Медиана треугольника чему равна: Свойства медианы треугольника (ЕГЭ 2022)

Как найти длину медианы треугольника

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о медиане треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача. Найти длину медианы треугольника через его стороны Стороны треугольника равны 8, 9 и 13 сантиметров. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите медиану треугольника исходя из размеров его сторон.

Решение.

Задача имеет два способа решения. Первый, который не нравится учителям средней школы, но является наиболее универсальным.

Способ 1.

Применим Теорему Стюарта, согласно которой квадрат медианы равен одной четвертой от суммы удвоенных квадратов сторон из которой вычли квадрат стороны, к которой проведена медиана.

m_c² = ( 2a² + 2b² — c² ) / 4

Соответственно

m_c² = ( 2 * 8² + 2 * 9² — 13

2) / 4
m_c² = 30,25
m_c = 5,5 см

Способ 2.

Второй способ решения, который преподаватели в школе любят — это дополнительные построения треугольника до параллелограмма и решение через теорему о диагоналях параллелограмма.

Продлим стороны треугольника и медиану достроив их до параллелограмма. В этом случае медиана BO треугольника ABC будет равна половине диагонали получившегося параллелограмма, а две стороны треугольника AB, BC — его боковым сторонам. Третья сторона треугольника AC, к которой была проведена медиана, является второй диагональю получившегося параллелограмма.

Согласно теореме, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

2(a²+b²)=d₁²+d₂²

Обозначим диагональ параллелограмма, которая образована продолжением медианы исходного треугольника как х, получим:

2( 8² + 9² ) = 13² + x²
290 = 169 + x²
x² = 290 — 169
x² = 121
х = 11

Поскольку искомая медиана равна половине диагонали параллелограмма, то величина медианы треугольника составит 11 / 2 = 5,5 см

Ответ: 5,5 см

 Медиана треугольника | Описание курса | Нахождение площади через медианы 

   

проведенной к основанию, боковым сторонам

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медиан, проведенных к основанию и боковым сторонам равнобедренного треугольника, а также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение медианы

Медианой называется отрезок в треугольнике, который соединяет вершину и середину противоположной стороны.

• BD – медиана △ABC;
• AD = DC.

Треугольник является равнобедренным

, если две его стороны равны (боковые), а третья сторона – это основание фигуры.

• AB = BC – боковые стороны;
• AC – основание.

Свойства медианы в равнобедренном треугольнике

Свойство 1

Медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, одновременно является высотой, опущенной на основание, и биссектрисой угла, из которого она проведена.

• BD – медиана и высота, опущенная на основание AC, а также биссектриса угла ABC.
• ∠ABD = ∠CBD

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике медианы пресекаются в одной точке (центр тяжести) и делятся в этой точке в отношении 2:1.

• O – центр тяжести или центроид треугольника;
• AO = 2OF;
• BO = 2OD;
• CO = 2OE.

Свойство 3

Медиана делит равнобедренный треугольник на 2 равных по площади (равновеликих) треугольника. Следовательно, S₁

= S₂.

Свойство 4

Если провести три медианы в равнобедренном треугольнике, образуются 6 равновеликих треугольников (S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆).

Свойство 5

Длину медианы в равнобедренном треугольнике, проведенную к основанию, можно найти по следующей формуле:

• a – основание;
• b – боковая сторона.

Свойство 6

Данной свойство, в отличие от перечисленных выше, не относится к медиане, опущенной на основание фигуры. Оно гласит:

Медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.

AF = CE, следовательно, AE = EB = BF = FC.

Пример задачи

Основание равнобедренного треугольника равняется 7 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину медианы, проведенной к основанию фигуры.

Решение
Воспользуемся формулой, представленной в

Свойстве 5, подставив в нее известные нам по условиям задачи значения:

Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника: свойства, задача

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение медианы прямоугольного треугольника

Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов является прямым (90°), а два остальных – острыми (<90°).

Свойства медианы прямоугольного треугольника

Свойство 1

Медиана (AD) в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (∠BAC) к гипотенузе (BC), равна половине гипотенузы.

Следствие: Если медиана равняется половине стороны, к которой она проведена, то данная сторона является гипотенузой, а треугольник – прямоугольным.

Свойство 2

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

Для нашего треугольника (см. рисунок выше):

Это следует из теоремы Пифагора и Свойства 1.

Свойство 3

Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности.

Т.е. BO – это одновременно и медиана, и радиус.

Примечание: К прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства медианы, независимо от вида треугольника.

Пример задачи

Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, составляет 10 см. А один из катетов равен 12 см. Найдите периметр треугольника.

Решение
Гипотенуза треугольника, как следует из Свойства 1, в два раза больше медианы. Т.е. она равняется: 10 см ⋅ 2 = 20 см.

Воспользовавшись теоремой Пифагора находим длину второго катета (примем его за

“b”, известный катет – за “a”, гипотенузу – за “с”):
b² = с² – a² = 20² – 12² = 256.
Следовательно, b = 16 см.

Теперь мы знаем длины всех сторон и можем посчитать периметр фигуры:
P_△ = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.

Microsoft Word — геометрия-1.doc

%PDF-1.6 % 955 0 obj > endobj 952 0 obj >stream 2009-08-03T12:57:02ZMicrosoft Word — геометрия-1.doc2009-08-12T12:51:21+04:002009-08-12T12:51:21+04:00application/pdf

Елена

Microsoft Word — геометрия-1.doc

doPDF Ver 6.1 Build 276 (Windows XP x32)uuid:d60141d8-4b2c-4d57-bdfd-e4ad6bbf2afbuuid:e17ab538-6e84-4259-9962-f18eb34ac9fa endstream endobj 956 0 obj >/Encoding>>>>> endobj 919 0 obj > endobj 920 0 obj > endobj 926 0 obj > endobj 932 0 obj > endobj 938 0 obj > endobj 944 0 obj > endobj 945 0 obj > endobj 946 0 obj > endobj 947 0 obj > endobj 948 0 obj > endobj 949 0 obj > endobj 950 0 obj > endobj 951 0 obj > endobj 706 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 709 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 711 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 713 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 715 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 717 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 719 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 721 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 723 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 725 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState>>>/QITE_pageid>/Type/Page>> endobj 1051 0 obj >stream HWM ϯ24z00M t-hIɲ-{fnǑCo>?/dNhͧNYpG79(NG_iiߦtoIxj

Задачи по школьной математике. Высота, медиана и биссектриса треугольника

Высота, медиана и биссектриса треугольника

1. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 6,5. Найдите катеты треугольника, если сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 18.
2. В треугольнике стороны равны 4, 6 и 8. Найдите длину медианы, проведенной к большей стороне.
3. Биссектриса прямоугольного треугольника делит катет на отрезки, равные 25 и 24. Найдите гипотенузу треугольника.
4. В прямоугольном треугольнике с катетами, равными 18 и 24, из вершины большего острого угла проведена биссектриса. Найдите проекцию биссектрисы на больший катет.
5. В равнобедренном треугольнике основание равно 1, а высота, опущенная на основание, равна . Найдите расстояние от середины основания до боковой стороны.
6. В равнобедренном треугольнике основание равно 4, медианы боковых сторон взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.
7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медиана AD перпендикулярна биссектрисе СЕ. Найдите косинус угла АСВ.
8. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5. Найдите площадь этого треугольника.
9. Найдите отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон.
10. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, равная 3. Найдите сторону АС, если известно, что угол ABD прямой.
11. В треугольнике стороны равны 3, 5 и 6. Найдите биссектрису наименьшего угла треугольника.
12. В треугольнике ABC известно, что АВ = 3, АС = 5 и угол ВАС равен 120^о. Найдите биссектрису BD.
13. Биссектриса угла В треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Найдите AB, если AD = 12, DC = 27 и BD = 24.
14. Дан треугольник ABC, в котором AC = 5, AB = 6, BC = 7. Биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Определите площадь треугольника ADC.
15. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BD и AE. Найдите отношение площадей треугольников BDE и ABC, если AB = 5, BC = 8 и AC = 7.
16. В треугольнике точка пересечения биссектрис удалена от прямой, содержащей одну из сторон, на 1,5. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 16.
17. В треугольнике АВС медиана AD и биссектриса ВЕ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если AD перпендикулярно ВЕ и площадь треугольника АОЕ равна 2.
18. В треугольнике АВС проведена высота АН. Прямые, одна из которых содержит медиану ВК, а вторая — биссектрису ВЕ, делят высоту на три равных отрезка. Найдите АС, если АВ равно 4.
19. Даны стороны треугольника ВС = 15, АС = 14 и АВ = 13. Найдите площадь треугольника, ограниченного высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В.
20. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
21. На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что  AB² — AC² = MB² — MC².

 

Метки задачи, треугольник. Смотреть запись.

Вычисление углов

Виды треугольников. В следующей статье речь пойдёт о задачах на решение прямоугольного треугольника. Эти задания не связаны с нахождением сторон, синуса, косинуса, тангенса или котангенса углов, такие мы уже рассматривали.  

Сначала основная теория о треугольниках для тех, кто её подзабыл, и для всех, кто хочет повторить 😉

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (рисунок 1).

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным (рисунок 2).

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным (рисунок 3).

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рисунок 4).

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (рисунок 5).

Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны (рисунок 6).

Медиана треугольника

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения делит каждую медиану в отношении 1:2 считая от основания медианы (этот факт следует помнить).

Высота треуголька

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

 

Биссектриса треугольника

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Вспомним ещё одну теорему.

Теорема: сумма углов треугольника равна 180 градусам

Выводы:

— если нам будут известны любые два угла в треугольнике, то мы всегда сможем найти третий угол.

— в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам.

О следующем свойстве нужно сказать отдельно. Только с его помощью  можно будетбыстро решить задачи, где речь идёт о медиане в прямоугольном треугольнике. Сначала сам факт:

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из

прямого угла к гипотенузе равна её половине

ОВ = 0,5АС         АО = ОС = ОВ

То есть, треугольники  АОВ и ВОС являются равнобедренными, и углы при их основаниях равны. Эти выводы (об углах) при решении ряда задач крайне необходимы.

Небольшое пояснение. Почему всё-таки медиана в данном случае равна половине гипотенузы? Здесь стоит вспомнить информацию о том, что любой треугольник построенный на диаметре окружности, вершина которого принадлежит этой окружности является прямоугольным, об этом подробно говорилось в этой статье.

Посмотрите:  АО, ОС и ОВ – это радиусы, они  у окружности равны.  И, конечно же, ОВ будет равно половине АС. Поэтому-то медиана в любом прямоугольном треугольнике проведённая к гипотенузе будет равна её половине.

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Даны медианы треугольника найти площадь треугольника

нЕДЙБОЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ТБЧОЩ 3, 4 Й 5. оБКДЙФЕ РМПЭБДШ ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

рПДУЛБЪЛБ

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП РМПЭБДШ ФТЕХЗПМШОЙЛБ, ПВТБЪПЧБООПЗП НЕДЙБОБНЙ ДБООПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ, УПУФБЧМСЕФ РМПЭБДЙ ДБООПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ B 1 — УЕТЕДЙОБ УФПТПОЩ AC ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC , M — ФПЮЛБ РЕТЕУЕЮЕОЙС ЕЗП НЕДЙБО. оБ РТПДПМЦЕОЙЙ НЕДЙБОЩ BB 1 ЪБ ФПЮЛХ B 1 ПФМПЦЙН ПФТЕЪПЛ B 1 K , ТБЧОЩК MB 1 . фПЗДБ AMCK — РБТБММЕМПЗТБНН, CK = AM .

уФПТПОЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ KMC УПУФБЧМСАФ УППФЧЕФУФЧХАЭЙИ НЕДЙБО ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC . рПЬФПНХ ФТЕХЗПМШОЙЛ KMC РПДПВЕО ФТЕХЗПМШОЙЛХ, УФПТПОЩ ЛПФПТПЗП ТБЧОЩ НЕДЙБОБН ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC . фПЗДБ РМПЭБДШ ФТЕХЗПМШОЙЛБ KMC УПУФБЧМСЕФ РМПЭБДЙ ФТЕХЗПМШОЙЛБ УП УФПТПОБНЙ 3, 4, 5, Ф.Е. . 6 = . уМЕДПЧБФЕМШОП,

Медиана делит площадь треугольника пополам

Два треугольника называются равновеликими. Если они имеют одинаковую площадь.

Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что

.

Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда

,

.

Так как ВМ – медиана треугольника АВС, то АМ=МС, поэтому

.

,

.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.

Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.

Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, , К – точка пересечения медиан.

,

.

Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то .

Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то .

Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.

Пусть медианы АM, BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF=KE. Соединим точки С, F и A.

Рассмотрим треугольник KAF.

,

то

.

Далее, , так как CKAE – параллелограмм (по признаку параллелограмма: ели диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, до данный четырехугольник параллелограмм), получаем .

Так как , то есть , то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и .

Вычислим площадь треугольника AKF:

.

Теперь сравним площади треугольников AKF и АВС: так как AE – медиана треугольника AKF, то

, ,

.

.

Отметим, что задачу можно решить по-другому, если воспользоваться тем фактом, что:

площадь треугольника, образованного медианами данного треугольника составляет от площади самого треугольника.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Вопросы для самопроверки:

1. Какие треугольники называются равновеликими?

2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?

3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?

4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?

5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?

6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.

2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.

3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.

4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

УСЛОВИЕ:

9.56. Зная медианы треугольника, найдите его площадь.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
S (Δ ABH)= S( ΔBCH)

S( ΔАОС)=(1/3) S ( Δ АВС)

S( ΔАОН)=(1/6) S ( Δ АВС)

Все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

[b] Дополнительное построение [/b]

Продолжим медиану AF за точку F на (1/3) ёё длины.

Получим параллелограмм ОВКС,
S(ОВКС)=2S(Δ ОВК)

Значит, площадь треугольника АВС найдем, зная площадь треугольника ОВК.

В треугольнике ОВК известны все стороны.
Значит можно найти площадь по формуле Герона

О т в е т. (4/3)sqrt(m*(m-m_(a))*(m-m_(b))*(m-m_(c)))
Так формула лучше просматривается, есть сходство с формулой Герона.

Медиана треугольника — Определения, Свойства, Уравнение, Формула, Примеры

В геометрии медиана треугольника относится к отрезку линии, соединяющему вершину треугольника с серединой противоположной стороны, таким образом разделяя эту сторону пополам. Для любого треугольника есть ровно три медианы, по одной от каждой вершины. Они пересекаются друг с другом в центре тяжести треугольника.

Медиана теоремы о треугольнике

Медиана теоремы о треугольнике утверждает, что медианы треугольника пересекаются в точке, называемой центроидом треугольника, которая составляет две трети расстояния от вершин до середины противоположных сторон.Центроид треугольника — это точка пересечения всех трех медиан этого треугольника с тем фактом, что треугольник имеет ровно три медианы.

Высота треугольника определяется как отрезок прямой, соединяющий вершину с противоположной стороной треугольника под прямым углом. Все треугольники имеют 3 высоты (по одной от каждой вершины) и встречаются в одной точке треугольника. Три высоты встречаются в точке, которая может лежать внутри или вне треугольника, известной как ортоцентр треугольника.{2}} {4}} \)

a, b и c = три стороны треугольника.

Медиана треугольника

Для треугольника, координаты трех вершин которого даны, мы можем выполнить шаги, указанные ниже, чтобы найти медиану данного треугольника.

• Шаг 1: Найдите координаты вершин треугольника.
• Шаг 2: Найдите координаты середины отрезков линии.
• Шаг 3: Присоедините вершину к середине противоположной стороны треугольника.Вы получите медианы.
• Шаг 4: Найдите уравнение медианы треугольника, используя формулу, использованную для нахождения уравнения прямой линии (двухточечная форма). Здесь уравнение медианы AD треугольника ABC = \ (\ left (\ mathbf {y} — \ mathbf {y} _ {1} \ right) = \ left (\ frac {\ mathrm {y} _ {2} — \ mathrm {y} _ {1}} {\ mathrm {x} _ {2} — \ mathrm {x} _ {1}} \ right) _ {\ mathrm {AD}} \ left (\ mathrm {x } — \ mathrm {x} _ {1} \ right) \)

Следовательно, уравнения медиан треугольника ABC будут: (y − y1) = (y2 − y1 / x2 − x1) (x − x1)

• н.э .: 7x + 12 = 4 года
• Аналогично BF: x + 2y = 12
• и CE: x + 36 = 7y

Важные примечания

• Каждая медиана делит треугольник на два меньших треугольника одинаковой площади
• Центроид (точка, где они встречаются) — это центр тяжести треугольника
• Сумма медиан треугольника: сумма квадратов медиан треугольника равна трем четвертям суммы квадратов сторон треугольника.
• Периметр треугольника больше суммы трех его медиан.
• Соответствующие стороны, периметры, медианы и высоты будут иметь одинаковое соотношение для двух одинаковых треугольников.
• Середина сегмента делит его на два конгруэнтных сегмента, а середина треугольника делит его на два конгруэнтных треугольника.
• Также, если два треугольника совпадают. Медианы конгруэнтных треугольников равны, поскольку соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны.

Мыслить нестандартно!

Скульптура планирует создать новую скульптуру, состоящую из треугольника, уравновешенного на другом треугольнике. Какая точка может быть точкой баланса? Поможет ли поиск центроида?

Статьи, относящиеся к медиане треугольника

Часто задаваемые вопросы о медиане треугольника

Делит ли медиана треугольника на два конгруэнтных треугольника?

Для данного треугольника его медиана дополнительно делит треугольник на два конгруэнтных треугольника, а затем медиана становится общей стороной обоих треугольников.

В чем разница между высотой и средним углом треугольника?

Медиана треугольника — это отрезок прямой, который соединяет вершину со средней точкой противоположной стороны, разделяя ее на два равных треугольника. Высота треугольника — это отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной так, что отрезок перпендикулярен противоположной стороне. Это высота треугольника.

Каковы свойства медианы треугольника?

Медиана треугольника — это отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой его противоположной стороны.Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам, разделяя ее на две равные половины, и делит пополам угол, из которого он возникает, на два угла равной меры.

Всегда ли медиана 90 градусов?

Нет, Медиана не всегда образует прямой угол со стороной, на которую она падает. Только в случае равностороннего или равнобедренного треугольника одна медиана приходится на неравную сторону равнобедренного треугольника.

В чем разница между медианой и биссектрисой?

Медиана треугольника относится к линейному сегменту, соединяющему вершину со средней точкой противоположной стороны, тогда как биссектриса упоминается как линейный сегмент, который проходит через среднюю точку сегмента, который также перпендикулярен сегмент.{2}} {4}} \) где,

• a, b, c — стороны треугольника
• ма — длина медианы от вершины A.

Как найти уравнение медианы треугольника?

Чтобы найти уравнение медианы треугольника, мы можем использовать формулу, уравнение двухточечной формы прямой линии, соединяющей вершину и середину противоположной вершины, мы получаем \ (\ left (\ mathbf {y} — \ mathbf {y} _ {1} \ right) = \ left (\ frac {\ mathrm {y} _ {2} — \ mathrm {y} _ {1}} {\ mathrm {x} _ {2} — \ mathrm {x} _ {1}} \ right) _ {\ mathrm {AD}} \ left (\ mathrm {x} — \ mathrm {x} _ {1} \ right) \)

Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе

На сегодняшнем уроке геометрии мы докажем, что в прямоугольном треугольнике медиана гипотенузы равна половине гипотенузы.

Медиана треугольника — это линия, проведенная от одной из вершин до середины противоположной стороны. В случае прямоугольного треугольника медиана гипотенузы обладает тем свойством, что ее длина равна половине длины гипотенузы.

Задача

В прямоугольном треугольнике ΔABC отрезок CD является медианой гипотенузы AB. Покажите, что AD = DC; BD = DC

Стратегия

Поскольку нам нужно показать, что несколько отрезков линии равны (AD = DC; BD = DC), мы будем использовать инструмент, который мы будем использовать, это конгруэнтность треугольников.

Может возникнуть соблазн попробовать использовать существующие треугольники, созданные с помощью медианы (ΔACD, ΔDCB), но беглый взгляд на рисунок показывает, что это не может быть правильным. И хотя никогда не стоит полагаться на рисунок, чтобы делать выводы, мы можем представить себе прямоугольный треугольник, который выглядит так:

, в котором два треугольника не могут совпадать.

Итак, нам нужно будет построить новые треугольники, в которых отрезки, которые мы хотим доказать, равны, являются соответствующими сторонами.

Построим такие треугольники, соединив точку D (середину гипотенузы) со средней точкой CB. Это будет иметь преимущество создания двух треугольников, в которых сегменты, которые мы хотим доказать, равны, это соответствующие стороны и , имеющие две стороны, которые, как мы знаем, равны (CE и EB, поскольку E является средней точкой).

Итак, D — это середина гипотенузы, а E — середина катета CB, поэтому DE — это средний сегмент, и, используя теорему треугольника о среднем сегменте, мы знаем DE || AC.Отсюда мы знаем ∠DEB ≅ ∠ACE (как соответствующие углы), и оба они являются прямыми углами. Таким образом, m∠DEC = 90 °, так как он образует линейную пару с ∠DEB.

И теперь мы можем доказать, что треугольники ΔDCE и ΔDBE конгруэнтны, используя постулат Side-Angle-Side, в результате чего CD = DB как соответствующие стороны, как нам и нужно показать.

В результате мы также видим, что медиана гипотенузы создает два равнобедренных треугольника, ΔDCB и ΔDAC, где DA = DC = DB.

Доказательство

(1) AD = DB // задано, CD — это медиана гипотенузы
(2) CE = EB // конструкция
(3) DE — средний сегмент // (1), (2), Определение среднего сегмента
(4) DE || AC // Теорема треугольника среднего сегмента
(5) ∠DEB ≅ ∠ACE // соответствующие углы в двух параллельных прямых, пересекаемых поперечной линией (CE)
(6) m∠ACE = 90 ° // задано, ΔABC — прямоугольный треугольник
(7) m∠DEB = 90 ° // (5), (6), определение конгруэнтных углов
(8) m∠DEC = 180 ° — 90 ° = 90 ° // линейная пара
(9) ∠DEB ≅ ∠DEC // (7), (8), определение конгруэнтных углов
(10) DE = DE // общая сторона, рефлексивное свойство равенства
(11) ΔDCE ≅ ΔDBE // (2), (9), (10) Боковой угол-боковой постулат
(12) CD = DB // Соответствующие стороны в конгруэнтных треугольниках (CPCTC)
(13) DB = ½AB // Учитывая, что CD равен медиана гипотенузы
(14) CD = ½AB // (12), (13), подстановка

Другой способ доказать это

Одна из забавных вещей о Эти проблемы с доказательством состоят в том, что часто существует несколько способов подойти и доказать теорему.И действительно, один из моих постоянных читателей прислал мне следующее решение, которое довольно элегантно и совсем не полагается на теорему о промежуточном сегменте. Вместо этого он использует построение угла и некоторую простую математику углов, чтобы показать, что медиана создает два равнобедренных треугольника.

В прямоугольном треугольнике ΔABC построим линию CD, которая разделяет прямой угол ∠ACB на 2 угла, ∠ACD и ∠DCB, так что ∠DCB≅∠DBC, и назовем этот угол α. Поскольку мы построили ∠DCB≅∠DBC, по теореме об обратных основных углах ΔDCB равнобедренная и | DC | = | DB |.

Теперь займемся математикой углов. Если ∠DBC = α и m∠ACB = 90 °, то по сумме углов в теореме треугольника m∠BAC = 90 ° -α. А поскольку m∠ACB = 90 ° и мы построили ∠DCB≅∠DBC = α, то m∠ACD = 90 ° -α. Таким образом, m∠ACD = m∠BAC = 90 ° -α, и ΔDCB также является равнобедренным треугольником и | DC | = | DA |. Используя транзитивное свойство равенства, если | DC | = | DB | и | DC | = | DA |, то | DB | = | DA |.

Но если | DB | = | DA |, то по определению CD является медианой гипотенузы. И | CD | он равен половине | AB | так как это одна из равных ног в обоих созданных нами равнобедренных треугольниках!

Красиво и просто — спасибо, Бен!

Обратная теорема

Теперь, когда мы доказали, что в прямоугольном треугольнике медиана гипотенузы равна половине гипотенузы, давайте докажем обратную теорему: если медиана стороны равна половине этой стороны, то треугольник — прямоугольный треугольник.Как всегда в случае с обратными теоремами, мы будем использовать стратегию, очень похожую на ту, что использовалась при доказательстве теоремы, меняя то, что дано, и то, что необходимо для доказательства.

Если медиана стороны равна половине стороны, то CD = DB = DA. Мы проведем перпендикулярную линию от D к основанию BC. Теперь у нас m∠DEB = m∠DEC = 90 °, поскольку мы построили DE перпендикулярно BC, а ∠DEB и ∠DEC — линейная пара. DE = DE как общая сторона, поэтому треугольники ΔDCE и ΔDBE конгруэнтны с использованием постулата гипотенузы-катета, в результате чего CE = EB как соответствующие стороны.

Но если CE = EB и DB = DA, то DE по определению является средним сегментом в треугольнике ΔABC. И сформируем теорему о среднем сегменте треугольника DE || AC. Тогда ∠DEB ≅ ∠ACE как соответствующие углы на двух параллельных прямых, пересекаемых поперечной линией (CE). И поскольку m∠DEB = 90 °, m∠ACB = 90 °, а треугольник ΔABC является прямоугольным.

Связь между средней и стороной треугольника

Математическое слово «медиана» имеет разные значения. В статистике это значение, лежащее в центре набора данных.Итак, для набора данных {3, 5, 7, 9, 11} 7 — это медиана. В геометрии медиана — это отрезок прямой от угла треугольника до середины противоположной стороны треугольника. Медиана может быть перпендикулярна стороне треугольника, а может и не быть. Пересечение трех медиан называется центроидом.

В случае некоторых треугольников, таких как равносторонний треугольник, медиана и высота совпадают.

У треугольника 3 медианы. Медиана также может быть определена как линия от середины стороны до противоположного внутреннего угла треугольника.Медианы совпадают в центроиде. Точка, которая является общей для всех трех медиан на их пересечении, называется точкой параллелизма, центроидом треугольника.

Например, если существует треугольник ABC, отрезок от A пересекает середину противоположной стороны BC в точке D. Следовательно, AD является медианой ∆ABC и делит сторону BC пополам на две части. половинки, где BD = BC.

Соотношение между медианой и сторонами треугольника таково, что «3-кратная сумма квадратов длины сторон = 4-кратная сумма квадратов медианы треугольника.”

3 (AB2 + BC2 + CA2) = 4 (AD2 + BE2 + CF2)

Свойства медианы треугольника

Медиана имеет некоторые уникальные свойства, и эти свойства обсуждаются ниже.

1. В равнобедренном и равностороннем треугольниках медиана, проведенная из вершины, делит пополам угол, две смежные стороны которого равны.

Медиана не только делит пополам сторону, противоположную вершине, но также делит пополам угол при вершине в случае равностороннего и равнобедренного треугольников.В равностороннем треугольнике ABC, показанном ниже, медиана AD делит пополам BAC, так что ∠BAD = ∠CAD.

[Изображение будет добавлено в ближайшее время]

2. Треугольник может иметь только три медианы, которые пересекаются в точке, называемой «центроидом».

Треугольник имеет три вершины, поэтому он может иметь только три медианы. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом. Форма или размер треугольника не имеет значения, и медианы всегда будут пересекаться в центроиде.

В ∆ABC медианы AD, BE и CF пересекаются в точке G, которая называется центроидом треугольника.

[Изображение будет добавлено в ближайшее время]

3. Медиана делит площадь треугольника на две равные половины.

В треугольнике ABC медиана AD делит треугольник на два равных треугольника с равными площадями.

Площадь ∆ADB = Площадь ∆ADC.

[Изображение будет добавлено в ближайшее время]

4. Центроид делит длину каждой медианы в соотношении 2: 1.

Длина части между вершиной и центроидом в два раза больше длины между центроидом и серединой противоположной стороны.

Например, в треугольнике, показанном ниже, длина AG в два раза больше длины GD, а длина CG в два раза больше длины GF.

[Изображение будет добавлено в ближайшее время]

5. Центроид делит треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.

На рисунке выше центроид делит треугольник на шесть меньших треугольников, а именно на треугольники AGE, CEG, CGD, DGB, BGF и FGA. Площади всех этих треугольников равны. Таким образом, центроид делит медианы в соотношении 2: 1, а также делит треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.

6. Длина середины равностороннего треугольника всегда равна.

Поскольку мы знаем, что длины всех сторон равностороннего треугольника равны, отсюда следует, что длина медианы равностороннего треугольника, делящего эти стороны пополам, также равна.

Таким образом, в равностороннем треугольнике ABC, где AD, BE и CF — медианы, исходящие из вершин A, B и C соответственно, мы имеем:

AD = BE = CF

[Изображение будет добавлено в ближайшее время]

7.В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные под равными углами, равны по длине.

Длина медиан, построенных из вершин с равными углами, должна быть одинаковой.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике ABC, если AB = AC, медианы BE и CF, исходящие из вершины B и C соответственно, равны по длине.

[Изображение будет добавлено в ближайшее время]

8. Медиана и стороны треугольника связаны таким образом, что «3 раза сумма квадратов длины сторон = 4 квадрата медианы треугольника. .{2}} {4}} \]

где a, b и c — длины сторон, а m — медиана от внутреннего угла, проведенного от вершины A к стороне a.

Решенные примеры

Пример 1: На приведенном рядом рисунке ∠PQR = 90∘, а QL — медиана, PQ = 12 см и QR = 14 см. Найдите QL.

[Изображение будет добавлено в ближайшее время]

Решение:

У нас PQ = 5 см, QR = 12 см и QL является медианным значением.

∴ PL = LR = PR2 ……. (I)

In ΔPQR,

(PR) 2 = (PQ) 2 + (QR) 2 ………… (По теореме Пифагора)

= 144 + 256

= 400

⇒ PR = 20

Теперь, по теореме, если L — середина гипотенузы PR прямоугольного ΔPQR, то

QL = 1/2 [PR] = [1/2] * (20) = 10 см.

Пример 2: В треугольнике ABC координаты A равны (1, 2), а уравнения медианы через B и C: x + y = 5 и x = 4 соответственно, тогда какова площадь ΔABC ( в кв. единицах)?

Решение:

Медиана через точку C равна x = 4

Итак, ясно, что координата x точки C равна 4

Пусть C = (4, y), затем середина точек A (1, 2) и C ( 2, y), которая является D, по определению лежит на медиане, проходящей через B.

Ясно, что D = ([1 + 4] / 2, [2 + y] / 2).

Теперь мы имеем [3 + 4 + y] / 2 = 5 ⇒ y = 3. Итак, C = (4, 3).

Центроид треугольника определяется пересечением медиан.

Легко видеть, что медианы x = 4 и x + y = 5 пересекаются в точке G = (4, 1).

Площадь треугольника ΔABC

= 3 × ΔAGC

= 3 × 1/2 × 3 × 2

= 9.

Медиана, высота и биссектриса треугольника — стенограмма видео и урока

Во-первых, давайте проведем линию из вершины через такой треугольник.

Мы называем это медианой. Медиана — это отрезок линии, проведенный от вершины треугольника до середины противоположной стороны.

Он разделяет противоположную сторону на два равных отрезка. Мы знаем, что это медиана, если у нас есть эти равные отрезки линии. Это как знать, что кто-то обратил внимание во время одевания, если его носки совпадают.

В зависимости от того, насколько формальным является выход нашего треугольника, у нас может быть до трех медиан, по одной от каждой вершины.Когда мы рисуем три медианы, они всегда встречаются в одной точке.

Медианы похожи на пояса. Они делят треугольники пополам. Фактически, два новых треугольника, образованных добавлением медианы, имеют равные площади. И эти шесть треугольников, образованных тремя медианами, также имеют равные площади.

Высота

Итак, если медианы — это ремни, как насчет сережек? Хорошо, эта метафора уводит меня в неизведанное, но что происходит с большими серьгами, которые … гм, болтаются? Они свисают прямо вниз, перпендикулярно земле, верно? И зачем они это делают? Сила тяжести.

А какой эквивалент треугольника? Высоты. Высота — это отрезок перпендикулярной линии, проведенный от вершины треугольника к противоположной стороне.

В нашем треугольнике, если мы проведем линию от A перпендикулярно противоположной стороне, это высота. Мы могли бы сделать это из любой вершины, но чаще всего видим это сверху.

Думайте об этом как о той серьге. Гравитация тянет его вниз.В отличие от медианы, высота не обязательно разделяет противоположную сторону на равные части. Фактически, это будет только в двух типах треугольников.

В равностороннем треугольнике все углы равны. Здесь высота идет прямо посередине и фактически совпадает со средним значением.

Для равностороннего треугольника медиана разрезает сторону пополам и равна высоте.

То же верно и для равнобедренного треугольника.Что ж, это правда для одной из наших высот. Если мы нарисуем два других, они явно не будут также медианами.

Только одна из возможных медиан в равнобедренном треугольнике также является высотой.

В прямоугольном треугольнике две высоты на самом деле являются сторонами треугольника, поскольку стороны уже пересекаются под прямым углом.

Прямоугольный треугольник имеет две высоты, которые также являются сторонами.

У нас нет подходящих носков, не так ли?

Кроме того, высота не всегда находится внутри треугольника.Когда есть тупой угол, у нас есть высота за пределами треугольника. Это как сережка, в которой кто-то почему-то склонился в сторону. И вместо одинаковых носков это все равно, что носить синий носок на одной ноге и шляпу на другой.

Биссектриса угла

Рассмотрим еще один тип аксессуаров треугольника. Биссектриса угла — это отрезок линии, проведенный из вершины, которая делит пополам или делит угол вершины пополам.

Биссектриса угла выглядит так.

Образует два равных угла. Это его определяющая характеристика. Итак, если высота похожа на болтающуюся серьгу, всегда свисающую из-за силы тяжести, биссектриса угла создает пару подходящих серег. И это не серьги с подвесками. Они короткие. У них есть имя? Наверное.

Как и в случае с медианами и высотами, треугольники могут иметь три биссектрисы, и они всегда пересекаются в одной точке.

В равнобедренном треугольнике у нас есть биссектриса одного угла, которая также является медианной и высотой.Поговорим об универсальности. В равностороннем треугольнике все три линии относятся к трем типам. Это мой стиль. Зачем покупать разную обувь для разных случаев, когда можно просто везде носить кроссовки?

Резюме урока

В итоге мы узнали о трех различных типах отрезков, связанных с треугольниками.

Сначала мы узнали о медианах. Эти линии отходят от вершины и попадают в середину противоположной стороны, разделяя ее пополам.

Потом мы узнали о высотах.Эти линии отходят от вершины и перпендикулярны противоположной стороне.

Наконец, мы узнали о биссектрисе углов. Это отрезки линии, которые делят пополам угол вершины, из которой они нарисованы.

Результаты обучения

По завершении этого видео-урока вы сможете:

• Определить медианы, высоту и биссектрисы в треугольнике
• Опишите их характеристики
• Сравнить равнобедренный и равносторонний треугольники

Центроид треугольника | Блестящая вики по математике и науке

Другие центры треугольника включают

Ортоцентр — это точка, где встречаются три высоты треугольника.Высота — это отрезок прямой, проведенный от одной вершины к противоположной стороне, перпендикулярный противоположной стороне.

Инцентр — центр вписанной окружности треугольника. Вписанная окружность — это окружность внутри треугольника, касающаяся каждой из его сторон.

Центр описанной окружности — это центр описанной окружности, круга, проходящего через все три вершины треугольника.

Если ООО — центр описанной окружности треугольника, RRR — радиус описанной окружности треугольника, а a, b, ca, b, ca, b, c — длины BC, CA, AB, BC, CA, AB, BC, CA, AB соответственно, то OG2 = R2−19 (a2 + b2 + c2).2 \ большой). \ _ \ Квадрат \ end {выровнен} OA2 + OB2 + OC29R2⇒OG2 = GA2 + GB2 + GC2 + 3OG2 = 3 (GA2 + GB2 + GC2) + 9OG2 = a2 + b2 + c2 + 9OG2 = R2−91 (a2 + b2 + c2). □ [поскольку OA = OB = OC = R] [поскольку AB2 + BC2 + CA2 = 3 (GA2 + GB2 + GC2)]

Центроид также лежит на линии Эйлера треугольника, поэтому

GH = 23OH, GO = 13OH, GH = \ frac {2} {3} OH, \ quad GO = \ frac {1} {3} OH, GH = 32 OH, GO = 31 OH,

, где HHH — ортоцентр треугольника.

Если A ‘, B’, C’A ‘, B’, C’A ‘, B’, C ‘являются центрами описанной окружности треугольников BCG, ACG, ABG, BCG, ACG, ABG, BCG, ACG, ABG соответственно , затем

ООО — центр тяжести треугольника A’B’C’A’B’C’A’B’C ‘.Кроме того, GGG является симедианной точкой of A′B′C ′ \ треугольника A’B’C ‘△ A′B′C ′.

Наконец, медианы A′B′C ′ \ треугольника A’B’C ‘△ A′B′C ′ проходят через середины AB, BC, AB, BC, AB, BC и CACACA, поэтому Медианы △ A′B′C ′ \ треугольника A’B’C ‘△ A′B′C ′ и △ ABC \ треугольника ABC △ ABC пересекаются в серединах исходного треугольника.

Отправьте свой ответ

Рассмотрим равнобедренный △ ABC \ треугольник ABC △ ABC с AB = AC = 5, BC = 6, AB = AC = 5, BC = 6, AB = AC = 5, BC = 6, где I, O, HI, O , HI, O, H обозначают его центр, центр описанной окружности, ортоцентр соответственно.

Найдите площадь △ IOH \ треугольника IOH △ IOH.

треугольников — равносторонний, равнобедренный, прямоугольный

Равносторонний треугольник

Если три стороны треугольника имеют одинаковый размер, получится равносторонний треугольник .

Равносторонний треугольник Свойства:
1) Все стороны равны.
2) Углы каждого равностороннего треугольника равны 60 °
3) Каждая высота также является средней и биссектрисой.
4) Каждая медиана — это также высота и биссектриса.
5) Каждая биссектриса — это также высота и медиана.
6) Если длина стороны равна , площадь равностороннего треугольника равна ¼a ² √3
7) Высоты, медианы и биссектрисы равностороннего треугольника равны ½a√3

Равнобедренный треугольник

Если две стороны треугольника равны, получится равнобедренный треугольник , равнобедренный треугольник .

Свойства равнобедренного треугольника :
Высота до неравной стороны также является соответствующей биссектрисой и медианой, но неверно для двух других высот.
Также верно, что медиана для неравных сторон также является биссектрисой и высотой, и биссектриса между двумя равными сторонами — это высота и медиана.

Прямой треугольник

Треугольник с прямым углом (90 °) называется прямоугольным треугольником .

Самая длинная сторона прямоугольного треугольника (сторона, противоположная прямому углу) называется гипотенузой (или гипотенузой), а две короткие стороны — катетами . Высота каждой ноги совпадает с другой ногой.

Формулы прямоугольного треугольника (см. Рисунок выше):

А + В = 90 °

Площадь прямоугольного треугольника задается формулой:
$ A = \ frac {1} {2} a \ cdot b $

c ² = a ² + b ² ( теорема Пифагора )

n⋅c = a ² Щелкните для доказательства

Треугольник ABC похож на треугольник CBH, потому что у него один прямой угол, а угол B общий (два равных угла).
Следовательно, $ \ frac {c} {a} = \ frac {a} {n} $ или n⋅c = a ²

m⋅c = b ² Щелкните для доказательства

Треугольники ABC похожи на треугольник ACH, потому что у них один прямой угол, а угол A общий (два равных угла).
Следовательно, $ \ frac {c} {b} = \ frac {b} {m} $ или m⋅c = b ²

h⋅c = a⋅b
a = c⋅sin (A) = c⋅cos (B)
b = c⋅sin (B) = c⋅cos (A)

Медианы высот и биссектрисы

Медианы высот и биссектрисы углов

Так же, как существуют специальные имена для особых типов треугольников, существуют специальные имена для специальных линейных сегментов внутри треугольников.Разве это не особенное?

Каждый треугольник имеет три основания , (любая из его сторон) и три высоты , (высоты). Каждая высота — это перпендикулярный отрезок от вершины к ее противоположной стороне (или продолжению противоположной стороны) (рис. 1).

Рисунок 1 Три основания и три высоты для одного и того же треугольника.

Высота иногда может совпадать со стороной треугольника или иногда может встречаться с расширенным основанием за пределами треугольника.На рисунке 2 AC — это высота до базы BC , а BC — высота до базы AC .

Рисунок 2 В прямоугольном треугольнике каждый отрезок может служить высотой.

На рисунке 3 AM — высота до основания BC .

Рисунок 3 Высота тупого треугольника.

Интересно отметить, что в любом треугольнике три линии, содержащие высоты, встречаются в одной точке (рис. 4).

Рисунок 4 Три линии, содержащие высоты, пересекаются в одной точке,

, который может находиться или не находиться внутри треугольника.

Медиана в треугольнике — это отрезок прямой, проведенный от вершины до середины ее противоположной стороны. В каждом треугольнике по три медианы. На рисунке 5 E является средней точкой BC . Следовательно, BE = EC . AE — это медиана Δ ABC.

Рисунок 5 Медиана треугольника.

В каждом треугольнике три медианы пересекаются в одной точке внутри треугольника (рис. 6).

Рис. 6 Три медианы встречаются в одной точке внутри треугольника.

Биссектриса угла в треугольнике — это отрезок, проведенный из вершины, которая делит пополам (разрезает пополам) этот угол вершины. В каждом треугольнике есть три биссектрисы. На рисунке это биссектриса угла в Δ ABC.

Рисунок 7 Биссектриса угла.

В каждом треугольнике три биссектрисы угла пересекаются в одной точке внутри треугольника (рис. 8).

Рисунок 8 Три биссектрисы угла пересекаются в одной точке внутри треугольника.

В общем, высоты, медианы и биссектрисы — это разные сегменты. Однако в некоторых треугольниках они могут быть одними и теми же сегментами. На рисунке можно доказать, что высота, рассчитанная из угла при вершине равнобедренного треугольника, является медианной, а также биссектрисой угла.

Рис. 9 Высота, рассчитанная по углу при вершине равнобедренного треугольника.

Пример 1: На основании разметки на рисунке 10 назовите высоту Δ QRS, назовите медиану Δ QRS, и назовите биссектрису угла Δ QRS .

Рис. 10 Нахождение высоты, медианы и биссектрисы.

RT — это высота над базой QS , потому что RT ⊥ QS .

SP — это медиана для базы QR , потому что P — это средняя точка QR .

QU представляет собой биссектрису Δ QRS , поскольку она делит пополам ∠ RQS.