Матрицы определения: основные определения, обозначение, формулы и элементы матрицы

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Матрицы. Основные определения и виды матриц. Действия над матрицами. Понятие ранга матрицы. Операции над матрицами. Понятие и нахождение обратной матрицы

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

Аннотация: В лекции рассказывается о матрицах – как об одном из самых популярных инструментов высшей математики, позволяющем определять возможность получения решения системы линейных уравнений и находить его

Ключевые слова: таблица, матрица, натуральное число, решение системы линейных уравнений, ранг, детерминант, определитель, вывод, операции, Произведение, умножение, равенство, перемножение матриц, EA, Алгебраическим дополнением, алгоритм, алгебраические

Матрицы. Основные определения и типы матриц

Определение 1. Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел a_ij, которые называют элементами матрицы и обозначается

( 2. 1)

Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица, которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица, это любая прямоугольная таблица, составленная из

однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.

Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии

( 2. 1*)

Определение 2. Если в выражении (1) m = n, то говорят о квадратной матрице, а если , то о прямоугольной.

В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:

1. Матрица — строка (или строковая матрица), состоящая из одной строки. Это прямоугольная матрица размером 1 x n.

   A=(a11  a12  ...  an).

2. Матрица — столбец ( столбцевая матрица), состоящая только из одного столбца. Это также прямоугольная матрица размером m x 1
3. Матрица, состоящая из одного элемента. A=(a₁₁)_1×1=a₁₁.
4. ru/2010/edi»> Нулевая матрица, состоящая из одних нулей, в матричной алгебре играет роль 0, обозначается V.
5. Единичная матрица, состоящая из нулей, кроме главной диагонали, на которой стоят единицы. Обозначается E и играет роль единицы в матричной алгебре
6. Диагональная матрица, квадратная порядка n, состоящая из нулей и на главной диагонали стоят не равные нулю элементы (не обязательно единицы)

Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант, который составляется из элементов матрицы и обозначается

Очевидно, что D_E=1 ; .

Определение 3. Если , то матрица A называется невырожденной или не особенной.

Определение 4. Если detA = 0, то матрица A называется вырожденной или особенной.

Определение 5. Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е.

Например, матрицы и равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы и нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы , стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы и разные, так как имеют разный размер. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице.

А вот матрицы и равны, согласно определению 5.

Определение 6. Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n — го порядка, определитель которой называется минором k – го порядка матрицы A.

Пример. Выписать три минора второго порядка матрицы

Решение. .

Дальше >>

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

Определение матрицы. Перечислите основные виды матриц:

Матрицей называется прямоугольная таблица размерностью m на n, где m – число строк, n – число столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Обозначается матрица всегда заглавными (прописными) латинскими буквами.

Элементы матрицы заключаются в круглые и квадратные скобки, обозначаются они строчными буквами с индексом ij, где i – строка, j – столбец. Элемент матрицы находится на пересечении i-строки и j-столбца.

Основные виды матриц:

Прямоугольная – состоит из m строк и n столбцов.

Строчная (матрица строка, вектор строка) – матрица, состоящая из одной строки.

Столбцовая (матрица столбец, вектор столбец) – матрица, состоящая из одного столбца.

Квадратная – матрица, у которой число строк и столбцов одинаковое.

Диагональная – квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны нулю (главную диагональ образую элементы, у которых i=j).

Единичная – диагональная матрица, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали равны единице.

Симметричная – матрица, у которой все элементы симметричны относительно главной диагонали.

Нулевая – матрица любой размерности, все элементы которой равны нулю.

Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная — левой треугольной.

Если матрица прямоугольная, то мы можем преобразовать её в квази-треугольную, ступенчатую или трапециевидную матрицу

Произведением матрицы

А на число λ называется матрица B, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число λ.

Делить матрицы нельзя.

Суммой двух матриц А и В, с одинаковым количеством строк и столбцов, называется матрица С, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых.

Умножение матриц определяется только для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если матрица А и В квадратные, то они всегда взаимно-согласованы.

Произведением матрицы Аmxk на матрицу Вkxn, называется матрица Сmxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В.

Свойства умножения матриц:

1.(А*В)*λ = (А*λ)*В = А*(В*λ), где λ – любое число

2.(А + В)*С = А*С + В*С

3.(А*В*С) = (В*С*А) – если матрицы согласованы между собой.

4.А*Е = Е*А = А, где Е – единичная матрица

5.А*О = О*А = О, где О – нулевая матрица.

Транспонирование матрицы осуществляется путём замены каждой её строки столбцом с тем же номером.

Свойства транспонирования матриц:

1.(А^т)^т = А

2.(А + В)^т = А^т + В^т

3.( λ*А)^т = λ*А^т

4. (А*В)^т = А^т*В^т, если матрицы согласованы между собой.

Matrix Определение и значение — Merriam-Webster

матрица ˈmā-triks 

1

: нечто внутри или из чего возникает, развивается или принимает форму нечто другое

атмосфера понимания и дружелюбия, которая является матрицей мира

2

а

: форма, из которой изготавливается рельефная (см. рельефную запись 1 смысл 6) поверхность (например, шрифт)

б

: смысл матрицы 3a(1)

с

: штамп с гравировкой или надписью (см. пункт 2, смысл 3 штампа) или штамп

г

: электроформованный оттиск грампластинки, используемый для массового производства дубликатов оригинала

3

а

: природный материал (такой как почва или горная порода), в который что-то встроено (например, ископаемое или кристалл)

б

: материал, в который что-то заключено или встроено (для защиты или изучения)

4

а

: внеклеточное вещество, в которое встроены клетки ткани (например, соединительной ткани)

б

: утолщенный эпителий в основании ногтя пальца руки или ноги, из которого развивается новое вещество ногтя

5

а

: прямоугольный массив (см. запись массива 2, смысл 5) математических элементов (таких как коэффициенты (см. значение коэффициента 1) одновременных (см. одновременный смысл 2) линейных уравнений), которые можно комбинировать для образования сумм и произведений. с аналогичными массивами, имеющими соответствующее количество строк и столбцов

б

: что-то похожее на математическую матрицу, особенно в прямоугольном расположении элементов в строки и столбцы

с

: набор элементов схемы (таких как диоды и транзисторы) для выполнения определенной функции ) статья

Знаете ли вы?

В Древнем Риме матрица представляла собой самку животного, которую содержали для размножения, или растение (иногда называемое «материнским растением» или «материнским растением»), семена которого использовались для получения других растений. В английском языке это слово приобрело множество связанных значений. Математики используют его для прямоугольной организации чисел или символов, которые можно использовать для выполнения различных вычислений; геологи используют его для обозначения почвы или породы, в которой обнаружены окаменелости, как ребенка в утробе матери. И матрица был хорошим выбором в качестве названия реальности, в которой живут все люди, в известной серии научно-фантастических фильмов.

Примеры предложений

сложная социальная матрица , в которой люди живут своей жизнью Все провода пересекались друг с другом и образовывали матрицу 9.0096 . матрица для изготовления ножей

Недавние примеры в Интернете Майк: Матрица угроз в штатах тоже выглядит совсем по-другому. — Как спасти страну, Новая Республика , 11 мая 2023 г. Чтобы понять почему, рассмотрим конкретный набор из 12 чисел в матрице из трех строк и четырех столбцов. — Джон Маккормик, , Fortune , 9 мая 2023 г. Заставляя лучи света смешиваться и мешать друг другу, чип способен выполнять матричных умножений на и, таким образом, реализовывать фотонную нейронную сеть. — IEEE Spectrum , 5 мая 2023 г. Продолжая традицию обновления решетки радиатора, Flying Spur Speed ​​и S заменяют вертикальную решетку радиатора классической матрицей Bentley . — Джек Фицджеральд, Автомобиль и водитель , 28 апреля 2023 г. Эта задача, известная как прогрессивные матрицы Равена , представляет изображения геометрических объектов, скажем, в сетке 3 на 3. — Анил Анантасвами, 9 лет. 0095 Журнал Quanta , 13 апреля 2023 г. Показатели вербального рассуждения, матричных рассуждений, рассуждений и рядов букв и чисел снизились, но, что интересно, баллы по пространственному мышлению выросли. — Тим Ньюкомб, Popular Mechanics , 9 апреля 2023 г. Лидерство требует установления четкого набора этических норм и стандартов для построения матрицы принятия решений, которой можно следовать на любой ступени корпоративной лестницы. — Крис Кардинал, 9 лет0095 Кварц , 27 марта 2023 г. Сплитерс говорит, что осколочная матрица в Шахед-131 не была сделана по тому же стандарту, что и остальная часть устройства. — Дэвид Хэмблинг, Popular Mechanics , 24 февраля 2023 г. Узнать больше

Эти примеры программно скомпилированы из различных онлайн-источников, чтобы проиллюстрировать текущее использование слова «матрица». Любые мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв об этих примерах.

История слов

Этимология

Латинское, самка животного, используемого для разведения, родительское растение, из матр-, матерь

Первое известное использование

1555, в значении, определенном в смысле 1

Путешественник во времени

Первое известное использование матрицы было в 1555 году

Другие слова того же года

Словарные статьи Рядом с

matrix

матрисиб

матрица

матричная алгебра

Посмотреть другие записи поблизости

Процитировать эту запись «Матрица».

Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/matrix. По состоянию на 2 июня 2023 г.

Ссылка на копию

Детское определение

матрица

существительное

матрица ˈmā-triks 

: что-то (как форма), что придает форму, основу или начало чему-то другому, заключенному в нем

Медицинское определение

Матрица

существительное

матрица ˈmā-triks 

1

а

: внеклеточное вещество, в которое встроены клетки ткани (например, соединительной ткани)

минерализация костного матрикса

б

: утолщенный эпителий в основании ногтя пальца руки или ноги, из которого развивается новое вещество ногтя

звонили также ногтевое ложе, матрикс ногтя

2

: что-то (как окружающая или пронизывающая субстанция или элемент), внутри которого возникает, принимает форму или развивается что-то другое в котором что-то заложено

мембраносвязанные органеллы, взвешенные в цитоплазматическом матриксе

хроматиновые волокна прикрепляются к ядерному матриксу

4

а

: полоска или полоска, расположенная так, чтобы служить удерживающей наружной стенкой зуба при заполнении полости

б

: металлическая или фарфоровая модель, в которой отлита или сплавлена ​​вставка

5

: подложка, на которой или внутри которой растет грибок

Подробнее от Merriam-Webster на матрице

9 0096

Nglish: Перевод matrix для говорящих на испанском языке

Britannica English: Перевод matrix для говорящих на арабском языке

Britannica. com: Энциклопедическая статья о матрице

Последнее обновление: 2 июня 2023 г. — Обновлены примеры предложений

Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

Merriam-Webster без сокращений

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

упрямый

См. Определения и примеры »

Получайте ежедневно по электронной почте Слово дня!

Флюксия | математика | Британика

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Этот день в истории
• Викторины
• Подкасты
• Словарь
• Биографии
• Резюме
• Популярные вопросы
• Инфографика
• Демистификация
• Списки
• #WTFact
• Товарищи
• Галереи изображений
• Прожектор
• Форум
• Один хороший факт

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Britannica объясняет
  В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
• Britannica Classics
  Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
• #WTFact Видео
  В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
• Demystified Videos
  В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
• На этот раз в истории
  В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.

• Студенческий портал
  Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
• Портал COVID-19
  Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
• 100 женщин
  Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.

  No related posts.