Метод исключения неизвестных онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Содержание

Метод гаусса приклад. Метод гаусса онлайн

Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Если вы смутно представляете, что такое система линейных уравнений вообще, чувствуете себя чайником, то рекомендую начать с азов на странице Далее полезно изучить урок .

Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА.Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах.

Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решениялюбой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений? и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы : . По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка : рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае:

. Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями .

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует

удалить . Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули .

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля . Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2 : . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯ

ЛИ не изменилась . Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ .

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче: Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2 . Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ : рассмотренные манипуляции нельзя использовать , если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя! Вернемся к нашей системе . Она практически разобрана по косточкам.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду :

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид .

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса .

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения: И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица . Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения . Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2 :

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3 :

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно . Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО :
А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2 :
Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений: Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ :

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса . Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так: (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1 . То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:

Ответ : .

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса. Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например: Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод . В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули: Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .

Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном…. Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Решить методом Гаусса систему 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением . Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.
Выполненные элементарные преобразования: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем! (2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание , что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее. (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5. (4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Обратный ход:

Ответ : .

Пример 4: Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования: (1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке». (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.

Со второй «ступенькой» всё хуже , «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3. Нужная вещь на второй ступеньке получена . (5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6. (6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83.

Обратный ход:

Ответ :

Пример 5: Решение : Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки. (5) К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на –5.

Обратный ход:

Ответ :

1. Система линейных алгебраических уравнений

1.1 Понятие системы линейных алгебраических уравнений

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

где числа a ij называются коэффициентами системы, числа b i – свободными членами, a ij и b i (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x 1 ,…, x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа x n . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме: AX=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

– вектор-столбец из неизвестных xj.
– вектор-столбец из свободных членов bi.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

1.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Решением системы называется n значений неизвестных х1=c1, x2=c2,…, xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3=…=xn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

2. Метод исключения Гаусса

2.1 Сущность метода исключения Гаусса

Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой и обратный ходы.

1. Прямой ход.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним.

После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

,

Коэффициенты aii называются главными (ведущими) элементами системы.

(если a11=0, переставим строки матрицы так, чтобы a 11 не был равен 0. Это всегда возможно, т. к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна).

Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на

и сложим почленно со вторым уравнением системы (или из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на ). Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы (или из третьего почленно вычтем первое, помноженное на ). Таким образом, последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i -й строке, для i= 2, 3, …, n.

Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему:


– новые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, которые определяются формулами:

Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a 11

0, на втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а 22 (1) (если a 22 (1) 0) и т. д. Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида

то это свидетельствует о несовместности системы.

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

2. Обратный ход.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений.

Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (она в нем всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх.

Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Примечание: на практике удобнее работать не с системой, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11).

2.2 Примеры решения СЛАУ методом Гаусса

В данном разделе на трех различных примерах покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ.

Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка.

Обнулим коэффициенты при

во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строкой:

Еще с начала XVI-XVIII веков математики усиленно начали изучать функции, благодаря которым так много в нашей жизни изменилось. Компьютерная техника без этих знаний просто не существовала бы. Для решения сложных задач, линейных уравнений и функций были созданы различные концепции, теоремы и методики решения. Одним из таких универсальных и рациональных способов и методик решения линейных уравнений и их систем стал и метод Гаусса. Матрицы, их ранг, детерминант — все можно посчитать, не используя сложных операций.

Что представляет собой СЛАУ

В математике существует понятие СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений. Что же она собой представляет? Это набор из m уравнений с искомыми n неизвестными величинами, обычно обозначающимися как x, y, z, или x 1 , x 2 … x n, или другими символами. Решить методом Гаусса данную систему — означает найти все искомые неизвестные. Если система имеет одинаковое число неизвестных и уравнений, тогда она называется системой n-го порядка.

Наиболее популярные методы решения СЛАУ

В учебных заведениях среднего образования изучают различные методики решения таких систем. Чаще всего это простые уравнения, состоящие из двух неизвестных, поэтому любой существующий метод для поиска ответа на них не займет много времени. Это может быть как метод подстановки, когда из одного уравнения выводится другое и подставляется в изначальное. Или метод почленного вычитания и сложения. Но наиболее легким и универсальным считается метод Гаусса. Он дает возможность решать уравнения с любым количеством неизвестных. Почему именно эта методика считается рациональной? Все просто. Матричный способ хорош тем, что здесь не требуется по несколько раз переписывать ненужные символы в виде неизвестных, достаточно проделать арифметические операции над коэффициентами — и получится достоверный результат.

Где используются СЛАУ на практике

Решением СЛАУ являются точки пересечения прямых на графиках функций. В наш высокотехнологический компьютерный век людям, которые тесно связаны с разработкой игр и прочих программ, необходимо знать, как решать такие системы, что они представляют и как проверить правильность получившегося результата. Наиболее часто программисты разрабатывают специальные программы-вычислители линейной алгебры, сюда входит и система линейных уравнений. Метод Гаусса позволяет высчитать все существующие решения. Также используются и другие упрощенные формулы и методики.

Критерий совместимости СЛАУ

Такую систему можно решить только в том случае, если она совместима. Для понятности представим СЛАУ в виде Ax=b. Она имеет решение, если rang(A) равняется rang(A,b). В этом случае (A,b) — это матрица расширенного вида, которую можно получить из матрицы А, переписав ее со свободными членами. Выходит, что решить линейные уравнения методом Гаусса достаточно легко.

Возможно, некоторые обозначения не совсем понятны, поэтому необходимо рассмотреть все на примере. Допустим, есть система: x+y=1; 2x-3y=6. Она состоит всего из двух уравнений, в которых 2 неизвестные. Система будет иметь решение только в том случае, если ранг ее матрицы будет равняться рангу расширенной матрицы. Что такое ранг? Это число независимых строк системы. В нашем случае ранг матрицы 2. Матрица А будет состоять из коэффициентов, находящихся возле неизвестных, а в расширенную матрицу вписываются и коэффициенты, находящиеся за знаком «=».

Почему СЛАУ можно представить в матричном виде

Исходя из критерия совместимости по доказанной теореме Кронекера-Капелли, систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде. Применяя каскадный метод Гаусса, можно решить матрицу и получить единственный достоверный ответ на всю систему. Если ранг обычной матрицы равняется рангу ее расширенной матрицы, но при этом меньше количества неизвестных, тогда система имеет бесконечное количество ответов.

Преобразования матриц

Прежде чем переходить к решению матриц, необходимо знать, какие действия можно проводить над их элементами. Существует несколько элементарных преобразований:

  • Переписывая систему в матричный вид и осуществляя ее решение, можно умножать все элементы ряда на один и тот же коэффициент.
  • Для того чтобы преобразовать матрицу в канонический вид, можно менять местами два параллельных ряда. Канонический вид подразумевает, что все элементы матрицы, которые расположены по главной диагонали, становятся единицами, а оставшиеся — нулями.
  • Соответствующие элементы параллельных рядов матрицы можно прибавлять один к другому.

Метод Жордана-Гаусса

Суть решения систем линейных однородных и неоднородных уравнений методом Гаусса в том, чтобы постепенно исключить неизвестные. Допустим, у нас есть система из двух уравнений, в которых две неизвестные. Чтобы их найти, необходимо проверить систему на совместимость. Уравнение методом Гаусса решается очень просто. Необходимо выписать коэффициенты, находящиеся возле каждого неизвестного в матричный вид. Для решения системы понадобится выписать расширенную матрицу. Если одно из уравнений содержит меньшее количество неизвестных, тогда на место пропущенного элемента необходимо поставить «0». К матрице применяются все известные методы преобразования: умножение, деление на число, прибавление соответствующих элементов рядов друг к другу и другие. Получается, что в каждом ряду необходимо оставить одну переменную со значением «1», остальные привести к нулевому виду. Для более точного понимания необходимо рассмотреть метод Гаусса на примерах.

Простой пример решения системы 2х2

Для начала возьмем простенькую систему алгебраических уравнений, в которой будет 2 неизвестных.

Перепишем ее в расширенную матрицу.

Чтобы решить данную систему линейных уравнений, требуется проделать всего две операции. Нам необходимо привести матрицу к каноническому виду, чтобы по главной диагонали стояли единицы. Так, переводя с матричного вида обратно в систему, мы получим уравнения: 1x+0y=b1 и 0x+1y=b2, где b1 и b2 — получившиеся ответы в процессе решения.

  1. Первое действие при решении расширенной матрицы будет таким: первый ряд необходимо умножить на -7 и прибавить соответственно отвечающие элементы ко второй строке, чтобы избавиться от одного неизвестного во втором уравнении.
  2. Так как решение уравнений методом Гаусса подразумевает приведение матрицы к каноническому виду, тогда необходимо и с первым уравнением проделать те же операции и убрать вторую переменную. Для этого вторую строку отнимаем от первой и получаем необходимый ответ — решение СЛАУ. Или, как показано на рисунке, вторую строку умножаем на коэффициент -1 и прибавляем к первой строке элементы второго ряда. Это одно и то же.

Как видим, наша система решена методом Жордана-Гаусса. Переписываем ее в необходимую форму: x=-5, y=7.

Пример решения СЛАУ 3х3

Предположим, что у нас есть более сложная система линейных уравнений. Метод Гаусса дает возможность высчитать ответ даже для самой, казалось бы, запутанной системы. Поэтому, чтобы более глубоко вникнуть в методику расчета, можно переходить к более сложному примеру с тремя неизвестными.

Как и в прежнем примере, переписываем систему в вид расширенной матрицы и начинаем приводить ее к каноническому виду.

Для решения этой системы понадобится произвести гораздо больше действий, чем в предыдущем примере.

  1. Сначала необходимо сделать в первом столбце один единичный элемент и остальные нули. Для этого умножаем первое уравнение на -1 и прибавляем к нему второе уравнение. Важно запомнить, что первую строку мы переписываем в изначальном виде, а вторую — уже в измененном.
  2. Далее убираем эту же первую неизвестную из третьего уравнения. Для этого элементы первой строки умножаем на -2 и прибавляем их к третьему ряду. Теперь первая и вторая строки переписываются в изначальном виде, а третья — уже с изменениями. Как видно по результату, мы получили первую единицу в начале главной диагонали матрицы и остальные нули. Еще несколько действий, и система уравнений методом Гаусса будет достоверно решена.
  3. Теперь необходимо проделать операции и над другими элементами рядов. Третье и четвертое действие можно объединить в одно. Нужно разделить вторую и третью строку на -1, чтобы избавиться от минусовых единиц по диагонали. Третью строку мы уже привели к необходимому виду.
  4. Дальше приведем к каноническому виду вторую строку. Для этого элементы третьего ряда умножаем на -3 и прибавляем их ко второй строчке матрицы. Из результата видно, что вторая строка тоже приведена к необходимой нам форме. Осталось проделать еще несколько операций и убрать коэффициенты неизвестных из первой строки.
  5. Чтобы из второго элемента строки сделать 0, необходимо умножить третью строку на -3 и прибавить ее к первому ряду.
  6. Следующим решающим этапом будет прибавление к первой строке необходимые элементы второго ряда. Так мы получаем канонический вид матрицы, а, соответственно, и ответ.

Как видно, решение уравнений методом Гаусса довольно простое.

Пример решения системы уравнений 4х4

Некоторые более сложные системы уравнений можно решить методом Гаусса посредством компьютерных программ. Необходимо вбить в существующие пустые ячейки коэффициенты при неизвестных, и программа сама пошагово рассчитает необходимый результат, подробно описывая каждое действие.

Ниже описана пошаговая инструкция решения такого примера.

В первом действии в пустые ячейки вписываются свободные коэффициенты и числа при неизвестных. Таким образом, получается такая же расширенная матрица, которую мы пишем вручную.

И производятся все необходимые арифметические операции, чтобы привести расширенную матрицу к каноническому виду. Необходимо понимать, что не всегда ответ на систему уравнений — это целые числа. Иногда решение может быть из дробных чисел.

Проверка правильности решения

Метод Жордана-Гаусса предусматривает проверку правильности результата. Для того чтобы узнать, правильно ли посчитаны коэффициенты, необходимо всего-навсего подставить результат в изначальную систему уравнений. Левая сторона уравнения должна соответствовать правой стороне, находящейся за знаком «равно». Если ответы не совпадают, тогда необходимо пересчитывать заново систему или попробовать применить к ней другой известный вам метод решения СЛАУ, такой как подстановка или почленное вычитание и сложение. Ведь математика — это наука, которая имеет огромное количество различных методик решения. Но помните: результат должен быть всегда один и тот же, независимо от того, какой метод решения вы использовали.

Метод Гаусса: наиболее часто встречающиеся ошибки при решении СЛАУ

Во время решения линейных систем уравнений чаще всего возникают такие ошибки, как неправильный перенос коэффициентов в матричный вид. Бывают системы, в которых отсутствуют в одном из уравнений некоторые неизвестные, тогда, перенося данные в расширенную матрицу, их можно потерять. В результате при решении данной системы результат может не соответствовать действительному.

Еще одной из главных ошибок может быть неправильное выписывание конечного результата. Нужно четко понимать, что первый коэффициент будет соответствовать первому неизвестному из системы, второй — второму, и так далее.

Метод Гаусса подробно описывает решение линейных уравнений. Благодаря ему легко произвести необходимые операции и найти верный результат. Кроме того, это универсальное средство для поиска достоверного ответа на уравнения любой сложности. Может быть, поэтому его так часто используют при решении СЛАУ.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить (найти такие значения неизвестных хi, что обращают каждое уравнение системы в равенство).

Мы знаем, что система линейных алгебраических уравнений может:

1) Не иметь решений (бытьнесовместной ).
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Иметь единственное решение.

Как мы помним,правило Крамера и матричный методнепригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Метод Гаусса наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений , который в каждом случае приведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов.

Преобразования расширенной матрицы (это матрица системы — матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, плюс столбец свободных членов) системы линейных алгебраических уравнений в методе Гаусса:

1) с троки матрицыможно переставлять местами.

2) если в матрице появились (или есть) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следуетудалить из матрицы все эти строки кроме одной.

3) если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить .

4) строку матрицы можноумножить (разделить) на любое число,отличное от нуля.

5) к строке матрицы можноприбавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля.

В методе Гаусса элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений.

Метод Гаусса состоит из двух этапов:

  1. «Прямой ход» — с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений к «треугольному» ступенчатому виду: элементы расширенной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (ход «сверху-вниз»). Например, к такому виду:

Для этого выполним следующие действия:

1) Пусть мы рассматриваем первое уравнение системы линейных алгебраических уравнений и коэффициент при х 1 равен К. Второе, третье и т.д. уравнения преобразуем следующим образом: каждое уравнение (коэффициенты при неизвестных, включая свободные члены) делим на коэффициент при неизвестном х 1 , стоящий в каждом уравнении, и умножаем на К. После этого из второго уравнения (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) вычитаем первое. Получаем при х 1 во втором уравнении коэффициент 0. Из третьего преобразованного уравнения вычитаем первое уравнение, так до тех пор, пока все уравнения, кроме первого, при неизвестном х 1 не будут иметь коэффициент 0.

2) Переходим к следующему уравнению. Пусть это будет второе уравнение и коэффициент при х 2 равен М. Со всеми «нижестоящими» уравнениями поступаем так, как описано выше. Таким образом, «под» неизвестной х 2 во всех уравнениях будут нули.

3) Переходим к следующему уравнению и так до тех пора, пока не останется одна последняя неизвестная и преобразованный свободный член.

  1. «Обратный ход» метода Гаусса – получение решения системы линейных алгебраических уравнений (ход «снизу-вверх»). Из последнего «нижнего» уравнения получаем одно первое решение – неизвестную х n . Для этого решаем элементарное уравнение А*х n = В. В примере, приведенном выше, х 3 = 4. Подставляем найденное значение в «верхнее» следующее уравнение и решаем его относительно следующей неизвестной. Например, х 2 – 4 = 1, т.е. х 2 = 5. И так до тех пор, пока не найдем все неизвестные.

Пример.

Решим систему линейных уравнений методом Гаусса, как советуют некоторые авторы:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Поступим так:
1 шаг . К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное действие: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

2 шаг . Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

3 шаг . Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

4 шаг . К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

5 шаг . Третью строку разделили на 3.

Признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде (0 0 11 |23) , и, соответственно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Выполняем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает «снизу вверх». В данном примере получился подарок:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, следовательно x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Ответ 😡 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Решим эту же систему по предложенному алгоритму. Получаем

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Разделим второе уравнение на 5, а третье – на 3. Получим:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Умножим второе и третье уравнения на 4, получим:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Вычтем из второго и третьего уравнений первое уравнение, имеем:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Разделим третье уравнение на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Умножим третье уравнение на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Вычтем из третьего уравнения второе, получим «ступенчатую» расширенную матрицу:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким образом, так как в процессе вычислений накапливалась погрешность, получаем х 3 = 0,96 или приблизительно 1.

х 2 = 3 и х 1 = –1.

Решая таким образом, Вы никогда не запутаетесь в вычислениях и не смотря на погрешности вычислений, получите результат.

Такой способ решения системы линейных алгебраических уравнений легко программируем и не учитывает специфические особенности коэффициентов при неизвестных, ведь на практике (в экономических и технических расчетах) приходиться иметь дело именно с нецелыми коэффициентами.

Желаю успехов! До встречи на занятиях! Репетитор Дмитрий Айстраханов .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

Размер матрицы: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите «очень подробное решение» и посмотрите его решение онлайн.

Ислледовательская работа на тему:»Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса. «

РЕСПУБЛИКАНСКАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

МОЛОДЫХ ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ

«ШАГ В БУДУЩЕЕ»

 

 

 

ТЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ:

 

Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

 

 

 

 

Симпозиум 3.

       Математика и информационные технологии

 

 

 

                              Автор        Гусейнов Гусейн,

                       исследования:   ученик 11 «б» класса

                                                 МКОУ  «Унцукульская СОШ №1»

                                                 селения Унцукуль

                                                 Унцукульского района РД

 

 

                        Научный      Абдулаева А.А.,

                   руководитель:  учитель математикии информатики

                                              МКОУ «Унцукульская СОШ  №1».

 

 

 

 

2017г.

Аннотация

            Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой.

Часто на уроках математики мы решаем различные уравнения. Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных алгебраических уравнений.Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. На уроках алгебры мы использовали такие способы, как сложение, подстановка и графический.

Я решил узнать, какие еще существуют методы нахождения решений систем линейных уравнений.Ознакомившись со справочной  литературой, я выяснил, чтоодним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса.Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) современники называли «королём математики». Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности.

Мной на примерах был изучен и исследован алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Целью работы является изучение алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса для применения их на практике.

Актуальность заключается в том, что системы линейных алгебраических уравнений – это математический аппарат, который имеет широкое применение в решении многих задач практического приложения математики.

            Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решил искать частные примеры, подтверждающие либо опровергающие моирассуждения. Рассмотрев немало практических примеров, мне удалось в результате исследования сделать выводы о преимуществе метода Гаусса.

Таким образом, задача поиска решений систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса имеет не только самостоятельное значение, но часто является составной частью алгоритма решения многих нелинейных задач, что является актуальностьюизучения алгоритма решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

 

 

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………………1

1.      Основные определения и обозначения …………………………………………..2

2.      Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса ………………………………………3

3.      Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы……7

4.      Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных меньше

числа уравнений………………………………………………………………………….7

5.      Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных больше числа уравнений…………………………………………………………………………..8

Заключение………………………………..………………………………..……….…..10

Литература…………………………………………..……………………………………11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

,

где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi – свободными членами, aij и bi (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x1 ,…, xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aijпервый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа xn .

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот — неизвестных меньше, чем уравнений.

Метод Гаусса — классический метод решения  СЛАУ. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований  над расширенной матрицей система приводится к «ступенчатому» виду.Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, вычисляются неизвестные.

 

 

 

1

 

1.Основные определения и обозначения

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными (m может быть равно n):где  — неизвестныепеременные, 

Если , то система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в противном случае – неоднородной.   Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопределенной.

Говорят, что система записана в координатной форме, если она имеет вид

Эта система в матричной форме записи имеет вид , где

  — основная матрица СЛАУ,   матрица столбец неизвестных переменных,   матрица свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

2

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если , то матрица А называется невырожденной.

Следует оговорить следующий момент.

Если с системой линейных алгебраических уравнений 

произвести следующие действия:

·         поменять местами два уравнения,

·         умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное (или комплексное) число k,

·         к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число k,

то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений).

Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:

·         перестановку двух строк местами,

·         умножение всех элементов какой-либо строки матрицы T на отличное от нуля число k,

·         прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число k.

 

2.Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса

       Рассмотрим сначала решение систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы — квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.

 

3

Пример 1. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицусистемы:

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на  (в нашем случае на -3), к третьей – первую строку, умноженную на  (в нашем случае на  -2).Это возможно, так как .

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.   В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго, не содержат переменную x:

4

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на  и получим  матрицу :

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую, умноженную на  (в нашем случае на -4).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Мы получили эквивалентную данной системе трапециевидную систему линейных уравнений:

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем примере.

Решение найдём «с конца» — это называется «обратный ход метода Гаусса». Для этого из последнего уравнения определим z:
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдёмy:

Из первого уравнения найдём x:

Итак, решение данной системы .

 

 

 

5

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную .  Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на  -2, к третьей строке — первую, умноженную на -3, к четвёртой — первую, умноженную на  -2.

Теперь  с помощью второго уравнения исключим переменную  из последующих уравнений. И с помощью третьего уравнения исключим переменную  из четвёртого уравнения.  

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Искомое решение находим «с конца».Итаким образом, данная система уравнений имеет единственное решение

 

 

 

6

3.Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим методом Гаусса одну из таких задач — на сплавы. Аналогичные задачи — задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 3. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй — 30%, третий — 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

Умножаем второе и третье уравнения на 10, и составляем расширенную матрицу системы:  .  Применяемпрямой  ход метода Гаусса. Получим расширенную матрицу трапециевидной формы  .

Теперь применяем обратный ход метода Гаусса. Находим решение с конца. Получаем z=43, y=35, x=72.

4. Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных меньше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную x.7

 Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на -2, к третьей строке — первую,умноженную на  -3, к четвёртой — первую, умноженную на  -1. Далее новые вторую, третью и четвёртую строки умножаем на  -1.

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную y из последующих уравнений. Для этого четвёртую строку умножаем на , а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой.К третьей строке прибавим вторую, умноженную на  -8, а к четвёртой — вторую, умноженную на -7.

Четвёртая и третья строки — одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на  . Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

 zи y известны, а x находим из первого уравнения:x = 1.

Итак, данная система уравнений имеет единственное решение (1; 1; 1).

5. Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных больше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на  -2. 

 

8

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для  и . Это равносильно появлению уравнений вида , которые можно отбросить. Мы можем для   и   выбрать произвольные значения . Из первого уравнения значение для  находится однозначно: .Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы, при произвольных  и  дают нам все решения заданной системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Заключение

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой СЛАУ.

О простоте метода говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут.Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение «Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным» — своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

Преимуществами метода Гаусса решения СЛАУ являются:

·         метод менее трудоёмкий по сравнению с другими;

·         позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;

·         позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Подводя итог своей работы я пришел к выводу, что метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.

 

 

 

 

 

 

 

 

10

Литература

1.      Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы/   П.И.Алтынов, И.И.Баврин, Е.М.Бойченко и др. – М.:Дрофа, 2006. – 848с.

2.      Высшая математика в упражнениях и задачах / П.  Данко, А. Попов, Т. Кожевникова. – 1986. – Т. 1. – 296 c.

3.      Линейная алгебра: Учебник для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 6-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2004. – 280 с.

4.      Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Опорный конспект: учебное пособие. – Москва: Проспект, 2011. – 144с.

5.      Интернет-ресурсы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

Метод оптимального исключения


Существенное достоинство этого метода состоит в том, что он позволяет решать системы более высокого порядка при одних и тех же затратах оперативной памяти. Предположим, что после преобразования первых уравнений матрица преобразованной системы имеет вид

 

 

(4. 10)

 

 

Исключим неизвестные из -го уравнения с помощью первых уравнений и разделим полученное уравнение на коэффициент, стоящий при .

С помощью полученного уравнения исключим из первых уравнений системы. В результате получаем систему с матрицей (4.10), но с заменой индекса на . Все вычисления в методе оптимального исключения проводятся по формулам

 

,

 

 

,

 

, .

 

После преобразования всех уравнений находим решение исходной системы

, .

Для решения системы уравнений -го порядка по методу оптимального исключения необходимо выполнить ровно столько операций умножения и деления, как и в схеме единственного деления Гаусса.

 

Метод Гаусса с выбором главного элемента

 

Иногда может оказаться, что система (4. 1) имеет единственное решение, хотя какой-либо из главных миноров матрицы равен нулю. Кроме того, заранее неизвестно, все ли главные миноры матрицы отличны от нуля. В этих случаях обычный метод Гаусса может оказаться непригодным так, как в процессе вычисления какой-то ведущий элемент станет равным нулю. Кроме того, если на главной диагонали элемент мал, то деление на этот элемент приводит к значительным ошибкам округления. Избежать указанных трудностей позволяет метод Гаусса с выбором главного элемента. В этом методе исключается не следующее по порядку неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. При применении такого варианта метода Гаусса не будет происходить деление на нуль. Различают три варианта метода Гаусса с выбором главного элемента:

а) метод Гаусса с выбором главного элемента по строке: в системе на каждом шаге исключения проводится соответствующая перенумерация переменных;



б) метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу: на каждом шаге исключения проводится перенумерация уравнений;

в) метод Гаусса с выбором главного элемента во всей матрице системы: в этом случае проводится перенумерация и переменных и уравнений.

С точки зрения программной реализации вариант б) является более привлекательным, так как он не требует перенумерации переменных, что приводит к потере однородности вычислительного процесса. Метод Гаусса с выбором главного элемента позволяет уменьшить погрешность округления, но при решении плохо обусловленных систем устойчивость этого метода может оказаться недостаточной.

 

ЛЕКЦИЯ № 9

 

Методы, основанные на разложении матриц

Схема Холецкого

Используем для решения системы (4.1) теорему о разложении невырожденной квадратной матрицы в произведение нижней и верхней треугольных матриц.

Теорема 4.1.Если главные миноры матрицы отличны от нуля:

 

, , …, ,

 

то матрица представима в виде

, (4.11)

 

где и — соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы.

Разложение (4.11) не может быть единственным. Если взять произвольную диагональную матрицу , с элементами, отличными от нуля, то вместе с равенством справедливо также равенство . Поэтому диагональные элементы одной из матриц и можно задавать произвольными, отличными от нуля.

Зафиксируем элементы главной диагонали матрицы , положив , . В этом случае разложение имеет вид

 

(4.12)

 

Учитывая разложение (4.11), система (4.1) принимает вид . Тогда вектор неизвестных можно найти из цепочки матричных уравнений

 

, (4.13)

 

Вектор находится из системы с нижней треугольной матрицей

 

 

по формулам , , . Определив вектор , находим

 

вектор неизвестных из системы с верхней треугольной матрицей

 

 

 

Вычисление проводится по формулам, аналогичным формулам для обратного хода схемы единственного деления Гаусса

, , .

Описанный метод решения систем линейных алгебраических уравнений называется схемой Холецкого.

 

Метод квадратного корня

Этот метод используется для решения систем линейных алгебраических уравнений с эрмитовой невырожденной матрицей . Матрица называется эрмитовой, если она совпадает со своей комплексно-сопряженной транспонированной матрицей, т.е. . Среди прямых методов этот метод является самым быстродействующим и особенно удобен для решения систем уравнений с ленточной матрицей, у которой при , где .

Будем искать разложение действительной матрицы системы (4.1) в виде

 

, (4.14)

где

,

 

— диагональная матрица с элементами .

После перемножения матриц получаем

 

, ,

 

, .

 

Потребуем, чтобы элементы были положительными числами. Тогда получим

 

(4.15)

 

Таким образом, разложение (4.14) существует и определяется формулами (2.15). Тогда решение системы (4.1) сводится к решению двух систем с треугольными матрицами

, .

Первая система имеет вид

 

 

и ее решение находится по формулам

, , .

 

Вторая система

 

дает решение исходной системы (4.1)

, , .

 

Если матрица является положительно определенной (все главные миноры положительны), то и . Формулы разложения имеют в этом случае вид

 

 

Для решения системы линейных алгебраических уравнений с вещественной матрицей порядка методом квадратного корня необходимо выполнить операций умножения и деления и извлечений квадратного корня.

 

ЛЕКЦИЯ № 10

 

Метод отражений

Этот метод основан на разложении матрицы системы (4. 1) в произведение унитарной матрицы на верхнюю треугольную. Матрица называется унитарной, если она удовлетворяет уравнению , где — матрица, сопряженная с . Вещественные унитарные матрицы называются ортогональными.

По своей структуре метод отражений близок к методу Гаусса, но исключение проводится с помощью матриц отражения, которые являются унитарными и эрмитовыми. Достоинством метода отражений является единая схема вычислительного процесса, не зависящая от структуры матрицы.

Теорема 4.2. Пусть и произвольные вектор-столбцы, причем вектор имеет единичную длину. Тогда найдется такой вектор , что построенная по нему матрица отражения переведет вектор в вектор, коллинеарный вектору , т.е. .

Вектор строится по правилу

, (4.16)

 

где , , .

 

Будем преобразовывать расширенную матрицу систему по правилу

 

,

 

с помощью умножения слева на последовательность матриц отражения . Для построения матрицы на первом шаге метода в качестве вектора берется первый столбец расширенной матрицы, а в качестве вектора — координатный вектор . В силу выбора векторов и все координаты первого столбца расширенной матрицы, кроме первой, после выполнения первого шага метода будут равны нулю.

Пусть уже построена матрица , у которой , , . Теперь в качестве и берутся вектора

 

, ,

 

где в векторе единица стоит на -ом месте. После выполнения -го шага метода отражений получим матрицу , у которой все элементы, стоящие ниже главной диагонали, в первых -ом столбцах будут равны нулю. Невозможность выполнения очередного шага связана только с равенством нулю вектора , а это невозможно, так как матрица является невырожденной.

После — шага получим матрицу, первые столбцов которой образуют верхнюю треугольную матрицу . Система уравнений, соответствующая полученной расширенной матрице, равносильна исходной системе (4. 1). Значения неизвестных находятся аналогично обратному ходу метода Гаусса

, ,

 

Для решения системы линейных алгебраических уравнений методом отражений необходимо выполнить операций умножения и деления, а также извлечений квадратных корней.

Пример.

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом отражений

 

 

Решение: По системе уравнений составим матрицу

 

.

 

Шаг 1. , , , ,

, , ,

 

,

 

 

.

 

Тогда .

 

Шаг 2. , , , ,

 

, , ,

 

,

 

 

 

.

 

Тогда .

Шаг 3. Исходная система преобразована к системе с верхней треугольной матрицей. Пользуясь обратным ходом метода Гаусса, находим , , .

Метод вращений

Вещественные унитарные матрицы

 

называются элементарными матрицами вращения или матрицами простого поворота. При умножении матрицы слева на матрицу получим матрицу , у которой изменятся в отличие от матрицы только -я и -я строки. Изменение элементов -й и -й строк осуществляется по формулам

 

, . (4.17)

 

Всегда можно подобрать угол поворота так, чтобы элемент оказался равным нулю. Для этого нужно взять

, , (4.18)

 

если , и , в противном случае.

 

Теорема 4.3.Любая действительная матрица преобразуется в верхнюю треугольную матрицу после умножения слева на конечную цепочку матриц простого поворота .

Рассмотрим систему (4.1) и построим для матрицы системы унитарную матрицу так, чтобы матрица преобразованной системы стала верхней треугольной. Тогда система преобразуется к виду

.

 

Матрица представляет собой произведение унитарных матриц простого поворота . Матрица строится так, чтобы после умножения обнулить элемент , стоящий под главной диагональю. В этом случае угол поворота выбирается по формулам (4.18).

Пример.

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом вращений.

 

.

Решение: По системе уравнений составим матрицу

 

.

Шаг 1. В матрице обнулим элемент . Для этого возьмем , , и построим матрицу вращений . Получаем

, ,

 

.

 

Тогда .

Шаг 2. Обнулим элемент в матрице . Для этого берем , , и строим матрицу . Имеем

, ,

 

,

 

.

Шаг 3. Обнулим элемент в матрице . Для этого берем , , и строим матрицу . Имеем

, ,

 

,

 

.

 

Шаг 4. Исходная система преобразована к системе с верхней треугольной матрицей. Пользуясь обратным ходом метода Гаусса, находим , , .

ЛЕКЦИЯ № 11

 

 

123

Решение систем уравнений методом Гаусса | Проект по алгебре (8 класс) на тему:

МАОУ-лицей № 13 п. Краснообск, Рязанова М. «Решение систем уравнений методом Гаусса»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

        Новосибирского района Новосибирской области –

      лицей № 13 п. Краснообск

Решение систем уравнений

методом Гаусса

Работу выполнила:

Рязанова Мария

8Б класс

Руководитель:

учитель математики

Черемисина Галина Артуровна

                                                                                                                           

   

2018

Содержание:

  1. Введение……. …………………………………..…………….…..3
  2.      Немного из биографии Гаусса……………………………………4
  3. Понятие матрицы и  её преобразования ……………………….…5
  4. Решение двойной системы уравнений………………….……….7
  5. Решение тройной системы……………………………………….8
  6.  Заключение ………….…………………………….……………..9
  7. Используемые ресурсы……………………………………….…10

Введение

Одной из основных задач алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений. Большая  часть методов решения различных задач включает в себя решение систем линейных уравнений как один из шагов соответствующего алгоритма. Достаточно известным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Это  метод также называют методом последовательного исключения неизвестных Гаусса, который является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных систем уравнений,  известный в различных вариантах уже более 2000 лет.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. На первом этапе система приводится к треугольному виду, а на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной треугольной системы.

Метод Гаусса — один из основных результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, к нему сводятся множество других теорем и методов линейной алгебры. Поэтому поиск решения системы линейных уравнений методом Гаусса имеет не только важное значение, но и является частью алгоритма решения многих задач, что позволяет говорить об актуальности изучения метода Гаусса. В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. 

Цели и задачи

Цели проекта: ознакомить и научить одноклассников решать системы уравнений методом Гаусса.

Задачи проекта:

  • подобрать информацию по данной теме;
  • изучить метод Гаусса;
  • научиться самостоятельно решать системы уравнений методом Гаусса;
  • рассказать историю появления метода Гаусса, о самом Гауссе и его научных трудах;
  • показать преобразования  матрицы одноклассникам;
  • подобрать и решить примеры систем уравнений этим методом;
  • применить метод Гаусса при решении систем уравнений вместе с одноклассниками.

Немного из биографии Гаусса

Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 — 1855) — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков».

С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: в алгебре, теории чисел, дифференциальной и неевклидовой геометрии,  теории вероятностей, а также в механике, астрономии, физике и геодезии.

Гаусс чрезвычайно строго относился к своим печатным трудам и никогда не публиковал даже выдающиеся результаты, если считал свою работу над этой темой незавершённой. Изучение архива Гаусса показало, что он медлил с публикацией ряда своих открытий, и в результате его опередили другие математики. Вот неполный перечень упущенных им трудов.

  • Неевклидова геометрия
  • Эллиптические функции
  • Метод наименьших квадратов
  • Закон распределения простых чисел

Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, при котором с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида.  Затем последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы. Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах».

Понятие матрицы, её преобразования

Матрица (математика) — прямоугольная таблица элементов.

         пример матрицы  

Со строками матрицы мы можем выполнять следующие операции: деление; умножение на число, отличное от нуля; сложение; вычитание.

Существуют следующие элементарные преобразования: 

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки: 

            

2) Если в матрице есть пропорциональные (или одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу.

В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них:  

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Нулевая строка – это строка, в которой одни нули.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу: 

Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2:

                                   

Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля.

Строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ  ПРИБАВЛЯЮТ.

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: 

Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид.  

Решение системы уравнений с двумя переменными    

      Решим данную систему методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы,

которая представляет из себя коэффициенты чисел:

  1. Умножаем первую строку на 2
  2. К первой строке прибавляем вторую
  3. Сокращаем первую строку на 5
  4. Умножаем первую строку на 3
  5. Из второй строки вычитаем первую
  6. Первую строку сокращаем на 3, а вторую на 4

                                                                                        

                                                                                                        

            

    Ответ:

Решение системы уравнений с тремя переменными    

  1. Вычитаем из первой строки вторую
  2. Вычитаем из первой строки первую строку, умноженную на 2. Из третьей строки вычитаем первую.

             

  1. Третью строку умножаем на -1.
  2. Ко второй строке прибавляем третью, умноженную на 7.

  1. Вторую строку делим на -30.
  2. Из первой строки вычитаем третью, умноженную на 3.

  1. Из первой строки вычитаем вторую, умноженную на 13.
  2. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 7. 

                        — решение системы уравнений

       

    Ответ:

Заключение

Поработав с данным методом, я ощутила преимущество его применения по отношению к классическим приёмам решения систем уравнений. Надеюсь, знание этого метода мне поможет в будущем быстро решать системы уравнений с несколькими переменными, а также осуществлять проверку решений классическими способами.

Одной из целей моего проекта является научить одноклассников решать системы уравнений методом Гаусса, для чего на спецкурсе по математике я показала и рассказала им о своей работе и предложила совместно решить несколько систем, состоящих из двух строк, методом Гаусса. Ребят заинтересовал данный метод, они с интересом слушали меня, а потом совместно решали системы уравнений данным методом.  Далее предложены системы уравнений и фотографии с нашего занятия.

   Ответ:     Ответ:  

    Ответ:          Ответ:  

 Ответ:             Ответ:

   Ответ:

 

У меня получилось самой освоить данный метод и передать свои знания одноклассникам. Таким образом,  поставленные мною цели и задачи выполнены. И ещё метод Гаусса прост тем, как мне кажется, что для его освоения не требуется много знаний. А также для матриц ограниченного размера метод Гаусса менее трудоёмкий по сравнению с другими методами, поэтому в будущем я планирую его активно применять при решении систем уравнений.

Используемые ресурсы:

  • http://mathprofi.ru/metod_gaussa_dlya_chainikov.html 
  • https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0 
  • https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%A4%D1%80%D0%B8%D0%B4%D1%80%D0%B8%D1%85 
  • https://ru. wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0 
  • http://works.doklad.ru/view/VKvjtWO86PI.html

Решить систему уравнений через матрицу онлайн. Обратная матрица

Матричный метод решения СЛАУ применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц.

Этот способ, другими словами метод обратной матрицы, называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу.

Матричный метод решения СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем:

Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n неизвестными (над произвольным полем):

Значит, её легко перевести в матричную форму:

AX=B , где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A −1 — обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.

Т.к. A −1 A=E , значит, X=A −1 B . Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A . Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A :

detA≠0.

Для однородной системы линейных уравнений , т.е. если вектор B=0 , выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0 . Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.

Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле . Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицы A −1 .

Известно, что у квадратной матрицы А порядка n на n есть обратная матрица A −1 только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ.

Пример решения неоднородной СЛАУ.

Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ.

Теперь находим союзную матрицу , транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы.

Подставляем переменные в формулу:

Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например :

НЕЛЬЗЯ записать как:

Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи:

Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x 1 , x 2 , …, x n могут оказаться другие буквы. К примеру :

в матричной форме записываем так:

Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.

Метод обратной матрицы – эточастный случай матричного уравнения

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме.Решение системы найдем по формуле (см.последнюю формулу)

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решаетсяметодом исключение неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.






Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не вносимв матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления . Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на урокеДействия с матрицами . Кстати, там разобран точно такой же пример.

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь .
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ :

Пример 12

Решить систему с помощью обратной матрицы.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса) . Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 3:

Пример 6:

Пример 8: , . Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера (ссылка ниже).

Примеры 10, 12:

Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Если Вы смутно представляете, что такое система линейных уравнений вообще, чувствуете себя чайником, то рекомендую начать с азов на странице Далее полезно изучить урок .

Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА.Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решениялюбой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений?
и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы :
. По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка: рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица система записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями .

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следуетудалить . Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули .

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля . Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2 : . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ не изменилась . Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ .

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2 . Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать , если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!

Вернемся к нашей системе . Она уже почти решена.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду :

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Кстати, почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид .

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса .

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения:

И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Почти всегда здесь должна находиться единица . Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения . Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2 :

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3 :

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно . Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО :

А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2 :

Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ:

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2


Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса . Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так: (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1 . То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху –1, что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх:
Да тут подарок получился:

Ответ: .

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса.
Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например:

Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод . В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули:

Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .

Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном…. Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Решить методом Гаусса систему 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением . Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Выполненные элементарные преобразования:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем!
(2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание , что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5.
(4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Обратный ход:


Ответ: .

Пример 4: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:
(1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке».
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.

Со второй «ступенькой» всё хуже , «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы

(3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1.
(4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3.
Нужная вещь на второй ступеньке получена .
(5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83. .Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, ; .Если свободные члены

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A −1 A =E , где E — единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b .

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b , где

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A :

,
,
,
,
,
,
,
,
.

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения.

Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.

Матричный метод решения — метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A -1 · B , где A -1 — обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B , где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A -1 — матрицу, обратную к матрице A : A -1 (AX ) = A -1 B

Так как A -1 A = E , получаем X = A -1 B . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A . Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A : detA ≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0 , действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Уравнения онлайн. Решение линейных уравнений с примерами Как решить уравнение 5 6

Уравнением называется равенство, в котором имеется неизвестный член — x. Его значение и надо найти.

Неизвестная величина называется корнем уравнения. Решить уравнение означает найти его корень, а для этого нужно знать свойства уравнений. Уравнения за 5 класс несложные, но если вы научитесь их правильно решать, у вас не будет проблем с ними и в дальнейшем.

Главное свойство уравнений

При изменении обеих частей уравнения на одинаковую величину оно продолжает оставаться тем же уравнением с тем же корнем. Давайте решим несколько примеров, чтобы лучше понять это правило.

Как решать уравнения: прибавление или вычитание

Предположим, у нас есть уравнение вида:

  • a + x = b — здесь a и b — числа, а x — неизвестный член уравнения.

Если мы к обеим частям уравнения прибавим (или вычтем из них) величину с, оно не изменится:

  • a + x + с = b + с
  • a + x — с = b — с.

Пример 1

Воспользуемся этим свойством для решения уравнения:

  • 37+х=51

Вычтем из обеих частей число 37:

  • 37+х-37=51-37

получаем:

  • х=51-37.

Корень уравнения х=14.

Если мы внимательно посмотрим на последнее уравнение, то увидим, что оно такое же, как первое. Мы просто перенесли слагаемое 37 из одной части уравнения в другую, заменив плюс на минус.

Получается, что любое число можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Пример 2

  • 37+х=37+22

Проведём то же действие, перенесём число 37 из левой части уравнения в правую:

  • х=37-37+22

Поскольку 37-37=0, то это мы просто сокращаем и получаем:

  • х =22.

Одинаковые члены уравнения с одним знаком, находящиеся в разных частях уравнения, можно сокращать (вычёркивать).

Умножение и деление уравнений

Обе части равенства можно также умножать или делить на одно и то же число:

Если равенство а = b поделить или умножить на с, оно не изменится:

  • а/с = b/с,
  • ас = bс.

Пример 3

  • 5х = 20

Поделим обе части уравнения на 5:

  • 5х/5 = 20/5.

Поскольку 5/5 = 1, то эти множитель и делитель в левой части уравнения сокращаем и получаем:

  • х = 20/5, х=4

Пример 4

  • 5х = 5а

Если обе части уравнения поделить на 5, получим:

  • 5х/5 = 5а/5.

5 в числителе и знаменателе левой и правой части сокращаются, получается х = а. Значит, одинаковые множители в левой и правой части уравнений сокращаются.

Решим ещё один пример:

  • 13 + 2х = 21

Переносим слагаемое 13 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:

  • 2х = 21 — 13
  • 2х = 8.

Делим обе части уравнения на 2, получаем:

  • х = 4.

Одним из самых важных навыков при поступлении в 5 класс является умение решать простейшие уравнения. Так как 5 класс ещё не так далек от начальной школы, то и видов уравнений, которые может решать ученик не так уж и много. Мы познакомим Вас со всеми основными видами уравнений, которые необходимо уметь решать, если Вы хотите поступить в физико-математическую школу .

1 тип: «луковичные»
Это уравнения, которые почти со вероятностью встретятся Вам при поступлении в любую школу или кружок 5 класса как отдельное задание. Их легко отличить от других: в них переменная присутствует только 1 раз. Например, или .
Решаются они очень просто: необходимо просто «добраться» до неизвестной, постепенно «снимая» всё лишнее, что окружает её — как будто почистить луковицу — отсюда и такое название. Для решения достаточно помнить несколько правил из второго класса. Перечислим их все:

Сложение

  1. слагаемое1 + слагаемое2 = сумма
  2. слагаемое1 = сумма — слагаемое2
  3. слагаемое2 = сумма — слагаемое1

Вычитание

  1. уменьшаемое — вычитаемое = разность
  2. уменьшаемое = вычитаемое + разность
  3. вычитаемое = уменьшаемое — разность

Умножение

  1. множитель1 * множитель2 = произведение
  2. множитель1 = произведение: множитель2
  3. множитель2 = произведение: множитель1

Деление

  1. делимое: делитель = частное
  2. делимое = делитель * частное
  3. делитель = делимое: частное

Разберём на примере, как применять данные правила.

Заметим, что мы делим на и получаем . В этой ситуации мы знаем делитель и частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное:

Мы стали немного ближе к самому . Теперь мы видим, что к прибавляется и получается . Значит, чтобы найти одно из слагаемых, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

И ещё один «слой» снят с неизвестной! Теперь мы видим ситуацию с известным значением произведения () и одним известным множителем ().

Теперь ситуация «уменьшаемое — вычитаемое = разность»

И последний шаг — известное произведение () и один из множителей ()

2 тип: уравнения со скобками
Уравнения данного типа чаще всего встречаются в задачах — именно к ним сводится 90% всех задач для поступления в 5 класс . В отличие от «луковичных уравнений» переменная здесь может встретиться несколько раз, поэтому решить её методами из предыдущего пункта невозможно. Типичные уравнения: или
Основная трудность — это правильно раскрыть скобки. После того, как удалось это верно сделать, следует привести подобные слагаемые (числа к числам, переменные к переменным), а после этого мы получаем самое простое «луковичное уравнение» , которое умеем решать. Но обо всём по-порядку.

Раскрытие скобок . Мы приведём несколько правил, которыми следует пользоваться в данном случае. Но, как показывает практика, верно раскрывать скобки ученик начинает только после 70-80 прорешанных задач. Основное правило таково: любой множитель, стоящий за скобками необходимо умножить на каждое слагаемое внутри скобок. А минус, стоящий перед скобкой, меняет знак всех выражений, что стоят внутри. Итак, основные правила раскрытия:



Приведение подобных . Здесь всё гораздо легче: Вам необходимо путём переноса слагаемых через знак равенства добиться того, чтобы с одной стороны стояли только слагаемые с неизвестной, а с другой — только числа. Основное правило таково: каждое слагаемое, переносимое через , меняет свой знак — если оно было с ,то станет с , и наоборот. После успешного переноса необходимо сосчитать итоговое количество неизвестных, итоговое число стоящее с другой стороны равенства, нежели переменные, и решить простое «луковичное уравнение» .

Решаем дробно-рациональное уравнение 5/х = 100. Данное уравнение можно решить двумя способами. Давайте рассмотрим каждый из них.

План решения уравнения 5/x = 100

  • найдем область допустимых значений для заданного уравнения;
  • первый способ решения уравнения рассмотрев его как на пропорцию;
  • второй способ решения уравнения, находя неизвестный делитель.

Находим неизвестный член пропорции

Сначала найдем ОДЗ уравнения. В левой части уравнения присутствует знак дроби и он равносилен знаку деления. Известно, что на ноль делить нельзя. Значит из ОДЗ мы должны исключить значения обращающие знаменатель в ноль.

ОДЗ: x принадлежит R \ {0}.

Теперь посмотрим на наше уравнение как на пропорцию.

Основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Для пропорции a: b = c: d или a/b = c/d основное свойство записывается так: a · d = b · c.

Применим его и получим линейное уравнение:

100 * x = 5 * 1;

Разделим на 100 обе части уравнения, тем самым избавимся от коэффициента перед переменной х:

Находим неизвестный делитель

Посмотрим на уравнение как на частное. Где делимое равно 5, делитель x, а результат деления — частное равно 100.

Вспомним правило как найти неизвестный делитель — нужно делимое разделить на частное.

Найденный корень принадлежит ОДЗ уравнения.

Проверим найденное решение уравнения. Для этого подставим найденные корень в исходное уравнение и произведем вычисления:

Решение найдено верно.

Приложение

Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений. . Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение — это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо — найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения — это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.

=

Калькулятор метода исключения с шагами

Создано Анной Щепанек, доктором философии

Отредактировано Домиником Черниа, кандидатом наук и Джеком Боуотером

Последнее обновление: 11 марта 2022 г.

Содержание:
  • Что такое системы линейных уравнений?
  • Что такое метод исключения в математике?
  • Шаги системы уравнений метода исключения
  • Как использовать этот калькулятор метода исключения?
  • Как решить методом исключения?
  • Как использовать метод исключения в особых ситуациях?
  • Примеры системы уравнений метода исключения

Добро пожаловать в Калькулятор метода исключения Omni ! Он здесь, чтобы помочь, когда вам нужно использовать метод исключения для решения системы уравнений . Другое название этого метода — метод линейной комбинации . Итак, каков метод устранения? Как решить систему методом исключения? Прокрутить вниз!

В статье ниже мы даем определение метода исключения, объясняем немного математики, лежащей в его основе, и шаг за шагом рассмотрим несколько примеров систем, решенных методом исключения, чтобы вы могли понять все детали. Мы также научим вас использовать метод исключения, когда система имеет бесконечно много решений или вообще не имеет решений.

Что такое системы линейных уравнений?

Мы говорим, что уравнение является линейным , если все переменные, входящие в это уравнение, находятся в первой степени.
В частности, переменные нельзя возводить в квадрат или куб, а также ставить под корень или в знаменатель дроби. Единственное, что вы можете сделать с переменными, это умножить их на числа и сложить такие выражения вместе . Если у нас есть несколько линейных уравнений и мы хотим найти числа, которые решают все эти уравнения одновременно, то мы говорим, что хотим решить систему линейных уравнений .

Наш калькулятор метода исключения работает для систем двух линейных уравнений с двумя переменными . В целом, такая система принимает форму:

A 1 x + B 1 Y = C 1

A 2 X + B 2 Y = C 2 999999 2 Y = C 2 999999999999 2 Y = C 2 99999993 2 Y = C 2 .

где:

  • x и y — переменные;
  • а 1 , б 1 , в 1 – коэффициенты первого уравнения; и
  • a 2 , b 2 , c 2 — коэффициенты второго уравнения.

Что такое метод исключения в математике?

Метод исключения один из методов, используемых для решения систем линейных уравнений . Основная идея этого метода состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, чтобы мы могли сосредоточиться на более простом уравнении . В частности, когда мы имеем систему двух линейных уравнений с двумя переменными и исключаем одну переменную, у нас остается одно уравнение всего с одной переменной!

Как исключить переменные? Мы умножаем одно или оба уравнения на числа, которые превращают коэффициенты переменной в противоположные числа в каждом уравнении (например, мы получаем 2x и -2x ). Затем мы складываем уравнения вместе, создавая результирующее уравнение, которое не содержит этой переменной! Теперь мы можем легко решить это уравнение, используя стандартные методы решения уравнений с одной переменной.

Как только мы нашли значение этой переменной, мы подставьте в одно из исходных уравнений. Таким образом, мы получаем еще одно уравнение с одной переменной . Решаем и все! Вот как мы используем метод исключения для решения системы уравнений. Перейдите к следующему разделу, чтобы узнать больше об этапах метода исключения.

Не забудем о других методах решения систем линейных уравнений ! После того, как вы научились использовать метод исключения, вы можете перейти к методу подстановки, методу исключения Гаусса или, если вы уже знакомы с концепцией определителя матрицы, к правилу Крамера.

Метод исключения, система уравнений, шаги

Вы уже знаете, что такое метод исключения, поэтому давайте более подробно обсудим, как использовать метод исключения, когда задана конкретная система линейных уравнений.

  1. При необходимости переставьте уравнения так, чтобы переменные располагались в том же порядке.

  2. Если необходимо, умножьте уравнения так, чтобы одну переменную можно было исключить путем сложения.

  3. Сложите уравнения вместе, чтобы исключить эту переменную. Это суть решения методом исключения!

  4. Вы получаете уравнение с одной переменной — решите эту переменную.

  5. Подставьте значение этой переменной в одно из исходных уравнений.

  6. Найдите другую переменную.

  7. Просто чтобы быть уверенным, вы можете проверьте свое решение . Подставляем его в систему и смотрим, все ли в порядке.

Наиболее важным шагом (и единственным, который может вызвать проблемы) является преобразование системы таким образом, чтобы исключить переменные , т. е. Шаг 2. В следующем разделе мы объясним его в более подробно и покажу вам немного математики, лежащей в основе метода исключения. После этого мы перейдем к обсуждению нескольких примеров метода исключения.

Как использовать этот калькулятор метода исключения?

Использовать калькулятор метода исключения очень просто:

  1. Введите коэффициенты в соответствующие поля.
  2. Полное решение отображается под калькулятором метода исключения.
  3. Если вам просто нужна пара чисел, удовлетворяющая системе, они находятся ближе к концу вывода калькулятора.
  4. Все шаги метода исключения вместе с пояснениями также находятся здесь на случай, если они вам понадобятся.
  5. Если вам нужно, чтобы решение было рассчитано с более высокой точностью (количество знаков цифры), перейдите в расширенный режим калькулятора метода исключения, чтобы установить желаемую точность. По умолчанию мы отображаем шесть знаков figs.

Как решить методом исключения?

Наилучшая ситуация, с которой вы можете столкнуться, это когда коэффициенты одной переменной равны противоположным числам . Когда вы складываете уравнения вместе, эта переменная исчезает!

Однако чаще встречных коэффициентов нет. Ваша задача состоит в том, чтобы создать их путем умножения обеих частей одного или обоих уравнений на подходящие множители . Только тогда вы сможете использовать метод исключения для решения системы уравнений. Основная задача – угадать множители. Простой пример, когда коэффициенты переменной равны — в таком случае достаточно умножить одно из уравнений на -1 . Это создает противоположные коэффициенты. Затем вам нужно только добавить уравнения, чтобы исключить эту переменную.

В целом, для системы уравнений:

A 1 x + B 1 Y = C 1

A 2 x + B 2 Y = C 2 X + B 2 Y = C 2 44 X + B 2 Y = C 2 4 2 X + B 2 Y = C 2 4 X + B 2 Y = C 2 4 X + B 2 Y = C 2 .

мы прибегаем к понятию наименьшего общего кратного двух чисел. А именно, определим множители m 1 и m 2 следующим образом:0054) / A 1

M 2 : = LCM (A 1 , A 2 ) / A 2

и Multy Multy First Equation на M

. а второе уравнение на -m 2 . В результате получаем следующую систему:

НОК(a 1 , a 2 )x + [НОК(a 1 , a 2 )b 1 /a 4 19005] у = НОКМ(а 1 2 ) C 1 /A 1

-LCM (A 1 , A 2 ) x - [LCM (A 1 , A 2 ) B 2 /A , A 2 ) B 2 /A /A /A , A 2 ). 2 ]y = -LCM(a 1 , a 2 )c 2 /a 2

Как видите, мы создали противоположные коэффициенты для переменной x равны НЦМ(а 1 , а 2 ) и - НЦМ(а 1 , а 2 ) ). Сложив эти уравнения вместе, мы исключим x и получим уравнение, содержащее только одну переменную: y . Решить такие уравнения с одной переменной очень просто, как вы увидите в приведенных ниже примерах.

Как использовать метод исключения в особых ситуациях?

При попытке удалить переменную иногда можно исключить обе переменные ! Что делать в такой ситуации? Если вы исключили обе переменные, вы получите утверждение, касающееся чисел. Это утверждение либо истинно, либо ложно. Примеры верных утверждений:

4 = 4 или 0 = 0 ,

и примеры ложных утверждений:

4 = 5 или 0 = 1 .

Это не сложно, правда?

В зависимости от того, истинно или ложно полученное вами утверждение, вы можете сделать выводы о системе :

  • Если вы удалили обе переменные и окончательное утверждение ложно , то ваша система уравнений не имеет решения .

  • Если вы удалили обе переменные и окончательное утверждение верно , то ваша система имеет бесконечно много решений .

Примеры системы уравнений методом исключения

В этом разделе мы рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять, как использовать метод исключения в математике для решения систем уравнений.

  1. Используйте метод исключения для решения системы уравнений:

    3x - 4y = 6

    -х + 4у = 2

    • Исключить и , сложив два уравнения вместе:

      2x = 8

    • Решить для x :

      х = 4

    • Подставляем x = 4 во второе уравнение:

      -4 + 4у = 2

    • Решить для y :

      4г = 6

      у = 1,5

    • Решение: х = 4, у = 1,5

    • Тестируем решение:

      3 ⋅ 4 - 4 ⋅ 1,5 = 12 - 6 = 6

      Итак, первое уравнение в порядке.

      -4 + 4 ⋅ 1,5 = -4 + 6 = 2

      Со вторым уравнением тоже все в порядке.

  2. Решить методом исключения :

    2х + 3у = 5

    2x + 7y = -3

    • На этот раз мы хотим исключить x . Для этого сначала умножим первое уравнение на -1 :

      -2x - 3y = -5

      2x + 7y = -3

    • Добавьте уравнения, в результате чего будет исключено x :

      4 года = -8

    • Решить для y :

      г = -2

    • Подставляем y = -2 в первое уравнение:

      2x + 3 ⋅ (-2) = 5

    • Решить для x :

      2x = 11

      х = 5,5

    • Решение: х = 5,5, у = -2

  3. Теперь посмотрим, как методом исключения решить следующую систему линейных уравнений :

    3х - 3у = 0

    2х + у = 3

    • Мы видим, что ни одна переменная не имеет равных или противоположных коэффициентов. Нам нужно будет создать их с помощью множителей, как мы объяснили выше. Давайте удалим x . Сначала вычислите наименьшую общую кратность 2 и 3 :

      .

      НОК(2, 3) = 6 .

      Множители:

      м 1 := 6 / 3 = 2 и м 2 := -6 / 2 = -3 .

      Следовательно, мы умножаем первое уравнение на 2 и второе уравнение на -3 :

      6х - 6у = 0

      -6х - 3у = -9

    • Добавьте уравнения:

      -9г = -9

    • Решить для y :

      у = 1

    • Подставляем y = 1 в первое уравнение:

      3x - 3 ⋅ 1 = 0

    • Решить для x :

      3x = 3

      х = 1

    • Решение: х = 1, у = 1

  4. Далее давайте посмотрим, как использовать метод исключения в случае системы :

    6x - 3y = 12

    2х - у = 4

    • Чтобы исключить y , умножьте второе уравнение на -3 так, чтобы коэффициенты y были противоположными числами:

      6x - 3y = 12

      -6х + 3у = -12

    • Добавьте уравнения:

      0 = 0

    • Мы исключили обе переменные и пришли к истинному утверждению. Следовательно, решений этой системы уравнений бесконечно много!

  5. Наконец, решим методом исключения:

    -4x + 8y = 5

    3x - 6y = -1

    • Чтобы исключить x , мы умножаем первое уравнение на 3 , а второе уравнение на 4 :

      .

      -12х + 24у = 15

      12x - 24y = -4

    • Добавьте уравнения:

      0 = 11

    • Мы исключили обе переменные и пришли к заведомо ложному утверждению. Делаем вывод, что наша система уравнений не имеет решения.

Anna Szczepanek, PhD

Мы решаем систему линейных уравнений:

A₁X + B₁Y = C₁

A₂X + B₂Y = C₂
A₂X + B₂Y = C₂
.

Первое уравнение

Второе уравнение

Ознакомьтесь с 35 похожими калькуляторами алгебры 🔡

Уравнение абсолютного значенияУравнение абсолютного значенияНеравенства абсолютного значенияСложение и вычитание многочленов… 32 еще

Решите систему уравнений с помощью калькулятора исключения

Пользователи Bing пришли на эту страницу сегодня, введя эти ключевые слова:

Решение системных уравнений с 3 переменными на калькуляторе, бюллетень вероятностей статистики 6 класса альберты, листы переменных, матричные математические таблицы, ПРОГРАММЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ДЕВЯТИЛЕТНИХ, калькуляторы для powerpoints.

трехчленный калькулятор, Математический пересмотр квадратных корней, найти точки пересечения параболы и линейного уравнения, изображения калькулятора графа координат.

План урока по алгебре умножения двучленов, чарльз маккег викторина тест учитель издание, рациональные показатели, Рабочий лист рационального выражения, Алгебра Северной Каролины 1 рабочая тетрадь.

Бесплатные тесты по ментальной математике ks3, рабочий лист по переводу дробей в десятичные, книга-алгебра-ответы hrw.

Как решить уравнение в частных производных с помощью решения Даламбера, Список математических формул, рабочий лист последовательности отсутствующих дробей, как решить алгебру дробей, дробные радикалы, бесплатный пример для теста на логарифм, решение нескольких уравнений в excel.

Вычитание целых чисел, дающих мне ответы, которые я набираю, математическое упражнение в пятом классе, пошаговый интегральный калькулятор, Неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Словесные задачи, приводящие к квадратным уравнениям, давать советы, как сдать алгебру, графы одновременных уравнений.

Порядок действий по поиску ответов, книга ответов на tn алгебра2, заметки о дискриминантах полиномиальных уравнений.

Плитки алгебры выражений, найти общий знаменатель, Перестановки и комбинации 8-го класса, уравнения процентов.

Математика коэффициента масштабирования, бесплатный онлайн-тест по математике для 9 класса по линейным, экспоненциальным и параболическим графикам, комбинация матлаб.

Рабочий лист сложения и вычитания положительных и отрицательных целых чисел, онлайн дифференциальный калькулятор, помогите с уравнением полураспада, планы уроков корневого слова в 6 классе, ответы на учебники по математике hrw для 7 класса, УКЛОН Рабочие листы.

многочлен 5-го порядка, бесплатная помощь в превращении дробей в десятичные, обратный лаплас ти 89, решить несколько уравнений с ti-89, решение алгебраических уравнений с распределением и объединением подобных членов, множественные скобки в алгебраических уравнениях, изменение базы TI89.

Вычитание рабочего листа с целыми числами, экспоненты-примеры из жизни, мелочи об алгебре, как вычислить многочлен 3-го порядка, печатные рабочие листы с ответами на свойства целых чисел, бесплатные рабочие листы экспоненты, построение графиков, уклон, математическая задача, практика gmat.

TI активность для наклона и y-пересечения, Лист вопросов по математике, руководство пользователя Т1-83, общие рабочие листы способностей детей, квадратные корни 7-й класс Powerpoint, математические задачи седьмой класс масштабные коэффициенты.

McDougal Littell/Houghton Mifflin - Advanced Mathematics + окончательный обзор, калькулятор приближения суммирования, точка пересечения двух нелинейных функций.

Интерактивные программы квадратного числа, как решить квадратное в вершинной форме?, решение неизвестных в дробях, определения до алгебры, детская математика квадратный корень, рассчитать ЖКМ, Экзамены в 11 классе по естествознанию.

Шпаргалка по математике для фракций.com, упрощение рабочих листов радикалов, алгебра, одна глава 5, ресурсная книга, конвертер десятичной дроби в дробь квадратного корня, Рабочий лист с LCM, бесплатная помощь по математике для базовой алгебры или алгебры для начинающих, дополнительные листы свойств.

Кс4 практический тест, бесплатные бухгалтерские книги, факторные квадратики, написание рабочего листа буквенных уравнений.

Вручную введите программу в полином TI-83, простые способы решения десятичных дробей, обмануть в gcse.

Решите систему методом кооперативной алгебры исключения, промежуточная алгебра "проект главы 6", Калькулятор уравнений факторинга, дайте мне бесплатные ответы по алгебре.

Рабочий лист факторинга простых трехчленов, решение нескольких уравнений с помощью ti-86, ти-84 плюс двоично-десятичный, Как решить задачу по алгебре 3 в отрицательной степени x, рудин решения глава 7 #7.

Обманки с домашними заданиями по математике, пример математических мелочей, бесплатный справочный лист по математическим факторам.

"задачи по математике" и "7 класс", словесные задачи на нахождение площадей, Бесплатный полиномиальный решатель, сложение и вычитание квадратных корней, java наивысший общий делитель, алгебраический решатель, определить домен подкоренного члена.

Фракции ЧЕТВЕРТЫЙ сорт, нахождение наименьшего общего знаменателя и формирование эквивалентных рациональных выражений, 3.2 Браун «алгебра и тригонометрия», Бесплатные рабочие листы по математике для печати Целые числа.

Решение кубического уравнения в Matlab, математика для чайников, образец теста по математике для печати, Тест на запоминание 6-7, порядковые номера от меньшего к большему упражнения, правила показательных практических занятий.

Продвинутая математика, Макдугал Литтел, ти 83 плюс завершающий квадрат, решение уравнений 3-го порядка, прентис холл онлайн учебник девятый класс, выучить предварительную алгебру бесплатно онлайн, бесплатные тесты 9 класса.

Рабочий лист для печати отрицательных показателей, бесплатная электронная книга по учету стоимости проекта, ТИ-84 + Эмулятор, ОБУЧЕНИЕ ОСНОВАМ ВЕРОЯТНОСТИ В 3-ГО КЛАССЕ, красивые ноги, ТИ-89илаплас.

Бесплатная экзаменационная работа по математике в колледже, как построить прямую линию с помощью TI 83+, формула алгебры начальная школа, линейные матрицы и +уравнения, онлайн-калькулятор абсолютных неравенств, где инверсный ключ на т183 плюс, решить ti89.

ВЫЧИТАНИЕ ЦЕЛЫХ рабочих листов, как запрограммировать квадратичную формулу Ti 84, решатель обозначений функций, оценка рабочих листов по математике, распечатка листов факторинговых трехчленов, решения по алгебре колледжа.

3 заказанные пары для 2x-y=8, калькулятор одновременных уравнений, научите себя математике онлайн бесплатно, clep testing- +алгебра, "решения для Росса".

Калькулятор алгебры LCM, Десятичные дроби с остатком, учет затрат - книги, решать уравнения алгебры.

Онлайн калькулятор упрощения, промежуточные 2 математических упражнения, комплекс квадратных уравнений.

Процентные математические задачи, используя ti-89 решить y=, дробь в десятичной системе Matlab.

рабочая тетрадь Холта по математике онлайн, решения UCSMP, скачать прошивку ti89, TI-83 плюс логарифмы, определитель ти-89, математика алгебра powerpoint бесплатно, Таблица квадратных корней для печати.

Сложение, вычитание, деление, умножение дробей и десятичных знаков, сатц документы онлайн, бесплатный рабочий лист для графика, классный лист смешанной дроби числа.

Рабочие листы с отрицательными числами для ks2, Ответы на 10 заданий выпуска 2004 г., смешанное число в простейшей форме, разделительный калькулятор.

Как решать неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка, помощь с домашним заданием вероятность росс, планы уроков по умножению целых чисел.

Найдите рабочий лист, связанный с упрощением переменных выражений, печатные рабочие листы/функциональные таблицы/начальная/средняя школа, калькуляторы неравенства, учебник расширенный учет затрат.

Дольчиани, Математическая алгебра 1 учебник, самое сложное математическое уравнение в мире, квадратичный решатель онлайн, преподавание распределительной собственности семиклассникам, Онлайн калькулятор факторинговых выражений.

Ks2 печатные английские сат, что такое сложение вычитания и умножения целых чисел, таблица экспоненциальных вероятностей, Бесплатные ответы по алгебре 2.

Tx листы практики математики третьего класса, Увлекательные способы решения линейных уравнений, Алгебра 2 2004, глава 11, справочник.

Решатель радикальных выражений, математические стихи с радикалом, рабочий лист полинома gcf, рабочие листы свободных радикалов, бесплатные математические ответы, радикальный калькулятор оставлен в радикальной форме, Учим дроби для чайников.

Бесплатные электронные книги по абстрактной алгебре, алгебра 1 Glencoe Mathematics ответы на домашнее задание, ответы по математике в седьмом классе, тригонометрия - напиши свою задачу и получишь ответ, как рассчитать математическую задачу + образец, простейшее определение кубических корней в рациональном выражении.

Образцы тестов GED для печати, эмулятор ТИ-84, Merrill Glencoe + онлайн-инструменты для обучения + физика, Продвинутые тесты и викторины по алгебре, Скотт Форман, сложение и вычитание квадратных корней, 11 лет математика, помогают рациональные показатели десятой степени.

Умножение деления рациональных выражений мошенника, ошибка расчетов деления javascript более 1000, учет затрат онлайн книга, вопрос о способностях.

Овладение ключом ответов по физике, как найти максимум параболы с уравнением без калькулятора, преобразователь радиан и градусов ти-89, продвинутая математика.

Преобразовать простые футы в кубические футы, Урок синтетического дивизиона в Powerpoint, матлаб y=ax2+bx+c, Рабочие листы для печати, делящие степени с одинаковым основанием.

Ти 84 плюс читы, урок математики сложные проценты кс4, бесплатные математические распечатки, бесплатный урок алгебры онлайн, Калькулятор, который решает многочлены, вычитание и сложение дробей в стиле алгебры, www. mathmatics.qcom.

Практика факторинга мономов и многочленов онлайн, бесплатные экзаменационные работы по счетам, асимптоты, изображающие размерность ti-86, сколько целых чисел делится на 7, но не делится на 11, алгебра с пиццей, бесплатные ответы на математические задачи.

Активность масштабного фактора, алгебра гленко1, исследовательские задачи по математике, умножение матриц, powerpoint нахождения пересечения склона, Рабочий лист 100 для определения последовательности чисел.

Рабочий лист конгруэнтного треугольника на уровне 12-го класса, калькулятор.edu, печатные рабочие листы переменных, Рабочие листы по линейным уравнениям.

Решение уравнения третьего класса, "концептуальная физика" отвечает, примеры математических мелочей математики, "ответы учебника алгебры 1" саксонский, графы общих ошибок линейные уравнения, символ квадратного маршрута.

Процентные математические формулы, график параболы со сдвинутыми уравнениями, Как запрограммировать квадратную формулу для TI-84.

Сколько зерен риса в 50-килограммовом мешке, простые рабочие листы по сложению и вычитанию целых чисел, программирование алгоритма извлечения квадратного корня, ответы на рабочие листы Прентис Холла по биологии, упрощение экспоненциальных выражений, распечатать игры для gcf.

Формула наибольшего общего знаменателя, предыдущие вопросы тестов способностей, калькулятор наименьшего общего знаменателя, напишите свою проблему с вычитанием десятичных дробей, преобразовать десятичную дробь в знаменатель дроби.

Как решить сложный корень, ти-89 Лаплас функция 187, что означает уравнение y = a (x -b)2+c в квадратичных графах, как вы решаете радикальные выражения и уравнения, рабочие листы для печати kumon, Алгебра - Решение задач на квадратный корень .edu, Упрощение уравнения.

11+ образец бумаги по математике, ИНФОРМАЦИЯ О ДРОБЯХ, ошибка 13 размера на TI 86, код уравнения (как термины), Забавные рабочие листы пропорций, 72275776771546.

Ti 84 плюс читы для набора головоломок, рабочий лист упрощения радикалов, применение квадратного уравнения, Калькулятор квадратных уравнений.

Вопрос о способностях с решением, Кнопка журнала TI 89, машина наибольшего общего фактора, решение уравнений третьего порядка.

Бесплатные ответы по алгебре, алегбра 1, математический коэффициент средней школы, преобразовать десятичное число в java.

Графические рациональные выражения, помощь в решении задач по алгебре, онлайн-калькулятор, упрощающий подкоренные выражения.

Бесплатные рабочие листы по симметрии для печати, двухшаговые уравнения для печати рабочих листов, математические мелочи об алгебре, рабочие листы для печати по распределительной собственности, графические занятия/уроки кластера, примеры по нахождению масштабных коэффициентов.

рабочая тетрадь Харкорта по математике 4 класс, помощь с домашним заданием по прикладной алгебре, "уравнение mathtype 5. 0" + бесплатно + скачать, Glencoe Biology Worksheet Ответы.

Учебник по сложным процентам gmat, 9 класс математика онлайн бесплатно, ФАКТОРНАЯ МАТЕМАТИКА, математика масштабного коэффициента рабочего листа расширения, нахождение корней полинома третьей степени, как решать простые показательные уравнения, Калифорнийская алгебра 1 математическая книга онлайн.

Бесплатная математическая задача отвечает на алгебраические решения, решить одновременный квадратичный, распечатать рабочий лист алгебраических выражений, радикальный калькулятор, рабочий лист смеси для предварительного исчисления, "задачки по математике в четвертом классе, решение уравнения путем умножения или деления.

диаграммы простых дробей и рабочие листы, решатель триггерных уравнений, Бесплатно скачать Learning O-Level Physics, вычесть целое, полиномы факторинга 10 степени, СБАЛАНСИРОВАННЫЕ химические уравнения с участием аммиака, задачи по алгебре для студентов.

Формула кинематики средней школы Альберты, калькуляторы неравенства, «сложное неравенство» берет на себя деятельность.

Фактор кубических переменных, средство для создания рабочих листов с двухэтапными уравнениями, рабочий лист математических слов.

Без функции модуля TI-84, отрисовка эллипса на ti83plus, Решатели задач по алгебре бесплатно, формулы радикантов ti 83, задачи на целочисленные слова 4 класс, онлайн калькулятор неравенства.

Matlab нелинейное решение одновременных уравнений, формулы площади и периметра для детей, которые можно распечатать, бесплатные ключи по алгебре чикагского университета.

решатель алгебры, TI-83 plus скачать ром, решение одновременных уравнений в Matlab, калькулятор корней уравнения, используйте степени окисления и их наименьшие общие кратные для записи.

+ сложные задачи на логику, перестановку и комбинацию, Glencoe/McGraw-Hill ответы на лист периодических головоломок, как умножать и делить дроби с переменной.

Как извлекать кубический корень на калькуляторе, ti-89 обратная квадратичная функция, ti 84 решатель уравнений, математические множители, вопросы по формулам сложения и вычитания, переменные квадратного уравнения, Сайт книг Макдугласа Литтела.

Примеры показательных, линейных и квадратных уравнений, простое полиномиальное сложение и вычитание, каков наименьший общий делитель чисел 16, 28 и 64, "промежуточный тест на решение задач", Процент числа, решатель алгебры1, бесплатный онлайн-учебник по математике gre.

матлаб булевой алгебры, факторинг и упрощение, викторины по математике на склоне, которые можно распечатать, калькулятор, который онлайн может решить для y, обучение умножению показателей с помощью игр.

Бесплатный mathcad-подобный, бесплатные задачи полиномиальных уравнений, ответы на задачки по математике, алгебраическое уравнение третьего порядка.

Как ввести логарифмическую базу 10 в ti89, диаграмма квадратных корней, ответы на домашнее задание по алгебре 1, преобразовывать смешанные числа в десятичные, решатель задач по алгебре 2, факторизовать квадратные выражения пошаговое объяснение, шпаргалка по алгебре.

Решайте задачи на упрощение рациональных выражений, использовать график, чтобы написать линейное уравнение, интерактивные игры на вычитание двухзначных чисел, генераторы алгебраических уравнений, математика знака пирога.

матфордумами, упрощение рабочего листа квадратных корней, тригономический, решатель вавилонских дробей, решение смешанных логарифмических уравнений.

Рабочие листы пропорций, выполнение домашнего задания по алгебре, бесплатный рабочий лист в классной комнате, решатель тригонометрических тождеств на ti 89титан, веселые алгебраические игры для решения линейных уравнений, Алгебра Гленко Меррилла 2, сложение и вычитание подкоренных выражений.

Как решить проценты в 9 классе, процент от целого числа на листе, мягкие математические игры.

Математические перестановки для чайников, факторы и деревья факторов для пятого класса, план урока обозначения функций в PowerPoint, математические стихотворения.

Современная химия раздел 6-3 обзор hrw, упростить радикальную форму квадратного корня, Рабочие листы по квадратным корням для четвероклассников.

Макдугал искатель домашней работы, ответы на книги по алгебре 2 трамплин колледжа, создать приложение интерполяции ti89, клен решает несколько уравнений, сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПУТЕШЕСТВИЯ, решить с помощью калькулятора исключения, добавление рабочих листов с целыми числами.

Функция кубического корня TI-83, рудин глава 4 решение, калькулятор умножения смешанной дроби, Формула наибольшего общего делителя.

Британский метод факторинга, бесплатные рабочие листы с точечной диаграммой по математике, купить викторины Advanced Algebra и Testmasters Скотта Форесмана, решить для полиномов 3-го порядка, как найти квадратный корень, Добавление учителей концепций алгебры Гленко и приложений.

скачать TI calc Rom, бесплатно решаемые инженерные задачи для учителей, специальный куб произведения триномиальной алгебры.

Лист сложения и вычитания отрицательных чисел, холт алгебра 1 техасский ключ, план урока о том, как определить функцию для математики, ти-83, как упростить х, какая связь тригонометрии в курсе начального обучения, формулы триг квадрата.

План элементарного урока + функциональная таблица, бесплатная помощь по алгебре 2, решатель уравнения мнимого числа квадратичный.

Рабочие листы для печати вращения геометрии, линейное и квадратное уравнение ppt, бесплатное онлайн-издание Холт-алгебры для учителей 1 2004 г., Ответы на учебник по математике для подготовки к колледжу.

Квадратичные задачи из прошлых статей, викторины по алгебре для начинающих, парабола в статистике.

Ti 83+ квадратичный, онлайн ти-84, онлайн-решатель уравнений алгебры, Вычислить общий знаменатель, Линейные графики.

Ti-84 плюс перевод десятичной дроби в проценты, листы домашних заданий для квадратных корней, стандартная форма для рабочего листа формы пересечения наклона.

Наибольший общий делитель 63 и 81, как использовать решатель задач с квадратами дробей, добавление рабочих листов вычитания рациональных выражений.

Калькулятор триномиальной алгебры, 9 класс Прошлые работы, Калькулятор уравнения комплексного числа квадратичный, предварительная алгебра для чайников, листы сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел, логарифмические он-лайн калькуляторы бесплатно.

Распечатки мелочей, алгебра 1, стр. 116, Макдугал, алгебра игры, тест радикальных выражений алгебры Гленко, Смешанное числительное как десятичное, перестановка формул - математика gcse.

Простой метод квадратного корня, чтобы решить, руководство учителя cpm, бесплатный обзор алгебры колледжа.

Словесные задачи по алгебре химического смешивания, бесплатная базовая алгебра для детей, базовая предварительная алгебра, две книги по лучшей алгебре.

Разделить трехчлен на двучлен, +математическая помощь в механическом мышлении, решение уравнения третьего порядка.

Легкие способы выучить алгебру, как ввести уравнение с квадратом синуса в графическом калькуляторе, логарифмический решатель задач, математический калькулятор, Учебное пособие Hornsby Intermediate Algebra, девятое издание, Прентис Холл Калифорнийская математика: алгебра 1.

Соотношения пропорций в рабочих листах ALGEBRA I, решить И график, как разложить уравнения на множители пошаговое руководство, Эддисон-Уэсли: элементарные математические упражнения.

Исключая отрицательные уравнения в знаменателе, решение биномов, тест гениальности предварительной алгебры.

Рабочие листы с числами для печати, программы для ТИ-83 на фактор, Решение рабочих листов с одним переменным выражением, рабочие листы по алгебре, математика+уравнения составного типа +бесплатные документы+pdf, ks2 english sats papers бесплатно распечатать, Шпаргалка по алгебре Гленко.

Суммы факторинга, ti 83 программы с вводом инструкций, Прентис Холл Математика Алгебра 2 книга Ответы.

Третий корень, изучение алгебры, контрольные вопросы по алгебре для 9 класса, бесплатная загрузка вопросов о способностях.

Упрощая сложные рациональные выражения, Упрощая логарифмические уравнения, задачи на перестановки с решениями на языке Си.

Бесплатные примеры того, как решать задачи по алгебре в колледже с переменными, Загрузка ПЗУ TI 89, задача из реальной жизни + квадратный корень, прошлые вопросы КС3 математика, 4-е уравнение решить excel, как вычесть три целых числа.

инструкции Т1-83, нахождение простых множителей на TI-85, решатель задач на полиномы, тест по математике в грузии, как перевести дробь в десятичную, презентации по фундаментальной теореме алгебры комплексных чисел, Программа факторинга ТИ 83.

Кто изобрел порядок действий для математики, калькулятор двоичного сложения и вычитания, формулы элементарной алгебры, онлайн графический калькулятор корень в кубе, сочетание показателей и корней, радикальное решение проблем, Рабочий лист заказа целых чисел.

Доли распределительного имущества, распечатанный тест по английскому языку для 5 класса, самое сложное математическое уравнение.

Решить систему второго неоднородного ОДУ, математические мелочи и задачи с дробным кодом, бесплатные образцы словесных задач на умножение десятичных дробей, {математика(радикалы 10 класс)], Как написать формулу до алгебры.

Химические уравнения для обычных кислот и оснований, WWW.6TH CRAD MATH.COM, шаги метода линейной комбинации, бесплатная пошаговая алгебра1, учить алгебру.

Образцы тестов по алгебре для 8-го класса или специальное издание, Преобразование .55- в дроби, решение дробей вычитания радикалов, приложение и подключение геометрии Merrill онлайн, шпаргалка с положительными и отрицательными числами.

Ти-89 "обратное бревно", Практический тест дроби 9 класса, трудный год 8 вопросов по математике бесплатно, БЕСПЛАТНО скачать электронные книги на свой компьютер преобразование в бинарный TI-89, графические гиперболы.

Экспоненциальные выражения, "Математика - викторины", коэффициент неравенства функции абсолютного значения, математическое стихотворение с использованием слова радикал, эмулятор ти 84, Макдугал Литтел Алгебра 2 ответ.

Радикальные калькуляторы, алгебра прентис-холла, руководство с одним ответом, калькулятор умножения радикалов, cos(1) преобразуется в дробь, Руководство учителя CPM, преобразование переменных matlab eqaution, построение асимптоты x на калькуляторе т-83.

Практический тест FreeGED, штат Нью-Йорк, рабочий лист по базовой алгебре для пятого класса, бесплатные рабочие листы умножения и деления целых чисел, линейная система уравнений ode45.

калькулятор квадратного корня, наибольший общий делитель 180 300, как решить сложную дробь, ответы для десятичных дробей 6 класс, скачать Ratio Maker, рабочий лист вычитания целых чисел, как решить десятичное деление.

Решатель корней, Бесплатные страницы по математике десятичного умножения 5-го класса, тетрадь по алгебре для четвертого класса, Упростите квадратный корень.

Генератор факторинговых трехчленов, Алгебра 1.com, таблица кубического корня, математика на уравнениях слов в 7-м и 8-м классе только то, что учит вас этому, генератор рабочих листов экспоненциального уравнения, решение квадратичных уравнений, TI-83 plus, распечатать тест КС3 по математике онлайн.

Решатель задач по алгебре, дифференциальные уравнения с четырьмя корнями комплексные примеры, продвинутые математические уравнения, бесплатные распечатки третьего класса, Калькулятор рациональных выражений.

Решение квадратного дифференциального уравнения, онлайн калькулятор общих знаменателей, Калькулятор квадратичного коэффициента.

Краткий обзор по физике 2007 г. - ключ ответа на прентис-холл, используя два уравнения для решения треугольника задачи геометрии, легкое добавление рабочих листов, сравнение и упорядочивание дробей 7 класс бесплатные рабочие листы, решить мои уравнения, веб-калькулятор casio.

Рабочие листы по математике в колледже, репетитор по математике Джеймисон, рабочий лист gfc полиномов.

Ответы на учебники по математике Pre Algebra, нужна помощь в решении значения развернутой формы в математике, практика Добавление смешанных #, записать как десятичный калькулятор, уравновешивающие силы.

Онлайн-задачи по алгебре, ИТ решает несколько уравнений, Решатели Rational Expressions, вавилонский решатель десятичных дробей, бесплатный калькулятор дробей.

Упрощенная радикальная форма + алгебра, "шпаргалка по геометрии" pdf, бесплатная помощь по алгебре, тест на рациональные выражения Меррилла, Программа правила Крамера для TI-84, упростить калькулятор уравнений.

Ошибка 13 размера, онлайн калькулятор суммирования, бесплатные объяснения по математике для 4 класса, скачать бесплатно для GCE O Level Physics Руководства по вопросам и решениям экзаменационных работ прошлых лет, решение переменной в квадратных уравнениях, Простые советы для прохождения ACT.

Квадратичный искатель N-го члена, алгебра 1 самая дорогая в мире тетрадь для колледжа, решение полинома третьего порядка, www. houghtonmifflinworksheets.com, Экзаменационные работы гр8.

Предварительная алгебра для 6 класса, инструкция по эксплуатации ТИ-84, Добавление рабочего листа отрицательных чисел, автоматический калькулятор уравнений онлайн.

лист формул по математике A-level 2007, саксонская математическая алгебра 2 буклет с ответами, раздаточные материалы по дробям, письменные выражения + предварительная алгебра, "история студенческой алгебры", тест по математике седьмого года штата Новый Южный Уэльс, Листы образцов квадратного корня.

Вычисляя x перехват ребенка, решить мою алгебру, бесплатный онлайн калькулятор ti 83, математические измерения игры 8 лет, интегрированы 2 ответа из учебника по математике, жесткие составные неравенства, GCSE по математике онлайн, распечатайте рабочие тетради.

Ответы на домашнее задание по практическим навыкам в 7 классе, упрощенный калькулятор радикальных форм, линейное "второго порядка" "разностное уравнение", математические комбинации, калькулятор дробей, онлайн-ответчик на уравнения, что такое масштабный коэффициент в математике?.

Триггерные тождества на ti 89, факторизация разности рабочих листов кубов, калькулятор порядковых дробей, Рабочие листы по алгебре One для печати, cpt загрузка вопросов cpt, введение в бесплатные рабочие листы по неравенству, СКАЧАТЬ ДЕТСКАЯ МАТЕМАТИКА.

Решение уравнений с дробными коэффициентами, умножение, деление, вычитание с разными знаменателями, написание уравнений powerpoint.

Бесплатный калькулятор логарифмов, Гленко/Макгроу-хилл по математике в шестом классе, тесты ответы алгебра II разложение ПОЛИНОМЫ, забавная алгебра деятельности уравнения.

"изучайте алгебру 2 бесплатно", добавление класса игр с целыми числами, основы алгебры.

Используя векторное пространство ti89, лист расширения, бесплатный онлайн калькулятор ti 89, как упростить радикальные выражения, КАК ВВЕСТИ КУБИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ В TI84, математические стихи, заметки о перестановках.

Преобразование процентов в математический лист дробей, онлайн-калькуляторы уравнений алгебры, книга по математике прентис холл онлайн, преобразовать смешанное число в дробь в excel, решение уравнений путем умножения и деления.

Генератор листов координатной плоскости, рабочие листы оценки выражений, рабочий лист математического неравенства, метод лестницы GCF, ti 84 квадратное уравнение.

Практика по алгебре в 8 классе + квадратные корни, калькулятор тест кс3, Квадратичная формула ТИ 84.

Упрощающие кубы, бесплатный онлайн-тест и викторины по биологии для учащихся девятого класса, бесплатный печатный тест по алгебре.

Бесплатная загрузка электронных книг по aptitude, как преобразовать десятичную дробь в дробную, как решить двухшаговое уравнение, если ответ отрицательный, алгебраические функции третьего класса.

Алгебратор софтмат, квадратичная функция, бесплатный лист сложения и вычитания целых чисел, Глава 4 Исчисление и его приложения 9-е издание Биттингера, разложение функции в кубе.

Тригонометрический пифагорейский "решатель", пример математических мелочей, задачи по алгебре на наклоне и пересечении y, квадрат ти89, умножение с рабочим листом научной нотации.

Бревно ти-89, квадратичное преобразование в стандартное на ти-83, правила сложения и вычитания целых чисел, растворы кумон, бесплатные онлайн-ответы по математике для подключения приложений интеграции алгебры 2.

Рабочие листы по алгебре I на склоне, факторинг полиномов третьего порядка, дайте мне ответы на мою домашнюю работу по математике, триггерные графики, книга перестановок/комбинаций.

Решатель физики TI 89, ти-83 плюс годный, свойства многоместности, вычисления с основанием восемь в амфиолете, предварительная помощь по алгебре, Функция журнала калькулятора Т1-83.

Алгебра 2 стала проще, самая сложная сеть +wordsearch для печати, онлайн графические калькуляторы, онлайн калькулятор для решения расстояния по кругу, понимать определения алгебры.

Онлайн-калькулятор Rational Expressions, рабочие листы координатных сеток, помощь с возрастом, Графические уравнения Adv Pre Algebra, каковы шаги по нахождению ЖК данного набора дробей, ti89. rom.

Калькулятор упрощающих радикалов, бесплатные рабочие листы, позиции в сетке, первый класс, Рабочие листы по наклону и пересечению Y.

Сохранение записи в калькуляторе TI, начальные рабочие листы по алгебре, преобразование Лапласа ТИ-84, Упрощение листов квадратных корней, упрощение рациональных выражений, математика, стандартное отклонение графического онлайн-калькулятора.

Решите полиномиальный третий калькулятор, деление дробей с показателями, упростить переменные задачи, Факторинг специальных квадратных уравнений, математические викторины для 8 класса, Текс третьего класса предварительное тестирование.

В чем разница между площадью поверхности и объемом, рабочий лист по построению упорядоченных пар графически для 7 класса, программа ти83 факторинг, задачи по алгебре, как использовать разностное частное+шаги.

Mcdougal littell отвечает на английский, квадратное уравнение с участием c , алгебраизатор скачать, самые сложные математические уравнения в мире, свободное написание рабочих листов линейного уравнения, бесплатное предварительное исчисление решить, бесплатный налог с продаж и рабочие листы со скидками для 7-го класса математики.

Факторный калькулятор алгебраических выражений, математика, бесплатные ответы на математические задачи, балансирующие уравнения - 4 класс - онлайн занятия, пример смешанной десятичной дроби, факторинг онлайн калькулятор.

полярное уравнение Excel, текстовые задачи, связанные с lcm и gcf, тригономические значения и точные значения, расчесывание похожих терминов в листах алгебраических уравнений, как сделать дроби на калькуляторе ти-84.

Скачать бесплатно эмулятор калькулятора Ti 83, уравнения сложной алгебры, решатель корня четвертой степени, гнуплот умножить, Холт математический ответ.

Онлайн математика кубическая, как смешанную дробь перевести в десятичную, рабочие листы графического калькулятора, кс 3 листы по алгебре, экспонаты для чайников, шпаргалка по тригонометрии.

Печатное сложение и вычитание целых чисел, как найти процент числа от числа?, программа для квадратных формул в TI 84.

Ti 89, решение операций с комплексными числами, решить радикальное выражение, распечатываемые листы по математике девятый год, предалгебраическая работа, ТРИГОНОМИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ, чему вас учит алгебра.

игры калькулятор Ti 84, ответы по учебнику алгебры 1, комплексные трехчлены, решать радикальные выражения, сколько зерен риса в фунте, бесплатные ответы на решение систем уравнений графическим способом, полином 3-й степени.

формулы преобразования алгебры, бесплатные печатные пустые математические формы решетки, сложение и +вычитание стихов с десятичными дробями, "как писать программы" ТИ-86, рабочие листы кумон онлайн, онлайн-учебник по алгебре Гленко 2.

11 класс - заполнение квадрата дробями, тригонометрическая таблица, Задачи для Gcf и Lcm учащихся 5-х классов, десятичные методы java, наибольший общий делитель 81 и 48.

Алгебра 2 Ответы, решение нелинейных уравнений в excel, Рабочие листы «Площадь и периметр».

Примеры того, как получить общий знаменатель gcd, "geavanceerde online rekenmachine" ИЛИ "расширенный онлайн-калькулятор", раздели и упрости онлайн калькулятор, математическая алгебра Холта 1 pdf, Веселые рабочие листы по алгебре.

Бесплатный рабочий лист переменных алгебры, линейное уравнение, предварительные алгебраические процентные листы, решить мои химические уравнения, операция пошаговое умножение и упрощение радикалов, числовые слова в стихах.

Упростить факториал, математика+комбинации+перестановки, онлайн-калькулятор Texas Ti-83, формулы сложения и вычитания, математический решатель для работы с арифметической последовательностью, электронные книги, математика, бесплатно, линия, задача, круг, эллипс, гипербола, биномиальные уравнения с 2 переменными.

Интерактивный тест десятичных знаков и процентов, решение линейной регрессии с перехватом с использованием java, математические процентные игры/рабочие листы, решение для переменных рабочих листов, нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка методом Рунге-Кутты, 10 класс решает уравнения с двумя переменными, Образцы рабочих листов по решению уравнений.

Примеры алгебраических уравнений, рабочий лист операций заказа бесплатно, калькулятор третьего корня.

Калькулятор математических ответов.com, бесплатные ответы на домашние задания по математике, TI-84 + статистика бизнеса + ответы, лист умножения и деления квадратных корней, кубическая функция.

Альгабра, пример списания с экзамена по математике за 10 класс, рассчитать преобразование Лапласа на TI 89, действия по решению трехчлена, знакомство с программированием на Java для пятиклассников, студенческая алгебра, рациональная функция, квадратный корень.

Решение одновременных нелинейных уравнений Ti89, онлайн калькулятор для перевода десятичного числа в неправильную дробь, алгебра огайо 1 помощь, Гленко Алгебра 2 EOC, соединения приложений интеграции алгебры 2.

Математические задачи для детей 2 класса, (ДИАГРАММА КВАДРАТНОГО КОРНЯ), сумма всех чисел от 1 до 100 в java, +онлайн +графический +калькулятор +i +клавиша, неравенства графика квадратного уравнения, Учебные листы по алгебре для учеников холла 1.

Калькулятор Ti-84 для использования онлайн, как преобразовать квадратные корни в степени, калькулятор третий корень, текстовые задачи, связанные с целыми числами (отрицательными и положительными).

задачи по теореме Пифагора, рабочие листы 8-го класса, Как рассчитать стандартное отклонение на графическом калькуляторе TI 83 Plus?, образец экзамена кс3 по английскому языку, ПЕРЕСТАНОВКА + КОМБИНАЦИЯ + ППТ, читбук/скачать, репетитор по алгебре+полиномы деления, решение нелинейных систем алгебраических уравнений Matlab.

Алгебра 2 наименьшее общее кратное, бесплатная помощь перед перестановками и комбинациями по алгебре, основные понятия алгебры, Отвечает на задачи по алгебре, ti-84 где знак процента.

Разложение на множители кубических многочленов, игры с линейными уравнениями, Интернет-издание книг Glencoe/McGraw-Hill по геометрии для учителей, дробь до десятичной + деление, вопросы и ответы по алгебре.

Бесплатный математический помощник Алгебра 2, casio fx 115мс факторизовать, нахождение 3-го корня числа, рабочий лист общего делителя, сложный онлайн-калькулятор, гибрид матлаб пауэлл, решить перехват наклона алгебры.

Последовательные целые квадратные уравнения, Решения McDougal Littell Algebra 2, чтение в 7 классе, Программа для решения теоремы Пифагора на Visual Basic.

Рабочие листы Grad 2 - канадские деньги, показатели клакулятора, алгебра с переменной в степени, порядок работы онлайн калькулятор, бесплатные упражнения по факторизации, факторинг алгебраических уравнений.

Наименее распространенный кратный калькулятор, айова,тест способностей,готовность,алгебра,6 класс, Glencoe McGraw-Hill Интегрированный рабочий лист по физике и химии, 2-й печатный рабочий лист с пиктограммами, химическое уравнение, которое говорит вам о количестве атомов в каждом элементе.

Последние математические мелочи, загружаемый материал, решать логарифмы на калькуляторе ти83, разделить трехчлены, бесплатные формулы линейной алгебры, бесплатные печатные рабочие листы ged.

Гленко Математическая алгебра 1, рабочие листы перевода графа функций, ПОЛИНОМЫ в помощь 9-классникам, замена дробей на более высокие термины, бесплатные рабочие листы, как решить дифференциальные уравнения высшего порядка методом Руга кутта в Matlab?.

Ответы даже на задачи для учебников по математике Glencoe, журналы slover математика, калькулятор сравнения дробей, распечатки уроков вероятности, лист вычитания отрицательных чисел, рациональное выражение с квадратом переменных, нелинейные дифференциальные уравнения матлаб.

Промежуточный проект по алгебре, +как +решать квадратный матлаб, Рабочий лист по правилу знаков Декарта.

Логарифм.ppt, пропущенное целое или дробное число, нахождение кубического корня на TI-83 Plus, скачать бухгалтерскую книгу.

Бесплатные электронные книги по способностям, используя линейную алгебру ti89, Рациональные выражения рассчитываются онлайн.

Бухгалтерский учет - десятое дополнение, помощь по алгебре "нули функции", рабочий лист GCSE по алгебре, упрощение радикальных уравнений, математическая задача с квадратом пирога\, листы с наименьшим общим знаменателем 6 класс, используя экспоненты на ti84 plus.

вопросы триганомотрии, две точки находят форму вершины, математический помощник. com, Kumon Worksheets ответ, решение квадратного уравнения путем извлечения квадратных корней.

Как извлекать кубический корень на калькуляторе, Саксонская алгебра II Ответы, комбинация ти-83.

листы с целыми числами, лист разделительного имущества пятый класс, интерактивный урок отрицательных показателей, Ти-84 квадратный.

Как преобразовать смешанное число в десятичное, распечатанные листы по алгебре для 8-го класса + формулы и квадратные корни, Завершение и балансировка уравнений, бесплатные алгебраические уравнения 7 класса.

Квадратное уравнение pdf бесплатно, математика, раскрывающая кубические скобки, разделить и упростить калькулятор.

Бесплатные печатные задачи по математике для 6-го класса, соотношения, пропорции, проценты, бесплатные рабочие листы по алгебре, математические мелочи на дроби, рабочие листы полиномиального деления, каверзные вопросы по экспоненциальным и логарифмическим рядам, уроки рациона и пропорций в 10 классе, алгебра упростила линейные системы.

Решатель одновременных уравнений java, уроки отношения в 6 классе, задачка по алгебре шестой класс помогите, решение дифференцирования онлайн неполных дробей java, примеры полиномиального выражения в реальной жизни, онлайн математика для чайников.

Найдите рабочий лист периметра 6-го класса, Гленко + Алгербра 1 глава 7, викторина с процентным уравнением glencoe, поиск слов холт пре алгебра.

Решение квадратичных задач на квадратный корень .edu, математическая алгебра, как найти сумму всех чисел от 1 до 100 с помощью java, приложения ти-84, математика 8 класс компьютерные игры, Холт Миффлин математика, листы трансформации.

Matlab дифференциальное уравнение 2-го порядка, справка по математике для 8 класса онлайн, Бесплатный печатный практический тест GED, факторинг квадратичных функций, квадратный корень из целого числа Matlab, Математические стихи средней школы, список корней четвертой степени.

Образец исследовательского проекта по математике, распечатываемые рабочие листы по математике для 3 класса, листок с вопросами о способностях, курс по алгебре, программа факторинговой алгебры, вопросы теста наклона.

9 класс алгебра,приколы,бесплатные игры, печатные математические листы, промежуточный бесплатно, "ступенчатая функция" реальной жизни, аддитивные обратные элементы Z10.

Алгебра 1 отвечает за неравенства, +"решения" +"галлиан", калькулятор вычитания рациональных выражений, алгебра с 5 по 9 классй класс, пересмотр экзамена по математике за 11 лет, диаграммы корней математических корней.

Масштабный коэффициент для детей, бесплатный математический + факторизующий решатель, математика, факторинг, 9 класс Алгебра, как решить дробное абсолютное неравенство.

Раздел для начинающих, рабочие листы, Алгебра 2 + Холт, Райнхарт и Уинстон+ответы, математика: нахождение уклона и построение его графика, процентная доля: рабочие листы, онлайн калькулятор задач по математике, Тусси Густафсон, учителя предварительной алгебры, 3-е издание, как умножать многочлены 3-го порядка.

Решатель дробей вычитание онлайн, бесплатные математические листы с простыми факторами для 6 класса, +получить ответы на алгебру illinois edition 1, Математика + правила GCM LCM, бесплатные электронные книги по бухгалтерскому учету или калькуляции, Алгебра Мерилла 1, факторинговые полиномы (разность двух кубов).

Онлайн-калькулятор графика триггерной функции, калькулятор решения алгебраических уравнений, самый простой способ вычислить наименьшее общее кратное, бесплатные примеры решения текстовых задач на умножение десятичных дробей.

Скачать математический калькулятор, Математика 6-го класса сложение и вычитание десятичных дробей, обзор главы современной биологии, Холт, График квадратичного нелинейного неравенства, Практические работы по коммутативной и ассоциативной предварительной алгебре.

+"видеолекция" +"комплексный анализ", алгебратор 4.0, математические/линейные неравенства, программа помощник по алгебре, ks3 квадратных корня с использованием простых чисел, Практический тест TAKS 8-го класса, для печати, десятичный наклон к дроби.

Как сделать лог базы 2 в TI 83, написание программы квадратного уравнения на ti 84, квадратные уравнения подстановкой, математическая шкала, решение балансировки уравнений горения, Прентис-холл, дополнение к учителям предварительной алгебры, апплет производного решателя.

Тень в листе десятичных знаков, калькулятор умножения рациональных выражений, онлайн-графический/табличный калькулятор, разность двух квадратов примеры практика.

Напишите программу квадратичной формулы TI-83, практиковаться в форме вершин и построении графиков, разность двух радикалов всегда является радикалом.

Триггерная шпаргалка, бинарный математический рабочий лист, как учить линейные уравнения, ЛУЧШЕЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ СТАРШИХ ШКОЛ.

Изменить квадратную формулу, Дроби с отрицательными показателями и переменными, предварительная алгебра с шикарным ответом, бесплатно скачать калькулятор триггеров TI 83 plus, онлайн бесплатный решатель исчисления.

Онлайн-калькулятор линейных уравнений, программного обеспечения, калькулятор + практика + рабочий лист.

Калькулятор наибольшего общего делителя, бесплатные рабочие листы для сложения мономов, калькулятор ключей дробей, который упрощает, БЕСПЛАТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОЛЯ wordproblem РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ, решение квадратного уравнения с использованием идеального квадрата.

Современная математика и интегрированная 1, программа решения алгебры, Вычитание дробей из целых чисел, факторизация трехчленов с разными переменными алгебра колледжа, "основные математические уравнения", Сингапурский онлайн-тест по английскому языку для пятого класса начальной школы.

Как решать показательные функции с квадратными корнями, сборник похожих терминов по математике, оценить n-е корни на ti 84, рабочий лист основных распределительных свойств, алгебра 2 вопросы урока McDougal Littell, сложение и вычитание нескольких уравнений, автоматический упроститель дробей.

Www.free математический лист, чтобы сделать, Как вычислять комплексные числа с помощью TI-83+, метод ньютона для многих переменных matlab, экзамен по алгебре в колледже и геометрия.

практика алгебры, рабочие листы с многошаговыми уравнениями, программирование линейных текстовых задач "три переменные".

Квадратная формула + изображения, уравнение онлайн графического калькулятора, Merrill Algebra 2 С практикой тригонометрии, Суммы по математике в колледже - свойства экспоненты.

Добавление поиска ответов на дроби квадратного корня, уравнение алгебры для первоклассников, упрощение выражения квадратного корня.

Бесплатные печатные рабочие листы для коммутативных и ассоциативных свойств, техасский калькулятор скачать ромы, рабочий лист по математике для 2 класса.

Шаг за шагом, как упростить радикалы с переменными, решатель задач упрощения рациональных выражений, деление десятичных дробей математика викторины распечатать, отрицательный и положительный калькулятор, вычисление частичной дроби.

Как полярные преобразования с ti89, гленко алгебра 1 книга онлайн, 7 класс математические законы показателей, введите задачу по геометрии, получите доказательства ответа, как решать алгебраические уравнения, процентные уравнения.

Алгебраический способ сбалансировать химическую формулу, переименовать десятичное число как дробный эквивалент, списывать дома по математике, объяснение трансформации самолетов для 6-х классов.

Экспоненциальные выражения, mcdougal littell учебник по математике для 7 класса онлайн, каково наименьшее общее кратное 70 и 50, рабочие листы с текстовыми задачами для третьего класса, решать нелинейные дифференциальные уравнения с помощью Matlab, чтение ответа "контрольные работы".

Задание по современной абстрактной алгебре, распечатать тест по математике КС3, бесплатные рабочие листы с одношаговыми уравнениями на сложение и вычитание, бесплатное онлайн-приложение для построения графиков.

Факторинг комплексного квадратичного с кубами и квадратами, ева кулакова, Средняя школа проблем масштабного фактора, excel vba вычислить простые множители, математическая помощь с упрощением подкоренных выражений.

Используйте стандартную форму метода формулы, решение задач с логарифмами, РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ + ОТВЕТЫ, Формула для преобразования десятичных дробей в дроби, Ключ ответа по алгебре Гленко, сравнение чисел в научной нотации.

Бесплатные онлайн игры по алгебре, рабочие листы с кубическими корнями, Написание системы уравнений с графика, ti 83 плюс ручной расчет комплексных чисел, бесплатный тест по математике для 10-х и 9-х классов, квадрат, куб, квадрат.

«смешанная дробь» «смешанное число», рабочие листы, умножающие десятичные дроби с тремя числами, как найти наибольший общий делитель на ti 84, расширение Тейлора с TI 84 plus, превратить дроби в десятичные листы, мелочи о шести тригометрических функциях, Калькулятор для второго класса.

Рабочий лист треугольников, понятия алгебры первого класса, Введение в практику статистики, пятое издание, «ключ ответа», Распределительное свойство квадратного уравнения, вычислить lcm из 2 чисел рекурсивно.

Алгебра проста для понимания, как решать линейные КВАДРАТНЫЕ уравнения, бесплатные старые сатс-бумаги, упрощение кубического корня, Ответы на рабочий лист McGraw для предварительной алгебры.

Рабочий лист уравнения детской алгебры, сила числа рабочий лист swf, программа квадратного уравнения ti-84.

Алгебра и тригонометрия структура и метод книга 2, полиномиальный калькулятор упростить, Рабочие тетради по математике Prentice Hall для 6-го класса, квадратичный завершает квадрат.

Умножение различных целых чисел, уравнения для чайников, Рабочий лист триггерного обзора для 9 класса.

Численные методы для систем ти-89, решать уравнения одновременно с TI 89, бесплатный рабочий лист, упрощающий экспоненциальные выражения, базовая алебра, алгебра с дробными коэффициентами, лист вычитания отрицательных целых чисел, специалист по тригонометрии.

Математический квадратный мультфильм с домашним заданием, программа для квадратичной формулы на ti-84, онлайн преобразовать вершинную форму в стандартную форму, Прентис Холл отвечает на вопросы по ключевому учебнику триггера.

распечатки тетрадей по алгебре за 9 класс, Рабочие листы для пересмотра экзамена 8 класса, решение математических задач, как делать тройные интегралы с ti 89.

Ответы на мои задачи по алгебре, Решатель дифференциальных уравнений 2-го порядка, град 2 Рабочие листы канадские деньги, как сбалансировать уравнения, чтобы показать валентность, "как рассчитать ввп", перевод смешанных чисел в десятичные.

Факторизация 9-го года для викторины по квадратным уравнениям, найти x калькуляторы алгебры, glencoe печатные практические викторины - склон, листы сложения и вычитания отрицательных дробей, дроби + от наименьшего к наибольшему, mcdougal littell inc ключ ответа.

Коды Java для наибольшего общего делителя, Гленко Алгебра, ответ алгебра 1 глава 10, наименьший общий знаменатель 60 84 108.

Интегральный решатель онлайн, логарифмы для чайников, Алгебра с ответами Pizzazz, бесплатные текстовые задачи с использованием масштабного коэффициента, Домашнее задание по математике в колледже можно распечатать.

Упростить калькулятор выражений, математические т-диаграммы с использованием соотношений и пропорций, Дроби для чайников, тетрадь по математике за 10 класс, решатель алгебраических уравнений онлайн, умножение и деление рабочих листов.

Matlab ode45 системы 2-го порядка, Решатель логарифмических уравнений, обман по алгебре.

Бухгалтерские книги скачать, графический онлайн калькулятор ТИ-83, дробь в десятичное уравнение, альгабровый раствор, построение графиков в координатной плоскости "PowerPoints".

Рациональный онлайн расчет, экспоненциальные правила powerpoints, запись десятичных дробей в виде смешанных чисел, неявное дифференцирование \решатель, "ax2+bx+c=0"+матлаб.

Рабочие листы с кубами и кубическими корнями, математика, математика 3 класса МакДугал Литтел, графические рабочие листы уравнений, поиск склонов +вопросы.

Алгебра поиск склонов проектов, Задачи на квадратное уравнение, корни уравнения третьего порядка, дроби корней.

Ответы на рабочем листе Glencoe/McGraw-Hill, решатель задач на умножение многочленов, бесплатный образец рабочего листа для GED, 9рабочие тетради по алгебре для 1 класса.

Как построить график основания логарифма 2 с помощью Ti83, шпаргалка по биологии, текстовые задачи по тригонометрии с ответами.

Игры со сложением и вычитанием разных дробей, компьютер "классы алгебры", репетитор по математике онлайн, решение простых радикальных уравнений и рабочих листов по алгебре 2, матлаб решить, Решатель задач Precalculus Math.

С помощью EXCEL вычислить длину окружности эллипса, рабочий лист уравнений абсолютного значения, научный калькулятор.

Одновременный решатель уравнений, реальная система неравенств в первом квадранте, Как решать дроби, смешанные числа и десятичные дроби.

Ответ в тетради по химии, скорость изменения математическое упражнение 9-го класса, бесплатные рабочие листы третьей степени, квадратный корень из области определения функции абсолютного значения.

Как преобразовать десятичную дробь в дробь, бесплатные игры для TI-84 plus, Вопрос математических способностей.

Бесплатный рабочий лист по основанию шесть делений, t1-83 и перемножение матриц и переменных, математические игры с переменными выражениями, решение разностного отношения, все ответы в одной рабочей тетради по алгебре 1, математические выражения для 3-го класса, найти среднее сложение дробей.

Решения по алгебре Хангерфорда, глава 4 по алгебре2/видеоурок по тригонометрии, как рассчитать LCM на ТИ-85, буквальные уравнения, бесплатно скачать учет затрат чарльз, кто изобрел "подобные термины", Java-программа для поиска совершенных чисел.

Решите мое математическое уравнение, алгебра поиска решения, решение сложных одновременных уравнений на ТИ-89.

Отдел математики плитки, решатель рациональных алгебраических выражений, обучение обратным операциям 7-й.

рабочий лист АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФАКТОРЫ, калькулятор упрощения рациональных выражений, образцы контрольных работ по линейной алгебре, ti программы "умножить крест".

Бесплатная печатная таблица для десятичных знаков слова десятые сотые тысячные, Решатель перестановок и комбинаций, Жесткие логарифмические уравнения, простые математические мелочи, математик завершающий квадрат, формула основного соотношения.

значение алгибры, получить алгебраические уравнения, ответы Texas Mathematics, рабочая тетрадь курса 2 glencoe, хороший учебник предварительного исчисления для колледжа, листы сложения и вычитания радикалов.

вопросы Gcse квадратный корень, онлайн факторинг, решатель рута онлайн продвинутый, ключ к ответам на предварительную алгебру, Бесплатные исторические/математические факты и распечатки цифр, математическая шкала, онлайн калькулятор для решения уравнений для окружностей.

Использование алгебры в повседневной жизни, простой способ объяснить дроби, масштаб графика 6 класс.

ромы для калькуляторов TI, порядок операций викторины по алгебре бесплатно, кто изобрел предварительную алгебру.

Распечатать контрольные работы по математике за 6 класс, Рабочие листы по разделительному имуществу 5 класс, комплексное линейное уравнение, рабочий лист метода замены, как написать квадратное уравнение для решений, двухшаговая алгебраическая головоломка.

Приложения к квадратным уравнениям, радикальный кальк, научите меня математике преобразований Лепласа на экзаменах, Алгебра 1 Шутка №20 Решение уравнений, бесплатно, для печати, предварительная алгебра, провал в математике.

72301058020311, программа факторизации (калькулятор), Вопросы по алгебре для 9 класса.

Бесплатные рабочие листы факторинговых полиномов, как решить предалгебраическое уравнение?, n-е правило, скачать рабочие листы по математике для 8 класса, Калькулятор, который решает дроби, продвинутый калькулятор алгебры, как факторизовать форму вершины.

Обманки с домашними заданиями по математике, как преобразовать десятичную дробь в квадратный корень, комплексная математическая викторина, накрутить кс2 сатс документы.

математика 7-го класса помогает независимым и зависимым переменным, распечатать помощь по математике в третьем классе, распечатываемые графики для первоклассников, онлайн калькулятор с целыми числами.

Рабочие листы Pre ged Science, Как вы вычисляете средние значения для положительных и отрицательных целых чисел?, Рабочий лист Glencoe Physical Science Balanceing Equations, рабочие листы по алгебраическим выражениям.

химические уравнения 6 класс, практическая рабочая тетрадь, ответы по алгебре в холле, онлайн-решатель полиномиальных x-перехватов.

Алгебра Гленко 1 глава 4 тест, бревно Пирсона тип 3 "графическая бумага", как рассчитать дисперсию на калькуляторе техасских инструментов, как получить третий рут на ti89, рабочие листы по алгебре Гленко 2 по корням действительных чисел, решать системы линейных уравнений с ti-89, O-УРОВЕНЬ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА.

Математическое умножение, бесплатный решатель математических задач, математический факторинг калькулятор.

решатель булевой логики, координаты основного рабочего листа, вопросы о банковских способностях.

Шутка о решении неравенства, задачи с показателями и переменными, Упорядочить от наименьшего к наибольшему, используя дроби, рабочие листы решения задач: сложение и вычитание смешанных чисел, брошюры для репетиторов по математике, булева алгебра для чайников, Уравнения балансировки алгебры powerpoint.

Математические формулы для пирога, онлайн калькулятор алгебраических дробей, бесплатные рабочие листы с пиктограммами, упорядочить число от наименьшего к наибольшему, заполнение квадратного pdf, Скачать бесплатно калькулятор алгебры, вопросы по gmat.

Руководство по линейной алгебре Фрели, ОТВЕТЫ МАКГРО-ХИЛЛА НА НАУЧНЫЕ РАБОТЫ, сложные квадратные уравнения.

Загружаемые тесты способностей, веб-сайты для бесплатного скачивания вопросников CAT прошлых лет, читерские программы SAT для ti 84.

Графические неравенства/калькулятор ti-84, значения тригонометрии, Скачать ПЗУ калькулятора TI.

Одновременные уравнения стали проще, примеры линейного программирования, элементарная математика нахождение диапазона, такс рабочий лист 5 класс, Онлайн эмулятор ti84.

Решая уравнения с тремя переменными с помощью графического калькулятора, Структура и метод алгебры и тригонометрии houghton mifflin Company практический учебник 2, алгебра для чайников, неделя за неделей ключи ответов по математике 7 класс, преобразовать десятичную дробь в рациональную.

Бесплатные печатные рабочие листы GED, как решить 14+20, Саксонская математика ответы бесплатный курс 3.

Применение рациональных выражений, бесплатный калькулятор смешанных чисел онлайн, рациональные показатели и корни, Добавление радикальных выражений, прошлые работы по математике за 8 класс, квадратные корни, используя игры, чтобы объяснить это.

задачи по математике в 3 классе, "рабочий лист графического неравенства", Калькулятор метода замены линейного уравнения.

Тригонометрический тест с ответами для 10 класса, алгебраические смеси, фундаментальный решатель тождества, как ввести абсолютное значение в калькулятор TI84, базовый тест по алгебре, u of chicago, издание для учителей предварительного исчисления, Рабочий лист вероятностных комбинаций перестановок.

Бесплатная распечатка математики для пятиклассников, печатные листы по алгебре 8 класс, объединяя как термины передовые вещи.

Урок LCM GCM, Калифорнийские учебные пособия GED, как смешать дроби на ТИ-83, решатель обозначений функций.

ТАКС решение уравнений, стихотворные мономы, бесплатные печатные листы для математических неравенств, решатель радикальных выражений деления, печатная викторина по алгебре, учебник по элементарной алгебре, бесплатная помощь по комплексным числам по алгебре.

Практика сложения и вычитания радикалов, mcq для тригонометрии, Online Algebra 1 Words переводы, калькулятор квадратного корня, Макдугал Литтел отвечает: алгебра линейная графика 7 класс, конвертировать десятичные дроби в калькулятор дробей.

Листы графические для 3 класса, рабочие листы промежуточной статистики и вероятностной математики, советы по алгебре, покажите мне некоторые математические задания, которые я могу взять домой для восьмиклассника, сел расчет.

Онлайн калькулятор упрощения алгебраических дробей, Элементарные «рабочие листы смешанной дроби», наибольший общий делитель 132, как пользоваться калькулятором Т83, с помощью матрицы.

Решения для рабочей тетради по физике Холта, преобразование смешанного числа в десятичное, математические задачи, перехват склона, бесплатно.

+бесплатный пустой лист координатной плоскости, рабочие листы с процентным графиком, бесплатный решатель задач полиномиальные и рациональные дроби, самый сложный математический вопрос в мире с использованием чисел, масштабный математический рабочий лист.

Умножение целых чисел на десятичные, наклон уравнения мощности, математический масштабный коэффициент, Как неравенство используется в реальной жизни?, доказательство Fraleigh, доказательства Джона Б. упражнения, математические рабочие листы, вычисляющие алгебраические выражения.

Свободный логарифмический решатель задач, Определение программирования экспонентной формы, совершенный квадрат калькулятор квадратика, бесплатные онлайн-калькуляторы наилучшего соответствия, исходный код java наименьшее общее кратное.

Решая неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка, Учебник TI-83 наименьший общий знаменатель, бесплатное руководство по сдаче экзамена по алгебре, ключи ответов учебника макдугала, решение квадратных уравнений в матлаб.

Распределительное свойство с дробями, погонный метр?, Таблицы масштабного коэффициента для печати, Скачать эмулятор ti83+.

Решение для нахождения квадратных корней квадратного уравнения на языке c, алгебра абсолютных степенных неравенств, 9-я помощь с домашним заданием по алгебре, легко решать системные дифференциалы с помощью Matlab, Алгебра для чайников, промежуточная алгебра прикладной подход ответы pdf.

Онлайн-калькулятор для триггерных уравнений, денежная тетрадь для 3 класса, Физические программы ТИ-89.

Решите формулу для указанных переменных, бесплатные онлайн лекции 7 класс, пример вопросника 10 класс, печатные игры по алгебре, ответы из учебника по математике в Прентисхолле, решить полиномиальный порядок 3.

Упрощение радикальных выражений, связанных с реальным миром, бесплатная конечная математическая помощь, квадратичный; как изменить стандартные уравнения на вершинные уравнения, бесплатные онлайн-калькуляторы неравенства для алгебры.

Гленко Онлайн Математика, как сбалансировать химическое уравнение разложения, нахождение многомерных пределов с ti-89, задачи на квадратный корень в 7 классе, Рабочий лист: задачи по алгебре по геометрии, матрицы на графическом калькуляторе онлайн, 72317478507414.

Книга по алгебре Гленко, самопроверки по интегрированной алгебре 1, онлайн-график и научный калькулятор с перехватами x и y.

Рабочие листы по неравенству в 3 классе, помогите решить системы уравнений с помощью бесплатного онлайн калькулятора, интерактивные уроки алгебры ks3, Пример плана урока алгебры 6 класс, бесплатный ключ для ответов на курс 3 курса для инструкторов, как "найти нули" в "многочленной функции" на "ти-83 плюс", Калькулятор решения логарифмов.

Онлайн мод графического калькулятора, математика алгебра прентис холл 2 бесплатных ответа, Алгебра вертикальных форм, преобразование десятичной дроби в рациональную дробь, 7 класс - тест по алгебре.

Алгебра 2 решения, решение задач с использованием диаграмм/алгебры, расчет процентов простая алгебра, скачать бухгалтерские книги, параболы+вершина+практика+средняя школа, Лист сложения и вычитания с использованием нуля.

«Бесплатные онлайн-учебники по математике», Холт Райнхарт Уинстон, уроки сложных слов, рудин анализ "глава 8" упражнения, таблица положительных и отрицательных чисел, текс практика Урок 4-3 ответа.

Свойства алгебраических выражений, рабочий лист с сокращением логарифмов, самый сложный вопрос по математике, Ключ к ответам на вопросы по продвинутой алгебре Прентиса Холла, треугольники на картинке кота, рабочий лист математического гения.

Учебное пособие Pre-ACT, рабочие листы четвертого класса по показателям, алгебра с рабочими листами пиццы, образцы математических мелочей.

Как обмануть гмат, упрощение уравнений балансировки, тестовые ответы на mcdougal littell, "руководство по решению для инструктора", "линейная алгебра и ее приложения", ответы на домашние задания по математике, легкие рабочие листы для детей, что такое математическая шкала.

Простой решетчатый подход к математике, издательство prentice hall, бесплатные математические игры для 7 класса, Разделение 6 класса, ти-84 + программа квадратичных формул, предварительно алгебраический порядок операций лист управляемой деятельности.

Тригонометрический решатель тождеств, дифференциальное уравнение второго порядка с использованием Рунге-кутты, склон для печати практических викторин.

Ответы на учебники по математике, рабочая тетрадь по алгебре Холта 2, онлайн факторизация, ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ, бесплатные распечатываемые рабочие листы пропорций, рабочий лист процентной доли, в алгебре для перпендикулярной прямой с дробью вы переворачиваете и делаете ее противоположной.

задачи по алгебре в колледже, решение линейных уравнений онлайн с тремя переменными, бесплатные рабочие листы ks2, ti-83 триггерный решатель идентификации.

Журнал переменной базы онлайн-калькулятора, факторизуя радикалы совершенного куба, книги учета затрат, Математика до алгебры 6 класс, алгебра решение привет, клеп проходной балл, бесплатные печатные практические документы ks2.

Множественный выбор 9 класс математика, рабочие листы по алгебре + решение системы 2-х уравнений с 2-мя переменными, Порядок работы при оценивании формул 8 класс, добавить вычесть 2 листа с 3-значными числами, доказательство против квадратного корня из трех иррационально, формула соотношения.

Решить десятичные уравнения с листами средней школы, добавление 1-значных целых чисел, РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, Прентис Холл, издание для учителя концептуальной химии, алгебра 2 практические тесты, онлайн-решатель алгебры, Образец теста на готовность к алгебре для 8 класса.

Решатель N-го члена, наименьшее общее кратное 16 и 68, Рабочие листы по алгебре и математике для 7 класса.

Ответы на домашние задания по современной абстрактной алгебре, шестое издание, решить нелинейное дифференциальное уравнение, Какой тип оценивания лучше всего использовать для первоклассников? онлайн баланс-уравнения, "ответы саксонского учебника математики" .

Калькулятор многочленов деления, вычитание отрицательных смешанных дробей, "кубическая" "объемная" "детская книжка".

Общий знаменатель, рабочие листы 10 класса, как найти масштабный коэффициент, программа неявного дифференцирования онлайн, калькулятор в VB6, решающий более одного уравнения за раз, тривиальные вопросы третьего класса, калькулятор вычитания полиномов.

Разложение выражений с рациональными показателями, квадратный корень программы с использованием Matlab, рабочий лист, объединяющий одинаковые термины, печать с Т1-83.

"ТИ-84" + комплексное преобразование чисел, трехчленные наконечники, ti 83 plus калькулятор завершения квадрата, Упростите подкоренное выражение, Практика с кубиками и кубическими корнями.

Соотношение масштабов Math ks2, БЕСПЛАТНЫЕ примеры MATH 7-го класса, самый сложный математический вопрос.

Программа квадратных уравнений для TI, Как алгебра используется в повседневной жизни, предварительная алгебра Word Problems рабочий лист, "matlab" решает неоднородное дифференциальное уравнение, сложное математическое уравнение, преобразовать десятичное число в смешанное.

Масштабная диаграмма математических действий, Программы TI 83 для упрощения рациональных чисел, Домашнее задание Герштейна по алгебре решений, бесплатные ks2 практические документы SATS для счета, лестница с наименьшим общим фактором, пример решения мультинелинейного уравнения в Matlab, Матлаб численное решение уравнения.

Версия калькулятора + системы уравнений с 3-мя переменными, бесплатный генератор тестов алгебра 2, как создать образ диска на компьютер с ti 86, холт алгебра 1 техас ответы, эллипс графического калькулятора.

графические навыки Glencoe, бесплатный тест по математике для 8 класса, математическая функция машина картинка для 6 класса, стихотворение из мономов, Гленко Макгроу Хилл учебник по математике, бесплатная помощь в делении комплексных чисел, высшая математика 11 листов.

Простой способ вычислить наибольший общий знаменатель, упростите накрутку подкоренных выражений, калькулятор квадратного корня, полиномы свойств квадратного корня.

Наименьший общий знаменатель с переменными, 5-й класс Prime и Composite предварительный тест, преобразовать 27/3 в целое число.

Решатель синтетического деления, репетитор по математике+факторинг+квадратные уравнения, Макгроу Хилл учебник по бухгалтерскому учету, вычисление целых чисел со знаком, рабочие листы, разделите десятичные числа на рабочий лист десятичных знаков, наклонная деятельность в реальной жизни.

Факторизовать многочлен, ТИ-83 плюс скачать бесплатно, GMAT + перестановки и комбинации, комплексный трехчлен, репетитор по квадратному корню, Лист основных формул Gmat.

Решение нелинейного дифференциального уравнения, добавление вычитания длины, математический коэффициент лестницы деления.

Джейкобса+алгебра+кд, калькулятор ти-83 скачать, возьми кубический корень ТИ-83, двухшаговое уравнение, полный текст учебника по алгебре Прентиса Холла 1 для домашнего задания, матлаб решает связанные линейные уравнения, формула времени.

Посетители Bing пришли на эту страницу сегодня, введя эти ключевые слова:

учить целые числа

показать примеры решения задач на деление дробей

добавление рабочих листов с одинаковыми цифрами

ФОЛЬГА Рабочие листы по алгебре

онлайн математические дроби.com

способов найти gcf с помощью лестницы делений

Уравнения PowerPoint

Бесплатные рабочие листы по математике для 7-го класса

кумон ответы

преобразовать числа миксов в десятичные числа

бесплатные распечатки по математике для 1 класса

как найти масштабный коэффициент?

Бесплатные онлайн калькуляторы алгебраического факторинга

- это кубический корень из 8 2?

простой конвертер уравнений алгебры

онлайн-теста по ментальной математике 12+

бесплатных рабочих листа по математике 7 класс до алгебры

алгебра 2 книга по математике ответы

Рабочий лист ALgebra 2 с тремя переменными

дуги на ти-84 плюс

Булева алгебра для упрощения

скорость изменения + триггерные функции + рабочие листы + бесплатно

дифференциальных уравнения второго порядка в Matlab

Калькулятор факторинга

решить полиномиальное уравнение Java

решить нелинейное дифференциальное уравнение

Сайты по математике 7-го класса, определение наименьшего общего кратного

Бесплатные простые способы изучения алгебры

бесплатных викторины "колледж алгебра":

бесплатный код для упрощения вычислений для ti-89

мелочи тригонометрии

решатель логарифмов шаг за шагом онлайн

добавление фракций KS4

практика сложения негативов и позитивов

математических рабочих листа символьного метода

Рабочий лист комплексных чисел

Полиномы 4-го порядка

определить, является ли график функцией

Рабочие листы по всемирной истории для 7 класса

математические загадки графические линии

удалить список TI-83 плюс удалить список

приблизить 2 квадратный корень из 18 до ближайшей тысячной

как установить лог 2 ти-83 плюс

бесплатная помощь по алгебре среднего уровня

пошаговая алгебра для чайников

рациональные дроби вместо десятичных знаков matlab

6-й класс Сводный обзор 3 РАБОЧИЙ ЛИСТ

учить квадраты квадратные корни кубы и кубические корни

Texas TI-84 Plus Руководство Тейлор

математика алгебра соединений ответы

Повторные тесты по математике, 10 год, уровень

Рабочие листы glencoe для печати по соотношениям и пропорциям

Миллиметровая бумага с координатной сеткой для онлайн-печати

домашнее задание по математике 5 класс скачать бесплатно

Алгебра: структура и метод, книга 1, Макдугал Литтел, генератор тестов

как найти GCF Of 147,105

решения для упражнений rudin

Абстрактная алгебра Руководство Dummit

написание неравенств для текстовых задач, рабочий лист

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА ОНЛАЙН КАЛЬКУЛЯТОР

планы уроков по буквальным уравнениям

Математика для 9 класса - комбинация чисел

преобразование листов геометрии элементарно

закон умножения экспоненциального калькулятора

Рабочий лист простого полиномиального деления

листы умножения дробей

масштабный коэффициент преподавания математики в средней школе

упрощение сложных алгебраических выражений

"наименьший общий делитель" ti 83 программа

Логарифм решателя

Справка

таблица наибольшего общего делителя

Математические задачи 7 класса на умножение и деление смешанных чисел и дробей

бесплатных печатных учебных пособия по чтению и языку

Эмуляторы

для ти-84 плюс

теория калькулятора icm

2007 г. 8 экзаменационных работ по математике

как решать функции с дробями

приблизительная алгебра квадратного корня

Калькулятор уравнения первообразной

как запрограммировать квадратную формулу в калькуляторе

завершение квадрата для построения квадратичного графика

рабочих листа со смешанными целыми числами

квадратные уравнения сдвига, график

апплета квадратичной факторизации

Коробчатые усы "t183"

Бесплатный калькулятор Скачать неравенства

как использовать операцию фольги на графическом калькуляторе casio

как составить уравнение третьего порядка как набор из трех уравнений первого порядка

перестановка и комбинация

concept.glecoe.com

вычисление выражений + рабочие листы

slove для пересечения наклона y

онлайн калькулятор с показателями степени

реальных примеров рациональных выражений

бесплатно скачать вопрос и ответ по физике (базовая теплота)

ti-89 добавление полярных уравнений

порядок решения по математике с умножением, делением, вычитанием, сложением

примера решения квадратного уравнения в вершинной форме

бухгалтерские книги ответы

Практика онлайн с упрощением алгебраических выражений

как линейные функции используются в реальной жизни?

ti84 хранение данных в «нескольких переменных»

упрощение кубических задач

код для решения нелинейного уравнения Шрёдингера+matlab или mathematica

План урока «Упрощение дробей» для 4-го класса

распечатать учебные листы GMAT

texas tools +TI 83 +решить квадратное уравнение

Калькулятор свободных квадратных футов

10 класс квадратное уравнение по математике

бесплатная алгебра 2 ответы

сложение, вычитание, умножение и деление с десятичными дробями

самая сложная математическая головоломка

Калькулятор полиномов деления

сокращение уравнения в кубе

рабочая тетрадь по биологии ответы Прентис Холл Техас

рабочие листы с измерениями для 3-х классов

упростить отрицательный корень

бесплатный симулятор графического калькулятора TI-82

бесплатный рабочий лист неравенства

математические стихи

алгебра III с кониками

линейных уравнения с 3 переменными и связанные с ними задачи

ти-89 "бревенчатая база 2"

поставить ответы регента физики на ти-89

Арифметика LCM GCM Проблемы Индия

формула наибольшего общего делителя

попрактиковаться в написании линейных уравнений

бесплатный математический калькулятор

Решатель треугольников ti-89

упрощение квадратных корней ppt

Equation Writer от Creative Software Design

листы математических калькуляторов ks2

алгебра для начинающих

онлайн-теста по математике для KS3

математические задачи на сложение и вычитание минусов

онлайн-решатель факторинга

бесплатные практические экзамены EOG для 5-го класса

Тригонометрические решаемые задачи для ВУЗов

Эмулятор Ti84

Решение переменного показателя степени онлайн

алгебра + рабочий лист + ТАБЛИЦЫ

математических рабочих листа наклон

выучить одновременные уравнения по математике

тригонометрические ответы мгновенные

дифференциальные уравнения ppt

LCM — это просто

Merrill + инструменты онлайн-обучения + физика

шага для решения умножения биномов в примере формы

ответы на Prentice Hall pre алгебра

дробное выражение

рабочие листы порядка операций с квадратным корнем

Шпаргалка по формулам Excel

бесплатных рабочих листа по математике для 5-х классов

лист добавления целых чисел

ОТВЕТЫ ДЛЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

"алгебраические игры"

онлайн калькулятор матриц

т1-89 инструкция

Как упростить выражения

калькулятор рациональных выражений

формула для изменения градусов по Фаренгейту для градусов по Цельсию

Определения и методы дроби девятой степени

задача перестановки комбинаций

примеров мелочей по тригонометрии

ответа на вопросы по алгебре с помощью Pizzazz!

трехчленный учебник/факторинг по группировке

бесплатная домашняя работа, помощь перед перестановками и комбинациями по алгебре

программирование решения математических матриц Excel

"алгебра" И "простейшая радикальная форма"

решать уравнения в квадратичной форме комплексное решение

как найти третий корень числа

2 ШАГОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЕЧАТИ

для решения неоднородного дифференциального уравнения

образец экзамена по истории ks3

примеры работы по тригонометрии ppt

бесплатных рабочих листа по алгебре с большим количеством вопросов

Целочисленный рабочий лист

TI-84 плюс наибольший общий делитель

онлайн калькулятор квадратного корня

алгебра с ключом ответа на пиццу

решение одновременных уравнений одна квадратная формула как уровень

Рабочий лист

по определению дробных частей

Учебное пособие по алгебре для учеников холла

применение рациональных выражений

"тензорное произведение решения"

решатель корней уравнений

алгебраический калькулятор решает уравнения

упростить линейные уравнения с помощью матрицы

решение подстановкой с тремя переменными

репетитор по алгебре

бесплатных онлайн-ответа по математике по алгебре 2

упрощенный решатель квадратных уравнений

сложение и деление десятичных дробей

математика ответы алгебра 2

учебник по логарифмам для начинающих

примера стихотворения о математике

чит алгебра clep

Полезный онлайн-калькулятор графиков

интерактивные абсолютные неравенства графически

Распределительные математические задачи 6-го класса

Калькулятор уравнений, содержащих дроби

McDougal Littell Algebra 2 Chapter 5 Resource Book

примерных вопроса для коэффициента масштабирования

метод наибольшего общего делителя

математическая формула процентов

одношаговые уравнения, включая таблицы с дробями

стихи с разбросом сюжета

бесплатный калькулятор алгебры, показывающий шаги

рабочих листа с квадратным корнем+бесплатно

вопросы по математике

числовая линия И графическое неравенство И рабочие листы

тест по математике онлайн 8 год

степени и степени и алгебра онлайн игры

Решения для домашних заданий Dummit and Foote

Рабочий лист вычитания целых чисел

уплотняющие логорифмические уравнения

"калькулятор сюжетных задач"

расширение функций квадратного корня

алгебра 1 Мичиганское издание интерактивная справка

Рабочий лист

положительных и отрицательных целых чисел

написать программу FOIL для TI 83

бесплатные вычислительные листы Matlab

кто изобрел формулу наклона

алгебра 2 задачи

решатель булевой алгебры

факторинг квадратичный калькулятор

"бесплатно" + "онлайн" + "неравенство" + "калькулятор"

рабочих листа по математической факторизации

Пользователи Yahoo пришли сегодня на эту страницу, введя следующие алгебраические термины:

формулы учета затрат

Сложение и вычитание отрицательных чисел 7 класс

уравнения второго порядка в Matlab

онлайн калькулятор с дробями

элементарные математические мелочи

печатные формы абсолютного значения

пирог с алгеброй

Холт Математика Ответы

печатный общий знаменатель

онлайн-видео для обучения детей математике дробей

бесплатные распечатанные тесты по алгебре для колледжа

задачи на дроби

упростить в алгебре

дифференциальное уравнение третьего порядка mathcad

Многочлен длинного деления java

планы уроков, Power Point, "Современная химия"

Десятый факторинг

как решить логарифмическое уравнение

Упрощение калькулятора числовых выражений

Учебник по геометрии Техас Холт онлайн бесплатно

можно ли уменьшить смешанную дробь

тригономические функции

алгебра с рабочим листом 6 ответов

преобразование Лапласа с использованием ti-89

домашняя работа в колледже с mathcad

год Тест 10 одновременных уравнений

математический калькулятор полиномов

вида проектов по алгебре

решение темы по алгебре по Герштейну

научные проекты

рабочий лист по химии для учеников холла ответы

Математические уравнения для печати для детей

подсказки по алгебре

Рабочие листы по алгебре для 7 класса

печатных листа по интегрированной алгебре и математике 9 класс

Glencoe Math Workbook Ответы

Математическая игра с 9 квадратами до алгебры

Диаграмма Венна + восьмой класс + рабочий лист + бесплатно

рабочих листа по корням действительных чисел

определение алгебраического выражения

"Рабочий лист квадратного корня"

уравнения балансировки онлайн

изучение элементарной алгебры

лист деления десятичных дробей

элементарная статистика

Решить операции с рациональными выражениями

Математические распечатки 9-го класса

взять логарифм по основанию 2 на калькуляторе

кубический многочлен без пересечений

факторизующий квадратичный калькулятор

известная алгебра дистрибутивных свойств 1

Алгебра Холта 1 ответы

скачать прошивку ti-83 образ

задачи на ассоциативные свойства для плана урока 2 класса

решение систем сложением и вычитанием

Калькулятор подкоренных выражений

онлайн калькулятор алгебры шаг за шагом

игры для калькулятора Т1-84

алгебра 1 книга ларсон онлайн текст

бесплатный одновременный решатель уравнений

Пример тестов ERB

бесплатных примера факторных задач по алгебре

Пример вопросов по математике

математические листы ks3

замена по алгебре +6 класс +бесплатные рабочие листы

Интегрированный курс математики Merrill, издание 1 для учителя

Рабочие листы по ассоциативному методу умножения 4 класс

найти наименьшее общее кратное выражения

Математические стихотворения степени

Квадратичная формула Рабочий лист

калькулятор % вина GP

рабочие листы упрощения дробей с показателями и переменными

партер по математике для 5 класса

график таблицы уравнений

BigDecimal преобразовать число шкалы

Булева алгебра + TI-83 + скачать

бесплатный калькулятор показателей степени

Glencoe Алгебра 1 книга ответов

ти-86 калькулятор онлайн

КАЛЬКУЛЯТОР НОД реализация vhdl

Прентис Холл страницы ответов по предварительной алгебре

C Вопросы о способностях

Герштейн Математика

т-83 калькулятор онлайн

бесплатные рабочие листы задач на умножение слов для KS2

метод линейной комбинации

бесплатная электронная книга по бухгалтерскому учету

mcdougal littell всемирная история учебник ответы

алгебра ответы

бесплатные математические суммы - седьмой класс

как найти уклон на ти-84

Бесплатный онлайн-тест по математике — дроби

АЛГЕБРА С ПИЦЦАЗОМ ОТВЕТЫ НА ТАБЛИЦЕ

вычислить найти коэффициент

РАСЧЕТ LCM И GCF

Рабочий лист

lcm и gcf

как решить gcf easy

примера того, как сделать уравнения преобразования 7-го класса?

Сложение Вычитание Умножение Деление Дробей

как решить систему линейных уравнений с помощью ti-83

ти-89 сменить базу

онлайн-калькуляторы для использования

ГРАФИЧЕСКИЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ + PPT

Бесплатные рабочие листы по алгебре для 9-го класса

запрос рабочего листа по базовой алгебре

Выражения по алгебре для учащихся начальной школы

год 7 бланков упражнений по факторингу

математика для чайников

обзор учебника dolciani

математические викторины для детей

бесплатных рабочих листа по математике для 6-го класса

решение системы дифференциальных уравнений MATlab

вероятностных ответа для Алекса

бесплатных математических рабочих листа для графических точек

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДОЛЕЙ ЧАСОВ В МИНУТЫ

Калькулятор уравнений балансировки

Хоутон Миффлин онлайн алгебра 1

что такое лестничный метод

Определение символического метода

Фон+синтетическое деление+многочлены

макдугал литтел вкл неравенство

Прентис Холл ключ ответа на продвинутый уровень алгебры

пошаговое построение линий в стандартной форме help

"Рабочий лист синтетического деления"

PowerPoint ПЛАН УРОКА НА ПЕРЕХВАТАХ ЛИНИИ

Рабочий лист умножения surds

реальных примера задач на дроби

Диаграмма квадратных корней

онлайн научный графический калькулятор ti-84

число в передних задачах на квадратный корень

правила сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел

Раствор для физических упражнений

Целочисленный тест по математике для печати и ключ ответа

возведение в квадрат бинома в третьей степени

линейная алгебра. com

ФАКТОРИЗИНГ ОНЛАЙН

формула обратного квадрата

Рабочий лист линейного графика

6 класс

логарифмический тест thinkwell

превратить десятичную дробь в калькулятор дробей

преобразование основания 2 в основание 8

перестановка чисел в матлабе

TI-83 +направления +корни

тома по математике 3 класс бесплатно

калькулятор квадратичных формул программа ti-84

решить мою математическую задачу бесплатно

Решение одновременного уравнения Ti 86

изучение математики в альберте 6 класс статистический лист вероятностей

ti 89 журнал

Рабочий лист решения буквенных уравнений

mcdougal littell inc ключ ответа бесплатно

ти-83 как куб

Макдугал Литтел английский ответы

программное обеспечение для длинного деления уравнений

базовый бумажный тест по математике

перпендикулярные линии в алгебре ты переворачиваешь фракции

факторные рабочие листы 4 класс

Clep экзамен по алгебре в колледже бесплатная практика

простых вопроса по алгебре для 5 или 6 класса

рудин раствор 7

как использовать калькулятор для вычисления квадратных корней

калькулятор у. е. радикал

написание рабочего листа алгебраических выражений

сложение, деление, вычитание и умножение отрицательных и положительных чисел вместе

примера решения задач квадратных уравнений

решение неизвестных полиномиальных уравнений третьего порядка

Алебра 1 онлайн книги Макдугелл

комплектация квадрата powerpoint

Интегральный калькулятор Доусона

сложные уравнения алгебры

"скачать блокнот для геометрии""

бесплатных рабочих листа по сложению и вычитанию дробей с разными знаменателями и переменными

Рабочий лист

упрощает комплексные числа

Калькулятор деления многочленов

бесплатный графический решатель алгебры

математический проект - геометрия в реальной жизни

рабочая таблица с одинаковыми терминами

ti-84 знак процента

"графический калькулятор" +бесплатно +онлайн +"таблица значений"

ti83+ эмулятор онлайн

ответы на Графический подход к сложным процентам

алгебра основы построения графиков

Репетиторские сайты по алгебре

Переходная математика от Прентиса Холла отвечает

Найдите x, вычитая один квадратный корень из квадратного корня

"булева алгебра" ти-89

ответы на математику средней школы Макдугала Литтела

"квадратный корень" для чайников

помощь в умножении и делении радикалов с кубическими корнями

онлайн калькулятор гиперболы

положительных и отрицательных целых числа урока

раздача рисунков, алгебра, рабочий лист

скачать бесплатно задания на тест IQ

как решить уравнение в java

Квадратичная формула ТИ-84

ТАКС тест 7 класс выпуск

Алгебра Холта 1

преобразовано в дробь

Преобразование десятичных дробей в дроби TI-86

добавление дроби к целому числу

рабочие листы на вычитание от 0 до 18

ответы на интегрированные 2 задачи из учебника по математике

Ti-84 Plus Приложения для алгебры

Онлайн-тест по математике для 9 класса по линейным, экспоненциальным и параболическим уравнениям

подскажите сайты для решения математических задач

Предварительный тест по алгебре для 8-го класса

gcf мономов рабочий лист

математика

развернуть квадратную фольгу TI-89

одновременных нелинейных алгебраических уравнения

калькулятор-решение факторингом

Рабочий лист для уравнений балансировки

как решать неоднородные производные по Лапласу

решение уравнений для печати лист

высший объективный тест по математике

Рабочий лист умножения и деления целых чисел

Таблицы коэффициентов свободного масштабирования

саксонская математическая бумага

поиск корней с формой вершины

загрузок калькулятора TI-83

веселых рабочих листа по алгебре

математическое программное обеспечение для прикладных студентов средней школы

Целочисленный рабочий лист

как рассчитать сложные проценты на калькуляторе ti-84

выяснить, чему равно x в задаче на дробь

перемножение матриц

смешанные числа в виде десятичных дробей

простой способ пройти clep

Лист математических целых чисел в степени корней ks3

графическое изображение парабол Powerpoint

квадратный корень из x в кубе

решение заявок с факторингом

бесплатные методы замены алгебры

уравнения с отрицательными показателями

множитель многочлена Java

разностное уравнение факторинга

бесплатные онлайн-тесты по математике

кубический корень ti 83 плюс

бесплатный решатель уравнения абсолютного значения

примера математической поэмы

тест по алгебре онлайн бесплатно

бесплатных математических листа в расширенной нотации

тест по математике: Углы год 7

стихотворения на цифру

Решение тригономических уравнений

TI 83 программы, упрощающие радикалы

рабочие листы по алгебре дроби

трудный трудный лист по математике гр 6

Скотт Форман математические расчетные таблицы

Химическое программное обеспечение ti89

бесплатные печатные формы с научными обозначениями

рабочих листа по алгебре для первокурсников

операция пошаговое умножение корней

как решать математические задачи

Рабочие листы эквивалентных форм

алгебра дробная

числа, у которых семь в множителе

попрактиковаться в вычислении логарифмических выражений

объединение рабочих листов с одинаковыми терминами

листы сложения и вычитания целых чисел бесплатно

ти-89 добавление полярного

рабочие листы по химии для 9 класса

бесплатный графический онлайн калькулятор ti-83

как складывать квадратные корни с переменными?

План урока по линейному уравнению в один шаг

Как решить задачу на квадратный корень

aptitude загрузить

бесплатный рабочий лист с математическими задачами для 7-го класса с использованием процентов

ключ ответа к главе 7 концептуальной физики

решение дроби полиномиальной степени

Онлайн-учебник McDougal Littell/Houghton Mifflin Algebra: Structure and Method

математические рабочие листы для вычисления алгебраических выражений скачать бесплатно

учебник по перестановкам и комбинациям

граф упорядоченных парных решателей

Какой наибольший общий делитель может иметь два числа от 40 до 50?

mcdougal littell руководство по алгебре 2

ответа на вопросы по элементарной алгебре

примеры задач по бухгалтерскому учету и ответы

уравнения балансировки онлайн

наибольший общий делитель 60

девятый класс помощь по алгебре

Нью-Джерси онлайн учебник по математике 9 класс

большой общий делитель

Основные математические навыки 6-го класса

калькулятор полиномиальных выражений

Графический онлайн-калькулятор

для тригонометрических обратных функций

"Комплексные числа с TI-83+"

решение уравнений путем умножения

вершинные задачи с квадратичной формулой

Бесплатная начальная и средняя алгебра

Трещины дорожек PLATO

взять 3-й корень ti-89

бесплатный год 7 последовательностей рабочих листов

бесплатные печатные дроби преобразования математики 5 класс

Практика 9-го класса

предварительный тест по алгебре

пример стихотворения о тригонометрии

предварительная алгебра с пиццей

скачать ti-83 plus rom

"ти-89" "квадратный корень"

обратное преобразование Лапласа для нахождения резонанса

решение рабочих листов уравнений с несколькими переменными

Экзаменационные работы по математике для учащихся шестого класса

десятичных знака

как возвести дробь в куб

графический калькулятор матрица

Добавление целочисленных игр

основы перестановок и комбинаций

учебник по алгебре Холта 1 ответы

Калькулятор умножения радикалов

ti 84 программа квадратичных формул

Калькулятор кубического корня

дроби на калькуляторе TI

как делать перестановки на ТИ-83

калифорнийская алгебра одна книга онлайн

примеры алгебраических вопросов

"Рабочие листы дроби второго класса" картинки

график y=5x на графике

КАК ОБУЧАТЬ СИММЕТРИИ ПЕРВОКЛАССНИКОВ

формула решения задач на пропорции в alberga

Калькулятор квадратного корня с переменными

чит математические упражнения

бесплатный онлайн калькулятор наименьшего общего знаменателя

Пре-альгреба

Композиция Пита Мондриана с синей нумерологией

написание рабочих листов с уравнениями

бесплатное онлайн-обучение по алгебре 2

как мне использовать функцию журнала на моем калькуляторе

упрощение квадратного корня квадратного

бесплатный пример теста по биологии

алгебра 2 примеры задач из фольги

ti 84 плюс программа квадратного уравнения

бесплатно McDougal Littell калифорнийская алгебра 2 ответы

решить дополнительное решение однородного дифференциального уравнения

решить систему онлайновых уравнений в Matlab

Структура алгебры и книга методов 1 - Ключ решения

бесплатно ЭМУЛЯТОР TI83

Рабочие листы для построения графиков линейных уравнений

CAT: предыдущий вопросник, тип файла Pdf

конический рабочий лист

алгебра Холта 1

нахождение рабочих листов отношения

добавление вычитания, умножения и деления рациональных выражений, рабочий лист

Алиса Касеберг Промежуточная помощь по алгебре

проблемы с добавлением минусов

рабочих листа по алгебре для начинающих

бесплатная книга учета затрат

игры с распечаткой денег для детей 5-6 классов

алгебра 2 макдугал литтелл глава 2 изучение рабочих листов данных

тест на сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел

упрощающие радикалы в тригонометрии

алгебраические уравнения баланса

Matlab решает одновременные уравнения

бесплатная настольная игра для гоночных треков

какие задачи на странице 21 в учебнике по математике для 5 класса

как извлекать квадратные корни из дробей

Электронная книга «Введение в теорию вероятностей»

репетитору по математике нужна загадка

Применение радикальных функций

сумма корня квадратного уравнения

помощник по алгебре

Word Решение задач (онлайн)

Современная абстрактная алгебра Even Solutions

примера возрастных проблем

поиск домена и диапазона ti 83

алгебра вычисляет дроби и квадратный маршрут

история теорем Силова

листы с наименьшими общими кратными 6 класс

полином

Скачать игры для TI-84

рабочий лист порядка операций с целыми числами

бесплатный онлайн-калькулятор квадратного корня

графические квадратные уравнения+ppt

таблицы десятичного сравнения

калькулятор алгебраических делений

бесплатная электронная книга учета затрат

как решать математические уравнения и квадратные уравнения

решение уравнений путем умножения и деления целых чисел

алгебра колледжа + рабочая тетрадь + бесплатно + скачать

химические реакции дифференциальное уравнение второго порядка

TI 83 plus скачать образ ПЗУ

макдугал литтелл @домашний репетитор

тест на гениальность рабочий лист

скачать программное обеспечение Ti 84

как объяснить вероятность 4 классу

десятичных до смешанных чисел

glencoe алгебра 1 ключ ответа

такс тестовая практика онлайн бесплатно для третьего класса 2007

программное обеспечение для решения одновременных уравнений

вершина рациональных уравнений

изменить смешанную дробь с десятичной дробью на проценты

Рабочий лист перестановок и комбинаций

задачи на рациональное выражение

Рабочий лист по алгебре для 3 класса

как решать дроби в уравнениях

как вы делите десятичные дроби

Концептуальная физика Ответы

наибольший общий знаменатель числа 479

Реальные прикладные квадратичные функции

факторинг для идиотов

Алгебра 1 Холт

Калькулятор порядка дробей от наименьшего к наибольшему

Лаплас Ти-89

бесплатно скачать книги apptitude

умножать и делить рациональные числа

TI-84 программирует полиномиальные неравенства

пример из реальной жизни с пересечением склона

Рабочая тетрадь стандартизированных тестов по алгебре 2 McDougal/Littell 2004

изолировать глоссарий переменных/математики

простая алгебра

Преобразование дробей в десятичные печатные листы

алгебраическое уравнение гипербола

онлайн-упроститель Surds

диаграмма 86 ошибка 13 измерение

рабочие листы с процентными словами

бесплатный онлайн калькулятор для сложения дробей и переменной

Бесплатное ПО для КПК TI 83

Рабочий лист синтетического деления с множественным выбором

примеры математических мелочей

три символьных метода решения квадратного уравнения

алгебраическое уравнение для определения квадратного корня

комбинации ти-83

база 16 ява

Домашнее задание

"Основы инвестиций" ответы

как перевести в пятерку

Базовая алгебра для пятого класса

Калькулятор коэффициента

Интерактивные уроки квадратных уравнений

Математика Для чайников скачать бесплатно

помощь по продвинутой алгебре

прентис холл помощь с домашним заданием по алгебре

одновременные уравнения Ньютона Рафсона нелинейные

Algebra Connections Volume One page 45

алгебра мелочи

ПО для алгебры 2

Калькулятор деления отрицательных дробей

8 класс фракции

биномиальная теория

mcdougal littell algbra лист ответов к моей школьной рабочей тетради

бесплатных рабочих листа по алгебре для начинающих

математический словарь

Решатель дифференциальных уравнений

для Matlab

бесплатных рабочих листа по математике для 6-го класса бесплатно для печати

Коммутативный и ассоциативный рабочий лист предварительной алгебры

кубический корень

Математические игры онлайн для 9-х классов

5-й класс умножения десятичных дробей

онлайн-решатель полиномиальных задач

математических тестов на 8 лет

Решатель задач 9-го класса

Калькулятор решения рациональных уравнений

предварительная алгебра ответы

контрольные работы по математике

Эмулятор калькулятора TI 84

вопросы о способностях pdf

полиномиальный решатель машины

графическое построение полярных уравнений на TI-89

clep test практика исчисления

Решатель доменов онлайн

рабочие листы с индийскими пиктограммами

ти-89 лог база 2

бесплатных рабочих листа по математике для дошкольников

линейных уравнения с тремя переменными

Руководство для идиотов

по Excel

Листы ответов Pizzazz Pre алгебра

ti-83 плюс формулы статистики

коммутативный, рабочие листы

рабочие листы по алгебре ks3

МОДЕЛЬ SAT KS2 ВОПРОСНИК

упростить алгебраические выражения

решить мое уравнение

Калькулятор уравнения балансировки

Решение нелинейных уравнений в Matlab

как сдать тест по алгебре

Бесплатное решение задач по алгебре

реальных задач по алгебре

визуальные инструкции по умножению трехзначных чисел на трехзначные числа

как найти кубический корень из 8 с помощью калькулятора ТИ-83

линейные уравнения gcse

экзаменационные работы дети 7 лет

кубический корень на калькуляторе

решение линейного уравнения третьего порядка

элементарная алгебра помощь

где я могу найти бесплатные рабочие листы по алгебре для девятого класса?

решение систем полиномиальных уравнений matlab

бесплатные рабочие листы для восьми классов

заметки о скалах по науке Glencoe 6-й класс

бесплатный рабочий лист линейного уравнения

бесплатно онлайн 11+ практических работ

заметки по алгебре

нахождение логарифмов на TI-83

бесплатные полиномы помощи по алгебре

заполнение квадратного рабочего листа

Лестничный метод

для нахождения наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя: демонстрация

Ключ к алгебре с помощью Pizzazz! рабочие листы

как ответить на вопросы

математические задачи для lcm и gcf

Рабочие листы по распределению собственности

рассчитать мод в калькуляторе ти-83

задачи на сложение и вычитание целых чисел

бесплатных рабочих листа GED

Краткий конспект по всемирной истории, 4 класс

ответы по математической статистике

тестовая статистика для калькулятора наклона ti

онлайн калькулятор + уравнения рациональных чисел

как мне запрограммировать квадратичную формулу на моем TI-83

Нахождение уклона с помощью чисел

целых викторины для 7th . com

смешанное число до десятичного числа

Задачи о смесях Элементарная алгебра I примеры

решение неравенств путем умножения или деления

образцы тестов по алгебре Онтарио

как разложить квадратные уравнения на множители 9 лет

наименьший общий знаменатель + рабочий лист

триггерная поэма

помощь по математике средний уровень алгебры lial восьмое издание

Математическое решение +9 класс +пример

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ

собственные значения TI84

задача по алгебре решить

бесплатных рабочих листа неравенства

можно ли хранить формулы на графических калькуляторах ti-84

план урока алгебраических выражений

ti 86 ошибки калькулятора

экспоненциальная математическая викторина

поиск корней с ти-83 плюс

как умножать на квадратный корень дроби

"Дроби для чайников"

корни ТИ-83

задач на определитель линейных уравнений 2,3 порядка задач с ответами

коэффициенты упрощения ответы

математические показатели девятого класса+бесплатно

сложение отрицательных и положительных целых чисел

встроенный

Бесплатная загрузка тестовых листов Aptitude с ответами

как обмануть ар тесты

уравнения с рациональными выражениями

математический чит-помощник парабола

объединение радикалов и упрощение

умножить линейную функцию

Калькулятор метода замены

программы физики ти-89

Балансирующий решатель химических уравнений

уравнение гиперболы на ti 83

решение квадратного уравнения ti83

+"мнимое в полярное" +преобразовать

многошаговый калькулятор уравнений онлайн

полиномиальный решатель онлайн

разложение кубов квадратных уравнений на множители

тест на сложение и вычитание целых чисел

Решение математических задач и операций 5-го класса

Обманы с рабочими листами факторинговых многочленов

TI-84 плюс 84 загрузки загрузок kostenlos

бесплатно научиться делить многочлены

как перевести дроби в десятичные в калькуляторе ти-89

алгебра 1 ответы

рабочий лист по математике A-level бесплатно

как решать одновременные линейные уравнения TI-89

Алмазный решатель фактора

алгебра для начинающих

сложные листы правил экспоненты - упрощение базы

математика мелочи алгебра

лестничный метод факторинга полиномов

Целочисленный смешанный обзорный лист

ответы на домашнее задание по алгебре

квадратичный рабочий лист факторинга бесплатно

раствор палиндрометестера

справка по средней алгебре аскдживса

как решить квадратное уравнение ти-84

смешанные операции со скобками и десятичными знаками - рабочие листы для печати

решить одну переменную Matlab

"объединение одинаковых членов" дроби

Учебники по математике для средней школы 6 класса Флорида

план урока gcse преобразование математики

Matlab наименьший общий знаменатель

тригонометрия для начинающих

как пользоваться алгебратором 2. 1

Mcdougal Littell Pre-Algebra Practice Workbook ключ ответа

вычитание отрицательных и положительных целых чисел

Ответы на домашнее задание по математике Помощь

бесплатный онлайн-решатель математических многоступенчатых уравнений

бесплатный лист практической математики для 6-го класса

примеров математических задач из алгебры 1

Одновременный решатель Excel

бесплатный рабочий лист для печати по началу измерения

PDF курсы, упражнения, документ pdf, ppt, бесплатный PDF

PDF Курсы, Упражнения, Документ pdf, ppt, бесплатный PDF | PDFprof.com

×

Титр

Корпус

ОШИБКА 404 Файл не найден

  • Администрация
  • Администрация
  • Общественная администрация
  • Общественная администрация
  • Агролесоводство
  • Агролесоводство
  • Аллеманд
  • Аллеманд
  • Бак ST2S
  • Андрагогия
  • Андрагогия
  • Драматическое искусство
  • Драматическое искусство
  • Художественные визуалы
  • Художественные визуалы
  • Астрономия
  • Астрономия
  • Бак
  • БАК Математика
  • BAC Physique Chimie
  • БАК СЭС
  • БАК СВТ
  • Биохимия
  • Биохимия
  • Биографии
  • Fiche de Cours
  • Fiches de Revision
  • География и история L
  • Исторический антиквариат
  • Современная история
  • Европейский союз
  • Ла Герр Фройд
  • La Premiere Guerre Mondiale
  • эпоха Возрождения
  • Биология
  • Биология
  • Биология и физиопатология человека
  • Бак ST2S
  • Биотехнология
  • Биотехнология
  • Чими
  • Чими
  • Курсы и упражнения
  • IP адрес
  • Алгоритм
  • Андроид
  • годовые
  • Bases des données
  • Бюротик
  • коммерция
  • Коммуникация
  • Совместимость
  • Comptabilité Analytique
  • Comptabilité générale
  • Концепция и анализ
  • курс 3ds max
  • Курс Ада
  • курс адрес ip
  • алгоритм курса
  • курс андроид
  • курс ассемблера
  • Кур Бак-сес
  • курс баз де донне
  • курс до-диез
  • Курс коммерции
  • Cours comptabilité
  • курс друпал
  • затмение
  • Курс эконом-класса
  • Курс Электрисите
  • Курс Электроник
  • курс эргономики
  • курсы и упражнения 5e
  • курсы и упражнения 6eme бесплатно
  • курсы и упражнения html css
  • курс и упражнения 1ère stmg
  • курсы и упражнения 5eme
  • Английский курс и упражнения
  • Курсы и упражнения Excel 2010 бесплатно
  • курсы и упражнения excel pdf
  • большая секция курсов и упражнений
  • курс превосходит
  • Курс финансов
  • курс фьюжн
  • Курс Гестион
  • курс канитель
  • курс jquery
  • курс labview
  • курс языка c
  • шепелявит
  • Управление курсами
  • Курсы маркетинга
  • Курс Математики
  • курс матлаб
  • Кур Оберон
  • цель курса c
  • курс паскаль
  • Курс PDF
  • Курс телосложения
  • курс pl sql
  • кур питон
  • курс qtcreator
  • курс рубин
  • Cours seconde
  • Cours sixieme
  • курс весна
  • курс sql
  • Статистика курса
  • Курс статистики
  • Терминал S
  • Тройская улица
  • курс unix linux
  • курс вба
  • курс визуальный базовый
  • курс визуальной студии
  • Курс Виндев
  • курс слово
  • Кутюр
  • Криптография
  • Дайверы
  • Эконом
  • Экономика pdf
  • социальная экономия
  • Электричество
  • электроника
  • эмс
  • Этюд функции
  • Совместимость экзаменов
  • Экзамены по информатике
  • маршрут упражнений
  • Упражнения коммерции
  • Совместимые упражнения
  • Упражнения эконом
  • упражнения
  • Упражнения Финансы
  • Упражнения
  • Управление упражнениями
  • Упражнения Маркетинг
  • Упражнения по математике
  • Упражнения pdf
  • Упражнения телосложения
  • Статистика упражнений
  • слово упражнения
  • Финансы
  • Фискалите
  • Гастрономия
  • геополитика
  • Жестион
  • гуманитарии
  • Информатика pdf
  • Комбинация логики
  • язык sql
  • Усилители
  • Les compteurs
  • Конденсаторы
  • диоды
  • Фильтры
  • английский язык
  • Управление распределением и т. д.
  • Управление человеческими ресурсами
  • Управление рисками
  • Управление pdf
  • Стратегическое управление
  • Цифровой маркетинг
  • Маркетинговая часть
  • Маркетинг pdf
  • Маркетинговая стратегия
  • Математика
  • Математика 1эр S
  • Терминал математики S
  • микроэкономика
  • модель отношения
  • оракул
  • Расходы по управлению
  • телосложение
  • Вероятности и статистика
  • Программирование
  • вопросник ле монд
  • наук
  • сэс
  • сес бак
  • Статистика
  • Системы эксплуатации
  • Тригонометрия
  • учебник язык c
  • учебник линукс
  • учебник excel
  • обучающая вспышка
  • сервер виндовс 2003
  • Курсы и упражнения PDF
  • Achats et approvisionnement
  • Рекламное действие
  • Научная деятельность
  • Актуальная экономика
  • Администрация информационных систем
  • Аэроспасьяль Эт Дефанс
  • Агенты экономики
  • Сельское хозяйство и лесное хозяйство
  • Аллеманд
  • Финансовый анализ
  • Английский
  • Anglais En Seconde Langue
  • Анналы Бак эс
  • анналес бак л
  • анналы бак с
  • Антропологические исследования автохтонов
  • Антропология
  • Apprendre Une Langue
  • Ардуино
  • Автоматизация
  • бак финансы
  • задний план
  • бакалавриат
  • залог рекламный
  • Коммерческий баланс
  • Биоинформатика
  • Биоэтика
  • ЧИМИ
  • Амбулатория торговли
  • Коммуникация и политика
  • Коммуникации и реклама
  • Comptabilité Et D'Audit
  • курс xml
  • Cours 2ème Bac
  • Кур Араб
  • курс назад
  • Кур-бак-Л
  • Cours bac s
  • Кур Бэк ST2DA
  • Курс бак STD2S
  • Cours bac STI2D
  • Cours bac STL
  • Cours bac STMG
  • Кур Банк
  • Кур Шими
  • Кур Компани
  • курсы css
  • Курс Эколь
  • Cours École Primaire
  • Cours École Secondaire
  • Кур Экология
  • Курс Энерги
  • Изготовление курсов
  • курс финансов
  • Кур Фискалите
  • Кур Геология
  • Курс истории
  • Кур Инженьери
  • Cours L'Informatique
  • Кур-ла-Физик
  • Курс Логистик
  • курс математики
  • кур мериз
  • Курс Метео
  • Курс MPSI
  • курс mysql
  • трассировщик пакетов
  • Курс PCSI
  • курс философии
  • Курсы физики
  • программа курса
  • Курс PSI
  • Курс ПТ
  • Курс ПТСИ
  • схема курса
  • Курс наук
  • курс Tronc Commun
  • курс веб-мастера
  • Курсансе
  • Круассан эконом
  • Демография
  • Демография и география
  • Демография и статистика
  • Devoirs Mathématiques
  • Диплом по дисциплине
  • экономика
  • экономика
  • экономия
  • коммерческая экономия
  • ECONOMIE CONCOMMATION ET épargne
  • экономия образования
  • экономия на строительстве
  • экономия удовольствия и удовольствия
  • Экономика и политика
  • географическая экономия
  • промышленная экономика
  • экономическая институция
  • мировая экономика
  • денежная экономика
  • сельская экономия
  • Écriture de scénario et creation li
  • Образование художественное
  • Исламское образование
  • образование телосложение образование'''
  • Коммерческий эффект
  • ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
  • электрический батимент
  • электрический CAP
  • электрический колледж
  • электрический дебютант
  • электрисите женераль
  • электрическая промышленность
  • электрический лицей
  • электрическая первичная
  • электрическое веселье
  • ENA Национальные школы архитектуры
  • ENAM Национальная школа сельского хозяйства
  • ENCG Национальные школы торговли
  • Энергия
  • электрическая энергия
  • ENSA Национальные школы наук
  • Высшие национальные школы ENSAM
  • испанский
  • Статистика оценки
  • этюды аллеманды
  • Études allemandes et histoire
  • Английские этюды
  • арабские исследования
  • Азиатские исследования языка и культуры
  • Азиатские исследования
  • Этюды автохтонов
  • Каталанские этюды
  • Классические этюды
  • Классические и антропологические исследования
  • маршевые этюды
  • видео этюды игры
  • Азиатские этюды
  • Феминистские этюды
  • Испанские этюды
  • Международные исследования
  • Итальянские этюды
  • Латино-американские этюды
  • Средневековые этюды
  • Неоэллинские этюды
  • Квебекские этюды
  • Études religieuses (науки о ре
  • экзамены бак с
  • Упражнения
  • доступ к упражнениям
  • Упражнения для спины ES
  • Упражнения на спину L
  • Упражнения на спину
  • Упражнения бак ST2DA
  • Упражнения bac STD2S
  • Упражнения bac STI2D
  • Упражнения bac STL
  • Упражнения бак СТМГ
  • Упражнения де comptabilité analytiqu
  • Exercices de comptabilité financière
  • осуществляет финансы
  • Упражнения
  • Математические упражнения
  • Упражнения МП
  • Упражнения МПСИ
  • Упражнения ПК
  • Упражнения ПКСИ
  • Философия упражнений
  • программа упражнений
  • Упражнения пси
  • Упражнения ФТ
  • Упражнения наук
  • Упражнения СФЭ
  • Упражнения SUP
  • Упражнения ТСИ
  • окна упражнений
  • Факультет искусств и социальных наук
  • Факультет наук
  • Коммерческие финансы
  • Банковские финансы
  • Финансовый дебютант
  • Финансы и совместимость
  • Финансы количественные
  • Финансовый солидер
  • Финансирование проекта
  • Факультеты медицины и фармакологии FMP
  • Фонд коммерции
  • французский
  • Français langue seconde avancé
  • Джин генерал
  • география
  • Экологическая география
  • геополитика и политические науки
  • Геостатистический
  • Gestion de l'information numérique
  • Прием серв. де санте
  • Партизанский маркетинг
  • история
  • История экономики
  • История искусства
  • Историческая география
  • Гиперперсонализация
  • IAV Institut Agronomique et Vétérin
  • Входящий исходящий
  • Индустри Химик
  • информатика
  • Информационная аппликация
  • Психообразовательное вмешательство
  • Инвестор
  • ISEM Institut Supérieur d'Etudes Ma
  • ISIC Высший институт информации
  • ISPM Institut Supérieur des Pêches
  • Высший институт науки ISSS
  • Кинезиология и образование. физ.
  • Язык и культура allemandes
  • Английский язык и культура
  • Арабский язык и культура
  • Каталанский язык и культура
  • Китайский язык и культура
  • Язык и культура
  • Греческий язык и культура
  • Испанский язык и культура
  • Японский язык и культура
  • Латинский язык и культура
  • Язык и культура португалоязычный
  • Португальский язык и культура lusuph
  • Английские языки и культуры
  • Арабские языки и культуры
  • Каталанские языки и культуры
  • Греческие языки и культуры
  • Испанские языки и культуры
  • Неоэллинские языки и культуры
  • Языки и культуры русские
  • Letters et Sciences Humanes
  • Письма, языки и культуры
  • Littératures de langue française
  • Littératures de langue française et
  • Littératures et langues modernes
  • Logiciels D'Entreprise
  • Логистика и транспорт
  • Макроэкономика
  • Совместное управление
  • Культура управления
  • Менеджмент d'équipe
  • Управление инновациями
  • Управление знаниями
  • Управление операциями
  • Управление изменениями
  • Этика управления
  • Оперативное управление
  • Участие в управлении
  • Марж коммерческая
  • Маркетинговый агропродовольственный
  • Маркетинговая альтернатива
  • Маркетинговая аналитика
  • Маркетинг B2B
  • Маркетинговый банк
  • Маркетинговое сотрудничество
  • Маркетинговая реклама
  • Культура маркетинга
  • Контент-маркетинг
  • Массовый маркетинг
  • Маркетинговые ассоциации
  • Маркетинговая этика
  • Маркетинговая этника
  • Маркетинговые мероприятия
  • Маркетинговый опыт
  • Маркетинговая сенсорика
  • Маркетинг территориальный
  • математика
  • Математика и информатика
  • Математика здесь S
  • МЕХАНИКА
  • Мет. де ледук. физ. спорт.
  • Микробиология и иммунология
  • Микроменеджмент
  • Мобильная коммерция
  • Статистика моделирования
  • Мультидисциплинарный
  • Музыкальное образование
  • Нейромаркетинг
  • Когнитивная неврология
  • Ондес
  • ОПТИКА
  • Ориентация и консультирование
  • колебания
  • Техническая логистика
  • Рекламный спектакль
  • философия
  • Философия и классические исследования
  • php курсы и упражнения pdf бесплатно
  • телосложение
  • Телосложение и информатика
  • Physique-Chimie
  • Коммерческая перспектива
  • Психообразование,
  • Психология и социология
  • Реклама и маркетинг
  • Recrutement et Gestion des Carrière
  • Этнические отношения
  • Промышленные отношения
  • Природные ресурсы
  • Ресурсы Pédagogiques Et En Class
  • Ретаргетинг
  • Агрономические науки
  • биологические науки
  • Когнитивные науки
  • Науки о коммуникации
  • наук о жизни
  • инженерные науки
  • Экономика и управление науками
  • Науки экономические и социальные
  • Науки и технологии Механика
  • Математические науки
  • Математические науки A
  • Математические науки B
  • Науки естественные и прикладные
  • Религиозные науки
  • Sécurité et études policières
  • СЭС
  • Социология Отношения Этники
  • Статистика Зондажа
  • Статистическая аппликация
  • Статистический дебютант
  • исчерпывающая статистика
  • Неверная статистика
  • Статистическая психология
  • Коммерческая стратегия
  • Стратегия предприятия
  • Уличный маркетинг
  • Субвенции, Des Bourses et Des Aid
  • СВТ
  • Tableau de bord et management de pe
  • Электрик
  • Промышленная технология
  • Технологии
  • Коммерческая реклама
  • Курс Упражнения
  • аргументация
  • Бак де Франсэ 2013
  • Бодлер
  • Камю
  • искренний
  • диссертация
  • дом Хуан
  • описание изобретения
  • принцесса де Клев
  • цветочки зла
  • мадам Бовари
  • поэзия
  • Упражнения на курсе PDF
  • диссертация фр
  • экспертная совместимость
  • Недвижимость
  • Информатика
  • Ла Финанс
  • мастер говядина
  • Норм Ванкувер
  • норм апа
  • изнасилование
  • раппорт де этап
  • эти докторские
  • Курс телосложения
  • Курсы и упражнения
  • Криминология
  • Криминология
  • Дизайн интерьера
  • Дизайн интерьера
  • Первая дидактика
  • Первая дидактика
  • Право
  • Право
  • Эконом
  • Курсы и упражнения
  • экономическая политика
  • социальная экономия
  • Экономика и поведение
  • Бак про
  • Образование
  • Образование
  • Éducation physActivité phys
  • Éducation physActivité phys
  • образование телосложение
  • образование телосложение
  • ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
  • Курсы и упражнения PDF
  • электроника
  • Алгебр де Буля
  • Электромагнетизм
  • Les Circuits RLC
  • Предприятие
  • Предприятие
  • Управление
  • Экологические исследования
  • Экологические исследования
  • Семейные исследования
  • Семейные исследования
  • Финансы
  • Финансы
  • Лесничество
  • Лесничество
  • французский
  • Бак генерал
  • Бак про
  • Кур Франсэ
  • французский
  • Второй французский язык
  • Второй французский язык
  • Джин гражданский
  • Джин гражданский
  • Джин Электрик
  • Джин Электрик
  • Джин механический
  • Джин механический
  • География
  • География
  • Геронтология
  • Геронтология
  • Gestion de l'information
  • Gestion de l\'information
  • Gestion de l\'information
  • Gestion de l'information
  • Управление операциями
  • Управление операциями
  • Прием серв. де санте
  • Прием серв. де санте
  • Gestion intégrée zone cotière
  • Gestion intégrée zone cotière
  • История
  • Антиквариат
  • История
  • История Европы
  • Histoire des États-Unis
  • Глобальная история
  • Гуманитарные науки
  • Писание
  • Наука о религиях
  • Информациякоммуникация
  • Информациякоммуникация
  • информатика
  • информатика
  • инженерия
  • Аэрокосмическая техника
  • Электротехника
  • информатика
  • инженерия
  • Промышленная техника
  • Кинезиология и образование. физ.
  • Кинезиология и образование. физ.
  • Язык по номиналу платит
  • Язык по номиналу платит
  • лингвистика
  • лингвистика
  • Литература
  • Литература
  • Управление
  • Бак СТМГ
  • Управление
  • Управление рисками
  • Маркетинг
  • Маркетинг
  • математический
  • Этюд функции
  • Математика
  • Бак ST2S
  • Бак СТИ2Д
  • Курсы и упражнения PDF
  • Enseignement des mathématiques
  • Элементарная математика
  • Мир труда
  • Этика
  • Пример де Plaidoirie
  • Финансы и экономика
  • Техника прогресса
  • Синдикаты
  • Музыка
  • Музыка
  • Питание и семейные исследования
  • Питание и семейные исследования
  • питаниепитание
  • питаниепитание
  • ofppt
  • курс ppt
  • PDF-документы
  • Ноты для альт-саксофона
  • Бас Ноты
  • Барабаны и перкуссия для начинающих
  • Пианино для начинающих
  • Скрипка для начинающих
  • Bien-être
  • Ноты для блюза для гитары
  • Блюз Ноты
  • Ноты для виолончели
  • курсы и упражнения Excel
  • курсы и упражнения python
  • Персонал по развитию
  • Этническая принадлежность, раса и жанр
  • Фантазия
  • Историческая фантастика
  • Ноты для флейты и пикколо
  • Ноты для гитары
  • Старая история
  • История Мойен-Востока
  • Европейская история
  • Мировая история
  • Ноты для гитары в стиле джаз и блюз
  • Ноты для джазовой гитары
  • Ноты для джазового фортепиано
  • Коран и священные писания
  • Классическая литература
  • Мода и красота
  • Ноты для гитары из фильмов и мюзиклов
  • Питание и Вин
  • Паранормальный
  • Разделы поп и рок
  • Перегородки для фортепиано
  • Политика и актуальная информация
  • Поп- и рок-бас-ноты
  • Популярная культура
  • Ноты для гитары R&B
  • Отношения и родители
  • Религиозные и праздничные ноты для гитары Mu
  • Вегетарианские и веганские блюда
  • Исторический роман
  • Научная фантастика
  • Ноты
  • Ноты для трубы
  • Ноты для укулеле
  • Городское планирование и землепользование
  • Ноты для скрипки
  • Философия
  • Отруи
  • Курсы и упражнения PDF
  • Искусство
  • L'Inconscient et la Conscience
  • Ла Либерте
  • Религия
  • Ле Бонёр
  • детерминизм
  • Ле Маль
  • Le réel et la raison
  • Ле Респект
  • Ле Рир
  • Труд и техника
  • Телосложение
  • Телосложение
  • Физико-химия и математика
  • Бак СТИ2Д
  • Политика и интернационал
  • военный
  • Психология
  • Фрейд
  • Истерия
  • Ла Восприятие
  • La Perfectibilite
  • Психология
  • Психология Когнитивная
  • Se Connaitre Soi Мем
  • стресс
  • Радиология
  • Радиология
  • Связи со сценой
  • Force et Faiblesse
  • Письмо о мотивации
  • Религия и духовность
  • атеизм
  • буддизм
  • христианство
  • индуизм
  • ислам
  • иудаизм
  • Религия
  • Богословие
  • Гуманитарные ресурсы
  • Гуманитарные ресурсы
  • Здоровье и культура
  • Альтернатива медицине
  • Научный лазарет
  • Научный лазарет
  • Наука политическая
  • Наука политическая
  • наук
  • Астрономия
  • Биология
  • Чими
  • Медицина
  • Наука об окружающей среде
  • наук де ла Терре
  • наук о здоровье
  • наук о здоровье
  • Экономические и социальные науки
  • Генеалогия
  • социальные науки
  • Антропология
  • Психология
  • Наука политическая
  • социальные науки
  • Социология
  • Общество
  • Помощник Суаньанте
  • Ситуаеннете
  • Поколение
  • Иммиграция
  • Liens Familiaux
  • Социология
  • Социология
  • Статистика
  • Статистика
  • СВТ
  • Бак генерал
  • Сист. информация. организационные элементы
  • Сист. д \ 'информация. организационные элементы
  • Сист. д \ 'информация. организационные элементы
  • Сист. информация. организационные элементы
  • Тех. медицинская лаборатория
  • Тех. медицинская лаборатория
  • Респираторная терапия
  • Респираторная терапия
  • токсикомания
  • токсикомания
  • перевод
  • перевод
  • Путешествие в соц.
  • Путешествие в соц.
  • Администрация
  • Бак
  • Бревет
  • Конкурсы
  • Дайверы
  • Трудоустройство
  • Формирование фише
  • Fiche metier
  • История
  • Письмо о мотивации
  • Ливр Блан
  • Рапорт де стадии
  • питание
  • Архитектура
  • Кинотеатр искусств
  • Искусство ддд пластики
  • Художественная литература
  • Искусство Музыка
  • Художественная фотография
  • Художественная пластика
  • Base de données
  • Биология
  • бюрократический
  • Коммерческий коучинг
  • Коммерческое общение
  • Коммерция ддд интернэшнл
  • Коммерческие дайверы
  • Коммерция Экономика
  • Коммерческий электронный маркетинг
  • Коммерческий этюд на марше
  • Коммерческие Финансы
  • Международная коммерция
  • Коммерческая логистика
  • Управление торговлей
  • Коммерческий маркетинг
  • Коммерческие СМИ
  • Коммерческая стратегия
  • Коммерческий туризм и услуги
  • Коммуникация
  • курс 3ds max
  • Курс 4D
  • доступ к курсу
  • Курс Аякс
  • алгоритм курса
  • курс андроид
  • курс апертура
  • Cours Architecture des ordinateurs
  • курс жерех
  • курс ассемблера
  • Cours assembleur Cours informatique
  • дерзость
  • Курс аудита
  • Автоматический курс
  • курс баз де донне
  • Курс биологии
  • Курский мост
  • курс с
  • курс до-диез
  • Курсы С/С++
  • Курс Сиэль Компта
  • Cours Ciel Devis фактура
  • Cours Ciel Gestion Commerciale
  • Курсы Cisco
  • Кур Коболь
  • Курс коммерции
  • курс аналитической совместимости
  • Cours comptabilite approfondie
  • Cours comptabilité des entreprises
  • Cours comptabilité des sociétés
  • Общий курс совместимости
  • Курсы криптографии
  • курсы css
  • Курс Дельфы
  • Кур Друа
  • курс друпал
  • затмение
  • Курс эконометри
  • Курс эконом-класса
  • Cours électricité автомобиль
  • Cours électricité de base
  • Электромеканская улица
  • Электронный курс
  • курс эргономики
  • курс превосходит
  • курс final cut pro
  • Cours Finance de Marché
  • Cours финансирует общественность
  • Курс фискальных услуг
  • курс фьюжн
  • курс гаражной группы
  • Cours Genie Civil
  • курс
  • Курсы управления проектами
  • Cours gestion des approvvisionnements
  • Cours gestion des entreprises
  • Cours gestion des ressources humanes
  • Cours gestion des risques
  • курс канитель
  • Бесплатные курсы
  • курс html
  • Курс гидравлики
  • Курс Имови
  • Курс информатики
  • курс iphoto
  • курс j2ee
  • Кур Ява
  • Курсы JAVA/J2EE
  • курс javascript
  • курс джумла
  • курс jquery
  • курс labview
  • курс языка c
  • Курс Лазаря
  • Курсы Linux
  • Курс ЛУА
  • курс обслуживания ПК
  • курс менеджмент
  • Стратегия управления курсами
  • курс маркетинга
  • Курс маркетинговой стратегии
  • Математический курс
  • курс матлаб
  • Курс медицины
  • кур мериз
  • Курс микроэкономики
  • курс mysql
  • цель курса c
  • трассировщик пакетов
  • курс паскаль
  • курс перл
  • Курс фотошоп
  • курс php
  • Cours physique chimie
  • Курсы PL/SQL
  • Курсы PowerPoint
  • Курс вероятностей
  • кур питон
  • курс qtcreator
  • Справочник по курсу
  • Курс Резо
  • Cours réseaux informatiques
  • схема курса
  • Cours Sécurité Informatique
  • курс
  • Курс звуковой кузницы
  • Курсы SQL
  • Статистика курса
  • Cours système d’exploitation
  • курс умл
  • Курсы Unix
  • курс unix linux
  • курс вб нетто
  • Курс VB/VB. NET
  • курс вба
  • курс визуальный базовый
  • курс визуальной студии
  • курс веб-мастера
  • Курс Виндев
  • Курсы Windows
  • курс windows server
  • курс слово
  • Курсы XHTML
  • курс xml
  • курс xsl
  • Право
  • Право дел
  • Конституционное право
  • Droit Contrats типы
  • Право ддд
  • Европейское право
  • Фискальное право
  • Право недвижимости
  • Международное право
  • Уголовное право
  • Право человеческих ресурсов
  • Права общества
  • Право труда
  • Образование
  • Совместимые упражнения
  • Упражнения и исправления
  • французский
  • Французская аналитика
  • Франсэ Биография
  • Франсез Комментарий
  • Общая французская культура
  • французский ддд
  • Французская диссертация
  • Лекция Франсе Фиша
  • Ревизия Francais Fiche bac
  • Французская литература
  • Французская философия
  • Изобретение Francais Sujet d
  • Совместимость с Gestion
  • Gestion Controle de gestion
  • Гестион Финанс
  • Программирование жестов
  • Gestion Ressources Humanes
  • Высокие технологии
  • Histoire geographie Droit
  • Histoire geographie Fiche revision bac
  • Историческая география
  • Историческая география
  • Индустри
  • информатика
  • Администрация информатики
  • Информатический анализ объекта uml merise
  • Информационная архитектура
  • Информатик Бдд
  • Информатика ддд
  • Informatique Genie Logiciel
  • Informatique Gestion de projet
  • Информатическое программирование
  • Informatique Reseaux информатики
  • Информационная безопасность информационных систем
  • Информатика Технологии
  • Ланге Алеманд
  • Английский язык
  • Арабский язык
  • Китайский язык
  • Langue ddds des signes
  • Испанский язык
  • Язык итальянский
  • Латинский язык
  • Языки знаков
  • логические
  • Математика
  • Медицина
  • Администрация методологии
  • Английская методология
  • Методологический комментарий
  • Методология коммуникации
  • Общая методология культуры
  • Методология Резюме
  • Испанская методология
  • Пересмотр методологии Fiche bac
  • Методология Письмо о мотивации
  • Математическая методология
  • Мемуар методологии
  • Методология анализа
  • Методология Отчет о стадии
  • Методология поддержки
  • Методология Технология
  • Музыка
  • Фотография
  • Physique-Chimie
  • Программирование
  • Рапорт де стадии
  • Резо информатики
  • Санте
  • Английские науки
  • наук Чими
  • Электронные науки
  • Управление науками
  • Математические науки
  • наук механика
  • Науки Медицина
  • Аптека наук
  • Науки Телосложение
  • наук Свт
  • Социальная философия
  • Социальная политика
  • Социальная психология
  • Гуманитарные социальные ресурсы
  • Социальные науки
  • Социальная социология
  • Спорт
  • Trucs et Astuces

Сайт использует файлы cookie для персонализации PUB, Si vous continuez à utiliser ce site, nousceptrons que vous en êtes satisfait. Савуар плюс

Политика конфиденциальности - Политика конфиденциальности

3 на 3 линейные системы

Линейные системы 3 на 3

Геометрия систем 3X3

Напомним, что прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо та же линия. Точно так же, если у нас есть три плоскости, либо они пересекаются в точке, линии, вообще не пересекаются или являются одними и теми же плоскостями. Поэтому, когда мы решаем три линейных уравнения и три неизвестных, мы можем ожидать, что решением будет точка, линия, отсутствие решения, или самолет.


Ликвидация

Пошаговые правила метода исключения для решения задачи три на три линейная система

Пример:  

х + 2у - г = 2 Уравнение 1

2x + 2y + 2z = 12 Уравнение2

х - у + 2z = 5 Уравнение 3

Шаг 1:   Выберите наиболее удобную переменную для исключения

В нашем примере любые кажутся удобными.

Шаг 2:  Используйте любые два уравнения, чтобы исключить переменную. Затем используйте другую пару, чтобы исключить ту же переменную. В результате получается система 2 на 2.

Умножьте уравнение 1 на два и вычтите из уравнения 2:

2x + 2y + 2z = 12

2x + 4y - 2z =  4
-

-2г + 4г = 8

а также

Умножьте уравнение 3 на 2 и вычтите из уравнения 2

2x + 2y + 2z = 12

2x - 2y + 4z =  10 
-

4y - 2z   =   2

Шаг 3:  Используйте исключение, чтобы решить систему двух уравнений что вы нашли.

2г + 4г = 8

4у - 2з = 2

Умножаем второе уравнение на 2 и прибавляем его к первому уравнению:

-2г + 4г = 8

8 лет - 4 года =  4 
+

6 лет    = 12

у = 2

Повторная замена:

-2(2) + 4з =  8

чтобы

4з = 12, г = 3

Шаг 4:  Подставьте два значения в любое из трех уравнений. получить третье значение.

х + 2(2) - (3) =  2

так

х = 1

Шаг 5:  Подставьте все три значения в три уравнения чтобы проверить свою работу.

Шаг 6:  Перечитайте вопрос и ответьте на него.

Упражнение

Решать

3x -2y + 5z =  2

4х - 7у - з =  19

5x - 6y + 4z =  13


Приложение


Пример:

Крис инвестирует 2200 долларов в три счета, которые платят 6%, 8% и 9% годовых. Он вложил в три раза больше в 9% как он делает на 6%. Если его общий процент за год 178 долларов, сколько инвестируется по каждой ставке?

 Решение:

Позволять

Икс = сумма в 6% учетная запись

у = сумма в 8% учетная запись

г = сумма в 9% учетная запись

тогда

х + у + г =  2 200

3х - з = 0

0,06x + 0,08y + 0,09z =  178

  1. Устранить у

  2. y уже исключен в уравнении 2, тогда возьмите

    третий - 0,08 (первый)

    дает

    0,06x + 0,08y + 0,09z =  178

    0,08x + 0,08y + 0,08z =  176

    -

    -0,02x + . 01z   =   2

    или же

    -2х + г = 200

  3. Добавление уравнения 2 к результату дает

    3x - г   =   0

    -2x + z  =   200
    +

    х      =     200

    3x - z  = 0

    дает

    г   = 600

  4. 200 + у + 600 = 2200

    дает

    у = 1400

  5. ок.

  6. Крис вложил 200 в 6% счет, 1400 вложено в 8% счет, а 600 вложили в счет 9%.


Назад на главную страницу функций

Назад к промежуточной алгебре (математика 154) Домашняя страница

Назад к математике Домашняя страница отдела

электронная почта Вопросы и Предложения

Решить методом исключения калькулятором

  • Expression
  • Equation
  • Inequality
  • Contact us
  • Simplify
  • Factor
  • Expand
  • GCF
  • LCM
  • Solve
  • Graph
  • System
  • Solve
  • Graph
  • Система
  • Математический решатель на вашем сайте

Наших пользователей:

Мы купили его для нашей дочери, и, похоже, он помогает ей во всем. Это спасло жизнь.
Сара Джонс, Калифорния

Я ценю, что это просто. Мне очень помогло
Сэм Уиллис, доктор медицины

Мои родители очень счастливы. Вчера я принес домой свою первую пятерку по математике и знаю, что не смог бы сделать это без Алгебратора.
Ида Смит, Джорджия

Одной из лучших особенностей этой программы является возможность видеть столько шагов в задаче, сколько ребенку нужно для ее решения. Как родитель, я в восторге, потому что теперь мне больше не нужно по ночам помогать детям с математикой.
Тревор Смит, OK

Пошаговый процесс, используемый для решения задач по алгебре, очень ценен для учащихся, а подсказки программного обеспечения помогают учащимся понять процесс решения алгебраических уравнений и дробей.
Джон Манинг, Нью-Мексико


Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь.

Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?
Поисковые фразы, использованные 19.12.2010:
  • Калькулятор квадратного корня с округлением до сотых
  • Дроби с переменными в десятичных дробях
  • Урок математики в 5 классе: переменные в алгебре
  • перестановка в математике PowerPoint
  • преобразование точки пересечения y в наклон
  • Java-программа для нахождения суммы целых чисел
  • Matlab решает переменную в уравнении
  • продвинутый калькулятор алгебры
  • Матричные задачи Колледж Алгебра
  • распечатки по математике средней школы
  • Разложение квадратичных трехчленов на множители с листами алгебраических плиток
  • саксонская шпаргалка по математике
  • "квадратичный ряд"
  • граф система уравнений
  • ответы учебника на Холт АЛГЕБРА 2
  • как решить для переменных и формул
  • Matlab решает одновременные обыкновенные дифференциальные уравнения
  • Деление десятичных дробей на целые числа рабочий лист
  • математические листы с окружностью для печати
  • графический решатель одновременных уравнений
  • наименьших общих кратных с помощью лестницы
  • Рабочие листы по алгебре для печати для шестого класса
  • порядок действий поэма
  • рабочих листов для решения уравнений, содержащих проценты
  • Приложение Parabola Real Life
  • детский словарь\скачать бесплатно
  • как построить график линейных неравенств с тремя переменными на TI-84
  • стихи по алгебре
  • примеры вопросов и ответов по тригонометрии
  • генератор рабочих листов по алгебре 2
  • surds квадратичные игры
  • калькулятор добавления баз
  • как рассчитать значение мода с помощью научного калькулятора
  • координатная плоскость для печати
  • деление общих делителей
  • Бесплатный онлайн математический калькулятор
  • квадратных корней викторины
  • фракционная математическая задача
  • Алгебра 1 Рабочая тетрадь
  • математика 6 класса
  • стандартная форма бесплатный рабочий лист
  • математика чит алгебра II
  • Калькулятор решения дробей
  • онлайн калькулятор n-го члена
  • Структура и методология алгебры и тригонометрии 2 ответы
  • бесплатный онлайн калькулятор научной алгебры
  • продвинутая викторина по алгебре показателей
  • как упростить показатели
  • самый простой способ преобразования дроби в десятичные
  • преобразовать десятичную дробь в дробную
  • как решать матрицы на TI-84 Plus
  • самое сложное линейное уравнение в мире
  • решение нелинейных уравнений Matlab
  • онлайн-игры по алгебре для 9-го класса
  • Matlab преобразовать десятичную дробь в
  • TI_83 Plus калькулятор для решения линейных задач методом углов
  • онлайн-тесты ks2
  • квадрат уравнения
  • тригонометрия 5 издание
  • год 8 математика
  • стихотворение о математических уравнениях
  • бесплатно Алгебра Решатель
  • как сделать масштабный факторинг
  • математика для чайников онлайн
  • ти-84 факторинг на
  • math Slope для печати бесплатно
  • пустяковая алгебра
  • Калькулятор дробей рациональных выражений
  • полином решить x калькулятор
  • ti 83 plus эмулятор скачать бесплатно
  • glencoe алгебра 2 онлайн-издание для учителей Северная Каролина скачать
  • задачи по математике алгебра простая кс2
  • мошенник awnsers algerbra 1
  • рабочий лист по сурдам
  • перевести десятичные дроби в дроби на т-86
  • Примеры задач по алгебре 7 класс
  • как использовать logbase в ti-89 изменить базу
  • английский вопрос о способностях
  • Рабочий лист по упрощению рациональных алгебраических выражений
  • записать процент в виде дроби
  • задач по математике для контрольных за 7 класс
  • эмулятор калькулятора ти-83
  • практическое руководство по экспоненциальным тождествам
  • формулы процентов и дробей
  • расширенное программное обеспечение для алгебры
  • Математические задачи 5-го класса
  • неоднородная 2-го порядка ода
  • бесплатный онлайн калькулятор ti84
  • программы для детей онлайн/развивающие занятия для 7-х и 8-х классов
  • факторинг полиномов в кубе
  • TI 83 ПЗУ скачать
  • гленко математика
  • введение в алгебру
  • учет затрат+бесплатный курс
  • уравнение по алгебре для 4-х классов
  • комплектация квадратного калькулятора
Предыдущий Далее

скачать бесплатно.

Интернет-магазин документов на 5y1.org Калькулятор метода исключения: скачать бесплатно. Интернет-магазин документов на 5y1.org
    • [Файл DOC]Обзор:

      https://5y1.org/info/the-elimination-method-calculator_1_212202.html

      Пример пошаговой инструкции: СПОСОБ УСТРАНЕНИЯ. Решить методом исключения. Оба уравнения уже имеют одинаковую форму (примерно стандартную). Исключите y: члены y равны -5y и 1y LCM 5 и 1 = 5 . Умножьте второе только уравнение на 5 ( Теперь система: ДОБАВИТЬ. Уравнения Решите уравнение Подставьте решение обратно в одно из исходных решений: или (-3.08, -5.23) …

      Тег:калькулятор исключения шаг за шагом


    • Алгебра Семестр 1 Обзор

      -Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными с использованием метода исключения Гаусса-Жордана-Введение исключения Гаусса-Жордана на графическом калькуляторе -Подчеркните математическое моделирование и приложения систем линейных уравнений. 4.4 Матрицы: основные операции

      Тег:использование замены для решения системного калькулятора


    • [Файл DOC] Winston-Salem/Forsyth County Schools / Front Page

      https://5y1. org/info/the-elimination-method-calculator_1_4fc20b.html

      Обведены вопросы, которые вы не следует использовать калькулятор для решения. Чтобы найти пробег, или сколько миль на галлоне может проехать автомобиль, вы можете использовать выражение... Используйте метод сложения для решения системы уравнений. ... Решить систему уравнений методом исключения: 16 стр.

      Тег:как решать методом исключения


    • [Файл DOC]MAT1033 - Решение систем уравнений с помощью сложения ...

      https://5y1.org/info/the-elimination-method-calculator_1_3b1085 .html

      19. Решите каждую из следующих систем методом исключения. Проверьте свои ответы, построив график, и вставьте скриншот каждого графика с показанным решением. а. 3х – 12у = 25 б. 0,5х = 0,25у. 2x – 4y = 7 x + 2y = 30. 20. Системы с тремя переменными также можно решать методом исключения. Работайте с любыми двумя уравнениями одновременно.

      Тег:удаление калькулятора параметров


    • [DOC File]Промежуточная алгебра - Wasatch

      https://5y1. org/info/the-elimination-method-calculator_1_271c49.html

      3 Метод остатка

      3 представляет собой графический метод, используемый для оценки параметров двухкомпонентной фармакокинетической модели после однократного внутривенного введения. ... На этапе ликвидации объем препарата составляет ...

      Тег: решить каждую систему путем исключения


    • [Файл DOC] Системы уравнений и неравенств

      https://5y1.org/info/the-elimination-method-calculator_1_244b81.html

      Метод исключения. Мы будем складывать или вычитать наше уравнение вместе, чтобы исключить одну переменную. Почему это законно? Найдите оставшуюся переменную. Используя найденное значение, подставьте его в уравнение и найдите другую переменную. Бывший. Использование метода исключения. Решить систему методом исключения. х + 2у = 10. х + у = 6. 2х + 3у = 12. 5х ...

      Тег:калькулятор исключения Гаусса 25-27 на стр. 120, затем решите каждую задачу, используя замену И исключение. Чтобы получить B за этот модуль, вы должны выполнить как минимум 2 из следующих действий, каждое из которых стоит 5 баллов. _____ Практикуя все три метода, играя в системную карточную игру в …

      Тег:Калькулятор метода исключения линейных уравнений методу (пример III) можно обучить, за которым следует страница 3 пакета, и исключение (пример IV), за которым следует страница 4 пакета. В начале страницы 5 можно ответить в группах, а затем подвести итоги в классе.

      Тег:как устранить параметр


    • Калькулятор метода исключения - Бесплатный онлайн-калькулятор

      Используйте график, чтобы найти точку пересечения (с калькулятором и без него) Используйте подстановку, чтобы найти решение системы (см. последний тест) Используйте исключение, чтобы найти решение к системе. Используйте правильный (самый простой) метод, чтобы найти решение системы. Читайте, осмысливайте и решайте проблемы реального мира.

      Тег:калькулятор исключения шаг за шагом


Близлежащие и связанные записи:
  • Способ устранения Гаусса Пример
  • Способ устранения Гаусса 4x4
  • Способ устранения гауссов 3x3
  • Шаг поэтапного калькулятора
  • .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.