Матрицы вычисление определителей: Определитель матрицы онлайн

Вычисление определителей 2 — 4-го порядка

Научиться вычислять определители, обратные матрицы и т.д. — одно из основных заданий для первокурсников, которые получают образование на факультетах с математическим уклоном в обучении. Многие сервисы в интернете предлагают онлайн нахождения определителей и всего что касается матриц, однако мало программ — математических калькуляторов которые показывают ход решения. В конце статьи Вашему вниманию предлагается такой калькулятор, но об этом позже, а сейчас давайте рассмотрим несколько примеров нахождение определителя матрицы.

За справочник возьмем сборник задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика». Позже будут добавлены примеры вычисления определителя матрицы из других источников.

———————————————

Примеры.

1) (1.4)

Применим правило вычисления определителя для матрицы второго порядка.

2) (1.6)

Выполним вычисления согласно правилу

3) (1. 8)

Данный пример выглядит сложным но со знанием следующих правил логарифма

решается на удивление быстро.

4) (1.14)

Вычислим данный определитель двумя способами: по правилу треугольников и через алгебраические дополнения.

А сейчас разложим по элементам первого рядка, поскольку в нем больше нулей

В этом примере специально выписаны дополнение у нулевых множителей, так как не все понимают откуда берутся дополнения. По правилу они равны определителю, который образуется вычеркиванием строки и столбца того элемента для которого ищутся, умноженному на минус единицу в степени

.

Схематически на примере матрицы четвертого порядка это выглядит так:

Внимательно посмотрите, какие элементы в определителе выписаны для дополнений и Вам все станет понятно.

Суть метода алгебраических дополнений заключается в том, что когда мы матрицу с нулевыми элементами может разложив ее по по строке или столбцу в котором больше нулей нам остается вычислить столько определителей на порядок меньших основной матрицы, сколько ненулевых элементов. Это значительно упрощает вычисления.

6) (1.19)

Если вычисления проводить по правилу треугольников, то получим много нулевых произведений. В такого рода примерах целесообразно использовать алгебраические дополнения.

7) (1.21)

Вычислим определитель через алгебраические дополнения третьей строки

Как можно убедиться, решение с помощью алгебраических дополнений в случаях разреженных матриц можно получить быстро и без большого количества вычислений.

8) (1.58)

Выполним элементарные преобразования. От другого рядка вычтем первый, а от четвертого — третий. Получим разреженную матрицу

Определитель найдем через алгебраические дополнения к четвертой строке

Вычислим каждый из слагаемых

Подставляем в определитель

9) (1.72)

Найдем определитель через расписание по строкам и столбцам, содержащие нули (выделены черным).

Таким методом нахождения определителя пятого порядка свелось к простым вычислениям. Практикуйте и изучайте правила и через некоторое время у Вас будет выходить не хуже. До встречи в следующих уроках!

———————————————-

2.4. Вычисление определителей

Основным приемом вычисления определителя го порядка является сведение его к определителям более низкого порядка с помощью формул разложения. При этом полезен учет свойств определителя, позволяющий существенно уменьшить объем вычислений.

Пример 1. Вычислить определитель

Разложим определитель по первому столбцу. Получим

.

Таким образом, вычисление определителя четвертого порядка свелось к вычислению четырех определителей третьего порядка. Далее, разлагая определители третьего порядка по первому столбцу, получим

и т.д. Окончательно получим .

Вычисления значительно упростятся, если воспользоваться свойствами определителя. По свойству 7 можно, не меняя значения определителя, прибавить второй, третий и четвертый столбцы к первому, а затем первую строку вычесть из второй, третьей и четвертой.

Получим

Пример 2. Вычислить определитель треугольной матрицы го порядка

.

Для вычисления разложим определитель по последней строке. Получим, что , где треугольный определитель порядка . Определитель снова разложим по последней строке и т.д. Продолжая аналогичные рассуждения, получим что .

Пример 3. Вычислить определитель матрицы го порядка

.

Подобные определители можно достаточно просто преобразовать к треугольному виду. Для этого прибавим все столбцы к первому и затем вычтем первую строку из всех остальных. Получим

Пример 4. Следующий метод вычисления определителей го порядка называется методом рекуррентных соотношений. Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают, преобразуя его и раскладывая по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется

рекуррентным соотношением.

Рассмотрим идею метода на примере вычисления определителя трехдиагональной матрицы или матрицы Якоби (матрицей Якоби называется матрица , если из следует ). Вычисление определителей матриц Якоби часто приводит к рекуррентному соотношению вида

,

где и постоянные числа. Для нахождения необходимо решить полученное уравнение. Заменим соответствующей степенью переменной

.

Перенося все слагаемые в левую часть и сокращая на , получим квадратное уравнение , называемое характеристическим уравнением. Пусть корни этого уравнения. Тогда возможны два случая: и .

Если , то определитель имеет вид

,

где числа находятся из условий

.

Определители и в левых частях условий вычисляются непосредственно из вида .

Если , то

,

а числа находятся из условий

.

Рассмотрим конкретный пример. Вычислим определитель го порядка

, .

Разложим определитель по последнему столбцу

.

Первый определитель в правой части является определителем порядка того же типа, что и . Второй определитель разложим еще раз по последней строке. Минор, дополнительный к ненулевому элементу в последней строке, вновь представляет собой определитель того же типа, что и , но порядка . В итоге получим рекуррентное соотношение для

.

Соответствующее характеристическое уравнение

имеет корни и . Так как , то и . Из вида находим

.

Тогда для определения получим систему уравнений

решая которую, находим

(при решении использовались равенства: ). Тогда

.

Пример 5. Вычислить определитель го порядка

.

Представим элементы последнего столбца в виде суммы двух слагаемых: . Тогда по свойству 3. определитель представится в виде суммы двух определителей

.

Первый определитель разложим по последнему столбцу. Второй определитель приведем к треугольному виду, вычитая последний столбец из всех остальных. Тогда

(1)

где является определителем порядка того же типа, что и .

Решим полученное уравнение для . Из вида при имеем.Выписывая (1) при с учетом равенства для , получаем

.

Методом математической индукции теперь нетрудно показать, что .

Пример 6. Вычислить определитель го порядка

.

Представим элементы последнего столбца в виде суммы двух слагаемых: и распишем определитель как сумму двух определителей

.

Первый определитель разложим по последнему столбцу. Для вычисления второго определителя умножим последний столбец на и вычтем из остальных. Получим

Для решения полученного рекуррентного соотношения воспользуемся тем, что при транспонировании матрицы ее определитель не меняется. В нашем случае транспонировании приводит к замене на наоборот. Поэтому имеем два равенства

Откуда .

Пример 7. Следующий пример иллюстрирует применение теоремы Лапласа. Нужно вычислить определитель квазитреугольной матрицы порядка . Квазитреугольной называют блочную матрицу вида , где квадратные матрицы, прямоугольная матрица, нулевая матрица. В подробной записи матрица имеет вид

.

Пусть . Покажем, что . Воспользуемся теоремой Лапласа. Разложим этот определитель по первым строкам. Очевидно, что из первых строк можно составить только один минор го порядка не содержащий нулевого столбца, у которого номера выделяемых столбцов удовлетворяют условию . Этот минор есть . Дополнительным к нему минором является определитель , что и доказывает формулу.

Правила расчета определителей и примеры

Правила

Правила расчета с определителями.

Перестановка двух строк Перестановка двух столбцов Фактор в строкеСложение строкСложение столбцовТеорема умноженияТеорема о транспозицииТеорема об обратной матрицеКоробка

Методы расчета определяющих значений.

Определяющее значениеОпределяющее значение 2×2Определяющее значение 3×3Определяющее значение NxNLaplace ExpansionGaussian Method

История определителей

Исторически определяющие факторы рассматривались до матриц. Первоначально определитель определялся как свойство системы линейных уравнений. Определитель «определяет», имеет ли система уравнений единственное решение (именно так оно и есть, если определитель отличен от нуля). В этом контексте матрицы 2×2 были рассмотрены Кардано в конце 16 века, а более крупные матрицы — Лейбницем примерно 100 лет спустя.

Определитель

Каждой квадратной матрице можно присвоить уникальный номер, который называется определителем (det(A)) матрицы. В общем случае определитель матрицы NxN определяется формулой Лейбница:

det A=∑σ∈SnsgnσΠi=1nAiρi

здесь необходимо распространить сумму на все перестановки σ. Таким образом, из элементов множества A формируются все возможные произведения для каждого n-элемента таким образом, что каждое из произведений каждой строки и столбца содержит ровно один элемент. Эти продукты складываются, и сумма является определителем A. Знак слагаемых положительный для четных перестановок и отрицательный для нечетных перестановок.

Правила вычисления определителя

Перестановка двух строк определителя

Перестановка двух строк определителя местами меняет только знак, но не значение определителя.

det A=|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|=-|a11a12…a1n⋮ak1ak2…akn⋮aj1aj2…ajn⋮an1an2…ann|

Перестановка двух столбцов определителя местами

Перестановка двух столбцов определителя местами меняет только знак, но не значение определителя.

det A=|a11…a1j…a1k…a1na21…a2j…a2k…a2n⋮an1…anj…ank…ann|=-|a11…a1k…a1j…a1na21…a2k…a2j…a2n⋮an1…ank…anj…ann |

Множитель в строке определителя

Извлечение общего множителя из строки. Общий множитель во всех элементах строки можно изобразить как множитель перед определяемым. Затем значение детерминанта получается путем умножения множителя на значение результирующего детермината det A’.

det A=|a11a12…a1n⋮λaj1λaj2…λajn⋮an1an2…ann|=λ|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮an1an2…ann|=λdet A’

Извлечение общего множителя из столбца. Общий множитель во всех элементах столбца можно изобразить как множитель перед определяемым. Затем значение детерминанта получается путем умножения множителя на значение результирующего детермината det A’.

det A=|a11…λa1j…a1na21…λa2j…a2n⋮an1…λanj…ann|=λ|a11…a1j…a1na21…a2j…a2n⋮an1…anj…ann|=λdet A’

Добавление строк

Сложение строки определителя с кратным другой строки. Значение определителя не меняется, когда к строке добавляется кратное другой строки.

det A=|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|=|a11a12…a1n⋮aj1+λak1aj2+λak2…ajn+λakn⋮ak1ak2…akn⋮an1an2…ann|

Сложение столбцов

Сложение столбца определителя с кратным другому столбцу. Значение определителя не меняется, когда к столбцу прибавляется кратное другому столбцу.

det A=|a11…a1j…a1k…a1na21…a2j…a2k…a2n⋮an1…anj…ank…ann|=|a11…a1j+λa1k…a1k…a1na21…a2j+λa2k…a2k…a2n⋮an1…anj+ λанк…анк…анн|

Теорема умножения

Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц.

det(A⋅B)=det(A)⋅det(B)

Также следует следующее соотношение.

det(Ak)=det(A)k

Теорема транспонирования

Определитель транспонированной матрицы равен определителю самой матрицы.

det(AT)=det(A)

Обратная матрица

Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя самой матрицы

det(A-1)=det(A)-1=1det A

Теорема о ящике

Имеет определитель, следующий за коробчатой ​​структурой с квадратными ящиками B и D, тогда его определитель представляет собой произведение определителей направлений B и D .

det A=|BC0D|=det(B)det(D)det A=|B0CD|=det(B)det(D)

Вычисление значения определителя

Определитель матрицы 0x0

Определитель a Матрица 0x0 определяется как 1.

Определитель матрицы 1×1

Матрица 1×1 — это матрица, состоящая только из одного элемента, а определитель задается самим элементом.

det A=|a11|=a11

Определитель матрицы 2×2

Для матрицы 2×2 определитель вычисляется следующим образом.

det A=|a11a12a21a22|=a11a22-a21a12

Определитель матрицы 3×3

Для вычисления определителя 3×3 существуют разные способы. С развитием Лапаса можно уменьшить определитель до 2х2 определителей. Прямой способ вычисления определителя — правило Сарруса. Правило Сарруса гласит, что определитель квадратной матрицы 3×3 вычисляется путем вычитания суммы произведений главных диагоналей из суммы произведений второстепенных диагоналей.

Определитель матрицы 3×3 по правилу Сарруса

Определитель вычисляется по правилу Сарруса следующим образом. Схематически первые два столбца определителя повторяются, так что большая и малая диагонали могут быть виртуально соединены линейной линией. Затем делают произведения главных диагональных элементов и добавляют эти произведения. С второстепенными диагоналями вы должны сделать то же самое. Разница между ними дает определитель матрицы.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|a11a12a21a22a31a32|=a11a22a33+a12a23a31+a33a21a32-(a31a22a13+a32a23a11+a33a21a12)

9 0002 Определитель матрицы NxN

Теорема Лапласа о разложении

Теорема Лапласа о развитии предлагает метод вычисления определителя, в котором определитель развивается после строки или столбца. Размерность уменьшается и может быть уменьшена далее шаг за шагом до скаляра.

det A=∑i=1n-1i+j⋅aijdetAij ( Разложение по j-му столбцу )

det A=∑j=1n-1i+j⋅aijdetAij ( Разложение по i-й строке )

где A _ij , подматрица A, которая возникает, когда i-я строка и j- й столбец удален.

Пример разложения Лапласа по первой строке матрицы 3×3.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|

Первый элемент задается коэффициентом a ₁₁ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a11|a22a23a32a33|

Второй элемент задается коэффициентом a ₁₂ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a12|a21a23a31a33|

Третий элемент задается коэффициентом a ₁₃ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a13|a21a22a31a32|

С тремя элементами определитель может быть записан как сумма определителей 2×2.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=a11|a22a23a32a33|-a12|a21a23a31a33|+a13|a21a22a31a32|

Важно учитывать, что знаки элементов чередуются следующим образом.

|+-+-+-+-+|

Пример разложения Лапласа по второму столбцу матрицы 3×3.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|

Первый элемент задается коэффициентом a ₁₂ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a12|a21a23a31a33|

Второй элемент задается коэффициентом a ₂₂ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a22|a11a13a31a33|

Третий элемент определяется коэффициентом а ₂₃ и поддетерминант, состоящий из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a23|a11a13a21a23|

С тремя элементами определитель может быть записан как сумма определителей 2×2.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=-a12|a21a23a31a33|+a22|a11a13a31a33|-a32|a11a13a21a23|

Важно учитывать, что знаки элементов чередуются следующим образом.

|+-+-+-+-+|

Пример разложения по j-й строке определителя NxN.

Расширение Лапласа сводит определитель NxN к сумме (N-1)x(N-1) определителей.

det A=|a11a12…a1n⋮aj1aj2…ajn⋮an1an2…ann|=±aj1|a12…a1n⋮aj-12…aj-1naj+12…aj+1n⋮an2…ann|±aj2|a11a13…a1n⋮aj -11aj-13…aj-1naj+11aj+13…aj+1n⋮an1an3…ann|±…±ajn|a11a12…a1n-1⋮aj-11aj-12…aj-1n-1aj+11aj+12…aj+ 1n-1⋮an1an2…ann-1|

Метод Гаусса

В методе Гаусса определитель преобразуется таким образом, что элементы нижней матрицы треугольника становятся равными нулю. Для этого вы используете правила коэффициента строки и добавление строк. Добавление строк не меняет значения определителя. Факторы ряда должны рассматриваться как множители перед определителем. Если определитель треугольный и элементы главной диагонали равны единице, то множитель перед определителем соответствует значению самого определителя.

det A=|a11a12…a1naj1aj2…ajn⋮an1an2…ann|=λ|1a12…a1n01…ajn⋮00…1|=λdet A’=λ

Правило Крамера

Правило Крамерса использует определители для решения системы линейных уравнения. Для случая линейной (N×N) системы уравнений с det(A), не равным 0, решение можно представить в следующем виде:

х=А-1б

xi=1det A|a11…b1…a1na21…b2…a2n⋮an1…bn…ann|

xi=DiD

Определитель в числителе D _i от D = det A показан i-й колонкой в ​​D заменен на b.

Определения

Матрица A называется Обычной , если определитель A не равен 0.

Матрица A называется сингулярной , если определитель матрицы A равен 0.

Матрица A является обратимой , если определитель A не равен 0.

Выводы из теоремы умножения:

дет(А⋅В)=дет(В⋅А)

det(C-1AC)=det(A)

Brilliant Math & Science Wiki

Абдулрахман Эль-Шафей, Александр Кац, Самара Симха Редди, и

способствовал

Содержимое

• Формальное определение и мотивация
• Свойства определителя
• Детерминант по несовершеннолетним
• Определитель по перестановкам
• Особые случаи
• Правило Сарруса
• Смотрите также

Формально определитель представляет собой функцию \(\text{det}\) от множества квадратных матриц к множеству действительных чисел, которая удовлетворяет 3 важным свойствам:

• \(\text{det}(I) = 1\).
• \(\text{det}\) линейно по строкам матрицы.
• Если две строки матрицы \(M\) равны, \(\det(M)=0\).

Второе условие является наиболее важным. Это означает, что любая из строк матрицы записывается как линейная комбинация двух других векторов, и определитель можно вычислить, «разбивая» эту строку. Например, в приведенном ниже примере вторая строка \((0,2,3)\) может быть записана как \(2 \cdot (0,1,0) + 3 \cdot (0,0,1)\ ), поэтому

\[\text{det}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix} = 2 \cdot \text{det}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{ pmatrix}+3 \cdot \text{det}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}=2.\]

Ключевая теорема показывает, что

существует ровно одна функция, удовлетворяющая трем указанным выше соотношениям.

К сожалению, с этим очень трудно работать для всех матриц, кроме самых простых, поэтому лучше использовать альтернативное определение. Есть два основных варианта: 9Определитель 0283 минорами и определитель перестановками .

Определитель является очень важной функцией, поскольку он удовлетворяет ряду дополнительных свойств, которые могут быть получены из 3 условий, указанных выше. Они следующие:

1. Мультипликативность: \(\text{det}(AB)=\text{det}(A)\text{det}(B)\)
2. Инвариантность по отношению к операциям со строками: если \(A’\) — матрица, образованная добавлением числа, кратного любой строке, к другой строке, то \(\text{det}(A)=\text{det}(A’)\ ). 92 &=& ? \end{cases} } \]

   Учитывая приведенные выше ограничения, каково значение последнего уравнения?

   Метод определителя по младшим вычисляет определитель с помощью рекурсии. Базовый случай прост: определитель матрицы \(1 \times 1\) с элементом \(a\) равен просто \(a\). Обратите внимание, что это согласуется с приведенными выше условиями, поскольку

   \[\text{det}\begin{pmatrix}a\end{pmatrix} = a \cdot \text{det}\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} =а\]

   9{i+1}a_{1,i}\text{det}(A_{1i}) = a_{1,1}\text{det}A_{11}-a_{1,2}\text{det} А_{12}+\cdots. 2?\)

   К сожалению, эти вычисления могут оказаться довольно утомительными; уже для матриц \(3 \times 3\) формула слишком длинная, чтобы ее можно было запомнить на практике.

   Альтернативный метод, определитель с помощью перестановок , вычисляет определитель с использованием перестановок элементов матрицы. Пусть \(\sigma\) — перестановка \(\{1, 2, 3, \ldots, n\}\), а \(S\) — множество этих перестановок.

   Тогда определитель \(n \times n\) матрицы \(A\) равен

   9{n}a_{i,\sigma(i)}\right).\]

   Это может выглядеть более пугающе, чем предыдущая формула, но на самом деле она более интуитивно понятна. По сути там написано следующее:

   Выберите \(n\) элементов \(A\) так, чтобы никакие два не находились в одной строке и не два в одном столбце, и умножьте их, возможно, также на \(-1\), если перестановка имеет странный знак. Определитель — это сумма по всем выборам этих \(n\) элементов.

   Это определение особенно полезно, когда матрица содержит много нулей, так как тогда большинство произведений исчезает.

   Найдите определитель матрицы

   \[\left(\begin{array}{cc}1&0&-1&9&11\\0&-6&-1&9&11\\0&0&\frac{1}{3}&-80&\frac{ 1}{3}\\0&0&0&9&7\\0&0&0&0&-5 \end{массив}\right).\]

   Вот пример:

   Каков определитель \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}?\)

   ---

   Есть две перестановки \(\{1,2\}\): сам \(\{1,2\}\) и \(\{2,1\}\). Первый имеет положительный знак (поскольку у него 0 транспозиций), а второй — отрицательный (поскольку у него 1 транспозиция), поэтому определитель равен 9.{n}a_{i,\sigma(i)}\right) = 1 \cdot a_{1,1}a_{2,2} + (-1) \cdot a_{1,2}a_{2,1 } = ad-bc.\]

   Неудивительно, что это тот же результат, что и выше. \(_\квадрат\)

   Вычислить \(\det\left(\begin{array}{cc}2&6&4\\-3&1&5\\9&3&7 \end{array}\right).\)

   Простейшие случаи вычисления определителя top -треугольные (и нижнетреугольные ) матрицы, используя описанный выше метод перестановки:

   1. Треугольный определитель

      • Верхний треугольный определитель (элементы, находящиеся ниже главной диагонали, равны нулю ):
        \[X=\text{det}\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ 0 & f & g & h \\ 0 & 0 & k & l \\ 0 & 0 & 0 & p \end{vmatrix}=a\times f\times k\times p. \]
      • Нижний треугольный определитель (элементы выше главной диагонали равны нулю ): \[X=\text{det}\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ e & f & 0 & 0 \\ i & j & k & 0 \\ m & n & o & p \end {vmatrix}=a\times f\times k\times p.\]

   2. Определитель диагонали (элементы, находящиеся под и над главной диагональю, равны нулю ): \[X=\text{det}\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end {vmatrix}=a\times f\times k\times p.\]

   Это полезно, потому что матрицы могут быть преобразованы в эту форму с помощью операций со строками, которые не влияют на определитель:

   Найдите значение определителя

   \[X=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 7 & 5 & 2 \\ -1 & 4 & -6 & 3 \end{vmatrix }.\]

   ---

   У нас есть

   \[\begin{выравнивание} [X]=&\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2&7&5&2 \\ -1&4&-6&3 \end{bmatrix} \\\\\\ \begin{matrix} \text{row}_1 \rightarrow \text{row}_1 \\ \text{row}_2 — 2\text{row}_1 \rightarrow \text{row}_2 \\ \text{row} _3 — 2\text{row}_1 \rightarrow \text{row}_3 \\ \text{row}_4 — 3\text{row}_1 \rightarrow \text{row}_4 \end {matrix} \Rightarrow &\ begin{bmatrix} 1&2&2&1\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ -4&-2&-12&0 \end{bmatrix} \\\\\\ \begin{matrix} \text{row}_1 \rightarrow \text{row}_1 \\ \text{row}_2 \rightarrow \text{row}_2 \\ \text{row}_3 \rightarrow \text{row} _3 \\ \text{row}_4 +12\text{row}_3 \rightarrow \text{row}_4 \end {matrix} \Rightarrow &\begin{bmatrix} 1&2&2&1\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ -4&34&0&0 \end{bmatrix} \\\\\\ \begin{matrix} \text{row}_1 \rightarrow \text{row}_1 \\ \text{row}_2 \rightarrow \text{row}_2 \\ \text{row}_3 \rightarrow \text{row} _3 \\ \text{row}_4 +17\text{row}_2 \rightarrow \text{row}_4 \end {matrix} \Rightarrow &\begin{bmatrix} 1&2&2&1\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ -21&0&0&0 \end{bmatrix} \\\\\\ \begin{matrix} \text{row}_4 \rightarrow \text{row}_1 \\ \text{row}_2 \rightarrow \text{row}_2 \\ \text{row}_3 \rightarrow \text{row} _3 \\ \text{row}_1 \rightarrow \text{row}_4 \end {matrix} \Rightarrow — &\begin{bmatrix} -21&0&0&0\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ 1&2&2&1 \end{bmatrix} . \конец{выравнивание}\]

   Следовательно, \(\det {[X]} = X = -(-21)(-2)(1)(1) = -42.\ _\квадрат\)

   Правило Сарруса — это сокращенный способ вычисления определителя матрицы \(3 \times 3\).

   1. Перепишите первые две строки, занимая гипотетические четвертую и пятую строки соответственно: \[\слева| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right| \Стрелка вправо\влево| \begin{матрица} 1 и 2 и 3 \\ 4 и 5 и 6 \\ 7 и 8 и 9\end{матрица} \right| \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}\]

   2. Перемножить диагональные элементы: \[\begin{матрица} \left| \begin {matrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right| \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{matrix}\end{matrix}= 1 \cdot 5 \cdot 9+4 \cdot 8\cdot 3+7\cdot 2 \ cdot 6 -3\cdot 5 \cdot 7 -6 \cdot 8 \cdot 1 — 9 \cdot 2 \cdot 4 = 0.\]

   3. Диагональ по убыванию слева направо имеет знак \(+\) , а диагональ по убыванию справа налево имеет знак \(-\text{}\).

      No related posts.