства столбца A. Другими словами, b ∈ C(A)
- Наше новое понимание — b должно удовлетворять всем ограничениям на него.
Теперь, когда мы это знаем, давайте решим задачу.
Решение для полного решения Ax = b
Я беру этот пример непосредственно со страницы 91 учебника Гилберта Стрэнга «Линейная алгебра и ее приложения», 4-е издание.
Возьмем эту систему:
Чтобы решить эту проблему, нам сначала нужно найти ответ b , который удовлетворяет любым ограничениям, которые у нас могут быть. Чтобы найти эти ограничения (и одновременно перевести A в U), используйте исключение Гаусса, чтобы исключить левую и правую части.
Мы умножили первую строку на 2 и вычли из второй строки. Затем мы умножили первую строку на -1 и вычли из третьей строки (прибавили). Мы отразили эти же изменения на правой стороне.
Теперь мы должны исключить последнюю строку из нашей второй строки.
Это b5 должно быть b3, но мне лень его менятьЗдесь мы вычитаем два раза вторую строку из третьей строки. Нам нужно не забыть сделать это с правой стороны. Здесь это становится немного запутанным, поскольку мы опираемся на прошлые шаги исключения, но мы все еще можем это сделать.
Опять же, наше условие разрешимости находится в третьей строке. Если мы упростим это, мы получим наше условие разрешимости.
Теперь, когда у нас есть условие разрешимости, мы можем выбрать ответ b , который работает с ним. Почему бы нам не выбрать (1, 5, 5)? Вы можете проверить сами, что это работает.
Просто напомню, что как только мы найдем наш b , чтобы заменить его в исходном уравнении Ax = b, где A находится слева, а не U.
Теперь мы проходим тот же процесс исключения, просто на этот раз с конкретными цифрами, и, как и предсказывалось, он удовлетворяет ограничениям, которые мы на него накладываем.
Заметка о комплексном решении
Теперь, глядя на это, есть множество решений. Но важно отметить, что наш окончательный ответ будет также должны включать все ответы с нулевым пробелом.
Поясню. Поскольку эта матрица A не является независимой, в нулевом пространстве обязательно будет хотя бы один вектор x. Это x решает для Ax = 0.
Таким образом, если мы находим конкретное решение этого, некоторого x, которое решает Ax = b, мы должны также добавить все наши нулевые пространственные векторы для получения полного ответа. Поскольку все векторы нулевого пространства делают Ax = 0, наш полный ответ должен включать A(x_null + x_particular) = b, поскольку добавление нулевого пространства ничего не делает с b, поскольку Ax_null = 0,
Если это не имеет смысла, продолжим.
Давайте сначала найдем частное решение этого уравнения. Это x , которое непосредственно решает для Ax = b.
Поиск конкретного решения
Мы стремимся найти конкретное решение, некоторое значение x, y, z и t, которое соответствует нашему ответу (1, 3, 0). Поскольку у нас есть только двух полных уравнений , мы можем найти только две из этих переменных. Два других мы должны будем установить в константы.
Опять же, аналогично решению для пустого пространства, переменные, которые мы установим как константы, будут свободными переменными. Это переменные, связанные со свободными столбцами, то есть столбцами, не содержащими сводных данных.
Выделены свободные столбцы и переменные. У нас снова двойная бесконечность ответов, поскольку у нас есть две переменные, которые мы можем установить как любых констант. Таким образом, у нас есть бесконечное количество частных ответов, которые решают (1, 3, 0). Итак, если мы можем выбрать любую константу для y или t, мы можем выбрать самую простую, то есть 0, для обоих.
После этого наша линейная комбинация и система уравнений выглядят так:
Таким образом, одно из (наших многих возможных) частных решений было принято. Как я уже сказал, это не полный ответ. Мы можем добавить любой вектор из нулевого пространства (и любой из их кратных) к этому конкретному ответу и все равно получить Ax = b, поскольку все эти векторы нулевого пространства составляют Ax = 0.
Таким образом, мы также должны найти нулевое значение космические векторы. Я уже рассказал, как вычислять нулевые пространственные векторы в очень похожей матрице, поэтому на этот раз я не буду подробно рассказывать об этом, а просто дам вам ответы на нулевые пространственные векторы.
Итак, теперь мы можем добавить эту комбинацию к нашему единственному конкретному ответу. Важно отметить, что, хотя векторы нулевого пространства представляют собой комбинацию, мы не можем поставить кратное перед нашим конкретным ответом — поскольку наша правая часть не равна нулю, мы не можем просто умножить каждые x, y, z, t и получите эквивалентный ответ.
Итак, наш окончательный ответ:
Как выглядит этот ответ графически? Ну, это , а не подпространство. Вы можете думать об этом как о почти расширенном нулевом пространстве — нулевом пространстве, но с каждой точкой, сдвинутой на вектор опыта. Таким образом бежим уже не через ориджин, а хп.
И это наше полное решение Ax = b.
Есть еще кое-что. Как и в нашей статье с нулевым пространством, мы можем использовать форму с уменьшенной последовательностью строк , чтобы сделать ответ еще проще.
Немедленное нахождение частного решения с помощью RREF
Вернемся к тому моменту, когда у нас была система Ux = c. Мы можем дополнительно сократить это U до R и довести наше c до 9.0077 д. Как бы мы это сделали?
Ну, как и в предыдущей статье, мы будем использовать исключение Gauss-Jordan для устранения вверх после объединения всех разворотов в один. Единственная дополнительная трудность заключается в том, что мы должны проделать те же операции и с правой частью, поскольку правая часть теперь не равна нулю.