Медиана в треугольнике это: Что такое медиана треугольника? Ответ на webmath.ru

Содержание

Медиана треугольника. Теорема равнобедренного треугольника.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника c серединой противоположной стороны. Прямая тоже может быть медианой. Треугольник имеет три стороны, поэтому у него всегда ровно три медианы, каждая из которых выходит из вершины к середине противоположной стороны треугольника.

Давайте введем определение высоты:

Для построения медианы необходимо:

  1. найти середину стороны и обозначить ее точкой;
  2. соединить найденную точку с  противолежащей вершиной треугольника.

 

Напомним про свойства равнобедренного треугольника из теоремы:

 

Если мы проведем медиану к основанию в равнобедренном треугольнике, то увидим что она также является и высотой:

Напомним, что такое биссектриса:

 

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1.

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Считаю, что математика доступна для каждого: это увлекательный мир чисел и операций над ними. Со мной вы поймёте, что математика может быть очень интересной, если найти свой путь к ней!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Санкт-Петербургский политехнический университет им. Петра Великого

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-10 классов. . Нахожу общий язык с учеником. К каждому индивидуальный подход. С удовольствием помогу разобраться с математикой в приятной учебной атмосфере. Занимаюсь подготовкой учеников к ОГЭ, помогаю подтянуть программу средней школы , разобрать домашние задания, подготовиться к контрольным, устранить пробелы по уже изученным темам.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Таразский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Математика - отличная гимнастика для ума, она тренирует мозги, и помогает решать не только абстрактные задачи, но и вполне жизненные. Если ребёнок увлекается математикой, любит думать, рассуждать, формулировать свои мысли, то это может пригодиться в любой профессии. Приёмы подачи материала и содержание заданий подбираются в зависимости от индивидуальных особенностей ученика в каждом конкретном случае. В соответствии с ними составляется не только план на ближайший урок, но и общая стратегия моих действий.

Похожие статьи

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Планиметрия

      Определение. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Рис.1

      Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

      На рисунке 1 медианой является отрезок BD.

      Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника).

      Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Рис.2

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

      Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

      Доказательство. Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Рис.3

      Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Рис.4

      Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Рис.5

      Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC. Следовательно,

      Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC. Следовательно,

откуда вытекает, что стороны ED и FG четырёхугольника FEDG равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммом, а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам (рис.6).

Рис.6

      Таким образом,

| FO | = | OD | ,       | GO | = | OE | .

      Следовательно,

| AF | = | FO | = | OD | ,       | CG | = | GO | = | OE | .

      Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении   2 : 1, считая от вершины треугольника.

      Доказательство завершено.

      Следствие. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O, которая делит эту медиану в отношении   2 : 1, считая от вершины A (рис.7).

Рис.7

      Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

      Определение. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

      Утверждение 3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Рис.8

      Доказательство. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна  площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Рис.9

      Тогда

      В силу утверждения 1,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Длина медианы треугольника (рис. 10) вычисляется по формуле:

Рис.10

      Доказательство. Воспользуемся теоремой косинусов, примененной к треугольникам DBC и ABD:

      Складывая эти равенства, получим:

что и требовалось доказать.

      Следствие. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой

      Доказательство. В силу утверждения 4 справедливы равенства:

      Складывая эти равенства, получим:

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. В параллелограммепараллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.

Рис.11

      Поскольку AO – медиана треугольника ABD, а DO – медиана треугольника ADC, то, в силу утверждения 4, справедливы равенства:

      Следовательно,

d12 = 2a2 + 2b2d22,

d22 = 2a2 + 2b2d12.

      Складывая эти равенства, получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы (рис. 12).

Рис.12

      Доказательство. Продолжим медиану CO за точку O до точки D так, чтобы было выполнено равенство CO = OD, и соединим полученную точку D с точками A и B (рис. 13).

Рис.13

      Получим четырехугольник ADBC, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам. В силу признака параллелограммапризнака параллелограммапризнака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C, то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBC – прямоугольникпрямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:

что и требовалось доказать.

      Следствие. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около треугольника окружности (рис. 14).

Рис.14

      Утверждение 7. Рассмотрим в пространстве или на плоскости декартову систему координат с началом в точке O и произвольный треугольник ABC. Если обозначить буквой M точку пересечения медиан этого треугольника (рис.15), то будет справедливо равенство

Рис.15

      Доказательство. По свойствам векторов

      Далее получаем

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

 

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

 

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

 

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

 

\[{\Large{\text{Медиана}}}\]

Теорема

В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Доказательство

Пусть \(AD\) и \(BE\) – медианы в треугольнике \(ABC\), \(O\) – точка пересечения \(AD\) и \(BE\).


 

\(DE\) – средняя линия в треугольнике \(ABC\), тогда \(DE\parallel AB\), значит \(\angle ADE = \angle BAD\), \(\angle BED = \angle ABE\), следовательно, треугольники \(ABO\) и \(DOE\) подобны (по двум углам).

 

Из подобия треугольников \(ABO\) и \(DOE\): \(\dfrac{BO}{OE} = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{2}{1}\).

 

Для других медиан треугольника \(ABC\) требуемое свойство доказывается аналогично.

 

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

 

Доказательство

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: \(S_{ABC} = 0,5\cdot AC\cdot h\).


 

Пусть \(BD\) – медиана в треугольнике \(ABC\), тогда \(AD = DC\).\circ\), чтд.

 

\[{\Large{\text{Биссектриса}}}\]

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:


 

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

 

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть \[\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AC\cdot CD}{CB\cdot CD} = \dfrac{AC}{CB}\]

С другой стороны, \(\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{0,5\cdot AD\cdot h}{0,5\cdot DB\cdot h}\), где \(h\) – высота, проведённая из точки \(C\), тогда \(\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AD}{DB}\).

 

В итоге \(\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AC}{CB}\), откуда \(\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{DB}{BC}\), что и требовалось доказать.

 

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

 

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.


 

Доказательство

1) Докажем, что если \(KA=KB\), то \(OK\) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники \(AOK\) и \(BOK\): они равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(\angle AOK=\angle BOK\), чтд.

 

2) Докажем, что если \(OK\) – биссектриса, то \(KA=KB\).
Аналогично треугольники \(AOK\) и \(BOK\) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, \(KA=KB\), чтд.

Медиана — что это такое, свойства медианы треугольника

Обновлено 18 января 2021
  1. Медиана — это...
  2. Пересечение медиан треугольника
  3. В равностороннем треугольнике
  4. Медиана прямоугольного треугольника
  5. Вместо заключения

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.

У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.

И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.

Медиана — это...

Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.

Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.

Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.

Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.

Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:

Есть в треугольнике обычном
Отрезок очень непростой
Соединяет он обычно с серединой стороны любой
И каждый должен знать отлично,
Зовется медианой он.

Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.

И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!

И выглядят они вот так.

На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.

Пересечение медиан треугольника

Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.

Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.

Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.

Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:

  1. Отрезок СО вдвое больше, чем отрезок АО;
  2. Отрезок РО вдвое больше, чем отрезок LO;
  3. Отрезок МО вдвое больше, чем КО.

Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.

Медиана равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.

Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.

Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.

И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.

Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.

Медиана прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.

Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.

Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.

Вместо заключения

А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.

Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.

Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».

И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.

Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Медиана треугольника abc: определение, основание, свойства, задачи

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

  • BF – медиана, проведенная к стороне AC.
  • AF = FC

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

  • AO = 2OE
  • BO = 2OF
  • CO = 2OD

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

S1 = S2

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см2. Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см2 ⋅ 6 = 30 см2.

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Урок 12. медианы треугольника. биссектрисы треугольника. высоты треугольника - Геометрия - 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 12

Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Понятие медианы, биссектрисы, высоты треугольника.
  • Построение медианы, высоты, биссектрисы.
  • Точки пересечения медианы, высоты и биссектрисы в треугольнике.
  • Создание представления о замечательных точках в треугольнике.

Тезаурус:

Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знакомы с такими понятиями как треугольник, угол, биссектриса угла.

Разберем, как построить биссектрису треугольника, а также узнаем, что такое медиана и высота треугольника.

Начнём с понятия биссектриса угла треугольника. Это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. AF – биссектриса ∠A треугольника ABC.

AA1, BB1, CC1 биссектрисы ∆АВС

В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.

Введём понятие медианы треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

BM – медиана треугольника ABC.

AA1, BB1, CC1– медианы ∆АВС.

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.

Введём понятие высоты треугольника.

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

AH – высота треугольника ABC.

AH1, BH2, CH3– высоты ∆АВС.

В любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Итак, сегодня мы узнали, какие отрезки называются медианой, биссектрисой, высотой треугольника, и научились их изображать с помощью чертёжных инструментов.

Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие «медиана треугольника».

На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AD – медиана ∆ABC продолжена за сторону BC, так что AD = DE.

Докажем, что треугольники ABD и CED равны.

Дано:

АD – медиана ∆ABC.

AD = DE.

Доказать:

∆ABD = ∆CED.

Доказательство:

По условию в треугольниках ABD и CED: сторона AD равна стороне DE. Т. к. АD – медиана ∆ABC, то, по определению медианы, BD = DC.

∠ADB = ∠CDE (по свойству вертикальных углов).

Следовательно, ∆ABD = ∆CED (по первому признаку равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).

Что и требовалось доказать.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BM, которые пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника ABO, если ∠BAC = 50°, ∠ABC = 80°, а сумма углов треугольника ABO равна 180°.

Решение:

1.Нарисуем рисунок по условию задачи.

2.По условию AD и BM – биссектрисы ∆ABC.

∠BAC = 50°, ∠BAC = 2∠BAO =50° → ∠BAO = 25°

∠ABC = 80°, ∠ABC= 2∠ABO = 80°→∠ABO = 40°

3.Т. к. сумма углов треугольника ABO равна 180°, то ∠ABO + ∠BAO + ∠AOB = 180°.

4.25° + 40° + ∠AOB = 180°.

5.∠AOB = 180° – (25° + 40°) = 115°.

Ответ: ∠BAO = 25°, ∠ABO = 40°, ∠AOB = 115°.

Задача 2.

В треугольнике COD: ∠O = 90°. Найдите ∠МОВ, если ОА – биссектриса угла ∠СОM, при этом ∠COА = 20°, а ВО– биссектриса ∠МОD.

Решение:

1.По условию ∠СОD = 90°.

Кроме того, ОА – биссектриса угла ∠СОM → ∠МОА = ∠СОА = 20°.

2.ВО – биссектриса ∠МОD→∠ВОD = ∠МОВ.

3. ∠СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 20° + 20° + 2∠МОВ = 40° + 2∠МОВ = 90°.

4. 40° + 2∠МОВ = 90°.

∠МОВ = (90° – 40°):2 = 25°.

Ответ: ∠МОВ = 25°.

Медианы треугольника / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Медианы треугольника

Медиана треугольника - это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. На Рис.1 АМ - медиана треугольника АВС (соединяет вершину А с серединой стороны ВС точкой М, т.е. ВМ = МС).

Любой треугольник имеет три медианы. На Рис.2, АМ, ВК, СD  - медианы треугольника АВС. Медиана АМ соединяет вершину А с серединой стороны ВС - точкой М (ВМ = МС), медиана ВК соединяет вершину В с серединой стороны АС - точкой К (ВК = КС), медиана СD соединяет вершину С с серединой стороны АВ - точкой D (АD = DB).

Замечательное свойство медиан треугольника: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. На Рис.2 медианы АВС пересекаются в точке О. При этом, точка О делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т.е. АО : ОМ = ВО : ОК = СО : DO = 2 : 1.

 

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 114, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 492, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 588, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 624, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 769, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 866, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 910, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 932, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 996, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1300, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Медиана треугольника - определение математического слова

Медиана треугольника - определение математического слова - Math Open Reference Медиана треугольника - это отрезок присоединение к вершина до середины противоположной стороны.
Следовательно, треугольник имеет три медианы. Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину чтобы изменить форму треугольника. Обратите внимание, что все три медианы встречаются в одной точке.

Медиана треугольника - это отрезок от вершины треугольника к середина стороны, противоположной этой вершине.Поскольку существует три вершины, конечно, возможны три возможных медианы. Один из увлекательных в них есть то, что независимо от формы треугольника, все три всегда пересекаются в единственная точка. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Недвижимость

Медианы треугольника обладают некоторыми удивительными свойствами:
  1. Тот факт, что три медианы всегда встречаются в одной точке, интересен сам по себе
  2. Каждая медиана делит треугольник на два меньших треугольника , имеющих одинаковую площадь
  3. Центроид (точка, где они встречаются) - это центр тяжести треугольника
  4. Три медианы делят треугольник на 6 меньших треугольников одинаковой площади, даже если они могут иметь разную форму.

Отрегулируйте треугольник выше, перетащив любую вершину. Убедите себя, что три медианы (серые линии) всегда пересекаются в одной точке. Вы также можете визуально оценить, что приведенные выше факты о местности соответствуют действительности.

Попробуйте

  1. Сделайте из картона любой треугольник шириной около 12–24 дюймов. Сделайте его как можно скругленным и неправильным.
  2. Нарисуйте медиану на картонном треугольнике. Подойдет любой.
  3. В точке, где медиана пересекает сторону треугольника, проделайте небольшое отверстие рядом с краем.Обвяжите его веревкой.
  4. Когда вы держите треугольник за веревку, средняя линия должна быть вертикальной - точно на одной линии с веревкой (см. Рисунок ниже).
  5. Почему?

Другие темы треугольника

Общие

Периметр / Площадь

Типы треугольников

Центры треугольника

Соответствие и сходство

Решение треугольников

Треугольник викторины и упражнения

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Медиана треугольника

(формулы, примеры и видео) // Tutors.com

Медиана треугольника (определение, формула и примеры)


Область Медиана Центроид Как найти медиану Примеры

Математическое слово «медиана» имеет разные значения с разными операциями. В статистике это значение, лежащее в середине набора данных. Итак, для набора данных {3, 5, 7, 9, 11} 7 - это медиана. В геометрии медиана - это отрезок прямой от внутреннего угла треугольника до середины противоположной стороны.Изучение геометрической медианы может облегчить вам жизнь в геометрии и, возможно, на кухне.

Что вы узнаете:

Пройдя этот урок и видео, вы сможете:

  • Напомним, что в каждом треугольнике есть три медианы
  • Нарисуйте или обозначьте медианы в треугольниках
  • Определите центр тяжести треугольника, используя его медианы
  • Вычислить длину медианы
  • Соотнесите площадь треугольника с его медианами

Треугольник

Любой треугольник представляет собой многоугольник с тремя прямыми сторонами, ограничивающими пространство.Названные по углам, треугольники могут быть острыми или тупыми треугольниками (которые сгруппированы вместе как наклонные треугольники) или прямоугольными треугольниками. Названные по сторонам, треугольники могут быть разносторонними, равнобедренными или равносторонними.

Площадь

Площадь - это пространство, которое занимает многоугольник в двух измерениях. У каждого треугольника есть внутреннее пространство, равное его площади. Эта площадь всегда измеряется в квадратных единицах, независимо от формы, которую вы измеряете. Вы измеряете площадь, умножая длину на ширину.Высота также может называться , высота .

Вот формула площади треугольника:

A = 12 (основание × высота)

Что такое медиана треугольника?

Если вы нашли середину любой стороны треугольника, вы нашли его середину. От этой средней точки вы можете построить отрезок прямой до противоположного внутреннего угла. Эта построенная линия от середины стороны до противоположного внутреннего угла представляет собой середину .

Поскольку треугольник всегда имеет три стороны, у него всегда три медианы.

Центроид треугольника

Если медианы пересекаются, точка, общая для всех трех медиан, называется центроидом . Центроид - это точка параллелизма . всегда будет внутри треугольника, в отличие от других точек параллелизма, таких как ортоцентр.

Медианы, встречающиеся в центроиде, демонстрируют своеобразное свойство. Центроид всегда составляет две трети пути вдоль каждой медианы от внутреннего угла этой медианы. Это означает, что он устанавливает соотношение 2: 1 для каждой из трех медиан:

  • 2 части медианы находятся между центром тяжести и внутренним углом
  • 1 часть медианы находится между центром тяжести и противоположной стороной

Центр масс

Центроид треугольника не только теоретический.Это центр масс или центр тяжести треугольника. Рисуя все три медианы, вы можете найти точное место, где физически существующий треугольник будет идеально сбалансирован!

Это может иметь для вас практическое применение, если вы имеете дело с треугольниками, вырезанными из картона или дерева. Вы можете найти центр тяжести и уравновесить треугольник на кончике карандаша или на кончике пальца.

Как найти медиану треугольника

Теорема, называемая Теорема Аполлония , может дать вам длину медианы треугольника.Это немного многословно, но может быть переведено в формулу. Во-первых, теорема:

Теорема Аполлония гласит, что в любом треугольнике сумма квадратов на любых двух сторонах равна удвоенному квадрату на половине третьей стороны вместе с удвоенным квадратом на медиане, которая делит третью сторону пополам.

Формула выглядит так, где a, b и c - длины сторон, а m - медиана от внутреннего угла A до стороны a:

m = 2b2 + 2c2 - a24

Медиана треугольника Пример

Медиана - это разделительная линия, разделяющая исходный треугольник на два меньших треугольника равной площади.Эта функция медианы может оказаться очень кстати.

Здесь у нас есть △ EAT, пицца с разносторонним треугольником, приготовленная в начинающих науках о семье и потреблении. На форму не особо приятно смотреть, но вы приготовили свою первую пиццу и гордитесь ею. Вы предлагаете поделиться с другом. Как вы разделите пиццу, чтобы получить одинаковую сумму?

Используйте медианное значение. Под любым внутренним углом сделайте разрез до середины противоположной стороны. Теперь у вас и вашего друга поровну пиццы.

Предположим, к вам присоединятся еще двое друзей и хотят попробовать вашу пиццу необычной формы. Сделайте разрез по другой средней линии от любого внутреннего угла до середины противоположной стороны! Кусочки меньше по размеру и имеют определенно странную форму, но все они имеют одинаковую площадь.

Угу! Еще двое друзей хотят войти. Пицца может выглядеть странно, но пахнет чудесно. Так что отрежьте третью среднюю линию, и все шестеро будут наслаждаться одинаковым количеством пиццы, даже если все формы будут немного… разными.

Краткое содержание урока

Пройдя этот урок, вы теперь можете вспомнить, что каждый треугольник имеет три медианы, нарисовать или определить медианы в треугольниках, определить центр тяжести треугольника с помощью его медиан, вычислить длину медианы и соотнести площадь с медианы треугольников.

Следующий урок:

Найдите высоту треугольника

Медиана треугольника - математический способ

Медиана треугольника - это отрезок прямой, соединяющий одну из его вершин с центром противоположной стороны.

В каждом треугольнике есть три медианы (m a , m b и m c ), по одной от каждой вершины. Длины медиан можно получить из теоремы Аполлония как:

Где a , b и c - стороны треугольника с соответствующими медианами m a , m b и m c от их середин.

Три медианы треугольника всегда совпадают. Точка пересечения медиан - это центр масс или центр тяжести ( G ).

В любой медиане треугольника расстояние между центром тяжести (или центроидом) G и центром его соответствующей стороны составляет одну треть (1/3) длины этой медианы, т. Е. Центроида. составляет две трети (2/3) расстояния от каждой вершины до середины противоположной стороны.

Каждая медиана делит треугольник на два равных по площади.

Действительно, два треугольника Δ ABP и Δ PBC имеют одинаковое основание. AP = PC , по тому же определению медианы и той же высоте h относится к этой линии двух оснований от вершины B .

В физике центр тяжести или центроид ( G ) будет центром тяжести треугольника.

Загрузите этот калькулятор , чтобы получить результаты формул на этой странице. Выберите исходные данные и введите их в верхнем левом поле. Для получения результатов нажмите ENTER.

Общий треугольник.rar или Triangle-total.exe

Примечание. Предоставлено автором: Хосе Мария Пареха Маркано . Химик. Севилья, испания.

Теорема Аполлония

Верно, что в треугольнике сумма квадратов двух его сторон равна сумме половины квадрата третьей стороны и удвоенного квадрата медианы, соответствующей этой третьей стороне.

Теперь в треугольнике Δ ABC имеем:

Где a , b и c - опоры, а m b - медиана, соответствующая стороне b .

Упражнение

Найдите длину медианы треугольника Δ ABC , если длина сторон равна a = 2 см, b = 4 см и c = 3 см.

Используя уравнение теоремы Аполлония, мы можем найти длину всех трех медиан:

Таким образом, медианы равны м a = 3,39 см , м b = 1,58 см и м c = 2.78 см .

Центроид треугольника (или центра тяжести треугольника ) G - это точка, где встречаются три медианы треугольника.

Медианы треугольника - это отрезки линии, созданные путем соединения одной вершины с серединой противоположной стороны. Поскольку каждый треугольник имеет три стороны и три угла, он имеет три медианы (m a , m b и m c ).

Теорема о центроиде : расстояние между центроидом и соответствующей ему вершиной в два раза больше расстояния между центром тяжести и серединой противоположной стороны.То есть расстояние от центроида до каждой вершины составляет 2/3 длины каждой медианы. Это верно для любого треугольника.

Центроид всегда находится внутри треугольника.

Медиана треугольника: определение и основные свойства

Вычисление медианы треугольника - одна из фундаментальных задач геометрии. В этом руководстве вы узнаете, что такое медиана, как ее вычислять и как решать проблемы, связанные с ней.

Если вы изучаете геометрию для подготовки к SAT, этот курс по математике SAT - хорошее место для начала.

Различные типы треугольников

Прежде чем мы сможем определить медиану треугольника, мы должны сначала узнать о различных типах треугольников. Это пригодится, когда мы будем работать с медианами.

В зависимости от количества равных сторон треугольники могут быть классифицированы как:

  • Scalene: Треугольник без равных сторон или углов, т.е. все три стороны треугольника различны. В приведенном ниже треугольнике ABC все три стороны имеют разную длину.
  • Равнобедренный: Треугольник с двумя равными сторонами. В приведенном ниже треугольнике ABC стороны AB и AC равны.
  • Равносторонний: Треугольник, все стороны которого равны. В треугольнике ABC, показанном ниже, стороны AB = BC = CA.

Помните, что если стороны треугольника равны, равны и углы, противоположные сторонам. Например, в равностороннем треугольнике ABC, показанном выше, поскольку AB = BC = CA, ACB = ∠BAC = ∠ABC.

Теперь мы можем узнать больше о медианах в треугольнике.

Что такое медиана треугольника?

Медиана треугольника - это отрезок прямой, соединяющий любую вершину треугольника с серединой его противоположной стороны. На рисунке, показанном ниже, медиана из точки A пересекает середину противоположной стороны, BC, в точке D.

Следовательно, AD является медианой ∆ABC и делит сторону BC на две половины, где BD = BC.

Готовы глубже погрузиться в сложные геометрические концепции? Этот курс продвинутых математических навыков поможет дать толчок вашему математическому образованию!

Свойства медианы треугольника

Медиана имеет некоторые специфические характеристики, например:

1.В равнобедренном и равностороннем треугольниках медиана делит пополам угол в вершине, две соседние стороны которой равны .

Медиана не только делит пополам сторону, противоположную вершине, но также делит пополам угол при вершине в случае равностороннего и равнобедренного треугольников, при условии, что смежные стороны также равны (что всегда верно в случае равносторонних треугольников). В равностороннем треугольнике ABC, показанном ниже, медиана AD делит ∠BAC пополам, так что ∠BAD = ∠CAD.

2.Треугольник может иметь только три медианы, каждая из которых пересекается в точке, называемой «центроид».

Так как треугольник имеет три вершины, значит, у него может быть только три медианы. Интересно, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом . Не имеет значения, какой формы или размера треугольник, медианы всегда будут пересекаться в центре тяжести.

В ∆ABC, показанном ниже, медианы AD, BE и CF пересекаются в точке G, которая образует центроид.

3. Медиана делит площадь треугольника пополам.

В любом треугольнике ABC медиана AD делит треугольник на два треугольника равной площади.

Здесь общая площадь ∆ADB = площадь ∆ADC.

4. Центроид делит длину каждой медианы в соотношении 2: 1.

Длина части между вершиной и центроидом в два раза больше длины между центроидом и средней точкой противоположной стороны.

Например, в треугольнике, показанном ниже, длина AG в два раза больше длины GD, а длина BG в два раза больше длины GE.

5. Центроид делит треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.

Это еще одно очень интересное свойство центроида. Как видно на рисунке выше, центр тяжести в основном делит треугольник на шесть меньших треугольников, а именно на треугольники AGE, CEG, CGD, DGB, CGF и FGA.

Интересно, что все эти треугольники имеют одинаковую площадь. Таким образом, центроид не только делит медианы в соотношении 2: 1, но также делит треугольник на шесть равных по площади треугольников.

6. Длина средин в равностороннем треугольнике всегда одинакова.

Поскольку длина всех сторон в равностороннем треугольнике равна, отсюда следует, что длина медиан, разделяющих эти стороны пополам, также равна.

Таким образом, в равностороннем треугольнике ABC, где AD, BE и CF - медианы, происходящие из A, B и C соответственно, мы имеем:

AD = BE = CF

Подготовка к GMAT, но геометрия кажется вам слишком сложной? Тогда ознакомьтесь с этими курсами по математике для GMAT.

7. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные из вершин с равными углами, имеют одинаковую длину.

На основании вышеизложенного следует, что длины медиан, исходящих из вершин с равными углами, должны быть равны.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике ABC, где AB = AC, медианы BE и CF, исходящие из B и C соответственно, равны по длине.

8. В разностороннем треугольнике все медианы разной длины.

Основываясь на двух вышеупомянутых свойствах, мы можем легко сделать вывод, что, поскольку в разностороннем треугольнике все стороны неравны по длине, медианы также должны быть неравными.Таким образом, независимо от формы разностороннего треугольника, все его медианы будут иметь разную длину.

9. Длину медианы можно вычислить с помощью теоремы Аполлония.

Названная в честь греческого астронома Аполлония Пергского, теорема Аполлония используется для вычисления длины медианы треугольника при условии, что нам известны длины его сторон.

Здесь в треугольнике ABC:

  • a = Длина стороны, противоположной вершине A.
  • b = Длина стороны, противоположной вершине B.
  • c = длина стороны, противоположной вершине C.
  • m a = длина медианы, исходящей из вершины A.
  • mb = длина медианы от вершины B.
  • mc = длина медианы от вершины C.

Это можно проиллюстрировать следующим образом:

Например, если у нас есть треугольник со следующими размерами сторон:

Здесь длину медианы м a можно рассчитать как:

√ [2 (42) + 2 (62) - 82] / 4

= √40 / 4

= √10

= 3.162

На этом мы завершаем наш урок по медианам треугольника. Мы узнали ряд интересных свойств медиан, в том числе то, как они делят треугольник на две равные половины, пересекаются в центроиде и делят пополам противоположную сторону. Чтобы изучить более сложные концепции геометрии, попробуйте свои силы на этих курсах по геометрии.

Последнее обновление страницы: июль 2021 г.

Медиана треугольника: определение и формула - видео и стенограмма урока

Недвижимость

Три медианы треугольника всегда пересекаются в одной точке в центре треугольника.Как упоминалось ранее, эта точка является центроидом. Если нарисовать одну медиану, мы увидим, что она образует два треугольника внутри большего треугольника. Оба этих треугольника равны по размеру и площади.

Если нарисовать три медианы, мы увидим, что они образуют шесть треугольников, все с одинаковой площадью, но разной формы. Если треугольник равносторонний , все стороны равны, все медианы будут равной длины. Если равнобедренный треугольник равен , где две стороны равны, медианы, отходящие от двух равных углов, будут равны по длине.

Формулы

Формулы для определения длин медианы (ей) треугольника получены из закона косинусов. В формулах a , b и c - это длины сторон a , b и c соответственно. Вот формулы:

Теперь давайте воспользуемся формулами для определения длины.

В этом первом примере мы видим, что сторона a = 6 см, сторона b = 7 см и сторона c = 5 см. Найдем длину Mc или медианную C .

Поскольку длины сторон a , b и c равны 6, 7 и 5 соответственно, мы смогли использовать формулу медианы C , чтобы найти длину медианы c ', что примерно равно 4.33 см.

Переходя к этому равнобедренному треугольнику, мы видим, что сторона b = 6 см, а медиана B = 5 см. Найдем длину основания треугольника.

Используя формулу медианы B , мы находим, что длина основания этого треугольника равна 2.

Резюме урока

Треугольник имеет три медианы , и они представляют собой отрезки линии, которые имеют концы на концах. вершина треугольника и середина стороны, противоположной этой вершине.Точка, где встречаются все медианы, называется центроидом . Если треугольник равносторонний , все стороны равны, все медианы будут равной длины. Если равнобедренный треугольник равен , где две стороны равны, медианы, отходящие от двух равных углов, будут равны по длине.

Все о медианах

Элементарная геометрия

Средняя линия, то есть линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине (см. Евклид, Elements , VI.2 и VI.4.) Следовательно, из ΔABC, M b M c = BC / 2. Пусть G обозначает точку пересечения BM b и CM c . Пусть также R будет средней точкой GC, а S - средней точкой GB. Тогда, как и раньше, из ΔGBC RS = BC / 2. Следовательно, RS = M b M c . Кроме того, две прямые параллельны (обе параллельны BC). Таким образом, четырехугольник M b M c SR является параллелограммом.

Поскольку диагонали параллелограмма делятся пополам в точке пересечения, мы также имеем M b G = GS и M c G = GR, которые вместе с GS = SB и GR = RC показывают, что на обеих медианах G стоит вдвое дальше от одного конца (вершины), чем от другого конца (середины.) Это условие однозначно определяет точку на медиане. Поскольку для двух медиан определенные таким образом точки совпадают, то же самое, по симметрии , верно и для оставшейся медианы.

Другое элементарное доказательство начинается с расширения BM b за пределы M b до длины GM b . Точно так же CM c выходит за пределы M c до длины GM c . Тогда M b M c - это средняя линия в обоих треугольниках ABC и GRS, откуда SR = BC и прямые параллельны.Это означает, что четырехугольник SRBC является параллелограммом, так что его диагонали CR и BS делятся пополам относительно их общей точки G. Следовательно, GM b и GM C в два раза короче соответственно GB и GC. Доказательство заканчивается, как и раньше.

Третье элементарное доказательство было предложено Скоттом Броди. Треугольники BCG и M b M c G похожи. Все их стороны находятся в одинаковой пропорции. Поскольку BC / M b M c = 2, мы также имеем BG / M b G = 2 и CG / M c G = 2.

Четвертое доказательство принадлежит Дэни Рубинштейну, еврейской дневной школе Чарльза Э. Смита, Роквилл, Мэриленд, с которым я столкнулся в Mathematics Teacher , v 96, n 6, sept. 2003, p. 401.

Пусть G будет точкой пересечения медиан AM a и BM b . Вытяните CG за пределы G и дальше за его пересечение с AB в D. Проведите через B линию, параллельную AM a , и пусть она пересекает CG в H. В ΔBCH M a является серединой BC, а также BH || GM .Следовательно, G - середина CH. В ΔACH, M b - это средняя точка AC, а G - средняя точка CH. Следовательно, AH || GM b или AH || BG. Четырехугольник AHBG с двумя парами параллельных сторон представляет собой параллелограмм. В любом параллелограмме диагонали делят друг друга пополам. Следовательно, AD = DB. Другими словами, D = M c , середина AB.

Как указывает Дэни, его доказательство не основывается на том факте, что общая точка трех медиан делит каждую в соотношении 2: 1, а скорее получает это соотношение как побочный эффект.

% PDF-1.4 % 1447 0 объект > эндобдж xref 1447 119 0000000016 00000 н. 0000003782 00000 н. 0000003871 00000 н. 0000004120 00000 н. 0000004910 00000 н. 0000005174 00000 н. 0000008601 00000 п. 0000008990 00000 н. 0000009402 00000 п. 0000009589 00000 н. 0000012105 00000 п. 0000012412 00000 п. 0000012788 00000 п. 0000013020 00000 н. 0000016145 00000 п. 0000016491 00000 п. 0000016879 00000 п. 0000017141 00000 п. 0000017497 00000 п. 0000017813 00000 п. 0000024262 00000 п. 0000024711 00000 п. 0000025122 00000 п. 0000025367 00000 п. 0000030220 00000 п. 0000030592 00000 п. 0000030994 00000 п. 0000031168 00000 п. 0000031985 00000 п. 0000032297 00000 п. 0000032643 00000 п. 0000033008 00000 п. 0000033283 00000 п. 0000033941 00000 п. 0000034145 00000 п. 0000034680 00000 п. 0000035336 00000 п. 0000035573 00000 п. 0000036019 00000 п. 0000036677 00000 п. 0000037379 00000 п. 0000038105 00000 п. 0000038551 00000 п. 0000039070 00000 п. 0000039494 00000 п. 0000039543 00000 п. 0000039594 00000 п. 0000039644 00000 п. 0000039723 00000 п. 0000039774 00000 п. 0000039850 00000 п. 0000039889 00000 н. 0000039945 00000 н. 0000039996 00000 н. 0000040074 00000 п. 0000040153 00000 п. 0000040230 00000 п. 0000051859 00000 п. 0000063296 00000 п. 0000074922 00000 п. 0000086334 00000 п. 0000098869 00000 п. 0000111823 00000 н. 0000112125 00000 н. 0000112389 00000 н. 0000112816 00000 н. 0000112870 00000 н. 0000113247 00000 н. 0000126007 00000 н. 0000137344 00000 н. 0000138300 00000 н. 0000140993 00000 п. 0000146690 00000 н. 0000157460 00000 н. 0000169143 00000 н. 0000172378 00000 н. 0000175459 00000 н. 0000176647 00000 н. 0000176713 00000 н. 0000177308 00000 н. 0000177618 00000 н. 0000178251 00000 н. 0000178831 00000 н. 0000178899 00000 н. 0000179893 00000 н. 0000180115 00000 н. 0000180420 00000 н. 0000180597 00000 н. 0000182381 00000 п. 0000182687 00000 н. 0000183043 00000 н. 0000183274 00000 н. 0000183428 00000 н. 0000183659 00000 н. 0000183813 00000 н. 0000187503 00000 н. 0000188304 00000 н.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *